Задачи по микроэкономике

НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
Задачи по микроэкономике
(Всероссийские олимпиады разных лет, сайт iloveeconomics).
Спрос, предложение, равновесие, эластичность, госрегулирование.
Уравнение спроса 1
(региональная олимпиада, Пермь, 2013, 7-8 кл.)
Известно, что доход потребителя равен 100 денежным единицам. Потребитель
тратит свой доход таким образом, чтобы выдерживалось соотношение: X = Y, где X
– число приобретенных единиц товара X, а Y – расходы на все остальные товары (в
денежных единицах).
Сформулируйте уравнение функции спроса потребителя на
товар X в следующем виде: X = f (PX).
Решение
X=
100 − Y 100 − X
=
.
PX
PX
Ответ. X =
X
1
=
.
100 − X
PX
100 − X
= PX.
X
100
= PX + 1.
X
X=
100
.
PX + 1
100
.
PX + 1
Государственное регулирование
(региональная олимпиада, Пермь, 2013, 9-11 кл.)
В одной стране основным продуктом питания является кукуруза. При этом на
каждые
6 урожайных лет приходится
4
неурожайных.
Функция предложения
кукурузы в урожайный год имеет вид: Qs = 3P; в неурожайный: Qs = 0,5P. Функция
спроса в любой год имеет вид: Qd = 120 – P.
Правительство заметило,
что население очень нервно реагирует на
повышение равновесной цены кукурузы в неурожайный год. Поэтому оно решило
поступать следующим образом: была установлена твердая государственная цена на
кукурузу, по которой правительство скупало весь избыток товара в урожайные годы и
из созданных запасов по той же цене продавало кукурузу в неурожайные годы для
того, чтобы ликвидировать дефицит товара.
Какую государственную цену кукурузы установило правительство?
Решение
Пусть государственная цена равна
PG.
Избыток кукурузы,
который
правительство скупит в урожайные 6 лет: 6Í [3PG – (120 – PG)]. Дефицит кукурузы,
который необходимо покрыть в течение 4 неурожайных лет: 4Í [(120 – PG) – 0,5PG].
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
6Í [3PG – (120 – PG)] = 4Í [(120 – PG) – 0,5PG].
М.В.Шеина
PG = 40.
Ответ. 40.
Рост спроса и эластичность предложения
На некотором рынке спрос обладает постоянной ценовой эластичностью, равной
(-1). В результате роста популярности товара спрос вырос на 3%, а равновесный объем
увеличился на 2%. Определите коэффициент эластичности предложения по цене.
Решение
Рост спроса:
.
Все это время мы находились на одной кривой предложения, поэтому
.
Ответ: 2.
Примечание:
•
Приближенные формулы для процентного изменения цены и для
эластичности предложения можно использовать, так как все процентные
изменения малые (<10%).
•
Задача демонстрирует тот факт, что эластичность предложения, как
и эластичность спроса, определяет, в какой степени рост спроса приводит в
росту цены, а в какой - к росту объема производства.
Другое
значит
решение
Спрос обладает постоянной единичной
, в результате роста популярности спроc будет
эластичностью,
По условию
откуда
, значит цена выросла на %.
Эти две точки принадлежат кривой предложения, значит по формуле эластичности
через процентные изменения получаем, что
Простая задача на спрос и предложение
Первоначально на японском рынке mp3-плееров ежемесячно продавалось 50
тыс. плееров по цене 1000 йен. В момент X телефоны со встроенными mp3-плеерами
подешевели, что спустя некоторое время привело к уменьшению объема продаж
плееров на 19%. Затем, в момент Y, начал работать новый завод по производству mp3плееров, расположенный в Китае, и рыночная цена плеера упала на 25%. Определите
новые параметры равновесия на рынке mp3-плееров, если известно, что всё это время
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
спрос и предложение на данном рынке обладали постоянной ценовой эластичностью,
по модулю равной 2.
