Глава 6. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ, РАВНОВЕСИЕ И

Глава 6. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ, РАВНОВЕСИЕ
И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА
6.1. Анализ простейших ситуаций
В экономических исследованиях производства и при принятии хозяйственных решений непрерывно расширяется использование математических методов. С XIX в. применяется математический аппарат дифференцирования, начиная с 30-х гг. XX
в. – методы математического (линейного и нелинейного) программирования, а также более сложные математические методы.
Ряд важнейших экономических законов был открыт в результате предельного (маргинального) анализа моделей производства, при котором используется математический аппарат
дифференцирования. Основные положения предельного анализа были разработаны во второй половине XIX в. Вместе с тем
практическое применение результатов предельного анализа
математических моделей не требует глубоких математических познаний и привлечения сложного математического аппарата. В экономической теории они выдаются в качестве правил
или законов экономики, которыми рекомендуется пользоваться
в хозяйственной практике.
Введенные ранее предельные показатели производительности ресурсов позволяют решать широкий спектр хозяйственных
задач, давать научно обоснованные рекомендации предпринимателям. В данном разделе приводятся простейшие ситуации
применения предельных показателей и выводится правило равенства однодолларовых предельных продуктов.
Ситуация 1. Пусть производство дополнительной продукции приносит некоторый доход. Поэтому хозяева предприятия
будут стремиться увеличивать выпуск продукции. Однако это
требует дополнительных затрат на оплату ресурсов. При увеличении выпуска только за счет затрат одного ресурса прирост
выпуска будет постепенно сокращаться (согласно закону убывающей отдачи). После достижения нулевого значения предельного продукта начнется сокращение выпуска и дохода,
происходит выход из экономической зоны.
155
Предприятие должно всегда находиться в экономической
зоне, предельные продукты всех факторов не должны иметь отрицательное значение. Если имеется n факторов Xi, i = 1,…, n,
то (при постоянстве всех остальных факторов) должны соблюдаться неравенства Y/X1  0, ..., Y/X i  0, ..., Y/Xn  0. В
случае если в качестве факторов выступают только труд L и капитал K, то условием эффективной работы предприятия является соблюдение неравенств Y/K  0 и Y/ L  0.
Ситуация 2. Пусть в результате приема дополнительного
работника (L = 1) предприятие сможет произвести 5 ед. продукции (Y = 5) и продать по цене  = 8 ден. ед. за ед. продукции. Дополнительная выручка при этом составит   Y =
8  5 = 40 ден. ед. Вместе с тем предприятие вынуждено оплатить дополнительную рабочую силу. Ценой труда в данном случае является заработная плата PL. Дополнительные затраты
производства составят PL × L.
Если дополнительные затраты меньше дополнительного дохода, то следует принять на работу еще одного работника. Так
следует продолжать до того момента, когда дополнительный
доход будет равен дополнительным издержкам. Таким образом,
критерием прекращения дополнительного приема работников
является равенство   Y = PL  L, которое можно представить
в виде Y/L = PL /.
Ситуация 3. Предприятие покупает ресурс K по цене PK и
ресурс L по цене PL. Затраты на приобретение ресурсов составляют PK K + PL L. Выпуск продукции в натуральном выражении
моделируется производственной функцией Y = f(K, L) с взаимозаменяемыми ресурсами. Продукция продается по цене  и выручка предприятия составляет   Y. Прибыль предприятия определяется разностью
 Y – (PK K + PL L).
Можно вывести условия, при которых предприятие получит
максимальную прибыль. Решение этой задачи приводится в параграфе 6.4. Результат решения имеет вид
 μK – PK =  μK – PL = 0,
(6.1.1)
где  K = Y /K и L = Y /L – предельные продукты капи156
тальных затрат и трудозатрат соответственно.
Из (6.1.1) получаем μK = PK/ и μK = PL/. Отсюда следует,
что PK / PL=  K / L , т. е. отношение цен на ресурсы равно отношению предельных продуктов этих ресурсов, или
 K / PK =  L / PL = 1/.
Следовательно, предельный продукт капитальных затрат на
одну денежную единицу цены капитала равен предельному
продукту трудозатрат на одну денежную единицу цены труда
(ставку заработной платы) и равен обратной величине цены
продукции. Именно в этом случае предприятие получает максимальную прибыль. Из сказанного сделан вывод в форме закона равенства однодолларовых предельных продуктов, который гласит: для достижения максимальной прибыли предприятию необходимо уравновесить все предельные продукты в
расчете на одну денежную единицу цены соответствующих
ресурсов производства. Отсюда следует практическое правило:
если стоимость какого-либо ресурса растет, то предприятие
должно замещать дорожающий ресурс другими ресурсами производства, цены на которые остались прежними.
В настоящей главе при моделировании применена строго
выпуклая вверх неоклассическая ПФ Y = f(X1, X2) с взаимозаменяемыми факторами при X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, где Y – объемы выпуска
единиц продукции, X1 и X2 – количества используемых ресурсов или Y = f(K, L) при K ≥ 0, L ≥ 0, где K и L – затраты капитальных и трудовых ресурсов.
6.2. Рыночное равновесие предприятия
Рассмотрим фундаментальный вопрос экономики – равновесие предприятия в рыночных условиях. Равновесие каждого
отдельного предприятия означает состояние сбалансированности покупки ресурсов и продажи производимой продукции по
рыночным ценам. Условия равновесия можно определить по
принципу “затраты – результаты” (см. параграф 1.2). Результатом производства является чистый продукт и получаемый доход в размере добавленной стоимости проданного продукта.
