Процентный риск государственных краткосрочных облигаций
advertisement
Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà Процентный риск государственных краткосрочных облигаций Ä̇ÚÓÎËÈ ÅÖãúáÖñäàâ ÉÂ̇θÌ˚È ‰ËÂÍÚÓ éÄé “ÅÂÎåÂÊäÓÏàÌ‚ÂÒÚ” ãËÎËfl ëíÄëÖÇàó Конечной целью денежно-кредитной политики Республики Беларусь в 2006 году является обеспечение с помощью монетарных инструментов снижения инфляции до уровня 7—9 процентов. Для достижения этой цели в условиях ориентации на поддержание стабильного обменного курса предполагается усиление роли процентной ставки в качестве инструмента денежно-кредитной политики. Данная задача будет решаться путем повышения роли ставки рефинансирования как основной процентной ставки Национального банка [1]. В связи с этим разработка методов оценки и прогнозирования реакции финансового рынка и его отдельных сегментов на изменение процентной ставки приобретает актуальное значение. Рынок государственных краткосрочных облигаций (ГКО) заслуживает пристального внимания, поскольку на нем отражаются основные параметры финансового рынка. èÓˆÂÌÚÌ˚È ËÒÍ ÔÓÚÙÂÎfl Ó·ÎË„‡ˆËÈ ÇÂ‰Û˘ËÈ ˝ÍÓÌÓÏËÒÚ ÛÔ‡‚ÎÂÌËfl ÔÓ ‡·ÓÚÂ Ò ÔÂÒÓ̇ÎÓÏ éÄé “Å·„ÓÔÓÏ·‡ÌÍ” Фундаментальным свойством облигаций является изменение цены в направлении, противоположном изменению требуемой доходности облигации. Это свойство объясняется тождеством цены облигации значению приведенной стоимости предполагаемых денежных потоков облигации. Рост или падение процентной ставки приводит к падению или росту приведенной стоимости денежных потоков облигации, что, в свою очередь, приводит к снижению или росту цены облигации. При возрастании уровня процентной ставки цена облигации снижается, и у держателя облига- ции возникает убыток. И наоборот, при снижении уровня процентной ставки цена облигации растет, и у владельца облигации возникает дополнительный прирост капитала. Именно этот возможный прирост или убыток делает инвестиции в облигации рискованными, даже если эмитент гарантирует инвесторам выплату купонных платежей и основной суммы долга по облигации. Портфель облигаций также нельзя рассматривать в качестве безрискового. Текущая стоимость облигаций, а также возможности по реинвестированию денежных платежей, поступающих инвестору при погашении облигаций и выплате купонных доходов, полностью определяются процентной ставкой. Поэтому изменения процентной ставки вызывают изменения стоимости портфеля облигаций и его доходности за период вложений инвестора, а сам инвестор несет процентный риск. Процентный риск портфеля облигаций представляет собой риск падения рыночной стоимости портфеля на конец периода вложений ниже ожидаемого уровня вследствие неблагоприятного изменения процентной ставки. Двумя основными формами проявления процентного риска являются ценовой риск и риск реинвестирования. Реализация ценового риска выражается в падении цен облигаций, входящих в состав портфеля, вследствие роста процентной ставки. Реализация риска реинвестирования выражается в падении доходов от операций по реинвестированию денежных поступлений от портфеля облигаций, обусловленных понижением процентной ставки. Ценовой риск вызван зависимостью текущей стоимости портфеля облигаций от 29 Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà текущих значений процентной ставки, а риск реинвестирования — зависимостью будущей стоимости портфеля облигаций от ставок реинвестирования денежных поступлений. àÁÏÂÂÌË ÔÓˆÂÌÚÌÓ„Ó ËÒ͇ Поскольку процентный риск портфеля ГКО определяется чувствительностью стоимости портфеля ГКО к изменению процентной ставки, то для измерения процентного риска разложим функцию изменения стоимости портфеля ГКО в ряд Тейлора [2], используя при этом в качестве аргумента функции процентную ставку: dP = dP 1 d 2P × dy + × (dy)2 +ε, (1) dy 2 dy2 где dP — изменение стоимости портфеля ГКО; dP/dy — первая производная стоимости портфеля ГКО по процентной ставке; dy — изменение процентной ставки; d2P/dy2 — вторая производная стоимости портфеля ГКО по процентной ставке; ε — ошибка разложения. Ошибка разложения ε обусловлена исключением из рассмотрения членов ряда Тейлора, которые имеют порядок больше двух. Значение этой ошибки будет оценено ниже при рассмотрении конкретного примера. В практических приложениях удобнее оперировать относительными величинами, что позволит, например, проводить сравнительный анализ процентного риска различных портфелей ГКО в единой шкале измерений. Для этого обе части уравнения (1) разделим на стоимость портфеля ГКО. В результате получим: dP dP 1 1 d 2P 1 = × × dy + × × P dy P 2 dy2 P ×(dy)2 + ε, P (2) где dP/Р — относительное изменение стоимости портфеля ГКО; Р — стоимость портфеля ГКО. Для первого и второго слагаемого в правой части выражений (1) и (2) введем обозначения: DR = dP/dy; CR = d2P/dy2, (3) 30 где DR — рублевая