1. Производственные функции и область их

§ 1. Производственные функции и область их применения
Производственная функция определяет связь между затратами факторов
производства
и
выпуском
Производственная
функция
производственные
процессы.
технологические
процессы
продукции
в
описывает
Все
со
производственной
наиболее
остальные
свободным
системе.
эффективные
менее
эффективные
расходованием
факторов
производства автоматически исключаются из рассмотрения.
Производственные функции могут быть определены для производственных
систем различных масштабов – от производственного участка до мировой
экономики. Каждая производственная система характеризуется собственной
производственной функцией.
Аппарат
производственных
микроэкономическом
и
функций
макроэкономическом
широко
анализе
используется
при
в
моделировании
производственных процессов. С помощью производственных функций можно
оценить эффективность функционирования системы и использования отдельных
производственных факторов, определить возможности и последствия замещения
одних факторов производства другими, найти влияние масштаба производства на
его эффективность, изучить воздействие управленческих и технологических
инноваций на производственные процессы.
Сложность
производственных
систем
приводит
к
тому,
что
производственную функции удается определить теоретически только в простейших
случаях. Нахождение производственной функции для реальной производственной
системы представляет задачу, которая решается статистическими методами
обработки эмпирических данных.
F(x, y, a) = 0  этим уравнением определяется в общем случае выпуск
продукции. Здесь x = {x1,x2, ..., xn}  вектор факторов ресурсов, затрат факторов
ресурсов, y = {y1, y2, ..., yn} – вектор выпуска m видов продукции, a = {a1, a2,
..., ar}  набор параметров. Такая запись определяет неявно заданные функции.
Будем рассматривать производственные функции выпуска одного вида
48
продукции, то есть явно заданную функцию y = f(x1, x2, ..., xn)  статическая
производственная функция.
1.1. Аксиомы (свойства). Числовые характеристики: предельные и средние
продукты, эластичность выпуска по факторам
Область определения производственной функции  множество наборов из
 n :col  x1 ,, xn  : x1  0, ..., xn  0 (или часть этого множества).
1.1.1. Аксиомы (свойства)
Аксиома 1. При отсутствии хотя бы одного ресурса производство
невозможно, т. е. выпуск отсутствует.
Зависимость выпуска продукции y от факторов производства x = col{x1, …
,xn} выражает формула y=f(x). В случае, если xi = 0 хотя бы для одного i = 1, 2,
... , n, то согласно сформулированной аксиоме получаем выпуск y = 0.
Соответствие этому требованию означает, что математический вид
формулы у = f(x) не может иметь свободного члена (не зависящего от x1, x2, …,
xi, … ,xn). Наличие свободного члена означало бы, что выпуск возможен при
нулевых значениях всех факторов.
Аксиома 2. Увеличение количества любого ресурса не может приводить к
снижению объема выпуска продукции. Иначе говоря, выпуск продукции при
дополнительном использовании малой единицы i-го ресурса производства не
может быть меньше нуля.
Неравенство
x A  xB
влечет
f ( x A )  f ( xB ) ,
где
x A  xB
означает
x1A  x1B ,..., xnA  xnB . Это условие неубывания функции f по всем аргументам. Его
можно проверить с помощью производных. Пусть существуют
y x1 
y
y
 y1 , …, yxn 
 yn .
xn
x1
49
Показатели
yi
 предельные продукты предприятия или предельные
эффективности факторов. Приближенно можно считать при xi =1, что yi  yi.
Другая запись аксиомы 1: y1  0, ..., yn  0.
Рассмотрим случай отклонения от этой аксиомы. Пусть yi = 0 для
некоторых i выполнено y1 > 0, ..., yn > 0 (экономическая область), поэтому таким
образом, аксиома 1 будет выполнена в экономической области.
Часто x10  x1, ..., xn0  xn  ограничение на количества ресурсов
x2
выпуска
нет
ограничение на максимум выпуска
выпуска нет
x1
0
Аксиома 3. Увеличение масштаба производства происходит с некоторой
степенью однородности.
Математически степень однородности определяется следующим образом.
Если
зависимость
выпуска
продукции
от
факторов
производства
формализовать в виде y = f(x), x = col{x1, … ,xn}, i = 1, ... ,n, то рост масштаба
производства означает пропорциональное увеличение значения всех факторов в
λ (λ > 1) раз, факторы становятся равными λx. При этом выпуск продукции
увеличится до yλ. Формулу выпуска продукции после увеличения масштаба
производства можно записать в следующем виде:
yλ = f(λ x) = λ m f (x),
где m – показатель степени однородности.
50
Следовательно,
степень
однородности
производственной
функции
отражает эффект от изменения масштаба производства. Одинаковое
увеличение масштаба разных производств может давать не одинаковый
прирост выпуска продукции. Иначе говоря, рост масштаба производства может
происходить с различной эффективностью. Отдача ресурсов при увеличении
масштаба производства у одних предприятий может увеличиваться, у других –
сокращаться, у третьих – оставаться без изменения.
Если показатель степени однородности m >1, то увеличение масштаба
производства обеспечивает рост эффективности ресурсов. Если 0 < m < 1, то
увеличение масштаба производства продукции уменьшает эффективность
ресурсов. В случае m = 1 эффективность ресурсов не меняется, т. е. при
увеличении
масштаба
производства
происходит
без
изменения
производительности ресурсов. Итак, если m = 1, то при увеличении значений
факторов в λ раз выпуск продукции достигнет
yλ = f(λ x) = λ f(x) = λ y.
Значит, эффективность применения ресурсов не изменится.
Чем
существеннее
увеличение
производительности
дополнительно
вводимых ресурсов, тем выше значение показателя степени однородности. Если
m >1, то при увеличении значения всех факторов в λ раз объем производства
возрастет больше чем в λ раз.
Аксиома 4. График поверхности производственной функции является
выпуклым вверх.
При росте выпуска продукции может происходить не только увеличение
количества используемых ресурсов, но и изменение их структуры, т. е. один
вид ресурса может частично замещаться другими видами. Например, при
замене станков более производительными стоимость оборудования может
увеличиться в большей мере, чем численность рабочих. Иными словами, при
совокупном приросте использования ресурсов живой труд можно наращивать
меньше, чем капитал.
51
По любым трем точкам xA, xB и xC в многомерном пространстве факторов
производства выпуклость вверх определяется неравенством
f(xC) ≥ α f(xA) + β f(xB),
где xC = α xA + β xB при любых 0 ≤ α, β ≤ 1, α + β = 1; xA ≥ 0, xB ≥ 0 и xA ≠ xB.
Неравенство xA ≥ xB означает xiA  xiB для всех i = 1, … ,n.
Определение строгой выпуклости вверх отличается только тем, что в f(xC)
≥ α f(xA) + β f(xB) знак неравенства требуется заменить на знак «строго больше»
при 0 < α, β < 1, α + β = 1.
Применительно к двухфакторной функции y = f (x1, x2) выпуклость вверх
показана на рис. 1. Поверхность, отражающая функцию, пересекается
вертикальной плоскостью по линии, проходящей через точки A, B и C. Точки
x A  ( x1A , x2A ) и x B  ( x1B , x2B ) и x C  ( x1C , x2C ) определяют количество ресурсов x1
и x2 для выпуска продукции в объеме, равном длине отрезка | A, x A | или | B, x B | ,
или | C , x C | . Длина отрезка | C , x C | равна правой части неравенства f(xC) ≥ α f(xA)
+ β f(xB). Очевидно, что это соотношение выполняется в варианте «строго
больше».
Для иллюстрации замещения ресурсов при изменении выпуска продукции
на рис. 2 показаны линии пересечения поверхности горизонтальными
плоскостями на уровне объема выпуска yА и yB. Любая точка кривой 1
соответствует набору ресурсов для выпуска продукции yА, а кривой 2 – набору
для выпуска yB. Применение ресурсов в количестве x A  ( x1A , x2A ) обеспечивает
выпуск yА, увеличение ресурса x2 с x2A до x2B и уменьшение ресурса x1 с x1A до
x1B дает прирост выпуска продукции с yА до yB. На рис. 2 этот переход
обозначен жирной стрелкой.
52
y
C
x1B
0
x2A
x1C
B
x2C
x2B
d
x1
A
x1A
xA
x1
1
2
yB
A
x1
xC
A
B
xB
x1B
A
y
0
x2
x2
A
x2B
x2
Рис. 2
Рис. 1
y
поверхность, выпуклая вверх
линии уровня (изокванта)
x2
x1
0
Пусть функция y(x) имеет второй дифференциал (например, существуют
вторые частные производные и они непрерывны). Из этих производных
составляется матрица Гессе (L.O.Hesse):
 2 f

2
 x1
H  
 2
  f
 x x
 n 1
2 f
x1x2

2 f
xn x2
2 f 


x1xn 
   симметричная матрица.

