Пифагорейский алгоритм для вычисления сторонних

Пифагорейский алгоритм
для вычисления сторонних и диагональных чисел
и понятие семенного логоса
А. И. Щетников
Описание алгоритма Теона
ПЛАТОН (427–347 до н. э.) в VIII книге Государства (546c) употребляет выражение
«рациональная диагональ пятёрки» (  ), не приводя к нему
никаких дополнительных пояснений. ТЕОН СМИРНСКИЙ (начало II века н. э.) в Изложении математических принципов, полезных при чтении Платона (4210–4417) даёт к этому выражению следующий комментарий:
Подобно тому как числа потенциально имеют отношения треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и соответствующие прочим фигурам, так мы могли бы найти сторонние и диагональные отношения (   ), обнаруживающиеся у чисел в соответствии с семенными отношениями ( ), ибо по
ним упорядочиваются фигуры. А так как над всеми фигурами согласно наивысшему и
семенному отношению начальствует единица, то и отношение диагонали к стороне отыскивается в единице. Возьмём две единицы; положим, что одна из них есть диагональ,
другая же — сторона, ибо единица, будучи началом всех вещей, потенциально должна
быть и стороной и диагональю. И пусть к стороне прибавляется диагональ, а к диагонали
две стороны, ибо сколько дважды даёт в квадрате сторона, столько один раз диагональ.
Теперь большее становится диагональю, а меньшее стороной. При первой стороне и диагонали квадрат единицы-диагонали на одну единицу меньше, чем дважды взятый квадрат
единицы-стороны; ведь единицы находятся в равенстве, и единое на одну единицу меньше, чем двойное. Прибавим к стороне диагональ, то есть к единице единицу; итак, сторона будет 2 единицы; к диагонали же прибавим две стороны, то есть к единице две единицы; диагональ будет 3 единицы. Квадрат стороны будет 4, а квадрат диагонали будет 9; и
9 на единицу больше, чем дважды взятое 4. Снова прибавляем к стороне 2 диагональ 3;
сторона будет 5; а к диагонали 3 две стороны, то есть два раза по 2; диагональ будет 7.
Квадрат стороны будет 25, а квадрат диагонали будет 49; и 49 на единицу меньше, чем
двукратно взятое 25. Снова к стороне прибавь диагональ 7; будет 12; к диагонали 7 прибавь дважды взятую сторону 5; будет 17. И квадрат 17 на единицу полнее, чем двукратно
взятый квадрат от 12. И от дальнейшего прибавления, происходящего таким образом, будет происходить подобная же смена: двукратно взятый квадрат стороны то на единицу
меньше, то на единицу больше, чем квадрат диагонали; при этом стороны и диагонали
рациональны.
Эту же схему для вычисления последовательности «сторонних и диагональных чисел» описывают ЯМВЛИХ (ок. 242–327 н. э.) во Введении в Никомахову Арифметику
(913–936) и ПРОКЛ (410–485 н. э.) во II книге Комментария к Государству Платона
(2416–2513, 271–294). Мы будем называть её для краткости «алгоритмом ТЕОНА», хотя
сам ТЕОН (трактат которого представляет собой компиляцию из нескольких источни-
2
ков), безусловно, не является её автором. ПРОКЛ в указанном сочинении (271–22) приписывает открытие этого алгоритма пифагорейцам:
Поскольку у рациональной стороны не может быть рациональной диагонали (ибо не
существует двух квадратных чисел, одно из которых в два раза больше другого, и ясно,
что эти величины несоизмеримы, и что ЭПИКУР ложно ввёл неделимую меру для всех
тел, и КСЕНОКРАТ — неделимую линию для линий), ПИФАГОРЕЙЦЫ и ПЛАТОН стали говорить о рациональной диагонали и рациональной стороне не прямо, но по производимым квадратам, где диагональ имеет двойное отношение [к стороне], то меньшее на единицу, то большее на единицу: большее как 9 к 4, меньшее как 49 к 25. ПИФАГОРЕЙЦЫ
предложили элегантную теорему о диагоналях и сторонах, согласно которой диагональ с
присоединением стороны, для которой она является диагональю, становится стороной, а
сторона, сложенная сама с собой, с присоединением диагонали становится диагональю. И
это доказано на чертеже во второй книге Начал. Если прямая линия рассечена пополам и
к ней по прямой приставлена какая-нибудь другая прямая, то квадрат на всей прямой с
приставленной и квадрат на приставленной вдвое больше квадрата на половине и квадрата, надстроенного на половине и приставленной как на одной прямой.