дюрация портфеля ГКО; CR — рублевая выпуклость портфеля ГКО. Dm = (1/P) × (dP/dy); C = (1/P) × (d2P/dy2), (4) где Dт — модифицированная дюрация портфеля ГКО; C — выпуклость портфеля ГКО. Смысл введенных величин станет понятным, если (3) и (4) подставить соответственно в (1) и (2): dP = DR × dy + 0,5× CR ×(dy)2, (5) dP/P = Dm × dy + 0,5× C × (dy)2. (6) Последние два выражения показывают, что введенные величины являются коэффициентами пропорциональности между изменением процентной ставки и абсолютным или относительным изменением стоимости портфеля ГКО. Поэтому рублевая и модифицированная дюрации, рублевая выпуклость и выпуклость являются естественными показателями процентного риска портфеля ГКО. ê۷΂‡fl ‰˛‡ˆËfl Рублевая дюрация — это показатель, характеризующий чувствительность стоимости портфеля облигаций к изменению процентной ставки. Понятие “рублевая дюрация” введено по аналогии с хорошо известным за рубежом понятием “долларовая дюрация”. Рублевая дюрация показывает, насколько в рублевом выражении изменится стоимость портфеля облигаций при изменении процентной ставки на один процент. Для того чтобы найти выражение для расчета рублевой дюрации, необходимо знать формулу для определения стоимости портфеля ГКО. Поскольку изначально известны предполагаемые объемы выплат от погашения ГКО, сроки до погашения и доходности к погашению ГКО, то стоимость портфеля ГКО может быть найдена путем дисконтирования предполагаемого денежного потока от погашения ГКО к текущему моменту времени: m PV = ∑Vj/(1 + y)t , j (7) j=1 где PV — приведенная стоимость объемов погашения выпусков ГКО; m — количество выпусков ГКО, включенных в портфель; Vj — номинальный объем погашения j-го выпуска ГКО; tj — срок до погашения j-го выпуска ГКО; y — доходность портфеля ГКО. В формуле (6) важным является то, как доходность портфеля ГКО соотносится с процентной ставкой. Поскольку процентный риск портфеля ГКО определяется чувствительностью его стоимости к изменениям процентной ставки, то именно изменения процентной ставки, а не ее абсолютные значения выходят на первый план. Поэтому можно допустить, что доходность портфеля ГКО связана с процентной ставкой таким образом, что по абсолютному значению эти величины могут и не совпадать, а их изменения совпадают. Так, изменение процентной ставки на 1 процент годовых приведет к такому же изменению доходности портфеля ГКО. Если же изменение доходности портфеля ГКО не будет соответствовать изменению процентной ставки, то такой портфель ГКО будет либо недооцененным, либо переоцененным. Это приведет, соответственно, к дополнительному спросу или предложению ГКО и вызовет движение цен ГКО в таком направлении, при котором изменение доходности портфеля ГКО будет все равно соответствовать изменению процентной ставки. Принимая приведенную стоимость объемов погашения выпусков ГКО в качестве стоимости портфеля ГКО и дифференцируя выражение (7) по процентной ставке, получим формулу для расчета рублевой дюрации портфеля ГКО: DR = m 1 ∑ PV × t 1 + y j=1 j j (8) где PVj = Vj/(1+y)t — приведенная стоимость погашения j-го выпуска ГКО. С помощью рублевой дюрации аппроксимированное (приближенное) изменение стоимости портфеля ГКО dPD может быть записано следующим образом: j dPD = -DR × dr. (9) Рассмотрим пример аппроксимации изменения стоимости первичного портфеля облигаций с помощью рублевой дюрации для бе- Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà лорусского рынка ГКО. Под первичным портфелем ГКО будем понимать совокупность всех выпусков ГКО, находящихся в обращении на текущую дату. При определении объемов обращающихся выпусков ГКО использовались данные, представленные на официальном сайте ОАО “Белорусская валютно-фондовая биржа” (www.bcse.by). При этом использовались как результаты размещений выпусков ГКО на первичном аукционе, так и результаты их доразмещений за период с момента их размещения и до текущей даты. На 01.07.2005 в обращении находилось 43 выпуска ГКО, для которых было проведено 135 доразмещений. Стоимость первичного портфеля ГКО рассчитывалась по формуле (7). В качестве процентной ставки использовалась средневзвешенная доходность к погашению первичного портфеля ГКО, которая на 01.07.2005 равнялась 15,4 процента. Этот уровень доходности принимался за базовый. Относительно базового уровня определялись новые значения процентной ставки с отклонением в большую и меньшую сторону на 5 процентов годовых с шагом, равным 1 проценту годовых. Для каждого нового уровня процентной ставки рассчи- тывалась стоимость первичного портфеля ГКО. Результаты расчета представлены во второй колонке таблицы 1. На основе этих данных определялись абсолютные и относительные изменения стоимости первичного портфеля ГКО относительно его стоимости для базового уровня процентной ставки. Результаты расчета приведены