Применения математического анализа в экономике

Белорусский государственный университет
механико-математический факультет
кафедра математических методов теории управления
В.Г.Кротов
Применения математического анализа в
экономике
(лекционные записки)
Минск 2010
Оглавление
1 Некоторые экономические задачи
§ 1 Банковский счет и начисление процентов
1.1 Простые проценты . . . . . . . . . . .
1.2 Сложные проценты . . . . . . . . . .
§ 2 Задача об затратах на хранение товара .
§ 3 Задача об оптимальном размере закупок
3.1 Построение математической модели .
3.2 Минимизация расходов . . . . . . . .
§ 4 Паутинная модель рынка одного товара .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Эластичность
§ 1 Логарифмическая производная . . . . . . . . . . .
1.1 Определение банковского процента по вкладу
1.2 Общее определение доходности актива . . . .
§ 2 Эластичность функции . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Экономическая мотивировка . . . . . . . . . .
2.2 Определение эластичности . . . . . . . . . . .
2.3 Свойства эластичности . . . . . . . . . . . . .
3 Применения эластичности в экономике
§ 1 Виды эластичности в экономике . . . . . . . . . .
1.1 Эластичность спроса по цене . . . . . . . . . .
1.2 Эластичность спроса по доходу . . . . . . . .
1.3 Перекрестная эластичность спроса по цене .
1.4 Эластичность ресурсов по цене . . . . . . . .
1.5 Эластичность замещения ресурсов . . . . . .
1.6 Факторы, определяющие эластичность спроса
§ 2 Распределение налогового бремени . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Предельные величины в экономике
§ 1 Цена, предельные издержки и объем производства
1.1 Предельные издержки и выручка . . . . . . . .
1.2 Случай, когда цена зависит от объема выпуска
1.3 Монопольный выпуск . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2 Функция предложения конкурентной фирмы . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
4
5
6
6
6
7
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
10
10
10
11
11
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
14
14
14
14
15
15
.
.
.
.
.
17
17
17
18
18
19
Оглавление
3
2.1 Прибыль конкурентной фирмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Случай возрастающих предельных издержек . . . . . . . . . . 20
2.3 Случай предельных издержек с точкой минимума . . . . . . . 20
5 Экстремумы и выпуклость для многих переменных
§ 1 Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Определение условного экстремума . . . . . . . . .
1.2 Уравнения связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Множители и функция Лагранжа . . . . . . . . . .
§ 2 Выпуклые функции многих переменных . . . . . . . .
2.1 Выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Определение выпуклости функции . . . . . . . . .
2.3 Условия выпуклости функции . . . . . . . . . . . .
2.4 Стационарные точки выпуклых функций . . . . .
2.5 Наибольшее значение вогнутой функции . . . . . .
§ 3 Однородные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Определение однородных функций . . . . . . . . .
3.2 Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Функции многих переменных в экономике
§ 1 Предельные полезность и норма замещения . .
1.1 Линии уровня . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Касательная к линии уровня . . . . . . . . .
1.3 Функция полезности . . . . . . . . . . . . .
1.4 Предельная норма замещения . . . . . . . .
§ 2 Эластичность функции нескольких переменных
§ 3 Функции спроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Определение функций спроса . . . . . . . .
3.2 Свойства функции спроса . . . . . . . . . .
3.3 Случай вогнутой функции спроса . . . . . .
3.4 Уравнение Слуцкого . . . . . . . . . . . . .
Предметный указатель
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
22
22
22
23
23
24
25
25
26
26
26
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
28
28
29
30
31
31
31
32
33
34
35
Глава 1
Некоторые экономические задачи
В этой главе мы рассмотрим ряд простейших задач, естественно возникающих в экономике, которые приводят к использованию таких математических
понятий, как специальные функции, производная, экстремум, интеграл.
§ 1. Банковский счет и начисление процентов
Банковский счет можно рассматривать как ценную бумагу, суть которой
состоит в том, что за использование Ваших денег, лежащих на счету, банк обязуется выплачивать по Вашему счету определенный процент от текущей суммы
счета.
1.1. Простые проценты
Предположим, что проценты начисляются m раз в год, например, m = 12
при помесячном начислении процентов, m = 4 при поквартальном начислении.
Тогда говорят о простых процентах.
В этом случае процентной ставкой называется относительная часть счета,
которую банк обязуется добавить к нему через год.
Предположим, что открыт банковский счет с начальным взносом B0 с процентной ставкой rm начисления процентов m раз в год. Тогда через n лет капитал станет равным
rm mn
.
Bn (m) = B0 1 +
m
1.2. Сложные проценты
Рассмотрим теперь случай, когда проценты начисляются непрерывно. В таком случае принято говорить о (сложных процентах).
Естественно считать, что случай непрерывно начисляемых процентов является предельным для случая простых процентов при m → ∞. Поэтому, учитывая, что
x
1
lim 1 +
= e,
x→∞
x
получим
Bn (∞) = B0 enr∞ .
Здесь r∞ — процентная ставка, соответствующая непрерывному начислению
процентов.
4
§ 2. Задача об затратах на хранение товара
5
Для того, чтобы варианты вложений, соответствующие двум способам начисления процентов, были эквивалентны, необходимо, чтобы множители наращивания, соответствующие формулам сложных и непрерывных процентов,
совпадали. Поэтому, исходя из заданного непрерывно начисляемого процента
r = r∞ , можно определить соответствующий ему m раз начисляемый процент
формулой
r
rm = m e m − 1 ,
а по rm соответствующий непрерывный процент r находится из равенства
rm .
(1.1)
r = m ln 1 +
m
§ 2. Задача об затратах на хранение товара
Пусть количество товара, хранимого в течение временного периода [a, b] задается функцией g : [a, b] → R (по смыслу ясно, что должно быть g(t) > 0), c —
стоимость хранения единицы товара.
Разложим (как при определении интеграла Римана) промежуток [a, b] на
части с помощью разбиения
a = t0 < t1 < . . . < tn = b.
Кроме того, на каждом частичном промежутке [tk−1 , tk ] зафиксируем точку τk .
Тогда сумма
n
X
v=
cg(τk )(tk − tk−1 )
k=1
является приближенным значением стоимости хранения товара за данный промежуток времени, если мы считаем, что на каждом частичном промежутке количество хранимого товара практически не меняется. Точность этого подсчета
повышается при уменьшении ранга разбиения
λ = max (tk − tk−1 ),
16k6n
следовательно, естественно считать, что точное значение стоимости хранения
дается равенством
Z
v=
b
Z
cg(t) dt = c
a
a
b
1
g(t) dt = c(b − a)
b−a
Z
b
g(t) dt.
a
Таким образом, стоимость хранения изменяющегося количества товара
в течение некоторого периода времени равна стоимости среднего значения
этого товара за тот же промежуток времени.
6
Глава 1. Некоторые экономические задачи