Обозначив диагональное и стороннее число n-го шага через dn и sn, представим алгоритм ТЕОНА на языке векторов и матриц:
⎡d n +1 ⎤ ⎡1 2⎤ ⎡d n ⎤
⎢ s ⎥ = ⎢1 1⎥ ⎢ s ⎥ .
⎣ n +1 ⎦ ⎣
⎦⎣ n⎦
(1)
Этот алгоритм порождает последовательность числовых пар
⎡1⎤ ⎡ 3⎤ ⎡7⎤ ⎡17⎤ ⎡ 41⎤ ⎡99⎤
⎢1⎥, ⎢2⎥, ⎢5⎥, ⎢12⎥, ⎢29⎥, ⎢70⎥, ...
⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2)
для которых, как указывает ТЕОН, выполняется соотношение
d n2 − 2 sn2 = ( −1) n .
(3)
Заметим, что в силу (3) последовательность отношений d n2 : sn2 сходится к 2; тем самым
последовательность отношений dn : sn сходится к 2 . Геометрически 2 является
отношением сторон двух квадратов, один из которых в два раза больше другого; или,
что то же самое, отношением диагонали и стороны одного и того же квадрата. Этим
объясняется, почему числа dn и sn носят названия «диагональных» и «сторонних».
Доказательство соотношения (3)
Прокл в приведённом выше отрывке ссылается на формулировку предложения II.10
Начал ЕВКЛИДА. Чертёж, на котором это предложение доказывается в Началах, изображён на рис. 1. Катеты прямоугольного треугольника EDB равны a и (a + 2b); катеты
прямоугольного треугольника EFB равны (a + b) 2 и b 2 . Выразив общую гипотенузу этих треугольников EB через катеты, получим доказываемое в II.10 тождество
a2 + (a + 2b)2 = 2(a + b)2 + 2b2,
3
G
F
b
a
D
b
A
b
C
B
a
E
Рис. 1
Упомянутая ПРОКЛОМ «элегантная теорема о диагоналях и сторонах» получается из
этого соотношения переносом отдельных его членов из одной части в другую:
(a + 2b)2 – 2(a + b)2 = 2b2 – a2.
(4)
Пусть длины отрезков a и b выражены диагональным и сторонним числами n-ого шага.
Тогда длины отрезков (a + 2b) и (a + b) будут выражаться диагональным и сторонним
числами (n+1)-ого шага. И поскольку разность удвоенного квадрата стороннего числа и
квадрата диагонального числа равна единице в первой числовой паре [1, 1], она будет
равна ±1 и во всех последующих числовых парах.
Рассмотренное доказательство даёт строгое обоснование соотношению (3). Но оно
ничего не говорит о том, как были найдены формулы (1). Поэтому возникает вопрос о
том, как античные математики могли прийти к самим этим формулам. Наиболее вероятным здесь представляется ход рассуждения, связанный с попытками найти общую
меру стороны и диагонали квадрата.
Связь между алгоритмами Теона и Евклида
Описанный ЕВКЛИДОМ алгоритм для поиска наибольшей общей меры двух величин
состоит в следующем. Возьмём две величины A > B и вычтем B из A; теперь мы будем
иметь две величины B и C = A – B. Если они равны друг другу, то тогда C будет наибольшей общей мерой A и B. В противном случае возьмём B и C и вычтем меньшую
величину из большей; мы будем иметь новую пару величин, и т. д. Если это последовательное взаимное вычитание () завершится на каком-нибудь шаге
равенством получившихся величин, последний остаток будет служить наибольшей
общей мерой начальной пары A, B. Но «если при последовательном взаимном отнятии
меньшей величины от большей остаток никогда не измеряет предыдущей величины,
эти величины являются несоизмеримыми» (ЕВКЛИД, Начала X, 2).
