10. Производственные функции, основные виды

§ 10. Производственные функции, основные виды
Рассмотрим такие свойства производственной деятельности предприятия в
целом, которые необходимо отражать в математических моделях производства.
Эти
свойства
выявлены
в
результате
многочисленных
эмпирических
исследований экономики в рыночных условиях.
Для изготовления продукции требуются производственные ресурсы. В
процессе производства можно установить зависимость выпуска продукции от
необходимых для этого ресурсов. Выпуск продукции может быть измерен в
натуральных или денежных единицах (объем реализации, доход). Продукцию
продают на товарном рынке. Объем выпускаемой продукции зависит от
количества ресурсов, востребованных для производства. Ресурсы производства
также могут быть измерены либо в натуральных, либо в денежных единицах.
Ресурсы покупают на рынках факторов производства, а объемы использования
ресурсов зависят от меняющейся на каждый из них цены. В рыночных условиях
происходит динамичное изменение цен на продукцию и на ресурсы
производства.
Математическая модель в виде формулы зависимости выпуска продукции
(дохода) от вектора затрачиваемых или используемых в производстве ресурсов
(затрат на их покупку) получила название производственной функции (ПФ).
Применяемое для выпуска продукции количество ресурсов или их оплата
являются факторами производства. Конкретная формула и параметры этой
модели определяются типом производства, существующим уровнем технологий
и управления, техническими и экономическими знаниями персонала, умением
предпринимателей организовать бизнес и т.д.
Сформулируем свойства реального производства, которые должны быть
отражены в производственной функции.
234
Предприниматели
использования
заинтересованы
ресурсов.
в
максимальном
Неэффективное
эффекте
использование
от
ресурсов
предприниматели и менеджеры предприятия, как правило, не допускают.
Поэтому ПФ отражает зависимость максимально возможного выпуска
продукции от ресурсов, введенных в производство. Это закон эффективного
ведения хозяйства. В микроэкономической теории принято считать, что ПФ
определены принципиальные границы максимально возможного выпуска
продукции. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно:
возможно,
при
другом
распределении
ресурсов
между
структурными
единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – это
статистически устойчивая связь между затратами и выпуском.
Выявлено, что в микроэкономике максимально возможный выпуск
продукции происходит при любом сочетании применяемых ресурсов. Дорогие
ресурсы предприниматели стремятся заменить более дешевыми. Каждый вид
ресурсов используют рационально, избыточные ресурсы продают (лишних
работников увольняют).
ПФ должна отражать зависимость выпуска продукции от использования
ресурсов при наиболее эффективном их применении. Отсюда следует, что она
должна быть однозначной детерминированной функцией (не случайной, не
размытой)
выпуска
продукции
от
факторов
производства.
Сам
факт
зависимости выпуска продукции y от факторов производства x формализуют в
виде формулы
y = f(x),
где x =col{x1, …, xn}, xi – количество или стоимость используемых ресурсов
производства i-го вида, i = 1, 2, ..., n, n – число ресурсов.
При отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е.
выпуск отсутствует.
Увеличение количества любого ресурса не может приводить к снижению
объема выпуска продукции. Дополнительное применение любого ресурса в
235
случае угрозы сокращения выпуска продукции предприниматели в принципе не
допускают.
Увеличение масштабов производства путем дополнительного привлечения
всех ресурсов может происходить с различной степенью эффективности. При
увеличении масштаба производства отдача ресурсов у одних предприятий
может увеличиваться, у других – сокращаться, у третьих – оставаться без
изменения.
ПФ связывает выпуск продукции с использованием взаимозаменяемых
ресурсов. При фиксированном объеме выпуска продукции характер замещения
одного ресурса другими имеет свои особенности, он зависит от типа
моделируемого производства. Например, на электростанции возможна полная
замена некоторых видов энергоносителей (топочного мазута газом, если для
этого приспособлено оборудование). В других случаях происходит постепенное
или частичное замещение ресурсов. Например, в машиностроительном
производстве обычные станки можно заменить станками с числовым
программным управлением. Тогда определенное количество деталей будет
изготавливаться меньшим количеством рабочих, но увеличится стоимость
ОПФ. Наконец, в ряде случаев замещение ресурсов в принципе невозможно.
Например, трудовые ресурсы невозможно заменить сырьевыми ресурсами, эти
ресурсы взаимно дополняют друг друга.
Одновременно с замещением ресурсов может происходить изменение
выпуска продукции. Поэтому конкретная формула ПФ должна правильно
отражать специфику увеличения выпуска и замещения ресурсов для каждого
типа производства.
Факторами воздействия на производство являются только такие ресурсы,
которые необходимо оплачивать. Фактор времени при этом в ПФ в явном виде
отсутствует. Однако он очень важен, так как при помощи применяемых в
настоящее время технологий за год можно выпустить одно количество
продукции, а после введения новых технологий и организации производства
236
при тех же затратах на оплату ресурсов можно произвести значительно больше
продукции. Поэтому различают ПФ, которые отражают производство в
краткосрочном или в долгосрочном периоде. В краткосрочном периоде
возможно замещение только особо «подвижных» ресурсов. К числу наиболее
динамичных ресурсов можно отнести различные виды сырья и материалов. В
долгосрочном периоде может происходить обновление всех ресурсов, в том
числе замена технологических способов производства под воздействием
научно-технического
прогресса
(НТП).
Как
правило,
изменение
технологических способов связано с реконструкцией предприятия и требует
значительного времени. При этом ярко проявляется тенденция замещения
трудовых ресурсов более производительным оборудованием, живого труда
овеществленным.
Формула y = f(x), где x = col{x1, …, xn} математически свидетельствует о
соблюдении в производстве описанных выше свойств. Область определения
такой функции 0 ≤ xi ≤ xim при любом i = 1, 2, ..., n; xim – правая граница
области. Математический вид этой формулы должен отражать конкретные
производства в соответствии с задачами ее применения.
В различных вариантах ПФ в качестве факторов производства выступают
такие наборы ресурсов, которые соответствуют задачам экономических
исследований. Если факторами производства являются основной капитал (x1 (=
K) – объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (x2
(= L) – количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда),
исчисляемого обычно в стоимостном выражении, то такая двухфакторная
функция y = f(K, L) принимает вид зависимости той доли выпуска продукции y,
которая получена в результате затрат на использование основного капитала K и
на оплату труда L. Величина y называется чистым продуктом (чистым доходом
от его реализации).
ПФ могут иметь разные области использования. Принцип «затраты –
237
выпуск» может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом
уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у = f(x)
может быть использована для описания взаимосвязи между величиной
затрачиваемого или используемого вектора ресурсов x = col{x1, … ,xn} в
течение года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском
продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы
здесь
выступает
отдельное
предприятие
(фирма)
–
имеем
микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли
производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой
производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для
решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.
ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми
затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным
выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в
роли производственной системы выступает регион или страна в целом (точнее
хозяйственная система региона или страны)
–
имеем макроэкономический
уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно
используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и
прогнозирования).
Точное толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса
и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от
характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с
помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных
данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться
как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые
затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов
–
натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее
величина
–
стоимостный показатель); выпуск продукции может быть
представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и
238
т.п.) или в виде своей стоимости.
На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как
правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные
(ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов
затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их
цены.
10.1. Аксиомы (свойства)
Модель производства в виде ПФ должна отвечать двум группам
требований. С одной стороны, она должна отражать свойства реального
производства, которые сформулированы в предыдущем параграфе. Вместе с
тем
необходимо,
требованиям
сформулированы
чтобы
формула
неоклассической
в
форме
ПФ
соответствовала
экономической
следующей
системы
определенным
теории,
аксиом.
которые
Аксиоматика
моделирования производства в математической форме выражает общие
свойства производства.
Функция выпуска от факторов производства должна быть дважды
непрерывно дифференцируемой. Требование дифференцируемости вызвано тем,
что по значению первой производной выявляется соответствие ПФ аксиоме 2,
вторые производные позволяют проверить соответствие аксиоме 4.
Аксиома 1. При отсутствии хотя бы одного ресурса производство
невозможно, т. е. выпуск отсутствует.
Зависимость выпуска продукции y от факторов производства x = col{x1, …
,xn} выражает формула y=f(x). В случае, если xi = 0 хотя бы для одного i = 1, 2,
... , n, то согласно сформулированной аксиоме получаем выпуск y = 0.
Соответствие этому требованию означает, что математический вид
формулы у = f(x) не может иметь свободного члена (не зависящего от x1, x2, …,
xi, … ,xn). Наличие свободного члена означало бы, что выпуск возможен при
239
нулевых значениях всех факторов.
Аксиома 2. Увеличение количества любого ресурса не может приводить к
снижению объема выпуска продукции. Иначе говоря, выпуск продукции при
дополнительном использовании малой единицы i-го ресурса производства не
может
быть
меньше
нуля.
Эту
аксиому
записывают
в
следующей
математической форме:  y/ xi ≥ 0, i = 1, 2, ... , n.
Если же наблюдается неравенство  y/ xi < 0, то при дополнительном
применении малой единицы i-го ресурса объем выпуска продукции снижается.
В этом случае предприниматели отказываются от увеличения выпуска
продукции за счет дополнительного привлечения i-го ресурса. Равенство у/xi
= 0 определяет границу зоны производственной деятельности предприятия,
которая называется экономической областью. Следовательно, экономическая
область определяется системой неравенств  y/ xi ≥ 0, i = 1, ... , n.
Аксиома 3. Увеличение масштаба производства происходит с некоторой
степенью однородности.
Математически степень однородности определяется следующим образом.
Если зависимость выпуска продукции от факторов производства формализовать
в виде y = f(x), x = col{x1, … ,xn}, i = 1, ... ,n, то рост масштаба производства
означает пропорциональное увеличение значения всех факторов в λ (λ > 1) раз,
факторы становятся равными λx. При этом выпуск продукции увеличится до yλ.
Формулу выпуска продукции после увеличения масштаба производства можно
записать в следующем виде:
yλ = f(λ x) = λ m f (x),
где m – показатель степени однородности.
Следовательно,
степень
однородности
производственной
функции
отражает эффект от изменения масштаба производства. Одинаковое
увеличение масштаба разных производств может давать не одинаковый прирост
выпуска продукции. Иначе говоря, рост масштаба производства может
240
происходить с различной эффективностью. Отдача ресурсов при увеличении
масштаба производства у одних предприятий может увеличиваться, у других –
сокращаться, у третьих – оставаться без изменения.
Если показатель степени однородности m >1, то увеличение масштаба
производства обеспечивает рост эффективности ресурсов. Если 0 < m < 1, то
увеличение масштаба производства продукции уменьшает эффективность
ресурсов. В случае m = 1 эффективность ресурсов не меняется, т. е. при
увеличении
масштаба
производства
происходит
без
изменения
производительности ресурсов. Итак, если m = 1, то при увеличении значений
факторов в λ раз выпуск продукции достигнет
yλ = f(λ x) = λ f(x) = λ y.
Значит, эффективность применения ресурсов не изменится.
Чем
существеннее
увеличение
производительности
дополнительно
вводимых ресурсов, тем выше значение показателя степени однородности. Если
m >1, то при увеличении значения всех факторов в λ раз объем производства
возрастет больше чем в λ раз.
Аксиома 4. График поверхности производственной функции является
выпуклым вверх.
При росте выпуска продукции может происходить не только увеличение
количества используемых ресурсов, но и изменение их структуры, т. е. один вид
ресурса может частично замещаться другими видами. Например, при замене
станков более производительными стоимость оборудования может увеличиться
в большей мере, чем численность рабочих. Иными словами, при совокупном
приросте использования ресурсов живой труд можно наращивать меньше, чем
капитал.
По любым трем точкам xA, xB и xC в многомерном пространстве факторов
производства выпуклость вверх определяется неравенством
f(xC) ≥ α f(xA) + β f(xB),
где xC = α xA + β xB при любых 0 ≤ α, β ≤ 1, α + β = 1; xA ≥ 0, xB ≥ 0 и xA ≠ xB.
241
Неравенство xA ≥ xB означает xiA  xiB для всех i = 1, … ,n.
Определение строгой выпуклости вверх отличается только тем, что в f(xC) ≥
α f(xA) + β f(xB) знак неравенства требуется заменить на знак «строго больше»
при 0 < α, β < 1, α + β = 1.
Применительно к двухфакторной функции y = f (x1, x2) выпуклость вверх
показана на рис. 1. Поверхность, отражающая функцию, пересекается
вертикальной плоскостью по линии, проходящей через точки A, B и C. Точки
x A  ( x1A , x2A ) и x B  ( x1B , x2B ) и x C  ( x1C , x2C ) определяют количество ресурсов x1
и x2 для выпуска продукции в объеме, равном длине отрезка | A, x A | или | B, x B | ,
или | C , x C | . Длина отрезка | C , x C | равна правой части неравенства f(xC) ≥ α f(xA)
+ β f(xB). Очевидно, что это соотношение выполняется в варианте «строго
больше».
Для иллюстрации замещения ресурсов при изменении выпуска продукции
на рис. 2 показаны линии пересечения поверхности горизонтальными
плоскостями на уровне объема выпуска yА и yB. Любая точка кривой 1
соответствует набору ресурсов для выпуска продукции yА, а кривой 2 – набору
для выпуска yB. Применение ресурсов в количестве x A  ( x1A , x2A ) обеспечивает
выпуск yА, увеличение ресурса x2 с x2A до x2B и уменьшение ресурса x1 с x1A до
x1B дает прирост выпуска продукции с yА до yB. На рис. 2 этот переход
обозначен жирной стрелкой.
242
y
C
x1B
x1C
B
x2A
C
d
x1
A
x1A
x1
1
xA
yB
x1A
C
x2
x2B
2
A
x
B
xB
x1
B
A
y
x2
x2
A
Рис. 1
x2B
x2
Рис. 2
10.1.1. Математическая проверка соответствия ПФ аксиоме 4
Математически аксиома 4 проверяется с помощью матрицы Гессе (L.O.
Hesse) (матрицы вторых производных ПФ), которая имеет вид
n
 2 f 
 .
H  