§ 3. Задача об оптимальном размере закупок
Пусть фирма закупает некоторый товар партиями одинакового объема в течение определенного временного промежутка, причем закупленный товар расходуется с постоянной скоростью. Как только запас товара заканчивается, закупается следующая партия. Неизрасходованный товар фирма сдает на склад
за определенную плату.
Предполагаются известными следующие данные:
Q — требуемое количество товара на плановый период,
c0 — стоимость единицы товара,
c1 — стоимость заказа одной партии товара (считаем, что она не зависит от
величины заказываемой партии товара),
c2 — стоимость хранения единицы товара в течение временного промежутка
(она предполагается пропорциональной количеству товара и времени хранения).
Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии — такой, при
котором суммарные затраты фирмы будут минимальными.
3.1. Построение математической модели
Пусть x — величина заказываемой партии товара, тогда должно быть 0 <
x 6 Q. Затраты фирмы состоят из трех частей
c0 Q — затраты на покупку товара,
Q
— затраты на заказы в течение временного промежутка, оно равно (точнее,
x
это — Qx , если это число является целым, и Qx + 1 в противном случае, но мы
пренебрегаем этим различием),
— затраты на хранение товара.
Последние затраты подсчитаем, используя результат предыдущего раздела. Считаем, что заказы происходят в моменты времени t0 < t1 < . . . < tn−1
и расход товара происходит равномерно. Подсчет показывает, что затраты на
хранение товара равны c2 (b − a) x2 .
Таким образом, общие расходы фирмы составляют
Q
x
+ c2 (b − a) .
(1.2)
x
2
Причем, как уже отмечалось, эту функцию следует рассматривать для x ∈
(0, Q].
f (x) = c0 Q +
3.2. Минимизация расходов
Будем искать минимальное значение целевой функции на промежутке с помощью дифференциального исчисления. Сначала найдем ее производную
f 0 (x) = −
c1 Q c2 (b − a)
+
.
x2
2
§ 4. Паутинная модель рынка одного товара
7
q
1Q
Она имеет единственный корень x = c22c(b−a)
и теперь решение нашей задачи
∗
зависит от соотношения между x и Q.
2c1
. В этом случае в точке x∗ будет
Пусть сначала x∗ < Q, то есть Q > c2 (b−a)
достигаться глобальный минимум целевой функции и он равен
∗
fmin = f (x∗ ) =
2c1
, то стационарная точка целевой функции
Если же x∗ > Q, то есть Q < c2 (b−a)
выходит за рассматриваемый промежуток. В этом случае глобальный минимум
достигается в точке x = Q и он равен
fmin = f (Q) =
Итак, задача об оптимальном размере закупок решена и можно проводить
дальнейший анализ полученного решения в зависимости от имеющихся параметров.
§ 4. Паутинная модель рынка одного товара
Рассмотрим зависимости спроса D и предложения S от цены товара p. Ясно,
что при увеличении цены товара спрос на него падает. Предложение же, наоборот, должно расти, если цена товара увеличивается. Таким образом, спрос является убывающей функцией от цены товара, а предложение — возрастающей
функцией. Графики этих функций называются кривыми спроса и предложения, соответственно. По смыслу изменяющиеся величины и могут принимать только положительные значения, поэтому кривые спроса и предложения
находятся в первой координатной четверти.
Для экономики большое значение имеет положение равновесия
D(p) = S(p).
(1.3)
Экономически это означает, что весь произведенный товар будет продан.
Цена p, для которой выполняется (1.3) называется равновесной. Она не
обязательно определяется однозначно.
Рассмотрим простейшую задачу нахождения равновесной цены, в случае
когда кривые спроса и предложения являются прямыми
D = −ap + c,
S = bp + d,
где a, b, c, d — некоторые фиксированные положительные числа.
Задача поиска равновесной цены представляет по существу торг между производителем (продавцом) и покупателем.
Сначала продавец предлагает первоначальную цену p0 , которая заведомо
выше равновесной, так как он стремится извлечь максимальную выгоду из произведенного товара.
8
Глава 1. Некоторые экономические задачи
Покупатель оценивает спрос D0 для цены p0 и определяет свою цену p1 , при
которой спрос равен предложению. Эта цена ниже равновесной, так как всякий
покупатель стремится купить дешевле.
В свою очередь продавец по цене p1 оценивает спрос D1 и предлагает новую
цену p2 , при которой спрос равен предложению. Эта цена выше равновесной.
Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к
устойчивому приближению к равновесной цене (к скручиванию паутины). Так
будет в рассматриваемом случае прямых спроса и предложения, если b < a. В
противном случае имеет место либо циркулирование по замкнутому циклу (при
b = a), либо раскручивание паутины при b > a.
Глава 2
Эластичность
§ 1. Логарифмическая производная
Логарифмической производной положительной функции f : (a, b) → R+
называется (ln f (x))0 . Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем равенство
f 0 (x)
(ln f (x))0 =
.
(2.1)
f (x)
Производная функции — это скорость ее изменения. Поэтому логарифмическую производную часто называют относительной скоростью изменения или
темпом изменения.
Логарифмическая производная использовалась в курсе математического
анализа при вычислении производной в тех случаях, когда логарифмирование
упрощает вид функции. Например, если f = uv , то ln f = v ln u и
u0
f0
= (ln f )0 = (v ln u)0 = v 0 ln u + v .
f
u
Откуда
u0
v 0
v
0
(u ) = u v ln u + v
.
u
1.1. Определение банковского процента по вкладу
Логарифмическая производная находит многочисленные применения в экономике. Для того, чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим пример.
Пусть B(t) — величина банковского счета в момент времени t. Можно ли
определить ставку банковского процента r по функции B?
Для решения этой задачи рассмотрим промежуток времени [t, t + h], h >
0. Тогда приращение вклада за этот промежуток составит B(t + h) − B(t). С
другой стороны, это приращение обусловлено начислением процентов. Поэтому,
считая, что h мало и ставка банковского процента мало изменяется на этом
промежутке, оно примерно равно rhB(t). Отсюда мы получаем приближенное
равенство
1
B(t + h) − B(t)
r(t) ≈
·
.
h
B(t)
Переходя здесь к пределу при h → +0, получаем, что
B 0 (t)
r(t) =
.
B(t)
Таким образом, ставка банковского процента совпадает с логарифмической
производной суммы вклада как функции времени.
9
10
Глава 2. Эластичность
1.2. Общее определение доходности актива
Разобранный пример наводит на мысль использовать эту идею для математического определения доходности любого финансового актива, если известна
его стоимость как функция времени.
Средней доходностью финансового индекса за определенный промежуток
времени обычно называют его относительное приращение за этот промежуток.
Поэтому, рассуждая, как и выше, мы можем придти к определению доходности
индекса как его логарифмической производной.
Пусть C(t) — стоимость некоторого актива в момент времени t. Тогда его
доходностью в этот момент называется
ρ(t) = (ln C(t))0 =
C 0 (t)
.
C(t)
Рассмотрим пример: пусть в обращение сроком на год выпущен вексель, стоимость которого меняется линейно от начальной стоимости до 1.25 начальной