Первая реконструкция связи между алгоритмами ТЕОНА и ЕВКЛИДА (см. [2], [3],
[13], [19], [22]) основана на прямом геометрическом вычитании стороны квадрата из
его диагонали.
4
S'
D' S'
S'
D
S
Рис. 2
Вычитая из диагонали D сторону S, получим отрезок S' < S. Вычитая затем S' из S,
получим новую пару отрезков S' и D' (рис. 2). Нетрудно видеть, что отрезки S' и D'
являются стороной и диагональю некоторого квадрата. Их дальнейшее последовательное взаимное вычитание воспроизведёт исходную ситуацию, и поэтому оно никогда не
завершится. Тем самым следует заключить, что диагональ квадрата несоизмерима с его
стороной.
Пара больших отрезков [D, S] получается из пары меньших отрезков [D', S'] в соответствии с соотношением
⎡ D⎤ ⎡1 2⎤ ⎡ D′ ⎤
⎢ S ⎥ = ⎢1 1⎥ ⎢ S ′ ⎥ .
⎣ ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦
(5)
Мы видим, что (5) представляет собой ту же самую форму, что и (1). И если принять
сторону и диагональ некоторого квадрата приближённо равными 1, то формулы (5)
будут давать рациональные приближения (2) для «сторонних и диагональных чисел» в
последовательности неограниченно увеличивающихся квадратов.
Вторая реконструкция ([2], [18], [28]) антифайресиса сторон единичного и двойного квадратов (ниже мы будем называть эти квадраты «однофутовым» и «двухфутовым») отличается от первой тем, что она опирается на приёмы так называемой «геометрической алгебры» (см. [15], [18]),— а именно, на предложение II.6 Начал ЕВКЛИДА:
Если прямая линия рассечена пополам и к ней по прямой приложена какая-либо другая прямая, то прямоугольник, заключённый между всей прямой с приложенной и самой
приложенной, вместе с квадратом на половине равен квадрату на прямой, составленной
из половины и приложенной.
Однофутовый квадрат на стороне S совмещён «угол в угол» с двухфутовым квадратом
на стороне D (рис. 3); их разность, имеющая форму гномона ширины S', равна одному
квадратному футу. Превращая гномон в прямоугольник перекладыванием частей, получим соотношение
(D + S) × S' = D2 – S2 = S2,
которое преобразуется сначала в непрерывную геометрическую пропорцию
(D + S) : S = S : S',
а затем, вычитанием знаменателя из числителя, в пропорцию
D : S = (S – S') : S'.
5
Поскольку отношение исходных величин D : S равно отношению (S – S') : S', возникающему на очередном этапе последовательного взаимного вычитания, можно заключить, что этот процесс никогда не завершится, а поэтому отрезки D и S несоизмеримы.
D+S
S'
S
S
S'
D
Рис. 3
Третья реконструкция (новая). Предлагаемая ниже реконструкция связывает доказательство соотношения (3) с антифайретическим доказательством несоизмеримости
сторон двухфутового и однофутового квадратов так, что обе теоремы доказываются не
порознь (как это было делалось и в первой, и во второй реконструкции), но на одном и
том же чертеже. Подобно второй реконструкции, она опирается на методы «геометрической алгебры», — но не на предложение II.6, а непосредственно на упомянутое
ПРОКЛОМ предложение II.10.
D
S
a
b
b
Рис. 4
Прежде всего заметим, что рассмотренное выше ЕВКЛИДОВО доказательство предложения II.10 скорее всего является вторичным по отношению к несохранившемуся
исходному доказательству, основанному на разрезании квадрата на части (рис. 4) и
перегруппировке частей (см. [15], [18]). А именно,
a2 + (a + 2b)2
= a2 + (a2 + 4b2 + 4ab) = 2a2 + 4b2 + 4ab,
(II.8)
2b2 + 2(a + b)2 = 2b2 + 2(a2 + b2 + 2ab) = 2a2 + 4b2 + 4ab,
(II.4)
откуда следует требуемое тождество
a2 + (a + 2b)2 = 2b2 + 2(a + b)2.