При этом затраты нужны только на оплату двух факторов –
труда и капитала. Полученный доход от реализации продукции
157
предприятие полностью расходует на оплату ресурсов. Предприятие должно динамично поддерживать равенство затрат и
дохода.
Оплату труда получают наемные работники в соответствии
с трудовыми контрактами. Ставки заработной платы разных категорий работников устанавливаются на рынке труда. Плату за
использование производственного капитала получают инвесторы. Денежный капитал предприятие может получить в форме
банковского кредита, тогда ценой является процентная ставка
банка. Плату за использование собственных денежных средств
и основных производственных фондов (ОПФ) получают хозяева
предприятия (акционеры, участники и т.д.) в виде дивидендов и
других выплат из прибыли. Цены на оплату разных видов капитала устанавливаются на соответствующих рынках. Однако в
учебной литературе, как правило, использование капитала трактуют исключительно как аренду по цене арендной платы.
Предприятие должно динамично поддерживать равенство
затрат и дохода. В связи с возможными изменениями цен на ресурсы структура затрат может изменяться. Вместе с тем затраты
ресурсов должны покрываться за счет выпуска и реализации
продукции. Цена на продукцию также может изменяться. Равновесие будет достигнуто, если цены на оплату труда и капитала будут удовлетворять владельцев этих ресурсов.
Для объяснения задачи рыночного равновесия предприятия
обратимся к графикам, изображенным на рис. 6.1.
Выпуск продукции будем моделировать производственной
функцией общего вида, выражающей стоимость произведенной
продукции Q = f(K, L), где K и L – капитальные и трудовые затраты соответственно. От продажи продукции предприятие получит денежный доход в объеме Q =   Y, где  – цена продукции. Денежные затраты на оплату ресурсов составляют соответственно PK K и PL L, где PK и PL – обобщенные цены капитальных и трудовых ресурсов соответственно. Если предприятие использует только арендованные производственные фонды
(K), то показателем PK является ставка арендной платы.
Соотношение затрат ресурсов производства при неизменном выпуске продукции может меняться. Графически эквива158
лентная взаимозаменяемость ресурсов отражается линией изокванты (см. рис. 6.1,а). Каждой точке одной изокванты соответствует неизменный доход. Для меньшего выпуска продукции
и меньшего дохода Q1 требуется меньше денежных средств на
оплату ресурсов, чем для большего выпуска и дохода Q2. В результате изменения цен на ресурсы возможно изменение структуры затрат. Может оказаться, что при неизменном выпуске и
доходе Q затраты более дорогого ресурса следует сократить и
высвободить часть денежных средств для увеличения затрат на
другой ресурс. Тогда точка на линии изокванты Q изменит свое
положение.
Все возможные распределения денежных средств без остатка для покупки ресурсов при определенных ценах отображают в виде изокосты (рис. 6.1,б). Изокоста описывается линейной функцией вида М = PL L + PK K, где М – суммарные затраты на оплату ресурсов. Преобразуем уравнение изокосты
следующим образом:
K = (– PL/PK) L + М /PK.
Угол наклона изокосты определяет угловой коэффициент
(– PL/PK), знак минус отражает отрицательный наклон изокосты.
Теперь мы имеем зависимость K(L), график которой будем обозначать буквой S.
K
K
K
Q
а
Q2
Sc
Sa
K1
Q1
Sc
Sb
K*
Sa
b
L
а
Lb La
L
б
Рис. 6.1
L*
в
L
При увеличении цены на труд абсолютное значение углового коэффициента изокосты увеличивается. Поэтому на рис.
6.1,б при неизменных затратах, например М1, линия изокосты Sa
переместится в новое положение Sb. Это означает, что при неизменных суммарных затратах М и оплате капитала K1 до изменения углового коэффициента можно оплатить трудозатраты в
количестве La, а после изменения – в количестве Lb, (La > Lb).
159
Перейдем теперь к рассмотрению рис. 6.1,в, отражающего
совместное изображение изокванты Q с линиями Sa и Sc. Линия
Sa, соответствующая суммарным затратам М, пересекает изокванту в двух точках (а и b). Очевидно, что доход Q в диапазоне
от точки a до точки b требует меньших денежных затрат, чем М
при любом сочетании затрат на ресурсы K и L.
Наличие заштрихованного сегмента свидетельствует о том,
что предприятие может либо уменьшить затраты на оплату ресурсов, либо произвести больше продукции. Увеличению выпуска соответствует смещение изокванты Q вправо вверх,
уменьшению денежных затрат соответствует смещение линии
Sa влево вниз. При неизменных ценах на ресурсы происходит
параллельное смещение линии изокосты.
При увеличении цены PK и/или уменьшении цены PL изменяется значение углового коэффициента, крутизна наклона
(острый угол) уменьшается. Если вместе с изменением углового
коэффициента сократить суммарные затраты с М1 до М,
(М1 > М), то линия изокосты может принять новое положение
Sc, как показано на рис. 6.1,б. В этом случае на рис. 6.1,в линия
Sc также примет новое положение.
Смещение может продолжаться до того момента, когда изокванта и изокоста будут иметь единственную точку касания
(L*, K*). Точка касания изокванты и изокосты определяет наилучшее распределение средств на покупку ресурсов для производства заданного объема выпуска продукции. И наоборот, при
заданной сумме денежных затрат на ресурсы такая точка соответствует максимальному выпуску. В этой точке денежные затраты равны М*= PL L* + PK K*.