2 f 

xn2 
Выпуклость вверх означает, что отрицательная полуопределенность
53
матрицы Н на рассматриваемом множестве, что эквивалентно (Hx, x)  0, для
любого
x

0.
Удобнее
проверять
условие
строгой
отрицательной
определенности: (Hx, x)  0, причем (Hx, x) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0
Соотношения:
строго отрицательная
отрицательная

определенность
полуопределенность
⇕
⇕
строго выпуклая
выпуклая вверх
вверх поверхность
поверхность
на поверхности
допускаются
прямолинейные участки
Для выпуклости вверх поверхности ПФ в области определения необходимо
и достаточно, чтобы главные нечетные миноры, начиная с первого порядка,
матрицы H были не больше нуля, а главные четные миноры, начиная со второго
порядка, были не меньше нуля: i1  0 , i2, j  0 при 1  i  j  n , i3, j ,k  0 при
1  i  j  k  n и т.д., где i1 , i2, j , i3, j ,k … – всевозможные главные миноры
первого, второго, третьего и т.д. порядка соответственно.
В случае двухфакторной ПФ аксиома выпуклости вверх проверяется по
следующим значениям миноров:
2
2 f
2 f
2 f 2 f  2 f 
 0.
  2  0 , 21  2  0 и 12,2  2

x1
x2
x1 x22  x1x2 
1
1
Строго отрицательная определенность. Достаточное условие: 1  0 ,
 2  0 ,  3  0 , …, (1) n  n  0 , знаки главных угловых миноров чередуются.
Здесь
54
 2

2 f
 f
 
 x 2
x1x2
 1 10

H   2 f
2
 f  .


2

x

x

x
 1 2

2
 2 0





Этот критерий называют критерием Сильвестра (J.J.Sylvester).
Рассмотрим случай строгой выпуклости вверх в случае производственной
функции от двух факторов. Достаточным условием является: 1  0 ,  2  0 .
2
2 f  2 f  2 f 
2 f
Распишем их:
 0,

  0 . Отсюда видим, что должно
x12
x12 x22  x1x2 
выполняться условие:
2 f
 0 . Необходимое условие строгой отрицательной
x22
2 f
2 f
определенности является то, что
 0,
 0 . Это формальная запись
x12
x22
закона убывающей предельной производительности факторов.
y
x2
сечение поверхности
x2=const
0
x1
0
55
x1
y
x2 = const
y
касательная
x2
2f/x1>0
2f/x21<0
0
x1
0
x2=1
x1=1
x1
 приращение производственной функции.
2 f
Часто выполнено свойство:
 0 . Предельный продукт растет при
xix j
увеличении другого фактора на единицу.
Пример. Функция Кобба – Дугласа (C.W.Cobb, P.H.Douglas) y  ax1  x2 ,
где m      0 . В этом случае f ( x )  a( x1 )  ( x2 )  = a  x1  x2      
=  m f ( x ) . Таким образом, для функции Кобба-Дугласа y  ax1  x2 , m     .
Для классической функции Кобба – Дугласа: m = 1.
Если 0  m < 1, то это означает уменьшение выпуска продукции при
увеличении масштаба производства (уменьшение отдачи, свертывание, сужение
производства).
Если m = 1, то это означает экстенсивный характер производства
(нейтральный) при увеличении масштаба производства.
Если m  1, то это означает интенсивный характер производства при
увеличении масштаба производства; большее увеличение выпуска при
увеличении масштаба производства.
56
Увеличение масштаба означает, что x  x,   1, для абстрактного
рассуждения   1.
Рассмотрим случай: при   1 видим, что f ( x )   m f ( x) , причем  m   ,
m  1, то есть f ( x )   f ( x ) , причем  m   , 0  m  1 , то есть f ( x )   f ( x) .
1.1.2. Числовые характеристики: предельные и средние продукты,
эластичность выпуска по факторам
Производительность ресурсов оценивается при помощи показателей
отдачи. В микроэкономике понятие отдачи ресурсов специфично. В этом
понятии с одной стороны выступает выпуск продукции (или его денежное
выражение: доход, объем реализации), с другой – количество используемых
ресурсов (или оплата их приобретения) за некоторый период времени.
Показатели отдачи ресурсов выражают экономическую эффективность от их
введения в производство. Они конкретизируют общее представление о
соответствующих показателях.
Широко применяют показатели отдачи ресурсов трех типов:
• средняя отдача ресурсов производства,
• предельная отдача ресурсов производства,
• эластичность выпуска по ресурсам производства.
Все показатели производительности факторов вычисляют при изменении
только одного ресурса.
Введем математические формулы этих показателей и рассмотрим их
вычисление в случае двухфакторной производственной функции, отражающей
зависимость выпуска продукции от вектора используемых ресурсов.
Средний продукт (средняя отдача) ресурса вычисляется делением объема
выпуска на величину использования каждого ресурса. В случае двухфакторной
ПФ применяют следующие формулы:
• средний продукт капитала –
λ K = y /K,
• средний продукт труда –
57
λ L = y /L.
Поясним смысл показателя среднего продукта капитала с помощью
графика зависимости выпуска продукции y от использования капитала K при
постоянном значении L (рис. 5).
При выпуске y1 используют капитал в количестве K1, средний продукт
равен y1/K1. При выпуске y2 используемый капитал составляет K2, а средний
продукт капитала – y2/K2. Выпуск продукции и используемый капитал
относятся к числу интервальных показателей.
y
y2
y
y1
K
K1
0
K2
K
K
Рис. 5
Графически
этот
показатель
равен
тангенсу
угла
наклона
луча,
проходящего через начало координат и точки определения показателя (K1, y1)
или (K2, y2) и т.д. Период времени, в течение которого выпускают продукцию и
используют ресурсы, один и тот же.
Итак, средний продукт капитала определяет объем выпуска продукции на
каждую единицу используемого капитала за некоторый период времени.
Аналогичным образом вводится показатель среднего продукта труда,
который
выражает
объем
выпуска
продукции
на
каждую
единицу
используемого труда.
Таким образом, средняя отдача (средний продукт)
ресурса – это
количество выпускаемой продукции на единицу соответствующего ресурса,
используемого в производстве.
58
Используя математическую формулу ПФ Кобба – Дугласа, эти показатели
можно вычислить аналитически. Средняя отдача ресурсов определяется по
следующим формулам.
Средний продукт капитала – по формуле:
λ K = а K L /K = а L /K 1 -  = а L /K  = а (L /K).
Если обозначить отношение используемого капитала к трудозатратам
буквой , то получим формулу
λ K = а (L /K) = а /.
Средний продукт труда имеет вид:
λ L = аKL /L = аK /L1 -  = аK/L = а(K/L) = а .
Предельный продукт (предельная отдача) ресурса вычисляется по
формуле частной производной производственной функции по фактору
производства. Для двухфакторной ПФ применяют следующие формулы:
• предельный продукт капитала –
µ K =  y/ K,
• предельный продукт труда –
µ L =  y/ L.
Поясним смысл показателя предельного продукта капитала при помощи
графика (см. рис. 5). Графически предельный продукт капитала равен тангенсу
угла наклона касательной к линии выпуска в точке определения показателя.
Если зависимость выпуска от фактора задана дискретно и прирост выпуска
y требует дополнительного использования капитала в количестве K, то
предельную отдачу вычисляют по формуле µK = y/K. Пределом этого
отношения при K → 0 является выражение  y/ K. Аналогично вычисляется
предельный продукт труда.
Таким образом,
предельный отдача ресурса выражает
прирост
выпускаемой продукции на единицу прироста соответствующего ресурса,
используемого в производстве.
59
Применительно к ПФ Кобба – Дугласа можно вывести следующие
формулы предельной отдачи ресурсов:
предельный продукт капитала –
µ K =  y/ K = а K-1L = а  L /K = а  / ;
предельный продукт труда –
µ L =  y/ L = а  KL -1 = а  K / L = а  .
Рассмотрим соотношение средней отдачи капитала λK = a/φβ и предельной
отдачи капитала µK = aα/φβ. Из этих формул следует, что µK = a λK. Вместе с тем
0    1, следовательно, µK < λK. Аналогично из уравнений µL = aβφα и λL = aφα
следует, что µL = βλL. Учитывая, что 0    1, получаем соотношение µL < λL.
Иначе говоря, в модели Кобба – Дугласа предельные продукты капитала и
труда имеют меньшие значения, чем средние продукты этих ресурсов
производства.
Эластичность выпуска по ресурсу производства
В случае задания ПФ в виде математической формулы вычисляют
показатели точечной эластичности выпуска по ресурсам производства.
Точечная эластичность вычисляется при помощи дифференцирования. Если
задана двухфакторная ПФ, то применяют следующие формулы:
• эластичность выпуска по капиталу –
E Ky = (y/K)/(y/K) или E Ky = µ K / λ K ;
• эластичность выпуска по труду –
E Ly = (y/L)/(y/L) или E Ly = µ L / λ L .
Точечную эластичность y по K можно представить в логарифмической форме:
E Ky = (ln y)/(ln K).
В случае дискретных данных вычисляют показатели дуговой (средней)
эластичности выпуска по ресурсам по формулам:
• эластичность выпуска по капиталу –
E Ky = (y /K)/(yс/Kс);
• эластичность выпуска по труду –
60
E Ly = (y /L)/(yс/Lс),
где yс = (y2 + y1)/2, Kс = (K2 + K1)/2, и Lс = (L2 + L1)/2.
Показатель эластичности выпуска по фактору производства выражает
предел
отношения
прироста
выпуска
к
приросту
использования
соответствующего ресурса.
Выведем формулы для вычисления показателей эластичности для ПФ
Кобба – Дугласа.
Эластичность выпуска по капиталу выводится следующим образом:
E Ky = µ K / λ K = (а  / )/(а / ) = .
Эластичность выпуска по труду
E Ly = µ L. / λ L = (а  )/(а ) = .
Следовательно,
эластичности
выпуска
по
капиталу
и
по
труду
определяются значением параметров модели  и  соответственно.
Так как 0  ,   1, то один процент дополнительного использования
каждого отдельного ресурса приносит прирост выпуска продукции меньше
чем на один процент.
Следует заметить, что все показатели отдачи ресурсов на практике можно
вычислять на основании непосредственного учета значений величин y, K и L.
Математического моделирования производства в виде производственной
функции при этом не требуется.
1.2. Эластичность выпуска от масштаба производства
Теорема Эйлера (L.Euler). Рассматривается некоторая непрерывно
дифференцируемая функция y = f(x), причем f(x)  однородная функция степени
m. Тогда справедливо равенство
m
f
 x
j 1
 xi  m  f ( x) .
i
Доказательство. Воспользуемся свойством однородности f ( x )   m f ( x ) .
61
Продифференцируем по : где  x  { x1 ,...,  xn } = {x1 ,..., x n } .
Левая
часть
дифференцируется
как
сложная
функция,
так
как
f ( x )  f ( x ( )) при x ( )   x :
n
d ( xi ) n 
f dxi
f



