математическая экономика.

Ёлочкин С. В., Россия, Тюмень,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА.
Введение
"В последние полтора-два столетия в мире действовали
различные типы экономических систем: две рыночные системы, в
которых доминируют рыночное хозяйство, - рыночная экономика
свободной конкуренции (чистый капитализм) и современная
рыночная экономика (современный капитализм), и две нерыночные
системы - традиционная и административно-командная. В рамках
той или иной экономической системы существуют многообразные
модели экономического развития отдельных стран и регионов."
(ЭКОНОМИКА, Учебник для экономических академий, вузов и
факультетов. Издательство БЕК, Москва, 1995, стр. 19).
Кроме
того,
я
почитал
и
"Капитал"
и
"Манифест
Коммунистической партии", и у меня возникло странное ощущение,
что вся нынешняя экономика - проявляя и академичность, и
страстность её - есть экономика АРИФМЕТИЧЕСКАЯ. Высшее
изучение развития человечества приводит к созданию и изучению
трендов. Что же дальше? Как бы мне не было тяжело об этом
говорить,
я
всё-таки
попытаюсь
использовать
экономику
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ. Я постараюсь полностью не использовать
эмоции, и посмотрим, что из всего этого в конце концов получится.
Рассмотрим, как частный случай, математическую экономику
объёма продаж.
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
Случай единственного товара
Пусть имеется некий товар, который (в простейшем случае)
является единственным, удовлетворяющим некоторую потребность.
Общий потенциальный платежеспособный спрос на этот товар
(при фиксированной цене) обозначим как N0. Таким образом N0 общее число потенциальных покупателей данного товара, которые
могут себе позволить его купить.
Введем понятие величины “плотность информационного
охвата”, которая представляет собой
вероятность того, что
покупатель узнает о существовании товара за единицу времени.
Обозначим эту величину - 
Очевидно, что общее число покупателей, информированных о
товаре, есть функция времени, которую можно обозначить как N(t).
Исходя из приведенных выше определений, можно определить
количество покупателей, которые узнают о существовании товара за
период времени с момента t до момента t+t :
N(t)=( N0 -N(t))t
(1)
Преобразуя (1) и переходя к пределу при t0, получим
дифференциальное уравнение
N(t)+ 1/ N(t)=N0
(2)
Решение этого уравнения имеет вид :
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
N(t)=N0( 1 – e - t )
(3)
Введем далее понятие величины “привлекательность товара”,
которая представляет собой вероятность того, что покупатель,
информированный о товаре, в течение единицы времени решится на
его приобретение. Обозначим эту величину - .
Общее число покупателей, приобретших товар к моменту
времени t, обозначим как I(t). Тогда, используя определение
величины “привлекательность товара”, можно записать число
покупателей, приобретших товар за период времени с момента t до
момента t+t :
I(t)= ( N(t) -I(t))t

Преобразуя (4) и переходя к пределу при t0, получим
дифференциальное уравнение
I(t)+ 1/ I(t)=N(t)
(5)
Используя выражение (3), перепишем дифференциальное
уравнение (5) в виде :
I(t)+ 1/ I(t)= N0 ( 1 – e - t )
(6)
Решая уравнение (6) относительно I(t), получим :
I(t)=N0(1+1/(-) (  e - t -  e-t ) )
(7)
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
Очевидно, что функция I(t) не определена в случае, когда
=Для устранения этой неопределенности перейдем к пределу
при  :
lim  I(t) = N0 (1 – (t+1) e - t )
(8)
Таким образом, функция I(t) есть не что иное, как общее число
продаж товара к моменту времени t. Для того, чтобы определить
функцию зависимости скорости продаж от времени, которую можно
обозначить как J(t), достаточно найти производную функции I(t) по
времени :
J(t) = N0 (/(-)) (-e - t + e-t )
(9)
Для случая  формула (9) перепишется в виде :
J(t) = N0 2t e - t
(10)
Единственный расходуемый товар
Введем дополнительный параметр  - скорость расхода товара.
Тогда формула (4) примет вид :
I(t)= [ ( N(t) - I(t) ) -  I(t) ]t


И, соответственно, вместо выражения (6) получим :
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
I(t)+ 1/(+) I(t)= N0 /(+) ( 1 – e - t )
(12)
Решение уравнения (12) будет иметь вид :
I(t)=N0 /(+) (1+1/(--) ((+) e - t -  e-(+)t ) )
(13)
Выражение (9) примет вид :
J(t) = N0 /(--) (-e - t + e-(+)t )
(14)
Перейдем к пределу при (+)  . Тогда (13) и (14) примут,
соответственно, вид :
I(t) = N0 (-) / (1 – (t+1) e - t )
(15)
J(t) = N0 (-) t e - t
(16)
Случай многих конкурирующих товаров
Пусть имеются m товаров, которые удовлетворяют некоторую
потребность (или комплекс потребностей).
Общий потенциальный платежеспособный спрос на эти
товары (при фиксированной цене) обозначим как N0. Таким образом
N0 - общее число потенциальных покупателей данных товаров,
которые могут себе позволить их купить.
Будем
считать,
что
все
потенциальные
покупатели
информированы обо всех товарах.
Обозначим i – привлекательность i-го товара, которая
представляет собой вероятность того, что покупатель в течение
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
единицы времени решится на приобретение именно этого товара.
Отметим, что сумма всех i <=1, (т.е. i <=1).
Очевидно, что общее число покупателей, приобретших i-й
товар, есть функция времени, которую можно обозначить как Ni(t).
Исходя из приведенных выше определений, можно определить
количество покупателей, которые узнают о существовании товара за
период времени с момента t до момента t+t :
Ni(t)=i ( N0 -Nk(t))t