Предприниматели стремятся к достижению наилучших результатов хозяйственных деятельности предприятия. Такие результаты будут получены, если удастся стабильно получать доход и распределять затраты, как показано в точке касания изокванты и изокосты. Поэтому точка касания изокванты и изокосты называется точкой рыночного равновесия предприятия. Более высоких результатов, измеряемых денежным доходом, при фиксированных денежных затратах предприятие не
может достигнуть. Сократить суммарные затраты при заданном
160
выпуске продукции предприятие также не может. Рыночного
равновесия предприятие достигает только в случае касания изокванты и линии изокосты. Переход из одной точки равновесия в
другую происходит в случаях изменения цен на ресурсы и/или
на выпускаемую продукцию.
Из сказанного следует, что рыночное равновесие предприятия может быть определено решением математической задачи
максимизации дохода при ограничении денежных средств на
оплату ресурсов либо решением задачи минимизации суммарных затрат на оплату ресурсов при заданном объеме выпуска
продукции или желаемом размере дохода.
6.3. Решение задачи о максимизации дохода
методом неопределенных множителей
Предельный анализ позволяет определять рыночное равновесие предприятия. Условия достижения равновесия выводят
путем решения математической задачи о максимизации дохода
при ограниченных возможностях покупки ресурсов. Для решения задачи применяется метод неопределенных множителей
Лагранжа. Производство продукции отражается в виде двухфакторной производственной функции произвольной математической формы Y =f(K, L), свойства которой указаны в параграфе 6.1. Выпуск продукции Y и ресурсы производства K и L
измеряют в натуральных единицах. Предприятие покупает ресурс K по цене PK, ресурс L – по цене PL и продает продукцию
по цене . Задачу решают с целью максимизации дохода Y от
продажи продукции при ограниченной сумме средств на оплату
ресурсов М = PL L + PK K. При достижении равенства затрат на
оплату труда и использование капитала доходу наступает рыночное равновесие предприятия.
Математическая постановка задачи имеет вид
Y = f(K, L)  max,
М = PL L + PK K.
Для отыскания необходимых условий экстремума составляем функцию Лагранжа:
 (K, L, ) =  f(K, L) + (М – PL L – PK K).
(6.3.1)
Затем берем частные производные выражения (6.3.1) по
161
факторам K и L и приравниваем их к нулю. Для нахождения
точки рыночного равновесия требуется решить систему из двух
уравнений:
 /K =   K – PK = 0,
 /L =   L – PL = 0,
(6.3.2)
где  K – предельный продукт капитала,  L – предельный продукт труда,  – множитель Лагранжа.
В нашем случае система (6.3.2) имеет единственное ненулевое решение. На основании решения этой системы уравнений
можно сделать следующие выводы.
Первый вывод состоит в том, что предприятие находится в
точке рыночного равновесия в случае равенства однодолларовых предельных продуктов всех ресурсов производства. Математически этот вывод выражается следующей формулой:
 K / PK =  L / PL.
(6.3.3)
Второй вывод на основании (6.3.3) в математической форме можно записать так:
PL / PK =  L /  K .
(6.3.4)
Это означает, что отношение цен на ресурсы производства
равно отношению предельных продуктов этих ресурсов.
Третий вывод можно сделать, если подставить отношение
предельных продуктов
 L /  K = ( Y/ L) : ( Y/ K)
в формулу (6.3.4).
Тогда в результате применения теоремы о дифференцировании неявно заданной функции получаем
( Y/ L) : ( Y/ K) = – d K / d L = PL / PK.
(6.3.5)
Вместе с тем из параграфа 6.2 известно, что угловой коэффициент линии изокосты равен PL / PK. Следовательно, в точке
равновесия предельная норма замещения ресурсов (– dK /dL)
равна значению углового коэффициента изокосты (PL / PK).
Приведем решение этой задачи на примере производственной функции Кобба – Дугласа Y = a K L ,  +  = 1.
В этом случае функция Лагранжа имеет вид
 (K, L,) =  a K L  +  (М – PL L – PK K).
Для определения условий равновесия предприятия возьмем
162
частные производные по переменным K, L и приравняем их к
нулю:
 /K =  aK - 1L –  PK = 0,
 /L =  a K L  - 1 –  PL = 0.
Отсюда дополнительно следует, что PL L /PK K =  /, т.е.
отношение стоимостей ресурсов производства равно отношению значений эластичностей выпуска по затратам этих
ресурсов.
6.4. Решение задачи о максимизации прибыли
методом дифференцирования
Рассмотрим вариант предельного анализа, в котором возможно применение прямого дифференцирования целевой функции. Производство моделируется на основе принципа прибыльности (см. параграф 1.3). Поэтому в постановке и решении этой
задачи в качестве целевой функции выступает прибыль предприятия. Особенность задачи состоит в том, что конкретный
вид математической формулы производственной функции не
влияет на результаты решения. Полученные в результате исследования выводы весьма существенны в условиях быстро меняющихся цен на ресурсы и на производимый товар. Предприниматель стремится максимизировать прибыль предприятия от
продажи произведенного товара. Для достижения этой цели он
может варьировать затраты ресурсов производства.
В задаче фигурирует модель предприятия с выпуском продукции в натуральном выражении в зависимости от факторов
производства. В качестве факторов производства могут выступать, например, затраты трудовых и капитальных ресурсов. Цены на расходуемые в производстве ресурсы могут меняться, поэтому интерес представляют разные стоимостные соотношения
затрат на покупку ресурсов и получаемых результатов производственной деятельности. Результаты оцениваются по значению целевой функции, которая выражает получаемую прибыль.
