математическое моделирование экономических процессов и систем

Б
А
К
А
Л
А
В
Р
И
А
Т
О.А. Волгина, Н.Ю. Голодная, Н.Н. Одияко, Г.И. Шуман
математическое
моделирование
экономических
процессов и систем
Рекомендовано УМО по образованию в области финансов,
учета и мировой экономики
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по специальностям «Мировая экономика»,
«Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Третье издание, стереотипное
КНОРУС • МОСКВА • 2016
УДК 330.4:51(075.8)
ББК 65.050я73
В67
Рецензенты:
М.С. Красс, проф. кафедры математического моделирования экономических
процессов ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», д-р физ.-мат. наук,
В.Г. Сазонов, заведующий кафедрой МБА ВИМО ДВГУ, д-р экон. наук, проф.,
О.С. Молокова, вице-президент Дальневосточного банка, канд. физ.-мат. наук
Авторы-составители — преподаватели кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса:
канд. экон. наук, доц. О.А. Волгина, доц. Н.Ю. Голодная, доц. Н.Н. Одияко,
доц. Г.И. Шуман.
Волгина О.А.
В67 Математическое моделирование экономических процессов и систем :
учебное пособие / О.А. Волгина, Н.Ю. Голодная, Н.Н. Одияко, Г.И. Шуман. — 3-е изд., стер. — М. : КНОРУС, 2016. — 196 с. — (Бакалавриат).
ISBN 978-5-406-04805-4
Представлены некоторые прикладные модели экономических процессов,
а также модели, содержащие дифференциальные уравнения. Приведено большое
количество экономических задач с решениями и использованием информационной
системы Excel. Теоретический материал дополнен примерами. Для контроля и усвоения изучаемых тем даны упражнения и задачи для самостоятельного решения.
Соответствует ФГОС ВО 3+.
Для студентов экономических профилей бакалавриата.
УДК 330.4:51(075.8)
ББК 65.050я73
Волгина Ольга Алексеевна, Голодная Наталья Юрьевна,
Одияко Наталья Николаевна, Шуман Галина Ивановна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ
Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16604 от 07.07.2014.
Изд. № 9924. Формат 60 90/16.
Гарнитура «PetersburgC». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 8,5.
ООО «Издательство «КноРус».
117218, г. Москва, ул. Кедрова, д. 14, корп. 2.
Тел.: 8-495-741-46-28.
E-mail: office@knorus.ru http://www.knorus.ru
Отпечатано в ООО «Контакт».
107150, г. Москва, проезд Подбельского 4-й, дом 3.
©Волгина О.А., Голодная Н.Ю.,
Одияко Н.Н., Шуман Г.И., 2016
ISBN 978-5-406-04805-4
©ООО Издательство «КноРус», 2016
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Некоторые прикладные модели экономических процессов . . . . 7
1.1. Моделирование поведения потребителя . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Моделирование покупательского спроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Моделирование поведения производителя . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4. Производственная функция Кобба — Дугласа . . . . . . . . . . . . . . 51
1.5.Производственная функция с постоянной эластичностью
замещения ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.6. Моделирование предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.7. Моделирование поведения потребителей и производителей . . . . . . 70
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.Модели экономических процессов, содержащие
дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.1. Модель роста с постоянными темпами (без ограничений роста) . . . . 80
2.2. Модель роста с резкой отсечкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3. Рост объема производства, пропорциональный расходу ресурса . . . . 84
2.4.Модель естественного роста в условиях конкуренции
(логистический рост) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5.Модифицированная модель естественного роста. Модель
Харрода — Домара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6. Динамическая модель Кейнса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.7. Неоклассическая модель роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.8. Модель Солоу с непрерывным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.9.Модель Эванса установления равновесной
цены на рынке одного товара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.10. Уравнение Самуэльсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.11.Модель рынка с прогнозируемыми ценами . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.Экономико-математическое моделирование с применением
средств Microsoft Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1. Построение и анализ функций спроса и потребления . . . . . . . . . . 125
3.2. Построение и анализ производственных функций . . . . . . . . . . . . 136
3.3. Анализ функций полных издержек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4 • Содержание
3.4.Анализ максимизации прибыли и определение объема выпуска
продукции монополии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5. Анализ максимизации прибыли в условиях конкуренции . . . . . . . 155
3.6. Модель естественного роста в условиях конкуренции . . . . . . . . . . 159
3.7.Модель естественного роста в условиях конкуренции с учетом
издержек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.8. Модифицированная модель естественного роста . . . . . . . . . . . . 169
3.9. Динамическая модель Кейнса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.10. Неоклассическая модель роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.11. Модель Солоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.12.Динамическая модель Эванса установления равновесной цены
на рынке одного товара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
ВВЕДЕНИЕ
Современная экономика широко использует математические методы как для решения практических задач, так и для моделирования
социально-экономических явлений и процессов. Математические модели являются важнейшим инструментом исследования и прогнозирования. Они представляют собой основу компьютерного моделирования и обработки информации, дают более глубокие представления
о закономерностях экономических процессов, способствуют формированию образа мышления и анализа на новом, более высоком уровне.
Сегодня, в условиях глобализации мировой экономики и становления
общества нового типа — информационного, математические модели становятся мощным инструментом прогнозов эволюции цивилизации, что позволяет определять оптимальные магистрали развития
экономики прежде всего в плане обеспечения жизнедеятельности
человека. По мере дальнейшего развития общества все более важной
является разработка путей совершенствования экономических отношений с точки зрения оптимального использования всех природных,
производственных, материальных и трудовых ресурсов. Поэтому неслучайно экономисты и математики, занимающиеся вопросами применения математики в экономике, большое внимание уделяют разработке математических методов построения оптимальных планов,
обеспечивающих выпуск необходимой продукции при минимальных
затратах труда, и изучению закономерностей наиболее рационального распределения и использования ресурсов производства. Использование математических методов и моделей актуально как на уровне
деятельности фирмы в условиях рынка, так и на уровне планирования
и анализа аспектов экономической деятельности региона и страны.
В учебное пособие включены некоторые прикладные модели экономических процессов – это модели поведения потребителей, модели поведения производителей, модели взаимодействия потребителей
и производителей. Можно показать, что при определенных условиях
существуют цены конкурентного равновесия, при которых каждый
потребитель максимизирует свою полезность, а каждый производитель — свою прибыль. Модели, содержащие дифференциальные уравнения, описывают экономические процессы, которые развиваются во
времени и потому являются динамическими процессами. Динамика
экономического развития на макроуровне изучается в рамках теорий
роста и циклов. Теория роста исследует факторы и условия устойчи-
6 • Введение
вого развития экономики. Экономический рост можно рассматривать
как увеличение объема создаваемых полезностей и, следовательно,
как повышение жизненного уровня населения.
В учебном пособии рассматриваются экономико-математические
модели, общие при обучении студентов по направлению «Экономика». Пособие содержит теоретический материал, примеры решения
практических заданий с использованием информационной системы
Excel и перечень задач для самостоятельного решения.
1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ
МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
Теоретической основой многих математических моделей являются
предельные величины и их соотношения. Предельная, или маржинальная, величина MF(x) определяется как производная для непрерывной
функции F(x): MF(x) = dF / dx. Если функция F(x) не является непрерывной, то под маржинальной величиной понимают отношение приращения функции к приращению аргумента: MF(x) = ∆F / ∆x. Если рассматривать функцию полезности, то ее производная будет называться
предельной полезностью. В теории предельной полезности основным
выводом является утверждение о том, что стоимость материальных
благ определяется их предельной полезностью. Теория предельной полезности, объединенная с теорией предельной производительности
факторов производства, теорией спроса и предложения, охватывает
важнейшие проблемы экономики. Их синтез осуществляется в рамках
моделей равновесия, в которых делаются попытки связать воедино теорию производства, обмена, распределения и потребления. Предельный анализ выступает прежде всего как метод экономического анализа
в предположении об оптимальном характере поведения исследуемой
экономики, ее отдельных процессов и явлений. В экономике можно
увидеть достаточно обширный набор моделей оптимального поведения. Например, в модели поведения потребителя предполагается,
что он ищет максимум полезности. Модели поведения производителя
основаны на предпосылке обеспечения максимума прибыли для предпринимателя, модели рынка — на предпосылке оптимальных стратегий участников обмена, модели общего равновесия — на предпосылке
цен оптимального плана, модели воспроизводства — на предпосылке
оптимального роста. Предельные величины и их соотношения являются исходной основой анализа равновесия для условий свободной
конкуренции и различных видов монополий. Основные идеи теории
предельной полезности нашли наиболее полное отражение в модели
поведения потребителя.
8 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
1.1. Моделирование поведения потребителя
Функция полезности и ее характеристики
Модель поведения потребителя заключается в том, что каждый потребитель, осуществляя выбор различных наборов благ, при заданных
ценах и имеющемся доходе, стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Способность блага удовлетворять
ту или иную потребность потребителя называют полезностью блага.
Сформулируем модель поведения потребителя. Рассматривается
индивидуальный потребитель. Предполагается, что он может представлять собой определенный тип совокупного потребителя. Потребителю предлагается конечное число различных видов n благ. Любой набор благ описывается n-мерным вектором = (х1, х2, …, хn),
где xi ≥ 0 — количество i-го блага, приобретенного потребителем, i = 1,
2, …, n. Предполагается также, что потребитель способен упорядочить
свое отношение к различным наборам благ и расположить их в порядке возрастания полезности. При этом потребитель руководствуется
следующими аксиомами:
а) ненасыщаемостью: больший набор всегда предпочитается меньшему набору. Если
, то ;
б) совершенностью: в отношении двух наборов и Потребитель
может однозначно определить, предпочитает он набор
набору ,
набор предпочитает набору или они для него равнозначны (эквивалентны). Совершенность отношения означает, что для любых двух
наборов обязательно имеет место соотношение
,
или ~
. Это в свою очередь означает, что не существует таких наборов, которые потребитель не мог бы сравнить с другими;
в) транзитивностью: для трех наборов
следует, что если
,
а , то . Эта аксиома отражает совместимость (непротиворечивость) оценок потребителя;
г) рефлексивностью: потребитель всегда выбирает наиболее предпочтительный набор из существующих, который обеспечивает ему
больший уровень удовлетворения потребностей.
После упорядочения отношений потребителя к различным наборам благ строится функция предпочтений, или функция порядковой
полезности. Функция полезности не является измерителем какой-то
конкретной «полезности», она лишь дает представление о ранжировании различных наборов благ, почему и называется функцией порядко-
1.1. Моделирование поведения потребителя • 9
вой полезности. Порядковый подход к анализу полезности является
наиболее распространенным. От потребителя не требуется, чтобы он
умел соизмерять блага в каких-то искусственных единицах измерения.
Достаточно, чтобы потребитель был способен упорядочить все возможные блага по их предпочтительности.
Таким образом, функция полезности является индикатором
предпочтения, поскольку потребитель предпочитает выбирать набор , а не набор , если
. Значение функции полезности
на потребительском наборе
равно
потребительской оценке индивидуума для этого набора.
Потребительскую оценку u = u (x1, x2, …, xn) набора
называют уровнем, или степенью, удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет набор
.
Отсюда следует, что потребитель при выборе набора благ стремится максимизировать свою функцию полезности. Она рассматривается как некоторая монотонно возрастающая функция, определенная
на множестве потребительских наборов. Функция полезности
,
упорядочивающая совокупности наборов благ по степени предпочтения, для каждого потребителя своя.
Геометрическим образом функции полезности является гиперповерхность в (n + 1)-мерном пространстве, где n измерений образуют
блага, (n + 1) измерение характеризует полезность каждого из соотношений благ при потреблении. В экономическом анализе часто используются некоторые конкретные виды функций полезности, причем
подбор вида функций и оценка числовых значений параметров производятся на основе наблюдений и анализа поведения потребителей
и тенденций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния. Приведем некоторые типы функций полезности (табл. 1.1).
Типы функций полезности
Тип
Логарифмическая
Мультипликативная
Аддитивная
Функция
Таблица 1.1
Ограничения
10 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Окончание
Квадратичная
B = {bij} — отрицательно
определенная матрица
Предельный анализ функции полезности. Частные производные
первого порядка
функции полезности
называют предельной полезностью i-го блага и обозначают символом
,
. Предельная полезность i-го блага показывает, на сколько
единиц изменится полезность набора благ, если количество потребляемого i-го блага изменится на единицу («малую единицу»).
Вектор, составленный из частных производных функции полезности, называют вектором предельных полезностей, или, как известно,
градиентом:
.
Он показывает направление наибольшего роста значений функции.
Предельные полезностные оценки характеризуют потребительскую
стоимость товаров. Количественное выражение отклонения цены
от стоимости есть мера отклонения полезности от стоимости. В основе экономического содержания цены равновесия, а значит, и данного
соотношения спроса и предложения, лежит соотношение стоимости
и полезности. При строгой пропорциональности общественного производства общественным потребностям цена равновесия будет равна
стоимости и предельные полезностные оценки будут им пропорциональны.
Свойства функции полезности. Рассмотрим функцию полезности
двух переменных u = u(x1, x2) и будем предполагать, что она дважды
дифференцируема и строго вогнута. Сформулируем свойства функции
полезности:
•с ростом потребления одного из благ и при постоянном потреблении другого блага полезность растет. Функция полезности является возрастающей по любому ее аргументу, и ее частные производные, определяющие предельную полезность благ, всегда
положительны:
;
1.1. Моделирование поведения потребителя • 11
•небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии
резко увеличивает полезность:
;
•предельная полезность каждого блага уменьшается, если объем его
потребления растет. Другими словами, с ростом потребления блага
скорость роста полезности замедляется, т.е. каждая дополнительная
единица приобретенного блага используется менее эффективно.
В этом случае вторые производные функции полезности отрица, i = 1, 2. Это свойство называют законом Госсетельны:
на, или законом убывающей предельной полезности;
•при очень большом объеме блага его дальнейшее увеличение
не приводит к увеличению полезности:
;
•предельная полезность каждого блага увеличивается, если растет
объем потребления другого блага. В этом случае смешанные производные второго порядка функции полезности положительны:
. Здесь благо, количество которого фиксировано,
оказывается относительно дефицитным, поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и используется
эффективнее. Данное свойство справедливо лишь для благ, не являющихся полностью замещаемыми в потреблении.
Замечание. Линейная функция полезности не удовлетворяет второму и пятому свойствам. Пятое свойство не выполняется для благ,
не являющихся полностью замещаемыми в потреблении.