x

x
 i j i , j 1
Для выпуклости вверх поверхности ПФ в области определения необходимо
и достаточно, чтобы главные нечетные миноры, начиная с первого порядка,
матрицы H были не больше нуля, а главные четные миноры, начиная со второго
порядка, были не меньше нуля: i1  0 , i2, j  0 при 1  i  j  n , i3, j ,k  0 при
1  i  j  k  n и т.д., где i1 , i2, j , i3, j ,k … – всевозможные главные миноры
первого, второго, третьего и т.д. порядка соответственно.
В случае двухфакторной ПФ аксиома выпуклости вверх проверяется по
следующим значениям миноров:
2
2 f
2 f
2 f 2 f  2 f 
2
1, 2
 0.
  2  0 , 1  2  0 и  2  2

x1
x2
x1 x22  x1x2 
1
1
Достаточное условие строгой выпуклости вверх состоит в том, что в
миноре 11 должен быть знак неравенства «строго меньше», в миноре 12, 2 – знак
243
«строго больше», а в миноре 13, 2 ,3 – знак «строго меньше» и т.д. Таким образом,
достаточно проверить знаки только главных угловых миноров.
В случае двухфакторной ПФ аксиома строгой выпуклости вверх
проверяется по следующим значениям миноров:
2
2 f
2 f 2 f  2 f 
1
1, 2
 0.
1  2  0 ,  2  2

x1
x1 x22  x1x2 
10.2. Производственная функция Кобба – Дугласа
Предприятие может производить некоторый набор видов продукции.
Однако ПФ отражает зависимость выпуска в целом от факторов производства,
как правило, по их укрупненным группам. Примером неоклассической модели
производства является двухфакторная производственная функция Кобба –
Дугласа (C.W. Cobb, P.H. Douglas, 1928).
Производственная функция Кобба – Дугласа отражает зависимость
объема производства чистой продукции (чистого дохода) от количества
используемых ресурсов труда и капитала (затрат на их использование) и
имеет мультипликативную форму. Она записывается в виде формулы
y = а K  L,
где а – постоянный коэффициент, соответствующий совокупной эффективности
факторов K и L в производстве (а > 0);
,  – постоянные коэффициенты, которые характеризуют эффективность
каждого ресурса отдельно (,  > 0,  +  = 1);
K – количество используемого капитала или плата за капитал;
L – количество используемого труда или плата за труд.
Проверим соответствие ПФ Кобба – Дугласа введенной ранее аксиоматике.
Проверка соответствия аксиоме 1.
244
Если K = 0, то y = a 0α L = 0, если L = 0, то y = a K 0β = 0.
Следовательно, функция соответствует аксиоме 1.
Проверка соответствия аксиоме 2.
Вычислим частную производную выпуска по фактору K:  y/ K = a  K - 1
L = a  L/K . Коэффициенты а, ,  имеют положительное значение,
следовательно, при K, L > 0 значение  y/ K > 0. При K = 0, L > 0 производной
 y/ K не существует. Аналогично вычислим частную производную выпуска по
L:  y/ L =   K L - 1 = а  K/L, следовательно, при K, L > 0 значение  y/ L
> 0. При L = 0, K > 0 производной  y/ L не существует.
Так как частные производные выпуска по факторам производства имеют
положительные значения, математическая формула ПФ Кобба – Дугласа
соответствует аксиоме 2.
Проверка соответствия аксиоме 3.
Вычислим значение показателя степени однородности. Если начальный
объем выпуска y = f (K, L) = а K L, то после увеличения факторов в λ раз
получим выпуск
yλ = а (γ K) (γ L) = λ  λ  (а K L) = γ 1 (а KL) = λ 1 y.
Отсюда следует, что ПФ Кобба – Дугласа соответствует аксиоме 3 и имеет
показатель степени однородности m = 1. Значит, эта модель применима для
случаев, когда эффективность использования ресурсов при увеличении
масштаба производства не изменяется, расширение производства происходит
без технологических и организационных инноваций.
Проверка соответствия аксиоме 4.
Матрица Гессе производственной функции Кобба – Дугласа имеет вид
 2 f

