Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Чеченский государственный педагогический институт»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Чеченский государственный педагогический институт»
___________ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ___________
(факультет)
________ Информационных
технологий и прикладной информатики___________
(кафедра)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
________________С-Э.С-М. Юшаев__
«_2_»_сентября__2014г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ»
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ: 44.03.05 - ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
(С ДВУМЯ ПРОФИЛЯМИ ОБРАЗОВАНИЯ)
Профили «Физика и информатика»
(наименование профиля, магистерской программы, специализации)
Квалификация (степень) выпускника
_______________академический_бакалавр____________
Грозный 2014
Разработчики РПД:
__
доцент, к.п.н.__________________
_________________
(должность, ученое звание, степень)
___ старший
преподаватель ________
(подпись)
(И.О.Фамилия)
_________________
(должность, ученое звание, степень)
___Т.Т. Везиров ______
(подпись)
___Д.А. Абдуллаев____
(И.О.Фамилия)
Рецензирование РПД:
Отсутствует
Одобрена на заседании кафедры ______________________________________________
(протокол заседания № _1__от «_2_»_09__ 2014 г.).
Рецензент
_д.п.н., профессор,
ДГПУ _________
(должность, место работы, ученое
звание, степень)
_________________ ___Везиров Т.Г.______
(подпись)
(И.О.Фамилия)
«___»________20____г.
Согласовано с работодателями:
__ Гимназия №2 г.Грозный___________________
(наименование предприятия, организации,
должность)
__МБОУ СОШ №2 с. Горагорск_____________
(наименование предприятия, организации,
должность)
«___»________20_14__г.
__________
(подпись)
__________
(подпись)
__Я.А. Дадаева______
(И.О.Фамилия)
__С.М. Бадиев______
(И.О.Фамилия)
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В дисциплину «Математическая логика и теория алгоритмов» вошли и одна из
древнейших математических наук - логика (первое дошедшее до нас сочинение «Аналитики»
Аристотеля (382-322 гг. до н.э.) принадлежит позднегреческой эпохе) и совсем юная по
меркам истории - теория алгоритмов, которая не насчитывает и ста лет. Обе эти науки, не
смотря на столь значительную разницу в возрасте, имеют много общего - они обосновывают
саму математику, ее строение и особенности формализаций различных математических
систем. Более того, обе науки обязаны программе Гильберта: математическая логика
получила толчок к переосмыслению существующих разделов математики, а теория
алгоритмов - своему активному развитию в виде идей решения некоторых проблем, которые
сформулировал Гильберт. Связь данных наук еще сильнее ощущается в таких тонких
вопросах метатеории, как полнота и разрешимость, ведь неразрешимость логики первого
порядка выводиться непосредственно из неразрешимости проблемы останова.
Программа отражает научную цель курса - знакомство с формализацией
математического языка, которая рассматривается в данном курсе значительно глубже, чем в
курсах алгебры, геометрии и математического анализа, и охватывает также логические
средства. В рамках этого курса изучается, прежде всего, язык логики, освещаются
современные подходы к формализации и аксиоматизации различных математических
дисциплин, в частности затрагиваются такие фундаментальные понятия, как понятие
непротиворечивости и полноты математической теории, независимости системы аксиом.
Дисциплина включает в себя два основных раздела: «Математическая логика» и
«Теория алгоритмов». В вводном разделе программы рассматриваются основные этапы
становления математической логики как особой математической дисциплины, освещается ее
роль в решении проблем обоснования математики, в развитии современной вычислительной
техники.
Раздел «Математическая логика» в свою очередь состоит из подразделов «Алгебра
высказываний», которая изучает высказывания, формулы, их истинностные значения,
тождественно ложные, истинны и выполнимые формулы, равносильность формул,
приведение формул с помощью равносильных преобразований к нормальным формам.
Овладение техникой алгебры высказываний позволить студентам решать алгебраическим
методом логические задачи, в частности проверять правильность некоторых рассуждений, а
также составлять и упрощать релейно-контактные схемы с заданными условиями работы.
Пример формальной аксиоматической системы рассматривается в разделе
«Исчисление высказываний». Особое внимание в этом разделе следует уделить
доказательству выводимости в построенном исчислении формул (теорем).
Далее вводится понятие предиката, определяются операции навешивания кванторов
общности и существования, обобщаются понятия формулы и ее интерпретации.
Возможности языка алгебры предикатов иллюстрируются разнообразными примерами при
рассмотрении арифметической и геометрической моделей.