стоимости на момент погашения. Другими словами,
t
C0 ,
C(t) = 1 +
4
где C0 — начальная стоимость векселя.
Доходность равна
ρ(t) =
1
t+4
и будет меняться от 0.25 при t = 0 до 0.2 при t = 1.
Сравнивая эту доходность с доходностью другого актива (например, банковского счета в некотором новом банке с высокой процентной ставкой для
рекламы), мы можем принять решение о покупке или продаже векселя в определенный момент времени с цель вложения средств в более доходный актив.
Например, если доходность банковского счета r, то множество значений времени t, когда доходность векселя больше, чем r, находится из неравенства
ρ(t) = (ln C(t))0 > r.
§ 2. Эластичность функции
2.1. Экономическая мотивировка
Пусть имеется зависимость одного экономического фактора y от другого x
— изменение фактора x приводит к изменению фактора y. Возникает вопрос,
как измерить чувствительность зависимой переменной y к изменению x?
§ 2. Эластичность функции
11
Одним из показателей служит производная функции y, характеризующая
ее скорость изменения. Но это не совсем удобно в экономике, так как этот показатель зависит от выбора единиц измерения величин x и y.
Рассмотрим, например, функцию спроса Q на сахар от его цены p, измеряемой в рублях. Тогда значение производной Q0 зависит от того, в килограммах
или центнерах измеряется Q.
Поэтому в экономике для измерения чувствительности изменения функции
к изменению аргумента часто изучают связь не абсолютных изменений, а их
относительных изменений.
2.2. Определение эластичности
Эластичностью положительной функции y = f (x) называется
f (x + h) − f (x) h
:
h→0
f (x)
x
Ef (x) = lim
Если ясно, о какой точке или о каких переменных идет речь, то часть (или все)
параметров в обозначении эластичности могут отсутствовать.
Непосредственно из определения следует, что
h
f (x + h) − f (x)
≈ Ef (x) ,
f (x)
x
следовательно, эластичность является предельным коэффициентом пропорциональности между относительными изменениями величин f (x) и x. В частности
отсюда следует полезная формула
Ef (x) =
x 0
f (x) = x(ln f (x))0 ,
f (x)
связывающая эластичность с логарифмической производной. Кроме того, справедливо равенство
(ln f (x))0
Ef =
.
(ln x)0
2.3. Свойства эластичности
Теорема 2.1.
1) Эластичность суммы функций вычисляется по формуле
Ef +g (x) =
f (x)Ef (x) + g(x)Eg (x)
f (x) + g(x)
и удовлетворяет неравенствам
min {Ef (x), Eg (x)} 6 Ef +g (x) 6 max {Ef (x), Eg (x)} .
12
Глава 2. Эластичность
2) Эластичность произведения функций равна сумме эластичностей сомножителей
Ef g (x) = Ef (x) + Eg (x).
3) Эластичность отношения функций равна разности эластичностей
этих функций
Ef /g (x) = Ef (x) − Eg (x).
4) Эластичность композиции f ◦ g вычисляется по формуле
Ef ◦g (x) = Ef (g(x)) · Eg (x).
5) Эластичность обратной функции f −1 в точке y = f (x) вычисляется по
формуле
1
.
Ef −1 (y) =
Ef (x)
Доказательство легко получается применение стандартных правил дифференцирования.
Упражнение 2.1. Вычислить эластичности функций
1) f (x) = C. Ответ: 0.
2) f (x) = ax + b. Ответ:
ax
.
ax+b
3) f (x) = xα . Ответ: α.
4) f (x) = ax . Ответ: x ln a.
Глава 3
Применения эластичности в экономике
§ 1. Виды эластичности в экономике
1.1. Эластичность спроса по цене
Эластичность спроса D по цене p
p
ED
= ED (p) =
p
D0 (p)
D(p)
показывает относительное изменение величины спроса на какое-либо благо при
изменении цены этого блага и характеризует чувствительность потребителей к
изменению цен на продукцию.
Так как при увеличении цены спрос уменьшается, , то эластичность спроса
ED (p) отрицательна.
Спрос называют эластичным, если абсолютная величина эластичности
больше единицы, то говорят об эластичном спросе и наоборот.
Термин совершенно неэластичный спрос возникает в случае, когда изменение цены не приводит на к какому изменению спроса. В этом случае
ED (p) = 0.
В другом крайнем случае, когда малое снижение цены побуждает покупателя увеличивать покупки, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В этом случае эластичность велика по абсолютной величине.
Если спрос со стороны отдельных покупателей или групп покупателей является эластичным, то и суммарный спрос также является таковым. Это вытекает
из утверждения 1) теоремы 2.1.
Если продавцы обладают достаточными запасами товара, то количество запрашиваемого товара D(p) совпадает с количеством проданного товара. В этом
случае общая выручка продавцов равна R = D(p)p. Найдем эластичность выручки по цене
ER =
R0
D + pD0
D0
p=
p = 1 + p = 1 + ED .
R
pD
D
Следовательно, при эластичном спросе эластичность выручки ER отрицательна
и (аналогично) при неэластичном спросе ER > 0.
Отсюда можно сделать следующий вывод:
— если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей
выручки в противоположном направлении,
— если спрос неэластичен, то изменение цены вызывает изменение общей
выручки в том же направлении.
13
14
Глава 3. Применения эластичности в экономике
1.2. Эластичность спроса по доходу
Эластичность спроса D по доходу I
ED (I) =
I
D0 (I)
D(I)
показывает относительное изменение величины спроса на какое-либо благо при
изменении дохода потребителя этого блага.
Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные
товары, а отрицательная — малоценные и некачественные. Так, большая положительная эластичность спроса по доходу в отрасли говорит нам о том, что
вклад этой отрасли в экономический рост больше, чем ее доля в экономике, и
она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если значение ED (I) положительно и невелико или отрицательно, то ее может ожидать
застой и перспектива сокращения производства.
1.3. Перекрестная эластичность спроса по цене
Пусть имеется два блага: одно — со спросом D1 и ценой p1 и другое — со
спросом D2 и ценой p2 . Тогда можно рассмотреть перекрестную эластичность
p2
p2
D10 (p2 ),
ED
= ED1 (p2 ) =
1
D1 (p2 )
показывающую относительное изменение величины спроса на первое благо при
изменении цены на другое благо.
Положительность этой величины говорит о замещаемости благ, а отрицательность — о их дополняемости.
1.4. Эластичность ресурсов по цене
Относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс R (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) показывает эластичность
ERp = ER (p) =
p
R0 (p).
R(p)
1.5. Эластичность замещения ресурсов
Величина
ERR12 = ER1 (R2 ) =
R2
R0 (R2 ),
R1 (R2 ) 1
показывает необходимое изменение величины одного ресурса при изменении
другого, чтобы выпуск при этом не изменился.
§ 2. Распределение налогового бремени
15
1.6. Факторы, определяющие эластичность спроса
1. Эластичность спроса на благо по его цене тем выше, чем выше замещаемость этого блага. Последняя характеризуется наличием и количеством заместителей, а также степенью агрегированности блага.
Степень агрегированности блага определяется широтой определения данного блага — тем, какое количество разнородных благ входит в понятие данного
блага. Чем выше степень агрегированности блага, тем меньше у него заместителей и меньше возможностей у потребителей для замещения этого блага, и тем