=
 xi  m   m 1  f ( x ) .

d  i 1  ( x1 )
d
i 1 xi
i 1 xi
n
n
Положим  = 1, тогда
f
 x x
i
i 1
 mf ( x) .
i
Замечание. Предельная производительность от масштаба производства:
n
f ( x)
f ( x    x )  f ( x)
f
 lim

xi  m  f ( x )
  1   0
x

x
i 1
 1
i
– из доказательства теоремы Эйлера, где 1     , y ( x   x)  f ( x   x) ,
y ( x)  f ( x) .
x2
x+x
x
0
x1
Эластичность выпуска от масштабов производства предельная величина
делится на среднюю:
Ε ( x) 
f ( x) f ( x )
:


n
f
1
 xi 
=
f ( x)
i 1 xi
=
 1
n
n
f f ( x)
:


xi
i 1 x1
y
i
E
m

i 1

эластичности
по факторам
 по теореме Эйлера.
Таким образом, эластичность от масштаба производства (x) для
62
производственной функции степени однородности m в точности равна m.
Рассмотрим пример ПФ Кобба – Дугласа y  a  K   L , где K  затраты
капитала, L  затраты труда. Очевидно, что  Ky   ,  Ly   , причем
   Ky   Ly      m  степени однородности.
1.3. Предельная норма замены (замещения) ресурсов.
Эластичность замены ресурсов
Предельная норма замещения (замены) i-го ресурса j-го ресурсом
показывает сколько единиц j-го ресурса высвобождается при увеличении i-го
ресурса на одну бесконечно малую единицу (иногда встречается термин
«предельная технологическая норма замещения»).
xj
dxi=xi
0
Итак,
дана
производственная
функция
xi
y  f ( x)  f ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Предельная норма замещения определяется так: hij  Rij  
dx j
dxi
 0 , поэтому hij  
dx j
dxi
x j
dxi
. Обычно
.
Выведем формулу для hij . Зафиксируем выпуск y, изменяем xi и xj. Если
y  const , то значит dy  0 
dx j
y
x
y y
dxi 
dx j ,

:
 это формула
 xi
 xj
dxi
 xi  x j
63
производной неявно заданной функции, отсюда hij  
dx j
dxi

Для ПФ Кобба - Дугласа y  a  K  L находим hLK =
=
 y /  xi
.
 y / xj
 y / L
 K
=
 =
 y / K
 L

 k , где k  K  фондовооруженность.
L

Изоклинали производственной функции  это кривые, на которых
предельная норма замещения постоянна. Для производственной функции
Кобба – Дугласа изоклинали  это
K
прямые линии.
Другая формула вычисления:
hij 
Ei x j
 , где Ei  E xyi , E j  Exyj .
E j xi
Действительно, hij =
 y xi 
=
 
 xi y 
 y x j  x j y / xi
   =


x
y  xi y / x j
j

.
tg
Поэтому для ПФ Кобба-Дугласа имеем
hLK 
0
 K
 .
 L
L
xj
Геометрическая интерпретация:
tg (   )  
dx j
dxi
dx j
dxi
,

 tg .
0
-
xi
Теорема. Изоклины однородных производственных функций являются
лучами, выходящими из нулевой точки.
64
Пример. Линейная ПФ имеет вид y  a0  a1 x1  a2 x2 , где a1 , a1 , a2  0 . В
этом случае
y
y
dx
a
 a1 ,
 a2 ,  2  h12  1 .
dx1
a2
x1
x2
x2
Эластичность замещения
 12   , 1  0
 12
x1
0
 xy1 
x1
x2
y x1
y x2
  a1 
,  x2 y 
  a2 
.
x1 y
a0  a1 x1  a2 x2
x2 y
a0  a1 x1  a2 x2
Эластичность замены (замещения) показывает на сколько процентов
изменится отношение факторов при изменении предельной нормы замещения
на бесконечно малый процент:
   ij 
 ln( x j / xi )
 ln hij

 ( x j / xi )
hij

hij
x j / xi
.
Например, для производственной функции вида,
y  f ( K , L) ;
K
 ln  d h
 k   ; hKL  h ,  LK 

 .
L
 ln L dL 
Эластичность замены  это мера кривизны изоквант; линий уровня;
производственных линий безразличия (в общем случае, поверхностей уровня,
поверхностей безразличия).
65
Возьмем 1 и 2, чтобы tg 1  tg 2  1% .
xj
Эластичность замещения показывает, на
сколько процентов изменится тангенс угла
наклона изоклинали при изменении тангенса
угла наклона касательной к изокванте на один
процент. Величина ij означает некоторую
инвариантную величину. Для ПФ КоббаДугласа  = ij = 1, т.к. вхождение труда и
капитала в данной модели одинаково.
1
2
2
1
0
xi
В этом случае вхождения затрат труда и капитала в производственную
функцию равноправны. Возможные виды изоквант.
K
 =
 =0
0< <
L
0
Теорема.
Для
однородной
производственной
функции
предельная
замещения труда капиталом hLK зависит лишь от фондовооруженности k 
остается постоянной вдоль лучей, выходящих из нулевой точки.
66
K
и
L
1.4. Основные типы производственной функции
1. Линейные ПФ (ЛПФ):
n
y  a0  a1 x1  ...  an xn  a0   ai xi .
h 1
2. Степенные (мультипликативные) ПФ (МПФ):
y  ax11  xnn ,
где
a  0, 1 ,..., n  0 ,
1  ...   n  m