6
Чтобы доказать на этом же чертеже несоизмеримость сторон двухфутового и однофутового квадратов, возьмём отрезки a и b такими, чтобы квадрат на стороне D = a + 2b
был двухфутовым, а квадрат на стороне S = a + b был однофутовым. В процессе последовательного взаимного вычитания сторон D и S будет D – S = b, S – b = a. Однофутовый квадрат на S равен однофутовому гномону, образованному разностью двухфутового квадрата на D и однофутового квадрата S. Тем самым
a2 + b2 + 2ab = 3b2 + 2ab,
откуда следует, что
a2 = 2b2.
Но b и a — это первый и второй остатки, возникшие при последовательном взаимном
вычитании сторон D и S. Воспроизвелось начальное отношение квадратов, поэтому
процедура антифайресиса не может быть завершена. Отсюда следует заключить, что
стороны D и S несоизмеримы между собой.
D
b
D
b
b
a
a
b
S
S
S
Рис. 5
Рис. 6
Вариации на тему третьей реконструкции. Первая вариация (рис. 5) связана с
формулировкой предложения II.9 Начал ЕВКЛИДА:
Если прямая линия рассечена на равные и неравные части, то квадраты на неравных
отрезках всей прямой вдвое больше квадрата на половине вместе с квадратом на отрезке
между сечениями.
Здесь двухфутовая прямая линия рассечена на равные однофутовые части S; и она же
рассечена на неравные части так, чтобы большая часть D была стороной двухфутового
квадрата. В процессе антифайресиса сторон D и S будет D – S = b, S – b = a. Квадрат на
D равен прямоугольнику со сторонами S и 2S. Вычитая из этих фигур их общую прямоугольную часть, закрашенную на рис. 5 серым, получим равенство незакрашенных
прямоугольников bD = aS, приводящее к соотношению
a2 + ab = 2b2 + ab,
откуда следует, что
a2 = 2b2.
7
Вторая вариация (рис. 6). Два однофутовых квадрата на S равны двухфутовому
квадрату на D; поэтому их перекрытие a2 равно двум непокрытым квадратам b2.
Формальные обобщения алгоритма Теона
Теоретическое обоснование своего алгоритма ТЕОН формулирует в следующих словах: «пусть к стороне прибавляется диагональ, а к диагонали две стороны, ибо сколько дважды даёт в квадрате сторона, столько один раз диагональ». Ссылка на это
обоснование была бы осмысленной только в том случае, если бы оно носило универсальный характер. Но тогда при вычислении рациональных приближений N аналогичное обоснование будет формулироваться так: «пусть к стороне прибавляется диагональ, а к диагонали N раз взятая сторона, ибо сколько N раз даёт в квадрате сторона, столько один раз диагональ».
Соответствующий алгоритм первым рассмотрел HEILERMANN [20]; различные его аспекты исследовались в работах [6], [9]–[11], [14], [18], [26], [27]. Ниже даётся обзор
формальных результатов, полученных в этих работах.
Первое обобщение. Исходя из непрерывной пропорции
N
N
=
,
1
N
перейдём к составной пропорции
N
N +N
=
.
1
1+ N
(6)
Положим N в правой части (6) равным старому рациональному приближению dk : sk,
а в левой части — новому рациональному приближению dk+1 : sk+1. Тем самым мы получим формулу, выражающую новые рациональные приближения через старые:
⎡d k +1 ⎤ ⎡1 N ⎤ ⎡d k ⎤
⎢ s ⎥ = ⎢1 1 ⎥ ⎢ s ⎥ .
⎣ k +1 ⎦ ⎣
⎦⎣ k⎦
(7)
Назовём формулу (7) с начальным условием [d1, s1] = [1, 1] первым обобщением алгоритма Теона (ТА1).