Для примера, иллюстрирующего метод анализа, достаточно наличия двух факторов. Будем применять производственную
функцию, свойства которой указаны в параграфе 6.1,
Y = f(X1, X2), где Y – объем выпуска продукции в натуральных
163
единицах измерения, X1 и X2 – затраты ресурсов в натуральном
выражении.
Задача анализа ставится следующим образом.
Для производства продукции в рыночных условиях предприятие покупает первый ресурс в количестве X1 по цене P1,
второй ресурс в количестве X2 – по цене P2 и продает продукцию в объеме Y по цене . Задача состоит в том, чтобы найти
условия использования ресурсов, при которых прибыль предприятия максимальна. При этом предприятие располагает денежными средствами, которые может израсходовать на первый
ресурс в сумме P1 X1, а на второй ресурс – в сумме P2 X2. Затрачиваемые на ресурсы денежные средства M = P1 X1 + P2 X2 не
должны превышать полученный доход предприятия  Y. Математическая формула прибыли имеет вид
R =  Y – (P1 X1+ P2 X2), где Y = f(X1, X2).
Максимум прибыли находится в точке экстремума целевой
функции R. Экстремум находят, приравняв к нулю производные
целевой функции:
 R/ X1 =  μ1 – P1 = 0,
 R/ X2 =  μ 2 – P2 = 0.
(6.4.1)
Здесь μ1 =  Y/ X1 и μ2 =  Y/ X2 – предельные продукты от затрат соответствующих ресурсов.
При распределении средств на покупку ресурсов в объеме
X1 и X2 согласно равенствам (6.4.1) предприятие будет иметь
максимум прибыли. При любом ином распределении средств
оно получит меньше прибыли.
Условия получения максимальной прибыли (6.4.1) дают основание для формулирования ряда выводов.
Из системы равенств (6.4.1) получаем
P1 =  μ1,
P2 =  μ2 .
(6.4.2)
Значит, первый вывод состоит в том, что в точке достижения максимальной прибыли стоимости предельных продуктов
равны ценам на соответствующие ресурсы.
Отсюда следует правило для принятия практических решений: соотношение затрат на ресурсы изменять до тех пор, пока
стоимость каждого из предельных продуктов (т.е. прирост вы164
пуска продукции при увеличении расхода первого или второго
ресурса на единицу) при расчете ее по рыночной цене не окажется равной цене соответствующего ресурса.
Из (6.4.2) получаем
μ1 / P1 = μ2 / P2.
(6.4.3)
Следовательно, второй вывод состоит в том, что условием
получения максимальной прибыли является равенство однодолларовых предельных продуктов. Здесь строго математически
вновь выведено правило равенства однодолларовых предельных
продуктов. Условие (6.4.3) по экономическому смыслу совпадает с (6.3.3).
Третий вывод в математической форме можно записать:
P1 / P2= μ1 / μ2.
(6.4.4)
Это означает, что отношение цен на ресурсы производства
равно отношению предельных продуктов этих ресурсов. Этот
вывод по экономическому смыслу совпадает с (6.3.4).
Четвертый вывод можно сделать на основании (6.4.4) в результате применения теоремы о дифференцировании неявно заданной функции. Тогда имеем
( Y/ X1) : ( Y/ X2) = – d X2 / d X1 = P1 / P2.
(6.4.5)
Следовательно, в точке экстремума предельная норма замещения ресурсов (– d X2 / d X1) равна значению модуля углового коэффициента линии изокосты (P1 / P2). Этот результат по
экономическому смыслу совпадает с (6.3.5).
Пятый вывод основан на результатах анализа денежного
выражения прибыли
R =  Y – (P1 X1 + P2 X2) =  Y – M.
В этом случае существует единственная точка максимума
прибыли от продажи продукции. В точке максимума ресурсы
используются оптимально. Поэтому между выпуском продукции Y и суммарными затратами M устанавливается взаимно однозначное соответствие Y = Y(M) и M = M(Y). В точке максимума прибыли производная
dR / dY =  – dM / dY = 0.
Отсюда следует, что
dM /dY = .
(6.4.6)
Итак, пятый вывод из анализа модели состоит в том, что
165
предельные затраты производства по выпуску продукции равны цене на производимую продукцию. Проверка выполнения условия (6.4.6) является наиболее простым способом анализа хозяйственных результатов деятельности предприятия. Если предельные издержки производства dM /dY не равны цене  на продукцию, то при сложившихся обстоятельствах следует проводить более глубокий анализ причин нарушения этого условия.
Заметим, что проверка существования глобального максимума функции прибыли R в случае неоклассической ПФ
Y = f(X1, X2) может быть проведена с использованием так называемых условий устойчивости по Хиксу, которые заключаются
в том, что для любого ненулевого отклонения (dX1, dX2), при котором dR = 0, дифференциал второго порядка должен быть
меньше нуля (d2R < 0). Необходимым и достаточным условием
устойчивости по Хиксу является выполнение неравенства
d2R = (f11 dX12 + 2 f12 dX1 dX2 + f22 dX22) < 0, где
f11 =  2Y/ X12, f22 =  2Y/ X22, f12 =  2Y/( X1,  X2), (dX1, dX2) ≠
0.
Достаточным условием этого является выполнение неравенств f11 < 0, f12 < 0, f11 f12 – (f12)2 > 0 при всех X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
Последнее означает, что поверхность ПФ должна быть строго
выпуклой вверх при всех X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
6.5. Условия общего межотраслевого равновесия.
Коробка Эджворта
Общее межотраслевое равновесие – состояние всех отраслей, при котором максимальный выпуск продукции производится с использованием ограниченного общего количества ресурсов. Ресурсы можно свободно перераспределять между отраслями. Первую постановку такой задачи и ее решение дал
швейцарский экономист Л. Вальрас.