соответственно в третьей и четвертой колонках. Именно эти значения принимались за истинные, когда оценивалась ошибка аппроксимации отклонения стоимости первичного портфеля ГКО с помощью рублевой или модифицированной дюрации. Рублевая дюрация рассчитывалась по формуле (8), а в качестве исходных использовались те же данные, что при расчете приведенной стоимости первичного портфеля ГКО. При этом значение процентной ставки принималось равным значению базового уровня. Абсолютные изменения стоимости первичного портфеля ГКО рассчитывались с шагом, равным 1 проценту годовых, по формуле (9) и приведены в пятой колонке таблицы 1. Сопоставление значений абсолютного изменения стоимости первичного портфеля ГКО, приведенных в третьей и пятой колонках таблицы 1, позволяет оценить погрешность аппроксимации изменения стоимости первичного портфеля ГКО. Результат такого сравнения в виде относительной ошибки расчета приведен в последней колонке таблицы 1. Представленные в этой колонке данные позволяют сделать вывод, что для небольших (до трех процентов годовых) отклонений процентной ставки от базового уровня относительная ошибка аппроксимации изменения стоимости первичного портфеля ГКО с помощью рублевой дюрации составляет не более 2,2 процента. Такая ошибка является вполне приемлемой для практических расчетов. Появление ошибки аппроксимации при расчете по формуле (9) объясняется тем, что эта формула является линейной относительно процентной ставки, тогда как истинная зависимость между стоимостью портфеля ГКО и процентной ставкой является нелинейной. Поэтому с увеличением отклонения процентной ставки от базового уровня увеличивается ошибка между истинным значением изменения стоимости первичного портфеля ГКО и его линейной аппроксимацией по формуле (9). Рассмотренный пример показывает, что формулы (8) и (9) рабо- 퇷Îˈ‡ 1 Влияние изменения процентной ставки на стоимость первичного портфеля ГКО по состоянию на 01.07.2005 éÚÍÎÓÌÂÌË ÔÓˆÂÌÚÌÓÈ ÒÚ‡‚ÍË, % „Ó‰Ó‚˚ı -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ëÚÓËÏÓÒÚ¸ ÔÓÚÙÂÎfl, ÏΉ. Û·. 869,034 864,664 860,359 856,119 851,941 847,825 843,769 839,771 835,831 831,946 828,116 àÁÏÂÌÂÌË ÒÚÓËÏÓÒÚË ÔÓÚÙÂÎfl ‡·ÒÓβÚÌÓ ÏΉ. Û·. 21,210 16,839 12,534 8,294 4,116 0,000 -4,056 -8,054 -11,994 -15,879 -19,709 ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓÂ, % 2,502 1,986 1,478 0,978 0,485 0,000 -0,478 -0,950 -1,415 -1,873 -2,325 ÄÔÔÓÍÒËχˆËfl ËÁÏÂÌÂÌËfl ÒÚÓËÏÓÒÚË ÔÓÚÙÂÎfl ‡·ÒÓβÚ̇fl, ÓÚÌÓÒËÚÂθ̇fl, ÏΉ. Û·. % 20,430 16,344 12,258 8,172 4,086 0,000 -4,086 -8,172 -12,258 -16,344 -20,430 2,410 1,928 1,446 0,964 0,482 0,000 -0,482 -0,964 -1,446 -1,928 -2,410 31 éÚÌÓÒËÚÂθ̇fl ӯ˷͇, % 3,676 2,940 2,204 1,468 0,734 0,000 -0,733 -1,465 -2,196 -2,927 -3,657 Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà тоспособны, а рублевая дюрация для небольших изменений процентной ставки с достаточной для практических расчетов точностью может быть принята в качестве показателя, характеризующего свойство чувствительности стоимости первичного портфеля ГКО к изменению процентной ставки. Другими словами, рублевая дюрация может быть мерой процентного риска первичного портфеля ГКО. Рублевая дюрация является коэффициентом пропорциональности между изменениями процентной ставки и стоимости первичного портфеля ГКО. По состоянию на 01.07.2005 рублевая дюрация первичного портфеля ГКО равнялась 4,086 миллиарда рублей / проценты годовых. Это значит, что при изменении процентной ставки на 1 процент годовых стоимость первичного портфеля ГКО изменится на 4,086 миллиарда рублей. При увеличении изменения процентной ставки в два раза, то есть до 2 процентов годовых, изменение стоимости первичного портфеля ГКО увеличится также в два раза и будет равно 8,172 миллиарда рублей (таблица 1). Недостаток рублевой дюрации в том, что этот показатель характеризует абсолютное изменение стоимости портфеля ГКО, и использование этого показателя для анализа процентных рисков нескольких портфелей ГКО, имеющих разную стоимость, затруднено. Свободным от этого недостатка и более универсальным показателем процентного риска портфеля ГКО является модифицированная дюрация. åÓ‰ËÙˈËÓ‚‡Ì̇fl ‰˛‡ˆËfl Модифицированная дюрация — это показатель, который характеризует чувствительность относительного изменения стоимости портфеля облигаций к изменению процентной ставки. Подставляя в первое слагаемое выражения (2) вместо стоимости портфеля ГКО формулу (7), после дифференцирования полученного выражения по процентной ставке получим соотношение для расчета модифицированной дюрации портфеля ГКО: 32 Между рублевой и модифицированной дюрациями существует простое соотношение: m ∑ PVj × tj 1 j=1 Dm = . m (1 + y) ∑ PVj (10) j=1 Для понимания экономического смысла понятия “модифицированная дюрация” связь между изменением процентной ставки и относительным изменением