Летняя школа НИУ ВШЭ и Фонда Егора Гайдара Вступительное

Летняя школа НИУ ВШЭ и Фонда Егора Гайдара
Вступительное испытание
МАКРОЭКОНОМИКА
Май, 2014
Составляя данное задание, мы ставили две цели: произвести отбор в летнюю школу
НИУ ВШЭ – Фонд Гайдара, а также оценить Ваш текущий уровень владения предметом. Поэтому мы ожидаем, что какие-то задачи для Вас покажутся слишком простыми,
другие – слишком сложными. Постарайтесь решить как можно больше задач, не делайте поспешных выводов по слишком простым задачам, и не расстраивайтесь, если
какие-то задачи Вы решить не сможете: ровно на такой результат и нацелено данное
задание.
Во время выполнения задания Вам разрешается пользоваться любыми источниками, однако запрещается обсуждать эти задания с кем бы то ни было. Если Вы непонимаете условие какой-то задачи, либо считаете, что какая-то задача сформулирована
некорректно, напишите об этом в решении и постарайтесь дать лучшее решение, которое Вы можете дать (возможно, введя какие-то новые предпосылки). Если мы обнаружим, что задание выполнено несамостоятельно, работа будет снята с конкурса.
Чтобы лучше понять Ваш уровень владения предметом, мы попросим Вас составить
отчет о выполнении задания, в котором указать общее время, затраченное на выполнение работы, источники, которыми Вы пользовались, а также затруднения, с которыми
Вы столкнулись. Эта информация НЕ БУДЕТ использована для конкурсного отбора,
но будет использована для оценки текущего уровня владения предметом. Отчет приложите к самому заданию. Отсутствие отчета не будет препятствием для поступления
в летнюю школу, однако не позволит учесть Ваши специфические потребности при
составлении плана занятий.
Задача 1 (Определение ВВП, дефлятор). Предположим, что экономика производит
только два товара, A и B, данные о рыночной стоимости и объеме производства которых представлены в следующей таблице 1. Полагая, что 2012 год является базовым,
определите номинальный ВВП, реальный ВВП и дефлятор каждого года. Используя
полученные результаты, оцените тем прироста выпуска и уровень инфляции в рассматриваемом промежутке времени.
Задача 2 (AD/AS). Экономика изначально находится в состоянии долгосрочного равновесия, при этом уравнение кривой совокупного спроса имеет вид:
Y = 1500 − 200P,
1
(1)
Таблица 1: Данные о ценах и объемах производства
2012 г.
2013 г.
Цена
Объем
Цена
Объем
производства
производства
Товар A
20
300
25
400
Товар B 100
60
80
40
где Y – реальный выпуск, а P – уровень цен. Изначально P = 2 21 . Увеличение государственных расходов товаров и услуг привело к сдвигу кривой совокупного спроса в
новое положение, в результате оно задается следующим уравнением:
Y = 1600 − 200P.
(2)
В краткосрочном периоде цены жесткие. Определите равновесные значения выпуска и
уровня цен в следующие моменты времени:
1. До шока
2. В краткосрочном периоде после шока
3. В долгосрочном периоде после шока
Задача 3 (AS-AD и количественная теория денег). Цены в краткосрочном периоде
жесткие, а совокупный спрос задается количественной теорией денег. Скорость обращения денег постоянна. Изначально экономика находится в состоянии долгосрочного
равновесия, затем денежная масса увеличивается с 200 до 220. В долгосрочном периоде
после этого шока выпуск достигает значения 100, а уровень цен значения 2 51 . Определите выпуск и уровень цен в краткосрочном периоде, то есть сразу после указанного
шока.
Задача 4 (AS-AD, открытые вопросы). В рамках модели AS-AD проанализируйте
краткосрочные и долгосрочные последствия следующих шоков:
1. Рост пенсий
2. Рост пособий по безработице
3. Рост налогов на бизнес
Задача 5 (IS-LM). Ответьте на следующие вопросы в рамках модели IS-LM. Продемонстрируйте Ваши ответы на рисунке в координатах выпуск — ставка процента.
1. Как повлияют следующие шоки на равновесные выпуск и реальную ставку процента:
(a) Сокращение денежной массы
2
(b) Рост инфляционных ожиданий
2. Предположим, что экономика изначально находится на потенциальном уровне,
и правительство увеличивает государственные закупки товаров и услуг. Какую
политику должен провести центральный банк, чтобы суммарное воздействие фискальной и монетарной политики не привело к инфляции?