меньше эластичность спроса на это благо.
Например, эластичность спроса на моющие средства ниже, чем на стиральный порошок, а эластичность спроса на мыло вообще ниже, чем на мыло определенной марки. Правильное определение степени агрегированности блага важно,
например, при определении ценовой и налоговой политики.
2. Эластичность спроса на благо тем выше, чем выше удельный вес расходов
на данное благо в доходе потребителя.
3. Эластичность спроса на благо тем выше, чем ниже субъективная необходимость в данном благе.
4. Фактор времени играет следующую роль: долгосрочная эластичность
спроса по цене обычно выше, чем краткосрочная эластичность.
§ 2. Распределение налогового бремени
Пусть p — цена некоторого товара, S(p) — его предложение и D(p) — спрос.
Равновесная цена p0 определяется уравнением (см. (1.3))
S(p0 ) = D(p0 ).
Предположим, что вводится дополнительный налог с производителей в размере t с каждой единицы товара. Закладывая налог в цену, производитель не
меняет предложения, рассчитывая получить ту же прибыль. Следовательно,
St (p) = S(p − t), где St (p) — предложение после введения налога.
Пусть pt — новая равновесная цена, тогда равенство (1.3) спроса и предложения приводит к уравнению
S(pt − t) = D(pt ).
Обозначим через h = pt − p0 изменение равновесной цены и рассмотрим
приближенные равенства
S(p0 + h) ≈ S(p0 ) + S 0 (p0 )h,
D(p0 + h) ≈ D(p0 ) + D0 (p0 )h.
Из последних трех соотношений получаем
S(p0 ) + S 0 (p0 )(h − t) ≈ D(p0 ) + D0 (p0 )h.
16
Глава 3. Применения эластичности в экономике
Так как S(p0 ) = D(p0 ), то из последнего равенства получаем
S 0 (p0 )(h − t) = D0 (p0 )h
Отсюда выводим, что после введения дополнительного налога на покупку
единицы товара затраты потребителя увеличатся на величину h, которая приближенно под подсчитывается по формуле
h≈
tS 0 (p0 )
.
S 0 (p0 ) − D0 (p0 )
Соответственно, доход производителя (на единицу продукции) уменьшится
на
t−h≈
−tD0 (p0 )
.
S 0 (p0 ) − D0 (p0 )
Следовательно, налоговое бремя распределяется между потребителями и
производителями в отношении
S 0 (p0 )
h
≈− 0
.
t−h
D (p0 )
Отсюда, с учетом того, что S(p0 ) = D(p0 ), получаем
S 0 (p0 )p0 D0 (p0 )p0
ES (p0 )
h
≈−
:
=−
.
t−h
S(p0 )
D(p0 )
ED (p0 )
Другими словами, распределение налогового бремени характеризуется отношением эластичностей предложения и спроса.
Упражнение 3.1.
Пусть ценовая эластичность спроса равна −2, а ценовая эластичность предложения 3. Как увеличится цена единицы товара после введения налога в размере 100 и насколько уменьшится прибыль производителя на единицу товара.
Ответ: цена увеличится на 40 и прибыль уменьшится на 60.
Глава 4
Предельные величины в экономике
§ 1. Цена, предельные издержки и объем
производства
В экономике часто используются так называемые предельные величины. Перечислим некоторые из наиболее часто встречающихся — предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность,
предельная склонность к потреблению и т.д.
В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки
M C, которые определяются как дополнительные издержки, связанные с производством еще одной единицы продукции, то есть
M C = C(q + 1) − C(q).
Заменяя приближенно приращение дифференциалом, получаем
M C ≈ C 0 (q).
Последняя величина и используется обычно в теоретических исследованиях в
качестве предельных издержек.
Аналогично будем использовать определение для предельной величины
M y = y 0 для y по x, если y является функцией от x.
1.1. Предельные издержки и выручка
Пусть имеется некоторое благо и q — объем его выпуска, R(q) — выручка от
продаж, C(q) — издержки производства, связанные с выпуском этого количества блага. Тогда прибыль производителя вычисляется по формуле
π(q) = R(q) − C(q).
Будем предполагать, что функции R и C определены на полуоси [0, +∞ и
дифференцируемы. Если максимум прибыли достигается в некоторой точке q ∗ ,
то по теореме Ферма π 0 (q ∗ ) = 0. Отсюда получаем равенство
R0 (q ∗ ) = C 0 (q ∗ ).
(4.1)
В экономической теории равенство трактуется как правило, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объем производства таким образом, чтобы предельная выручка R0 (q ∗ ) была равна предельным издержкам C 0 (q ∗ ).
17
18
Глава 4. Предельные величины в экономике
Если объем производства q не влияет на цену продукции p, то R(q) = pq и
R (q) = p. Равенство принимает тогда вид
0
p = C 0 (q ∗ ).
(4.2)
Упражнение 4.1. Найти объем производства, соответствующий наибольшей прибыли, если
p = 15, C(q) = q 3 + 3q.
Ответ: q ∗ = 2.
1.2. Случай, когда цена зависит от объема выпуска
Рассмотрим теперь более общий случай, когда цена продукции p является
дифференцируемой функцией от объема выпуска q. Тогда
R0 (q) = (p(q)q)0 = p0 (q)q + p(q) = p(q) Ep0 (q) + 1
Теперь равенство (4.1) перепишется в виде
p(q ∗ ) [Ep (q ∗ ) + 1] = C 0 (q ∗ )
и мы получаем уравнение для определения цены
p(q ∗ ) =
C 0 (q ∗ )
.
Ep (q ∗ ) + 1
(4.3)
Так как Ep (q) 6 0, то отсюда следует, что цена p(q ∗ ) не ниже предельных
издержек C 0 (q ∗ ).
В действительности, если фирма занимает существенную долю рынка, то
увеличение выпуска приводит к насыщению товаром и падению его цены. В
этом случае Ep (q ∗ ) > 0 и из (4.3) следует, что цена p(q ∗ ) больше предельных
издержек C 0 (q ∗ ).
1.3. Монопольный выпуск
Предположим теперь, что фирма является монополией. Тогда при цене p
она будет производит столько единиц продукции, сколько требуется покупателям при такой цене, то есть q = D(p), где D(p) — функция спроса. Таким
образом, функция спроса будет обратной для функции цены p(q). Из свойств
эластичности вытекает тогда, что
−1
Ep (q ∗ ) = ED
(p(q ∗ )).
Обозначим через p∗ = p(q ∗ ) цену, соответствующую объему выпуска q ∗ . Оптимальный выпуск q ∗ можно записать как q ∗ = D(p∗ ) — спрос при наилучшей
(для монополии) цене p∗ . Уравнение (4.3) приобретает теперь вид
p∗ =
C 0 (D(p∗ ))
.
−1
ED
(p(q ∗ )) + 1
(4.4)
§ 2. Функция предложения конкурентной фирмы
19
При неэластичном спросе знаменатель дроби в правой части (4.4) отрицателен и и эта формула лишена смысла. Это означает, что сделанные нами предположения невыполнимы.
Фактически, при неэластичном спросе монополия, стремящаяся увеличить
свою прибыль, будет снижать объем выпуска продукции. При этом издержки
будут снижаться, а цена и прибыль — увеличиваться. В некоторый момент
начнется массовый отказ потребителей от данной продукции из-за отсутствия
средств и спрос снова станет эластичным.
Упражнение 4.2.
Пусть C(q) = 21 q 2 — издержки фирмы–монополиста, 40 − 2p — функция
спроса. Найти зависимость цены от количества произведенной продукции, оптимальный объем производства, соответствующую цену и предельные издержки.
Ответ: p(q) = 20 − 21 q, p∗ = 15, C 0 (q ∗ ) = 10.
§ 2. Функция предложения конкурентной фирмы
Пусть некоторая фирма A предлагает свою продукцию к продаже по некоторой цене p.
Фирма называется конкурентной, если существует такая цена pA , что при
цене p 6 pA фирма может продать любое количество своей продукции, а при
цене p > pA не может продать ничего.
Таким образом, спрос на продукцию конкурентной фирмы задается равенством