стоимости портфеля ГКО представим в следующем виде: dP/P = -Dm × dy, (11) где dP/P — относительное изменение стоимости портфеля ГКО. Из последнего выражения следует, что относительное изменение стоимости портфеля ГКО прямо пропорционально изменению процентной ставки, а модифицированная дюрация портфеля ГКО — это коэффициент пропорциональности между этими величинами. Чем больше значение модифицированной дюрации, тем чувствительнее стоимость портфеля ГКО к изменению процентной ставки и тем более рискованным будет портфель ГКО. Следует подчеркнуть, что по сравнению с рублевой дюрацией показатель модифицированной дюрации портфеля ГКО является характеристикой не абсолютного, а относительного изменения стоимости портфеля ГКО. В формуле (11) следует обратить внимание на правильное использование размерностей всех входящих в нее величин. Так, если изменение процентной ставки измеряется в процентах годовых, модифицированная дюрация — в годах, то относительное изменение стоимости портфеля ГКО будет измеряться в процентах. Например, если по состоянию на 01.07.2005 для первичного портфеля ГКО модифицированная дюрация равнялась 0,482 года, то это значит, что при изменении процентной ставки на 1 процент годовых относительная стоимость первичного портфеля ГКО изменится на 0,482 процента (таблица 1). Другими словами, несмотря на то, что модифицированная дюрация измеряется в годах, ее значение показывает относительное изменение стоимости портфеля ГКО в процентах при изменении процентной ставки на 1 процент годовых. DR = P× Dm/100. (12) Используя последнюю формулу, можно легко перейти от модифицированной к рублевой дюрации: DR = 847,825 × 0,482/100 = = 4,086 млрд. рублей. Таким образом, относительное изменение стоимости портфеля ГКО равно произведению модифицированной дюрации этого портфеля на изменение процентной ставки. Поскольку относительное изменение стоимости портфеля ГКО пропорционально модифицированной дюрации этого портфеля, то модифицированная дюрация является естественной и более универсальной, чем рублевая дюрация, характеристикой стоимостной чувствительности портфеля ГКО к изменению процентной ставки. Для рассмотренного выше примера результаты аппроксимации относительного изменения стоимости первичного портфеля ГКО с помощью модифицированной дюрации приведены в шестой колонке таблицы 1, а истинные значения относительных изменений — в четвертой колонке этой таблицы. Сопоставление данных в этих двух колонках позволяет определить ошибку аппроксимации относительного изменения стоимости первичного портфеля ГКО с помощью модифицированной дюрации. Результаты расчета показали, что относительная ошибка аппроксимации с помощью модифицированной дюрации такая же, как и ошибка аппроксимации с помощью рублевой дюрации. Значения этих ошибок приведены в последней колонке таблицы 1. Графики относительного изменения стоимости первичного портфеля ГКО в зависимости от изменения процентной ставки, рассчитанные по истинной стоимости первичного портфеля ГКО (четвертая колонка таблицы 1) и по формуле (11) (шестая колонка таблицы 1), представлены на рисунке 1. Для небольших (до 3 процентов годовых) изменений процентной ставки различия между этими гра- Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà фиками настолько малы, что они практически совпадают друг с другом. Для изменений процентной ставки более 3 процентов годовых начинает сказываться кривизна графика истинных отклонений изменения стоимости портфеля ГКО, и эти различия просматриваются визуально. Таким образом, рублевая и модифицированная дюрации являются хорошими характеристиками процентного риска портфеля ГКО для небольших изменений процентной ставки. Однако точность аппроксимации изменения стоимости портфеля ГКО с помощью рублевой или модифицированной дюрации снижается, когда диапазон изменения процентной ставки становится достаточно широким (более 3 процентов годовых в большую или меньшую сторону). Для повышения точности такой аппроксимации в случае больших изменений процентной ставки необходимо в правых частях выражений (1) и (2) воспользоваться вторыми слагаемыми. Эти слагаемые получили специальные названия — рублевая выпуклость и выпуклость. Ç˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸ Когда процентная ставка растет, стоимость портфеля облигаций снижается, поскольку приведенная стоимость выплат по обли- гациям, входящим в портфель, определяется по формуле (7) путем дисконтирования по более высокой процентной ставке. При этом чем больше растет процентная ставка, тем меньше снижается стоимость портфеля облигаций. Это свойство стоимости портфеля облигаций называется выпуклостью из-за выпуклой формы кривой, отображающей зависимость стоимости портфеля облигаций от изменения процентной ставки. Выпуклая форма кривой отражает тот факт, что поступательное