Производственные функции

Тема 11
Производственные
функции
Тема 11. Производственные функции
• Понятие производственной функции, факторов
производства. Аксиомы производственной функции. Виды
производств. Изокванты. Характеристики производства:
предельная норма технологического замещения,
эластичности замены факторов производства,
эластичность выпуска по отношению к ресурсу.
• Определение допустимой области производства. Свойства
технологии: монотонность и выпуклость. Стадии
производства. Соотношение изменений общего, среднего
и предельного продукта одного и двух факторов
производства. Области действия закона убывающей
отдачи и убывающей предельной нормы технологического
замещения. Короткий и длительный периоды.
Тема 11. Производственные функции
• Эффект масштаба: положительный, отрицательный,
нейтральный (постоянная отдача от масштаба).
Значение эффекта масштаба для долгосрочного
роста фирмы.
• Основные виды производственных функций: КоббаДугласа, Леонтьева, линейная, CES. Их
характеристики, области применения,
ограниченность, роль в экономическом анализе.
Ломаная (кусочно-линейная) производственная
функция: анализ разных видов технологий для
выпуска одного и того же товара.
Тема 11. Производственные функции:
литература
•
•
•
•
•
Чеканский и Фролова, гл.8
Вэриан, гл.17
Пиндайк и Рубинфельд, гл. 6
Гальперин, Игнатьев и Моргунов, Т.1, гл.7
Джейли и Рени, гл. 3, пп.3.1-3.2
Экономический кругооборот
Плата за ресурсы: доходы
домашних хозяйств
Плата за товары и услуги:
расходы домашних хозяйств
Домашние
хозяйства
Рынок товаров
и услуг
Ресурсы
Рынок
ресурсов
Товары и
услуги
Плата за товары и
услуги: доходы фирм
Фирмы
Плата за ресурсы:
расходы фирм
Факторные доходы домашних хозяйств: заработная плата (за
Экономические
ресурсы:
труд,
земля,
капитал,прибыль
фактор труда),
процент (за
капитал),
рента
(за землю),
предпринимательские
способности.
(за предпринимательские
способности).
Экономические проблемы, по которым фирмой
принимаются управленческие решения:
• Выбор номенклатуры и объемов выпуска
продуктов.
• Выбор технологии изготовления продуктов.
• Определение цен на выпускаемые продукты.
• Выбор между собственным производством
комплектующих изделий и покупкой их на
рынке.
Экономические проблемы, по которым фирмой
принимаются управленческие решения:
• Выбор уровня запасов факторов
производства.
• Определение целесообразного объема
рекламы продукции и уровня затрат на ее
проведение.
• Найм работников и их обучение, включая
повышение квалификации.
• Инвестиции и финансирование деятельности
фирмы.
Экономические теории, лежащие в основе
выработки управленческих решений:
•
•
•
•
теория поведения потребителя
теория фирмы
теория рынков
теория ценообразования и
структуры рынков
Моделирование производственных
процессов
• Инженерно-технологическое
описание технологии производства
• Экономическое описание технологии
производства
Инженерно-технологические модели
производства
Объект описания:
– Взаимодействие физических ингредиентов в
ходе изготовления продукции
Переменные модели:
– Объем выпуска продукции и объемы затрат
факторов, выраженные в физических
(натуральных) единицах измерения
Конструируемые зависимости (функции):
– Функция выпуска продукции;
– Функция затрат факторов производства
Экономические модели производства
Объект описания:
– Взаимодействие факторов производства в
хозяйственной деятельности
Переменные модели:
– Объем выпуска продукции и затраты факторов,
выраженные как в физических, так и экономических
единицах измерения
Конструируемые зависимости:
– Производственные функции
– Функции издержек
– Функция прибыли
– Функция валового дохода
Технология
• Технология - способ преобразования
исходных ресурсов/факторов в конечную
продукцию.
• Обычно существует несколько
технологий/способов производства
заданного продукта .
• Вопрос: какая из технологий наилучшая?
• Каким образом мы можем сравнивать
технологии?
Наборы затрат
• xi обозначает объем использования
ресурса i; т.е. уровень затрат ингредиента
i.
• Набор затрат - это вектор, составленный из
чисел, характеризующих уровень затрат
задействованных в производственном
процессе ресурсов (x1, x2, … , xn).
• Например, (x1, x2, x3) = (6, 0, 9.3) .
Факторы производства
• Многообразные производственные ресурсы
объединяют обычно в крупные категории,
именуемые факторами производства.
• Как правило, выделяют три фактора
производства: труд, капитал и материалы. В
учебниках часто ограничиваются анализом
двух факторов: труда (L) и капитала (К). Это
максимально упрощает анализ и в то же
время позволяет выявить основные
закономерности процесса производства.
Факторы производства
• При этом труд и капитал измеряются
обычно в единицах потока, например, в
единицах времени (часах) использования,
соответственно, труда и капитала.
• Определяя капитал как фактор
производства, мы имеем в виду только
физический капитал, т.е. средства труда,
применяемые в производственном
процессе.
Производственная функция
• Обозначим через y объем выпуска.
• Описывающая технологию
производственная функция ставит в
соответствие вектору затрат ресурсов
максимальный объем продукции, который
можно произвести с его помощью.
y  f ( x1 ,
, xn )
Факторы
производства
Продукция
ПРОИЗВОДСТВО
Производственная функция
«ВХОД»:
затраты
Ресурсы
Функция производственных затрат
