2 Распределение ресурсов с вложением части прибыли

УДК 338
Н.С. Попович, Л.И. Луценко
Распределение ресурсов с вложением части прибыли
Постановка задачи: Планируется деятельность отраслей А и В на 4 года.
Начальные ресурсы S0 составляют 10000. Средства х, вложенные в отрасль А в
начале года, дают в конце года прибыль 0,6x и возвращаются в размере 0,7х;
аналогично для отрасли В функции равны 0,5х и 0,8х. В конце каждого года 5%
прибыли вкладывается в развитие производства, а остальные средства заново
перераспределяются между отраслями А и В. Требуется распределить средства
между двумя отраслями производства на 4года так, чтобы прибыль оказалась
максимальной.
Решение задачи:
Уравнение состояний: Sk  0,7 xk  0,8(Sk 1  xk )  0,8Sk 1  0,1xk
Если учесть часть прибыли (5%) имеем новое уравнение состояний:
Sk  0.8Sk 1  0.1xk  0.05(0.5Sk 1  0.1xk )  0.825Sk 1  0.095xk
Суммарный показатель эффективности – целевая функция – прибыль за 4года:
4
Z   0.5Sk -1  0.1xk .
На
последнем
шаге
функциональное
уравнение:
k 1
Z 4* (S3 )  max0.5S3  0.1x4 ,0  x4  S3 . Проводим условную оптимизацию.
IV шаг. Пусть Z4 = 0,5S3 + 0,1x4. Это линейная возрастающая функция,
следовательно, Z 4* (S3 )  0,1S3  0,5S3  0,6S3 ïðè x *4 (S3 )  S3
III шаг.
Z 3* (S 2 )  max 0,1x3  0,5S 2  0,6S3   max 0,995S 2  0,043x3 , 0  x3  S 2
Максимум достигается при x3 = S2, т.е. Z3* (S2 )  1,038S2 ïðè x*3 (S2 )  S2 .
II шаг. Из уравнения состояния
Z2* (S1 )  max 0,5S1  0,1x2  1,038S2   max 1,406S1  0,00139x2 , 0  x2  S1
Z 2* (S1 )  1,40739S1 ïðè x*2 (S1 )  S1
I шаг. S1  0,825S0  0,095x1 , следовательно,
Z1* (S0 )  max 0,5S0  0,1x1  1,40739S1  max 1,66S0  0,034x1, 0  x1  S0
Z1* (S0 )  1,694S0 ïðè x1* (S0 )  S0 .
Итак, Zmax = Z*1(10000) = 16940. x1* = 10000; y1* = 0 (все средства выделяются
отрасли А). S*1 = 7300, следовательно, x2* = 7300; y2* = 0 (все средства выделяются
отрасли А). S*2 = 6716, следовательно, x3* = 6716; y3* = 0 (все средства выделяются
отрасли А). S*3 = 6178,72; следовательно, x4* = 6178,72; y4* = 0 (все средства
выделяются отрасли А).
Вывод: оптимальная прибыль за 4-е года, полученная от двух отраслей
производства равна 16940 ед. при условии, что 5% прибыли всегда вкладывается в
расширение
производства
и
отрасль
А
получает
по
годам
(10000;7300;6716;6178,72), а отрасль В – (0;0;0;0).