повышение процентной ставки приводит ко все менее значительному снижению стоимости портфеля облигаций. Такое постепенно уменьшающееся влияние роста процентной ставки является следствием того, что при более высокой процентной ставке портфель облигаций стоит меньше. Следовательно, дополнительное повышение процентной ставки воздействует на меньшую исходную базу, что приводит к меньшему снижению стоимости портфеля облигаций. Таким образом, при более высокой процентной ставке кривая зависимости стоимости портфеля облигаций от процентной ставки становится все более пологой. После двукратного дифференцирования формулы (7) получим выражение для расчета рублевой выпуклости портфеля ГКО: Относительное изменение стоимости первичного портфеля ГКО в зависимости от изменения процентной ставки по состоянию на 01.07.2005 éÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ËÁÏÂÌÂÌË ÒÚÓËÏÓÒÚË ÔÓÚÙÂÎfl, % 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 -0,5 -1,0 î‡ÍÚ˘ÂÒÍÓ ÄÔÔÓÍÒËÏËÓ‚‡ÌÌÓ -1,5 -2,0 -2,5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 àÁÏÂÌÂÌË ÔÓˆÂÌÚÌÓÈ ÒÚ‡‚ÍË, % „Ó‰Ó‚˚ı êËÒÛÌÓÍ 1 m 1 CR = 2 ∑ PVj × tj × (tj + 1), (13) (1 + y) j=1 а разделив последнее выражение на стоимость портфеля ГКО, получим соотношение для расчета выпуклости: m 1 C= (1 + y)2 ∑ PVj × tj × (tj +1) j=1 m ∑PVj . (14) j=1 С математической точки зрения модифицированная дюрация — это первая производная стоимости портфеля ГКО по процентной ставке, а выпуклость — вторая. Выпуклость отражает скорость изменения модифицированной дюрации при изменении процентной ставки. Если модифицированная дюрация — это угол наклона касательной к кривой, выражающий зависимость между изменениями стоимости портфеля ГКО и процентной ставки (рисунок 1), то выпуклость — это коэффициент, который характеризует кривизну этой кривой. Как было показано выше, модифицированная дюрация портфеля ГКО используется в качестве коэффициента для линейной оценки относительного изменения стоимости портфеля ГКО в зависимости от изменения процентной ставки. Выпуклость позволяет вычислить поправку к этому линейному приближению. С точностью до ошибки ε можно полагать, что поправка на выпуклость равна разности между истинным значением изменения стоимости портфеля ГКО и его линейным приближением. Поправка на выпуклость может быть в двух формах. Поправка на выпуклость в рублевой форме (см. второе слагаемое в формуле (4) позволяет уточнить линейную аппроксимацию абсолютного изменения стоимости портфеля ГКО с помощью рублевой дюрации. При этом используется рублевая выпуклость, которая рассчитывается по формуле (13). Поправка на выпуклость в процентной форме (см. второе слагаемое в формуле (6) позволяет уточнить линейную аппроксимацию относительного изменения стоимости портфеля ГКО с помощью модифицированной дюрации. При этом используется выпуклость, рассчитываемая по формуле (14). 33 Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà Для рассмотренного выше примера рассчитанная по формулам (13) и (14) выпуклость первичного портфеля ГКО имела, соответственно, следующие значения: 599,261 млрд. руб. × год2 и 0,707 год2. На основе этих значений определялись рублевая и процентная поправки (см., соответственно, третью и пятую колонки в таблице 2), а также рублевые и относительные изменения стоимости первичного портфеля ГКО (см., соответственно, четвертую и шестую колонки в таблице 2). В первой колонке таблицы 2 приведены значения отклонения процентной ставки от базового уровня. Во второй колонке этой таблицы представлена доходность портфеля ГКО, соответствующая отклонению процентной ставки от базового уровня. В последней колонке приведена относительная ошибка расчета аппроксимированного значения абсолютного и относительного изменения стоимости первичного портфеля ГКО по формулам (5) и (6) с учетом поправки на выпуклость. Сопоставляя последние столбцы в таблицах 1 и 2, можно видеть, что учет поправки на выпуклость позволил на два порядка повысить точность аппроксимации изменения стоимости первичного портфеля ГКО. Таким образом, одновременное использование величин дюрации и выпуклости дает хорошую аппроксимацию реальных изменений стоимости портфеля ГКО при значительных изменениях процентной ставки. С другой стороны, приведенная в последней колонке ошибка равна ошибке ε/Р в формуле (2). Эта ошибка характеризует погрешность, обусловленную отбрасыванием тех членов разложения функции стоимости портфеля ГКО в ряд Тейлора, которые имеют порядок больше двух. Использование только первых двух членов разложения Тейлора для аппроксимации изменения стоимости портфеля ГКО вполне обоснованно, поскольку в рассматриваемом примере ошибка аппроксимации не превышает 0,1 процента при изменении процентной ставки до 4 процентов годовых. Из представленных в таблице 2 данных следует выделить