Экономическая интерпретация математических знаний

Г. И. Худякова
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ
Математика как учебный предмет
обладает огромным мировоззренческим
потенциалом, занимая особое место в
системе наук. Экономическая
направленность обучения математике
предполагает не только экономическиориентированное содержание и
структуру курса математики, не только
решение в ходе обучения прикладных
задач, но и методологическую связь
математики с предметами
экономического и военного цикла,
которая позволяет продемонстрировать
курсантам роль математики в
современном мире, показать
необходимость овладения
математическими методами как
инструментом для изучения различных
областей человеческой деятельности.
Важным средством для реализации
этого аспекта экономической
направленности является экономическая
интерпретация основных
математических понятий, теорем,
проводимая на лекционных занятиях.
При этом экономическая интерпретация
математических понятий может быть
отнесена к первому уровню, который
естественно назвать иллюстративным.
Как правило, при введении понятий
производной и других математических
понятий ограничиваются
геометрическими и механическими
иллюстрациями вводимых понятий, в то
время как экономическую
интерпретацию можно использовать и
при введении понятия матрицы,
определении операций над матрицами,
введении понятий производной,
определенного интеграла,
дифференциального уравнения, при
использовании функциональных
зависимостей и т. д. Второй, более
высокий уровень использования
экономической интерпретации,
заключается в рассмотрении
экономического содержания
математических утверждений. Можно
рассматривать экономический смысл
свойства ассоциативности умножения
матриц, экономический смысл теоремы
о среднем для определенного интеграла,
второй теоремы двойственности
линейного программирования и др. Этот
уровень естественно назвать
теоретическим, он позволяет курсантам
одновременно с усвоением
математических знаний и методов
получать и углублять знания по
экономике.
Рассмотрим возможности различных
тем и разделов курса математики по
реализации этих двух уровней
экономической интерпретации.
Интерпретация функциональных
зависимостей. Пример линейной
зависимости в экономике – зависимость
суммы издержек производства от
выпуска продукции. Примером дробнолинейной зависимости в экономике
является зависимость себестоимости y
(т.е. величины затрат на единицу
продукции) от объема x этой продукции.
Другим примером дробно-линейной
функции является зависимость уровня
благосостояния y от числа иждивенцев
x. Показательная функция в экономике
используется там, где величины при
сохранении некоторых условий в равные
промежутки времени изменяются в
равных отношениях. К такому
изменению величин приводит обычно
то, что достигнутый уровень сам служит
базой для дальнейшего роста.
Простейшим примером этого служит
увеличение капитала, пущенного в
оборот и через равные промежутки
времени (например, в конце каждого
Ярославский педагогический вестник. 2002. № 3 (32)
года) присоединяющего к себе прибыль.
Если p - норма прибыли, а y0 - начальная
величина капитала, то по прошествии
года величина капитала составит y0(1+p),
по прошествии x лет – y0(1+p)x или
y=y0⋅ax, где a=1+p.
При введении понятия производной
можно привести ряд экономических
примеров, приводящих к этому
понятию. В экономике обычно
пользуются средними величинами:
средней себестоимостью продукции,
средней производительностью труда и т.
д. Однако при исследовании развития
производства возникает необходимость
ответить на вопрос: на какую величину
возрастет результат, если увеличить
затраты, и наоборот. Средние величины
ответа на этот вопрос не дадут. Здесь
речь должна идти об изменении
переменных величин, и требуется найти
предел отношения прироста эффекта и
прироста затрат при стремлении
последнего к нулю, т. е. перейти к
производной.
Переход от средних величин к
предельным эффектам можно
рассмотреть на примерах определения
роста производительности труда,
скорости роста населения, скорости
расходования природных ресурсов,
определения предельной выручки от
продажи товара, предельных издержек
производства при выпуске продукции.