Графический анализ функции полезности. Рассмотрим функцию полезности двух переменных u = u(x1, x2).
Определение. Линией уровня функции u = u(x1, x2) называют геометрическое место точек плоскости, в которых функция принимает одно
и то же постоянное значение, равное u0, т.е.
.
Построим линию уровня для функции
(рис. 1.1).
Для построения линии уровня график функции u = u(x1, x2) пересечем плоскостью P, параллельной плоскости
на высоте u0.
В результате пересечения получим плоскую горизонтальную линию
, которая как бы «зависает» над плоскостью
на высоте u0.
Проектируя линию
на плоскость
, получим линию уровня ,
представленную на рис. 1.1. Поскольку u0 может принимать различные
значения, то функция u = u(x1, x2) имеет много линий уровня. Совокупность всех линий уровня функции u = u(x1, x2) называют картой линий уровня. По карте линий уровня можно получить довольно точное
представление о характере графика функции.
12 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
u
P
Lu0
x2
u0
Iu
0
0
x1
Рис. 1.1. Линия уровня
Кривые безразличия. Для функции полезности линии уровня называют кривыми (или линиями) безразличия. Кривая безразличия —
это геометрическое место точек плоскости. Каждая из них представляет собой такую комбинацию материальных благ, которая обеспечивает
одну и ту же полезность, и потребителю безразлично, какую из точек
на данной кривой выбирать.
С помощью кривых безразличия ранжируется порядковая полезность комбинаций благ, но не дается количественное выражение самой
полезности. Они лишь указывают, что величина полезности возрастает
при переходе от менее предпочтительных наборов к более предпочтительным. Таким образом, кривые безразличия являются графическим
представлением порядковой полезности.
Типы кривых безразличия. В зависимости от вида функций полезности различают следующие типы кривых безразличия:
а) линейная (аддитивная) функция полезности с полным взаимозамещением благ
, где a и b — параметры, представляющие
собой пропорции, в которых одно благо может быть заменено другим.
Данная функция описывает предпочтения потребителя, когда уменьшение потребления какого-либо вида блага может быть заменено потреблением дополнительных единиц другого блага. Уравнение кривой
безразличия для линейной функции имеет вид
,
а график этих кривых линейного типа представлен на рис. 1.2;
б) неоклассическая (мультипликативная) функция полезности
, где ,
, A > 0. Данная функция описывает
предпочтения потребителя, когда важно включить в набор какое-то
количество единиц каждого блага. При этом увеличение потребления одного блага компенсируется за счет уменьшения потребления
другого блага. Уравнение кривой безразличия этого типа имеет вид
1.1. Моделирование поведения потребителя • 13
. График кривых безразличия для функции полезности
неоклассического типа представлен на рис. 1.3.
в) функция полезности с полным взаимодополнением благ (функция Леонтьева) имеет кривые безразличия в виде точки на пересечении двух прямых (рис. 1.4). Избыток одного блага не имеет значения.
Потребителю важно приобретать блага в определенной пропорции.
Полезность достигается лишь при определенной комбинации благ
.
x2
0
x1
Рис. 1.2. Кривые безразличия линейного типа
x2
0
x1
Рис. 1.3. Кривые безразличия неоклассического типа
x2
0
x1
Рис. 1.4. Кривые безразличия для функции с полным взаимодополнением благ
14 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Свойства кривых безразличия. Перечислим свойства кривых безразличия:
•на основании первой аксиомы поведения потребителя кривая
безразличия, лежащая выше и правее другой кривой, представляет собой более предпочтительные наборы благ;
•кривые безразличия никогда не пересекаются, т.е. через любую
точку на карте можно провести только одну кривую безразличия. В противном случае один и тот же набор благ одновременно
соответствовал бы нескольким разным уровням материального
благосостояния;
•кривые безразличия имеют отрицательный наклон и вогнуты
(вытекает из строгой вогнутости функции полезности).
Покажем, что кривая безразличия является убывающей и вогнутой
функцией.
Кривую безразличия, заданную соотношением u(x1, x2) = g, можно рассматривать как функцию x2 = f (x1). На кривой безразличия
возьмем произвольную точку (x1, x2), для которой u(x1, x2) = g. Переменным x1 и x2 дадим малые приращения ∆x1 и ∆x2, такие, чтобы
точка
также лежала на этой кривой, т.е.
, тогда u(x1, x2) = u(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2) или . Левая часть равенства представляет
собой полное приращение функции u (x1, x2), и оно равно нулю. Так
как ∆x1 и ∆x2 стремятся к нулю, то полный дифференциал функции
u(x1, x2) равен нулю, т.е. du = 0, или
. Отсюда найдем
Это значит, что кривая безразличия является убывающей функцией.
Найдем вторую производную функции
:
.
Положительность второй производной следует из свойств функции
полезности:
1.1. Моделирование поведения потребителя • 15
Вторая производная функции
положительна, и, следовательно, кривые безразличия вогнуты.
Предельная норма замещения благ. Определение. Величина
(1.1)
называется предельной нормой замещения благ и показывает,
на сколько единиц увеличится (уменьшится) потребление второго
блага при уменьшении (увеличении) первого блага на единицу без изменения функции полезности, обозначается MRS (Marginal Rate of
Substitution).
Из формулы (1.1) следует, что предельная норма замещения благ
равна обратному соотношению их предельных полезностей. Знак минус говорит о том, что предельная норма замещения благ есть величина
убывающая и увеличение количества одного блага приводит к уменьшению количества другого блага.
Бюджетное ограничение. Кривые безразличия, ранжируя порядковую полезность комбинаций благ по степени их предпочтения, сами
по себе не содержат достаточной информации для определения поведения потребителя, не дают количественного выражения самой полезности. Нужны еще сведения о потребительском доходе и рыночных
ценах.
Информация о ценах и доходе задается бюджетной линией или линией цен. Уровень бюджетной линии отражает ограничения в доходе,
а ее наклон — соотношение цен.
Определение. Бюджетным множеством называется множество всех
наборов благ, которые может приобрести потребитель, имея доход I.
Бюджетное
множество
описывается
неравенством
,
где — вектор цен,
— вектор благ.
Определение. Бюджетная линия — геометрическое место точек всех
комбинаций благ, стоимость которых равна определенной сумме. Она
характеризует реальную покупательскую способность потребителя
благ и соотношение цен этих благ.
16 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Для пространства двух благ, например в виде двух агрегированных
товаров, при постоянных ценах на оба блага бюджетная линия обладает следующими свойствами:
;
•является прямой линией
;
•имеет отрицательный наклон
•наклон равен обратному соотношению цен благ, взятому с обратным знаком. Действительно, выразив
, найдем
.
Задача о максимальном выборе потребителя
В основе модели поведения потребителя лежит утверждение о том,
что при установленных ценах и имеющемся доходе потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей,
т.е. получить максимум полезности. Сформулируем задачу о максимальном выборе потребителя.
Имеется потребитель с определенным доходом I, предназначенным для приобретения набора благ
по ценам
соответственно. Ограниченность возможного выбора потребителя выражается с помощью бюджетного ограничения:
. Требуется найти максимум функции полезности
.
должен удовлетворять
Оптимальный набор благ
бюджетному ограничению как точному равенству. Действительно,
если бы оптимальный набор достигался при условии
, то потребитель мог бы купить на оставшиеся деньги некоторое количество блага и тем самым улучшить свой набор с большей полезностью.
Можно определить математические условия оптимальности решений для модели поведения потребителя. Очевидно, что задача о максимальном выборе потребителя сводится к обычной задаче отыскания
условного экстремума целевой функции полезности. Решение этой задачи на условный экстремум находится с помощью метода множителей Лагранжа. Строим функцию Лагранжа относительно xi и l:
,
где множитель Лагранжа l является оптимальной оценкой дохода.
1.1. Моделирование поведения потребителя • 17
Необходимые условия оптимальности решения определяются системой ограничений (i = 1, 2, ..., n):
или Это означает, что потребители должны выбирать блага таким образом, чтобы отношение предельной полезности благ к их цене были
одинаковыми для всех приобретенных благ. Другими словами, в оптимальном наборе благ предельные полезности выбираемых благ должны быть пропорциональны ценам:
.
Оптимальный набор благ
получают при решении системы ограничений. При этом оптимальное значение множителя Лагранжа l* называют предельной полезностью денег и объясняют
как прирост полезности при увеличении дохода на малую единицу. Таким образом, множитель Лагранжа является оптимальной оценкой дохода.
Пример. Рассмотрим функцию полезности
при бюджетном ограничении
. Найдем набор благ,
при котором полезность максимальна.
Решение. Составим функцию Лагранжа
.
Необходимые условия максимальности решения определяются системой ограничений:
или Решим эту систему.
Оптимальное решение имеет вид
его в бюджетное ограничение, получим l*:
да
.
. Подставив
, тог-
18 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Набор благ, который соответствует максимальному спросу и при котором достигается максимальная полезность, равен
. Как видно из данного решения, оптимальный набор потребителя имеет естественный вид: количество потребляемого блага прямо пропорционально доходу I и обратно пропорционально его цене.
Пример. Рассмотрим функцию полезности
.
Требуется найти при заданных ценах p1, p2 и доходе I максимальную
функцию спроса.
Решение. Функция
означает, что излишки
первого или второго товара сверх отношения 2:1 не приносят пользы
потребителю. Он получает большую пользу только при увеличении
обоих товаров в пределах сохранения пропорции 2:1. Товары с такой
функцией полезности называются взаимодополняемыми. Решение
данной задачи состоит в решении системы
Ее решение есть
Замечание. В более реалистических вариантах задачи максимального выбора потребителя с помощью дополнительных условий могут
быть учтены ограничения по ассортименту потребительских благ, возможность замены благ и др.
Геометрическая интерпретация модели заключается в том, что максимальная полезность достигается в точке касания самой высокой
кривой безразличия и бюджетной линии. Такая точка называется точкой равновесия. В этой точке наклоны бюджетной линии и кривой
безразличия равны. Так как наклон бюджетной линии равен обратному соотношению цен, а наклон кривой безразличия — обратному
соотношению предельных полезностей, то равенство соотношения
цен соотношению предельных полезностей существует только в точке
равновесия. Таким образом, дополнительная полезность, приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат, в точке оптимума
одинакова по всем видам благ.
При оптимальном выборе благ выполняются:
•отношение предельных полезностей благ в точке оптимального
выбора равно отношению цен этих благ:
,
;
1.2. Моделирование покупательского спроса • 19
•предельные полезности благ пропорциональны их ценам:
;
•предельная полезность, падающая на денежную единицу (д.е.),
должна быть одной и той же для всех покупаемых благ:
;
•равные предельные полезности на расходуемые денежные еди-
ницы равны предельной полезности денег l*;
•предельные полезности денежной единицы для лиц с разным
уровнем дохода различны (l* уменьшается с ростом дохода и возрастает с падением дохода).
1.2. Моделирование покупательского спроса
Функции спроса и их характеристики
Решение задачи о максимальном выборе потребителя позволяет
проследить связь между изменением системы цен и доходов групп
потребителей, с одной стороны, и спросом этих групп потребителей
на различные виды благ (товары и услуги), с другой стороны, и построить, таким образом, функцию оптимального спроса.
Определение. Функциями спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на различные виды благ от комплекса факторов, влияющих на него. Такие функции применяются
в аналитических моделях спроса и потребления и строятся на основе
информации о структуре доходов населения, ценах на товары и услуги,
составе семей и других факторов.
Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух
факторов — дохода и цен. Пусть в модели поведения потребителя це2ны
p1, p2, ..., pn и доход I рассматриваются как меняющиеся параметры.
Условие
обусловливает примерные оценки отношения
рыночных цен при известных конечных изменениях объемов благ
в потребительском наборе. Причем координаты
решения задачи потребительского выбора — это функции параметров p1, p2,
20 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
..., pn и I. Тогда решением оптимизационной задачи будет функция
, i = 1, 2, ..., n. Важным
спроса по каждому благу
свойством функций спроса является то, что их значения инвариантны
по отношению к пропорциональным изменениям цен и дохода (если
все цены и доход изменяются, величина спроса на благо остается неизменной).
В общей форме функцию спроса можно представить в виде
Di = xi = f(p1, p2, ..., pn, I).
В ряде случаев функции спроса имеют простой вид и зависят от вида
функции полезности. Однако в подавляющем большинстве случаев
конкретная форма функции спроса определяется путем статистической обработки результатов специальных наблюдений за доходами
и расходами представителей различных социальных групп.
Предельный спрос. Эластичность спроса. Если функция спроса является функцией одной переменной (цены или дохода), то предельным
спросом называют ее первую производную относительно цены или дохода: dD/dp или dD/dI, которая показывает, как изменится спрос, если
цена или доход изменится на единицу.
Эластичность функции — это относительная производная, которая
определяется как предел (если он существует) отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится к нулю.
Получим формулу эластичности спроса по цене:
=
=
.
Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос, если цена изменится на 1%.
Аналогично можно получить форму эластичности спроса по доходу: EI (D) = I/D · dD/dI. Эластичность спроса по доходу показывает,
на сколько процентов изменится спрос, если доход изменится на 1%.
Если функция спроса является функцией нескольких переменных,
то предельным спросом называют ее первые частные производные.
Например, предельный спрос
относительно цены pi показывает,
как изменится спрос на i-е благо, если цена на него изменится на единицу при неизменной цене на другие блага.
Частные эластичности спроса на i-е благо относительно цены i-го
блага
показывают, на сколько процентов изменится
1.2. Моделирование покупательского спроса • 21
спрос на i-е благо, если цена на него изменится на 1%, при неизменной цене на другие блага.
Частные эластичности спроса на i-е благо относительно цены
j-го блага
показывают, на сколько процентов изменится спрос на i-е благо, если цена j-го блага изменится на 1%, при неизменной цене i-го блага.
Эластичность спроса на i-е благо относительно дохода
показывает, на сколько процентов изменится спрос
на i-е благо, если доход изменится на 1%.
В результате изучения функции спроса устанавливаются классификационные признаки благ, если для некоторых благ выполняются:
•условие
, то они называются нормальными, так как
спрос на них снижается по мере увеличения цены;
, то они называются аномальными, или товарами Гиффина, так как при увеличении цены спрос на них также
увеличивается;
, то они называются ценными, так как при уве•условие
личении дохода спрос на них растет;
, то они называются малоценными, так как
•условие
спрос на них снижается по мере увеличения дохода.