Решение
Спрос и предложение - функции постоянной эластичности, равной по модулю 2,
значит,
;
.
Пусть величины с индексом "0" - параметры первоначального равновесия, "1" параметры равновесия после первого изменения, "2" - параметры равновесия после
второго изменения.
Основная "фишка" здесь в том, что в условии напрямую не сказано, сдвиги
каких кривых произошли, в то время как от этого в итоге зависит численный ответ.
Для того чтобы понять, какие кривые сдвигались, нужно правильно
проинтерпретировать текстовое условие; это является существенным элементом
решения.
Первое изменение заключалось в падении цены товара-заменителя: кривая
спроса сместилась влево-вниз, мы двигались вдоль кривой предложения. Поэтому
Второе изменение - это появление новых дешевых производственных
мощностей: кривая предложения сдвинулась вправо-вниз, мы двигались вдоль кривой
спроса. Поэтому
.
В итоге имеем:
Ответ: 72 тыс. плееров будут продаваться по цене 675 йен.
Примечание:
Заметьте, что при решении мы не находили ни параметры спроса и
предложения, ни промежуточное равновесие
, что позволило упростить
вычисления. Использованный прием основан на том факте, что для функций с
постоянной эластичностью то, во сколько раз изменится функция, зависит только от
того, во сколько раз изменился аргумент, но не от конкретных значений аргумента в
начальной и конечной точке.
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
Дуговая vs. точечная эластичность
Может ли дуговая эластичность функции спроса
быть по модулю больше точечной? Если да, то приведите соответствующий ценовой
интервал, если нет, то докажите.
Решение
Приведенная функция спроса обладает постоянным значением точечной
эластичности, равным (-2).
Пусть
- произвольные цены. Тогда дуговая эластичность на данном
ценовом интервале будет равна:
Предположим, что дуговая эластичность меньше (-2) и попытаемся решить
получившееся неравенство. После преобразований получаем:
– неравенство, неразрешимое в действительных числах.
Ответ: нет.
Эластичностный конфликт поколений
Поспорил как-то Юный Экономист со Старым Экономистом о том, чья кривая
предложения труда эластичнее при одном и том же уровне заработной платы.
- Конечно, моя, - раздраженно доказывал Старый Экономист,- ты посмотри, какой у
нее наклон! Да и при нулевой зарплате я готов на большее! А если мне ее еще и
поднимут...
- А ты разве забыл, что эластичность и наклон - совсем не одно и то же?! Эластичнее
моя кривая предложения, так как она ближе к началу координат. А там, говорят,
эластичность чуть ли не единичная! - гордо отвечал Юный Экономист.
Спорили они так до вечера, пока не пришел Умный Экономист и не разрешил их спор.
Попробуйте и вы сделать то же самое: выясните, чья кривая предложения труда
эластичнее при каждом конкретном уровне заработной платы. Решение должно быть
выполнено на основе приведенного ниже графика, на котором изображены кривые
предложения труда обоих экономистов.
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
Решение
Таким образом, эластичность предложения при конкретном значении
заработной платы зависит только от отношения
.
- уровень зарплаты, при котором величина предложения равна 0. В данном
случае эта точка не имеет экономического смысла, однако графики до~нее достроить
можно. Станет видно, что эти функции предложения труда имеют одну и ту же точку
пересечения с осью
и, следовательно, имеют одинаковую эластичность при
каждом уровне зарплаты.
Если у кого-то по техническим причинам графики не придут в одну точку, то более
эластичным должен быть назван тот график, у которого точка пересечения с
осью
выше.
Ответ:
Эластичность одинакова при любом уровне зарплаты.
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
Уравнение спроса 2
(региональная олимпиада, Пермь, 2013, 9-11 кл.)
В одной из точек на графике линейной функции спроса,
где
Р
и
Q
представляют собой обратные друг другу величины, точечная эластичность спроса по
цене равна (–12,5).
В другой точке того же графика, где Р численно равно Q,
точечная эластичность спроса по цене равна (–2). Выпишите уравнение этой функции
спроса.