степень
однородности. В этом случае  =  ij  1 . Для ее нахождения удобно применить
логарифмическую форму определения:
 ij 
где hij 
 ln( x j / xi )
 ln hij
,
 j xj
 . Дифференцируем выражение * по выражению ** в формуле
 i xi

x
ln hij  ln j  ln j , отсюда видим, что  ij  1.

i
xi
*

**
3. ПФ с постоянной эластичностью замещения (ПФПЭЗ):

1 1
y  a (b x

n n
 ...  b x )
m

bj  x
В этом случае hij   i
bi  x j
, где a , b1 ,..., bn  0 ,   1, m  0 .
1 



x2
, откуда  =  ij 
1
.
1 
Предельные соотношения:
n
1) 0, тогда ПФ ПЭЗ  a  xi i , где
i 1
i 
0
m  bi
n
.
b
i
x1
i 1
2) Если  = -1, то ПФПЭФ будет ПФ с линейными изоквантами, то есть,
67

1 1
y  a (b x

2 2

b x )
1

. Например, в случае двух переменных, если   1 , то
y  a(b1 x1  b2 x2 ) m .
3) Если    , то ПФПЭЗ будет y  a min  x1m , x2m   это ПФ Леонтьева
(ПФЛ).
4. Производственная функция с постоянными пропорциями (ПФПП),
m
 x m
 xn  
1
ПФ Леонтьева (ПФЛ): y  a min  0  ,...,  0   .
x
 xn  
 1 
В
частности,
при
n2
имеет
вид
 x m  x m 
y  min  10  ,  20   ,
 x1   x2  
или
 K m  L m 
y  min a1 K , b1 L  , или y  min   ,    .
 a   b  
m
m
L
A
K
0
На графике точка А  точка оптимального сочетания затрат ресурсов при
заданном выпуске.
Замечание. Для учета влияния научно-технического прогресса (НТП) на
производственные системы производственная функция в форме Кобба-Дугласа
была модифицирована в 1942 году Тинбергеном1 (J.Tinbergen), который обработал
1
Тинберген Я. – голландский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1969 г.
«за развитие и применение динамических моделей при анализе экономических процессах».
68
статистические Данные по динамике объемов производства в Германии,
Великобритании, Франции и США за период 1870-1914 гг.
Модифицированная
производственная
функция
Кобба-Дугласа
задает
экспоненциальный рост продукта во времени при постоянных затратах труда и
капитала в результате научно-технического прогресса (НТП) с помощью
уравнения
y  f ( K , L, t )  aK  L1 e t ,
где   параметр, определяющий влияние научно-технического прогресса на
эффективность преобразования факторов в продукт.
Приведем в качестве иллюстрации значения параметров 
и

макроэкономической ПФ (МАПФ) Кобба-Дугласа y  aK  L для экономики
США, рассчитанные разными авторами для разных базовых временных
промежутков (априори не предполагалось, что обязательно     1 )1:
Базовые
временные
промежутки
(или годы)
Авторы,
проводившие
исследования
Параметры


 
1899-1922 гг.
0,25
0,75
1,00
Дуглас
1904 г.
0,31
0,65
0,96
Дуглас
1914 г.
0,36
0,61
0,97
Дуглас
1919 г.
0,25
0,76
1,01
Дуглас
1869-1948 гг.
0,70
0,25
0,95
Валаванис
(R.Valavanis)
1900-1953 гг.
0,16
0,84
1,00
Клейн
(L.R.Klein2)
1909-1949 гг.
0,35
0,65
1,00
Солоу
(R.M.Solow3)
1921-1941 гг.
0,34
2,13
2.47
Тинтнер
(G.Tintner)
1
Терехов Л.Л. Производственные функции. М.: Статистика, 1974. с. 113.
Клейн Л.Р.  американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1980 г.
«за создание экономических моделей и их применение к анализу колебаний экономики и
экономической политики».
3
Солоу Р.М.  американский экономист, лауреат Нобелевской премии 1987 г. «за
фундаментальные исследования в области теории экономического роста».
2
69
1934-1959 гг.
0,41
0,91
1,32
Михалевский
1934-1956 гг.
0,26
0,74
1,00
Михалевский
Параметры разными авторами рассчитывались по разным методикам,
поэтому пестрота картины не является неожиданной. Обращает на себя
внимание, что у всех авторов наблюдается значительное превышение параметра
 относительно параметра  . Также почти у всех авторов сумма   
оказалась близкой к единице.
На основании данных по экономике СССР (динамика национального
дохода, численности занятых в материальном производстве и объемов основных
фондов), опубликованных за 1960-1985 гг., были рассчитаны параметры
МАПФКД без учета НТП и с учетом НТП. Без учета НТП ПФКД имеет вид
y  1,022 K 0,5382 L0,4618 (коэффициент детерминации R2 = 0,9969, статистика
Дарбина-Уотсона (J.Durbin, G.S.Watson) DW = 0,81; упомянутые здесь
термины математической статистики есть в курсах эконометрики). При
подстановке фактических значений К и L за 1986 г. ошибка прогноза с
помощью выписанной ПФКД составила 3%, что свидетельствует о том, что
точность прогноза на основе рассматриваемой ПФКД относительно невелика. С
учетом НТП ПФКД имеет вид
y  1,038 K 0,9749 L0,2399e0,0294 t
(коэффициент
детерминации R2 = 0,9982, статистика Дарбина-Уотсона DW = 1,63)1.
В качестве примера оценки ПФ ПЭЗ приведем полученные различными
авторами результаты для экономики СССР. Такие оценки делались за различные
периоды времени в промежутке 1950-1985 гг. Э.Б.Ершовым, Ю.В.Яременко и
А.С.Смышляевым, М.Вейтцманом, А.Г.Гранбергом, Н.Б.Баркаловым и другими.
Исходные спецификации различаются предпосылками о степени однородности m
(в большинстве случаев изначально считалось, что m  1, но были и оценки с
произвольным m) и наличием множителя e t , характеризующего нейтральный
технический прогресс (такой множитель может добавляться не только к ПФ
1
Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988. 448 с.
70
Кобба-Дугласа, но и к ПЭЗ или какой-либо другой функции). Например,
А.Г.Гранберг приводит следующие оценки за 1960-1985 гг.:
y  1,002 (0,6412 K
0,81
1
0,81 0,81
 0,3588 L
)
;
R2 = 0,9984; DW= 1,58
(линейно-однородная функция ПЭЗ без учета технического прогресса);
y  0,966 (0,4074 K
3,03
1
3,03 3,03
 0,5926 L
)
e0,0252 t ;
R2 = 0,9982; DW= 1,76
(линейно-однородная функция CES с учетом технического прогресса).
С точки зрения статистик R2 и DW, обе зависимости получились
значимыми. В то же время оценки показателя эластичности замещения