 +∞, если p 6 pA ,
D(p) =

0, если p < pA .
Спрос в таком случае является совершенно эластичным.
Для того, чтобы реально существующая фирма могла считаться конкурентной, необходимо, чтобы максимальный объем выпуска ее продукции составлял
незначительную часть от совокупного выпуска ее конкурентов.
Конкурентной фирме невыгодно продавать продукцию по цене p < pA и
невозможно продавать по цене p > pA . Поэтому считаем, что p = pA .
2.1. Прибыль конкурентной фирмы
Не имея возможности влиять на цену, конкурентная фирма может увеличивать или уменьшать объем своего выпуска q так, чтобы получить максимальную
прибыль π(q). Если C(q) — издержки производства, то
π(q) = pq − C(q).
(4.5)
20
Глава 4. Предельные величины в экономике
Будем предполагать, что функция издержек является дифференцируемой
на полуоси [0, +∞). Таким образом, определены предельные издержки C 0 (q).
Рассмотрим функции издержек двух типов
1) предельные издержки возрастают на всей полуоси [0, +∞),
2) существует такое число q0 > 0, что предельные издержки убывают на
[0, q0 ) и возрастают на [q0 , +∞).
2.2. Случай возрастающих предельных издержек
Итак, сейчас мы предполагаем, что предельные издержки C 0 (q) возрастают
на всей полуоси [0, +∞).
Если q ∗ — точка, в которой функция прибыли имеет локальный максимум,
то
π 0 (q ∗ ) = p − C 0 (q ∗ ) = 0,
следовательно,
p = C 0 (q ∗ ).
(4.6)
Для функций издержек первого типа справедливо следующее утверждение:
если в точке предельные издержки совпадают с ценой продукции (выполнено
(4.6)), то π(q ∗ ) — наибольшее значение функции прибыли на полуоси [0, +∞).
Действительно, π 0 (q) = p − C 0 (q) > 0 при q < q ∗ и π 0 (q) = p − C 0 (q) < 0 при
q > q ∗ в силу возрастания предельных издержек. Следовательно, q ∗ — точка
глобального максимума функции прибыли.
Стремясь получить максимальную прибыль, конкурентная фирма при данной цене продукции установит объем выпуска продукции q равным q ∗ , что приводит к равенству q ∗ = S(p), где S(p) — функция предложения. В силу равенства (4.6) это означает, что для конкурентной фирмы функция предложения S
является обратной к функции предельных издержек C 0 .
Упражнение 4.3. Найти функцию предложения конкурирующей фирмы,
если ее функция издержек имеет вид C(q) = q 2 + 6q + 5.
Ответ: S(p) = 21 p − 3.
Сделаем следующее замечание в связи с предыдущим примером. Если цена
p = 10, то предложение будет равно, соответствующие издержки будут, и прибыль равна. Спрашивается зачем выпускать две единицы продукции, если при
этом фирма будет нести убытки? Если фирма прекратит выпуск продукции —
q = 0, то убытки составят π(0) = C(0) = 5.
Ясно, что убыточное производство возможно только на коротком промежутке времени, поэтому найденная функция предложения является краткосрочной.
2.3. Случай предельных издержек с точкой минимума
Здесь наше основное предположение относительно предельных издержек
следующее: существует такое число q0 > 0, что предельные издержки убывают
на [0, q0 ) и возрастают на [q0 , +∞).
§ 2. Функция предложения конкурентной фирмы
21
Пусть снова q ∗ — точка глобального максимума функции прибыли π на полуоси [0, +∞. Тогда если q ∗ 6= 0, то q ∗ будет также точкой локального максимума
и выполнено равенство (4.6). Поэтому либо q ∗ = 0, либо q ∗ является решением
уравнения
p = C 0 (q).
В силу наших предположений это уравнение не может иметь более одного решения q1 на отрезке [0, q0 ] и не более одного решения q2 на [q0 , +∞).
Производная прибыли π 0 (p) = p−C 0 (q) отрицательна на (0, q1 ) и положительна на (q1 , q0 ). Следовательно, прибыль убывает на (0, q1 ) и возрастает на (q1 , q0 ).
Отсюда следует, что точка q1 не может быть точкой максимума прибыли.
Итак, мы показали, что максимум прибыли, если он существует, то достигается либо в точке 0, либо в точке q2 .
Вернемся к функции предложения конкурентной фирмы S(p). Так как S(p)
является точкой максимума функции прибыли π(q), то либо S(p) = 0, либо
S(p) = q. Нам необходимо сравнить значения прибыли в этих точках

 0, если π(0) > π(q2 ),
S(p) =

q2 , если π(0) < π(q2 ).
Нетрудно видеть, что неравенство π(q2 ) > π(0) равносильно неравенству
pq2 > C(q2 ) − C(0).
Обозначим через
V C(q) = C(q) − C(0)
(4.7)
переменные издержки, связанные с производством q единиц продукции, и
AV C(q) =
C(q) − C(0)
.
q
(4.8)
— средние переменные издержки. Тогда неравенство π(q2 ) > π(0) эквивалентно неравенству p > AV C(q2 ).
Cледовательно, функция предложения для издержек второго типа имеет вид

 0, если AV C(q2 ) > p,
S(p) =
(4.9)

q2 , если AV C(q2 ) < p.
где q2 — единственное решение уравнения p = C 0 (q) на интервале (q0 , +∞).
Упражнение 4.4.
Найти функцию предложения конкурентной фирмы, если задана функция
издержек C(q) = 31 q 3 − 2q 2 + 9q + 20.
√
Ответ: S(p) = 0 при p < 6, C(p) = 2 + p − 5 при p > 6.
Глава 5
Экстремумы и выпуклость для многих
переменных
§ 1. Условный экстремум
1.1. Определение условного экстремума
Пусть функция f : G → R задана в области G ⊂ Rn и D ⊂ G — некоторое
подмножество в G.
Точка x0 ∈ D называется точкой условного локального максимума (минимума) относительно множества D для функции f , если существует такая
окрестность Ux0 точки x0 , что для всех x ∈ X ∩ Ux0 выполнено неравенство
f (x) 6 f (x0 ) (соответственно f (x) > f (x0 )).
(5.1)
В качестве объединяющего используется термин условный локальный экстремум относительно множества.
Принципиальным отличием условного локального экстремума от обычного
локального экстремума является то, что неравенство (5.1) предполагается выполненным не для всех x из некоторой окрестности точки, а только для x ∈ D
из этой окрестности.
1.2. Уравнения связи
В приложениях наиболее часто встречается случай, когда множество задается с помощью некоторой системы ограничений в виде неравенств и равенств.
Мы рассмотрим только случай равенств.
Итак, пусть множество D задается системой уравнений

 g1 (x) = 0,
...
(5.2)