несколько существенных моментов, связанных с выпуклостью портфеля ГКО. Во-первых, все значения выпуклости портфеля ГКО являются положительными. Во-вторых, проявление эффекта выпуклости портфеля ГКО усиливается по мере возрастания изменений процентной ставки. В-третьих, эффект выпуклости портфеля ГКО несимметрично влияет на изменение его стоимости, то есть изменение поправки на выпуклость при падении процентной ставки на какую-то величину не равно по абсолютной величине изменению поправки на выпуклость при таком же абсолютном росте процентной ставки. Чем больше выпуклость портфеля ГКО, тем меньше его потери в случае роста процентной ставки и тем больше выигрыш в случае падения процентной ставки. Портфель ГКО с большой выпуклостью обладает чертами опциона: он позволяет ограничить размер потерь при неблагоприятном изменении рыночной конъюнктуры, сохраняя при этом возможность получения прибыли при благоприятном изменении процентной ставки. Следует также учитывать разницу между понятием “выпуклость”, относящимся к форме кривой, которая описывает зависимость между изменениями стоимости портфеля ГКО и процентной ставки, и понятием “поправка на выпуклость”, которое отражает реакцию стоимости портфеля ГКО на отклонение процентной ставки. Выпуклость рассчитывается по формулам (13) или (14), а поправ- 퇷Îˈ‡ 2 Влияние изменения процентной ставки на изменение стоимости первичного портфеля ГКО с учетом поправки на выпуклость по состоянию на 01.07.2005 éÚÍÎÓÌÂÌË ÔÓˆÂÌÚÌÓÈ ÒÚ‡‚ÍË, % „Ó‰Ó‚˚ı -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ÑÓıÓ‰ÌÓÒÚ¸ Í ÔÓ„‡¯ÂÌ˲, % „Ó‰Ó‚˚ı ê۷΂‡fl ‚˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸, ÏΉ. Û·. ‡ÔÔÓÍÒËχˆËfl ÔÓÔ‡‚͇ ËÁÏÂÌÂÌËfl ÒÚÓËÏÓÒÚË 10,4 11,4 12,4 13,4 14,4 15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,4 0,749 0,479 0,269 0,119 0,030 0,000 0,030 0,119 0,269 0,479 0,749 34 21,179 16,823 12,528 8,292 4,116 0,000 -4,056 -8,052 -11,988 -15,864 -19,681 Ç˚ÔÛÍÎÓÒÚ¸, % ‡ÔÔÓÍÒËχˆËfl ÔÓÔ‡‚͇ ËÁÏÂÌÂÌËfl ÒÚÓËÏÓÒÚË 0,088 0,057 0,032 0,014 0,004 0,000 0,004 0,014 0,032 0,057 0,088 2,498 1,984 1,478 0,978 0,485 0,000 -0,478 -0,950 -1,414 -1,871 -2,321 éÚÌÓÒËÚÂθ̇fl ӯ˷͇, % 0,145 0,093 0,052 0,023 0,006 0,000 0,006 0,023 0,052 0,092 0,144 Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà ÇÂÏÂÌ̇fl ÒÚÛÍÚÛ‡ ÔÓˆÂÌÚÌÓ„Ó ËÒ͇ Выражения (10) и (14) для расчета модифицированной дюрации и выпуклости показывают, что основными факторами, влияющими на чувствительность стоимости портфеля ГКО к изменению процентной ставки, являются средневзвешенный срок до погашения и доходность портфеля ГКО, а также объемы выпусков облигаций, входящих в состав портфеля ГКО. Среди этих факторов наиболее значимым является средневзвешенный срок до погашения. Для изучения взаимосвязи между процентным риском и средневзвешенным сроком до погашения белорусского рынка ГКО все обращающиеся на текущую дату выпуски ГКО разбивались на пять портфелей. В первый портфель включались выпуски ГКО со сроком до погашения менее одного месяца; во второй — от одного до трех; в третий — от трех до шести; в четвертый — от шести до девяти и в пятый — от девяти до двенадцати месяцев. Например, по состоянию на 31.12.2005 в обращении находился 31 выпуск ГКО, из них в зависимости от сроков до погашения в состав портфелей было включено соответственно 3, 6, 11, 9 и 2 выпуска ГКО. Средневзвешенный срок до погашения этих портфелей составлял соответственно 19, 70, 134, 241 и 287 дней. В качестве показателя процентного риска портфеля ГКО принималась модифицированная дюрация. Графическое представление взаимосвязи между модифицированной дюрацией и средневзвешенным сроком до погашения портфеля облигаций называется кривой процентного риска (рисунок 2). Эту взаимосвязь можно также назвать временной структурой процентного риска, поскольку она сопоставляет процентный риск со средневзвешенным сроком до погашения портфеля ГКО. Временная структура процентного риска играет ключевую роль в оценке стоимостной чувствительности рынка ГКО к изменению процентной ставки. Кривая процентного риска дает представление о временной зависимости процентного риска и изменяется ежедневно с изменением средневзвешенной доходности к погашению портфелей ГКО. С практической точки зрения основная функция кривой процентного риска рынка ГКО заключается в том, чтобы служить эталоном при оценке облигаций и установлении процентных рисков в других секторах рынка долговых инструментов. Временная структура процентного риска показывает различия в процентном риске портфелей ГКО, которые имеют разные средневзвешенные сроки до погашения, но сходны по остальным компонентам (рисунок 2). Портфель ГКО с меньшей продолжительностью средневзвешенного срока до погашения имеет более низкую модифицированную дюрацию, чем портфель ГКО с более продолжительным сроком до погашения. Форма