Функция спроса по цене. При фиксированном доходе и в практических целях для нормальных товаров используются, как правило, функции спроса двух видов:
а) линейная функция спроса
•условие
,
где — статистически оцениваемые параметры модели;
б) степенная функция спроса
,
Для линейной функции спроса эластичность спроса по цене вычисляется по формуле
где — среднее значение цены;
ванной выборке.
— среднее значение спроса по использо-
Очевидно, что для степенной функции спроса
.
22 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Если коэффициент эластичности близок к нулю
, то спрос
на благо практически не зависит от его цены. В этом случае говорят,
что спрос неэластичен по цене. Это относится в основном к предметам
первой необходимости.
Спрос называется нормально эластичным, если
, что имеет место для товаров длительного пользования.
Для предметов роскоши обычно E > 1, т.е. спрос является эластичным.
Функция спроса по доходу. При постоянных ценах блага различаются по характеру изменения спроса в зависимости от величины дохода I.
Благо i называется ценным (или товаром высшего ряда), если
т.е. спрос на него возрастает по мере перехода от менее доходных групп
потребителей к более доходным.
Для малоценного блага имеет место противоположное неравенство
,
что означает вытеснение этого блага из потребительского набора группы потребителей по мере увеличения ее категории доходности. Рассмотрим следующие функции спроса по доходу.
А. Степенная функция спроса по доходу (функция Энгеля)
Здесь показатель g имеет смысл коэффициента эластичности,
так как он показывает, на сколько процентов увеличится спрос на благо, если доход увеличится на 1%.
Коэффициент эластичности спроса от дохода находится по следующей формуле
Для предметов первой необходимости показатель g < 1, т.е. при увеличении дохода дополнительные затраты на товары данной категории
составляют все убывающую долю. Для предметов длительного поль, что означает примерное позования показатель эластичности
стоянство доли расходов на эти предметы в дополнительном доходе.
1.2. Моделирование покупательского спроса • 23
Для предметов роскоши показатель эластичности g > 1. Это означает,
что при значительном увеличении дохода все большая часть его прироста тратится именно на предметы этой группы.
Б. Функции спроса по доходу Торнквиста.
Разделение потребляемых благ и услуг на ряд различных групп далее получило развитие при конструировании так называемых функций
Торнквиста. Для товаров первой необходимости эта функция определяется в виде
,
где a1, b1 — параметры модели.
Заметим, что при очень большом доходе, условно представляемом
как , величина спроса
, что выражает факт асимптотического насыщения потребителя предметами первой необходимости.
Функция спроса Торнквиста для товаров длительного пользования
имеет вид
, если
где ,
a2, b2 — параметры модели.
Спрос на эти товары возникает лишь с некоторого (достаточно высокого) уровня дохода I2. Если I < I2, то D2 = 0.
Как видно, спрос на товары этой группы также имеет асимптотическую тенденцию к насыщению, поскольку
.
Для предметов роскоши используется формула, в которой отсутствует тенденция к насыщению, а спрос начинается с еще более высокого уровня дохода I3
, если
;
D3 = 0, если I < I3.
Очевидно, что при достаточно больших значениях дохода I получим
, т.е. если , то и это означает, что практически весь
прирост дохода тратится на предметы роскоши. Графическое изображение функций Энгеля и Торнквиста для трех групп товаров представлено соответственно на рис. 1.5 и 1.6.
24 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
α>1
D
α=1
α<1
0
I
Рис. 1.5. Кривые Энгеля
D2
D
D2
D1
I1
0
I2
I3
I
Рис. 1.6. Кривые Торнквиста
Модель Стоуна
Найдем функцию спроса для конкретной функции полезности
(функции потребительского предпочтения), называемой функцией
Стоуна и имеющей вид
(1.2)
где ai — необходимое минимальное количество i-го блага, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора.
Для того чтобы набор
мог быть полностью приобретен, нужно, чтобы доход I был больше общего количества денег,
необходимого для покупки этого набора, т.е.
. Показатели
степени
бителя.
характеризуют относительную ценность благ для потре-
1.2. Моделирование покупательского спроса • 25
Добавив к целевой функции (1.2) бюджетные ограничения, получим модель Стоуна
.
Для того чтобы найти функции спроса, составим функцию Лагранжа
,
найдем ее частные производные первого порядка по xi и приравняем
к нулю:
откуда
.
К этим условиям добавляем равенство
(1.3)
, выполнение
которого эквивалентно равенству нулю частной производной функции Лагранжа по переменной l. Умножив каждое i-е условие на и просуммировав их по i, получим
.
Поскольку в точке оптимума бюджетное ограничение выполняется
, заменим
на I и получим
как равенство
.
Тогда любое xj, j = 1, 2, ..., n, учитывая (1.3), найдем по формуле
.
Из полученной функции видно, что вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага aj, а затем рассчитыва-
26 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
ется сумма денег, которая остается после этого и распределяется пропорционально «весам» важности aj. Разделив количество денег на цену
pj, получаем дополнительно приобретаемое сверх минимума количество j-го блага и прибавляем его к aj.
Если в модели Стоуна все aj = 0, а все ai равны между собой, то получаем
,
(1.4)
т.е. доход делится на n равных частей и спрос на j-е благо рассчитывается как частное от деления полученной суммы денег на ее цену. Из формулы (1.4) видно, что спрос растет при росте дохода с эластичностью,
равной единице, и уменьшается с ростом цены с эластичностью, равной минус единице. Тем самым каждое благо в этой модели является
нормальным и ценным. Кроме того, спрос растет до бесконечности
при бесконечном росте дохода:
, в этом случае каждое
благо является предметом роскоши.
Для того чтобы описать более разнообразные формы поведения
спроса на различные блага, модель должна включать другие, более
сложные виды целевой функции полезности.
Например, если функция полезности задана выражением
, где a, b — параметры, функция
спроса имеет вид
;
•для предметов первой необходимости
•для предметов роскоши
.
Взаимозаменяемость благ и эффекты компенсации. Если функция
спроса имеет вид
или если aj не равны между собой,
, то спрос на j-е благо не зависит от цены на любое i-е
благо. Перекрестные функции спроса от цен характеризуют такие
свойства благ, как взаимозаменяемость и взаимодополняемость. Если
при росте цены на i-е благо и снижении спроса на него растет спрос
на j-е благо, то эти два блага взаимозаменяемы. Если же спрос на j-е
благо также падает, то эти два блага взаимодополняемы.
Реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния при росте цены i-го блага: j-е благо может заменять
1.2. Моделирование покупательского спроса • 27
i-е в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя. Для того чтобы избавиться
от этого искажения, используют понятие компенсированного изменения цены, т.е. такого изменения, которое сопровождается увеличением дохода потребителя для поддержания прежнего уровня благосостояния. Рассмотрим компенсированное изменение цены на графике
(рис. 1.7).
x2
С
В
А
lg
1
lg2
0
2
3
1
x1
Рис. 1.7. Компенсированное изменение цены
Пусть цена первого блага повысилась с до , тогда бюджетная
прямая из положения 1 перейдет в положение 2. Точка равновесия A
на кривой безразличия , в которой достигался первоначальный максимум полезности, будет заменена новой точкой равновесия B (точка
касания новой линии безразличия
и новой бюджетной прямой).
Чтобы компенсировать потребителю потерю благосостояния, надо
увеличить его доход так, чтобы новая бюджетная прямая 3, параллельная бюджетной прямой 2, коснулась в некоторой точке C прежней линии безразличия . Вектор
показывает «эффект замены» при росте цены, т.е. изменение структуры спроса при условии поддержания
прежнего уровня благосостояния. Вектор
отражает «эффект
дохода», т.е. изменение потребительского спроса при сохранении
соотношения цен благ и изменении уровня дохода. Общий результат роста цены (при отсутствии компенсации) выражается векто.
ром
Для анализа компенсационных эффектов рассмотрим примеры.
Пример. Пусть целевая функция полезности зависит от двух благ x1
и x2 и имеет вид
. Пусть цены благ p1 и p2 равны
соответственно 10 и 2, а доход потребителя I равен 60. Требуется определить необходимый размер компенсации.
28 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Решение. Согласно формуле (1.4), функция спроса
, тогда
получим
,
, u* = 45. Пусть теперь p2
меняется с 2 до 7. Чтобы приобрести прежний оптимальный набор,
потребителю необходимо дополнительно
денежных
единиц (д.е.). Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, и необходимая минимальная компенсация
будет меньше, чем 75. Пусть потребитель получает дополнительное количество денег М. Тогда при новых ценах его спрос на первое и второе
блага равен:
Целевая функция будет
равна
=
, и это выражение должно равняться начальному u* = 45. Отсюда
, что существенно меньше, чем 75.
Пример. Пусть целевая функция полезности
, цены
благ равны p1 и p2, а доход I. Очевидно, что
;
;
;
.
Пусть теперь p1 выросла в z раз (z > 1), при этом потребитель получает необходимую компенсацию. Новый размер дохода обозначим через , спрос —
и . Очевидно, что ,
и условие компенсации
, откуда
,
.
Итак, спрос на первый товар в случае с компенсацией сократится
в раз (а не в z раз, как без нее), а спрос на второй товар в раз вырастет. В случае роста цены второго товара ситуация будет полностью
симметричной.
при i = 1, j = 2 или j = 1, i = 2. ИнТаким образом,
декс «comp» означает, что перекрестная частная производная спроса
рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня
благосостояния компенсации дохода. Условие компенсации снимает
«эффект дохода», оставляя лишь «эффект замены», что позволяет более точно определить понятия взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценивать эти характеристики.
Блага i и j, если
, называются взаимозаменяемыми, если
и (эти два условия равносильны),
и взаимодополняемыми, если
и .
Рассчитаем теперь эти частные производные для рассматриваемой
задачи, когда p1 возрастет в z раз. В этом случае приращение
1.2. Моделирование покупательского спроса • 29
;
;
.
Отсюда
.
Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемости благ в рассматриваемой задаче.
Уравнение Слуцкого
Это уравнение позволяет установить зависимость, связывающую
действие «эффекта замены» и «эффекта дохода» с результирующим изменением спроса,
при .
Первое слагаемое в правой части описывает действие «эффекта замены», второе — действие «эффекта дохода», выраженное в тех же единицах измерения (множитель xj приводит их к одной размерности).
Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода. Для ценных товаров величина
, т.е. спрос растет при росте дохода. В этом случае, согласно
уравнению Слуцкого,
, если спрос растет, то он
растет в большей степени при наличии компенсации, если падает —
то в меньшей степени. Может оказаться и так, что ,
, т.е. товары i и j взаимозаменяемы, но представляно ются взаимодополняемыми без учета компенсации. Уравнение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих i и j.
Проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной выше задачи
потребительского выбора с функцией полезности
. Как
было получено,
30 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
;
;
;
;
.
Отсюда следует:
и .
Итак, в обоих случаях (i = j и
) уравнение Слуцкого выполняется.
Уравнение Слуцкого может быть использовано для нахожде, т.е. для расчета эффекта замены и оценки взаимония
заменяемости или взаимодополняемости благ, поскольку частные
производные без компенсации рассчитываются значительно легче
(как это было показано выше).
Рассмотрим эластичности функции спроса
. Эластичность спроса по цене равна
, эластичность спроса по доходу —
. Для функции
получим Eii = –1, Eij = 0, EiI = 1.
Если в функции спроса
все цены и доход увеличить в одно и то же количество раз l, то спрос xi не изменится. Таким
образом,
, т.е. функция спроса является
однородной нулевой степени. Отсюда, согласно уравнению Эйлера,
должно выполняться равенство
,
разделив которое на xi, получим равенство
, т.е. нулю долж-
на равняться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.
Покажем, что, если в задаче потребительского выбора всего два
блага, они обязательно являются взаимозаменяемыми. Для этого вос, и положительностью частных
пользуемся тем, что производных функции полезности.
Предположим, что выросла цена первого блага p1. Поскольку
, спрос на это благо при условии компенсации падает.
Если бы при этом упал спрос и на второе благо, то получили бы точку,
в которой обоих благ меньше, чем в начальной. Следовательно, в этой
точке значение функции полезности u(x1, x2) должно быть также мень-
1.3. Моделирование поведения производителя • 31
ше (а мы знаем, что в условиях компенсации оно равно начальному
значению). Следовательно, спрос на второе благо при условии компенсации должен вырасти (т.е.
), и он является взаимозаменяемым с первым благом.
1.3. Моделирование поведения производителя
Производственная функция и ее характеристики
Проанализировав модель поведения потребителя, перейдем к рассмотрению модели поведения производителя. Теория производства начинается с техники и технологии. При прочих равных условиях уровень
эффективности производства определяется ими. Однако этот уровень
зависит от реально существующей или возможной комбинации средств
производства и труда. При этом для каждого отдельного периода всегда
существует максимальный объем выпуска продукции, который можно получить благодаря оптимальной комбинации данных факторов
производства. Количественная взаимосвязь между факторами производства и выпуском продукции может быть выражена в виде функции,
которая получила название производственной функции (ПФ).
Определение. Математическое выражение зависимости результатов
производственной деятельности (величины выпускаемой продукции)
от обуславливающих эти результаты показателей факторов производства (ресурсов) называется производственной функцией.
С учетом изучаемой зависимости и задач исследования применяются разнообразные виды ПФ. В простейшем случае результат производственной деятельности (выпуск продукции) может зависеть от одного
фактора производства. В этом случае ПФ называется одноресурсной,
или однофакторной, и имеет вид y = f(a, x) или F(a, y, x) = 0, где a —
статистически определяемый параметр.
Чаще всего встречаются многофакторные ПФ, позволяющие изучить совместное влияние нескольких показателей факторов на величину изучаемого результативного показателя. В общем виде уравнение
многофакторной ПФ можно представить в виде
или , где (x1, x2, ..., xn) — вектор затрат (ресурсов,
производственных факторов), — вектор параметров. С помощью
этих параметров обеспечивается устойчивая связь между затратами ресурсов и выпуском продукции.
32 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Многообразие производственных процессов предопределяет и многообразие ПФ. Эти функции для предприятий, фирм (даже при изготовлении одного и того же вида продукции) не одинаковы, поскольку
различны затраты и выпуск. Конкретный вид функции всецело определяется видом технико-экономических зависимостей между затратами и выпуском продукции.
В настоящее время получил развитие статистический подход к построению ПФ для конкретных хозяйственных единиц. При этом
обычно используется некоторый стандартный набор алгебраических
выражений, параметры которых находятся методами математической
статистики.