Производственный
процесс
«ВЫХОД»:
результат
Продукт
Производственная функция
input
output
Производственная функция
Один ресурс, один продукт
Объем
y выпуска
y = f(x) - производственная
функция.
y’
y’ = f(x’) - максимальный
объем продукции,
достижимый при x’ единицах
ресурса.
x’
Объем затрат
x
Технологическое множество
• Производственный план - упорядоченная
пара, состоящая из вектора затрат факторов и
объема выпуска продукции, (x1, … , xn, y).
• Производственный план реализуем, если
y  f ( x1 ,
, xn )
• Совокупность всех реализуемых
производственных планов называется
технологическим множеством.
Технологическое множество
Один ресурс, один продукт
Объем
выпуска
y = f(x) - производственная
функция.
y’ = f(x’) - достижимый
y’
для x’ максимум выпуска
y” = f(x’) - объем выпуска
y”
продукции, достижимый при x’
единицах ресурса
x’
Объем затрат
x
Технологическое множество
Формально технологическое множество
определяется через производственную
функцию как
T  {( x1 , , xn , y ) :
y  f ( x1 , , xn ) , x1  0, , xn  0}
Технологическое множество
Один ресурс, один продукт
Объем выпуска
y’
Технологическое
множество
y”
x’
Объем затрат
x
Технологическое множество
Один ресурс, один продукт
Объем выпуска
Технологически
эффективные
планы
y’
Технологическое
множество
y”
Технологически
неэффективные
планы
x’
Объем затрат
x
Многофакторная технология
• Как выглядит технология при наличии более,
чем одного ресурса/фактора производства?
• Двухфакторный случай: уровни затрат
ресурсов представлены x1 и x2. Объем выпуска
продукции - y.
• Пусть производственная функция имеет вид
y  f ( x1 , x2 )  2 x x
1/3 1/3
1
2
Многофакторная технология
• Например, максимум выпуска, достижимого для
вектора затрат (x1, x2) = (1, 8), равен
y  2x x
1/3
1
1/3
2
 2  1  8  2  1 2  4
1/3
1/3
• А максимально возможный выпуск для вектора
(x1, x2) = (8,8) составит
y  2x x
1/3
1
1/3
2
 28
1/3
8
1/3
 2 2 2  8
Многофакторная технология
Выпуск y
x2
(8,8)
(8,1)
x1
Многофакторная технология
• Изоквантой для y единиц выпуска
продукции называется множество
всевозможных сочетаний затрат
ресурсов/факторов, для которых y
единиц продукции составляет
максимальный объем производства.
Изокванта при двух переменных факторах
x2
y 
y 
x1
Изокванта при двух переменных факторах
• Изокванты могут быть графически
изображены и при добавлении оси
объема выпуска продукции. В этом
случае каждая изокванта будет
находиться на соответствующей
значению выпуска высоте.
Изокванта при двух переменных факторах
Выпуск y
y 
x2
y 
x1
Изокванта при двух переменных факторах
• Чем большее число изоквант
присутствует на графике, тем
более полное представление о
технологии мы получаем.
Изокванта при двух переменных факторах
x2
y 
y 
y 
y 
x1
Изокванта при двух переменных факторах
Выпуск y
y 
y 
x2 y 
y 
x1
Многофакторная технология
• Совокупность всех изоквант технологии
называется картой изоквант.
• Карта изоквант представляет собой
описание технологии, эквивалентное
производственной функции ─ одно есть
специфическая форма другого.
1/3 1/3
• Например, y  f ( x1 , x2 )  2 x1 x2
Многофакторная технология
x2
y
x1
Многофакторная технология
x2
y
x1
Многофакторная технология
x2
y
x1
Многофакторная технология
x2
y
x1
Многофакторная технология
x2
y
x1
Многофакторная технология
x2
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Многофакторная технология
y
x1
Технология Кобба-Дугласа
• Производственной функцией КоббаДугласа называется зависимость вида:
1
1
2
2
y  A  x  x  ...  x
n
n
• Например, в функции
yx x
1/3 1/3
1
2
1
1
n  2, A  1, 1  ,  2 
3
3
Технология Кобба-Дугласа
x2
Все изокванты - гиперболы,
которые ассимптотически
приближаются к осям координат,
не пересекая их
yx x
a1
1
x1
a2
2
Технология Кобба-Дугласа
x2
Все изокванты - гиперболы,
которые ассимптотически
приближаются к осям координат, не
пересекая их
yx x
a1
1
a2
2
x1a1 x2a2  y "
x1
Технология Кобба-Дугласа
x2
Все изокванты - гиперболы, которые
ассимптотически приближаются к
осям координат, не пересекая их
yx x
a1
1
a2
2
x1a1 x2a2  y "
x1a1 x2a2  y '
x1
Технология Кобба-Дугласа
x2
Все изокванты - гиперболы, которые
ассимптотически приближаются к
осям координат, не пересекая их
yx x
a1
1
y" > y '
a2
2
x1a1 x2a2  y "
x1a1 x2a2  y '
x1
Технология с фиксированными
пропорциями затрат факторов
• Производственной функцией технологии с
фиксированными коэффициентами является
зависимость следующего вида
y  min{a1 x1 , a2 x2 ,
• Например, в функции
, an x n }
y  min{x1 , 2 x2 }
n  2, a1  1 , a2  2.
Технология с фиксированными
пропорциями затрат факторов
x2
y  min{x1 , 2 x2 }
x1 = 2x2
min{x1,2x2} = 14
min{x1,2x2} = 8
min{x1,2x2} = 4
7
4
2
4
8
14
x1
Технология с совершенным
замещением факторов
• Производственная функция технологии с
совершенным замещением факторов
представляет собой зависимость вида
y  a1 x1  a2 x2 
 an x n
• Например, в функции y  x1  3 x2
n  2, a1  1 , a2  3
Технология с совершенным
замещением факторов
x2
x1 + 3x2 = 9
y  x1  3 x2
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 24
8
Все изокванты линейны
и параллельны
6
3
9
18
24
x1
Средний продукт фактора
y  f ( x1 , , xn )
• Средний продукт фактора i - отношение объема
выпуска продукта y, полученного при затратах
факторов (x1, … , xn), к величине затрат фактора i (xi).
• Это означает, что
f  x1 , ..., xn 
y
APi  x  