Существует множество других
примеров, в которых интерпретируется
понятие производной, например,
скорость ремонта автотранспорта,
скорость сбора сельскохозяйственной
продукции и т. д. Как видно, в отличие
от геометрических и физических
приложений производной в сфере
экономики имеет место ярко
выраженная многозначность трактовки
этого понятия. Совершенно ясно, что в
процессе обучения математике нет
возможности рассмотреть все
возможные экономические ситуации и
процессы, в которых мы сталкиваемся с
различными по содержанию
экономическими трактовками понятия
производной функции. Существенным
же является то, что курсант отчетливо
должен понимать следующий факт: если
какая-то функция описывает некоторый
экономический процесс, то ее первая
производная характеризует предельную
эффективность этого процесса.
В экономике используется тесно
связанное с понятием производной
понятие эластичности функции. С
помощью производной можно
вычислять приращение зависимой
переменной, соответствующее
приращению независимой переменной.
При описании динамики экономических
процессов удобнее пользоваться не
абсолютными приращениями аргумента
и функции, а их относительными
приращениями, которые являются
безразмерными величинами или
измеряются в процентах. Во многих же
задачах экономики удобнее вычислять
процент приращения зависимой
переменной, соответствующий 1%
приращения независимой переменной.
Эластичность функции y = f ( x )
относительно x есть приближенный
процентный прирост функции,
соответствующий приращению
независимой переменной на 1%.
По величине эластичности различают
товары эластичного спроса и товары
неэластичного спроса (по отношению к
изменению цен). При исследовании
зависимости спроса от доходов
покупателей устанавливают, как спрос
на разные товары реагирует на
изменение доходов. Например,
эластичность некоторых продуктов
низких сортов отрицательна (с ростом
доходов их покупают меньше), и
наоборот, эластичность предметов
роскоши обычно положительна.
В качестве применения понятия
эластичности можно рассмотреть
эластичность полных и средних затрат.
Если предприятие производит x единиц
какого-либо товара и определена
2
Ярославский педагогический вестник. 2002. № 3 (32)
функция полных затрат k=k(x), то
эластичность полных затрат составит
x dk dk k
E x (k) = ⋅
=
: ,
k dx dx x
т.е. эластичность полных затрат есть
dk
отношение предельных издержек
к
dx
k
средним издержкам .
x
Найдем эластичность средних издержек
k
π= .
x
dk
x⋅
−k
x dπ
x
=
⋅ dx2
=
E x (ππ = ⋅
π dx k
x
x
x dk k
x dk
= ⋅(
− )= ⋅
− 1 = E x (k) − 1.
k dx x
k dx
Получим, что эластичность средних
издержек на единицу меньше
эластичности полных затрат.
E x (π ) = E x (k ) − 1.
Если E x (k ) = 1 , то эластичность средних
затрат равна нулю, а это означает, что
средние затраты постоянны. Но из
x dk
E x (k ) = 1 следует, что ⋅
= 1 , т.е.
k dx
dk k
и k = cx.
=
dx x
Таким образом, если эластичность
полных затрат равна 1, то предельные
издержки равняются средним
издержкам.
Экономической интерпретацией
теоремы о среднем могут служить
следующие экономические факты. Если
переменные издержки производства
определяются зависимостью y = f (x ) ,
где х - количество произведенной
продукции, то средние издержки
производства р при объеме
производства от х1 до х2 составят
x2
p=
24
∫ f (х )dх
0
∫
Если зависимость между спросом q на
картофель (в сотнях килограммов) и
ценой на него p (руб.) выражается
формулой q = f ( p ), a ≤ p ≤ b , то
средняя выручка от продажи 100
килограммов картофеля при цене от p1
до p 2 рублей ( a ≤ p1 ≤ p 2 ≤ b ) составит
p2
∫ p ⋅ f ( p )dp
p1
.
u=
p 2 − p1
Для экономической интерпретации
дифференциальных уравнений можно
рассмотреть вопрос о текучести рабочей
силы. Идея дифференциальных
уравнений состоит в том, что,
рассматривая бесконечно малые
изменения данных величин, можно
ограничиться их главными частями,
пренебрегая бесконечно малыми
высших порядков.