2
H   K
2
  f

 KL
2 f 
 2 

KL    a (  1) K L
 2 f   aK  1 L 1

K 2 
aK  1 L 1 
.
a (   1) K  L 2 
Для проверки выпуклости поверхности вверх необходимо и достаточно
245
выполнения условий, сформулированных в предыдущем параграфе. Учитывая,
что α, β > 0 и α + β = 1, вычислим значения миноров при K > 0 и L > 0:
11  a (  1) K   2 L  0 , 21  a (   1) K  L 2  0 ,
12,2  det H  a 2K 2 ( 1) L2 (  1) ((  1)(   1)   ) 
 a 2K 2 ( 1) L2 (  1) (1  (   ))  0 .
Отсюда следует, что при K > 0, L > 0 условия выпуклости вверх
поверхности ПФ Кобба – Дугласа соблюдаются. Кроме этого условия строгой
выпуклости вверх поверхности не выполнено.
10.3. Производственные функции
с разной взаимозаменяемостью ресурсов
В связи с изменением рыночных цен на ресурсы (арендной платы, средней
ставки заработной платы и т.п.) у руководителей предприятия возникает
желание использовать в производстве более дешевые ресурсы. Однако
возможности замены ресурсов в различных случаях не одинаковы.
Например, в электроэнергетике вместо мазута можно применить газ.
Замена энергоносителей определяется по их теплотворности. При этом
безразлично, каково соотношение расхода разных энергоресурсов. Иначе
говоря, энергоресурсы применяют с постоянным коэффициентом замещения.
Вместе с тем нередки случаи, когда возможность взаимного замещения
ресурсов отсутствует. Например, в машиностроении невозможно заменить
обрабатывающие станки транспортными средствами. Эти два вида ресурсов
дополняют друг друга.
Вопрос о равноценной (эквивалентной) взаимозаменяемости ресурсов
удобно рассматривать на примере двухфакторных ПФ y = f(K, L), где K – размер
используемого капитала, L – объем трудозатрат.
Определенное количество продукции можно произвести при различном
246
сочетании используемых ресурсов. Зависимость капитала от труда при
постоянном выпуске продукции можно в общем виде выразить формулой K =
ψ(L). Линия, соединяющая точки всевозможного сочетания используемых
ресурсов (затрат на их оплату) при постоянном объеме производства
продукции (дохода от ее реализации), получила название изокванты.
Возможные формы изоквант приведены на рис. 4.
Для упрощения изложения вопроса об эквивалентной взаимозаменяемости
ресурсов начнем с рассмотрения алгебраической формулы модели производства
в виде y = а K L.
Зафиксируем объем выпуска продукции y = y1. В этом случае формула
изокванты приобретает конкретный вид: K = y1/(аL). Так как числитель –
величина постоянная, то выведенная формула описывает обратную зависимость
капитала от труда, графиком этой зависимости является гипербола. Если y1 =
100 ед., то при а = 1 и объеме трудозатрат L2 = 20 ед. потребуются капитал K2 =
5 ед., а при L1 = 8 ед. необходимо увеличение капитала до K1 = 12,5 ед. (за
определенный период времени). Две изокванты разной кривизны изображены
на рис. 2.4, а.
K
K
K1
1
изокванта 2
2
1
K2
ВДР
изокванта 1
y1
2
L1
L2 L
a
K1
а
L1
ЛПФ
в
L2
L
b
Рис. 4
Особенность изокванты состоит в том, что в любой ее точке уменьшение
объема использования одного ресурса требует увеличения объема другого
ресурса. График изокванты имеет форму, выпуклую к началу координат. При
увеличении масштаба производства с пропорциональным ростом затрат
247
ресурсов изокванта смещается вправо вверх.
Задачи моделирования производства разнообразны, они различаются
самими
факторами
производства,
краткосрочным
или
долгосрочным
характером отражения производства в модели. При этом важно отражение
взаимозаменяемости ресурсов в соответствии с описанным в пункте 11.5
свойством
производства.
производственных
Широко применяют следующих четыре типа
функций
с
разным
характером
взаимозаменяемости
ресурсов.
1. Мультипликативные производственные функции (МПФ)
В общем виде мультипликативная производственная функция имеет
следующую математическую форму:
n
y  a  xi
i
i 1
где а (а > 0), – постоянный коэффициент, соответствующий совокупной
эффективности факторов производства, 0 < i < 1 – весовые коэффициенты. Ее
частным случаем является ПФ Кобба – Дугласа.
2. ПФ с постоянной эластичностью замещения (ПЭЗ)
Производственная функция ПЭЗ имеет вид