Преобразовав (6) к виду
N = 1+
N −1
1+ N
,
подстановкой этой формулы «в себя» получим обобщённую непрерывную дробь
N = 1+
N −1
= 1+
N −1
⎛ 2 ⎞
2+
⎜
⎟+
N −1
⎝ N − 1⎠
2+
2+
N −1
2+
2 +...
1
.
1
1
1
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟+
⎝ N − 1⎠ 2 +...
8
В случае N = 2 и N = 3 эта непрерывная дробь является простой (т. е. такой, все числители которой являются единицами), и последовательности отношений dk : sk совпадают
с последовательностями подходящих дробей для
не даёт такого совпадения.
2и
3 . Однако для N ≥ 4 TA1 уже
Геометрическая интерпретация ТА1, обобщающая рис. 4, представлена на рис. 7
(другие геометрические интерпретации ТА1 см. в работах [11], [14], [18]).
S
S
S
D' = D + NS
S
S
S' = D + S
D
Рис. 7
Аналогом предложения II.10 для этого чертежа служит соотношение
D' 2 + (N – 1)D2 = NS' 2 + (N – 1)NS2,
из которого перестановкой отдельных членов выводится аналог соотношения (4)
D' 2 – NS' 2 = (N – 1)[NS2 – D2].
Второе обобщение. Пусть n является наибольшим натуральным числом, квадрат которого не превосходит N. Исходя из составной пропорции
N n N +N
,
=
1
n+ N
(8)
⎡d k +1 ⎤ ⎡n N ⎤ ⎡d k ⎤
⎢ s ⎥ = ⎢1 n ⎥ ⎢ s ⎥ .
⎣ k +1 ⎦ ⎣
⎦⎣ k⎦
(9)
перейдём к рекурсивной формуле
Назовём формулу (9) с начальным условием [d1, s1] = [m, 1] вторым обобщением алгоритма Теона (ТА2).
Преобразовав (8) к виду
N = n+
N − n2
n+ N
,
подстановкой этой формулы «в себя» получим обобщённую непрерывную дробь
9
N = n+
N − n2
2
N −n
2n +
N − n2
2n +
N − n2
2n +
2n +...
= n+
1
⎛ 2n ⎞
⎜
⎟+
⎝ N − n2 ⎠
.
1
2n +
1
1
⎛ 2n ⎞
⎜
2⎟ +
⎝ N − n ⎠ 2n +...
Если 2n делится на N – n2, эта непрерывная дробь является простой, одночленной (для
случая N – n2 = 1) или двучленной; и последовательность отношений dk : sk совпадает с
последовательностью подходящих дробей для
дения уже не будет.
N . В противном случае такого совпа-
Дополнение. Комбинирование ТА2 с другими вспомогательными приёмами может
оказаться весьма эффективным средством для приближённого вычисления квадратных
корней. К примеру, рассмотрим вычисление рациональных приближений для 13 .
Подберём такое число k, чтобы N = 13k2 удовлетворяло условию делимости, описанному в предыдущем абзаце. А именно, при k = 5 будет 13 · 52 = 182 + 1, и поэтому
13 =
1
1 ⎞
1⎛
1
182 + 1 = ⎜ 18 +
⎟.
36 + 36+...⎠
5⎝
5
Первые подходящие дроби для этого разложения равны
18 649 23382
,
,
, ... ;
5
180
6485
третья из них даёт для
13 девять верных десятичных цифр.
Вычислим таким же образом рациональные приближения для
ношения 3 · 32 = 52 + 2:
3=
3 , исходя из соот-
1 1 1 1 ⎞
1⎛
1 2
5 + 2 = ⎜5 +
⎟.
3 ⎝ 5 + 10 + 5 + 10+...⎠
3
Первые подходящие дроби для этого разложения равны
5 26 265 1351
,
,
,
, ... .
3 15 153
780
Третья и четвёртая подходящие дроби в этой последовательности — это знаменитые
приближения, использованные АРХИМЕДОМ в Измерении круга. Вторая подходящая
дробь тоже связывается с именем АРХИМЕДА; в сохранившемся отрывке из сочинения
ДИОФАНТА Об измерении поверхностей (изд. Таннери, II, 2216) сказано:
Архимед показал, что 30 равносторонних треугольников равны 13 квадратам.