, xi  0
xi
xi
• Средний продукт фактора i APi (x) показывает
“выход” продукции на единицу затрат фактора i в
точке x при условии неизменности уровня затрат всех
остальных факторов.
Предельный (физический) продукт
y  f ( x1 ,
, xn )
• Предельный продукт фактора i - прирост
объема продукции, получаемый за счет
изменения затрат фактора i на одну единицу
при условии неизменности уровня затрат
всех остальных факторов.
• Это означает, что
y
MPi 
xi
Предельный (физический) продукт
Например, для
y  f ( x1 , x2 )  x x
1/3 2/3
1
2
предельный продукт фактора 1 равен
Предельный (физический) продукт
Например, для
y  f ( x1 , x2 )  x x
1/3 2/3
1
2
предельный продукт фактора 1 равен
y 1 2/3 2/3
MP1 
 x1 x2
x1 3
Предельный (физический) продукт
Например, для
y  f ( x1 , x2 )  x x
1/3 2/3
1
2
предельный продукт фактора 1 равен:
y 1 2/3 2/3
MP1 
 x1 x2
x1 3
предельный продукт фактора 2 равен:
Предельный (физический) продукт
Например, для
y  f ( x1 , x2 )  x x
1/3
1
2/3
2
предельный продукт фактора 1 равен
y 1 2/3 2/3
MP1 
 x1 x2
x1 3
предельный продукт фактора 2 равен:
y 2 1/3 1/3
MP2 
 x1 x2
x2 3
Предельный (физический) продукт
Предельный продукт одного из факторов обычно
зависит от уровня затрат других факторов:
1
Например, при MP1  x12/3 x22/3 получаем,
3
1 2/3 2/3 4 2/3
MP1  x1 8  x1 ,
что: при x2 = 8
3
3
1 2/3 2/3
2/3
а при x2 = 27
MP1  x1 27  3 x1 .
3
Предельный (физический) продукт
• Будем говорить, что предельный продукт
фактора i является величиной убывающей,
если он уменьшается с ростом объема
затрат фактора i. Это равносильно тому, что
MPi
  y   y

  2 0
xi
xi  xi  xi
2
Предельный (физический) продукт
Например, при
1 2/3 2/3
MP1  x1 x2
3
yx x
1/3
1
и
2/3
2
имеем
2 1/3 1/3
MP2  x1 x2
3
Предельный (физический) продукт
Например, при
yx x
1/3
1
1 2/3 2/3
и
MP1  x1 x2
3
Тем самым получаем, что
2/3
2
имеем
2 1/3 1/3
MP2  x1 x2
3
MP1
2 5/3 2/3
  x1 x2  0
x1
9
Предельный (физический) продукт
Например, при
yx x
1/3
1
1 2/3 2/3
и
MP1  x1 x2
3
Тем самым получаем, что
и
2/3
2
имеем
2 1/3 1/3
MP2  x1 x2
3
MP1
2 5/3 2/3
  x1 x2  0
x1
9
MP2
2 1/3 4/3
  x1 x2  0
 x2
9
Предельный (физический) продукт
Например, при
yx
1 2/3 2/3
MP1  x1 x2
и
3
Тем самым получаем, что
1/3
1
и
x
2/3
2
имеем
2 1/3 1/3
MP2  x1 x2
3
MP1
2 5/3 2/3
  x1 x2  0
x1
9
MP2
2 1/3 4/3
  x1 x2  0
 x2
9
Предельные продукты обоих факторов убывающие функции объема их затрат
Примечание: убывание предельного
продукта фактора
• … предельный продукт фактора i является
величиной убывающей, если он уменьшается с
ростом объема затрат фактора i. Это равносильно
тому, что
 MPi    y   2 y