1
в них различны: в первом случае это 0,55, во втором  0,25.
1 
Другими авторами оценки эластичности замещения  для экономики СССР
также получены меньшими единицы: 0,2 (Ю.В.Яременко и др.), 0,4
(М.Вейтцман), 0,37-0,43 за разные периоды (Н.Б.Баркалов). В целом можно
сказать, что оценка эластичности замещения очень зависела от конкретной
спецификации, но в большинстве случаев составляла около 0,4. Во всяком
случае, она заведомо была для экономики СССР меньше единицы, что говорит
о
невысокой
степени
взаимозаменяемости
труда
и
капитала.
Эта
взаимозаменяемость была гораздо ниже, чем это предполагается в функции
Кобба-Дугласа, в которой эластичность замещения  априори считается равной
единице. Ошибочность исходной гипотезы о степени взаимозаменяемости
факторов может служить причиной недостаточной статистической значимости
оценок ПФ Кобба-Дугласа.
71
Замечание1.
Неоклассическая
экономическая
теория
предписывает
задавать зависимость выпуска продукции (в нашем случае реального ВВП) y (t )
от затрат факторов производства (в нашем случае основных фондов в реальном
выражении F (t ) и численности занятых L(t ) ) в виде вогнутой (выпуклой
вверх) производственной функцией
y (t )  f ( K (t ), L(t )) .
В связи с резким ускорением процессов обновления основных фондов в
ряде западных моделей в последнее время предлагается использовать
зависимость
y (t )  f ( J (t ), L(t )) ,
где J (t ) – валового накопления (инвестиций в реальном выражении).
В обоих случаях вид производственной функции F предполагается
определять по наблюдаемым выпускам и затратам независимо от описания
экономических механизмов, определяющих выпуск, инвестиции и занятость.
Многократные попытки оценить параметры одной из этих функций, исходя
из данных о развитии российской экономики, в том числе и проводившиеся
группой под руководством И.Г.Поспелова, хороших результатов не дали, хотя,
например, для американских данных все получается прекрасно.
В общем это не вызывает удивления, если вспомнить, что в российской
экономике значительная часть выпусков и затрат скрывается от учета в
теневом обороте или заведомо неправильно классифицируется по серым
схемам. Казалось бы, надо искать зависимость, учитывающую специфику
механизмов
регулирования
и
учета,
т.е.
проводить
идентификацию
производственной функции по результатам расчетов полной модели экономики
России. Однако уже в процессе выполнения данного проекта неожиданно
обнаружилось,
что
приведенные
выше
квартальные
данные
Росстата
удивительно хорошо отвечают соотношению
1
Поспелов И.Г., Поспелова И.И., Хохлов М.А, Шипулина Г.Е. Новые принципы и методы
разработки макромоделей экономики и модель современной экономики России. М.: ВЦ РАН,
2006. с. 140, 141.
72
y (t )  0,915J (t )  0, 216 J (t )  21,7 R(t )e0,00774t .
На рис. 1 сплошная линия изображает левую, а пунктирная линия – правую
часть этого приближенного равенства, рассчитанные по данным за 15 кварталов
2000-2003 гг.
Рис. 1.
1.5. Свойства однородных производственных функций
Пусть y = F(K,L)  двухфакторная ПФ1. Свойство однородности:
F ( K ,  L)   m F (K , L) для некоторых  >0 , m  0 , m – степень однородности.
Выполним преобразование:
F ( K , L)  F (
K
K
F ( K , L)
L, L)  Lm F ( ,1)  Lm f (k ,1)  Lm f (k ) ,
 f (k ) ,
L
L
Lm
F ( K , L)  Lm f (k ) ,
где f (k )  f (k ,1) 
F ( K , L)
.
Lm
Вычислим предельные характеристики:
1
Ашманов. Введение в математическую экономику: Учеб. пособие. М.: Наука, 1984. Часть
III, Глава 1.
73
F
K
 mLm1 f (k )  Lm f k(k )k L = mLm f (k ) + Lm ( 2 ) f k(k ) = mLm 1 f (k ) +
L
L
+ Lm 1 ( k ) f k(k ) = Lm 1 (mf (k )  kf k(k )) = Lm 1 (mf (k )  kf (k )) ,
F
1
 Lm f k(k )k K  Lm f k  (k )   Lm1 f k  (k ) = Lm 1 f (k ) .
K
L
Вычислим предельную норму замещения:
hLK
K F F Lm 1 (mf (k )  kf (k )) mf (k )  kf  (k )
f (k )
=m


:


k.
m 1 
L L K


L f (k )
f (k )
f (k )
Если k =
K
= const, то h = const – тоже на этом луче.
L
K
K
изоклинали
изокванта
L
0
L
0
Для однородная ПФ изоклинали – тоже лучи, входящие из нуля и
расположенные в первой четверти. Свойство ортогональности изоклинали и
изокванты выполняются не во всех точках (из геометрических соображений).
На изоклинали и касательные к изоквантам
K
параллельны (из-за постоянства тангенса угла
наклона). Эластичность по ОПФ и по труду:

0
1
2
L
EKF 
F K
K
f (k )
 = Lm1 f (k )  m
= k
,
K F
L f (k )
f (k )
ELF 
F L
L
 = Lm1  mf (k )  kf (k )   m
=
L F
L f (k )
mk
f (k )
, EKF  ELF  m .
f (k )
74
Теорема. Если хотя бы один из коэффициентов EKy , ELy не зависит от k и
f(k), то это неоклассическая ПФ, то есть это ПФКД.
Эластичность
1
1
dh k



  LK dk h
замещения
(однородная
– неоклассическая ПФ:
f  0,
ПФ):
   LK 
f   0,
f   0 ,
dk h
 ,
dh k
f (0)  0 ,
lim f (k )   , lim f (k )  0 , lim f (k )  0 и lim f (k )   – условие Инады
k 
k 0
k 
k 0
(K.Inada)1. Если F ( K , L) – неоклассическая, то f (k ) – неоклассическая и
справедливы равенства: h  hLK  m 
f (k )
k,
f (k )
dh
f (k )  f (k )  f (k )  f (k )
(m  1)[ f (k )]2  mf (k )  f (k )
 m
1 =
,
dk
[ f (k )]2
[ f (k )]2
1 (m  1)[ f ( k )]2  mf (k ) f (k )
k


=
f (k )

[ f (k )]2
m
k
f (k )
(m  1)[ f ( k )]2  mf (k ) f (k )
k
=

,
f (k )
mf (k )  kf ( k )
 LK 
f (k )[mf ( k )  kf (k )]
.
k (m  1)[ f ( k )]2  mf (k ) f (k )
Для ПФКД: пусть f(k) = Ak , тогда  = 1.
Следствия. 1) F = F(K,L) однородная ПФ степени m > 0, пусть  =

= const,  > 0,    , ( 0< < ). Тогда F = a (aL L  aK K



)
m

– ПФПЭЗ,
1
.

2) F – однородная ПФ степени один, h  hLK = const, 0  hLK   , тогда F =
F ( K , L) = a L L  aK K – линейная ПФ. Доказательство – решить линейное
обыкновенное дифференциальное уравнение (ЛОДУ).
1
Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами: Учеб. пособие.
Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2008. Гл. 1, § 1.3, 1.3.2.
75
1.6. Модель производственной функции с учетом научно-технического
прогресса1
Научно технический прогресс (НТП) – развитие техники и технологии
производства,
а
также
рост
организации
производства,
повышение
технического уровня кадров, изменение их профессиональной структуры и
другие факторы, вызывающие расширенное производство.
НТП – совокупность всех явлений и мероприятий, которые приводят к
повышению выпуска продукции без повышения используемых ресурсов.
Экзогенный НТП – происходит в результате действия извне некоторых
социально-экономических
сил,
которые
автоматически
повышают
эффективность производства.
Эндогенный НТП – это означает, что ПФ содержит кроме труда и
капитала ещё один фактор – «человеческий капитал».
Экзогенный НТП
Моделирование
Индуцированный
Овеществленный
Автономный
НТП в виде
НТП
или
НТП
отдельной
(развитие
материализованный
отрасли
определяется всеми НТП (изучаются ОПФ
предыдущими
с учетом НТП,
инвестициями)
НТП материализуется
в ОПФ)
Автономный НТП – рост эффективности использования ресурсов не
зависит от капитала и труда, а привносится извне и выражен в зависимости ПФ
от времени.
Общий вид ПФ с учетом автономного научно-технического прогресса:
F ( K , L, t )  F0 ( AK (t ) K (t ), AL (t ) L (t )) ,
1
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику: Учеб. пособие. М.: Наука, 1984.
Часть III, Глава 1, § 6.
76
F0 – ПФ степени однородности один (линейно однородная функция), AK (t ) –
эффективность, темп роста использования капитала, AL (t ) – эффективность,
темп роста использования труда, K e (t )  AK (t )  K (t ) – эффективный капитал,
Le (t )  AL (t )  L(t ) – эффективный труд.
Нейтральный НТП – автономный НТП называется Ф-нейтральным,
если для некоторой функции Ф выполнено равенство
Ф( x, k , X L , X K , ELX , EKX , hLK , LK )  0 ,
X
–
ВВП,
x
X
L
–
средняя
производительность
фондовооруженность (капиталовооруженность),
XL 
X
L
труда,
и
K
L
–
Y
K
–
k
XK 
предельные производительности труда и капитала (предельная фондоотдача),
ELX и EKX – эластичности по труду и капиталу (по фондам), hLK 
предельная норма замещения труда капиталом,    LK
K
–
L
– эластичность
замещения труда капиталом.
1) Нейтральный НТП по Хиксу: рост экономической эффективности
вследствие совершенствования техники, сопровождающийся неизменным
распределением ВВП между трудом и капиталом: h  hLK   (k ) , то есть
предельная норма замещения зависит от капиталовооруженности, в этом случае
ПФ имеет следующий вид:
F ( K , L, t )  F0 ( A(t ) K , A(t ) L) = A(t ) F0 ( K , L) ,
F0 ( K , L) – линейно однородная ПФ, AK  AL  A – отдача капитала и труда
одинакова.
Нейтральный НТП по Хиксу означает равнодобавляющий, симметричный
научно-технический прогресс, нейтральный по труду и капиталу:
F ( K , L, t )
 A(t ) f 0 (k ) ,
L
77
A(t ) – темп роста производительности, f 0 (k ) – производительность без учета
НТП.
2) Нейтральный НТП по Харроду (R.F.Harrod): рост экономической
эффективности вследствие совершенствования техники при неизменности
средней и предельной производительности капитала:
XK 
X
X
 