10
«Метафизическая» реконструкция алгоритма Теона
Хотя лежащую в основании алгоритма ТЕОНА и его обобщений геометрическую схему можно считать реконструированной с достаточной степенью достоверности, некоторые особенности текста ТЕОНА всё ещё остались необъяснёнными:
• Почему ТЕОН говорит, что «единица, будучи началом всего, потенциально должна
быть и стороной и диагональю», словно равенство между стороной и диагональю в
начальной паре является не приближённым, но точным?
• Что представляет собой то «семенное отношение ( )», в согласии
с которым «над всеми фигурами начальствует единица»?
Эти особенности зачастую игнорировались историками античной математики как
«метафизические». Вот что пишет, к примеру, М. Я. ВЫГОДСКИЙ: «отбросив мистическую шелуху и метафизические обоснования, оставив в стороне таинственные семенные отношения и начальственную роль единицы, мы получим довольно точно описанный и пояснённый примерами рекуррентный процесс» [3, с. 318].
Однако мы сочли нужным обратить на указанные особенности текста ТЕОНА пристальное внимание. В поисках ответа на поставленные вопросы было рассмотрено
следующее построение, впервые предложенное в работе [17]. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписываются три одинаковых треугольника такой же формы
(рис. 8), а затем будем это построение постоянно воспроизводится шаг за шагом для
всех треугольников, построенных на предыдущем шаге.
Рис. 8
Согласно нашей гипотезе (см. [14]), открывшие эту цепочку построений пифагорейцы мыслили её завершающейся в бесконечности разбиением исходного треугольника
на бесконечно малые неделимые первотреугольники. Эта формулировка может показаться весьма неожиданной: как может закончиться бесконечная последовательность
действий? Однако если мы будем настаивать на том, что бесконечные процессы не
могут иметь завершения, то в таком случае мы вынуждены будем признать, что
АХИЛЛЕС из знаменитой апории ЗЕНОНА никогда не догонит черепаху. А поскольку
Ахиллес всё-таки догоняет её, то это означает, что и другие потенциально бесконечные
процессы могут быть рассмотрены с точки зрения их актуальной завершённости.
Бесконечно малый неделимый первотреугольник нельзя представить себе зрительно, — но можно только помыслить. Стороны этих первотреугольников являются неде-
11
лимыми линиями, не имеющими частей. 1 Они не могут быть подведены под отношение
«больше-меньше», — поэтому все они оказываются «потенциально равными». По
выражению С. Я. ЛУРЬЕ, «здесь мы имеем дело с третьим родом величин, между протяжёнными и не имеющими протяжения, которые, будучи арифметически равными, в
то же время сохраняют между собой определённые геометрические отношения» [8, с.
94].
Рассмотрим обратный процесс, в котором первотреугольники складываются в агломерации большей величины. Три первотреугольника складываются в агломерацию
первого порядка; три агломерации первого порядка — в агломерацию второго порядка,
и т. д. (рис. 9). Длины катетов-сторон и гипотенуз-диагоналей в возникающих агломерациях вычисляются по формулам ТЕОНА (1). Чтобы составить конечный треугольник
из бесконечно малых элементов, нужно совершить бесконечное число шагов «вверх». В
результате «иррациональное отношение» стороны и диагонали оказывается представленным парой актуально бесконечных чисел.
Рис. 9
Стоическая концепция «семенного логоса» и алгоритм Теона
Теперь поразмышляем о том, как следует понимать не очень понятные слова ТЕОНА
о семенном отношении-логосе ( ), согласно которому «над всеми
фигурами начальствует единица».
Само слово «» является чрезвычайно многозначным.  — это человеческий и божественный разум, проявляющийся в способности приводить доводы, указывать основания и отчитываться в содеянном;  — это разумная речь и составляющие её слова, это рассуждение, понятие, описание, предписание, приказание, отчёт; а в
математике словом «» называют отношение чисел и величин.