m
n


y  a0   bi xi   ,
 i 1

n
где а0, bi, , m – постоянные коэффициенты, а0 > 0, bi  0,
b
i
 1 ,  > – 1, m >
i 1
0.
Функция ПЭЗ отличается тем, что в зависимости от значения параметров
этой модели изокванта имеет различную кривизну.
Двухфакторная
модель,
имеющая
изокванту,
выпуклую
к
началу
координат, отражает, например, столярное производство. Для изготовления
заданного количества продукции можно увеличить количество станков либо
недостаток станков компенсировать привлечением большего количества
248
рабочих, производящих продукцию вручную. Взаимозаменяемость станков
рабочими при постоянном объеме выпуска выражается изоквантой, выпуклой к
началу координат. Кривизна изокванты зависит от конкретного производства.
Две изокванты, имеющие разную кривизну, изображены на рис. 4,а.
Выпуклую
к
началу
координат
форму
имеют
все
изокванты
мультипликативных производственных функций, включая ПФ Кобба – Дугласа,
а также функция с постоянной эластичностью замещения.
3. Линейные производственные функции (ЛПФ)
Следующий тип ПФ – линейная производственная функция, которая
выражается математической формулой
n
y   ai xi , i  1,..., n ,
i 1
где аi – постоянные неотрицательные коэффициенты.
В случае ЛПФ предполагается, что ресурсы производства замещаются с
постоянным
коэффициентом
замещения
при
любом
сочетании
их
использования. График изокванты для двухфакторной ЛПФ показан лин. 2 на
рис. 4,б.
4. ПФ с взаимно дополняемыми ресурсами (ПФВДР) (с постоянными
пропорциями, ПФПП)
Другой тип ПФ – функция с взаимно дополняемыми ресурсами –
записывается в виде
m
x 
y  min  i  ,
i1,n
 ai 
и предусматривает полное отсутствие возможности замещения ресурсов
производства. График ее изокванты для двухфакторной ПФ показан лин. 1 на
рис. 4,б.
Процесс взаимозаменяемости ресурсов отражается изоквантой в форме
двух лучей, параллельных осям координат и выходящих из одной точки. Случай
с взаимно дополняемыми ресурсами можно объяснить на примере рабочих в
249
машиностроительном производстве с закреплением станков за каждым
рабочим. При комплектности станков и рабочих оба ресурса используют с
максимальной
отдачей.
Такому
соотношению
ресурсов
соответствует
эффективная точка а, лин. 1 на рис. 4,б. Дополнительный прием рабочих не
принесет увеличения выпуска продукции, а соотношение ресурсов изменится,
что иллюстрирует точка в. Аналогичный результат будет получен, если
увеличивать число станков без обеспечения рабочей силой.
Следует отметить, что производственные функции ЛПФ и ВДР отражают
два предельных варианта изменения кривизны изокванты. Их математическая
форма не соответствует аксиоматике, введенной ранее.
10.4. Числовые характеристики: предельные и средние продукты,
эластичности: выпуска по факторам
Производительность ресурсов оценивается при помощи показателей
отдачи. В микроэкономике понятие отдачи ресурсов специфично. В этом
понятии с одной стороны выступает выпуск продукции (или его денежное
выражение: доход, объем реализации), с другой – количество используемых
ресурсов (или оплата их приобретения) за некоторый период времени.
Показатели отдачи ресурсов выражают экономическую эффективность от их
введения в производство. Они конкретизируют общее представление о
соответствующих показателях.
Широко применяют показатели отдачи ресурсов трех типов:
• средняя отдача ресурсов производства,
• предельная отдача ресурсов производства,
• эластичность выпуска по ресурсам производства.
Все показатели производительности факторов вычисляют при изменении
только одного ресурса.
Введем математические формулы этих показателей и рассмотрим их
250
вычисление в случае двухфакторной производственной функции, отражающей
зависимость выпуска продукции от вектора используемых ресурсов.
Средний продукт (средняя отдача) ресурса вычисляется делением объема
выпуска на величину использования каждого ресурса. В случае двухфакторной
ПФ применяют следующие формулы:
• средний продукт капитала –
λ K = Y /K,
• средний продукт труда –
λ L = Y /L.
Поясним смысл показателя среднего продукта капитала с помощью
графика зависимости выпуска продукции y от использования капитала K при
постоянном значении L (рис. 5).
При выпуске y1 используют капитал в количестве K1, средний продукт
равен y1/K1. При выпуске y2 используемый капитал составляет K2, а средний
продукт капитала – y2/K2. Выпуск продукции и используемый капитал относятся
к числу интервальных показателей.
Y
Y2
Y
Y1
K1
K
K2
K
Рис. 5
Графически
этот
показатель
равен
тангенсу
угла
наклона
луча,
проходящего через начало координат и точки определения показателя (K1, y1)
или (K2, y2) и т.д. Период времени, в течение которого выпускают продукцию и
251
используют ресурсы, один и тот же.
Итак, средний продукт капитала определяет объем выпуска продукции на
каждую единицу используемого капитала за некоторый период времени.
Аналогичным образом вводится показатель среднего продукта труда,
который
выражает
объем
выпуска
продукции
на
каждую
единицу
используемого труда.
Таким образом, средняя отдача (средний продукт)
ресурса – это
количество выпускаемой продукции на единицу соответствующего ресурса,
используемого в производстве.
Используя математическую формулу ПФ Кобба – Дугласа, эти показатели
можно вычислить аналитически. Средняя отдача ресурсов определяется по
следующим формулам.
Средний продукт капитала – по формуле
λ K = а K L /K = а L /K 1 -  = а L /K  = а (L /K).
Если обозначить отношение используемого капитала к трудозатратам
буквой , то получим формулу
λ K = а (L /K) = а /.
Средний продукт труда имеет вид
λ L = аKL /L = аK /L1 -  = аK/L = а(K/L) = а .
Предельный продукт (предельная отдача) ресурса вычисляется по
формуле частной производной производственной функции по фактору
производства. Для двухфакторной ПФ применяют следующие формулы:
• предельный продукт капитала –
µ K =  y/ K,
• предельный продукт труда –
µ L =  y/ L.
Поясним смысл показателя предельного продукта капитала при помощи
графика (см. рис. 6). Графически предельный продукт капитала равен тангенсу
252
угла наклона касательной к линии выпуска в точке определения показателя.
Если зависимость выпуска от фактора задана дискретно и прирост выпуска
y требует дополнительного использования капитала в количестве K, то
предельную отдачу вычисляют по формуле µK = y/K. Пределом этого
отношения при K → 0 является выражение  y/ K. Аналогично вычисляется
предельный продукт труда.
Таким
образом, предельный отдача ресурса выражает прирост
выпускаемой продукции на единицу прироста соответствующего ресурса,
используемого в производстве.
Применительно к ПФ Кобба – Дугласа можно вывести следующие
формулы предельной отдачи ресурсов:
предельный продукт капитала –
µ K =  y/ K = а K-1L = а  L /K = а  / ;
предельный продукт труда –
µ L =  y/ L = а  KL -1 = а  K / L = а  .
Рассмотрим соотношение средней отдачи капитала λK = a/φβ и предельной
отдачи капитала µK = aα/φβ. Из этих формул следует, что µK = a λK. Вместе с тем
0    1, следовательно, µK < λK. Аналогично из уравнений µL = aβφα и λL = aφα
следует, что µL = βλL. Учитывая, что 0    1, получаем соотношение µL < λL.
Иначе говоря, в модели Кобба – Дугласа предельные продукты капитала и
труда имеют меньшие значения, чем средние продукты этих ресурсов
производства.
Эластичность выпуска по ресурсу производства
В случае задания ПФ в виде математической формулы вычисляют
показатели точечной эластичности выпуска по ресурсам производства.
Точечная эластичность вычисляется при помощи дифференцирования. Если
задана двухфакторная ПФ, то применяют следующие формулы:
• эластичность выпуска по капиталу –
253
E Ky = (Y/K)/(Y/K) или E Ky = λ K / µ K;
• эластичность выпуска по труду –
E Ly = (Y/L)/(Y/L) или E Ly = λ L / µ L.
Точечную эластичность y по K можно представить в логарифмической
форме: E Ky = (ln y)/(ln K).
В случае дискретных данных вычисляют показатели дуговой (средней)
эластичности выпуска по ресурсам по формулам:
• эластичность выпуска по капиталу –
E Ky = (y /K)/(yс/Kс);
• эластичность выпуска по труду –
E Ly = (y /L)/(yс/Lс),
где yс = (y2 + y1)/2, Kс = (K2 + K1)/2, и Lс = (L2 + L1)/2.
Показатель эластичности выпуска по фактору производства выражает
предел
отношения
прироста
выпуска
к
приросту
использования
соответствующего ресурса.
Выведем формулы для вычисления показателей эластичности для ПФ
Кобба – Дугласа.
Эластичность выпуска по капиталу выводится следующим образом:
E Ky = λ K / µ K = (а  / )/(а / ) = .
Эластичность выпуска по труду
E Ly = λ L / µ L. = (а  )/(а ) = .
Следовательно,
эластичности
выпуска
по
капиталу
и
по
труду
определяются значением параметров модели  и  соответственно.
Так как 0  ,   1, то один процент дополнительного использования
каждого отдельного ресурса приносит прирост выпуска продукции меньше
чем на один процент.
Следует заметить, что все показатели отдачи ресурсов на практике можно
вычислять на основании непосредственного учета значений величин y, K и L.
254
Математического моделирования производства в виде производственной
функции при этом не требуется.
10.5. Предельная норма замещения факторов, эластичность замещения
факторов
В целях экономического анализа по изокванте K = ψ(L) при y = const
можно вычислить три типа показателей: средние, предельные и эластичности.
В неоклассической экономической теории изокванты согласно аксиоме 4
имеют вид, выпуклый к началу координат, как показано на рис. 4,а.
Средний
показатель,
или
соотношение
используемых
ресурсов,
определяется, как отношение оплаты капитала к оплате трудозатрат 
=K/L. В точке 1 (рис. 4,а) отношение этих факторов составляет 1 = K1/L1, в
точке 2 соответственно 2 = K2/L2.
Средний
показатель

по
форме
совпадает
с
показателем
фондовооруженности. Однако по экономическому содержанию он выражает не
количество
капитала,
приходящееся
на
одного
работника
(отношение
моментных величин), а количество капитальных затрат на единицу трудозатрат
за некоторый период времени (отношение интервальных величин).
Предельный показатель. Предельным показателем является предельная
норма замещения факторов h. Предельная норма замещения трудозатрат
капитальными издержками показывает прирост затрат на оплату капитала
на один рубль прироста трудозатрат при неизменном объеме производства
продукции. Он вычисляется по формуле h = – dK/dL при y = const и всегда имеет
неотрицательное значение. Величина h равна тангенсу острого угла наклона
касательной к изокванте в точке определения, для которой вычисляется этот
показатель. Поскольку в мультипликативных ПФ изокванта имеет некоторую
кривизну, то предельная норма взаимозаменяемости в разных точках изменяет
255
свое значение. Для ПФ ВДР и ЛПФ показатель предельной нормы
взаимозаменяемости не применяют.
Эластичностью замещения ресурсов  является своеобразный показатель,
вычисляемый как эластичность показателя  по предельной норме замещения
h. Его формула имеет вид
 = d /dh  h /.
Для вычисления показателя эластичности в случае ПФ Кобба – Дугласа
сначала нужно вывести функциональную зависимость  от h, затем
продифференцировать ее по h и подставить в формулу эластичности. Для ПФ
ВДР и ЛПФ показатели эластичности взаимозаменяемости ресурсов равны: σ =
0 и σ = ∞.
Представим h = – dK/dL по теореме о дифференцировании неявно заданной
функции в виде
h = (y/L)/(y/K),
где y/L и y/K – предельные продукты факторов L и K соответственно.
Подставим их значения в формулу для h и выведем функциональную
зависимость показателя h от величины :
h = yL/yK = (а  )/(а  / ) = ( / ) () = ( / ) .
Результат вычисления можно записать в виде
 = ( /) h.
Дифференцируя эту функцию по h, получаем
d/dh =  /.
Вместе с тем формулу  = ( /) h можно записать в виде
h / =  /.
Подставив выражения d/dh =  / и h / =  / в формулу эластичности h
= (y/L)/(y/K) получаем
 = d /dh  h / = ( /) ( /) = 1.
256
Итак, эластичность эквивалентной взаимозаменяемости факторов для ПФ
Кобба – Дугласа равна единице,  = 1.
В
случае,
если
ПФ
записана
в
виде
дважды
непрерывно
дифференцируемой функции y  f ( x1 , x2 ) то, при этом можно использовать
формулу
   ( x1 , x2 )  
y y  y
y 
 x2
 x1

x1 x2  x1
x2 
2
  2 y  y 2
 2 y y y  2 y  y  
x1 x2  2 
2


 
 x1  x2 
x1x2 x1 x2 x22  x1  


.
Для однородной ПФ могут быть использованы следующие формулы:

y y
x1 x2

y y
2 y 
(1

m
)