K
K

,

X
X
– предельный продукт,
– средний продукт, то есть предельный продукт
K
K
капитала зависит от среднего продукта.
ПФ в этом случае может быть записана в виде:
F ( K , L, t )  F0 ( K , AL (t ) L) = F0 ( K , Le (t )) .
Нейтральный
НТП
по
Харроду
означает
фондосберегающий
(капиталосберегающий), трудоемкий, трудодобавляющий, трудорасходующий
и, кроме того, удовлетворяет равенствам:
 k

 k 
F ( K , L, t )
 F0 (k , AL (t )) = AL (t ) F0 
,1  AL (t )  f 0 
.
L
 AL (t ) 
 AL (t ) 
Производительность эффективного труда:
F ( K , L, t )
K
K
k
 F0 (ke (t ),1) = f 0 (ke (t )) , ke 

=
.
AL (t )  L
Le AL (t )  L AL (t )
3) Нейтральный НТП по Солоу: рост экономической эффективности
вследствие
совершенствования
техники
при
неизменности
средней
и
предельной производительности труда:
XL 
X
X
 
L
L

,

предельный продукт труда зависит от среднего продукта труда. Нейтральный
НТП по Солоу означает трудосберегающий, капиталоемкий, фондоемкий,
капиталобавляющий, капиталорасходующий и, кроме того, удовлетворяет
равенствам:
F ( K , L, t )  F0 ( AK (t ) K , L) = F0 ( K e (t ), L) ,
78
F ( K , L, t )
 F0 (ke (t ),1) = f 0 (ke (t )k ) ,
L
ke 
K e AK (t ) K

.
L
L
НТП материализованный в ОПФ
Модель Солоу
Пусть K(t,) – часть ОПФ, введенная в момент времени  и функция в
момент времени t, K (t , )  K ( , ) . Пусть L(t,) – часть рабочей силы L(t ) ,
которая
в
момент
времени
t
обслуживает
K(t,).
ОПФ
Тогда
Y (t , )  F ( K (t , ), L(t , ), ) – часть ЧВП, произведенная в момент времени  на
t
ОПФ K(t,). Отсюда, ВВП Y (t ) в момент времени t равен Y (t ) 
 Y (t , )d .


Если учитывать запаздывание, то Y (t ) 
 Y (t , )d , где Т
– срок действия
t T
ОПФ.
Поставим задачу максимизации Y(t):
Y (t )  max,
t

  L(t , )d  L(t ),
 
где функции
K (t , ) , L(t , ) считаем непрерывными. Эта вариационная
изопериметрическая задача (задача на условный экстремум). Найти максимум
функционала при ограничении типа равенства.
То есть, распишем задачу:
t
  F ( K (t , ), L(t , ), )d  max,
 
t
 L(t , )d  L(t ).

 
79
Максимизацию проводят по L(t,). То есть, надо выбрать оптимальное
распределение L(t,) трудовых ресурсов.
Вспомним, как решается вариационные задачи на условный экстремум:
b
  F ( , y( ))d  max,
a
b
 F ( , y ( ), y( ))d  c.
 1
0
Введем функцию Лагранжа (J.L.Lagrange):   F   F1 , и поставим задачу
b
 ( , y( ), y( ))d  max
a
– на безусловный экстремум.
Найти экстремали: уравнение Эйлера имеет вид:
 d 
 
 0,
y dt y
 F d F 
 F1 d F1 
 y  dt  y     y  dt  y   0 .




Найдем функцию:
(t , ), ) , F1  L(t , )  y ( ) .
F  F ( K (t , ) , L

y ( )
Уравнение Эйлера:
F
 0   (1  0)  0 ,
L
F – однородная ПФ степени однородности один:
f (k , ) =
F ( K , L, )
= F (k ,1, ) ,
L
F
f (k , )
(t ) ,
= | L  L(t , ) | = f (k , )  k
=

L

k



дано
v ( k , )
k
K K (t , )

,
L L(t , )
v(k , ) – монотонно изменяется по k при любом  ,
80
v (k , )
f (k , )
 2 f (k , )
=
k
 0.
k
k
k 2
Следовательно, при фиксированном  , v(k , ) – монотонная функция по k ,
следовательно, k *  k * ( (t ), ) – обратная функция,
k* 
K
K
K (t , )
, L
, L(t , ) 
,
L
k*
k * ( (t ), )
t
 (t ) находится из условия L(t ) 

t
L(t , )d =

K (t , )
 k * ( (t ), )d .

Пример. Рассмотрим ПФКД: Y (t , )  A( ) K  ( t , ) L ( t , ) ,     ,   
0. Тогда
F
F
=  A( )k  (t , ) =  (t ) . Решение уравнения
=  имеет вид k *
L
L
  (t ) 
= k (t , ) = 

  A( ) 
1/ 
. Подставляем полученное выражение в формулу
t
K (t , )
 k * ( (t ), )d  L(t ) ,

получаем

 1 t

1/ 
 (t )   
K
(
t
,

)
A
(

)
d

 .

L
(
t
)



Тогда
t
1
k *  k * (t , ) 
K (t , )A1/  ( )d .
1/ 

L(t ) A ( ) 
Окончательно находим оптимальный вариант распределения трудовых
ресурсов:
K (t , )  A1/  ( )
L * (t , )  L(t ) 
,
K (t )
t
где K (t ) 

1/ 
K (t , )A ( )d , то значение величины Y (t ) в момент времени t

при оптимальном использовании трудовых ресурсов равно
81

 t 1/ 

Y (t )    A ( )K (t , )d  L (t ) ,
 

или
Y (t )  K  (t ) L (t ) .
Введем обозначение A0 ( )  A1/  ( ) – коэффициент переоценки ОПФ,
тогда
t
K (t ) 
 A ( )K (t , )d .
0

Запишем нашу ПФ в виде:

 1


Y (t , )   A ( ) K (t , )   L (t , )   A0 ( ) K (t , )   L (t , ) .