Среди разнообразных типов ПФ наиболее часто применяются: линейные функции вида
, для которых легко решается за-
дача оценивания коэффициентов (параметров) по статистическим
данным; степенные функции вида
где — па-
раметры, их конкретные числовые значения определяются на основе
статистических данных с помощью корреляционных методов,
Коэффициент a0 означает размерность и зависим от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Степенные
коэффициенты
показывают ту долю в приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей xi.
Под переменными производственной функции имеют в виду все измеримые факторы производства, влияющие на объем производимой
продукции: различные виды средств производства, рабочую силу, природные ресурсы, в том числе и такие факторы, как уровень концентрации производства, степень его организации, фактор времени и др.
Факторы производства, как и производимая продукция, могут быть
заданы в физических единицах измерения или в стоимостном, денежном выражении. Конечной целью после построения ПФ является ее
оптимизация, т.е. требуется найти max ПФ
при ограничениях на ресурсы, которые задаются в натуральной
или стоимостной форме.
Рассмотрим ПФ от двух переменных (факторов), дадим ее графическое изображение. Пусть y = f(x1, x2) — ПФ, где y — объем производимой продукции, x1, x2 — факторы производства, f — вид зависимости.
В соответствии с рис. 1.8 значения ПФ y представлены производственной поверхностью, которая является геометрическим местом точек
при различных комбинациях факторов производства x1, x2.
1.3. Моделирование поведения производителя • 33
q
0
q
I
q
II
q
0
x2
I
I
II
x1 ,
x1, x2
0
II
x2
0
x1 , x2
x1
Рис. 1.8. График производственной функции двух переменных
Предельный анализ производственной функции. Использование методов предельного анализа, предельных полезностных оценок в экономическом анализе и ценообразовании играет существенную роль
в достижении конечных результатов деятельности любого экономического объекта.
В предположении о дифференцируемости ПФ в каждой точке множества возможных комбинаций ресурсов можно рассмотреть частные
производные первого порядка
≥ 0, где i = 1, 2, ..., n для любого
набора возможных комбинаций ресурсов.
Определение. Частные производные первого порядка ПФ называют
предельной производительностью i-го ресурса, которая показывает,
на сколько единиц изменится выпуск продукции, если количество потребляемого i-го ресурса изменится на единицу («малую единицу»),
и обозначают
.
Таким образом, предельная производительность используемых ресурсов показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного ресурса.
Предельной производительностью того или иного фактора производства, его предельным продуктом называется добавочный продукт
(дополнительное расширение производства), полученный благодаря
увеличению того или иного фактора производства (труда, земли, отдельного вида сырья, машин и др.) на одну единицу при неизменности
остальных факторов.
34 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В данном определении речь идет о физическом объеме предельного продукта. Наряду с ним существуют понятия предельного дохода
как денежного эквивалента предельного продукта, предельной прибыли.
Предельная производительность ресурсов (факторов производства)
есть величина размерная, ее значение зависит от того, в каких единицах измеряются используемые ресурсы.
Коэффициенты эластичности выпуска по факторам производства
(ресурсам). Наряду с вычислением абсолютного прироста продукции на единицу прироста затрат в экономике используют показатель, характеризующий относительный прирост объема производства
на единицу относительного увеличения ресурса. Для этого необходимо предельную отдачу ресурса разделить на объем выпускаемой продукции и умножить на величину затрат ресурса. Получим выражение
называемое эластичностью выпуска продукции по затратам i-го ресурса. Полученный показатель показывает, на сколько
процентов изменится выпуск продукции при изменении затрат i-го
ресурса на 1% (при неизменном количестве остальных ресурсов). Эластичность (коэффициенты эластичности) выпуска по затратам i-го ресурса — величина безразмерная и равна отношению предельной производительности i-го ресурса к средней производительности i-го ресурса:
Ei = Mi y/Ai y, где Ai y = y/xi — средняя производительность i-го ресурса.
Основные свойства производственных функций. Сформулируем
свойства ПФ:
1) переменные x1 и x2 меняются непрерывно, и результат деятельности достаточно гладко меняется при изменении количеств
используемых ресурсов, т.е. с математической точки зрения предполагается, что функция y = f(x1, x2) по крайней мере дважды дифференцируема;
2) при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса выпуск невозможен. Это значит, что f(0, x 2) = 0, f(x1, 0) = 0;
3) с ростом потребления одного из ресурсов и при постоянном
потреблении другого ресурса выпуск растет. Производственная функция является возрастающей по любому ее аргументу, и ее частные производные, определяющие предельную производительность факторов
производства, всегда положительны:
;
4) предельная производительность каждого ресурса уменьшается, если объем его потребления растет, т.е. скорость роста выпуска замедляется (каждая дополнительная единица приобретенного ресурса
используется менее эффективно). В этом случае вторые производные
1.3. Моделирование поведения производителя • 35
ПФ отрицательны:
. Это свойство называют законом убывающей эффективности;
5) предельная производительность каждого ресурса увеличивается, если растет количество потребления другого ресурса. В этом случае
смешанные производные второго порядка положительны:
.
Здесь ресурс, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным, поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и используется более эффективно;
6) отдача от расширения масштабов производства характеризует
ПФ с точки зрения изменения выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат. При этом возможны три случая, когда эта
отдача:
•постоянная, если ПФ выпуска возрастает в той же пропорции,
что и затраты:
, где t > 1;
•возрастающая, если она возрастает в большей степени, чем все затраты
;
•убывающая, если она возрастает в меньшей степени, чем все затраты
При построении ПФ часто пользуются однородными функциями. Как известно, скалярная функция f (x) называется однородной функцией степени , если она удовлетворяет соотношению
. Однородная ПФ характеризуется отдачей от расширения масштабов производства: возрастающей при > 1; убывающей при < 1 и постоянной при = 1. Однородная ПФ при = 1 называется
линейно-однородной;
7) одно и то же количество продукта может быть достигнуто
при различных сочетаниях ресурсов производства.
Замечание. Линейная ПФ не удовлетворяет второму и пятому свойствам ПФ. Пятое свойство не выполняется для полностью взаимозамещаемых ресурсов.
Производственные кривые безразличия (изокванты). Определение.
Линию уровня для ПФ называют производственной кривой безразличия, или изоквантой.
Взаимодействующие в рамках ПФ ресурсы могут замещать друг друга. Это означает, что единицу одного ресурса можно было бы заменить
некоторым количеством другого ресурса так, чтобы объем продукции
при этом не изменился. Это достигается введением производственной
кривой безразличия — изокванты, которая является геометрическим
местом точек всех комбинаций затрат, обеспечивающих одинаковый
уровень выпуска. Изокванта есть кривая взаимозаменяемости фак-
36 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
торов производства, ее форма отражает экономическое содержание
процесса взаимозаменяемости, его границы и экономические последствия.
Сформулируем свойства производственных кривых безразличия:
•кривая, лежащая выше и правее другой кривой, представляет
большее количество продукции;
•производственные кривые безразличия никогда не пересекаются: через любую точку на графике можно провести только одну
кривую;
•производственные кривые безразличия имеют отрицательный
наклон. Абсолютный наклон производственной кривой безразличия при движении вправо уменьшается, она становится более
пологой.
В зависимости от вида ПФ различают виды изоквант:
•линейная ПФ с полным замещением одного ресурса другим
, где a и b — параметры. Уравнение изокванты имеет
вид
, а ее график представлен на рис. 1.9.
x2
0
x1
Рис. 1.9. График изоквант линейного типа
•неоклассическая (мультипликативная) ПФ
, где A > 0,
0 < a < 1, 0 < b < 1. Уравнение изокванты функции этого типа
, а ее график представлен на рис. 1.10.
имеет вид
x2
0
x1
Рис. 1.10. График изоквант неоклассического типа
1.3. Моделирование поведения производителя • 37
Когда возможность замены ресурсов отсутствует, такие ресурсы
называются взаимодополняемыми и они характеризуются нулевыми
коэффициентами эластичности, например детали, из которых собираются готовые изделия, взаимодополняемые. Изокванты ПФ с постоянными пропорциями или постоянными соотношениями затрат представляют собой лучи, исходящие из точек наиболее рационального
сочетания этих ресурсов и параллельные осям координат (рис. 1.11).
x2
0
x1
Рис. 1.11. График изоквант ПФ с постоянными соотношениями затрат
Предельная норма замещения ресурсов. Из третьего свойства производственных кривых безразличия следует, что они являются убывающими функциями. При доказательстве этого свойства можно получить формулу
g12
,
которая называется предельной нормой замещения ресурсов и показывает, на сколько единиц увеличится (уменьшится) потребление второго ресурса при уменьшении (увеличении) первого ресурса на единицу без изменения ПФ.
В общем виде предельную норму замещения ресурсов можно записать как
gij
.
Предельная норма замещения gij имеет отрицательное значение,
так как при увеличении использования одного из ресурсов, чтобы сохранить постоянное значение результата деятельности, использование
другого ресурса надо уменьшить.
Предельная норма замещения ресурсов равна обратному соотношению их предельных производительностей, взятому со знаком минус.
38 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Эластичность замещения ресурсов. Следует отметить, что предельная
норма замещения не остается постоянной вдоль изокванты. Она зависит от точки, в которой рассматривается производная
. Геометрически этот факт выражается тем, что касательная к изокванте, тангенс угла которой равен рассматриваемой производной g12 = dx2/dx1 =
= tga, изменяет свой наклон при движении вдоль кривой.
Если нас интересует величина, показывающая, на сколько процентов должно измениться отношение ресурса x2 к ресурсу x1, чтобы
при этом предельная норма замещения изменилась на 1%, то рассматривается эластичность замещения ресурсов:
.
В общем виде эластичность замещения ресурсов можно записать
следующим образом:
.
Эластичность замещения ресурсов является количественной характеристикой скорости изменения предельной нормы замещения
при движении вдоль изокванты, т.е. при фиксированном объеме выпуска.
Для характеристики скорости изменения величины 12 можно было
бы использовать более простой показатель
— производную
по
х
.
Однако
эластичность
замещения
ресурсов
12
1
12 предпочитается
в связи с тем, что у нее есть большое преимущество — она постоянна
для большинства используемых на практике ПФ, т.е. не только не изменяется при движении вдоль некоторой изокванты, но и не зависит
от выбора изокванты.
В случае когда предельная норма замещения не зависит от соотношения используемых ресурсов, имеем
, т.е. эластичность
. В этом случае ресурсы считаются полностью взаизамещения
мозамещаемыми. Если s = 0, то ресурсы невзаимозамещаемы.
имеет нулевую «кривизну» и соответЛинейная ПФ
ственно бесконечную эластичность замещения s. ПФ Кобба — Дуглаимеет эластичность замещения, равную единице. Произса
водственная функция Леонтьева
имеет нулевую
1.3. Моделирование поведения производителя • 39
эластичность замещения. Ресурсы в ней должны использоваться в заданной пропорции и не могут замещать друг друга.
Эластичность замещения ресурсов может быть как неизменной,
так и изменяемой, т.е. зависеть от объемов ресурсов. В последнем случае ПФ делят на типы:
•ПФ с постоянной эластичностью замещения ресурсов, или ПФ
типа CES (Constant Elasticity Substitution);
•ПФ с переменной эластичностью замещения ресурсов, или ПФ
типа VES (Variable Elasticity Substitution).
Задачи оптимального выбора производителя
Для определения поведения производителя необходимы еще сведения о ценах и уровне денежных затрат на ресурсы. Эту информацию
дает линия цен — издержек производства (изокоста). Наклон этой
линии отражает соотношение цен, а ее уровень — величину затрат
в денежной форме. Каждой точке линии цен-издержек соответствуют
один и тот же уровень денежных затрат и различные комбинации факторов производства.
Линия цен-издержек обладает теми же свойствами, что и бюджетная линия в теории поведения потребителя.
При постоянных ценах на оба фактора изокоста обладает следующими свойствами:
•является прямой линией;
•имеет отрицательный наклон, равный обратному соотношению
цен двух факторов производства, взятых со знаком минус,
т.е.
;
при
постоянных
ценах
на ресурсы разным уровням затрат в де•
нежной форме будут соответствовать различные параллельные
прямые.
Существуют различные задачи оптимального выбора производителя: задачи максимизации прибыли и минимизации затрат при постоянном выпуске; долгосрочные и краткосрочные задачи максимизации прибыли; задачи, имеющие ограничения на ресурсы и без них;
задачи в условиях совершенной конкуренции и в условиях монополии.
В долгосрочных задачах максимизации прибыли достаточно времени
для изменения количества используемых ресурсов. В краткосрочных
задачах хотя бы один из используемых ресурсов остается неизменным.
Предприятие называется конкурентным, если оно не может оказывать
влияние на цену продукции. Размеры продукции такого предприятия
40 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
достаточно малы по сравнению с рынком общего объема производимой продукции. Предприятие-монополист может принимать решения в отношении и оптимальной цены, и оптимального выпуска.
Эти два решения оказываются взаимосвязанными. Монополист должен либо назначить оптимальную цену реализации продукции, продавая при этом то количество продукции, которое рынок способен
поглотить по данной цене, либо выбрать оптимальный выпуск продукции, продавая ее по цене, соответствующей функции рыночного
спроса. В обоих случаях оптимальность цены и выпуска определяется из условий максимизации прибыли.
Задача максимизации прибыли и определение спроса на ресурсы.
Предположим, что для производства одного вида продукции (его количество обозначим через y) предприятие использует один ресурс x
и полностью характеризуется ПФ y = F (x), которая удовлетворяет всем
свойствам ПФ. Обозначим через v цену единицы продукции, а через
p — цену единицы ресурса. Цены считаются постоянными, и функция
прибыли будет иметь вид:
. Тогда задачу максимизации прибыли одноресурсного предприятия можно сформулировать
следующим образом: требуется определить оптимальное количество
ресурса x ≥ 0, обеспечивающее предприятию максимальную прибыль
при условии x ≥ 0.
Проверим необходимое и достаточное условия максимизации
функции прибыли:
, из условия
или ,
(1.5)
решая уравнение (1.5) относительно x, получим критическую точку,
для которой проверяем достаточное условие существования максимума функции:
.