Пусть коэффициент текучести равен µ.
Это значит, что за бесконечно малый
промежуток времени выбывает число
рабочих, пропорциональное их числу у и
величине интервала времени dх с
коэффициентом пропорциональности µ.
Поскольку речь идет об убыли
dy
= − µdx ,
dy = − µydx ,
y
− µ ⋅x
ln y = − µ ⋅ x + ln C , y = C ⋅ e
.
Часто нужно определить функцию на
основании заданного переменного темпа
ее роста k(t)
dy
= k( t ) .
ydt
Отсюда
t
∫ k ( t )dt
0
ln y = ∫ k ( t )dt + C , y = y0 ⋅ e
,
y0 = y (0 ) .
здесь
В частности, при постоянном k
получаем y = y e kt . Если k = − µ ,
0
f ( x ) dх
x1
x 2 − x1
.
получаем результат примера о текучести
рабочей силы.
При математическом описании
экономических процессов или объектов
3
Ярославский педагогический вестник. 2002. № 3 (32)
очень удобно использовать аппарат
матриц. Это связано с тем, что матрица
представляет собой таблицу, а такая
форма записи данных и результатов, вопервых, очень наглядна, во-вторых,
удобна для введения в ЭВМ и, втретьих, операции над матрицами
хорошо работают при получении
экономических результатов.
Для экономической интерпретации
понятия матрицы и операций над
матрицами можно привести
следующие примеры.
Пример. Пусть элемент
ai j , i = 1, m , j = 1, n матрицы A есть
объем поставки i-того товара фирмыпоставщика j-той фирме-потребителю в
первую неделю. Элемент
bi j , i = 1, m , j = 1, n матрицы B есть
объем поставки i-того товара фирмыпоставщика j-той фирме-потребителю во
вторую неделю. Тогда элемент
ai j + bi j , i = 1, m , j = 1, n матрицы A+B
есть объем поставки i-того товара
фирмы-поставщика j-той фирмепотребителю за две недели. Если
предположить, что в каждую из k недель
объемы поставок будут такими же, как в
первую неделю, то элемент
k ⋅ ai j , i = 1, m , j = 1, n матрицы kA есть
объем поставки i-того товара фирмыпоставщика j-той фирме-потребителю за
k недель.
Пример. Пусть элемент
ai j , i = 1, m , j = 1, n матрицы A есть
норма расхода i-того ресурса на
производство j-того вида продукции.
Элемент x j , j = 1, n матрицы-столбца X
есть план производства j-того вида
продукции. Тогда элементы матрицыпроизведения A·X есть затраты ресурсов
на осуществление такого плана
производства.
Для экономической иллюстрации не
только операции умножения матриц, но
и свойства ассоциативности операции
может служить следующий пример.
Пример. Определить стоимость
ресурсов для производства единицы
каждого из двух типов продукции, если
используются три вида ресурсов, цены
на которые соответственно 10, 15 и 20
рублей. Затраты ресурсов первого,
второго и третьего видов на
производство единицы продукции
первого типа составляют 2, 5 и 3 рубля
соответственно и на производство
единицы продукции второго типа 3, 7 и
4 рубля соответственно. Найти общие
затраты ресурсов при выпуске 100
единиц продукции первого вида и 120
единиц второго вида.
Решение. Для определения стоимости
ресурсов для единицы каждого типа
продукции можно матрицу А размера
2×3 затрат ресурсов на производство
единицы продукции каждого типа
умножить на матрицу-столбец В цен
этих ресурсов.
 10 
  155 
2 5 3 
.
 ⋅  15  = 
A ⋅ B = 
 3 7 4   20   215 


Для определения общей стоимости
ресурсов можно найти произведение
матрицы-строки объемов выпускаемой
продукции первого и второго типов
С=(100 120) на матрицу-столбец АВ
стоимостей ресурсов для единицы
каждого типа продукции.
 155 
 = 41300 .