Формализованное исчисление предикатов рассматривается как расширение
исчисления высказываний.
Все вышеуказанные подразделы (алгебры и исчисления высказываний и предикатов)
являются примерами построения той или иной формализованной системы. Принципы
построения и характеристики (полнота, разрешимость, противоречивость) составляющие
метатеорию формальных систем подытоживают данный раздел. Также даются примеры и
понятия неклассических видов логики как нечеткая и алгоритмическая и принципы
логического программирования.
Второй раздел
«Теория алгоритмов» является теоретической основой
программирования и посвящен формализации понятия «алгоритма» в виде машин Тьюринга
и рекурсивных функций. Начинается раздел с изучения возникшей потребности в строгом
определении «алгоритма». Далее рассматривается интуитивное понятия «алгоритма»,
приводятся примеры.
Подраздел «Рекурсивные функции» посвящен базовым функциям и операциям,
формируется понятие и примеры частично-рекурсивных, рекурсивных и общерекурсивных
функций, доказывается рекурсивность основных арифметических функций, формулируется
тезис Черча. Также даются понятия алгоритмически неразрешимых, легкоразрешимых и
трудноразрешимых задач и оценки (меры) сложности алгоритмов.
Аналогично строится формализация понятия алгоритма в виде машин Тьюринга,
рассматривается ее устройство, действия над машинами, связь с рекурсивными функциями,
финалом является тезис Тьюринга, проводиться аналогия с тезисом Черча.
По завершению освоения данной дисциплины студент должен обладать:
- способностью использовать естественнонаучные и математические знания для
ориентирования в современном информационном пространстве (ОК-3);
- способностью к самоорганизации и самообразованию (ОК-6);
- способностью использовать современные методы и технологии обучения и
диагностики (ПК-2);
- готовностью использовать систематизированные теоретические и практические
знания для постановки и решения исследовательских задач в области образования (ПК-11);
- готовностью использовать систематизированные теоретические и практические
знания для постановки и решения исследовательских задач в области образования (ППК-7);
Задачами дисциплины являются:
- ознакомление студентов с принципами физической и логической задачи;
- ознакомление студентов с различными языками программирования;
- обучение студентов способам разработки программных приложений.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина относится к вариативной части цикла Б.2 основной образовательной
программы подготовки бакалавров по профилю «Физика и информатика» направления
44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями образования)».
Дисциплина базируется на следующих дисциплинах: «Информатика», «Основы
математической обработки информации», «Программирование».
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения учебной дисциплины обучающиеся должны демонстрировать
следующие результаты образования:
Знать:
- современные методы и технологии обучения и диагностики (ПК-2);
- систематизированные теоретические и практические знания для постановки и
решения исследовательских задач в области образования (ПК-11);
Уметь:
- использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в
современном информационном пространстве (ОК-3);
- использовать современные методы и технологии обучения и диагностики (ПК-2);
-использовать систематизированные теоретические и практические знания для
постановки и решения исследовательских задач в области образования (ПК-11);
Владеть:
- систематизированными теоретическими и практическими знаниями для постановки
и решения исследовательских задач в области образования (ППК-7);
4. Объем дисциплины и виды учебной работы.
Всего
часов /
зач.ед.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия:
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Курсовой проект / курсовая работа
Расчетно-графические работы (РГР)
Контрольная
Самостоятельная работа
В том числе:
Реферат
Доклад
Коллоквиум
Вид отчетности (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость ВСЕГО в часах
дисциплины
ВСЕГО в зач. единицах
Семестры
5 семестр
6 семестр
35 / 1з.е. 18 / 0,5з.е.
52 / 1,5з.е. 18 /0,5з.е.
17 / 0,5з.е.
34 /1 з.е.
54/ 1,5 з.е.
183/5 з.е.
54 / 1,5 з.е.
111/3 з.е.
72/2з.е.
234ч
9з.е.
5. Содержание разделов дисциплины
5.1.
№
Наименование дидактической
п/п
единицы (раздел)
1
2
1 Раздел 1. Введение
2
Раздел 2. Алгебра высказываний
Содержание разделов
3
Понятие о логике как науке. Этапы развития
логики. Предмет математической логики.
Роль математической логики в системе
научного знания.
Высказывания. Логические операции над
высказываниями. Понятие формулы алгебры
высказываний.
