1. — Математические

http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические
методы в экономике
Задание 1.
Фирма минимизирует средние издержки, которые получаются в результате
равными 30 руб./ед. Чему равны при этом предельные издержки?
Решение. Пусть C (x) − функция издержек; тогда для значения объема
производства x , при котором средние издержки минимизированы, имеем:
′
C ( x)  xC ′( x) − C ( x) 1 
C ( x) 

A′( x) = 
=  C ′( x) −
 =
 = 0,
2
x
x
x 
 x 
откуда C ′( x) = A( x) = 30 рублей за единицу – предельные издержки.
http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические
методы в экономике
Задание 2.
Считается, что увеличение реализации y от затрат на рекламу x (млн.
руб.) определяется соотношением: y = 0,1 x . Доход от реализации единицы
продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором
фирма получит максимальную прибыль.
Решение. Если считать увеличение прибыли также в миллионах рублей, то
разница между прибылью и затратами на рекламу составляет
0,02 y − x = 0,002 x − x = f ( x) .
0,001
Производная этой функции f ′( x) =
− 1 равна нулю при x = 10 −6 ; как
x
нетрудно убедиться , это точка максимума функции прибыли f (x) .
Задание 3.
Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции x
определяется как D( x) = 100 x − 1000 x
( 400 ≤ x ≤ 900 ). Функция издержек на
4
этом промежутке имеет вид : C ( x) = 50 x + x x . Найти оптимальное для
5
монополии-производителя значение выпуска продукции.
Решение. Требуется найти то значение x ∈ [400;900] , для которого разница
4
P( x) = D( x) − C ( x) = 50 x − 1000 x − x x максимальна. Имеем:
5
500 6
P′( x) = 50 −
−
x = 0;
x 5
500 6
Обозначая x = t и решая уравнение 50 −
− t = 0, откуда точка максимума
t
5
2
P( x) : x = t ≈ 345 .
1
http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические
методы в экономике
Задание 4.
Кривые Лоренца распределения дохода в некоторых странах могут быть
заданы уравнениями :
y
а) y = 0,85 x + 0,15 ; б) y = 2 − 1 .
2
x
x
A
1
Определить меру неравномерности для
y=x
указанных распределений.
B
y = f (x) C
0
1
x
Рис. 1
Решение. Рассмотрим функцию y = f (x) , характеризующую неравномерность
распределения доходов среди населения, где y – доля совокупного дохода,
получаемого долей x беднейшего населения. График этой функции называется
кривой Лоренца (рис. 1).
Очевидно, что 0 ≤ f ( x) ≤ x при x ∈ [0; 1] . и неравномерность распределения
доходов тем больше, чем больше площадь фигуры OAB. Поэтому в качестве меры
указанной неравномерности используют так называемый коэффициент Джини k,
равный отношению площади фигуры OAB к площади треугольника OAC.Тогда по
формуле вычисления площади плоской фигуры получим:
а)
1
 x2
1 0,85
x 3 0,15 x  1
 = − 0,85 ⋅ +
SOAB = ∫ (x − 0,85 x − 0,15 )dx =  − 0,85 −
= 0,052;
2
3
ln
0
,
15
2
3
ln
0
,
15


0
0
S
0,052
Тогда k = OAB =
= 0,104.
SOAC
0,5
б)
1
2
x
1
 x2
2x  1
1
 = + 1 −
SOAB = ∫ (x − 2 + 1)dx =  + x −
= 0,057;
2
ln
2
2
ln
2


0
0
S
0,057
Тогда k = OAB =
= 0,114.
SOAC
0,5
1
x
http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические
методы в экономике
2
http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические
методы в экономике
Задание 5.
Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид
p = 134 − x 2 . Найти
выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 70.
Решение. Пусть p = f (x) - кривая спроса D на некоторый товар и p = g (x) кривая предложения S, где p –цена на товар, x – величина спроса (предложения).
Обозначим через ( x0 , p0 ) точку рыночного равновесия (рис. 2).
Доход от реализации количества товара x0 по равновесной цене p0 равен
произведению x0 p0 .
p
p = f (x
pD
S
C
p0
P
D
p = g (x
x0
0
x
Рис. 2
Если предполагать непрерывное снижение цены от максимальной p D = f (0 )
x0
до равновесной p0 по мере удовлетворения спроса, то доход составит
∫ f (x )dx .
0
Величина денежных средств C =
x0
∫ f (x )dx − p0 x0
сберегается потребителями, если
0
предполагать продажу товара по равновесной цене p0 , поэтому C называется
выигрышем потребителей.
x0
Аналогично,
величина
P = p0 x0 − ∫ g ( x ) dx
называется
выигрышем
0
поставщиков. Величины C и P численно равны площадям соответствующих
криволинейных треугольников (рис. 2).
Если уравнение спроса на некоторый товар имеет вид
, то в
данном случае функция выигрыша потребителей
C ( x0 ) =
x0
∫
0
x0
x03
f ( x ) dx − p0 x0 = ∫ (134 − x ) dx − 70 x0 = 64 x0 − .
3
0
2
http://www.kvadromir.com/matmetod_v_ekonomike.html — Математические
методы в экономике
3