my

,

x

x

x

x

1
2
1
2 
где m – степень однородности ПФ, и

y y
x1 x2
 2 y 
 y x x 

1
2 
при m  1 (формула Дж.Р. Хикса).
Изоклиналь в теории производственных функций – геометрическое место
точек (в пространстве ресурсов), в которых предельные нормы замещения
факторов производства (ресурсов) для разных изоквант одинаковы.
10.6. Закон убывающей отдачи
Закон убывающей отдачи является следствием выпуклости вверх графика
ПФ в соответствии с аксиомой 4 неоклассической экономической теории.
Этот закон имеет несколько названий: закон убывающего предельного
продукта, закон изменяющихся пропорций, закон убывающей доходности,
закон убывающей эффективности производства.
Закон убывающей отдачи утверждает, что при малом выпуске
257
продукции единичный прирост использования одного ресурса дает большее
увеличение выпуска, чем такой же прирост этого ресурса при больших
выпусках продукции.
Этот закон можно выразить иначе: если в производстве продукции
используют малое количество ресурса, то на дополнительную единицу этого
ресурса прирост выпуска продукции больше, чем в случае использования
большего количества этого ресурса.
После прекращения прироста может происходить уменьшение выпуска,
как показано на рис. 6,а. Изменение ресурса, при котором прирост ресурса не
приводит к уменьшению выпуска продукции, называют экономической
областью.
Подчеркнем, что закон убывающей отдачи проявляется, если происходит
изменение
только
одного
ресурса,
остальные
условия
производства
сохраняются без изменения.
Вместе с тем эмпирически установлено, что закон убывающей отдачи
действует не во всей экономической области, а с некоторым отступлением от
начала координат. При малых значениях ресурсов происходит прирост
предельных продуктов. Эта особенность просматривается на рис. 6,а до первой
пунктирной линии при L = 2.
y
L
экономическая область
L
экономическая область
60
50
40
30
20
10
0
L
область действия
20
15
10
5
0
закона убывающей
отдачи
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L
а
Рис. 6
258
L

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L
б
Все мультипликативные ПФ, у которых степень однородности меньше
единицы, отражают производство с соблюдением закона убывающей отдачи.
Приведем математическое доказательство соблюдения этого закона в случае
моделирования производства в виде ПФ Кобба – Дугласа. Для доказательства
покажем, что с увеличением значения одного фактора уменьшается темп роста
предельного продукта этого фактора.
Если
зафиксировать
постоянное
значение
фактора
K
и
принять
обозначение А = a K, то ПФ Кобба – Дугласа приобретает вид
y = А L, 0    1.
В связи с тем что А > 0, объем выпуска продукции y с увеличением
значения L растет.
Определим формулу темпа прироста предельного продукта труда в случае
применения ПФ Кобба – Дугласа. Предельный продукт труда вычисляется по
формуле dy/dL. Темп прироста предельного продукта труда выражается
отношением (dy/dL)/y. Выведем этот показатель:
(dy/dL)/y = (А  L - 1)/( А L) =  /L.
Значит, темп прироста предельного продукта труда находится в обратно
пропорциональной зависимости от L и при  > 0 значение правой части
выведенного показателя уменьшается. Аналогичный вывод нетрудно сделать из
анализа показателя предельного продукта капитала. Таким образом, увеличение
значения L влечет за собой уменьшение значения (dy/dL)/y, а увеличение
значения K – уменьшение значения (dy/dK)/y.
Итак, при моделировании производства в форме ПФ Кобба – Дугласа с
увеличением трудозатрат значение темпа прироста предельного продукта
труда уменьшается, с увеличением использования капитала значение темпа
прироста предельного продукта капитала также уменьшается.
259
10.7. Эффект масштаба производства
Если происходит пропорциональное изменение затрат, то говорят об
изменении масштабов производства. При переходе от затрат х к затратам  х
будем говорить об изменении масштабов производства в  раз по направлению
х. Число  можно интерпретировать как масштаб производства по направлению
х, причем единичный масштаб соответствует осуществлению затрат х.
Зависимость выпуска от масштаба производства по направлению х можно
описать с помощью числовой функции аргумента , полагая
fx ()= f(λ x).
Масштаб производства при таком рассмотрении становится своеобразным
фактором производства. Эластичность функции fx при  = 1 естественно
интерпретировать как эластичность выпуска от масштабов производства в
точке х.
Предельная «производительность» масштаба при  = 1 является,
очевидно, производной функции f по направлению х:
d f x ( )
d
 1  lim
  0
f ( x   x )  f ( x ) n f i

xi .


x
i 1
i
Тогда для эластичности функции fx() при  = 1 имеем
d f x ( ) f x ( )
:
d

Таким
образом,
n
 f i 

xi  : f ( x )  E ( x ) .

 1


x
i 1 
i

суммарная
эластичность
выпуска
по
факторам
производства в точке х совпадает с эластичностью выпуска по масштабам
производства и, следовательно, показывает, на сколько «процентов»
изменится
выпуск при изменении масштаба
производства
на
один
«процент».
Если E(x) > l, то по принятому определению имеет место возрастающая
эффективность от укрупнения масштабов производства в точке х. При E(х)
260
< 1 говорят об убывающей, и при E(х) = 1 – постоянной эффективности от
укрупнения масштабов производства в точке х.
Теорема Эйлера. Для однородной производственной функции k-й
степени, k
– любое действительное число, выполняется следующее
равенство:
n

i 1
f i
xi   k f ( x1 ,, xn ) .
xi
Продифференцируем равенство по : левую часть
дифференцирования сложной функции, правую
–
–
по правилу
как степенную функцию. В
результате получим
n

i 1
f i d ( xi )
 k  k 1 f ( x1 ,, xn ) .
xi d 
Так как d ( xi ) d   xi , то
n

i 1
f i
xi  k  k 1 f ( x1 ,, xn )
xi
для любого . При  = 1 придем к требуемому равенству.
Разделив это равенство на f(x1 ,..., хп), получим
n