Определим межотраслевое равновесие на примере двух отраслей, которые имеют ограниченные суммарные трудовые ресурсы и совокупный капитал. Ситуации, которые могут возникать в межотраслевом производстве, рассмотрим графически по
рис. 6.2. Здесь оси координат K1 и L1 предназначены для отражения деятельности первой отрасли, а перевернутые оси коор166
динат K2, L2 – для второй отрасли. Изокванты ПФ первой отрасли строго выпуклые влево вниз, второй отрасли – строго
выпуклые вправо вверх.
Горизонтальная штриховая линия между вертикальными
осями отражает суммарное количество трудовых ресурсов L.
Вертикальная штриховая линия аналогично отражает суммарное количество капитальных средств K двух отраслей. Изокванты, начерченные пунктиром, для первой и второй отраслей отражают производство большего количества продукции, чем
изокванты, обозначенные сплошными линиями.
При выпуске продукции двух отраслей, которым соответствуют точки А1 и В1 на сплошных линиях изоквант, имеем излишки L0 трудовых ресурсов. В этом случае соблюдается неравенство L1 + L 2 < L. В другом случае выпуску продукции двух
отраслей, которым соответствуют точки А2 и В2 на сплошных
линиях изоквант, существует “лишнее” количество K0 капитальных ресурсов и соблюдается неравенство K1 + K2 < K. За
счет резервных ресурсов K0 и L0 можно производить дополнительную продукцию и тем самым получать дополнительный
доход.
L2
Таким образом, сплошK1
d
K2
ные линии изоквант соответВ2
c
ствуют такому выпуску продукции двух отраслей, при
L1
L0
L2
А1
В1
котором соблюдаются баланb
K0
сы ресурсов
А2
a
K1 + K2 + K0 = K,
K1
K2
L1 + L 2 + L0 = L.
L1
Увеличению выпуска проРис. 6.2
дукции соответствует смещение сплошных линий изоквант навстречу друг другу в направлении пунктирных изоквант на рис.
6.2. В случае увеличения выпуска в обеих отраслях точки пересечения сплошных изоквант (а и d) сближаются до того момента, когда они сольются в точке касания. В точках касания изоквант достигается эффективное распределение ресурсов. Это
означает, что улучшить положение одной отрасли, не ухудшив
положения другой, невозможно. В случае увеличения объема
167
производства только в первой отрасли касание изоквант попадает в точку c, в случае увеличения объема производства только
во второй отрасли – в точку b. Затраты ресурсов при этом распределены единственным образом. Ресурсы используются полностью.
Из графического анализа положения изоквант в “коробке”
Эджворта вытекает, что существует бесконечное множество
точек касания изоквант, которым соответствует использование ресурсов без остатка. Эти точки лежат на линии, которая проходит через точки b и c. Такую линию называют кривой
наборов ресурсов, эффективных по Парето.
Однако более содержательная задача анализа состоит не
просто в том, чтобы задействовать все ресурсы, а в том, чтобы
на линии эффективных по Парето наборов ресурсов, проходящей через точки b и c, определить единственную точку распределения ресурсов, которой соответствует максимальный суммарный доход двух отраслей от продажи произведенной продукции. В этой точке будет соблюдаться межотраслевое
равновесие, так как любое перераспределение ресурсов не сможет обеспечить увеличение суммарного дохода.
Точку рыночного равновесия можно определить, решив математическую задачу максимизации суммарного дохода. Целевая функция в этой задаче – суммарный доход, который получат обе отрасли от реализации произведенной продукции. Задача может быть решена методом неопределенных множителей
Лагранжа.
Пусть модель каждой отрасли представляет собой производственную функцию общего вида, свойства которой указаны
в параграфе 6.1. Задача определения точки межотраслевого
равновесия ставится следующим образом:
PX X + PY Y  max,
X = f1 (K1, L1),
Y = f2 (K2, L2),
(6.5.1)
K1 + K2 = K,
L1 + L2 = L.
В этой задаче известны математические формы производственных функций, цены PX и PY на производимую продукцию X и Y,
168
суммарные расходы K и L на оплату капитала и труда соответственно. Искомыми переменными задачи являются:
X, Y – объемы производства продукции двух отраслей,
K1, K2 – капитальные затраты двух отраслей,
L1, L2 – затраты на оплату труда двух отраслей.
В процессе решения поставленной задачи сначала выводим
необходимые условия межотраслевого равновесия, приравняв к
нулю частные производные функции Лагранжа. Составляем
функцию Лагранжа
Ф = (PX X + PY Y ) – X (X – f1 (L1, K1)) – Y (Y – f2 (L2, K2)) +
+ K (K – K1 – K2) + L (L – L1 – L 2).
Находим частные производные функции Лагранжа по переменным выпуска продукции X, Y и приравниваем их к нулю:
 Ф/ X = PX – X = 0,
 Ф/ Y = PY – Y = 0,
отсюда
X = PX ,
(6.5.2)
Y = PY .
(6.5.3)
Таким образом, в точке равновесия переменные Лагранжа
X и Y равны ценам на продукцию соответствующих отраслей.
Берем частные производные функции Лагранжа по капитальным затратам и приравниваем их к нулю:
 Ф/ K1 = X  f1 / K1 – F = 0,
 Ф/ K2 = Y  f2 / K2 – F = 0.
Отсюда, подставив значения X и Y из (6.5.2) и (6.5.3), выводим
K = PX  f1 / K1,
(6.5.4)
K =PY  f2 / K2.