  2  0.
 xi  xi   xi   xi
Примечание: убывание предельного
продукта фактора
• Данный вывод справедлив только при a1 <1 и a2 < 1
для производственной функции Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a2
2
• Если параметры a1 и a2 больше единицы, то
соответствующие вторые производные будут
положительны, что характеризует возрастающий
предельный продукт фактора производства. Но
такие способы производства технически
неэффективны и не вписываются в
производственную функцию.
Эластичность выпуска по фактору
• Необходимость сравнения степени влияния
различных факторов производства на
выпуск продукции требует оценки их
воздействия на объем выпуск продукции в
сопоставимых единицах.
Эластичность выпуска по фактору
• Для сравнения влияния различных факторов
можно использовать коэффициент
эластичности выпуска продукции по
затратам фактора i.
• Формальное определение коэффициента
выглядит следующим образом: Δi(x) = %Δy /
%Δxi
• Коэффициент эластичности выпуска по затратам
фактора i показывает относительное изменение
объема продукции, приходящиеся на единицу
относительного изменения затрат фактора i в
точке x.
Эластичность выпуска по фактору
• Если технология представлена
производственной дифференцируемой
функцией,
то
 y, x
i
y  f (x1 ,..., xn ), y  0
f ( x ) f ( x )

:

xi
xi
 MPi ( x ) : APi ( x ), xi  0, i 1; n
Эластичность выпуска по фактору:
функция Кобба-Дугласа
• Пусть технология представлена функцией
Кобба-Дугласа:
тогда
 Q,K

QK L
a b
Q K Q K

:



Q K
K Q
aK
a 1
b
a
b
L K aK L
aQ


a
Q
Q
Q
 Q,L  b
Эластичность выпуска по фактору:
функция Кобба-Дугласа
• Пусть технология представлена функцией
Кобба-Дугласа:
QK L
То что  Q , K  a и
a b
 Q,L  b
означает, что степенными параметрами
производственной функции Кобба-Дугласа
являются коэффициенты эластичности
выпуска по капиталу (а) и по труду (b)
Отдача от масштаба
• Предельный продукт характеризует изменение объема продукции, обусловленное изменением уровня затрат отдельного фактора.
• Отдача от масштаба отражает изменение
объема производства продукции в ответ на
одновременное изменение затрат всех
факторов в неизменной пропорции
(например, расход всех факторов
удваивается или сокращается на половину).
Отдача от масштаба
Если для любого вектора затрат (x1,…,xn)
и числа k > 0 имеет место равенство:
f (kx1 , kx2 , , kxn )  kf ( x1 , x2 , , xn )
то описываемая производственной функцией f
технология обладает постоянной отдачей от
масштаба . Например, при k = 2 имеем удвоение
выпуска продукции при двукратном увеличении
затрат производственных ресурсов.
Отдача от масштаба
Один ресурс, один продукт
Уровень выпуска
y = f(x)
2y’
Постоянная отдача
от масштаба
y’
x’
x
2x’
Уровень затрат
Отдача от масштаба
Если для любого вектора затрат (x1,…,xn)
и числа k > 0 имеет место неравенство:
f (kx1 , kx2 ,
, kxn )  kf ( x1 , x2 ,
, xn )
то описываемая производственной
функцией f технология обладает
убывающей отдачей от масштаба.
Например, при k = 2 двукратное
увеличение затрат ресурсов
сопровождается ростом выпуска продукции
менее, чем в два раза.
Отдача от масштаба
Один ресурс, один продукт
Уровень выпуска
2f(x’)
y = f(x)
f(2x’)
Убывающая отдача
от масштаба
f(x’)
x’
2x’
Уровень затрат
x
Отдача от масштаба
Если для любого вектора затрат (x1,…,xn)
и числа k > 0 имеет место неравенство:
f (kx1 , kx2 , , kxn )  kf ( x1 , x2 , , xn )
то описываемая производственной
функцией f технология обладает
возрастающей отдачей от масштаба.
Например, при k = 2 двукратный рост
затрат ресурсов сопровождается более,
чем двойным увеличением выпуска
продукции.
Отдача от масштаба
Один ресурс, один продукт
Уровень выпуска
Возрастающая
отдача от масштаба
y = f(x)
f(2x’)
2f(x’)
f(x’)
x’
2x’
Уровень затрат
x
Отдача от масштаба
Два ресурса, один продукт
x2
y  f ( x1 , x2 )
2x'2
x
2y
'
2
y
x1'
2x1'
x1
Отдача от масштаба
Два ресурса, один продукт
x2
y  f ( x1 , x2 )
2x'2
2y
x'2
y
x1'
2x1'
x1
Отдача от масштаба
Два ресурса, один продукт
x2
y  f ( x1 , x2 )
2x'2
x'2
2y
y
x1'
2x1'
x1
Отдача от масштаба
• Технология отдельно взятого процесса
производства может иметь участки, в
пределах которых она демонстрирует
различную эффективность от расширения
масштаба.
Отдача от масштаба
Один ресурс, один продукт
Уровень выпуска
Возрастающая
отдача от масштаба
y = f(x)
Убывающая отдача
от масштаба
Уровень затрат
x
Примеры отдачи от масштаба
Линейная производственная функция
y  a1 x1  a2 x2 
 an x n
Увеличим одновременно уровень затрат
всех факторов в k раз. Тогда объем выпуска
будет равен:
a1 (kx1 )  a2 (kx2 ) 
 an (kxn )
Примеры отдачи от масштаба
Линейная производственная функция
y  a1 x1  a2 x2 
 an x n
Увеличим одновременно уровень затрат
всех факторов в k раз. Тогда объем выпуска
будет равен:
a1 (kx1 )  a2 (kx2 ) 
 k (a1 x1  a2 x2 
 an (kxn )
 an xn )
Примеры отдачи от масштаба
Линейная производственная функция
y  a1 x1  a2 x2 
 an x n
Увеличим одновременно уровень затрат
всех факторов в k раз. Объем выпуска
будет равен:
a1 (kx1 )  a2 (kx2 ) 
 k (a1 x1  a2 x2 
 an (kxn )
 an xn )
 ky
Линейная производственная функция имеет
постоянную отдачу от масштаба.
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Леонтьева
y  min{a1 x1 , a2 x2 ,
, an xn }
Увеличим одновременно уровень затрат всех
факторов в k раз. Объем выпуска будет равен:
min{a1 (kx1 ), a2 (kx2 ),
, an (kxn )}
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Леонтьева
y  min{a1 x1 , a2 x2 ,
, an xn }
Увеличим одновременно уровень затрат всех
факторов в k раз. Объем выпуска будет равен:
min{a1 (kx1 ), a2 (kx2 ),
 k (min{a1 x1 , a2 x2 ,
, an (kxn )}
, an xn })
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Леонтьева
y  min{a1 x1 , a2 x2 ,
, an xn }
min{a1 (kx1 ), a2 (kx2 ),
, an ( kxn )}
Увеличим одновременно уровень затрат всех
факторов в k раз. Объем выпуска будет равен:
 k (min{a1 x1 , a2 x2 ,
, an xn })
 ky
Функция Леонтьева описывает технологию
с постоянной отдачей от масштаба
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a2
2
x
an
n
Увеличим одновременно уровень затрат
всех факторов в k раз. Объем выпуска
будет равен:
a
a
(kx1 ) (kx2 )
1
2
(kxn )
an
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a2
2
x
an
n
Увеличим одновременно уровень затрат
всех факторов в k раз. Объем выпуска
будет равен:
a1
(kx1 ) (kx2 )
k k
a1
a2
a2
an
(kxn )
a1
k x x
a2
an
x
an
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a2
2
x
an
n
Увеличим одновременно уровень затрат
всех факторов в k раз. Объем выпуска
будет равен:
(kxn ) an
(kx1 )a1 (kx2 ) a2
k k
a1
k
a2
a1  a2 
an
a1
k x x
 an
a1
1
x x
a2
2
a2
x
x
an
n
an
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a2
2
x
an
n
Увеличим одновременно уровень затрат
всех факторов в k раз. Объем выпуска
будет равен:
a1
a2
(kx1 ) (kx2 )
k k
a1
a2
k
a1  a2 
k
a1 
 an
(kxn )
an
a1
k x x
 an
y
a1
1
x x
a2
2
an
a2
x
x
an
n
an
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a1
(kx1 ) (kx2 )
a2
a2
2
x
an
n
(kxn )  k
an
a1   an
y
Отдача от масштаба в функции Кобба-Дугласа
постоянна, если a1+ … + an = 1
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a1
(kx1 ) (kx2 )
a2
a2
2
x
an
n
(kxn )  k
an
a1   an
y
Отдача от масштаба в функции Кобба-Дугласа
постоянна, если a1+ … + an = 1
возрастает, если a1+ … + an > 1
Примеры отдачи от масштаба
Производственная функция Кобба-Дугласа
yx x
a1
1
a1
(kx1 ) (kx2 )
a2
a2
2
x
an
n
(kxn )  k
an
a1   an
y
Отдача от масштаба в функции Кобба-Дугласа
постоянна, если
возрастает, если
убывает,
если
a1+ … + an = 1
a1+ … + an > 1
a1+ … + an < 1.
Отдача от масштаба
• Вопрос: Может ли технология обладать
возрастающей отдачей от масштаба в
случае, когда ее предельный продукт во
всех точках затрат факторов является
величиной убывающей?
Отдача от масштаба
• Вопрос: Может ли технология обладать
возрастающей отдачей от масштаба в
случае, когда ее предельный продукт во
всех точках затрат факторов является
величиной убывающей?
• Ответ: Да.
2/3 2/3
• Например, y  x1 x2 .
Отдача от масштаба
yx x
2/3 2/3
1
2
4
a1  a2   1
3
x x
a1 a2
1 2
т.е. данная технология имеет
возрастающую отдачу от
масштаба.
Отдача от масштаба
yx x
2/3 2/3
1
2
4
a1  a2   1
3
Но
x x
a1 a2
1 2
т.е. данная технология имеет
возрастающую отдачу от
масштаба.
2 1/3 2/3
MP1  x1 x2
3
убывает по мере
возрастания x1
Отдача от масштаба
yx x
2/3 2/3
1
2
4
a1  a2   1
3
Но
и
x x
a1
1
a2
2
т.е. данная технология имеет
возрастающую отдачу от
масштаба.
2 1/ 3 2 / 3
MP1  x1 x2
3
2 2 / 3 1/ 3
MP2  x1 x2
3
убывает по мере
возрастания x1
убывает по мере
возрастания x2
Отдача от масштаба
• Таким образом, технология имеет
возрастающую отдачу от масштаба при том,
что ее предельные продукты убывают при
всех сочетаниях затрат факторов. Почему
это происходит?
Отдача от масштаба
• Предельный продукт характеризует прирост выпуска
продукции, обеспечиваемый дополнительной
единицей затрат одного, отдельно взятого, фактора
при неизменном уровне затрат всех остальных.
• Предельный продукт отдельно взятого фактора
убывает, поскольку затраты остальных фиксированы.
Поэтому каждая его дополнительная единица
взаимодействует с все меньшим количеством
остальных ресурсов, необходимых для производства
продукции.
Отдача от масштаба
• При одновременном возрастании затрат всех
факторов с сохранением неизменной пропорции
объемов их производственного потребления
существует основа предотвращения снижения
предельного продукта фактора.
• Таковой в многофакторных технологиях является
увеличение затрат других ресурсов, компенсирующее
падение предельного продукта рассматриваемого
фактора.
Отдача от масштаба
• Пропорциональное увеличение затрат каждого из
задействованных в процессе ресурсов может
сохранять или даже улучшать исходные условия
приложения каждого из них.
• В таких ситуациях совокупная производительность
затрат факторов в заданной структуре будет
неизменной или возрастающей, что в результате и
обеспечивает технологии постоянную или
возрастающую отдачу от масштаба.
Технологическая норма замещения
• Определение: Соотношение, в котором можно
заменить затраты одного из факторов
производства затратами другого с тем, чтобы
при фиксированных объемах потребления
остальных ресурсов уровень выпуска продукции
остался неизменным.
• Различные обозначения:
• технологическая норма замещения, technical rate of
substitution (TRS)
• предельная норма технического замещения,
marginal rate of technical substitution (MRTS)
Предельная норма технической замены
x2
x'2
y
x'1
x1
Предельная норма технической замены
Графически предельная норма
технической замены характеризует
наклон изокванты в точке. Он
показывает соотношение, в котором
затраты фактора 2 должны быть
сокращены при увеличении затрат
фактора 1 с тем, чтобы уровень выпуска
продукции остался неизменным.
x2
x'2
y
x'1
x1
Предельная норма технической замены
• Гальперин: наклон изоквант характеризует
предельную норму технического
замещения:
MRTS L ,K
K