i 1
fi xi
k.
xi f ( x )
Левая часть равенства, очевидно, представляет собой сумму частных
коэффициентов эластичности функции f. Таким образом, суммарный
коэффициент
эластичностей
факторов
производства
равен
степени
однородности функции, т.е. E(x)=k при всех х. Суммарная эластичность
однородных функций не зависит от комбинации затрат.
При k > 1 для каждой комбинации затрат имеет место возрастающая,
при 0 < k < 1 – убывающая и при k = 1 – постоянная эффективность от
укрупнения масштабов производства.
261
10.8. Немного истории1’2
Современная теория производства сложилась в конце XIX-начале XX в. В
явном виде производственная функция была представлена в 1890 г. английским
математиком А. Берри, помогавшим А. Маршаллу (A. Marshall) при подготовке
математического приложения3 к его «Принципам экономической науки».
Однако попытки установить зависимость выпуска от количества применяемых
ресурсов и дать ей какое-то аналитическое выражение имели место задолго до
этого. Познакомимся с некоторыми из них.
Первые попытки подхода к идее производственной функции, выразив ее
вербально, предприняли Марк Теренций Варрон, затем следует упомянуть Н.Г.
Чернышевского и Н. Огроновича.
Первые попытки практического применения ПФ в сельском хозяйстве
относятся к XIX в. Еще в 1840 г. известный немецкий химик Ю. Либих (J. von
Liebig)
выдвинул
теорию минерального питания
растений,
которая
в
значительной мере способствовала внедрению минеральных удобрений в
земледелие. Используя идею о том, что урожайность культуры y определяется
тем фактором, который находится в минимуме, Либих эффективность
удобрений моделировал в виде следующей ПФ:
y  ax ,
где х – количество внесенных минеральных удобрений; a – влияние удобрений
на урожайность.
Но сельскохозяйственные культуры, как известно, приносят определенный
урожай и без удобрений. Поэтому позже была введена постоянная величина c и
модель приняла вид
1
www. economus.ru. 50 лекций по микроэкономике. Лекция 22. Раздел 4.
Гришин А.Ф., Котов-Дарти С.Ф., Ягунов В.Н. Статистические модели в экономике / Рекоменд. Советом УМО
вузов России по образ. в области экон., стат., и инф. систем и мат. методов в экон. в качестве учеб. пособия –
Ростов н/Д: «Феникс», 2005. – Сер. «Высш. образ.». – Глава 4, 4.1.
3
Berry A. The Pure Theory of Distribution // British Association of Advancement of Science: Report of the 60th
Meeting, 1890. – London, 1893. – P. 923-924.
2
262
y  c  ax .
Со временем ПФ функцию y  c  ax детализировал по видам вносимых
удобрений, и она стала многофакторной:
y  c  a1 x1  a2 x2  ...  an xn ,
где n – число видов используемых удобрений.
Но ПФ
y  c  a1 x1  a2 x2  ...  an xn , несмотря на модификацию, не
соответствовала предъявляемым требованиям. В частности, она не позволяла
прогнозировать максимальный уровень урожайности сельскохозяйственных
культур. Совместные исследования агрономов, математиков и статистиков
привели к появлению ряда более сложных зависимостей.
В частности, в свое время получила известность производственная
функция Митчерлиха – Спилмана (E.A. Mitscherlich, W.J. Spillman), которая
была предложена в 1909 г.:
y  M  AR x ,
где М – максимальная урожайность культуры; А – наибольшая отзывчивость
культуры на удобрения; R – степень снижения эффективности удобрения; х –
количество вносимых удобрений.
ПФ Митчерлиха – Спилмана была более совершенной, но тоже не
лишенной отдельных недостатков.
Английские исследователи Иетс и Кроутер в результате обработки опытов
по внесению удобрений в Англии за 1900–1914 гг. получили ПФ, которая имеет
вид
y  y0  A(1  10 kx ) ,
где у – урожайность сельскохозяйственной культуры; y0 – выход продукции с
единицы площади посева без удобрений; А – максимальный прирост
урожайности от удобрений; k – константа для каждого из видов удобрений.
Известен ряд модификаций функции Иетса и Кроутера, но все они редко
обеспечивали получение приемлемых результатов.
263
Это объясняется тем, что все приведенные выше ПФ урожайности
являются односторонними в том смысле, что в них учтены только удобрения.
Уровень урожайности сельскохозяйственных культур зависит не только от
качества и количества внесенных минеральных и органических удобрений, но и
от ряда других факторов. Большое влияние на выход продукции с 1 га посевов
оказывают метеорологические условия и, особенно, обеспеченность влагой,
плодородие почвы, качество семян, уровень агротехники и т. д.
Значительные исследования по изучению влияния метеорологических
факторов были проведены известным русским статистиком В.М. Обуховым,
который с 1933 по 1938 г. руководил группой специалистов по изучению
динамики урожайности сельскохозяйственных культур при Наркомземе СССР.
Так, была получена ПФ, характеризующая зависимость урожайности зерна ржи
у от количества влаги в отдельные периоды вегетации. Эта функция имела
следующий вид:
y = –5,9766 + 0,2452 x1 + 0,1506 x2 + 0,2989 x3 + 1,3004 x4 +
+ 0,2770 x5 + 0,0186 x6 + 0,5040 x7 + 0,3059 x8 – 0,2233 x9 ,
где x1 , – количество зимних осадков, включая позднеосенние и ранневесенние;
x2 – наличие влаги в начале вегетации ржи; x3 – количество влаги в
последующее время; x4 , x5 – обеспеченность влагой в начальный и в конечный
периоды выхода ржи в трубку; x6 , x7 , x8 , x9 – количество влаги соответственно
при колошении, цветении ржи, во время налива зерна и в период его
созревания.
Приведенная ПФ с достаточно высокой точностью для практики
моделировала зависимость урожайности от уровня обеспеченности влагой в
отдельные вегетационные периоды.
Статистик
Б.С. Ястремский
с
помощью
ПФ
составлял
прогнозы
урожайности сельскохозяйственных культур и определял виды на урожай. В
частности, Ястремский разработал методику прогнозирования урожайности
264
сахарной свеклы исходя из исследований динамики нарастания средней массы
корнеплодов.
Здесь изложены основные этапы развития исследований по использованию
ПФ в целях планирования урожайности сельскохозяйственных культур. Но
аналогичными этапами характеризуется применение этих функций и при
решении других важных вопросов аграрного производства.
Большие работы по практическому использованию ПФ проведены
американским профессором Э. Хеди. Например, под его руководством на
основе выборки, охватывающей 255 фермерских хозяйств США, была получена
ПФ, определяющая эффективность земледелия в зависимости от ряда факторов:
y  17,9 x10,54 x20,39 x30,165 x40,012 x50,073 ,
где y – валовой доход фермера; x1 – посевная площадь фермерского хозяйства;
x2 – годовые трудозатраты; x3 – издержки на техническое обслуживание; x4 –
стоимость внесенных удобрений; x5 – прочие производственные затраты.
Значительные обобщения по практическому применению ПФ выполнены
американским исследователем Г. Тинтером (G. Tintner), который приводит
целое множество функций спроса, предложения, издержек производства,
функций полезности и т. д.
Опыт использования ПФ в сельском хозяйстве показал, что максимизация
надоев молока, привеса животных и других натуральных показателей
продуктивности не совпадает, как правило, с максимизацией и минимизацией
экономических показателей (прибыли, себестоимости), т. е. натуральновещественный оптимум
и экономический по
существу своему различные
понятия.
В 1928 г. Ч. Кобб и П. Дуглас на основе данных по обрабатывающей
промышленности США за период 1899–1922 гг. (т.е. несельскохозяйственные
отрасли) представили функцию P  bL K 1 . Это была первая эмпирическая
ПФ, построенная по данным временных рядов. Ее конкретный вид Р = 1,01
265
L0,75 K 0,25 , где Р – расчетный индекс производства, К – индекс основного
капитала, L – индекс занятости. В настоящее время ПФ Кобба – Дугласа
широко используется в учебной и научной литературе.
10.9. О дальнейшем развитии производственных функций1
Для каждого их приведенных ниже видов функций будем указывать одну
или несколько систем условий на характеристики функций данного вида,
однозначно выделяющих его среди других видов. Эти условия представляют
собой либо соотношения между различными характеристиками функции, либо
описание поведения отдельных характеристик в различных частях области
определения.
Выполнение
предпосылки
для
выбора
этих
условий
функции
следует
данного
рассматривать
вида.
как
Доказательства
эквивалентности систем условий и принадлежности к функциям данного вида
опускаются. Все рассмотренные здесь функции y  f a ( x1 , x2 ) непрерывны и
либо сами являются дифференцируемыми, либо могут быть получены
предельным переходом по параметрам из дифференцируемых.
В приведенном ниже списке видов функций они располагаются в порядке
возрастания сложности их записи и соответственно увеличения числа
необходимых для этого параметров. Все эти функции допускают модификации,
отличающиеся от основного вида тем, что в них априорно фиксируются
значения некоторых параметров или их комбинаций. Такая фиксация может
быть вызвана либо наличием априорной информации о величине данных
параметров, либо стремлением упростить процесс оценки параметров. Так, если
функция однородная и степень ее однородности является оцениваемым
параметром, то в качестве модификации основного вида может быть
1
Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. – М.: Финансы и статистика, 1986.
Глава 2, 2.2.1.
266
–
рассмотрен класс функций с предписанной заранее степенью однородности,
скажем, равной единице. Мы не будем выделять эти модификации в отдельные
классы функций и специально указывать их.
1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФФПФ,
функция Леонтьева, Леонтьева-Харрода-Домара (LHD) (R.F. Harrod, E.D.
Domar))
 x1  m  x2  m 
y  min  ,    .
 a   b  
(1)
Известно несколько альтернативных систем условий (предпосылок),
выделяющих функции такого вида:
а) при m  1 предельная производительность первого фактора является
двухуровневой кусочно постоянной невозрастающей функцией от отношения
x1 / x2 с нулевым нижним уровнем. Предельная производительность второго
фактора – неубывающая кусочно постоянная функция от x1 / x2 с нулевым
нижним уровнем;
б) при m  1 функция представляет решение следующей задачи линейного
программирования:
 ay  x1 , by  x2 ,

 y  max,
где y – оптимизируемая переменная;
в) функция однородна и эластичность замены факторов равна нулю;
г) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью
замены вида
  x1    x2    
y       
 a 
 b  