кривой процентного риска представляет собой возрастающую линейную временную зависимость, при которой чем больше средневзвешенный срок до погашения, тем в большей степени портфель ГКО чувствителен к изменению процентной ставки. Краткосрочный портфель ГКО подвержен меньшему процентному риску. Наклон кривой процентного риска портфеля ГКО определяется средневзвешенным сроком до погашения и чувствительностью стоимости портфеля к изменению процентной ставки. ÑË̇ÏË͇ ÒÚÛÍÚÛ˚ ÔÓˆÂÌÚÌÓ„Ó ËÒ͇ Поскольку с течением времени объемы обращающихся выпусков ГКО постоянно изменяются, то для изучения влияния объема погашения выпуска ГКО на процентный риск портфеля ГКО целесообразно временную структуру процентного риска портфеля ГКО развернуть во времени (рисунок 3). На рисунке 3 верхний график отражает динамику изменения модифицированной дюрации первичного портфеля белорусского рынка ГКО в 2005 году. Остальные гра- Временная структура процентного риска первичного портфеля ГКО на различные даты åÓ‰ËÙˈËÓ‚‡Ì̇fl ‰˛‡ˆËfl, „Ó‰ ка на выпуклость равна второму слагаемому в правой части уравнений (5) или (6). Как это видно из формул (5) или (6), изменение стоимости портфеля ГКО, обусловленное выпуклостью, равно произведению трех величин: 1/2; выпуклости портфеля ГКО; квадрату изменения процентной ставки. Таким образом, анализ зависимости изменения стоимости портфеля ГКО от изменения процентной ставки позволил получить простые показатели, отражающие чувствительность стоимости портфеля ГКО к изменению процентной ставки, — модифицированную дюрацию и выпуклость. Используя эти показатели, можно проанализировать факторы, влияющие на процентный риск портфеля ГКО. 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 01.01.2005 01.04.2005 01.07.2005 01.10.2005 31.12.2005 0,3 0,2 0,1 0 До 1 1—3 3—6 6—9 9—12 ëÓÍ ‰Ó ÔÓ„‡¯ÂÌËfl, ÏÂÒflˆ˚ êËÒÛÌÓÍ 2 35 Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà фики показывают динамику изменения модифицированной дюрации портфелей ГКО с соответствующими сроками до погашения. Например, вторая сверху кривая показывает динамику изменения модифицированной дюрации портфеля, в состав которого включены выпуски ГКО со сроком обращения до девяти месяцев. Все графики имеют пилообразную форму. Локальные вертикальные подъемы на этих графиках связаны с ростом модифицированной дюрации портфеля ГКО, обусловленным размещением новых или доразмещением обращающихся выпусков ГКО, или переходом выпусков ГКО из одного портфеля ГКО в другой с меньшим сроком до погашения. Все это приводит к удлинению средневзвешенного срока до погашения портфеля ГКО, а соответственно — и к увеличению его модифицированной дюрации. Спады этих кривых являются плавными и более продол- жительными, чем подъемы. Это объясняется естественным, связанным с течением времени снижением сроков до погашения всех выпусков ГКО, входящих в состав соответствующих портфелей. Области, выделенные цветом, на рисунке 3 позволяют оценить вклад портфеля ГКО с соответствующим сроком до погашения в формирование процентного риска всего первичного портфеля ГКО. Так, на рисунке 3 видно, что в середине 2005 года основной вклад в величину модифицированной дюрации первичного портфеля ГКО вносил портфель выпусков ГКО со сроком до погашения от 9 до 12 месяцев. Это явилось результатом масштабных эмиссий ГКО в первом полугодии, когда в течение нескольких месяцев фактический объем обращающихся выпусков ГКО был увеличен в 1,75 раза. При этом срок до погашения размещаемых выпусков ГКО был, как правило, около года. Далее с течением времени срок до погашения этих ГКО сокращался, и в III квартале эта группа ГКО переместилась в портфель, имеющий средневзвешенный срок до погашения от шести до девяти месяцев, а к концу года — в портфель со сроком обращения от трех до шести месяцев. Рассмотренные структурные сдвиги объемов выпусков ГКО, а также пилообразная форма графиков модифицированной дюрации подтверждают факт влияния объема выпусков ГКО на процентный риск портфеля ГКО. В значительно меньшей степени на процентный риск первичного портфеля ГКО влияют выпуски ГКО со сроком обращения до трех месяцев (второй снизу график). Влияние выпусков ГКО со сроком обращения до одного месяца на процентный риск настолько мало (см. самую нижнюю кривую), что этим влиянием можно пренебречь. Это объясняется значительно меньшими значениями модифици- Динамика структуры процентного риска первичного портфеля ГКО в 2005 году по срокам до погашения 0,50 0,45 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 31.12 17.12 03.12 19.11 05.11 22.10 08.10 24.09 10.09 27.08 13.08 30.07 16.07 02.07 18.06 04.06 21.05 07.05 23.04 09.04 26.03 12.03 26.02 12.02 29.01 0,00 15.01 0,05 01.01 åÓ‰ËÙˈËÓ‚‡Ì̇fl ‰˛‡ˆËfl, „Ó‰ 0,40 чڇ до 1 месяца до 3 месяцев до 6 месяцев до 9 месяцев до 12 месяцев êËÒÛÌÓÍ 3 36 Банкаўскi