Решение
Представим уравнение линейной функции спроса в общем виде: Q = a – bP.
Пусть первой из указанных в условии задачи точек соответствует объем Q1, а второй
– Q2.
P
ε1 = –12,5
ε2 = –2
Q
Исходя из геометрического определения эластичности,
Поскольку P2 = Q2, выполняется равенство: Q2 = a – bQ2.
Также исходя из геометрического определения эластичности,
Поскольку P1 =
0,16, Q1 = 0,4,
a − Q2
= 2.
Q2
a
ab
=a–
.
3
3
Q2 =
a
.
3
b = 2.
a − Q1
= 12,5, a = 13,5Q1.
Q1
1
b
2
, выполняется равенство: Q1 = a –
= 13,5Q1 –
. Отсюда Q12 =
Q1
Q1
Q1
a = 13,5Q1 = 5,4.
Ответ. Q = 5,4 – 2P.
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
Издержки.
Голубой вагон и MC в дискретном случае
Как–то раз крокодил Гена читал Чебурашке учебник по экономике.
– «Выпуск голубых вагонов вырос на единицу. При этом прирост издержек оказался
больше, чем средние переменные издержки. Это значит, что средние переменные
издержки выросли». Только здесь почему-то не написано, какие конкретно средние
переменные издержки были превышены: при начальном выпуске или при конечном.
Наверное, имеется в виду второй выпуск, т.к. он был произведен позднее.
– Нет, Гена. Речь идет о первом выпуске, т.к. только сравнивая указанный прирост
затрат с первоначальными средними переменными издержками, мы можем утверждать
что-то о знаке изменения последних.
А вот что сказала проходившая мимо старуха Шапокляк:
– По мне, так никакой разницы нет: если этот прирост затрат превысил средние
переменные издержки при одном выпуске, то он превысит их и при втором.
– Ну и глупая же ты, старуха! Такого уж точно быть не может, – хором ответили
друзья.
Кто из героев прав? Докажите его правоту.
Совершенная конкуренция, выручка, прибыль
Рентабельность и нахождение оптимума фирмы по графику
Данные об издержках совершенно конкурентной фирмы представлены
графически:
Такая функция издержек, к сожалению, не позволяет фирме получать
положительную экономическую прибыль в краткосрочном периоде. При текущем
выпуске
рентабельность фирмы составляет
.
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
1.
[Введите текст]
М.В.Шеина
Найдите с помощью графика объем выпуска, минимизирующий
убытки фирмы.
2.
Стоит ли фирме оставаться в отрасли в краткосрочном периоде?
Решение.
1.
Восстановим график
. Для совершенно конкурентной фирмы это
прямая, выходящая из начала координат, так как цена постоянна. Для получения
второй точки используем тот факт, что
находим по графику
:
и делим полученный отрезок пополам. В точке
оптимального выпуска
: наклоны графиков
и
должны совпадать.
Значит, касательная, проведенная в точке оптимума к графику
параллельна графику
, должна быть
. Исходя из этого и определяем точку оптимума (см.
рис.).
2.
Как видно из графика, минимальные убытки
фирмы
меньше, чем
. Поэтому фирме стоит
оставаться в отрасли.
Ответ: 1) см. рис. 2) да, стоит.
"Расчленение" функции прибыли
В краткосрочном периоде функция прибыли совершенно конкурентной фирмы
описывается уравнением
. Известно, что в точке оптимального выпуска
рентабельность (отношение прибыли к издержкам) составила
. На сколько
процентных пунктов изменится рентабельность рационально действующей фирмы,
если рыночная цена на ее продукцию удвоится, а постоянные издержки вырастут на
треть?
Решение
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
Найдем первоначальный оптимум фирмы:
Теперь, зная рыночную цену (а значит, зная и функцию выручки совершенно
конкурентной фирмы), можно без труда восстановить функцию
издержек.
Значит,
Ответ: на 35.