Равносильность
формул
3
Раздел 3. Исчисление
высказываний
4
Раздел 4. Логика предикатов
5
Раздел 5. Исчисление предикатов
6
Раздел 6. Введение в теорию
алгоритмов
7
Раздел 7. Рекурсивные функции
8
Раздел 8. Машины Тьюринга
алгебры высказываний. Таблица истинности
формулы. Тавтологии. ДНФ и КНФ. Их
построение табличным и аналитическим (с
помощью
равносильностей)
способами.
Совершенные формы. Применение алгебры
высказываний к анализу рассуждений и
описанию релейноконтактных схем.
Аксиоматическое
построение
логики
высказываний. Аксиомы и правила вывода.
Вывод формул из гипотез. Теорема дедукции.
Производные
правила
вывода.
Непротиворечивость, полнота, разрешимость
исчисления высказываний. Независимость
аксиом.
Предикаты (отношения) на множестве.
Сигнатура. Формула логики предикатов
данной сигнатуры. Кванторы. Свободные и
связанные
переменные.
Алгебраическая
система
(модель)
данной
сигнатуры.
Определение истинности формулы логики
предикатов данной сигнатуры на модели той
же сигнатуры. Применение языка логики
предикатов для записи математических
предложений.
Эквивалентные
формулы
логики предикатов. Общезначимость и
выполнимость формул логики предикатов.
Предваренная нормальная форма.
Построение
ИП
данной
сигнатуры.
Логические аксиомы. Правила вывода. Вывод
формул. Примеры выводимых формул.
Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов. Метатеория формальных систем.
Характеристики
систем
(полнота,
противоречивость, разрешимость). Теорема
Геделя о неполноте теорий первого порядка
включая формальную арифметику.
Интуитивное понятие алгоритма. Свойства
алгоритмов. Различные подходы к уточнению
понятия алгоритма.
Понятие частично-рекурсивных, рекурсивных
и общерекурсивных функций. Базовые
функции и базовые операции. Рекурсивность
основных функции арифметики. Тезис Черча.
Машина Тьюринга, ее устройство. Действия
над
машинами
Тьюринга.
Функции,
вычислимые и невычислимые на машине
Тьюринга.
5.2.
№
п/п
1
2
3
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Информатика
Основы математической обработки
информации
Программирование
1
2
3
4
5
+
+
+
+
+
+
+
+
6
7
8
+
+
+
+
+
+
5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
6. Практические занятия
№
п/п
№ раздела
дисциплины
Наименование раздела дисциплины
Трудоемко
сть (час.
/зач. ед.)
1 – й семестр
1
2
2
3
2
3
4
3
5
4
4
5
7
7
7
8
8
8
Итого
Логические операции над высказываниями. Равносильность
формул алгебры высказываний.
Таблица истинности формулы. Тавтологии. ДНФ и КНФ.
Аксиоматическое построение логики высказываний.
Теорема дедукции.
Производные
правила
вывода.
Непротиворечивость,
полнота, разрешимость исчисления высказываний.
Предикаты (отношения) на множестве. Применение языка
логики
предикатов
для
записи
математических
предложений.
Эквивалентные формулы логики предикатов.
Построение ИП данной сигнатуры. Примеры выводимых
формул.
2 – й семестр
Понятие
частично-рекурсивных,
рекурсивных
и
общерекурсивных функций.
Базовые функции и базовые операции.
Рекурсивность основных функции арифметики.
Машина Тьюринга, ее устройство.
Действия над машинами Тьюринга.
Функции, вычислимые и невычислимые на машине
Тьюринга.
2 / 0,05 з.е.
2/ 0,05 з.е.
2/ 0,05 з.е.
4/ 0,1 з.е.
4/ 0,1 з.е.
2/ 0,05 з.е.
2/ 0,1 з.е.
8/ 0,3 з.е.
4/ 0,1 з.е.
6/ 0,15 з.е.
4/ 0,1 з.е.
6/ 0,15 з.е.
6/ 0,2з.е.
52/1,5з.е.
8. Организация самостоятельной работы студентов по дисциплине
№
п/п
Тематика самостоятельных работ
Трудоемкость
(час/з.е )
1 – й семестр
1.
Предмет математической логики.
2 / 0,07з.е.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Роль математической логики в системе научного знания.
Понятие формулы алгебры высказываний.
Равносильность формул алгебры высказываний.
Таблица истинности формулы.
Тавтологии.
Совершенные формы.