L
Q  const
или для непрерывного случая:
MRTS L ,K
dK

dL
Q  const
Предельная норма технической замены
• Каким образом исчисляется предельная норма
технической замены?
Предельная норма технической замены
• Каким образом исчисляется предельная норма
технической замены?
• Пусть технология представлена производственной
функцией
y  f ( x1 , x2 )
• Малое изменение (dx1, dx2) вектора затрат факторов
влечет за собой изменение выпуска
y
y
dy 
dx1 
dx2
x1
 x2
Предельная норма технической замены
y
y
dy 
dx1 
dx2
x1
 x2
Но dy = 0, поскольку при перемещении по
изокванте выпуск продукции остается
неизменным. Поэтому для изменений в
объемах затрат факторов dx1 и dx2
справедливо
y
y
0
dx1 
dx2
x1
x2
Предельная норма технической замены
y
y
0
dx1 
dx2
x1
x2
преобразуем к виду
y
y
dx2  
dx1
 x2
 x1
откуда
dx2
 y /  x1

dx1
 y /  x2
Предельная норма технической замены
dx2
y x1
MP1


dx1
y x2
MP2
есть соотношение, в котором затраты
фактора 2 должны быть сокращены в ответ
на увеличение затрат фактора 1 с тем,
чтобы сохранить неизменным объем
выпуска продукции.
Эта величина характеризует наклон
изокванты и равна тангенсу угла наклона
касательной к изокванте в рассматриваемой
точке.
Предельная норма технической замены:
функция Кобба-Дугласа
Пусть
тогда
П
y  f ( x1 , x2 )  x x
y
a 1 b
 ax1 x2
 x1
a
1
и
b
2
y
 bx1a x2b 1
 x2
Предельная норма технической замены
a 1 b
1
2
a b 1
1 2
dx2
y / x1
ax x
ax2



dx1
 y /  x2
bx x
bx1
Предельная норма технической замены:
функция Кобба-Дугласа
x2
1
2
yx x ; a и b
3
3
1/ 3 2 / 3
1
2
ax2
(1/ 3) x2
x2
TRS  