Примечание: Следует различать проценты и процентные пункты. Проценты
показывают относительный прирост некой величины, в то время как в процентных
пунктах измеряется абсолютное изменение величины, для которой проценты
являются единицей измерения.
Продажа валенок
(региональная олимпиада, Пермь, 2013, 7-8 кл.)
В
процессе
распродажи
имущества
управляющий обнаружил большой склад,
предприятия-банкрота
забитый валенками.
конкурсный
До окончания
процедуры банкротства оставалось лишь два сезона – зима и лето. Зимой функция
спроса на валенки имела вид: Q1 = a1 – P1; летняя функция спроса выглядела так: Q2
= a2 – P2 (здесь a1 и a2 – постоянные величины). Оказалось, что в этом году никто
больше валенок на продажу не предлагал.
Максимизируя выручку, конкурсный
управляющий продал зимой на 198 пар валенок больше, чем летом; при этом 10 пар
оказались нераспроданными. Зимняя цена пары валенок была в 1,5 раза больше
летней. Сколько всего пар валенок было на складе?
Решение.
Если функция спроса линейна, то максимальная выручка
достигается при цене, равной половине максимальной, и объеме, равном половине
максимального. Для функций спроса, приведенных в условии, максимальные
объемы и цены равны: зимой – 0,5a1, летом – 0,5a2. Это значит, что выполняются
условия: 0,5a1 – 0,5a2 = 198; (0,5a1) : (0,5a2) = 1,5. Отсюда 0,5a1 = Q1 = 594; 0,5a2 =
=Q2 = 396. Общее число пар валенок на складе: 594 + 396 + 10 = 1000.
Ответ: 1000.
НИУ-ВШЭ, Пермь, 2013
[Введите текст]
М.В.Шеина
Монополия
Выставка-продажа котят
(региональная олимпиада, Пермь, 2013, 9-11 кл.)
Как-то раз Гордон Шамуэй заявился на выставку кошек, желая продать большую
партию котят только что выведенной им породы «вислоухая упитанная».
Как
оказалось, функция спроса на котят этой породы имеет вид: Q = a – P (здесь а – некая
постоянная величина),
а Гордон Шамуэй является единственным продавцом.
Организаторы выставки сказали ему, что продавать котят можно лишь при условии
уплаты специального сбора, из которого финансируется приют для бездомных кошек.
За первого проданного котенка Гордон должен уплатить сбор в размере 1 рубля, за
второго – 2 рубля, за третьего – 3 рубля и так далее (т.е. сбор уплачивается за каждого
проданного котенка). В этом случае максимальная прибыль (выручка за вычетом
сбора), которую Гордон может получить на выставке, продавая котят всем желающим
по одной и той же цене, составит 1350 рублей.
На это Гордон Шамуэй ответил, что деньги его не интересуют, и продал
такое количество котят и по такой цене, чтобы получить нулевую прибыль. Сколько
котят продал на выставке Гордон Шамуэй?
Решение
Прибыль Гордона: π = PQ – (1 + 2 + 3 + … + Q) = (a – Q)Q –
1+ Q
Q = –1,5Q 2
2
+ (a – 0,5)Q.
Максимум прибыли достигается при условии: Q = –
a − 0,5 a − 0,5
=
.
−3
3
Максимальная прибыль πmax = –1,5Q 2 + (a – 0,5)Q = Q(–1,5Q + a – 0,5) =
=
a − 0,5
a − 0,5
 0,5
Í  − 1,5 ×
Í (a – 0,5)2 = 1350.
+ a − 0,5  =
3
3
3


– 0,5 = 90.
(a – 0,5)2 = 8100.
a
a = 90,5.
Как мы знаем, прибыль Гордона была равна нулю: π = –1,5Q 2 + (a – 0,5)Q =
= –1,5Q 2 + (90,5 – 0,5)Q = –1,5Q 2 + 90Q = 0.
Ответ: 60 котят.
Q = 60.