gm (x) = 0,
где g1 , . . . , gm — некоторые функции. Уравнения (5.2) называются уравнениями связи, так как они связывают значения переменных x1 , . . . , xn .
1.3. Множители и функция Лагранжа
Стандартная схема отыскания экстремумов функции связана с отысканием
так называемых стационарных точек. В случае условного экстремума эта задача также связана с изучением стационарных точек, но для другой функции.
22
§ 2. Выпуклые функции многих переменных
23
Теорема 5.1. Пусть функции f , g1 , . . . , gm непрерывно дифференцируемы
в окрестности точки x0 , причем градиенты
grad g1 (x0 ), . . . , grad gm (x0 )
(5.3)
линейно независимы.
Тогда если x0 — точка условного экстремума при условиях (5.2), то найдутся числа λ1 , . . . , λm , для которых x0 — стационарная точка функции
L(x) = f (x) +
n
X
λk gk (x).
(5.4)
k=1
Функцию L обычно называют функцией Лагранжа, а числа λ1 , . . . , λm —
множителями Лагранжа.
§ 2. Выпуклые функции многих переменных
2.1. Выпуклые множества
Отрезком в Rn , соединяющим точки a ∈ Rn и b ∈ Rn называется множество
[a, b] = {(1 − λ)a + λb : λ ∈ [0, 1]} .
Множество X ⊂ Rn называется выпуклым, если вместе с любыми двумя
своими точками оно содержит отрезок, соединяющий эти точки.
n
m
Если {xk }m
k=1 — набор точек из R и набор чисел {λk }k=1 ⊂ R, удовлетворяет
условиям
λk > 0,
m
X
λk = 1,
(5.5)
k=1
то линейная комбинация
m
X
λ k xk
(5.6)
k=1
называется выпуклой комбинацией этих точек.
В частности, в случае двух точек выпуклая комбинация точек a и b имеет
вид (1 − λ)a + λb, где λ ∈ [0, 1]. Такая выпуклая комбинация и использовалась
в определении отрезка.
Упражнение 5.1. Показать, что если множество X ⊂ Rn выпукло, то любая выпуклая комбинация точек этого множества принадлежит X. Указание:
провести индукцию по числу точек в выпуклой комбинации.
24
Глава 5. Экстремумы и выпуклость для многих переменных
2.2. Определение выпуклости функции
Функция f : X → R, определенная на выпуклом множестве X ⊂ Rn называется выпуклой на X, если для любых точек x0 , x1 ∈ X выполнено неравенство.
f ((1 − λ)x0 + λx1 ) 6 (1 − λ)f (x0 ) + λf (x1 ),
λ ∈ (0, 1).
Если это неравенство заменить на строгое, то получим определение строго
выпуклой функции.
Функция, определенная на выпуклом множестве называется вогнутой на
X, если для любых точек выполнено неравенство
f ((1 − λ)x0 + λx1 ) > (1 − λ)f (x0 ) + λf (x1 ),
λ ∈ (0, 1).
Если это неравенство заменить на строгое, то получим определение строго
вогнутой функции.
Теорема 5.2 (неравенство Йенсена). Если функция f : X →PR выпукла
на выпуклом множестве X ⊂ Rn , то для любых xk ∈ X λk > 0, m
k=1 λk = 1
выполнено неравенство
!
m
m
X
X
f
λk xk 6
λk f (xk ).
(5.7)
k=1
k=1
Доказательство легко получается индукцией по m и использует результат
упражнения 5.1.
Конечно, для вогнутых функций справедливо неравенство, обратное к (5.7).
Упражнение 5.2.
1) Аффинная функция
l(x) = c +
n
X
ak x k
k=1
является одновременно и выпуклой, и вогнутой на Rn (ak ∈ R).
2) Если fk — выпуклые функции на R (k = 1, . . . , n), то функция
f (x) =
n
X
fk (xk )
k=1
выпукла на Rn .
3) Пусть αk > 0 при k = 1, . . . , n,
Pn
k=1
αk 6 1. Тогда функция
f (x) =
n
Y
k=1
вогнута на Rn .
xαk k
§ 2. Выпуклые функции многих переменных
25
2.3. Условия выпуклости функции
Ясно, что функция f : X → R на выпуклом множестве X ⊂ Rn (строго)
выпукла тогда и только тогда, когда функция −f (строго) вогнута.
Упражнение 5.3. Функция f : X → R на выпуклом множестве X ⊂ Rn
является выпуклой (вогнутой) тогда и только тогда, когда для любых x0 , x1 ∈ X
выпукла (вогнута) функция
ϕ(t) = f (x0 + t(x1 − x0 )),
t ∈ [0, 1].
Для случая функций одной переменной свойство выпуклости можно было
проверить с помощью второй производной — функция f ∈ C 2 (a, b), то ее выпуклость равносильна неравенству
f 00 (x) > 0,
x ∈ (a, b).
Аналогичная теорема имеет место и в многомерном случае.
Теорема 5.3. Пусть X ⊂ Rn — выпуклое открытое множество и f ∈
C (X). Тогда f выпукла тогда и только тогда, когда квадратичная форма
2
H(x, f, h) =
n
X
∂ 2f
(x)hi hj
∂x
∂x
i
j
i,j=1
(5.8)
неотрицательно определена при всех x ∈ X.
Квадратичная форма (5.8) называется гессианом. Напомним, что знакопостоянство квадратичных форм проверяется с помощью критерия Сильвестра.
2.4. Стационарные точки выпуклых функций
Если функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 ∈ Rn
и
∂f
(x0 ) = 0, k = 1, . . . , n,
(5.9)
∂xk
то x0 называется стационарной точкой функции.
Напомним, что точки экстремумов дифференцируемой функции следует искать только в стационарных точках (лемма Ферма).
Теорема 5.4. Пусть X ⊂ Rn — выпуклое открытое множество, f ∈
C 1 (X) — выпуклая (вогнутая) функция на X, x0 — стационарная точка функции f .
Тогда f (x0 ) — наименьшее (наибольшее) значение функции f на X.
Если f строго выпукла (вогнута), то x0 — единственная такая точка.
В частности, из теоремы 5.4 следует, что строго выпуклая (вогнутая) функция f ∈ C 1 (X) на выпуклом множестве X ⊂ Rn не может иметь более одной
точки глобального минимума (соответственно максимума).
26
Глава 5. Экстремумы и выпуклость для многих переменных
2.5. Наибольшее значение вогнутой функции
Следующая теорема дает условия для максимума вогнутой функции в духе
метода Лагранжа для случая, когда множество, на котором ищется максимум
является многогранником.
Теорема 5.5. Пусть выпуклое множество X ⊂ Rn задано системой линейных неравенств

 l1 (x) > 0,
...
(5.10)