C ⋅ ( A ⋅ B ) = ( 100 120 ) ⋅ 
 215 
Общую стоимость ресурсов можно
найти и по-другому, и это будет
иллюстрировать справедливость
свойства ассоциативности произведения
матриц. Сначала может быть найдена
матрица СА затрат ресурсов на
производство заданных объемов
продукции.
2 5 3
 = ( 560 1340 780 ).
С ⋅ A = ( 100 120 ) ⋅ 
3 7 4 
Затем общая стоимость ресурсов будет
найдена как произведение матрицы СА
4
Ярославский педагогический вестник. 2002. № 3 (32)
на матрицу-строку цен единиц каждого
вида ресурсов.
 10 
 
( C ⋅ A ) ⋅ B = ( 560 1340 780 ) ⋅  15  = 41300.
 20 
 
Богатое экономическое содержание
имеет теория двойственности в
линейном программировании. Согласно
второй теореме двойственности имеем:
если в оптимальном плане исходной
задачи какое-либо i-тое ограничение
выполняется как строгое неравенство, то
соответствующая i-тая переменная в
оптимальном плане двойственной
задачи равна нулю. По экономическому
содержанию это означает, что
положительную двойственную оценку
могут иметь лишь ресурсы, полностью
использованные в оптимальном плане;
оценки не полностью использованных
ресурсов всегда равны нулю.
С другой стороны, если j-тая переменная
исходной задачи входит в оптимальный
план с положительным знаком, то
соответствующее ограничение
двойственной задачи принимает вид
равенства.
Экономическое содержание этой
математической зависимости: если
данный вид продукции вошел в
оптимальный план, то двойственная
оценка ресурсов, затрачиваемых на
единицу этого продукта, в точности
равна ее цене и производство продукции
по оценкам оправдано. Если же
выпускать данную продукцию
нерационально и она не вошла в
оптимальный план, то по оценкам ее
производство будет убыточным, т.е.
оценка затрачиваемых на нее ресурсов
окажется выше цены этой продукции (и
как крайний случай, может быть равна
ей при наличии в задаче множества
оптимальных планов).
Таким образом, двойственные оценки
измеряют эффективность малых
приращений объемов ресурсов в
конкретных условиях данной задачи.
Говоря об эффективности, ценности
ресурсов, мы имеем в виду не рыночную
их ценность, а ценность ресурсов
исключительно с внутренней точки
зрения данного предприятия, с точки
зрения эффективного использования
этого ресурса в сложившейся структуре
производства. При этом оценка
ценности производится только в
процессе использования ресурса в одном
цикле производства. Это является
элементом условности, абстрактности,
не совсем отражающим реальность.
Если нашей целью является расширение
производства и повышение
эффективности плана путем
привлечения дополнительных ресурсов,
то анализ оценок поможет выбрать
правильное решение. Прирост
различных ресурсов будет давать
неодинаковый эффект, и оценки
позволяют с большой точностью
выявлять "узкие места", сдерживающие
рост эффективности производства. С
учетом всех конкретных условий задачи
оценки показывают, какие ресурсы
являются более дефицитными (они
будут иметь самые высокие оценки), а
какие избыточны. К соответствующим
выводам нельзя прийти путем
элементарного анализа. Таким образом,
двойственные оценки отражают
сравнительную дефицитность
различных видов ресурсов. На
основании оценок можно определять
своеобразные "нормы заменяемости
ресурсов".
При изучении теории вероятностей
есть немало возможностей для
экономической интерпретации
математических понятий и фактов.
Важно подчеркивать, что законы теории
вероятностей отражают реальные
статистические закономерности,
присущие массовым статистическим
явлениям. При изучении случайных
величин отмечается важность для
экономистов числовых характеристик
случайных величин. Например, при
принятии решения о покупке акций
важно в первую очередь знать средний
доход на них и риск инвестирования в
5
Ярославский педагогический вестник. 2002. № 3 (32)
них денег, характеризуемый степенью
разброса дохода. Отмечая
содержательный смысл дисперсии как
меры рассеяния ее значений вокруг
математического ожидания, можно
привести следующий пример военного
содержания.