(6.5.5)
Показатель K имеет смысл стоимости предельного продукта капитальных затрат каждой отрасли.
Из формул (6.5.4) и (6.5.5) следует, что в точке равновесия
достигается равенство
PX  f1 / K1 = PY  f2 / K2.
(6.5.6)
В обеих частях полученного уравнения имеем произведение
цены на предельный продукт капитальных затрат. Отсюда вытекает первое условие равновесия: в точке рыночного равнове169
сия величина стоимости предельных продуктов капитальных
затрат двух отраслей одинакова.
Возьмем теперь частные производные функции Лагранжа
по трудозатратам и получим
 Ф/ L1 = X  f1 / L1 – L = 0,
 Ф/ L2 = Y  f2 / L2 – L = 0.
Отсюда, подставив значения X и Y из (6.5.2) и (6.5.3), выводим
L = PX  f1 / L1,
(6.5.7)
L = PY  f2 / L2.
(6.5.8)
Показатель L имеет смысл стоимости предельного продукта трудозатрат каждой отрасли.
Из формул (6.5.7) и (6.5.8) следует, что в точке равновесия
достигается равенство
PX  f1/ L1 = PY  f2 / L2.
(6.5.9)
В обеих частях полученного уравнения имеем произведение
цены на предельный продукт трудозатрат. Отсюда получаем
второе условие равновесия: в точке рыночного равновесия
стоимости предельных продуктов трудозатрат двух отраслей равны.
На основе выведенных условий экономического равновесия
(6.5.6) и (6.5.9) можно вычислить конкретное решение поставленной задачи максимизации суммарного дохода отраслей
(6.5.1). Для этого исключим по одной переменной в каждом условии, подставив, например, K2 = K – K1 в (6.5.6) и L 2 = L – L1
в (6.5.9). В результате получаем систему из двух уравнений с
неизвестными K1 и L1. Решив эту систему, вычисляем значения
K1, K2, L1 и L2, доставляющие экстремум целевой функции задачи (6.5.1). Оптимальные объемы производства нетрудно вычислить, подставив значения факторов в заданные производственные функции двух отраслей.
6.6. Линейное программирование
(планирование) производства
Далее нами применен предельный анализ математических
моделей линейного программирования (ЛП), т.е. оптимального
планирования производства продукции. Рассмотрены прямая и
170
двойственная задачи оптимизации текущих планов производства. Анализ относится к краткосрочному периоду времени, технологическая основа производства остается без изменения.
Для решения задачи используется матрица коэффициентов
удельных производственных затрат, которая определяется на
основе введенного представления об однородной линейной
функции производственных затрат (см. параграф 3.6) при условии замены обозначения вектора продукции буквой X. Тогда
требуемое количество ресурсов разного типа для производства
продукции можно вычислить на основании информации о векторе продукции X = (Xj), j = 1, …, n, где n – число видов продукции, и матрице коэффициентов удельных производственных
затрат A = (aij), где i = 1, …, m, m – число типов ресурсов.
Вектор X и матрицу A можно представить в следующей форме:
X1
a 11 a 12 … a1 j … a 1 n
…
… … … … … …
X = Xj
A = aj1 aj2 … aij… ajn
…
… … … … … …
Xn ,
a m1 a m2 … am j … a mn .
Полные производственные затраты Z i j каждого ресурса
i-го типа на выпуск продукции каждого вида j вычисляют поэлементным умножением строк матрицы A на элементы вектора X по формуле Z i j = a ij X j и записывают в форме матрицы
полных затрат
Z 11 Z 12 … Z1j … Z 1n
… … … … … …
Z = Z i1 Z i2 … Z ij … Z i n
… … … … … …
Zm1 Zm2 … Zmj … Z m n .
В этой матрице затраты ресурсов одного i-го типа на производство всех наименований продукции отражает соответствующая
строка Zi = (Z i1, Z i2, …, Z ij, …, Z in).
Суммарные затраты ресурсов i-го типа на производство
всех видов продукции состоит в суммировании элементов i-й
строки матрицы полных затрат по формуле Z i1 + Z i2 + … + Z ij+
… + Z in.
Каждый столбец Zj = (Z 1j, …, Zij, …, Z mj) матрицы Z выра171
жает полные производственные затраты ресурсов всех типов на
производство j-го наименования продукции в количестве Xj .
Эти затраты суммировать невозможно, т. к. в производстве используют разные ресурсы, которые измеряют в натуральных
единицах.
Другой способ вычисления суммарных затрат ресурсов состоит в умножении вектора-строки Ai матрицы A на векторстолбец X. Тогда получим суммарные затраты ресурсов одного типа i = 1, …, m на совокупный выпуск всех n видов продукции
Ai X = a i1 X1 + a i2 X2 + … + a ij X j … + a in Xn.
При наличии ограниченных количеств ресурсов можно построить модель линейного программирования деятельности
предприятия, с помощью которой можно решить задачу оптимального выбора плана производства и двойственную к ней задачу, в которой определяют цены ресурсов, ограничивающих
производство.
Ограничения количества ресурсов задают вектором b = (bi),
i = 1, , m и записывают в матричной форме соотношением
A X ≤ b или в виде системы неравенств
a 11 X1 + a 12 X2 + … + a1j Xj + … + a1n X n ≤ b1 ,
… … … … … … … … … … … … …
a i1 X1 + a i2 X2 + … + a ij Xj + … + a in X n ≤ bi ,
… … … … … … … … … … … … …
a m1 X1 + a m2 X2 +  + a mj Xj + … + a mn X n ≤ bm .