3. Придумайте пример фискальной политики, в результате проведения которой в
равновесии наблюдался бы одновременно рост инвестиций и рост ставки процента.
Задача 6 (Вариация на тему IS-LM, IS-MP). В данном задании Вам предлагается
рассмотреть аналог модели IS-LM, в котором вместо предпосылки об экзогенности денежной массы используется более реалистичная предпосылка о том, что центральный
банк придерживается правила проведения монетарной политики, известного как правило Тэйлора. В этом случае вместо кривой LM мы рассмотрим кривую MP (абривиатура
от “Monetary Policy”).
Потребительские расходы C в экономике определяются располагаемым доходом Y D :
C = 40 + 0.8Y D
(3)
Инвестиционные расходы I зависят только от реальной ставки процента r:
I = 200 − 20r,
(4)
где ставка r выражена в процентах. Например, если ставка составляет 5%, то инвестиционные расходы равны 100. Государственные закупки товаров и услуг G равны
налогам T и равны 300. Располагаемый доход выражается через выпуск Y и налоги:
YD =Y −T
(5)
При этом выпуск распределяется между потребительскими расходами, государственными закупками товаров и услуг и инвестиционными расходами:
Y =C +I +G
(6)
Центральный банк следует монетарному правилу Тейлора, устанавливая номинальную ставку процента i в зависимости от отклонения инфляции π от целевого уровня
π ∗ и отклонения выпуска Y от потенциального уровня Y ∗ :
i = 5% + π ∗ + 1.5 · (π − π ∗ ) + 0.5 ·
Y −Y∗
· 100%
Y∗
(7)
Для упрощения предположим, что номинальная и реальная ставки процента связаны
следующим образом:
i = r + πe,
(8)
где π e – инфляционные ожидания.
В заданиях, в которых не сказано обратное, полагается, что π = 0, π e = 0 и π ∗ = 0.
3
1. Выразите уравнение кривой IS. Для этого в условие чистоты рынков (6) подставьте функцию потребления (3), функцию инвестиций (4) и определение располагаемого дохода (5). В результате у Вас должна получиться функция, связывающая
выпуск Y и реальную ставку процента r.
2. Предположим, что выпуск находится на потенциальном уровне, Y = Y ∗ . Определите равновесные значения следующих переменных: номинальная и реальная
ставки процента, r и i, фактический и потенциальный выпуск, Y и Y ∗ , располагаемый доход Y D , потребительские расходы C, инвестиционные расходы I.
В дальнейших пунктах данного задания мы полагаем, что потенциальный выпуск
известен и равен значению, найденному в данном пункте.
3. Выразите уравнение кривой монетарной политики MP. Для этого в правило Тейлора (7) подставьте найденное значение потенциального выпуска, уравнение (8)
и условие задачи π = π e = π ∗ = 0. В результате у Вас должно получиться уравнение, связывающее Y и r.
4. Изобразите в координатах (Y, r) линии IS и MP.
5. Предположим, что по-прежнему выполняется π e = π ∗ = 0, но фактическая инфляция выросла до 4%. Как изменится положение кривой MP? Выразите новое
уравнение кривой MP. Найдите новые равновесные значения r, i, Y , Y D .
6. Предположим теперь, что ценральный банк придерживается правила Тейлора (7)
только до тех пор, пока номинальная ставка, получаемая в соответствии с правилом Тейлора, остается положительной, а в противном случае устанавливает нулевую ставку процента. Другими словами, центральный банк сначала рассчитывает
целевое значение ставки процента в соответствии с:
i0 = 5% + π ∗ + 1.5 · (π − π ∗ ) + 0.5 ·
Y −Y∗
· 100%,
Y∗
(9a)
а затем устанавливает фактическую ставку процента следующим образом:
(
i0 if i0 ≥ 0
i=
(9b)
0
if i0 < 0
(a) Изобразите новую кривую MP.
(b) Предположим, что инвесторы ожидают дефляцию, и ожидаемся инфляция
π e снижается до (−9%). Как сдвинется кривая MP? Определите новые равновесные значения r, i, Y , Y D .
(c) Предположим теперь, что изначально π = π ∗ = π e = 3%, а инфляционные
ожидания вновь сокращаются на 9%, достигая на этот раз уровня π e = −6%.
Изобразите новое положение кривых IS и MP до и после шока. Найдите
новые равновесные значения r, i, Y , Y D .
4
7. Исходя из решения предыдущего пункта, объясните, почему небольшое положительное значение целевой инфляции π ∗ в сравнении с ситуацией π ∗ = 0 позволит
достичь меньшего падения выпуска в период рецессии.