Применение алгебры высказываний к анализу рассуждений и описанию
релейноконтактных схем.
Вывод формул из гипотез.
Непротиворечивость, полнота, разрешимость исчисления высказываний.
Независимость аксиом.
Сигнатура.
Алгебраическая система (модель) данной сигнатуры.
Определение истинности формулы логики предикатов данной сигнатуры на
модели той же сигнатуры.
Эквивалентные формулы логики предикатов.
Общезначимость и выполнимость формул логики предикатов.
Предваренная нормальная форма.
2 / 0,07з.е.
4 / 0,15з.е.
2 / 0,07з.е.
4 / 0,15з.е.
2 / 0,07з.е.
4 / 0,15з.е.
4 / 0,15з.е.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Правила вывода. Вывод формул. Примеры выводимых формул.
Метатеория формальных систем.
2 – й семестр
Различные подходы к уточнению понятия алгоритма.
Базовые функции и базовые операции.
Рекурсивность основных функции арифметики.
Действия над машинами Тьюринга.
Функции, вычислимые и невычислимые на машине Тьюринга.
итого
2 / 0,07з.е.
4 / 0,15з.е.
2 / 0,07з.е.
2 / 0,07з.е.
4 / 0,15з.е.
4 / 0,15з.е.
2 / 0,07з.е.
2 / 0,07з.е.
4 / 0,15з.е.
4 / 0,15з.е.
2 / 0,07з.е.
15 / 0,4з.е.
20 / 0,5з.е.
36 / 1з.е.
14 / 0,4з.е
26 / 0,7з.е.
165/5з.е.
9. Фонды оценочных средств
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
(ЧГПИ)
ВОПРОСЫ ДЛЯ
текущих и итоговой аттестаций
по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов»
(наименование дисциплины)
1-й семестр
Контрольная работа к 1-й текущей аттестации:
по темам «Алгебра и исчисление высказываний»
Контрольная работа к 2-й текущей аттестации:
по темам «Логика и исчисление предикатов»
2-й семестр
Контрольная работа к 1-й текущей аттестации:
по темам «Рекурсивные функции»
Контрольная работа к 2-й текущей аттестации:
по темам «Машина Тьюринга»
Вопросы к экзамену
1. Высказывания. Логические операции над высказываниями.
2. Понятие булевой функции. Число булевых функций от п переменных. Булевы
функции от двух переменных. Связь между ними.
3. Основные равносильности алгебры высказываний. ДНФ, ее нахождение, СДНФ.
4. Понятие о полноте системы булевых функций. Примеры полных и неполных
систем.
5. Применение алгебры высказываний к переключательным схемам. Элементы «И»,
«ИЛИ», «НЕ». Понятие комбинаторной схемы.
6. Применение алгебры высказываний к анализу рассуждений.
7. Построение исчисления высказываний: алфавит, формула, аксиомы, правила
вывода исчисления высказываний. Понятие доказательства (вывода) формулы в ИВ.
Примеры выводимых формул.
Вывод формулы из гипотез в исчислении высказываний. Его свойства. Примеры.
Теорема дедукции в исчислении высказываний.
Правила введения и удаления конъюнкции в исчислении высказываний.
Правила введения и удаления дизъюнкции в исчислении высказываний.
Правила введения и удаления двойного отрицания в исчислении высказываний.
Законы прямой и обратной контрапозиции в исчислении высказываний.
Интерпретация исчисления высказываний. Непротиворечивость исчисления
высказываний.
15. Лемма о полноте исчисления высказываний.
16. Полнота исчисления высказываний. Теорема о полноте исчисления высказываний. Независимость системы аксиом.
17. Понятие предиката. Способы задания предикатов. Примеры предикатов.
Сигнатура. Определение формулы ЛП данной сигнатуры. Свободные и связанные
переменные.
18. Понятие модели данной сигнатуры и истинности формулы на модели. Примеры
записи математических предложений формулами ЛП.
19. Проблемы выполнимости, общезначимости и тождественной ложности формул
логики предикатов. Связь между этими проблемами. Теорема Черча (без доказательства).
20. Метод Генцена для решения проблемы выполнимости формул логики
предикатов.
21. Основные равносильности логики предикатов, их доказательство.
22. Предваренная нормальная форма, ее нахождение.
23. Построение исчисления предикатов: алфавит, формула, аксиомы. Правила
вывода, определение вывода формулы и вывода из гипотез в ПП. Теоремы ЛП.
Непротиворечивость ПП.