lm (x) > 0,
где lk — аффинные функции (k = 1, . . . , m), f : X → R — вогнутая функция,
x∗ — точка, в которой функция f дифференцируема.
1. Если для некоторых λ1 , . . . , λm > 0 выполняются условия
а) x∗ — стационарная точка функции Лагранжа
L(x) = f (x) +
n
X
λk lk (x),
k=1
б) λk lk (x∗ ) = 0 для k = 1, . . . , n,
то x∗ — точка глобального максимума функции на множестве X.
2. Обратно, если x∗ — точка глобального максимума функции f на множестве X, то найдутся числа λ1 , . . . , λm > 0, для которых выполнены условия
а) и б).
Условия а) и б) из теоремы 5.5 называются условиями Куна–Таккера.
В случае, когда выпуклое множество задается системой ограничений, содержащей как неравенства, так и равенства, то условие б) Куна–Таккера записываются только для множителей Лагранжа, соответствующих неравенствам.
Теорема 5.5 остается при этом в силе.
§ 3. Однородные функции
3.1. Определение однородных функций
Пусть G ⊂ Rn — область, причем с каждой точкой x она содержит также
точки tx при t > 0.
Функция f : G → R называется однородной степени λ, если для любого
t > 0 выполнено равенство
f (tx) = tλ f (x).
(5.11)
Примерами могут служит
f (x, y) = x2 − 3xy − 5y 2 ,
f (x) = |x|λ .
§ 3. Однородные функции
27
Следующий пример взят из экономики
f (x, y) = xα y 1−α
Это — производственная функция Кобба–Дугласа (производственная
функция отражает зависимость объема выпуска от затрат ресурсов, в данном
случае x — затраты капитала, y — затраты труда).
3.2. Формула Эйлера
Пусть f — однородная функция. Продифференцируем равенство (5.11) по t,
используя правило дифференцирования сложной функции
n
X
∂f
(tx)xk = λtλ−1 f (x).
∂xk
k=1
Полагая здесь t = 1, получим формулу Эйлера
n
X
∂f
(x)xk = λf (x).
∂x
k
k=1
(5.12)
Глава 6
Функции многих переменных в экономике
§ 1. Предельные полезность и норма замещения
1.1. Линии уровня
Пусть задана функция f : D → R, D ⊂ Rn и число c ∈ R. Тогда множеством уровня функции (на уровне c) называется
{x ∈ D : f (x) = c}.
В случае n = 2 множество уровня называют обычно линией уровня, а при
n = 3 — поверхностью уровня.
Линия уровня не всегда соответствует своему названию, однако при некоторых предположениях она действительно является кривой в обычном понимании
слова.
Теорема 6.1. Пусть f : D → R — функция класса C 1 на открытом множестве D ⊂ R2 , c ∈ R. Пусть еще точка (x0 , y0 ) ∈ D такая, что f (x0 , y0 ) = c
и fy0 (x0 , y0 ) 6= 0.
Тогда существуют
1) интервал (a, b), содержащий точку x0 ,
2) функция ϕ ∈ C 1 (a, b), ϕ(x0 ) = y0 ,
3) окрестность U ⊂ D точки (x0 , y0 ),
для которых множество
{(x, y) ∈ U : f (x, y) = c}
совпадает с графиком функции ϕ.
Это утверждение является прямым следствием теоремы о неявной функции.
В частности, из нее вытекает, что всякая линия уровня функции f : D → R
класса C 1 в достаточно малой окрестности каждой своей точки (x0 , y0 )
может быть представлена как график функции ϕ класса C 1 , если только
grad f (x0 , y0 ) 6= 0. Эту функцию будем называть разрешающей для линии
уровня.
1.2. Касательная к линии уровня
Нам понадобится ниже уравнение касательной к линии уровня. Мы найдем его с помощью разрешающей функции. Если, например, fy0 (x0 , y0 ) 6= 0, то
28
§ 1. Предельные полезность и норма замещения
29
уравнение касательной к графику разрешающей в точке (x0 , y0 ) записывается
в виде
y = y0 + ϕ0 (x0 )(x − x0 ),
причем эта прямая и будет касательной в линии уровня. Для того, чтобы переписать это уравнение в терминах функции f , воспользуемся известными формулами для вычисления производной сложной функции. Именно, продифференцируем по x равенство
f (x, ϕ(x)) = c.
Следовательно,
fx0 (x, ϕ(x)) + fy0 (x, ϕ(x))ϕ0 (x) = 0,
откуда
ϕ0 (x) = −
fx0 (x, ϕ(x))
.
fy0 (x, ϕ(x))
В частности, полагая здесь x = x0 , получаем
ϕ0 (x0 ) = −
fx0 (x0 , y0 )
.
fy0 (x0 , y0 )
Это приводит нас к следующей форме уравнения касательной к линии уровня функции f
fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0.
(6.1)
Отсюда также следует, что вектор градиента grad f (x0 , y0 ) является вектором нормали к линии уровня в точке (x0 , y0 ).
Аналогичные формулы легко получить и в случае функции трех переменных
f ∈ C 1 (D), D ⊂ R3 . Так уравнением касательной к поверхности уровня будет
fx0 (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + fz0 (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0,
(6.2)
а градиент grad f (x0 , y0 , z0 ) будет нормалью к поверхности уровня.
1.3. Функция полезности
Основным понятием теории потребления является функция полезности
U (x, y), которая выражает меру полезности набора (x, y), где x — количество
первого товара X в наборе, а y — количества второго товара Y .
Чувствительность набора (x, y) к незначительному изменению x при фиксированном значении y называется предельной полезностью набора x и определяется как частная производная Ux0 . Аналогично предельная полезность y
определяется как Uy0 .
Линии уровня U (x, y) = c функции полезности U (x, y) в экономике часто
называют кривыми безразличия.
30
Глава 6. Функции многих переменных в экономике
1.4. Предельная норма замещения
Предельной нормой замещения (или коэффициентом эквивалентной замены) x на y в точке (x0 , y0 ) называется предел отношения − hk , когда точка
(x0 + h, y0 + k) стремится к (x0 , y0 ), оставаясь с последней на одной кривой безразличия. Предельная норма замещения обозначается M RSxy = M RSxy (x0 , y) ).
Чаще всего кривые безразличия являются графиками убывающих функций,
поэтому если точки (x0 , y0 ) и (x0 +h, y0 +k) лежат на одной кривой безразличия,
то h и k имеют разные знаки. Если, для определенности, h > 0 и k < 0, то
переход от точки (x0 , y0 ) к (x0 + h, y0 + k) соответствует тому, что мы заменили
h первого товара на −k второго, не меняя при этом уровня полезности. Поэтому
мы и говорим в данном случае о замещении одного товара другим.
Из геометрических соображений находим следующее выражение для предельной нормы замещения
M RSxy (x0 , y0 ) = − tg α,
(6.3)
где — угловой коэффициент касательной к кривой безразличия, проходящей
через точку (x0 , y0 ). Отсюда получаем равенство
M RSxy (x0 , y0 ) =
Ux0
.
Uy0
(6.4)
Следовательно, предельная норма замещения одного товара другим равна
отношению их предельных полезностей.
Экономический смысл предельной нормы замещения можно понять из следующего примера. Предположим, что M RSxy = a, то есть одна единица товара
X по вкладу в общую полезность набора (x, y) эквивалентна a единицам товара
Y.
Пусть p — цена X, а q — цена Y . Тогда стоимость набора (x, y) будет px + qy.
При замене в этом наборе одной единицы X на a единиц Y стоимость набора
изменится на aq − p. Если, наоборот, a единиц Y заменить на одну единицу X,
то стоимость изменится на p − aq.
Пусть теперь (x∗ , y ∗ ) — самый дешевый набор при заданном уровне полезности. Тогда каждое из указанных приращений цены набора неотрицательно
aq − p > 0,
Поэтому a =
p
q
p − aq > 0.
и мы получили, что
p
M RSxy (x∗ , y ∗ ) = .
q
Упражнение 6.1.
Найти предельную норму замещения x на y для функции полезности
U (x, y) = ln x + ln y в точках (3, 12), (2, 1).
Ответ: M RSxy (3, 12) = 4, M RSxy (2, 1) = 0.5
§ 2. Эластичность функции нескольких переменных
31
§ 2. Эластичность функции нескольких
переменных
Понятие эластичности для функции многих переменных вводится подобно
тому, как это было сделано выше для функций одной переменной, только с
помощью частных производных.
Пусть функция f : G → R задана на открытом множестве G ⊂ Rn . Эластичностью функции f по переменной xk в точке x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ G называется предел
f (x0 + tek ) − f (x0 ) t
Efxk (x0 ) = lim
: 0,
t→0
f (x0 )
xk
где ek — k-й вектор стандартного базиса в Rn (вектор, у которого k-я координата
равна 1, а остальные равны 0).
Из определения эластичности вытекает, что
Efxk (x) = xk
∂ ln f
(x).
∂xk
(6.5)
Свойства эластичности, сформулированные в теореме 2.1 для функций одной переменной, сохраняются. Причем свойства 1)–3) остаются без изменений,
а свойства 4) и 5) следует переформулировать на основе соответствующих правил дифференцирования композиции и обратной функции в случае многих переменных. На этом не будем останавливаться.
Тождество Эйлера (5.12) можно перевести на язык эластичностей — предположим, что функция f однородна степени λ и не обращается в нуль. Разделим
обе части (5.12) на f (x). Тогда
n
X
Efxk (x) = λ.
(6.6)
k=1
§ 3. Функции спроса
3.1. Определение функций спроса
Пусть p — цена некоторого товара X, y — цена товара Y , R — доход потребителя, U (x, y) — функция полезности, задающая степень полезности для
потребителя набора (x, y) товаров, состоящего из x единиц товара X и y единиц товара Y . Будем предполагать, что потребитель может покупать только те
наборы, стоимость которых не превосходит его дохода, то есть
px + qy 6 R.
32
Глава 6. Функции многих переменных в экономике
Предположим, что функция полезности U (x, y) имеет на множестве