Задача 7 (Модель Солоу). Рассмотрим экономику, описываемую моделью Солоу в
непрерывном времени. Пусть Y – выпуск, K – капитал, L – труд, A – параметр эффективности, A · L – эффективный труд, y = Y /AL – производительность эффективного
труда, k = K/AL – капиталовооруженность эффективного труда. Производственная
функция в интенсивной форме имеет вид y = f (k). Норму амортизации обозначим δ,
а норму сбережений s.
Предположим, что темп прироста численности населения составляет 3% в год, n ≡
L̇/L = 0.03, а тем технического прогресса составляет 2% в год, g ≡ Ȧ/A = 0.02. Известно, что при k = k0 (см. рисунок ниже) доля дохода капитала в общем доходе составляет
1/3, однако при других значениях k доля капитала может отличаться (это означает,
что производственная функция необязательно имеет форму Кобба-Дугласа). Используя эти данные, а также данные, представленные внизу на диаграмме Солоу, ответьте
на вопросы под диаграммой.
1. Чему равна норма сбережений?
2. Чему равно значение k0 ?
3. Чему равна норма амортизации?
4. Чему равна производительность эффективного труда при k = 10?
5. Каков темп прироста капиталовооруженности эффективного труда при k = k0 ?
6. Каково значение ставки процента при k = k0 ?
5
7. Каков темп прироста производительности эффективного труда при k = k0 ?
8. Каков темп прироста общего выпуска в экономике при k = 10?
9. Каковы темпы экономического роста при k = k0 ?
10. Предположим, что золотое правило запаса капитала соответствует капиталовооруженности эффективного труда, равной 10. Определите долю дохода капитала
в общем доходе и ставку процента при k = 10.
Задача 8 (Анализ функции заработной платы). Предположим, что производительность труда y является только функцией от капиталовооруженности труда k:
y = f (k)
(10)
где функция f (k) является дважды дифференцируемой, положительно определенной
для любого k > 0, возрастающей и вогнутой по k:
∀k > 0 : f (k) > 0
f 0 (k) > 0
f 00 (k) < 0
(11a)
(11b)
(11c)
Пусть W (k) – функция заработной платы. Можно показать, что в условиях совершенной конкуренции и постоянной отдачи от масштаба по паре (труд, капитал) функция
заработной платы определяется следующим образом:
W (k) = f (k) − f 0 (k) · k
(12)
Принимая определение (12) функции заработной платы W (k)заданным, докажите следующие свойства данной функции:
1. Функция W (k) является возрастающей по k
2. W (0) = f (0) (примите в расчет, что при k → 0+ , f 0 (k) может стремиться к +∞,
поэтому в произведении f 0 (k) · k возникает неопределенность)
3. Функция W (k) положительно определена
4. lim
k→∞
W (k)
k
=0
5. Продемонстрируйте свойства, доказанные в предыдущих пунктах, на примере
производственной функции Кобба-Дугласа.
Задача 9 (Рамсей-Касс-Купманс). Рассмотрим модель Рамсея-Касса-Купманса, в которой неожиданно вводится временный налог на отдачу от капитала. Изобразите, какая
будет динамика экономики на фазовой плоскости в координатах (капиталовооруженность эффективного труда — потребление в расчете на единицу эффективного труда),
6
а также схематично изобразите графики динамики во времени следующих переменных: капиталовооруженность эффективного труда, производительность эффективного
труда, потребление в расчете на единицу эффективного труда, логарифм общего выпуска, логарифм потребления, логарифм капитала, логарифм заработной платы, темп
прироста выпуска и ставка процента.
Задача 10 (Цена опциона). Индивид живет бесконечно долго и изначально находится
в состоянии “безработный”. За бесконечно малый интервал времени dt с вероятностью
λ · dt он получает предложение устроится на работу с заработной платой W , где W
– случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1], а λ – положительный параметр модели. Индивид может согласиться на полученное предложение, и
в этом случае он будет бесконечно долго получать заработную плату, на которую он
согласился, либо отказаться и ждать следующего предложения. Пусть r – рыночная
ставка процента. Определите стратегию индивида, в соответствии с которой он будет соглашаться или отказываться от предложенной работы, такую, чтобы ожидаемая
приведенная стоимость заработной платы была максимально возможной.
Отчет о выполнении задания
(Не учитывается при прохождении конкурсного отбора)
• Время, затраченное на выполнение задания
• Использованные источники: литература, страницы Википедии и т. д.
• Что для Вас показалось сравнительно сложным из того, что Вы решили?
7