Введенная информация позволяет поставить и решить ряд
вариантов задачи линейного программирования производства с
различными целями оптимизации. Для постановки конкретной
задачи необходимо задать целевую функцию. Если целью является получение предприятием максимального дохода, то целевая функция в матричной форме имеет вид cX, где c = (ci) – вектор цен, сi – цена реализации единицы продукции i-го вида,
i = 1, , m. В развернутой форме предполагаемый размер дохоm
да записывают как сумму
 c X . Теперь задача оптимизации
i
i
i 1
может быть поставлена в двух математических формах. В развернутой форме она записывается следующим образом:
172
m
максимизировать
c X ,
i
i
i 1
при ограничениях
a 11 X1 + a 12 X2 + … + a1j Xj + … + a1n X n ≤ b1 ,
… … … … … … … … … … … … …
a i1 X1 + a i2 X2 + … + a ij Xj + … + a in X n ≤ bi ,
… … … … … … … … … … … … …
a m1 X1 + a m2 X2 +  + a mj Xj + … + a mn X n ≤ bm .
Xj ≥ 0 , j = 1, … , n.
В матричной форме запись задачи значительно упрощается
и принимает следующий вид:
c X  max,
A X ≤ b,
X ≥ 0.
Поставленная задача решается широко известными методами линейного программирования (как правило, симплексметодом) на компьютере.
6.7. Оценки ресурсов в двойственных задачах
линейного программирования
В результате математических исследований моделей линейного программирования создана теория двойственности, в которой рассматривается пара задач: прямая и двойственная. Эта
теория может быть успешно применена для решения широкого
круга экономических задач.
Связи прямой и двойственной задач имеют определенные
математические свойства, которые позволяют в процессе планирования деятельности предприятия выполнять глубокий экономический анализ производства и по результатам такого анализа принимать обоснованные хозяйственные решения. Введенные оценки факторов производства на основании теории
двойственности дают возможность получать ответы на ряд
важных вопросов планирования. Например: стимулируют ли
цены на факторы и производимую продукцию выполнять тот
или иной план; следует расширять или сворачивать производство того или иного вида продукции, покупать или продавать те
или иные материалы и сырье, используемые в производстве про173
дукции и т.д.
Рассмотрим переход от прямой задачи линейного программирования к двойственной задаче и экономический смысл прямой и двойственной задач.
Прямая задача в стандартной форме и соответствующая ей
двойственная задача имеют вид
c X  max,
b Y  min,
A X ≤ b,
A Y ≥ c,
(6.7.1)
X ≥ 0;
Y ≥ 0.
В прямой задаче целью решения является отыскание такого
вектора-столбца плана выпуска продукции X, который обеспечивает максимальный общий доход c X при условии, что задан
b – вектор-столбец ограничений всех типов располагаемых ресурсов и c – вектор-строка цен на все виды готовой продукции.
В двойственной задаче целью решения является отыскание
такого вектора-столбца Y двойственных переменных, которые
доставляют минимум целевой функции b Y при условии, что
задан вектор-столбец ограничений c (c – транспонированный
вектор цен) и вектор-строка коэффициентов целевой функции b
(b – транспонированный вектор ограничений на все типы ресурсов).
Матрицу коэффициентов A прямой задачи транспонируют в
матрицу коэффициентов A системы ограничений двойственной
задачи.
Формальные признаки пары прямой и двойственной задач.
1. Элементы вектора ограничений b прямой задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи
и, наоборот, вектор коэффициентов целевой функции c прямой
задачи становится вектором ограничений двойственной задачи.
2. Прямая задача решается на отыскание такого вектора переменных X, который доставляет максимум целевой функции, в
двойственной задаче отыскивается такое значение вектора
двойственных переменных Y, который доставляет минимум целевой функции.
3. Знаки неравенств системы ограничений прямой задачи в
двойственной задаче меняются на противоположные.
174
4. Ограничения неотрицательности переменных остаются в
силе в обеих задачах.
В теории двойственности доказана теорема, в которой утверждается: если векторы X * и Y * являются допустимыми решениями прямой и двойственной задач (6.7.1) и они удовлетворяют условию
c X * = b  Y *,
(6.7.2)
то эти векторы являются оптимальными решениями прямой и
двойственной задач. И наоборот, если векторы X * и Y * оптимальны, то выполнено условие (6.7.2)
Выясним экономический смысл информации, содержащейся в решении прямой и двойственной задач (6.7.1).
Предположим, что в решении прямой задачи доход выражается в денежных единицах, например в рублях. Произведению
c X * соответствует размерность цены, умноженной на количество продукции в натуральных единицах (руб./ед.  ед. продукции). В двойственной задаче целевая функция должна иметь ту
же размерность. Коэффициенты b измеряют в единицах количества ресурсов, следовательно, двойственные переменные Y
должны выражаться в денежных единицах за единицу ресурса.
Отсюда вытекает, что двойственные переменные представляют
собой цены ресурсов (руб./ед. ресурсов). Поэтому в нашем случае переменные Y являются внутренними ценами ресурсов производства. В теории двойственности их называют объективно
обусловленными или маргинальными оценками, теневыми,
учетными, вмененными ценами.
Детализируем информацию о решении прямой и двойственной задач.
1. В прямой задаче ЛП искомым является вектор плана
производства продукции X *, который доставляет максимум целевой функции c X. Если вектор коэффициентов целевой функции c представляет собой рыночные цены на все виды производимой продукции, то в результате решения задачи целевая
функция c X * выражает доход от реализации продукции в объеме X *.