Получим НТП, нейтральное по Солоу, то есть
t
max
L ( t , )
 Y (t , )d  Y (t )  H ( K (t ), L(t )) ,

и отсюда получаем, F ( K , L, t )  H ( AK (t ) K , L) .
Индуцированный НТП (learning by doing)
Прогресс связан с предыдущим развитием системы, НТП зависит от
количества введенных ОПФ (капвложений). Ввел в статье Л.Эрроу1,2
(K.J.Arrow).
Количество изобретений (открытий) является монотонно возрастающей
функцией от капвложений. В данной модели капвложения сказываются на
трудоотдаче, т.е. возникает аналог НТП, нейтрального по Харроду:
 K (t , )
1
L(t , ) 
Y (t , )  A min 
,
,
K
g
(
G
(
t
))
L

0
0

1
Arrow K. The economic implications of learning by doing // Review of Economic Studies. 1962.
V. 29, № 80. P. 155-173.
2
Лауреат Нобелевской премии 1972 года «за новаторский вклад в общую теорию равновесия
и теорию благосостояния».
82
где g (G ) – некоторая монотонно убывающая функция от G .
Это ПФПП (ПФ Леонтьева).
K
L
0
K(t,) – количество ОПФ в момент времени t, созданный в момент времени
, L(t,) – количество трудовых ресурсов в момент времени t, работающих на
ОПФ K(t,).
Каково будет оптимальное распределение L(t,)? Пусть G (t ) – монотонно
возрастающая
функция,
показывающая,
что
возрастает
трудоотдача:
t
G (t ) 

I ( s )ds . Суммарное количество капвложений до момента , то есть

t
НТП индуцирован инвестициями: G (t ) 
 I (s)ds .

Интенсивность I ( ) в момент времени  (темп):
– ввод ОПФ,
 I (t ),   t  T
K (t , )  
 0,   t  T
– выбытие ОПФ,
t
K (t ) 
 K (t , )d =
t T
t

t T
 I ( )d   I ( )d  G (t )  G (t  T ) ,


K (t )  G (t )  G (t  T ) ,
83
t
L(t ) 

L(t , )d .
t T
Берем L(t , ) :
K (t , )
1
L(t , )

.
K0
g (G (t )) L0
Этим равенством обеспечивается полная занятость, поэтому справедливо
равенство
K0
K (t , )
1

.
L(t , ) g (G ( )) L0
В итоге: происходит рост фондовооруженности.
Следует оптимальное распределение трудовых ресурсов:
L(t , ) 
L0
g (G (t )) K (t , ) .
K0
Функция g (G (t )) убывает, следовательно, L(t,) убывает при фиксированном
K (t , ) .
Пример. Пусть функция g (G )  g 0G  h , где g 0 , h – постоянные, h  (0,1) .

Заметим, что G ( ) 
 I (s)ds , то есть, dG( )  I ( )d . Далее выводим

L
L(t )  0
K0
t
L0
t T K ( , t )g (G( ))d = K0
t

, t )g G ( )
 K(
h
0
t T
I ( )
dG  I ( )d





t

G ( )   I ( s )ds  L0 g 0
L0 g 0
h

 =
=
G ( )  I ( )d =



K 0 t T
K0


dG ( )
t T   t


 G (t  T )  G ( )  G (t ) 


=
L0 g 0 1

(G1 h (t )  G 1 h (t  T )) ,
K0 1  h
L0 g 0

(G1 h (t )  G1 h (t  T )) .
L(t ) =
K0 1  h
84
d =
G (t )

G ( t T )
G  h dG =
L(t , )
по определению
t
Y (t ) =

t T
I ( )
 L0
, t   T,
 
=  K 0 g (G ( ))

0,
t   T ,

t
d
Y ( , t )d  A  K ( , t ) 
=
K
I
(

)
0
t T

I ( )d  dG ( )
t T   t
G (t  T )  G( )  G(t )
A
=
K0
G (t )

dG =
G ( t T )
A
(G (t )  G(t  T )) .
K0
Итак, получим:

 L(t ) 


Y (t ) 

L0 g 0

(G1 h (t )  G1 h (t  T )),
K0 1  h
A
(G (t )  G (t  T )).
K0
Будем полагать, что заданы L(t) и G(t), тогда в системе неизвестны G(t – T)
и Y(t), но их можно выразить:
 1  h K 0 L(t ) 
G (t  T )  G (t ) 1 

 1 h 
g
L
G (t ) 
0
0

1
1 h
.
И наконец, получаем
1


1

h


K
A
1

h
L
(
t
)
0
Y (t ) 
G (t ) 1  1 
 1 h   .

K0
g 0 L0 G (t )  
 

Ниже, в главе 8 мы расскажем, что такое эндогенный НТП.
85
Задачи
Задача 1. Производственная функция фирмы имеет вид
y  4 x12  24 x1  2 x1 x2  6 x2  x22 .
Найти максимально возможный выпуск и обеспечивающие этот выпуск
затраты ресурсов.
Задача 2. Производственная функция фирмы имеет вид
y  5x11/ 3 x22/ 3 x1/3 3 ,
причем известно, что
x1  x2  x3  9 .
Найти максимальный выпуск, построить соответствующие изокосту и
изокванту при фиксированном x3 . Найти предельную норму замены третьего
продукта вторым.
Задача 3. При данном уровне производства предельный продукт труда
(т.е.
F
F
) равен 5 единицам, а предельный продукт фондов (т.е.
) равен 10
L
K
единицам. Найти предельные нормы замены труда фондами и фондов трудом.
Задача 4. Производственная функция фирмы имеет вид
y  10 x11/ 3 x22/ 3 .
Цены покупки ресурсов составляют 5 и 10 ден. ед. соответственно.
Определить максимальный выпуск, если c = 100 ден. ед. Построить изокванту
и изокосту в оптимальной точке.
Задача 5. Производственная функция фирмы имеет вид
y  A ln( x1 x2 ) , A  0 , x1 > 1, x2 > 1.
86
Определить функции спроса на ресурсы x1 ( p, w1 , w2 ) и x2 ( p, w1 , w2 ) при
фиксированной функции затрат w1 x1  w2 x2 = c и цене товара p  0 . Как
изменяются y  , x1 x2 при возрастании р?
Задача 6. Функция валового выпуска Российской Федерации за 1960-1994
годы имеет вид
y  0,931K 0,539 L0,594 .
Известно, что с 1960 по 1988 годы валовой выпуск возрос в 4,08 раза, основные
производственные фонды – в 6,62 раза, число занятых – в 1,79 раза. Найти
масштаб и эффективность производства.
Задача 7. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для ПФ с линейной эластичностью
замены ресурсов, которая имеет вид
y  aK  (  K  L1 ) , a  0 , 0    1 .
В
выражении
для
эластичности
замены
одного
ресурса
другим
используйте капиталовооруженность труда K / L .
Задача 8. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для ПФ с линейной эластичностью
замены ресурсов, которая имеет вид
y  a (1  e  K / L ) L , a  0,   0 .
Задача 9. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для ПФ, которая имеет вид
  1 K    2
y   1  1 
 
L 


 L , 1  0,  2  0 .

Задача 10. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для ПФ, которая имеет вид
y  a(bK    (1  b) L  )  n1 /  ( K   (1   ) L ) n2 /  ,
87
a  0 , 0  b  1,   1, h1  0 , 0    1 ,   1 , h2  0 .
Задача 11. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для ПФ, которая имеет вид
y  a1 K  a2 L  a3 K L  a4 K 2  a5 L2 .
Задача 12. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для ПФ Солоу, которую также
называют ПФ Хилхорста (J.G.M.Hillhorst):
y  a (bK 1  (1  b) L2 ) 1/3 ,
где a  0 ,  3  0 , 0  b  1.
Задача 13. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для ПФ, которая имеет вид
y  a1 x1 (1  e
 b1
x2
x1
)  a2 x2 (1  e
 b2
x1
x2
),
где a1  0, a2  0, b1  0, b2  0 .
Задача 14. Найдите предельную норму замены одного ресурса другим и
эластичность замены одного ресурса другим для транслогарифмической ПФ,
которая имеет вид:
y  Ax y  x a ln x y b ln y x c ln y ,
где A  0, 0    1,0    1,     1 .
Задача 15. Показать, что если хотя бы один из коэффициентов а, 
эластичности
по
ресурсам
линейно-однородной
двухфакторной
производственной функций F(K,L) не зависит от К, L, то F(K,L) является
функцией Кобба – Дугласа.
Задача 16. Показать, что если предельная норма замещения hLK для
линейно-однородной двухфакторной производственной функции F(K,L) не
зависит от К,L, то F(K,L) = AK + BL, где А, В – константы.
Задача 17. Показать, что функция
88
F  A( K    (1   ) L  ) 1/  ,
где A > 0, 0 <  < 1, при  < –1 не является вогнутой.
Задача 18. Доказать, что однородная степени 
функция одной
переменной имеет вид Ax .
Задача 19. Доказать, что если f(x) – дифференцируемая однородная
степени  функция, то функции f / xi , i = 1, 2, . . . , n , однородны степени
 – 1.
Задача 20. Пусть F(K,L) – линейно-однородная производственная
функция. Показать, что  2 F / K L  0 .
Задача 21. Показать, что для производственной функции Леонтьева
F(K,L) = min {aK , bL} предельная норма замещения hLK равна  , т.е. факторы
незаменяемы. При этом, естественно, эластичность замещения  равна 0.
Задача 22. Доказать
lim ( K    (1   ) L  ) 1/  = min{K , L} , 0    1 ,   1 .
 