bx1
(2 / 3) x1
2 x1
x1
Предельная норма технической замены:
функция Кобба-Дугласа
x2
1
2
1/ 3 2 / 3
y  x1 x2 ; a  и b 
3
3
ax2
(1/ 3) x2
x2
TRS  


bx1
(2 / 3) x1
2 x1
x2
8
TRS  

 1
2 x1
2 4
8
4
x1
Предельная норма технической замены:
функция Кобба-Дугласа
x2
yx x ;
1/ 3 2 / 3
1
2
1
2
a и b
3
3
ax2
(1/ 3) x2
x2
TRS  


bx1
(2 / 3) x1
2 x1
x2
6
1
TRS  


2 x1
2 12
4
6
12
x1
Предельная норма технической замены:
убывание
• Значение TRS (MRTS) уменьшается при движении
вдоль изокванты слева направо. В чем
заключается экономический смысл?
– Выпуклость изоквант к началу координат демонстрирует тот факт,
что факторы производства являются одновременно и
взаимодополняющими и взаимозаменяемыми: гибкость
технологий
– Экономическая причина уменьшения TRS состоит в том, что в
большинстве отраслей факторы производства не являются
абсолютно взаимозаменяемыми: они и дополняют друг друга в
производственном процессе. Каждый фактор может делать то, что
не может сделать или может сделать хуже другой фактор
производства.
Регулярные (well-behaved) технологии
• Будем говорить, что технология
является регулярной, если она
обладает свойствами
–монотонности,
–выпуклости.
Регулярные технологии: монотонность
• Монотонность: Большее потребление
любого из факторов приводит к росту
объема выпускаемой продукции.
y
y
Монотонная
технология
x
Немонотонная
технология
x
Регулярные технологии: монотонность
• Монотонность: производственная функция
является монотонно возрастающей по
каждому из аргументов. Эта предпосылка
означает, что увеличение затрат хотя бы
одного из факторов производства приводит
к росту количества выпускаемой
продукции:
f ( x1 ,..., xn )
0
xi
i  1,..., n,
Регулярные технологии: выпуклость
• Выпуклость: Если наборы ресурсов
x’ и x” оба позволяют произвести y
единиц продукции, то их смесь tx’ +
(1-t)x” будет обеспечивать выпуск по
крайней мере y единиц выпуска при
любых значениях параметра t из
области 0 < t < 1.
Регулярные технологии: выпуклость
x2
x
x
x'
'
2
x' '
''
2
y 
'
1
x
''
1
x
x1
Регулярные технологии: выпуклость
x2
x
x'
'
2

x
tx1'  (1  t ) x1" , tx2'  (1  t ) x2"
x''
''
2
y
'
1
x
''
1
x
x1

Регулярные технологии: выпуклость
x2
x
x'
'
2

x
tx1'  (1  t ) x1" , tx2'  (1  t ) x2"
x'' y
''
2
y
'
1
x
''
1
x
x1

Регулярные технологии: выпуклость
x2
x
x
Выпуклость технологии означает,
что TRS возрастает (принимает
меньшие отрицательные значения)
по мере увеличения значений x1.
'
2
''
2
'
1
x
''
1
x
x1
Регулярные технологии
Больший выпуск
x2
y
y y
x1
Регулярные технологии
Другие свойства регулярных технологий:
-без наличия хотя бы одного из факторов
производства нет выпуска
f (0, x2 ,..., xn )  f ( x1 , 0, x3 ,..., xn )  ... 
 f ( x1 ,..., xn 2 , 0, xn )  f ( x1 ,..., xn 1 , 0)  0
- непрерывная и дифференцируемая во всех точках
функция
Производственная функция Кобба-Дугласа отвечает
всем перечисленным выше предпосылкам
Для линейной производственной функции и
функции Леонтьева некоторые из сделанных
допущений не выполняются.
Ломаные изокванты
x2
x
x
Многим производственным
функциям свойственно
скачкообразное изменение
TRS. Такие функции
описываются ломаными
изоквантами
A
B
'
2
C
''
2
D
'
1
x
x1''
x1
Ломаные изокванты
x2
x
x
A
B
'
2
C
''
2
Они отражают
производственные процессы,
для которых характерно не
бесчисленное множество, а
ограниченное количество
способов производства
заданного объема выпуска.
D
'
1
x
x1''
x1
Ломаные изокванты
x2
x
x
A
B
'
2
Например, существует всего четыре способа
производства продукции в объеме Q1, (А, В, С
и D).
Точки, лежащие на отрезках ломаной
изокванты, характеризуют не особые способы
производства, а сочетание различных
способов производства, при которых
возможен выпуск данного объема продукции.
C
''
2
D
Q1
'
1
x
x1''
x1
Ломаные изокванты
x2
x
x
A
B
'
2
При любом сочетании способов производства
А и В (или любых других «смежных» способов
производства, например, В и С) TRS остается
неизменной. Однако переход от сочетания
способов А и В к сочетанию способов В и С и
т.д. сопровождается скачкообразным
уменьшением TRS.
C
''
2
D
Q1
'
1
x
x1''
x1
Ломаные изокванты
• Возможности замещения факторов в большинстве
производственных процессов имеют характер скорее
дискретный, чем непрерывный. Следовательно,
ломаные изокванты более реалистичны, чем гладкие.
• Однако гладкие изокванты приближенно отражают
форму ломаных изоквант, и это приближение тем точнее,
чем больше число способов производства, позволяющих
произвести заданный объем выпуска.
• Поэтому анализ производственных функций с гладкими
изоквантами дает возможность выявить основные
закономерности процесса производства, не прибегая при
этом к сложному математическому аппарату.
MRTS и эластичность замещения
факторов производства
Предельная норма технического замещения
имеет, однако, тот недостаток, что она зависит от
единиц, в которых измеряются объемы
применяемых ресурсов. Этого недостатка нет у
показателя эластичности замещения
Замещение факторов производства
Коэффициент эластичности замены факторов
производства
d ( xi / x j ) d (TRS ij ( x ))
 ij ( x ) 
:

( xi / x j )
TRS ij ( x )

d ln( xi / x j )
d ln( MPi ( x ) / MPj ( x ))
,
i , j 1: n
Характеризует технологическую однородность
факторов производства. Чем больше значение
σij(x), тем выше технологическая однородность
факторов и, соответственно, скорость замещения
одного другим.
Замещение факторов производства
Коэффициент эластичности замещения факторов
производства показывает, на сколько процентов
должно измениться соотношение факторов,
чтобы при неизменном выпуске предельная
норма технического замещения изменилась на
один процент.
Например, σ показывает , на сколько процентов
должна измениться капиталовооруженность
труда, чтобы при неизменном выпуске
предельная норма технического замещения
изменилась на один процент.
Замещение факторов производства
Коэффициент эластичности замещения факторов
производства L и K:
K
K
%  
 
L
L  MRTS L, K


 

:
K
%MRTS L, K
MRTS L, K
L
или:
K
d 
MRTS L, K
L

 

K
d MRTS L, K
L
CES производственные функции
• Представим производственную функцию вида:

  /
y  f ( K , L)  [ K  L ]
  1,   0,   0
–  > 1  возрастающая отдача от масштаба
–  < 1  убывающая отдача от масштаба
• Для этой функции постоянна и равна
 = 1/(1-)
–  = 1  линейная производственная функция
–  = -  производственная функция Леонтьева
–  = 0  производственная функция Кобба-Дугласа
CES производственные функции
• В некоторых работах эта производственная
функция может представлена иначе:
y  f ( K , L)  [ K    L  ] /   [1,0)  (0,),   0
y  f ( K , L)  [bK    (1  b) L  ] / 
b  [0,1], ρ  [1,0)  (0,) , γ  0
Долгосрочный и краткосрочный анализ
• Анализ в долгосрочной перспективе подразумевает
такую ситуацию, в которой рассматриваемая
хозяйственная единица ничем не ограничена в своем
выборе уровней затрат любого из факторов
производства.
• В действительности обнаруживаются различные
краткосрочные особенности ведения производственной
деятельности.
• Анализ в краткосрочной перспективе исходит из
наличия у хозяйственной единицы определенного рода
ограничений на выбор уровня затрат хотя бы одного из
факторов.
Долгосрочный и краткосрочный анализ
• Примеры краткосрочных ограничений, с которыми
фирма сталкивается в своей производственной
деятельности:
– временная невозможность установить или
демонтировать оборудование
– законодательно установленные требования к
объемам производства продукции (квоты на выпуск
продукции)
– необходимость соблюдения национальных норм
ведения производственной деятельности.
Долгосрочный и краткосрочный анализ
• С точки зрения долгосрочного анализа производства
полезно полагать, что хозяйственная единица
(фирма) может выбирать наиболее
предпочтительные (в краткосрочной перспективе)
условия ведения производственной деятельности.
Долгосрочный и краткосрочный анализ
• Каково воздействие краткосрочных ограничений
на технологию фирмы?
• Предположим, что краткосрочное ограничение
заключается в том, что задан уровень затрат
фактора 2.
• Таким образом, фактор 2 оказывается
фиксированным в краткосрочной перспективе
ресурсом, тогда как фактор 1 остается переменным
(варьируемым).
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
x2y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
y
x2
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
y
x2
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
y
x1
Долгосрочный и краткосрочный анализ
y
x1
Четыре краткосрочные производственные функции.
Долгосрочный и краткосрочный анализ
yx x
1/ 3 1/ 3
1
2
- долгосрочная производственная
функция (факторы x1 и x2 переменные).
Краткосрочная производственная функция при
x2  1
yx 1 x
1/ 3 1/ 3
1
1/ 3
1
Краткосрочная производственная функция при
x2  10
y  x 10
1/ 3
1
1/ 3
Долгосрочный и краткосрочный анализ
y  x11/ 3101/ 3
yx 5
1/ 3 1/ 3
1
y  x11/ 3 21/ 3
y
y  x11/ 311/ 3
x1
Четыре краткосрочные производственные функции