веснiк, ЖНIВЕНЬ 2006 çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà рованной дюрации для краткосрочных портфелей ГКО. При включении выпуска ГКО в состав портфеля объем этого выпуска влияет на процентный риск портфеля ГКО следующим образом. Если срок до погашения выпуска ГКО больше средневзвешенного срока до погашения портфеля дифицированной дюрации первичного портфеля ГКО показывает, что за один и тот же период модифицированная дюрация снижается меньшими темпами, чем средний срок до погашения. Так, за полугодие средний срок до погашения сократился с 203 до 149 дней, то есть в 1,36 раза. За этот же пе- Результаты проведенного исследования показывают, что модифицированная и рублевая дюрации являются удовлетворительными показателями, характеризующими процентный риск белорусского рынка ГКО при небольших (до 3 процентов годовых) изменениях процентной ставки. Для измерения процентного риска рынка ГКО в более широком диапазоне изменения процентных ставок необходимо вносить поправку с помощью показателей выпуклости или рублевой выпуклости. ГКО, то модифицированная дюрация этого портфеля возрастает. И наоборот, если срок до погашения выпуска ГКО меньше средневзвешенного срока до погашения портфеля ГКО, то модифицированная дюрация этого портфеля снижается. Верхняя кривая на рисунке 3 показывает, что во втором полугодии 2005 года модифицированная дюрация первичного портфеля ГКО монотонно снижалась. Это объясняется в первую очередь снижением его средневзвешенного срока до погашения. Так, если на 01.07.2005 средневзвешенный срок до погашения первичного портфеля ГКО равнялся 203 дням, то на 01.10.2005 он был равен 167 дням, а к 31.12.2005 этот срок сократился до 149 дней. Для этих дат модифицированная дюрация имела, соответственно, следующие значения: 0,482; 0,400; 0,361 года. Анализ пропорций изменения среднего срока до погашения и мо- риод модифицированная дюрация уменьшилась с 0,482 до 0,361 года, то есть в 1,34 раза. Данная закономерность характерна также для других периодов. Причем близость этих отношений (в данном случае 1,36 против 1,34) говорит о том, что фактор среднего срока до погашения действительно является определяющим в формировании модифицированной дюрации, а соответственно, и чувствительности стоимости портфеля ГКО к изменению процентной ставки. А вот расхождение пропорций свидетельствует о том, что кроме среднего срока до погашения на модифицированную дюрацию портфеля ГКО влияют также другие факторы, а именно доходность портфеля ГКО. Во втором полугодии доходность первичного портфеля ГКО снизилась с 15,4 процента годовых в середине года до 13,1 процента годовых в конце года, что и замедлило темп снижения модифицированной дюрации. Полученный ре- зультат отражает следующее свойство: при прочих равных условиях чем меньше доходность портфеля ГКО, тем больше чувствительность стоимости этого портфеля к изменению процентной ставки. Таким образом, результаты проведенного исследования показывают, что модифицированная и рублевая дюрации являются удовлетворительными показателями, характеризующими процентный риск белорусского рынка ГКО при небольших (до 3 процентов годовых) изменениях процентной ставки. Для измерения процентного риска рынка ГКО в более широком диапазоне изменения процентных ставок необходимо вносить поправку с помощью показателей выпуклости или рублевой выпуклости. По состоянию на 31.12.2005 модифицированная дюрация первичного портфеля белорусского рынка ГКО равнялась 0,361 года. Это означает, что при изменении процентной ставки на 1 процент годовых относительная стоимость первичного портфеля ГКО изменится на 0,361 процента, или в денежном выражении — на 2,994 миллиарда рублей. При этом ошибка аппроксимации составляет 0,734 процента. Внесение поправки на выпуклость снижает ошибку аппроксимации изменения стоимости портфеля ГКО до 0,004 процента. Основными факторами, влияющими на процентный риск портфеля ГКО, являются средний срок до погашения и доходность портфеля ГКО, а также объемы выпусков облигаций, входящих в состав портфеля ГКО. Для характеристики процентного риска рынка государственных облигаций следовало бы в состав показателей ОАО “Белорусская валютно-фондовая биржа” [3] включить следующие показатели: рублевая дюрация, модифицированная дюрация, выпуклость, рублевая выпуклость. Источники: 1. Основные направления денежно-кредитной политики Республики Беларусь на 2006 год // Банкаўскi веснiк. 2006. № 2. С. 3—16. 2. Фабоцци Ф. Рынок облигаций: анализ и стратегии. М.: Альпина Бизнес Букс, 2005. — 876 с. 3. Положение о показателях биржевого вторичного рынка государственных ценных бумаг и краткосрочных облигаций Национального банка Республики Беларусь, утвержденное Протоколом Наблюдательного совета ОАО БВФБ от 28.04.2005 № 85 // Белорусский фондовый рынок. 2005. № 6. С. 8—14. 37
