Общее равновесие в экономике c производством: «экономика

Ю.В.Автономов
НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2014
Общее равновесие в экономике c
производством:
«экономика Робинзона Крузо»
Модель экономики с одним потребителем, одним
производителем и двумя благами
Множество Парето оптимальных распределений
Равновесия по Вальрасу
Модель
• Два блага (1 и 2), начальные запасы этих благ в
экономике: ω1 и ω2, они принадлежат потребителю
• Один потребитель с функцией полезности UA(x1A, x2A)
• Одна фирма-ценополучатель, производящая благо 2
из блага 1 по технологии y2 = f(x1), где
x1 – затраты 1 блага, y2 – выпуск 2 блага
• Прибыль фирмы полностью принадлежит
потребителю
• «Состоянием экономики», или «распределением»,
мы будем называть вектор (x1A, x2A, x1, y2)
Допустимые и Парето-оптимальные
состояния экономики
• Будем называть «допустимыми» те состояния
экономики, в которых:
 x1 A + x1 ≤ ω1
 A
 x2 ≤ ω2 + y2
 y ≤ f (x )
1
 2
• Будем называть допустимое состояние экономики
( xˆ1 A , xˆ2 A , xˆ1 , yˆ 2 ) «Парето-оптимальным», если не
существует другого допустимого состояния ( x1 A , x2 A , x1 , y2 )
такого, что U A ( x1 A , x2 A ) > U A ( xˆ1 A , xˆ2 A ) .
Графическая модель экономики с одним
потребителем, двумя благами и одной
фирмой
Внутренние Парето-оптимальные
состояния: условие касания
•
•
•
Будем называть состояние экономики (x1A, x2A, x1, y2) «внутренним»,
если x1A, x2A, x1, y2 > 0.
Если предпочтения строго монотонны и выпуклы, кривые
безразличия гладкие, а производственная функция непрерывная и
гладкая*, то необходимым условием Парето-оптимальности
внутреннего состояния экономики будет касание кривой
безразличия потребителя и графика производственной функции
фирмы:
Если же, в дополнение к перечисленному выше, производственная
функция вогнута, то условие касания будет необходимым и
достаточным для Парето-оптимальности внутреннего состояния
экономики.
Доказательство?
* Формально: принадлежит классу гладкости C1.
Примеры нарушения условия
касания:
Невыпуклые предпочтения
Разрывная / не гладкая / не
вогнутая производственная
функция
Примеры нарушения условия
касания:
Угловые (граничные) состояния экономики
Поиск Парето-оптимальных
распределений: условия первого
порядка
A
A
A
Аналитически, Парето-оптимальные
состояния находятся решением
следующей задачи:
Если предпочтения монотонны, все
три ограничения превращаются в
равенства. Это позволяет выразить
x1A, x2A и y2 через x1:
 A max
U ( x1 , x2 )
A
 x1 , x2 , x1 , y2
x A + x ≤ ω
1
1
 1
 x2 A ≤ ω 2 + y2

 y2 ≤ f ( x1 )
Если функция полезности квазивогнута (если она представляет выпуклые
предпочтения, это должно быть так) и производственная функция вогнута,
то условия первого порядка необходимы и достаточны:
Равновесие по Вальрасу в
экономике Робинзона Крузо
Вектор цен ( pɶ1 , pɶ 2 ) и состояние ( xɶ1 A , xɶ2 A , xɶ1 , yɶ 2 )
составляют равновесие по Вальрасу в «экономике
Робинзона Крузо», если:
A
A
1) ( xɶ1 , xɶ2 ) является решением задачи потребителя:
A
A
A
 max
U
(
x
,
x
1
2 )
 x1A , x2 A ≥0

 pɶ1 x1 A + pɶ 2 x2 A ≤ pɶ1ω1 + pɶ 2ω2 + π ( pɶ1 , pɶ 2 )
2) ( xɶ1 , yɶ 2 )
является решением задачи фирмы:
 max pɶ 2 y2 − pɶ1 x1
x , y ≥0
1 2
 y2 ≤ f ( x1 )
A
A
3) Рынки уравновешены: x1 + x1 = ω1 , x2 = ω 2 + y2
Равновесие по Вальрасу: иллюстрация
До того, как мы начнем рисовать, давайте сравним уравнения
бюджетной линии потребителя и изопрофиты в равновесии:
Равновесие по Вальрасу: иллюстрация