Понятие «семенного логоса» ( ) было введено в оборот античной
философской мысли ранними стоиками, и прежде всего — ХРИСИППОМ (280–209 г. до
н. э.). Философы стоической школы называли семенным логосом воплощённое в живых
существах разумное активное начало, благодаря которому эти существа могут воспро1
АРИСТОТЕЛЬ замечает в Метафизике (992a20): «ПЛАТОН... началом линии часто называл неделимые
линии ( )». Я полагаю, что это свидетельство ученика ПЛАТОНА более близко к исторической правде, нежели приведённый выше фрагмент комментария ПРОКЛА, в котором ЭПИКУР и
КСЕНОКРАТ (о которых говорится, что они «ложно ввели неделимые тела и линии») противопоставляются ПИФАГОРЕЙЦАМ и ПЛАТОНУ (в отношении которых подразумевается, что они таких «ошибок» не
делали).
12
изводить себя в подобном себе потомстве. Эту способность можно мыслить как своего
рода «генетическую программу», по которой всякое живое существо разворачивается
из семени и вновь отделяет от себя такие же семена.
(SVF II 744) Как говорят стоики, «семя» () называется так от «скручивания»
() большого объема в малый, а «природа» () получила свое название от
«выдыхания» () или «растечения» () тех логосов, или чисел, которые
она отпускает и освобождает.
(SVF II 499) После того, как семя высажено в землю, оно разворачивает собственные
логосы, привлекая необходимую материю и преобразуя те логосы, которые оно содержит
в себе.
(SVF II 451) Стоики говорят, что в телах происходят тонические движения, одновременно идущие внутрь и наружу, так что движение наружу создаёт величину и свойства, а
движение внутрь — единство и сущности. (SVF II 453) Логос движется не путём перемещения, то есть не так, что он одно место занимает, а другое оставляет, — но посредством
тонического движения.
(SVF II 413) Об элементе () можно сказать, что он представляет собой нечто
самодвижущееся, начало (), семенной логос и вечную потенцию, имеющую такую
природу, что она движется вниз к повороту, а от поворота вверх по всему кругу, уничтожая всё в самое себя и из себя самой вновь восстанавливая всё упорядоченно и надлежащим образом.
(ДИОГЕН ЛАЭРЦИЙ, VII, 13410) Начала бестелесны и бесформенны, элементы имеют
форму. (1371) Элемент есть то, из чего первоначально возникает всё возникающее и во
что оно в конце концов разрешается. (1487) Природа — это структура (), выходящая
из себя самой в согласии с семенными логосами, выполняющая и воспроизводящая их в
назначенные сроки. (1587) Семенем они называют то, что порождает подобное из подобного.
Сопоставим нашу реконструкцию алгоритма ТЕОНА с деталями приведённых выше
фрагментов. Бесконечно малые первотреугольники обнаруживают несомненное сходство с элементами и семенами, ибо в «движении наружу» из них возникают подобные
им треугольники, а в «движении внутрь» эти же подобные треугольники в них в конце
концов разрешаются (ср. нашу работу [16], где обсуждается аналогичная реконструкция для стоического учения о полном смешении жидкостей). Замечание ТЕОНА об «упорядочивании фигур по семенному логосу» приобретает в этой схеме ясный физический
и математический смысл. В физическом плане понятие «семенного логоса» соотносится
с генетическим кодом, согласно которому три треугольных агломерации предыдущего
шага упорядоченно складываются в одну треугольную агломерацию следующего шага.
В математическом плане это же понятие характеризует связь между «выразимым»
отношением n-ого стороннего числа к диагональному и «невыразимым» отношением
стороны квадрата к диагонали, задаваемую алгоритмом ТЕОНА.
13
Библиография
1. БАШМАКОВА И. Г. Лекции по истории математики в древней Греции. Историко-математические исследования, 11, 1958, с. 225–438.
2. ВАН ДЕР ВАРДЕН Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона
и Греции. М., Физматгиз, 1959.
3. ВЫГОДСКИЙ M. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М., Наука, 1967.
4. ДИОГЕН ЛАЭРТСКИЙ. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. Пер. М. Л.