Пример. Пусть пристреливаются
несколько различных пистолетов. Тогда
дисперсия случайной величины –
расстояния случайной точки попадания
в мишень от центра мишени – может
оцениваться как характеристика оружия,
называемая кучностью.
Среди непрерывных случайных величин
особая роль принадлежит случайным
величинам, распределенным по
нормальному закону. Первый вопрос,
возникающий при использовании
нормального распределения, - в каком
случае можно предполагать, что данная
случайная величина является нормально
распределенной. Теоретической базой
для решения данного вопроса служит
центральная предельная теорема
Ляпунова. Именно эта теорема
обосновывает ту огромную роль,
которую играет в статистике,
эконометрике и во многих других
областях знания нормальное
распределение. Множество факторов,
определяющих тот или иной
экономический показатель, как правило,
достаточно велико, и при выполнении
условий теоремы случайное отклонение
этого показателя от среднего значения
может быть приближенно описано
нормальным распределением. При
изучении нормального закона
распределения следует отметить, что он
действует в отношении следующих
случайных величин:
•
погрешностей настроек
измерительных устройств;
•
времени срыва производственного
процесса при установке
оборудования;
•
отклонения параметров изделий
относительно номинала;
•
погрешностей при измерениях;
величин износа деталей в
механизмах;
•
дальности полета снаряда при
стрельбе из орудия и др.
Закон больших чисел утверждает, что
при очень большом числе случайных
событий средний их результат перестает
быть случайным и может быть
предсказан с большой степенью
определенности. Экономической
интерпретацией этого математического
утверждения могут служить следующие
экономические факты.
1. Суммарное поступление денежных
средств в сбербанк за один день
останется примерно одним и тем же
в обычные будничные дни, хотя
невозможно предсказать, какую
конкретно сумму снимет или
положит на свой вклад очередной
клиент сбербанка.
2. Суммарная продажа бензина на
АЗС примерно одна и та же в
обычные будничные дни.
3. Успешное финансовое положение
крупному банку может обеспечить
проведение множества различных
финансовых операций:
кредитование на межбанковском
рынке других банков, заем
денежных средств у других банков,
прием и выдача вкладов физических
и юридических лиц, продажа и
покупка облигаций и акций и т. п.
При этом проигрыш по некоторым
операциям компенсируется
выигрышем по другим, что и
обеспечивает банку устойчивое
финансовое положение.
В последнем экономическом факте
стратегия работы банка соответствует
одному из экономических принципов,
принципу диверсификации. Этот
принцип является экономической
интерпретацией следующей теоремы
теории вероятностей.
Теорема. Пусть X 1 , X 2 , K , X n независимые, одинаково
распределенные случайные величины с
математическим ожиданием a и
•
6
Ярославский педагогический вестник. 2002. № 3 (32)
средним квадратическим отклонением
σ . Пусть Yn – их среднее
арифметическое. Тогда
M (Yn ) = a , σ (Yn ) = σ
.
n
Если случайные величины X i , i = 1, n
трактовать как случайные доходы от
некоторых операций (независимых и
примерно одинаковых по масштабам), а
среднее квадратическое отклонение как
величину риска, то получаем
следующий экономический вывод,
отражающий принцип диверсификации.
При усреднении результатов
независимых и примерно одинаковых по
масштабности операций средний доход
также усредняется, а риск уменьшается.
7
Ярославский педагогический вестник. 2002. № 3 (32)
Литература
1.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФА-М, 1997.
208с.
2. Коршунова Н.И., Худякова Г.И. Избранные главы математического анализа с приложениями к
экономике. Часть 2. Интегральное исчисление: Учебное пособие для курсантов. Ярославль: ЯВВФУ,
1993. 79 с.
3. Коршунова Н.И., Худякова Г.И. Избранные главы математического анализа с приложениями к
экономике. Часть 3. Дифференциальные уравнения и ряды: Учебное пособие для курсантов. Ярославль:
ЯВВФУ, 1991. 67с.
8