m / 
путем предельного перехода    .
Функция
Леонтьева
предназначена
267
для
моделирования
строго
детерминированных
технологий,
не
допускающих
отклонения
от
технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. Обычно
используется
для
описания
мелкомасштабных
или
полностью
автоматизированных производственных объектов.
2. Мультипликативная функция, функция Кобба-Дугласа (ПФКД)
y  ax1 x2 .
(2)
Здесь также используется несколько систем предпосылок, выделяющих
класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцируемых функций от
двух переменных:
а) эластичности выпуска по факторам постоянны:
Exy1   , Exy2   .
Решением этой системы дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка является класс функций Кобба-Дугласа;
б) эластичность функции по одному из факторов постоянна и функция
является однородной:
Exy1   , Exy2   ,
Exy1  Exy2      m ;
в) функция однородна и эластичности замещения факторов равны единице
 ( x1 , x2 )    1 ;
г) предельная производительность каждого фактора пропорциональна его
средней производительности:
y
y y
y
 ,
 ;
x1
x1 x2
x1
д) функция однородна как функция от x1 при любом фиксированном x2 ;
е) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью
замены вида
y  a  x1    x2  
268
m / 
путем предельного перехода   0 .
Функция
Кобба-Дугласа
среднемасштабных
чаще
всего
хозяйственных
используется
объектов
(от
для
описания
производственного
объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным
функционированием
(вовлечение
новой
средней
единицы
ресурса
производительности имеющегося ресурса).
3. Линейная функция (ЛПФ)
y  a0  a1 x1  a2 x2 .
(3)
Предпосылки:
а) предельные производительности факторов постоянны
y
y
 a1 ,
 a2 ,
x1
x2
причем при a0  0 в нуле функция принимает нулевое значение;
б) при a0  0 функция однородна и
Exy1  Exy2  1
в) эластичность замены факторов бесконечна:
   ( x1 , x2 )   ;
г)
при
a0  0
эластичности
выпуска
по
факторам
обратно
пропорциональны их средним производительностям:
Exy1  a1 :  y x1  
Линейная
функция
a1 x1
ax
, Exy2  a2 :  y x2   2 2 .
y
y
применяется
обычно
для
моделирования
крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в
которых
выпуск
продукции
является
результатом
одновременного
функционирования множества различных технологий. Особую роль играет
предпосылка о постоянстве предельных производительностей факторов или об
их неограниченной замещаемости.
4. Функция Аллена (ПФА) (R.G.D. Allen)
269
y  a0 x1 x2  a1 x12  a2 x22
(4)
однозначно задается следующим условием:
скорости роста предельных производительностей постоянны и функция
однородна:
2 y
2 y
(y / x1 ) x1  2  2a1 , (y / x2 ) x2  2  2a2 , Exy1  Exy2  2 .
x1
 x2
Функция
Аллена
при
a1 , a2  0
предназначена
для
описания
производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов
оказывает отрицательное воздействие на объем выпуска. Обычно такая функция
используется для описания мелкомасштабных производственных систем с
ограниченными возможностями переработки ресурсов.
5. Функция постоянной эластичности замены факторов (ПФПЭЗ,
функция CES) (функция K.J. Arrow, H.B. Chenery, B.C. Minhas, R.M. Solow
или M. Brown и J.S. De Cani1)
y  a(b1 x1   b2 x2  ) m /  .
(5)
Предпосылки: функция однородна и эластичность замены факторов
постоянна:
   ( x1 , x2 ) 
1
.
1 
Функция CES применяется в случаях, когда отсутствует информация об
уровне взаимозаменяемости производственных факторов и вместе с тем есть
основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при
изменении объемов вовлекаемых ресурсов. Иными словами, экономическая
технология
обладает
определенной
устойчивостью
по
отношению
к
пропорциям факторов. Функция CES (при наличии средств оценивания ее
1
Плакунов М.К., Раяцкас Р.Л. Производственные функции в экономическом анализе. – Вильнюс: Минтис, 1984.
– 310 с.
270
параметров) может быть использована для моделирования систем любого
уровня.
6. Функция с линейной эластичностью замены факторов (ПФЛЭЗ,
функция LES)
y  x1 (a1 x1  a2 x2 )  .
(6)
Предпосылки: функция однородна и эластичность замены факторов
является линейной функцией от отношения факторов с единичным свободным
членом:
 ( x1 , x2 )  1  c
где c 
x1
,
x2
a1 a1 
  .
a2 a2 
Функция LES рекомендуется для описания производственных процессов, у
которых (в отличие от описываемых функцией CES) возможность замещения
вовлекаемых факторов существенно зависит от их пропорций, причем при
низком уровне x1 x2 близка к единице, а с ростом x1 x2 неограниченно
возрастает. Такая ситуация возможно, например, если рост ресурса x1 связан с
общим
расширением
производства,
появлением
множественных
технологических процессов с широкими возможностями комбинирования.
7. Функция Солоу1 (R.M. Solow) или Хилхорста (J.G.M.Hillhorst) (ПФС,
ПФХ)
y  a(b1 x1  b2 x2 )
(7)
характеризуется тем, что величина процентного измерения предельной нормы
замены факторов, вызванного увеличением любого фактора на один процент, не
зависит от начального уровня факторов:
1
Американский экономист, лауреат Нобелевской премии 1987 г. «за фундаментальные исследования в области
теории экономического роста».
271
 ln h12
 ln h12
   1,
 1 
 ln x1
 ln x2
 ln h12
 ln xi
(стоит обратить внимание на сходство величины
с величиной
 ln h12  ln( x1 / x2 ) ).
Функция Солоу может пользоваться примерно в тех же ситуациях, что и
функция CES, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок
функции CES (в частности, не требуется предположения об однородности). Это
позволяет рекомендовать ее (при наличии соответствующих средств оценки
параметров)
в
тех
случаях,
когда
предположение
об
однородности
представляется неоправданным, например, когда влияние на объем выпуска
увеличения каждого и факторов проявляется совершенно различным образом.
Функция Солоу может моделировать системы любого масштаба.
8. Ограниченная
функция
с
постоянной
эластичности
замены
факторов (ОПФПЭЗ, ограниченная функция CES)
 x  m1  x  m2


y  min  1  ,  2  , a b1 x1  b2 x2
 a1   a2 


m 

.

(8)
Предпосылки: функция моделирует процесс, в котором при малых
значениях одного из факторов выпуск пропорционален объему этого фактора,
при больших – описывается функцией CES. При m1  1, m2  1 функцию можно
рассматривать как решение задачи оптимизации
 a1 y  x1 ; a2 y  x2 ,


 m / 
,
 y  a (b1 x1  b2 x2 )
 y  max,

относительно переменной y .
Подобным образом могут быть построены ограниченные функции КоббаДугласа, Солоу и др.
Ограниченная функция CES предназначена для описания двухрежимного
272
производственного процесса, в котором один из режимов характеризуется
отсутствием заменяемости факторов, другой – ненулевой постоянной (но не
известной заранее) величиной эластичности замены. При этом переход от
одного режима
к другому осуществляется в зависимости от уровня
лимитирующего первый режим фактора.
9. Многорежимная функция (МПФ)


y  a b11 x1
 b21 x2


 m1 

 b1k x1

 b2 k x2


 mk 
.
(9)
Предпосылки: функция однородна и эластичность функции по первому
аргументу
представляет
собой
сглаженную
k -уровневую
убывающую
ступенчатую функцию. Сглаживание осуществляется путем перехода от
кусочно-постоянной функции
b при 0  r  a;
Er ( r )  
0 при r  a ,
где a , b – положительные константы, к функции
E r ( r ) 
b
1 r a

,
где   1 .
Многорежимная функция, одна из наиболее общих в числе приведенных
форм производственных функций, используется при описании процессов, в
которых уровень отдачи каждой новой единицы ресурса скачкообразно
меняется в зависимости от соотношения факторов. Функцию целесообразно
применять при наличии априорной информации о числе режимов k , а иногда и
о ширине «переходной» области между режимами (чем выше |  | , тем более
отчетливо выделяются режимы).
10. Функция линейного программирования (ПФЛП)
 x x 
 x x 
y  min  1 , 2   ...  min  1 , 2  .
 a11 a12 
 ak 1 ak 2 
Предпосылки:
273
(10)
а)
функция
ограничений
и
является
выражением
значением
целевой
зависимости
функции
в
между
задаче
вектором
линейного
программирования
 d11 y1  d12 y2  ...  d1k yk  x1 ,

 d 21 y1  d 22 y2  ...  d 2 k yk  x2 ,
y  b1 y1  b2 y2  ...  bk yk  max ,
где d11 ,…, d 2k , b1 ,…, bk – положительные константы, зависящие от a11 ,…, ak 2 ;
y1 , y2 – переменные;
б) предельная
представляет
производительность по первому (второму) фактору
собой
неубывающую
(соответственно
невозрастающую)
многоступенчатую функцию от x1 / x2 с нулевым нижним уровнем.
Функцию линейного программирования имеет смысл использовать в тех
случаях, когда выпуск продукции является результатом одновременного
функционирования k фиксированных технологий, использующих одни и те же
ресурсы.
Иногда
функции
типа
Леонтьева
и
функции
линейного
программирования оказывается возможным построить без статистического
оценивания параметров, на основе нормативно-технической информации.
Приведенный перечень видов производственных функций содержит лишь
наиболее известные классы функций. Их список постоянно пополняется, в
практику
моделирования
вводятся
все
более
сложные,
гибкие
производственные функции.
Укажем некоторые пути обобщения приведенных видов функций.
1. Отказ от предположения об однородности. Из приведенных функций
неоднородной являются только функции (3), (7) и (8). Общий вид неоднородной
функции CES не совпадает с (5) и включает кроме неопределенных параметров
неопределенные функции.
2. Отказ от предположения о постоянстве эластичности замены факторов.
Переменную (в зависимости от уровня факторов) эластичность замены
274
факторов имеют функции LES, Солоу, Аллена, ограниченная функция CES,
многорежимная
и
функция
линейного программирования.
Общий вид
однородной и неоднородной функции с переменной эластичностью замены
(функции VES) известен.
3. Отказ от явной записи производственной функции.
Здесь можно отметить функцию, аналогичную функции Кобба-Дугласа с
параметрами, зависящими от объема выпуска; функцию CRESH, являющуюся
решением функционального уравнения
a3
a4
 x 
 x 
a1  1   a2  2   1 ,
 h( y ) 
 h( y ) 
где h ( y ) – заданная непрерывно дифференцируемая функция, для которой
h (0)  0 , h(0)  0 .
4. Применение арифметических операций и операций подстановки.
Новые виды функций образуются, например, путем перемножения
функции Кобба-Дугласа и функции CES