Гаспарова. М., Мысль, 1986.
5. ЕВКЛИД. Начала. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М., ГТТИ, 1949–50.
6. ЗВЕРКИНА Г. А. Метод простой итерации: от Вавилона до Ньютона. Историко-математические исследования, 3(38), 1999, с. 270–315.
7. ЛУРЬЕ С. Я. Теория бесконечно-малых у древних атомистов. М.–Л., Изд. АН СССР, 1935.
8. ЛУРЬЕ С. Я. Предшественники Ньютона в философии бесконечно-малых. Исаак Ньютон,
1643-1727. М., 1943, с. 75–98.
9. ПАЕВ М. Е. О приближённом вычислении квадратных корней в древней Греции. Историко-математические исследования, 16, 1965, с. 219–234.
10. ПАЕВ М. Е. О двух античных историко-математических проблемах. Историко-математические исследования, 28, 1985, с. 126–153.
11. ПАЕВ М. Е. Решение двух античных проблем. Киев, Наук. думка, 1987.
12. Фрагменты ранних стоиков. Пер. и комм. А. А. Столярова. М., Греко-латинский кабинет, 1998 (т. 1), 1999 (т. 2.1), 2002 (т. 2.2).
13. ЦЕЙТЕН Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.–Л., ОНТИ, 1938.
14. ЩЕТНИКОВ А. И. Атомы Платона, алгоритм Теона и понятие «семенного логоса». Математическое образование, №1(8), 1999, с. 84–94.
15. ЩЕТНИКОВ А. И. Вторая книга «Начал» Евклида: её математическое содержание и структура. Вторая книга «Начал» Евклида: текст и интерпретации. Новосибирск, АНТ, 2000, с. 19–40.
16. ЩЕТНИКОВ А. И. Проблема смешения в античном континуализме: к реконструкции учения Хрисиппа о слиянии. Историко-философский ежегодник 2002, М., Мысль, 2003, с. 102–
111.
17. BERGH P. Seiten und Diametralzahlen bei den Griechen. Zeitschrift für Mathematik und Physik,
31, Historish-literarishe Abtheilung, 1886, s. 135.
18. FOWLER D. H. Book II of Euclid’s Elements and a pre-Eudoxan theory of ratio. Archive for
History of Exact Sciences. 22, 1980, p. 5–36, 26, 1982, p. 193–209.
19. HEATH T. L. A history of Greek mathematics. Vol. I: Thales to Euclid. Oxford, Clarendon
Press, 1921. (Reprinted: NY, Dover, 1981)
20. HEILERMANN. Bemerkungen zu den Archimedischen Näherungswerthen der irrationalen Quadratwurzeln. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 26, Historish-literarishe Abtheilung, 1881, s. 121–126.
21. IAMBLICHUS. In Nicomachi arithmeticam introductionem. Ed. U. Klein post H. Pistelli. Leipzig, Teubner, 1894. (Reprinted: Stuttgart, 1975).
22. KNORR W. R. The evolution of the Euclidean Elements. Reidel, Dodrecht, 1975.
23. KNORR W. R. «Rational diameters» and the discovery of incommensurability. American Mathematical Monthly, 105, 1998, p. 421–429.
24. PROCLUS DIADOCHUS. In Platonis Rem Publicam commentarii. 2 vols. Ed. W. Kroll. Leipzig,
Teubner, 1899–1901. (Reprinted: Amsterdam, Hakkert, 1965)
14
25. THEON SMYRNAE. Expositio rerum mathematicum ad legendum Platonem utilium. Ed. E. Hiller. Leipzig, Teubner, 1878.
26. VEDOVA G. C. Notes on Theon of Smyrna. American Mathematical Monthly, 58, 1951, p. 675–
683.
27. WANGH F. V., MAXFIELD M. V. Side-and-diagonal numbers. Mathematics Magazine, 40,
1967, p. 74–83.
28. ZEUTHEN H. G. Sur la constitution des livres arithmétiques des Eléments d’Euclide et leur rapport а la question d’irrationalité. Oversigt over det k. Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger,
1910, p. 395–435.