Уравнение (1.5) позволяет определить объем используемого ресурса для производства такого количества продукции, которое обеспечит
предприятию максимальную прибыль. В уравнении (1.5) MF(x) — предельный продукт, а vMF(x) — стоимость предельного продукта, дополнительно полученного из единицы ресурса. Таким образом, стоимость
продукции, дополнительно полученной из единицы ресурса, равна
стоимости единицы ресурса p, т.е. получили равновесие: vMF(x) = p.
Можно вовлечь в производство продукции дополнительную единицу
ресурса, потратив на его приобретение p д.е., но в результате производства и реализации произведенной продукции получим столько же де-
1.3. Моделирование поведения производителя • 41
нег, сколько затратили на приобретение единицы ресурса. Итак, максимальная точка, полученная в результате решения уравнения (1.5),
является точкой равновесия, когда из продукции (ресурсов) нельзя
получить больше, чем затрачено на их покупку. Увеличение выпуска
продукции может происходить до тех пор, пока стоимость предельного
продукта больше покупной цены необходимого для его производства
ресурса. Наращивание объемов производства идет до тех пор, пока
не станет выполняться необходимое условие существования экстремума. Производитель будет нанимать дополнительную единицу труда
только тогда, когда дополнительный доход, полученный от этого работника, превысит назначаемую ему зарплату. Это правило называют
золотым правилом экономики.
При решении уравнения (1.5) получаем оптимальную функцию
спроса предприятия на ресурс x(p, v). Подставляя этот объем ресурса
в ПФ, получим объем выпускаемого товара как функцию цен, которая
называется функцией предложения продукции.
Рассмотрим аналогичную задачу максимизации прибыли для многоресурсного предприятия.
Для производства одного вида продукции предприятие использует
ресурсы (x1, x2, ..., xn), которые могут быть закуплены по ценам (p1, p2,
..., pn). Технология предприятия определяется его ПФ y = F(x1, x2, ...,
xn), которая удовлетворяет всем свойствам ПФ и выражает связь между
затратами ресурсов и выпуском.
Обозначим через v цену единицы продукции. Цены на ресурсы
и продукцию считаются постоянными, тогда функция прибыли будет
иметь вид
. Задачу максими-
зации прибыли многоресурсного предприятия можно сформулировать
следующим образом: требуется определить такое количество ресурсов
, которое обеспечивает предприятию максимальную прибыль
при условии
.
В случае долговременного промежутка, когда не учитываются ограничения на объемы используемых ресурсов, задача максимизации
прибыли представляет собой классическую задачу безусловной оптимизации. Решение задачи сводится к проверке необходимого
или 42 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
и достаточного
условий максими-
зации функции прибыли. Таким образом, система
даст оптимальное решение многоресурсного предприятия, которое
определяет оптимальный объем используемых ресурсов xi и соответ.
ствующий им оптимальный выпуск продукции
Будем предполагать, что в оптимальном решении использованы
называют оптивсе виды ресурсов, т.е. xi > 0. Точку
мальной точкой, или точкой равновесия. В оптимальной точке стоимость i-го предельного продукта
, дополнительно полученного
из одной единицы i-го ресурса, должна равняться стоимости (цене)
единицы i-го ресурса: pi :
. Имеется равновесие, состоящее
в том, что использование в производстве дополнительной единицы
i-го ресурса, приобретенного по цене pi, позволит получить после его
переработки столько же денежных единиц, сколько было затрачено.
При определенных условиях, наложенных на ПФ, оптимальное решение задачи максимизации прибыли многоресурсного предприятия является единственным для всех v > 0, pi > 0.
называются функциПолученные функции
ями спроса на ресурсы при заданных ценах на них и на цену продукции.
Полученные условия максимизации прибыли используются
как в краткосрочном периоде, так и в долгосрочном. В краткосрочном
периоде эти условия могут соблюдаться только по отношению к переменным ресурсам. В долгосрочном периоде они должны соблюдаться
для всех используемых ресурсов.
Пример. Выпуск однопродуктовой фирмы задается ПФ Кобба —
, где K — затраты капитала, L — затраты
Дугласа
труда. Определить оптимальный спрос на ресурсы, обеспечивающий
максимальную прибыль, если арендная плата, реально выплачиваемая или условно начисляемая за час работы капитала, pK = 5, а часовая
ставка заработной платы pL = 3. Рыночная цена выпускаемой продукции p = 6.
1.3. Моделирование поведения производителя • 43
Решение. Задача максимизации прибыли в этом случае является задачей безусловной оптимизации. Проверим условие максимизации функции прибыли
K > 0, L > 0. Стоимость предельного продукта капитала должна быть
равна стоимости единицы капитала, а стоимость предельного продукта труда — стоимости единицы труда:
Разделив первое уравнение системы на второе, получим L/2K = 5/3,
откуда K = 0,3L. Подставив K = 0,3L во второе уравнение системы, получим:
;
;
;
L
= 99,148 и K = 0,3L = 29,745.
Применим достаточное условие максимума функции прибыли.
Найдем частные производные второго порядка:
.
Проверим выполнение условия AB – C2 > 0, A < 0:
и при K > 0, L > 0, следовательно, оптимальный набор ресурсов (оптимальный спрос на ресурсы)
и .
Замечание. В случае краткосрочного периода фирма не может изменить один из ресурсов, например капитал. В этом случае добавляется
ограничение по данному ресурсу: K = const.
Задача максимизации объема выпуска при ограничении затрат на ресурсы. Предположим, что ресурсы (x1, x2, ..., xn) могут быть закуплены
по ценам (p1, p2, ..., pn), а объем имеющихся финансовых средств для их
приобретения составляет b д.е.
Ограниченность имеющихся финансовых средств на приобретение
ресурсов (x1, x2, ..., xn) по ценам (p1, p2, ..., pn) выражается ограничением
. Граница этого множества, соответствующая полному ис-
44 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
пользованию имеющихся финансовых средств
, называется
изокостой. Каждой точке изокосты соответствуют один и тот же уровень денежных затрат и различные комбинации ресурсов.
Требуется найти набор ресурсов, который дает наибольший выпуск
продукции при ограниченных финансовых средствах:
Задача, максимизирующая объем выпуска при ограничении на затраты на приобретение ресурсов, сводится к обычной задаче отыскания условного экстремума ПФ выпуска. Решение этой задачи найдем
с помощью метода множителей Лагранжа. Построим функцию Лагранжа относительно xi и l:
,
где l — множитель Лагранжа.
Необходимое условие оптимальности решения определяется системой уравнений
(1.6)
В оптимальной комбинации ресурсов предельные производительности ресурсов должны быть пропорциональны их ценам:
получают, решив
Оптимальный набор ресурсов
систему уравнений (1.6).
Для двухфакторной ПФ y = f(x1, x2) необходимые условия оптимальности будут иметь вид
1.3. Моделирование поведения производителя • 45
Для двух ресурсов задача допускает геометрическую интерпретацию (рис. 1.12). Здесь отрезок AB есть изокоста, кривая R — изокванта,
точка D — точка их касания, которая и соответствует оптимальному
. Оптимальная комбинация ресурсов прихонабору ресурсов
дится на точку касания изокванты с изокостой и является геометрическим представлением основного правила оптимального развития
предприятия.
x2
А
D
R
0
В
x1
Рис. 1.12. Оптимальная комбинация ресурсов
Оптимальная комбинация ресурсов
достигается тогда, когда
отношение их предельных производительностей (предельных продуктов) равно отношению их цен:
.
Это соотношение отражает тот факт, что наклон изокванты равен
наклону линии цен-издержек в точке их касания.
Если
, то комбинация ресурсов не является
оптимальной. Необходимо перераспределить ресурсы в пользу фактора x1 и добиться равенства. Таким образом, важнейшим свойством ПФ
является наличие альтернативных возможностей взаимозамещения
ресурсов.
, где K — капитал (основные
Пример. Дана ПФ выпуска
фонды), L — затраты труда. Требуется найти максимальный объем вы-
46 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
пуска
при условии ограниченности
, при условии
финансовых
средств:
p1K + p2L = b,
где
p1 — цена использования основных фондов (услуг капитала),
равная норме банковского процента; p2 — ставка оплаты
труда.
Решение. Условия оптимальности имеют вид
(1.7)
Условие
означает, что объем используемого капитала
должен быть принят на том уровне, когда предельная фондоотдача
равна норме банковского процента. Дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности.
Условие
требует, чтобы количество занятой рабочей
силы было взято на уровне, при котором предельная производительность труда
равна ставке заработной платы, так как дальнейшее
увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка L*
на рис. 1.13).
Угловой коэффициент касательной в точке А равен p2.
Решение системы (1.7) имеет вид
;
.
y
А
∗
L
L
Рис. 1.13. Оптимальное количество занятой рабочей силы
1.3. Моделирование поведения производителя • 47
Множитель l* характеризует здесь предельную продуктивность
финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину изменится
максимальный выпуск продукции y*, если объем средств b увеличится
на «малую» единицу.
Заметим, что сумма эластичностей капитала a и труда b характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов (K и L) увеличивается
в одинаковое число раз. Если
, то отдача возрастает, если
, то отдача постоянная, если
, то отдача убывает. Производственная функция
является кривой, выпуклой вверх.
Задача минимизации издержек при фиксированном объеме выпуска.
Рассмотрим двухфакторную ПФ y = f(x1, x2), где y — объем выпускаемой продукции. Предположим, что ресурсы (x1, x2) могут быть закуплены по ценам (p1, p2). В процессе производства продукции предприятие несет производственные издержки C(x1, x2), при этом
издержки возрастают с увеличением количества ресурсов
.
Также полагают, что — это означает, что предельные издержки
i-го ресурса возрастают на каждую дополнительную единицу приобретенного i-го ресурса.
Требуется найти такой набор ресурсов, который обеспечит минимальные издержки на производство данного объема продукции:
C(x1, x2) =
при условии y = f(x1, x2),
.
Задача, минимизирующая издержки при фиксированном объеме
выпуска, сводится к обычной задаче отыскания условного экстремума
функции C(x1, x2). Решение этой задачи аналогично решению задачи,
максимизирующей объем выпуска при ограничении на затраты.
Пример. Производственная функция задана уравнением y = F(K, L),
где K — капитал (основные фонды), L — затраты труда. Арендная плата (реально выплачиваемая или условно начисляемая за единицу работы капитала) равна m, а оплата труда за единицу времени — n. Тогда
. Предположим, что предприятие
общие издержки
принимает решение производить продукцию в объеме Q. Какой способ производства следует выбрать, чтобы минимизировать издержки?
Решение. Построим принцип минимизации издержек: требуется
найти
при условии F(K, L) = Q.
Составим функцию Лагранжа
.
48 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Для нахождения ее минимального значения составим систему уравнений
Из системы найдем
, тогда
,
т.е. отношение (n/m), в котором труд и капитал могут быть замещены
на рынке, равно отношению предельных производительностей труда
MFL и капитала MFK и равно предельной норме технического замещения капитала трудом
.
Итак, принцип минимизации издержек заключается в следующем:
для минимизации издержек на производство данного объема продукции должно быть выбрано такое сочетание ресурсов, при котором
. Экономический смысл минимизации издержек заключается в том, что, так как
, одна денежная
единица, затраченная на приобретение каждого ресурса, должна приносить одинаковый предельный продукт. Так как ,
то экономический смысл множителя Лагранжа для задачи минимизации издержек заключается в том, что l показывает, на какую величину
изменятся издержки при изменении выпуска на одну единицу.
Замечание. Если данный выпуск Q обеспечивается при минимальных издержках, то это означает, что Q — это максимальный выпуск,
. Задача максикоторый достигается при данных издержках
мизации выпуска выступает здесь как двойственная задача минимизации издержек и может быть сформулирована так: найти
при условии mK + nL =
. Решение этой
задачи дает тот же результат, что и решение задачи минимизации издержек.
, часовая арендная плата
Пример. Дана ПФ вида
m = 5, а часовая ставка оплаты труда n = 3. Фирма принимает решение
1.3. Моделирование поведения производителя • 49
производить Q = 100 единиц продукции, минимизируя издержки. Какой способ производства ей следует выбрать и чему равны минимальные издержки?
.
Решение. Принцип минимизации издержек
Тогда с учетом исходных данных получим
или 3/10
=
K/L
и L
3,3K.
Найдем
выпуск
.
продукции
Отсюда
Окончательно получим
.
Минимальные
издержки
Тогда
.
Задача максимизации прибыли и определения объема выпуска. Чтобы
максимизировать прибыль, производитель должен определить характеристики рыночного спроса и свои издержки. Располагая такими сведениями, производитель должен принять решения об объемах производства и продажах. Пусть x — объем выпуска фирмы, p —
цена единицы выпускаемой продукции, C(x) — издержки предприятия,
а R(x) — его выручка. Тогда прибыль предприятия
,
. Чтобы найти максимум функции прибыли, проверим
выполнение необходимого условия существования экстремума функции прибыли:
, откуда
или MR(x)
= MC(x).
Получили необходимое условие максимизации прибыли: предприятие максимизирует прибыль при такой величине выпуска продукции,
при которой предельный доход равен предельным издержкам MR(x) =
= MC(x). Это условие максимизации прибыли справедливо как для конкурентных, так и для неконкурентных предприятий (монополий).
Для конкурентного предприятия предельный доход равен цене единицы товара MR(x) = p. Так как для конкурентного предприятия выполняется равенство MC(x) = p, условие максимизации прибыли можно сформулировать следующим образом: конкурентное предприятие
максимизирует прибыль при такой величине выпуска продукции,
при которой предельные издержки равны цене единицы товара.
Для фирмы-монополиста, если цены факторов производства фиксированы, общие производственные издержки C(x) монополиста могут быть выражены как функция объема продукции x. Если цена продукции p = p(x) — кривая спроса, то прибыль от продажи выпускаемой
продукции x составит
, где xp(x) = R(x) — выручка
фирмы-монополиста.
50 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Достаточное условие максимизации прибыли фирмы монополиста
, откуда
. Пока кривая предельной выручки понижается круче, чем кривая предельных
издержек, монополистическое равновесие стабильно. При понижающейся кривой предельных издержек стабильное равновесие возможно до тех пор, пока понижение кривой предельных издержек меньше
понижения кривой предельной выручки, а также пока общая выручка
превышает общие затраты на величину, достаточную, чтобы монополист удержался на рынке.
Пример. Издержки конкурентной фирмы при объеме выпуска x
равны
. Рыночная цена единицы продукции p = 10.
Найти объем выпуска, при котором достигается максимальная прибыль.