y  ax1 x2 b1 x1

 b2 x2


m 
(функция Сато (R. Sato)). Используя операцию подстановки одной функции
CES в качестве фактора для другой, получаем двухуровневую функцию CES и
т.д.
5. Использование различных шкал измерения переменных. Возникающие
при этом возможности изучены.
275
Задачи
Задача 1. Проверить аксиомы 1-3 для следующих функций:
1) y  a0  a1 x1  a2 x2 ;
2) y  3x1 x2  2 x12  x22 ;
3) y  3x1 x2  2 x12  2 x22 ;
4) y  10( x12  2 x22 ) 2 ;
5) y  a0 x1 x2  a1 x12  a2 x22 ;
6) y  min  x1m , x2m  .
Задача 2. Проверить свойство выпуклости для функции
y  AK  L
следующих значениях параметров:
1)   [0,1] ,   [0,1] ,     1 ;
2)   (0,1) ,   (0,1) ,     1 ;
3)   (0,1) ,   (0,1) ,     1;
4)   (0,1) ,   (0,1) ,     1 ;
5)   0 ,   (0,1) ,     1;
6)   0 ,   1 ,     1 ;
7)   1 ,   0 ,     1 .
Задача 3. Проверить свойство выпуклости для следующих функций:
1) y  a0  a1 x1  a2 x2 ;
2) y  3x1 x2  2 x12  x22 ;
3) y  3x1 x2  2 x12  2 x22 ;
4) y  10( x12  2 x22 ) 2 ;
5) y  a0 x1 x2  a1 x12  a2 x22 ;
6) y  min  x1m , x2m  .
276
в
Задача 4. Для ПФ Аллена y  a0 x1 x2  a1 x12  a1 x22 соотнести условие непустоты


f
f
экономической области ( x1 , x2 )
 0,
 0  и условие выпуклости вверх
x1
x2


графика функции.
Задача 5. Показать инвариантность условия Гессе относительно замены
x1  x2 .
Задача 6. Найти функцию капиталовооруженности f (k ) и представить ПФ в
виде F ( K , L)  Lm f (k ) для функций:
1) F ( K , L)  10 KL4 ;
2) F ( K , L)  KL2  2 K  L2 ;
3) F ( K , L)  2 K  3L ;
4) F ( K , L)  ( K 3  2 L3 )2 .
Задача 7. Найти предельную норму замены h и представить ее в виде h  h(k ) :
1) y  10 KL4 ;
2) y  3K  2 L ;
3) y  3x1 x2  2 x12  x22 ;
4) y  A(b1K    b2 L  )  m /  .
Задача 8. Найти эластичность замещения  для следующих функций:
1) y  10 KL4 ;
2) y  3K  2 L ;
3) y  3x1 x2  2 x12  x22 ;
4) y  A(b1K    b2 L  )  m /  .
Задача 9. Найти однородную функцию F ( K , L) , удовлетворяющую уравнению
 ln( K / L)
F F
  , где h 
:
.
 ln h
L K
277
Задача
10.
Найти
уравнениям EKF 
однородную
функцию
F ( K , L) ,
удовлетворяющую
 ln F
 ln F
  , ELF 
.
 ln K
 ln L
Задача 11. Найти пределы:
1) lim A(b1 x1   b2 x2  ) m /  ;
 1
2) lim A(b1 x1   b2 x2  )  m /  ;
 0
3) lim A(b1 x1   b2 x2  ) m /  ;
 
4) lim A(b1 x1   b2 x2  ) m /  .
 
Задача 12. Найти уравнений изоклинали, проходящей через точку ( K 0 ; L0 ) для
следующих функций:
1) F ( K , L)  10 K 1/ 2 L3 , ( K 0 , L0 )  (3,2) ;
2) F ( K , L)  5  2 K  L , ( K 0 , L0 )  (5,3) ;
3) F ( K , L)  3KL  K 2  2 L2 , ( K 0 , L0 )  (5, 7) ;
4) F ( K , L)  (2 K 1  3L1 ) 2 , ( K 0 , L0 )  (2,1) ;
5) F ( K , L)  AK  L , ( K 0 ; L0 ) .
Задача 13. Проверить выполнение теоремы Эйлера Ey  m и показать, что
Ey  Exy1  Exy2  ...  Exyn для следующих функций:
1) y  10 x1 x24 ;
2) y  3 x1  2 x2 ;
3) y  3 x1  2 x2  5 ;
4) y  3x1 x2  2 x12  x22 ;
5) y  10( x12  2 x22 ) 2 .
278
Список литературы к § 10
1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. –
М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Часть III, Глава 1. § 7.
2. Багриновский
К.А.
Экономико-математические
методы
и
модели
(микроэкономика): Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / К.А.
Багриновский, В.М. Матюшок. – М.: Изд-во РУДН, 2006. – Глава IV.
3. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического
роста /Н.Б. Баркалов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. – 128 с.
4. Батищева
С.Э.
Математические
модели
микроэкономики:
Учеб.
пособие.– 2-е изд., перераб. и доп. / С.Э. Батищева, Э.Д. Каданэр, П.М.
Симонов. – Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. – Глава 2.
5. Березнева Н.А. Математические модели экономики: сборник задач: учеб.
пособие для вузов / Отв. ред. д.э.н. Г.М. Мкртчян / Н.А. Березнева, А.В.
Комарова. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. – 143 с.
6. Гранберг А.Г. Моделирование модели социалистической экономики:
Учеб. пособие для экон. вузов и фак. / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика,
1978. – 352 с.
7. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства: Учеб. пособие
для студ. вузов, обучающихся по спец. «Экон. кибернетика» / А.Г.
Гранберг. – М.: Экономика, 1985. – 240 с.
8. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики: Учебник для
студ. экон. Вузов / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика, 1988. – 488 с.
9. Гришин А.Ф. Статистические модели в экономике: Учеб. пособие / А.Ф.
Гришин, С.Ф. Котов-Дарти, В.Н. Ягунов. – Ростов н/Д: «Феникс», 2005. –
Сер. «Высш. образ.». – Глава 4, 4.1.
10. Гришин А.Ф. Статистические модели: построение, оценка, анализ: Учеб.
пособие / А.Ф. Гришин, Е.В. Кочерова. – М.: Финансы и статистика, 2005.
– Глава 4, 4.1.
279
11. Замков О.О. Математические методы в экономике: Учеб. / Под общ. ред.
д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд.,
стереотип. / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.:
Изд.-во «Дело и Сервис», 2004. – (Учеб. МГУ им. М.В. Ломоносова). –
Глава 10.
12. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов,
А.В. Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979. – 304 с.
13. Интрилигатор
М.
Математические
методы
в
оптимизации
и
экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана / М.
Интрилигатор. – М.: Айрис-Пресс, 2002. – Глава 8, 8.1.
14. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение /
Г.Б. Клейнер. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 240 с.
15. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учеб. для студ. вузов, обуч. по
экон. спец. – 3-е стереотип. изд. / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2005. – Глава 1.
16. Лопатников
Л.И.
Экономико-математический
словарь:
Словарь
современной экономической науки. – 5-е изд., перераб. и доп. / Л.И.
Лопатников. – М.: Дело, 2003. – 520 с.
17. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование / А.В.
Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – 392 с.
18. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учеб.-прак.
пособие для вузов / В.И. Малыхин. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – Тема 2,
2.1.
19. Матвеенко В.Д. Модели экономической динамики. Учеб. пособие / В.Д.
Матвеенко. – СПб.: СПб. филиал ГУ-ВШЭ, 2006. – 108 с.
20. Математическая экономика на персональном компьютере: пер. с яп. / М.
Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ; Под ред. М. Кубонива; Под
ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. – М.: Финансы и статистика, 1991. –
Глава 2, 2.2.
280
21. Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие / Под
ред. И.В. Котова. – 2-е изд., испр. и доп. – Л.: Изд-во Ленинград. ун-та,
1990. – Глава 1, § 4.
22. Моделирование экономических процессов: Учеб. для студ. вузов, обуч. по
спец. экон. и упр. (060000) / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой,
Ю.Н. Черемных. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 3.
23. Плакунов М.К. Производственные функции в экономическом анализе /
М.К. Плакунов, Р.Л. Раяцкас. – Вильнюс: Минтис, 1984. – 310 с.
24. Сюдсетер К. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
норвежск. Под ред. Е.Ю. Смирновой / К. Сюдсетер, А. Стрём, П. Берк. –
СПб.: Экономическая школа, 2000. – Глава 25.
25. Терехов Л.Л. Производственные функции / Л.Л. Терехов. – М.:
Статистика, 1974. – 128 с. – Сер. «Мат. статистика для экон.».
26. Хеди Э. Производственные функции в сельском хозяйстве / Пер. с англ. /
Э. Хеди, Д. Диллон. – М.: Прогресс, 1965. – 600 c.
27. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учеб. / Ю.Н.
Черемных. – М.: ИНФРА-М, 2008. – (Учеб. экон. фак. МГУ им. М.В.
Ломоносова). – Глава 6.
28. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб.
пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. / С.И. Шелобаев. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 1.
29. Шуликовская В.В. Математическая экономика / В.В. Шуликовская. – М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ин-т компьютер.
исслед., 2006. – 96 с.
30. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов
/ Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд-во «Экзамен», 2004. –
Глава 7.
281
31. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И.
Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия: Изд. Дом
«Инфра-М», 2003. – 668 с.
32. Berry A. The Pure Theory of Distribution // British Association of Advancement
of Science: Report of the 60th Meeting, 1890. / A. Berry. – London, 1893. – P.
923-924.
33. www. economus.ru. 50 лекций по микроэкономике. Лекция 22. Раздел 4.
282