Преобразуя (17) и переходя к пределу при t0, получим
дифференциальное уравнение
N i (t) + i Nk(t)=i N0
(18)
Решение этого уравнения имеет вид :
Ni(t)=i/0 N0( 1 – e - 0t ), где 0 = i
Здесь
можно
усмотреть
интересную
аналогию
(19)
между
введенной величиной “привлекательность товара” и сравнительным
рейтингом данного товара. Справедливо предположить, что эти
величины совпадают с точностью до постоянного множителя.
Случай многих конкурирующих расходуемых товаров
Введем дополнительный параметр i - скорость расхода i-го
товара. Тогда формула (17) примет вид :
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
Ni(t)=[ i ( N0 -Nk(t)) - i Ni(t) ]t


И, соответственно, вместо выражения (18) получим :
N i (t) + i Nk(t) + i Ni(t) =i N0
(21)
Запишем систему дифференциальных уравнений в матричной
форме. Тогда:
N (t) = N0  - (A + E ) N(t)
где :
(22)
N(t) = { Ni(t) } – матрица-столбец,
 = { i } – матрица-столбец,
А = { Aij } – квадратная матрица, коэффициенты которой Aij = i ,
 = { i } – матрица-столбец,
Е = { Еij } – единичная матрица, коэффициенты которой Еij = ij
Решение этой системы (в матричной форме) будет иметь вид :
N(t) = N0 ( E - e -(A + E )t ) [( A + E )-1 ]
где матричная фукция e
-(A + E )t
(23)
является матрицей размера mxm,
определяемой в соответствии с разложением в ряд по стереням (A +
E ). Следует отметить, что разложение этой экспоненты требует
громоздкого перемножения матриц.
В качестве упрощенного варианта общего случая рассмотрим
допущение 1=2==m=. (Это имеет смысл, например, при
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
рассмотрении различных видов колбасы – скорость “расходования”
их можно считать одинаковой).
Тогда, используя суммирование по i всех уравнений системы
(18) , получаем новое уравнение:
N0(t) + (0 +) N0(t) =i N0
где
(24)
N0(t) =Nk(t). Решением этого уравнения будет:
N0(t)=0/(0+) N0( 1 – e - (0+)t )
(25)
Само же уравнение (18) перепишется в виде :
N i (t) + i Ni(t) =i (N0 – N0(t))
(26)
решением которого будет :
Ni(t)=i/(0+) N0( 1 – e - (0+)t )
(27)
Заключение.
В конце концов у меня вот о чём. В формулах, получившихся
в математической экономике, имеют любопытную экспонентную Sобразную формулу, начиная с формулы (3). А ведь такая S-образная
формула упоминается и в ТРИЗе, и в Общей теории систем
алгоритмов, и в эволюции, и ещё бог знает где (возможно, в
прогнозировании экономических катастроф?).
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru
Если
экономики,
в
данной
например,
конкретной
этот
ситуации
конкретный
арифметической
тренд
имеет
рост.
Следовательно, имелся бы смысл вкладывать финансы в развитие
этого тренда. А в математической экономике, этому же вполне себе
соответствует к первой производной этой самой S-образной
формуле. Однако, кроме первой производной, можно бы было
поинтересоваться и второй производной. И влияние этой второй
производной могла бы как увеличение этого роста, так и
уменьшение его, её инфляции, или, не дай бог, обрушение данной
системы. А ведь эта экспонентная S-образная формула, например,
вполне совпадает в физике с формулой полураспада, например, U235.
Лично мне исключительно тяжело продолжать развитие
данную такую теорию. В лучшем случае, другие, уже умные и ещё
здоровые, люди могли бы продолжить эту тему, а я бы,
обрадовавшись, занялся бы физикой. В худшем - могли бы
объяснить мне мои ошибки, а я бы это понял и, вздохнув, занялся бы
физикой. А в самом худшем случае, какие бы креативные и
продвинутые меня бы обругали и оплевали, или вообще бы никто
просто не прочитал эту мою чушь. Тогда бы мне пришлось
попытаться продолжить все дальше.
Как бы я сказал,
либо мне повезёт - либо сам повезу. В
смысле кое-как потащу.
________________________________________________________________
«Экономика и социум» №5(18) 2015
www.iupr.ru