Решение. Найдем предельные издержки MC(x) = 6x + 4 и используем условие максимизации прибыли конкурентной фирмы MC(x) = p,
следовательно, 6x + 4 = 10, откуда
В этой точке выполняется
достаточное условие существования экстремума.
Пример. Предприятие производит x единиц продукции в месяц,
суммарные издержки определяются по формуле C(x) = 50 + x2, где постоянные издержки составляют 50 д.е., а переменные — x2. Зависимость между ценой p и количеством единиц продукции x, которую
можно продать по этой цене, p(x) = 40 – x. Рассчитать, при каких объемах производства прибыль будет максимальной.
Решение.
Доход
предприятия
найдем
по формуле
, тогда предельный доход равен MR(x) =
= 40 – 2x, предельные издержки — MC(x) = 2x. Используем необходимое условие максимизации прибыли: 40 – 2x = 2x, получим x = 10.
Проверим выполнение достаточного условия максимизации прибыли:
,
. Получили, что . Следовательно,
Пример. Имеется краткосрочное монопольное равновесие. Фирма
специализируется на продаже некоторой продукции. Известно, что месячный спрос на ее продукцию составляет
. Фирма
определила, что месячные издержки равны
. Какое количество продукции следует продать, чтобы максимизировать
прибыль? Какова должна быть продажная цена и сколько прибыли
может получить фирма? Если цена на продукцию снизится до 110 д.е.,
то какова будет ценовая эластичность спроса и сможет ли фирма получить прибыль? Будет ли максимизация дохода выгодной?
1.4. Производственная функция Кобба — Дугласа • 51
Решение: а) функция спроса фирмы имеет вид
, тогда
Уравнение дохода имеет вид
обратная ей функция —
Найдем предельный доход и предельные
издержки:
,
Применим необходимое
условие максимизации прибыли:
, откуда y = 100,
так как при этом
, получили, что . Тогда
y = 100 является оптимальным объемом продаж, обеспечивающим
максимальную прибыль.
и максиНайдем продажную цену продукции
мальную прибыль
=
;
б) уменьшим продажную цену до величины p = 110, тогда может
быть продано следующее количество продукции:
и ценовая эластичность спроса будет равна:
,
. Это означает, что объем продаж продукции
фирмы чувствителен к цене. При заданной цене p = 110 д.е., увеличение цены на 1% приведет к снижению спроса на 3,24%. Если
p = 110, то прибыль фирмы составит:
При уменьшении цены до величины p = 110 фирма получила прибыль меньше, чем при цене p = 124;
в) по условию задачи
,
и доход
. Когда доход максимален, то ,
т.е.
и для получения фирмой максимального дохода требуется продать продукции в количестве y = 360. Тогда продаж­ная цена должна быть равна:
, а прибыль
Отсюда видно, что максимизация дохода приведет к убыткам.
1.4. Производственная функция
Кобба — Дугласа
Для анализа зависимости «ресурсы — выпуск» широко применяется производственная функция Кобба — Дугласа
где A0 > 0, 0 < a < 1, 0 < b < 1. Впервые эта функция была предложена
и построена американскими экономистами Коббом и Дугласом и но-
52 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
сит их имя. Для того чтобы национальный доход Y рос пропорционально росту использования ресурсов, необходимо, чтобы выполнялось условие a + b = 1, тогда
. В качестве ресурсов здесь
выступают капитал K и труд L. Дроби Y/K и Y/L называют средней
производительностью соответственно капитала и труда. Дробь Y/K называют еще фондоотдачей или капиталоотдачей (показатель, характеризующий уровень эффективности использования производственных
фондов). Обратные дроби K/Y и L/Y называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска. Дробь K/L называется капиталовооруженностью труда. Производственная функция Кобба — Дугласа относится к классу мультипликативных функций.
Рассмотрим основные характеристики производственного процесса, описываемого функцией Кобба — Дугласа
Cредняя производительность капитала:
;
•средняя производительность труда:
;
•предельная производительность труда (предельный продукт
труда):
•предельная производительность капитала (предельный продукт
капитала):
Так как 0 < a < 1, то MYK < AYK.
Найдем вторые частные производные функции Кобба — Дугласа
по труду и капиталу:
,
т.е. предельная производительность MYL убывает, 0 < b < 1, A0 > 0;
1.4. Производственная функция Кобба — Дугласа • 53
т.е. предельная производительность капитала MYK убывает, 0 < a < 1,
A0 > 0.
Изокванта функции Кобба — Дугласа описывается уравнением
, где Yc — const, откуда получим функцию
и имеет вид, представленный на рис. 1.14.
Так как
,
,
, то асимпто-
тами изокванты являются оси координат. Изокванты показывают,
как изменяется сочетание ресурсов, необходимых для получения некоторых фиксированных объемов продукции.
K
0
L
Рис. 1.14. Изокванта функции Кобба — Дугласа
Стремление к координатным осям изоквант означает, что любое
данное количество продукта Y = Yc может быть произведено при сколь
угодно малом количестве одного из ресурсов, был бы в достаточном
количестве другой. Так, нехватка основных фондов, согласно изокванте функции Кобба — Дугласа, может быть всегда компенсирована
количеством рабочих. В действительности дело обстоит не так. Качественный продукт не всегда можно получить без достаточного количества необходимых основных фондов, но при большем числе рабочих.
Это недостаток функции Кобба — Дугласа.
Предельная норма замещения капитала трудом
(
)
для ПФ Кобба — Дугласа равна
.
Отсюда видно, что предельная норма замещения ПФ Кобба — Дугласа является линейной функцией капиталовооруженности K/L и при
54 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
пропорциональном росте факторов производства не меняется. При
снижении величины
величина
постепенно убывает.
Коэффициент эластичности замещения ресурсов
показывает,
на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность
труда K/L, чтобы предельная норма замещения капитала трудом
изменилась на 1%. Для ПФ Кобба — Дугласа коэффициент
эластичности замещения ресурсов будет равен
Запишем для для ПФ Кобба — Дугласа
соответствующую ей функцию зависимости удельного выпуска f(k)
от капиталовооруженности
=
. Зная функцию F(K, L), можно по=
строить f(k), и наоборот. Очевидно, что функция f(k) в силу свойств
ПФ F(K, L) дважды непрерывно дифференцируема и для нее справедливы свойства:
, то при росте капиталовооруженно•если
сти производство растет;
, то при росте капиталовооруженности темпы
•если
роста производства замедляются;
•если f(0) = 0, то при количестве капитала на одного трудящегося,
равном нулю, количество национального дохода на одного трудящегося также равно нулю;
, то производство с ростом капиталовоору•если
женности может неограниченно расти.
Отдача от расширения масштаба производства. Увеличим количество
всех используемых ресурсов в l раз. Тогда
Если a + b = 1, то . Увеличение
ресурсов в l раз привело к увеличению объема производства в l раз.
Это постоянная отдача от расширения масштаба производства. График
ПФ Кобба — Дугласа
представлен на рис. 1.15.
1.4. Производственная функция Кобба — Дугласа • 55
20
15
15—20
10—15
10
5—10
5
0—5
Р5
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10
Р1
Рис. 1.15. График ПФ Кобба — Дугласа
Если a + b > 1, то . Увеличение
ресурсов в l раз привело к увеличению объема производства более
чем в l раз. Это возрастающая отдача от расширения масштаба произпредставлен
водства. График ПФ Кобба — Дугласа
на рис. 1.16.
60
50
50—60
40
40—50
30
30—40
20
20—30
10
10—20
Р5
0
1 2 3
4 5 6
7 8
9 10
0—10
Р1
Рис. 1.16. График ПФ Кобба — Дугласа
Если a + b < 1, то . Увеличение
ресурсов в l раз привело к увеличению объема производства менее
чем в l раз. Это убывающая отдача от расширения масштаба производства. График ПФ Кобба — Дугласа
представлен
на рис. 1.17.
56 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
7
6
5
6—7
4
5—6
4—5
3
3—4
2
2—3
1
1—2
Р5
0
1 2 3
4 5 6
7 8
0—1
Р1
9 10
Рис. 1.17. График ПФ Кобба — Дугласа
Так как для ПФ Кобба — Дугласа предельная норма замещения капитала трудом
, то, изменяя коэффициенты a и b
(при постоянном соотношении K/L) так, чтобы величина b/a понижалась, можно добиться снижения
. Это капиталоинтенсивный
технический прогресс. Изменяя коэффициенты a и b (при постоянном
отношении K/L) так, чтобы величина b/a повышалась, мы добиваемся
роста
. Это трудоинтенсивный технический прогресс.
При изменении коэффициентов a и b при постоянных соотношениях K/L и b/a предельная норма замещения капитала трудом
не меняется. Это нейтральный технический прогресс.
Коэффициент эластичности выпуска по затратам капитала
;
коэффициент эластичности выпуска по затратам трудовых ресурсов:
.
Получаем, что параметрами производственной функции Кобба —
Дугласа являются коэффициенты эластичности выпуска по затратам
капитала а и по затратам трудовых ресурсов b, т.е. параметры а и b характеризуют долю соответственно капитала и трудовых ресурсов в увеличении выпуска.
Пример. Производственная функция Кобба — Дугласа имеет вид
. Найти предельные продукты труда ML и капитала MK,
предельную норму замещения капитала трудом
, коэффици-
1.5. Производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов • 57
ент эластичности замещения s, коэффициенты эластичности выпуска
по затратам капитала EK(Y) и по затратам трудовых ресурсов EL(Y). Какова отдача расширения производства?
Решение. Предельный продукт труда (предельная производительность труда)
.
Предельный продукт капитала (предельная производительность
капитала)
.
Предельная норма замещения капитала трудом
.
Коэффициент
эластичности замещения
. Так как , то наблюдается убывающая отдача от расширения масштабов производства.
Коэффициент эластичности выпуска по труду
.
Коэффициент эластичности выпуска по капиталу
.
1.5. Производственная функция с постоянной
эластичностью замещения ресурсов
Производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов (CES) в общем виде задается формулой
где
,
(1.8)
— положительные параметры. При d = 1 для двух
переменных ПФ CES будет иметь вид
.
58 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
График ПФ
на рис. 1.18.
CES
вида
представлен
8
7
7—8
6
6—7
5
5—6
4
4—5
3
3—4
2
1
2—3
Р5
0
1 2 3
4 5 6
7 8
1—2
0—1
Р1
9 10
Рис. 1.18. Производственная функция
Рассмотрим ПФ CES вида
,
где (1.9)
K — затраты капитала (основные фонды); L — затраты труда,
Для ПФ CES (формула (1.9) найдем предельную норму замещения
ресурсов
:
=
=
.
Отсюда видно, что предельная норма замещения
функцией капиталовооруженности
, тогда
является
зави-
сит от соотношения ресурсов K и L, и при пропорциональном их увеличении предельная норма замещения не изменится.
Найдем эластичность замещения ресурсов:
1.5. Производственная функция с постоянной эластичностью…• 59
=
=
=
=
=
.
Таким образом, ПФ CES имеет постоянную эластичность замеще=
, но не равна единице в отличие
ния ресурсов
от эластичности замещения ресурсов ПФ Кобба — Дугласа (и любых
степенных функций) и меняется от единицы (при r = 0) до нуля (при
).
Найдем уравнение изокванты ПФ CES (1.9):
или ,
тогда K как функция L имеет вид
.
капитал K постоянно
Эта кривая имеет две асимптоты. При
убывает, но стремится не к нулю, как в случае функции Кобба — Дугласа, а к положительному числу:
.
Аналогично можно показать, что на изокванте y = yc имеет место
. Полученная изокванта функции CES
имеет вид, изображенный на рис. 1.19.
Таким образом, при использовании функции с постоянной эластичностью замещения удается избежать противоречий, связанных
с бесконечно большими возможностями замены одного ресурса
другим.
60 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
K
α
1/p
yc
bc
0
yc
(1–α)1/p b
c
L
Рис. 1.19. Изокванта производственной функции CES
Рассчитаем коэффициенты эластичности выпуска относительно
капитала K и труда L для ПФ CES (1.9):
=
=
или
.
Аналогично можно показать, что =
=
.
Как и в случае ПФ Кобба — Дугласа EK(y) < 1, EL(y) < 1.
Запишем для ПФ CES (1.9) соответствующую ей функцию зависимости удельного выпуска f(k) от капиталовооруженности k = K/L:
=
или
.
(1.10)
1.5. Производственная функция с постоянной эластичностью…• 61
Для функции (1.10) выполняется условие
=
,
при 0 < a < 1,
, b0 > 0, k > 0.
Можно показать, что .
. Это
Найдем
означает, что кривая f(k) имеет горизонтальную асимптоту, т.е. при бесконечном росте капиталовооруженности производство растет ограниченно, в отличие от ПФ Кобба — Дугласа. График функции f(k)
изображен на рис. 1.20.
f(k)
b0(1 – α)
–1/p
0
k
Рис. 1.20. График функции f(k)
Сравним характеристики функций
и .
все характеристики ПФ CES стремятся
Покажем, что при
к соответствующим характеристикам ПФ Кобба — Дугласа:
.
62 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Так как функция
однозначно определяет ПФ F(K, L), то ПФ
стремится к ПФ
с постоянной эластичностью замещения при Кобба — Дугласа.
Замечание 1. Если в ПФ (формула (1.8) с постоянной эластичностью замещения
, то при эта функция стремится
к степенной ПФ, т.е. степенная ПФ является предельным случаем ПФ
с постоянной эластичностью замещения, которая в свою очередь является обобщением степенной ПФ.
, то эластичность замещения реЗамечание 2. Если в ПФ CES
сурсов равна нулю и можно построить ПФ с постоянными пропорциями
, где — положительные параметры.
Ее еще называют ПФ с нулевой эластичностью или кусочно-линейной
ПФ. Она характеризуется постоянной отдачей от расширения масштабов производства. Предельная норма замещения равна –
при x1 > x2 и нулю при x1 < x2. Производственная функция с постоянными пропорциями используется для моделирования строго определенных технологий, не допускающих отклонений от норм используемых ресурсов и от технологических норм использования ресурсов
на единицу продукции. Таким образом, в функции подразумевается
наличие разумных пропорций между ресурсами. Увеличение количества одного из ресурсов без изменения количества другого ресурса
приводит к выпуску того же объема продукции. Изокванта ПФ
(рис. 1.21) с постоянными пропорциями представляет собой вертикальный и горизонтальный лучи, исходящие из точки рационального
количества ресурсов.
x2
0
x1
Рис. 1.21. Изокванта ПФ с постоянными пропорциями
1.6. Моделирование предложения • 63
1.6. Моделирование предложения
Функция предложения и ее характеристики
Функция предложения S(p) описывает зависимость между рыночной ценой товара и его предложением на изолированном рынке этого
товара. В такой ситуации естественно считать, что каждый производитель стремится к наибольшей прибыли и увеличивает выпуск товара
по мере роста цены на него. Тогда предложение товара на рынке S(p)
является возрастающей функцией цены, т.е.