Напомним, что    при   0 (   (1   ) /  ).
Задача 23. Пусть x   n ,  > 0. Обозначим через  (i ) отображение  (i ) :
 n   n , определяемое следующим образом. Если х = ( x1 , x2 ,..., xn ) , то
 (i) x  ( x1 ,...,  xi 1 , xi ,  xi 1 ,...,  xn ) .
Доказать, что если функция f(x) такова, что f ( (i) x )   i f ( x) для всех i =
= 1, 2, ..., n, то
f ( x)  Ax11 x22 ...xn n .
Задача 24. В случае, если ПФ записана в виде дважды непрерывно
дифференцируемой функции y  f ( x1 , x2 ) то, при этом можно вычислить по
формуле
89
   ( x1 , x2 )  
y y  y
y 
 x2
 x1

x1 x2  x1
x2 
2
  2 y  y 2
 2 y y y  2 y  y  
x1 x2  2 
2


 
 x1  x2 
x1x2 x1 x2 x22  x1  


Для однородной ПФ могут быть использованы следующие формулы:
y y

x1 x2

y y
2 y 
 (1  m ) x x  my x x  ,

1
2
1
2 
где m – степень однородности ПФ, и
 2 y 
 y x x 

1
2 
y y

x1 x2
при m  1 (формула Дж.Р. Хикса). Вывести эти формулы.
90
.
Список литературы к § 1
1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику: Учеб. пособие /
С.А. Ашманов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Часть III,
Глава 1.
2. Багриновский
К.А.
Экономико-математические
методы
и
модели
(микроэкономика): Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / К.А.
Багриновский, В.М. Матюшок. – М.: Изд-во РУДН, 2006. – Глава IV.
3. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического
роста / Н.Б. Баркалов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. – 128 с.
4. Батищева
С.Э.
Математические
модели
микроэкономики:
Учеб.
пособие.– 2-е изд., перераб. и доп. / С.Э. Батищева, Э.Д. Каданэр, П.М.
Симонов. – Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. – Глава 2.
5. Березнева Н.А. Математические модели экономики: сборник задач: учеб.
пособие для вузов / Отв. ред. д.э.н. Г.М. Мкртчян / Н.А. Березнева, А.В.
Комарова. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. – 143 с.
6. Булгаков В.К. Об оптимальном управлении и оптимальных траекториях
динамики региональной макроэкономики на основе принципа максимума
Понтрягина / В.К. Булгаков, В.В. Стригунов // Журнал вычислительной
математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 5. С. 776-790.
7. Гранберг А.Г. Моделирование модели социалистической экономики:
Учеб. пособие для экон. вузов и фак. / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика,
1978. – 352 с.
8. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства: Учеб. пособие
для студ. вузов, обучающихся по спец. «Экон. кибернетика» / А.Г.
Гранберг. – М.: Экономика, 1985. – 240 с.
9. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики: Учебник для
студ. экон. вузов / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика, 1988. – 488 с.
10. Гришин А.Ф. Статистические модели в экономике: Учеб. пособие / А.Ф.
Гришин, С.Ф. Котов-Дарти, В.Н. Ягунов. – Ростов н/Д: «Феникс», 2005. –
Сер. «Высш. образ.». – Глава 4, 4.1.
91
11. Гришин А.Ф. Статистические модели: построение, оценка, анализ: Учеб.
пособие / А.Ф. Гришин, Е.В. Кочерова. – М.: Финансы и статистика, 2005.
– Глава 4, 4.1.
12. Замков О.О. Математические методы в экономике: Учеб. / Под общ. ред.
д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд.,
стереотип. / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.:
Изд.-во «Дело и Сервис», 2004. – (Учеб. МГУ им. М.В. Ломоносова). –
Глава 10.
13. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов,
А.В. Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979. – Глава 2.
14. Интрилигатор
М.
Математические
методы
в
оптимизации
и
экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана / М.
Интрилигатор. – М.: Айрис-Пресс, 2002. – Глава 8, 8.1.
15. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение /
Г.Б. Клейнер. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 240 с.
16. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учеб. для студ. вузов, обуч. по
экон. спец. – 3-е стереотип. изд. / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2005. – Глава 1.
17. Лопатников
Л.И.
Экономико-математический
словарь:
Словарь
современной экономической науки. – 5-е изд., перераб. и доп. / Л.И.
Лопатников. – М.: Дело, 2003. – 520 с.
18. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование / А.В.
Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Главы 2, 4.
19. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учеб.-прак.
пособие для вузов / В.И. Малыхин. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – Тема 2,
2.1.
20. Матвеенко В.Д. Модели экономической динамики. Учеб. пособие / В.Д.
Матвеенко. – СПб.: СПб. филиал ГУ-ВШЭ, 2006. – 108 с.
21. Математическая экономика на персональном компьютере: пер. с яп. / М.
Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ; Под ред. М. Кубонива; Под
92
ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. – М.: Финансы и статистика, 1991. –
Глава 2, 2.2.
22. Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие / Под
ред. И.В. Котова. – 2-е изд., испр. и доп. – Л.: Изд-во Ленинград. ун-та,
1990. – Глава 1, § 4.
23. Моделирование экономических процессов: Учеб. для студ. вузов, обуч.
по спец. экон. и упр. (060000) / Под ред. М.В.Грачевой, Л.Н.Фадеевой,
Ю.Н.Черемных. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 3.
24. Панюков А.В. Математическое моделирование экономических процессов:
Учеб. пособие / А.В.Панюков. – М.: Кн. дом «ЛИБРОКОМ», 2010. –
Глава 4.
25. Плакунов М.К. Производственные функции в экономическом анализе /
М.К.Плакунов, Р.Л.Раяцкас. – Вильнюс: Минтис, 1984. – 310 с.
26. Поспелов И.Г. Новые принципы и методы разработки макромоделей
экономики и модель современной экономики России / И.Г.Поспелов,
И.И.Поспелова, М.А.Хохлов, Г.Е.Шипулина. – М.: ВЦ РАН, 2006. – 240 с.
27. Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование: учеб. пособие:
2 ч. / П.М.Симонов; Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2009. – Ч. 1. – Глава 10.
28. Столерю
Л.
Равновесие
и
экономический
рост
(принципы
макроэкономического анализа) / Пер. с француз. Научный ред. и предисл.
Б.Л.Исаева / Л.Столерю. – М.: Статистика, 1974. – Глава 11.
29. Сюдсетер К. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
норвежск. Под ред. Е.Ю. Смирновой / К. Сюдсетер, А. Стрём, П. Берк. –
СПб.: Экономическая школа, 2000. – Глава 25.
30. Терехов Л.Л. Производственные функции / Л.Л. Терехов. – М.:
Статистика, 1974. – 128 с. – Сер. «Мат. статистика для экон.».
31. Хеди Э. Производственные функции в сельском хозяйстве / Пер. с англ. /
Э. Хеди, Д. Диллон. – М.: Прогресс, 1965. – 600 c.
93
32. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учеб. / Ю.Н.
Черемных. – М.: ИНФРА-М, 2008. – (Учеб. экон. фак. МГУ им. М.В.
Ломоносова). – Глава 6.
33. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб.
пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. / С.И. Шелобаев. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 1.
34. Шуликовская В.В. Математическая экономика / В.В. Шуликовская. – М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ин-т компьютер.
исслед., 2006. – 96 с.
35. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов
вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд-во «Экзамен», 2004.
– Глава 7.
36. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И.
Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия: Изд. Дом
«Инфра-М», 2003. – 668 с.
37. Arrow K. The economic implications of learning by doing // Review of
Economic Studies. 1962. V. 29. № 80. P. 155-173.
94