 px + qy 6 R,
x > 0,

y>0
(6.7)
единственную точку глобального максимума (x∗ , y ∗ ) при любых фиксированных положительных p,q,R. Тогда функции x∗ = xD (p, q, R) и y ∗ = yD (p, q, R)
называются функциями спроса.
Смысл определения состоит в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах.
3.2. Свойства функции спроса
Бюджетное множество (6.7) представляет собой треугольник с вершинами в
точках (0, 0), (R/p, 0), (0, R/q).
Чаще всего функция полезности U возрастает по x при фиксированном y и
возрастает по x при фиксированном x. Следовательно, она принимает наибольшее значение на отрезке, соединяющем точки (R/p, 0) и (0, R/q). То есть это
происходит тогда, когда потребитель тратит на покупки весь свой доход.
Отметим, что для любого t > 0 множество

 tpx + tqy 6 tR,
tx > 0,

ty > 0
совпадает с бюджетным множеством (6.7), поэтому
xD (tp, tq, tR) = xD (p, q, R),
yD (tp, tq, tR) = yD (p, q, R).
Это означает, что функции спроса являются однородными степени 0.
Из (5.12) вытекает, что выполняются тождества Эйлера
 0
 pxp + qx0q + Rx0R = 0,

(6.8)
pyp0 + qyq0 + RyR0 = 0,
если функции спроса являются дифференцируемыми. Отсюда также вытекают
уравнения
 p
 Ex + Exq + ExR = 0,

для эластичностей.
Eyp + Eyq + EyR = 0,
§ 3. Функции спроса
33
3.3. Случай вогнутой функции спроса
Чаще всего функция полезности U является строго вогнутой. В таком случае
теорема 5.5 дает возможность найти функции спроса, конечно, при условии
выполнимости условий этой теоремы.
Пусть λ, µ, ν — множители Лагранжа, последовательно соответствующие
неравенствам из (6.7). Тогда функция Лагранжа запишется в виде
L(x) = U (x, y) + λ(R − px − qy) + µx + νy,
а условия Куна–Таккера — в виде

Ux0 (x, y) − λp + µ = 0,




 Uy0 (x, y) − λq + ν = 0,
λ(R − px − qy) = 0,


µx = 0, νy = 0,



λ > 0, µ > 0, ν > 0.
Если заранее известно, что функции спроса не обращаются в нуль, то этой
системы следует, что µ = ν = 0. В этом случае система упрощается и принимает
вид

Ux0 (x, y) − λp = 0,



Uy0 (x, y) − λq = 0,
(6.9)
λ(R − px − qy) = 0,



λ > 0.
Если Ux0 (x, y) > 0 или Uy0 (x, y) > 0 (на самом деле, часто выполняются оба
этих условия, что уже отмечалось выше), то из первых двух уравнений системы
(6.9) следует, что λ > 0. Кроме того, λ можно исключить из системы и мы
получаем систему уравнений


 M RSxy =


Ux0 (x,y)
Uy0 (x,y)
= pq ,
(6.10)
R = px + qy,
где слева в первом уравнении участвует предельная норма замещения M RSxy .
Упражнение 6.2.
Найти функции спроса для функции полезности
U (x, y) = ln x + ln y − ln(x + y).
Ответ: xD =
R
√ ,
p+ pq
yD =
R
√ .
q+ pq
34
Глава 6. Функции многих переменных в экономике
3.4. Уравнение Слуцкого
Функции спроса удовлетворяют некоторым соотношениям, которые называются уравнениями Слуцкого. Для вывода этих уравнений в случае двух товаров преобразуем выражение q(x0q + yx0R ). Для этого воспользуемся равенством
qx0q = −px0p − Rx0R , которое следует из уравнений Эйлера, а также бюджетным
равенством qy = R − px
q(x0q + yx0R ) = −px0p − pxx0R = −(px0p + x) + x(1 − px0R ) =
= (R − px)0p + x(R − px)0R = qyp0 + xqyR0 .
Разделив первое и последнее выражение на q, получим уравнение Слуцкого
x0q + yx0R = yp0 + xyR0 .
Если умножить обе части (6.11) на
R
,
xy
(6.11)
то оно приобретет вид
1 q
1
Ex + ExR = Eyp + EyR ,
β
α
где
px
qy
, β=
R
R
— соответственно доли расходов на товары X и Y в бюджете потребителя R,
а Exq , Eyp — перекрестные коэффициенты эластичности спроса, ExR , EyR — эластичности спроса по доходу.
Если количество товаров больше двух, то каждой паре товаров можно сопоставить свое уравнений Слуцкого, отличающееся от приведенного только обоуравнений
значениями. Всего для группы из n товаров можно записать n(n−1)
2
Слуцкого.
α=
Предметный указатель
поверхность уровня, 28
полезность
предельная, 29
предельная
величина, 17
производная
логарифмическая, 9
процентная ставка, 4
проценты
простые, 4
сложные, 4
банковский счет, 4
выпуклая комбинация, 23
выручка
предельная, 17
гессиан, 25
доходность, 10
издержки
переменные, 21
предельные, 17
средние переменные, 21
спрос
неэластичный, 13
совершенно неэластичный, 13
совершенно эластичный, 13
эластичный, 13
стационарная точка, 25
конкурентная фирма, 19
кривая
безразличия, 29
предложения, 7
спроса, 7
теорема
Куна–Таккера, 26
критерий выпуклости, 25
неравенство Йенсена, 24
линия уровня, 28
локальный максимум
условный, 22
локальный минимум
условный, 22
локальный экстремум
условный, 22
уравнение
Слуцкого, 34
связи, 22
условия
Куна–Таккера, 26
множество
выпуклое, 23
множество уровня, 28
множители
Лагранжа, 23
формула
Эйлера, 27
функция
строго вогнутая, 24
Лагранжа, 23
вогнутая, 24
выпуклая, 24
нормой замещения
предельная, 30
отрезок, 23
35
36
Предметный указатель
однородная, 26
полезности, 29
производственная, 27
Кобба–Дугласа, 27
спроса, 32
строго выпуклая, 24
цена
равновесная, 7
эластичность, 11, 31