.
В более специфических ситуациях (олигополия, монополия) поведение производителя необязательно определяется стремлением к максимальному объему выпуска, поскольку при повышении цены он может обеспечить себе заметный прирост прибыли и без увеличения
объема выпуска. Таким образом, возможны случаи, когда S(p) = const
или даже
(убывающая функция цены).
На рисунке 1.22 представлено семейство функций предложения.
Линия АВ соответствует совершенной конкуренции и стремлению
производителей к получению максимального выпуска, линия АС отвечает неизменному выпуску, который тем не менее дает возможность
вести хозяйство с приличной прибылью в условиях несовершенной
конкуренции; линия AD представляет снижающийся объем производства, что возможно в условиях монополии и резкого роста цен.
S
B
A
C
D
0
p
Рис. 1.22. Возрастающая, неизменная и убывающая функции предложения
Основные виды функций предложения. Для практических расчетов
применяются функции предложения двух основных видов, параметры
которых определяются путем обработки статистических данных:
а) линейная функция
,
;
б) степенная функция
,
.
64 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Коэффициенты эластичности функции предложения. Коэффициент эластичности предложения по цене Ep(S) показывает, на сколько
процентов увеличится предложение товара, если его цена вырастает
на 1%.
Для линейной функции предложения
.
Для степенной функции
.
В более общем случае объем предложения i-го товара рассматривается не только в зависимости от его цены pi, но и от цен на другие
товары. В этой ситуации система функций предложения имеет вид
где n — количество наименований товаров.
Товары i и j называются конкурирующими, если перекрестная эластичность Eij < 0, т.е. при увеличении цены pi уменьшается выпуск j-го
товара; товары являются комплексными, если Eij > 0.
В этом случае рост производства одного товара вызывает увеличение выпуска другого.
Функция предложения
конкурентной фирмы
Пусть некоторая фирма предлагает свою продукцию к продаже
по цене P. Фирма называется конкурентной, если существует такая
p, что при P < p фирма может продавать любое количество своей продукции, а при P > p не может ничего продать. Таким образом, функция
спроса на продукцию конкурентной фирмы имеет вид
В этом случае кривая спроса (рис. 1.23) является прямой линией,
параллельной оси выпуска 0x.
1.6. Моделирование предложения • 65
P
p
0
х
Рис. 1.23. Функция спроса в условиях конкуренции
В условиях конкуренции каждая фирма не способна контролировать уровень цен, и устойчивая продажа ее продукции возможна
по преобладающей рыночной цене p. Для фирмы невыгодно продавать продукцию по цене P < p и невозможно продавать по цене P > p.
Поэтому будем считать, что P = p. Не имея возможности влиять на цену,
конкурентная фирма может увеличивать или уменьшать объем своего
выпуска x для того, чтобы получить максимальную прибыль
. Обозначим через C(x) функцию издержек, которая зависит от производства x единиц продукции. Эта функция определена и дифференцируема на промежутке
.
Тогда функция прибыли имеет вид
(1.11)
Найдем функцию предложения, когда предельные издержки C'(х)
возрастают на промежутке
. Следовательно,
,
когда x < x* и , когда x > x*. Поэтому прибыль
возрастает на отрезке
и убывает на промежутке
. Таким образом, x* — точка глобального максимума функции
прибыли. Если x* , то глобальный максимум будет также и локальным и в точке x* выполняется равенство
, из которого следует, что (1.12)
Итак, если в точке x* предельные издержки совпадают с ценой продукции, то — наибольшее значение прибыли на промежутке
. Конкурентная фирма стремится максимизировать свою прибыль, поэтому при данной цене p она устанавливает объем выпуска
равный x*, при этом x* — точка максимума функции прибыли (1.11).
Следовательно, равенство (1.12) влечет равенство x* = S(p), где S(p) —
66 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
функция предложения, обратная для функции
. Кривая предложения x = S(p) совпадает с кривой предельных издержек
.
Пример. В условиях конкуренции фирма продает свою продукцию
по рыночной цене p = b и ее функция издержек имеет вид
, где . Найти функцию предложения, максимальную прибыль, средний и предельный доходы фирмы.
Решение. Так как в условиях конкуренции p = b, то доход фирмы
будет иметь вид
, средний доход —
,
предельный доход —
. Таким образом, в условиях конкуренции средний и предельный доходы фирмы совпадают и равны
рыночной цене.
Найдем объем выпуска продукции фирмы, обеспечивающий ей
максимальную
прибыль.
Функция
прибыли
имеет
вид
, тогда
.
*
Производная
при x = (b – n)/2m. При таком значении x* выполнено достаточное условие существования экстремума. Тогда x* =
= (b – n)/2m — максимальный выпуск продукции фирмы и S(p) = (b –
– n)/2m. Найдем предельные издержки:
. Используя равенство (1.12), получим p = 2mx + n; при получим b = 2mx + n,
откуда функция предложения будет имеет вид x = S(p) = (p – n)/2m.
Пример. Найти функцию предложения S(p) конкурентной фирмы,
если ее функция издержек имеет вид
Решение. Найдем предельные издержки:
. Решаем уравнение p = 2x + 4 относительно x, получим функцию предложения x =
S(p) = (p/2) – 2.
Предположим, что p = 8, тогда x* = S(8) = 2. Соответствующие издержки C(2) = 17, прибыль
. Фирма решила выпустить две единицы продукции, несмотря на то, что она при этом несет
убытки в размере 1 д.е. Это объясняется тем, что при выпуске x = 2 она
несет минимальные убытки. Например, если фирма прекратит выпуск
продукции (x = 0), то убытки составят
д.е. Убыточное производство возможно только на коротком интервале времени, поэтому
найденная функция предложения является функцией предложения
в краткосрочном периоде.
Найдем функцию предложения, когда предельные издержки C'(х)
и возрастают на интервале
. Если
убывают на отрезке
x* — точка глобального максимума функции прибыли
на промежутке
, то для x*
выполняется равенство (1.12). Следовательно, x* — решение уравнения
либо x* = 0. Так как у функ-
1.6. Моделирование предложения • 67
ции издержек C(x) предельные издержки C'(х) убывают на отрезке
и возрастают на интервале
, уравнение
может
иметь не более одного решения x1 на отрезке
и не более одного
решения x2 на промежутке
. Производная прибыли
на интервале (0, x1) и прибыль
убывает на этом
интервале, производная
на интервале (x1, x0) и прибыль
возрастает на этом интервале. Следовательно, точка x1
не может быть точкой максимума прибыли. Значит, максимум может
существовать либо в нуле, либо в точке x2. Так как x* = S(p) — функция
предложения конкурентной фирмы и точка глобального максимума
функции прибыли
, то либо S(p) = 0, либо S(p) = x2. Сравним значения прибыли в этих точках: если x* = 0, то >
, если x* = x2,
то >
. Тогда функция предложения конкурентной фирмы
будет иметь вид
Рассмотрим неравенство
>
. Имеем
или . Обозначим через
переменные издержки, связанные с выпуском x единиц продукции, а через
— средние переменные издержки. Тогда
>
>
можно записать в виде
или . В итоге
функция предложения, когда предельные издержки C'(х) убывают
на отрезке
и возрастают на интервале
, имеет вид
где x2 — единственное решение уравнения
(1.13)
на интервале
С геометрической точки зрения формула (1.13) означает, что кривая предложения совпадает с участком кривой предельных издержек,
расположенном выше кривой средних переменных издержек. Кривая
предельных издержек
пересекает кривую средних переменных издержек AVC(x) в точке минимума xmin, что показано
на рис. 1.24.
68 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
p
MC(x)
0
хmin
AVC(x)
х
Рис. 1.24. Кривые предельных и средних переменных издержек
Пример. Найти функцию предложения конкурентной фирмы, если
. Построее функция издержек имеет вид
ить графики функций предельных и средних переменных издержек.
Решение. Найдем предельные издержки
и средние переменные издержки
MC(x) =
.
Решая
уравнение
. Неравенство
, или или , получим
для задачи имеет вид
, или x(x – 3) > 0. Поэтому кри-
вая предельных издержек MC(x) расположена выше кривой средних
переменных издержек AVC(x), справа от точки x = 3. Предельные издержки в точке x = 3 равны: MC(3) = 5, p = 5, тогда функция предложения имеет вид
На рисунке 1.25 кривая предложения S(p) совпадает с участком кривой MC(x) предельных издержек (ряд 1), расположенном выше кривой
AVC(x) средних переменных издержек (ряд 2).
Кривая предельных издержек MC(x) пересекает кривую средних
переменных издержек AVC(x) в точке минимума, так как
и каждая такая точка является точкой пересечения кривых MC(x)
и AVC(x). Действительно,
.
1.6. Моделирование предложения • 69
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
Ряд 1
5
6
7
8
9
Ряд 2
Рис. 1.25. Кривая MC(x) пересекает кривую AVC(x) в точке минимума
Следовательно,
эту производную к нулю
. Найдем
, приравняем
и получим x = 3 — точку минимума функ-
, в которой кривая MC(x) пересекает кривую AVC(x).
ции
Чтобы максимизировать прибыль, производитель должен определить характеристики рыночного спроса и свои издержки. Оценка
спроса и издержек является решающей в процессе принятия экономических решений. Располагая такими сведениями, производитель должен принять решения об объемах производства и продажах. Пусть x —
объем выпуска фирмы, p — цена единицы выпускаемой продукции,
C(x) — издержки фирмы, а R(x) — ее выручка. Тогда прибыль фирмы
. Чтобы найти максимум функции прибыли, проверим
выполнение
необходимого
и достаточного
условий:
, откуда
или MR(x) = MC(x);
, откуда
.
Получили необходимое условие максимизации прибыли: фирма максимизирует прибыль при такой величине выпуска, при которой предельный доход равен предельным издержкам MR(x) = MC(x).
Это условие максимизации прибыли справедливо как для конкурентных, так и для неконкурентных фирм (монополий). Для конкурентной фирмы предельный доход равен цене единицы товара: MR(x) =
= p. Так как для конкурентной фирмы выполняется равенство MC(x) =
= p, условие максимизации прибыли можно сформулировать следующим образом: конкурентная фирма максимизирует прибыль при та-
70 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
кой величине выпуска, при которой предельные издержки равны цене
единицы товара.
Достаточное условие максимизации прибыли фирмы требует, чтобы скорость изменения предельной выручки была меньше скорости
изменения предельных издержек. Эффективность использования
каждой дополнительной единицы продукции для издержек должна
быть больше, чем для выручки.
1.7. Моделирование поведения
потребителей и производителей
При взаимодействии потребителей и производителей важно определить условия существования цены рыночного (конкурентного)
равновесия, при которой каждый потребитель максимизирует свою
полезность, а каждый производитель — свою прибыль. Модели установления равновесной цены основаны на предположении, что изменение цены зависит от разности спроса и предложения. Если спрос
выше предложения, то цена возрастает, в противном случае — убывает.
Существует много моделей установления цены на рынке одного товара. Наиболее известными являются: паутинообразная модель с дискретным временем и модель Эванса с непрерывным временем, которая рассматривается в разделе 2. «Модели экономических процессов,
содержащие дифференциальные уравнения».
Паутинообразная модель
Паутинообразная модель позволяет исследовать устойчивость цен
и объемов благ на рынке, описываемом кривыми спроса и предложения при наличии запаздывания во времени (лага).
Рассмотрим рынок с одним единственным благом, спрос на которое характеризуется убывающей функцией совокупного спроса
D(p), а предложение — возрастающей функцией совокупного предложения S(p). Предположим, что эти функции определены и непрерывны для всех значений p > 0, где p — рыночная цена блага. Кроме того,
естественно считать, что ,
,
,
.
1.7. Моделирование поведения потребителей и производителей • 71
Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения D(p) = S(p), причем в силу сделанных предположений уравнение D(p) = S(p) имеет единственное решение p*, где p* — равновесная
цена и состояние равновесия
единственно.
Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс «нащупывания» равновесной цены. Пусть в начальный момент времени установлена цена p0 (начальная цена), при этом спрос оказался меньше
предложения
. Тогда снижаем цену до уровня, при котором спрос равен предложению при первоначальной цене
D(p1) = S(p0). При новой цене p1 спрос превышает предложение D(p1) >
> S(p1), поэтому повышаем цену до уровня p2, при котором D(p2) =
= S(p1), и т.д. Таким образом, процесс установления равновесной цены
описывается рекуррентным соотношением
D(pt) = S(pt–1).
(1.14)
Из этого уравнения можно найти значение цены pt в текущий
момент времени по известному значению pt–1 в предыдущий момент
времени. Таким образом, в функцию предложения вклинивается
временной лаг продолжительностью в одну единицу времени.
Действительно, решение об объеме производства принимается
с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.
На рисунке 1.26 представлен процесс установления равновесной
цены.
S
D, S
D
0
∗
p1 p p2 p0
P
Рис. 1.26. Паутинообразная модель установления равновесной цены
72 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Проведем анализ паутинообразной модели. Рассмотрим случай,
когда спрос и предложение задаются линейными функциями
D(p) = b – ap, S(p) = c + dp, a > 0, d > 0,
где (–a), d — тангенсы углов наклона кривых спроса и предложения, являются постоянными для любых p и объемов спроса и предложения; b, c — сдвиг функций спроса и предложения
относительно начала координат в результате неценовых детерминаций спроса и предложения; b > c > 0, т.е. D(0) > S(0) >
> 0 — считаем, что при нулевой цене спрос превышает предложение.
Найдем равновесную рыночную цену p*, приравняв функции спроса и предложения
. Тогда
p* =
.
В рекуррентное соотношение (1.14) подставим линейные функции
спроса и предложения, получим
, откуда
.
Из рекуррентного соотношения
=
(1.15)
найдем pt–1 =
. Подставив pt–1 в (1.15), получим
.
(1.16)
Найдем из аналогичного рекуррентного соотношения pt–2, подставим его в выражение (1.16) и т.д., получим
.
Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой
сумму первых t членов геометрической прогрессии с первым членом
b1 = 1 и знаменателем
. Тогда выражение для цены pt в произвольный момент времени t имеет вид
1.7. Моделирование поведения потребителей и производителей • 73
или
.
(1.17)
=
Из выражения (1.17) видно, что при d/a < 1,
*
= p , т.е. при более крутом наклоне кривой спроса, чем кривой предложения, равновесие является устойчивым.
Система со временем осуществляет переход в точку рыночного равновесия и имеет место стабилизация рынка. Процесс перехода рынка
в равновесное состояние представлен на рис. 1.27.
D, S
S
D
0
p∗
p0
P
Рис. 1.27. Паутинообразная модель (стабилизация рынка)
Если d/a > 1,
, т.е. при более крутом наклоне кривой пред-
ложения, чем кривой спроса, процесс расходится и равновесие является неустойчивым. Имеет место дестабилизация рынка. Процесс неустойчивого равновесия представлен на рис. 1.28.
Если d/a = 1, т.е. при равном наклоне кривой предложения и кривой спроса, значения
чередуются вокруг
равновесного значения. Имеют место циклические колебания цены
относительно равновесного состояния. Эти колебания являются прообразом экономических циклов подъема и спада производства. Процесс колебания значения pt вокруг равновесного значения представлен
на рис. 1.29.
74 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
D, S
S
D
0
p∗
p0
P
Рис. 1.28. Паутинообразная модель (дестабилизация рынка)
S, D
S
D
0
p
∗
p0
P
Рис. 1.29. Паутинообразная модель (циклические
колебания цены относительно равновесия)
Итак, определяющим моментом для устойчивости системы является менее сильная, сглаживающая реакция на изменение цены той
функции, которая имеет временной лаг, в данном случае это функция
предложения.
Самостоятельно рассмотрите задачу, когда временной лаг, равный
единице, присутствует не в функции предложения, а в функции спроса, т.е.
. Найдите, каким станет условие
сходимости к равновесной точке. Изобразите этот процесс графически.
Задачи для самостоятельного решения • 75
Задачи для самостоятельного решения
1. Функция полезности потребителя имеет вид u(x1, x2) =
.
Определить максимальную полезность, если потребитель имеет доход
в 100 д.е., а цены товаров равны соответственно 5 и 10 д.е. Какова норма замены второго товара первым в оптимальной точке?
2. Функция полезности потребителя имеет вид u(x1, x2) =
. Найти оптимальную функцию спроса, если доход потреби=
теля составляет 500 д.е., а цены товаров — p1 = 3 д.е., p2 = 5 д.е.
3. Найти оптимальные функции спроса при ценах благ
p1 = 10 д.е., p2 = 2 д.е. и доходе I = 60 со следующими функциями полезности:
а) u(x1, x2) =
;
б) u(x1, x2) =
;
в) u(x1, x2) =
.
4. Функция полезности имеет вид
,
где
x1, x2, x3 — объемы потребляемых благ. Бюджет потребителя составляет
220 д.е.
Как изменится объем спроса потребителя на первое и третье блага, если цена второго блага будет снижаться? Какой экономический
смысл имеют вычитаемые числа в скобках функции полезности потребителя?
5. Функция полезности потребителя имеет вид
,
где
x1, x2, x3 — объемы потребляемых благ.
Бюджет потребителя составляет 120 д.е. Как изменится объем спроса потребителя на первое и третье блага, если цена второго блага будет
снижаться?
6. Функция полезности зависит от двух благ (x1, x2) следующим образом u(x1, x2) =
. Цены благ p1 = 4 д.е. и p2 = 2 д.е., а доход потребителя I = 80 д.е. Найти максимальный выбор потребителя при заданных ценах. Определить необходимый размер компенсации, если
цена p2 изменится с 2 до 4 д.е.
7. Функция полезности потребителя имеет вид u(x1, x2) =
= (x1 – 4)(x2 – 6), его бюджет I = 64, цена первого блага p1 = 1 д.е., второго блага p2 = 1,5 д.е. Требуется:
76 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
а) определить перекрестную эластичность спроса на второе благо
в момент равновесия потребителя;
б) з аписать уравнение кривой безразличия, на которой находится
потребитель в момент равновесия;
в) определить перекрестную эластичность спроса на первое благо
после достижения нового равновесия, связанного с повышением
цены на второе благо до двух единиц;
г) определить разность между компенсирующим и эквивалентным
изменениями дохода. Представить графически компенсирующее
и эквивалентное изменения дохода.
8. Функция полезности потребителя имеет вид u(x1,x2) =
= (x1 + 4)(x2 + 5). Бюджет потребителя I = 60, а цены товаров
p1 = 1 д.е., p2 = 2 д.е.
Определить максимальную функцию спроса; записать уравнение
кривой безразличия, на которой находится потребитель в момент
равновесия; определить перекрестную эластичность спроса на второй
товар в момент равновесия потребителя.
9. Функция полезности потребителя имеет вид u(x1,x2) =
= (x1 + 2)(x2 + 6). Бюджет потребителя I = 120, а цены товаров
p1 = 2 д.е., p2 = 3 д.е. Определить максимальную функцию спроса. Найти перекрестную эластичность спроса на первый товар после достижения нового равновесия (цена второго товара повысилась
до 4 д.е.). Определить разность между компенсирующим и эквивалентным изменениями дохода.
10. Функция спроса некоторого товара
,
где
p1 — собственная цена товара, p2 — цена альтернативного товара, I —
доход потребителя.
Найти эластичность спроса от собственной цены
, перекрест, эластичность спроса
ный коэффициент эластичности спроса
от дохода потребителя EI при заданной собственной цене товара p1 = 5,
цене альтернативного товара p1 = 4 и доходе потребителя I = 500. Какие это товары: взаимозаменяемые или взаимодополняющие? Как ведет себя спрос с ростом дохода потребителя?
11. Функция полезности имеет вид
,
где
x, y — количества двух благ.
Известны доход (I = 270) и цены на каждое из благ (px = 15, py = 45).
Определить: как требуется израсходовать доход, чтобы получить максимум полезности; как требуется израсходовать доход, чтобы получить
максимум полезности, если цена одного из благ изменилась: px = 45;
Задачи для самостоятельного решения • 77
как должен измениться доход, чтобы после изменения цены на одно
из благ можно было достичь первоначального уровня полезности.
12. Функция потребления некоторой страны имеет вид
,
где
y — совокупный национальный доход.
Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную
склонность к сбережению, если национальный доход составляет
5 млрд д.е.
13. Функция спроса на товар определяется линейным уравнением
относительно цены D(p) = 100 – 5p,
где
p — цена товара.
Записать уравнение зависимости между изменением выручки
и спросом на товар. Рассчитать эластичность спроса и выручки при заданных значениях цены (p = 10, p = 6, p = 12) и сделать выводы.
14. Рекламное объявление в газете стоит 500 д.е., минута телевизионного времени — 1500. Недельный рекламный бюджет фирмы —
15 000 д.е. Если x1, x2 — соответственно число объявлений в газете
и число минут рекламного времени на телевидении в неделю, то прибыль фирмы за неделю будет:
Как следует использовать рекламный бюджет, чтобы прибыль была
максимальной?
15. Производственная функция
. Цены покупки
ресурсов p1 и p2 равны 5 и 10 д.е. соответственно. Найти максимальный
выпуск, если издержки равны 100 д.е. Какой экономический смысл
имеет множитель Лагранжа?
16. Прибыль хозяйства определяется формулой
где
x1 — затраты на удобрение, x2 — затраты на семена, y — урожайность
сельскохозяйственной культуры определяется из соотношения
, M — цена единицы сельскохозяйственной
культуры, k — постоянные затраты, не зависящие от x1, x2.
Найти значения x1, x2, при которых прибыль максимальна.
17. Выпуск однопродуктовой фирмы задается ПФ
Определить максимальный выпуск, если на аренду фондов и оплату
труда выделено 150 д.е., стоимость единицы фондов (е.ф.) pK равна
5 д.е./е.ф., ставка заработной платы pL — 10 д.е./человек. Какова предельная норма замены одного занятого фондами в оптимальной точке? Найти множитель Лагранжа и объяснить его экономический
смысл.
78 • 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
18. Фирма-монополист производит два вида продукции в количестве y1 и y2 соответственно. Функция затрат имеет вид
, а кривые спроса для каждого вида продукции —
;
,
где
p1 и p2 — цена единицы продукции первого и второго видов соответственно.
Кроме того, фирма связана ограничением на общий объем производства продукции первого и второго видов в количестве 15 единиц,
т.е. y1 + y2 = 15. Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.
19. Небольшая фирма производит два вида продукции и продает ее
по цене 1000 и 800 д.е. соответственно. Издержки фирмы описываются
уравнением
,
где
x1, x2 — объемы выпуска первого и второго видов продукции.
Требуется найти такие значения x1, x2, при которых прибыль максимальна.
20. Фирма реализует часть товара на внутреннем рынке по цене
p1, а другую часть поставляет на экспорт по цене p2. Связь цены p1 и количества товара x1, проданного на внутреннем рынке, описывается
уравнением спроса p1 + x1 = 500. Связь цены p2 и количества товара x2,
проданного на экспорт, — уравнением спроса 2p2 + 3x2 = 720. Суммарные затраты задаются выражением
. Какую ценовую политику должна проводить фирма, чтобы прибыль была
максимальной?
21. Найти функцию предложения конкурентной фирмы, если ее
функция издержек имеет вид
, где — количество выпускаемой продукции. Рыночная цена на продукцию фирмы
p равна 3 д.е. Построить графики средних и предельных издержек, исследовать характер их изменения.
22. Технология производства фирмы представлена ПФ
где
L — затраты труда.
Единица труда обходится в 1 д.е., pL = L, а стоимость единицы выпускаемой продукции равна p. Каким уравнением описывается функция предложения и функция спроса на труд при условии максимизации прибыли?
23. Сахарный завод производит x единиц продукции в месяц, а суммарные издержки составляют C(x) = (x2/50) + 15x + 800. Зависимость
между ценой p на продукцию завода и ее количеством x описывается
Задачи для самостоятельного решения • 79
уравнением p = 50 – (x/10). Рассчитать, при каких объемах производства прибыль будет максимальна.
24.Функция затрат предприятия монополиста описывается уравнением C(x) = 30 + 20x, а функции спроса на продукцию монополиста
на двух рынках описываются уравнениями вида p1 = 40 – 2x1, p2 = 80 –
– 10x2. Определить объем продаж и цены на каждом из двух рынков,
максимизирующие прибыль монополии, если: C(x) — общие затраты;
p1, p2 — цены на продукцию на двух рынках; x1, x2 — объемы продаж
на каждом рынке; x — общий объем продаж.
25.Производственная функция Кобба — Дугласа описывается уравнением
,
где
K — затраты капитала, L — затраты труда.
Арендная плата n (реально выплачиваемая или условно начисляемая за час работы капитала) равна 5, часовая ставка оплаты труда m равна 3. На рынке установилась цена единицы товара p = 6. Определить
максимальную величину предложения и максимальную прибыль.
26. Производственная функция описывается уравнением
. Часовая арендная плата n равна 4, часовая ставка
оплаты труда m равна 2. Фирма принимает решение производить
Q = 50 единиц продукции, минимизируя издержки. Какой способ
производства ей следует выбрать? Чему равны минимальные издержки?
27. Производственная функция CES имеет вид
,
где
K — затраты капитала, L — затраты труда, стоимость ресурсов pK
и pL равна соответственно 10 и 6.
Найти: предельную норму замещения капитала трудом; эластичность замещения труда капиталом; коэффициенты эластичности
по труду и капиталу.
28. В паутинообразной модели функция спроса
, функция
предложения
, p0 = 1. Найти равновесную цену и выпуск. Является ли равновесие устойчивым? Изобразить графически динамику
цен и объема выпуска.
29. В паутинообразной модели функция спроса
,
функция предложения
Найти p1.
Литература
1. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы
и модели : учеб. пособие. М. : Российский университет дружбы народов, 1999.
2. Вечканов Г.С., Вечканова Г.Р. Макроэкономика : учеб. пособие. СПб. :
Питер, 2007.
3. Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. М. : Наука, 1989.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике : учебник. М. : Изд-во Мос. гос. ун-та ДИС, 1997.
5. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике : учеб.
пособие / под ред. Н.Н. Моисеева. М. : Наука, 1979.
6. Колемаев В.А. Математическая экономика : учеб. для вузов. М. : ЮНИТИ, 1998.
7. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем : учеб. для вузов. М. :
ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
8. Красс М.С. Математика в экономике : учебник. М. : ИД ФБК-ПРЕСС,
2005.
9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: учеб. пособие. СПб. : Петербург, 2006.
10. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник / АНХ при Правительстве РФ. М. :
Дело, 2001.
11. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Кремер Н.Ш.,
Путко Б.Ф., Тришин И.М., Фридман М.Н. ; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.
12. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций: учеб. пособие. М. : ЮНИТИ, 2005.
13. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: учеб. пособие / под науч. ред. проф. Б.А. Суслакова. М. : Изд-во ТК «Дашков
и К», 2004.
14. Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel. М. : Финансы и статистика, 2003.
15. Малыхин В.И. Математика в экономике : учеб. пособие. М. : ИНФРА- М,
2001.
16. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели
в экономике : учеб. пособие. Минск : ТетраСистемс, 2002.
17. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. СПб. : Питер, 2002.
196 • Литература
18. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели
в экономике : учеб. пособие для вузов / под ред. проф. Н.А. Орехова.
М. : ЮНИТИ, 2004.
19. Просветов Г.И. Математические методы и модели в экономике : задачи
и решения М. : Альфа-Пресс, 2008.
20. Просветов Г.И. Математические модели в экономике: учеб.-метод. пособие. М. : РДЛ, 2005.
21. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad
и Excel. СПб. : БХВ — Петербург, 2003.
22. Математика в экономике: учебник: в 2 ч. Ч. 2. [Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.] 2-е изд., перераб. и доп. М. :
Финансы и статистика, 2005.
23. Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Микроэкономика :
учебник. 5-е изд., перераб. и доп. М. : Юрайт, 2007.
24. Экономико-математические методы и прикладные модели : учеб.
пособие для вузов / Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. ; под ред. В.В. Федосеева. 2-е изд., перераб. и доп. М. :
ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
25. Шишов А.Л. Макроэкономика: учебник / Ассоциация авторов и издателей «ТАНДЕМ»: М. : ЭКМОС, 1997.