24. Интуитивное определение понятия «алгоритм». Свойства алгоритма.
25. Простейшие функции. Операция подстановки. Свойства операции подстановки. Операция примитивной рекурсии. Свойства операции примитивной
рекурсии. Примитивно-рекурсивное описание функции.
26. Примитивно-рекурсивная функция. Свойства примитивно-рекурсивных
функций. Примеры примитивно-рекурсивных функций. Относительная примитивная
рекурсивность. Свойства относительной примитивной рекурсивности.
27. 𝜇-операция (операция минимизации). Частично рекурсивное описание
функции. Частично рекурсивная функция. Примеры частично рекурсивных функций.
Общерекурсивная функция. Примеры общерекурсивных функций.
28. Машина Тьюринга. Операции над машинами Тьюринга (операция
композиции, операция ветвления, операция зацикливания). Гёделева нумерация машин
Тьюринга.
29. Функция, вычислимая по Тьюрингу. Доказательство существования
функций, невычислимых по Тьюрингу. Пример невычислимой по Тьюрингу функции.
30. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем (проблема распознавания самоприменимости, проблема применимости).
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Критерии оценки:
- оценка «отлично» выставляется студенту, если материал изложен грамотно, доступно
для предполагаемого адресата, логично и интересно.;
- оценка «хорошо» выставляется студенту, если допускаются отдельные ошибки,
логические и стилистические погрешности;
- оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если недостаточно полно изложен
материал, допущены различные речевые, стилистические и логические ошибки;
- оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, если допущены грубые
логические ошибки. Неясность и примитивность изложения делают текст трудным для
восприятия.
Составитель
___________________
(подпись)
Д.А. Абдуллаев
(И.О. Фамилия)
10. Распределение нагрузки дисциплины по видам работ
1 – й семестр
Наименование вида работ
1
2
3
4
5
6
7
Номер недели
8
9
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
12
13
14
15
16
17
1 Аудиторные занятия:
– Лекции, номер
– Лабораторные занятия, номер
3 Формы рубежной аттестации
I аттестация - тест
II аттестация - тест
4 Самостоятельная работа:
- конспект
– Реферат
– Эссе
5 Форма итогового контроля - зачет
10. Распределение нагрузки дисциплины по видам работ
2 – й семестр
Наименование вида работ
1
1 Аудиторные занятия:
– Лекции, номер
– Лабораторные занятия, номер
3 Формы рубежной аттестации
I аттестация - тест
II аттестация - тест
4 Самостоятельная работа:
- конспект
– Реферат
– Эссе
5 Форма итогового контроля - зачет
2
3
4
5
6
7
Номер недели
10
11
18
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1. Основная литература:
1. Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. - М.: Академия,
2004. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. М.: Академия, 2005.
2. Калинина О.Л. Основы дискретной математики. Часть 2. Элементы математической логики. Учебное пособие. Пермь: ПГПУ, 2008.
3. Лихтарников Л.М., Сукачева Т. Математическая логика: Курс лекций, задачник-практикум и решения: Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по матем.
спец. - СПб.: Лань, 2008.
11.2. Дополнительная литература
1. Андерсон Д.А. Дискретная математика и комбинаторика. - М.: Вильямс, 2004.
2. Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной математике. - Минск:
Высшая школа, 2005.
3. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. - М.: Наука, 2007.
4. Калужнин Что такое математическая логика. - М.: Наука, 2004.
5. Карпов В.Г., Мощенский В.А. Математическая логика и дискретная математика.
- Минск: Вышейшая школа, 2007.
6. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 2004.
7. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М.: 2008.
8. Столяр А.А. Логическое введение в математику. - Минск: 2001.
9. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теория алгоритмов. - М.: Новосибирск, 2004.
11.3. Интернет-ресурсы
1. http://www.Pas1.ru
2. http://www.vbBook.ru
3. http://www.intuit.ru/department/network/algoprotnet/
4. http://www.knigofund.ru
12. Материально-техническое обеспечение дисциплины
При изучении дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»
рекомендуется использовать:
- мультимедийный проектор,
- экран,
- компьютерную технику (операционные системы MS Windows XP, Windows 7, ,
программное обеспечение общего назначения, языки программирования).
№ изменения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
заменённый
Элемент РПД
новый
13. Лист регистрации изменений в РПД
Основание для
Подпись
аннулированный
внесения изменений
Расшифровка
подписи
Дата введения
изменений