2. В двойственной задаче искомым является вектор внутренних цен на ресурсы Y*, который доставляет минимум целе175
вой функции b Y. Если вектор коэффициентов целевой функции b представляет собой располагаемое количество ресурсов
всех типов, то в результате решения задачи целевая функция b
Y * выражает минимальные издержки предприятия на оплату
ресурсов по внутренним (теневым) ценам Y *.
3. В прямой задаче полные затраты ресурсов определяются
произведением матрицы A на вектор оптимального количества
производства продукции X *.
Ресурс каждого типа i затрачивается на производство Xj
единиц продукции j-го вида в количестве aij Xj, а на производство всех видов продукции – в количестве
Ai X = a i1 X1 + a i2 X2 + … + a ij Xj + … + a in Xn,
где Ai – i -я строка матрицы A.
Решение задачи осуществляется в условиях действия следующей системы ограничений, наложенных на ресурсы:
a 11 X1* + a 12 X2* + … + a 1n Xn* ≤ b1 ,
a 21 X1* + a 22 X2* + … + a 2n Xn* ≤ b2 ,
… … … … … … … … … …
a m1 X1* + a m2 X2* + … + a m n Xn* ≤ bm ,
где строки последовательно отражают затраты первого, второго
и т.д. ресурса в рамках заданных ограничений b.
4. В двойственной задаче полные издержки предприятия на
оплату ресурсов определяются произведением транспонированной матрицы A на вектор оптимальных внутренних цен в производстве продукции Y *.
Внутренняя цена каждого вида j-й продукции всех типов i
определяется затратами ресурсов в производстве. Она состоит
из суммы внутренних цен всех ресурсов, которая вычисляется
по формуле
A jY = a 1 j Y1 + a 2 j Y2 + … + a m j Ym ,
где A j – j-я строка матрицы A.
Решение задачи осуществляется в условиях действия следующей системы ограничений, которые наложены на цены:
a 11 Y1* + a 21 Y2* + … + a m1 Ym* ≥ c1,
a 12 Y1* + a 22 Y2* + … + a m2 Ym* ≥ c2,
… … … … … … … … … …
a1n Y1* + a 2n Y2* + … + a mn Ym* ≥ c n ,
176
где в левой стороне каждого неравенства по внутренним ценам
определена такая ценность ресурсов, которая наилучшим образом соответствует рыночным ценам производимой продукции
всех видов. Продажа имеющихся ресурсов по внутренним ценам (левая сторона ограничений) не должна давать доход
меньший, чем реализация по рыночным ценам производимой из
этих ресурсов продукции (правая сторона неравенств).
Рассмотрев модель ЛП в планировании производства продукции, можно сделать следующие выводы.
1. В случае оптимального решения прямой и двойственной
задач (c X * = b Y *) предприятию безразлично, использовать ли
ресурсы в количестве b на производство продукции в количестве X * или продать имеющиеся ресурсы в количестве b по ценам
Y *. И в том и в другом случае предприятие получает одинаковый доход. Предприятие при этом находится в точке рыночного равновесия.
2. Если точка экстремума (X *, Y *) не достигнута, то по результатам решения этих двух задач предприятию необходимо
сделать выбор: производить продукцию из располагаемых ресурсов или продавать имеющиеся ресурсы. Решить этот вопрос
можно методом предельного анализа.
3. Принимая указанные выше решения, необходимо учитывать, что ресурсы, наличие которых превышает потребности
производства, имеют двойственные оценки (внутренние цены
на предприятии), равные нулю.
6.8. Пример решения прямой и двойственной
задач линейного программирования
В качестве примера рассмотрим одну из задач линейного
программирования производства продукции в сельском хозяйстве.
Пусть фермер может вырастить и продать X1 тонн зерна и
откормить для продажи свиней в количестве X2 шт. Для производства продукции фермер имеет сельскохозяйственные машины и землю. Эти ресурсы фермер может использовать для производства товарной продукции, которую он продает на рынке и
получает некоторый доход, либо может отдать (частично или
177
полностью) в аренду и получить другой размер дохода. Экономическая целесообразность того или иного плана выясняется
путем решения прямой и двойственной задач линейного программирования.
Ограничивающими производство ресурсами являются
сельскохозяйственные машины, которые можно использовать
до b1 = 5000 машино-часов (м.-ч.) и земельный участок размером b2 = 52,5 га. Далее в задаче площадь участка выражается в
сотках (5250 сот.). Фермер продает зерно и может получить доход от его продажи по цене c1 = 2000 руб./т. Свиней фермер
может продать по цене c2 = 2000 руб./шт. Нормы использования
машин составляют: на производство одной тонны зерна – 100
(м.-ч.), на откорм одной свиньи – 25 м.-ч. Нормы использования
земли составляют: на выращивание одной тонны зерна – 10
сот., на выращивание кормовых культур для откорма одной
свиньи – 50 сот. Для удобства дальнейшего рассмотрения задачи представим ее в виде следующей таблицы:
Ресурсы производства
С/х машины
Земля
Цена
Затраты на производство продукции
зерно
свиньи
100 X1
25 X2
10 X1
50 X2
2000 руб. / т.
2000 руб. / шт.
Ресурсные ограничения
5000 м.-ч.
5250 сот.
–
На основании приведенной таблицы нетрудно поставить
прямую задачу линейного программирования, решение которой
дает оптимальный план производства продукции. При выполнении такого плана фермер получит максимальный доход.
Рассмотрим математическую постановку прямой задачи линейного программирования.
Для формирования системы основных ограничений имеем
матрицу коэффициентов производственных затрат A, векторстолбец продуктов X и вектор-столбец располагаемых ресурсов
b, которые имеют следующие значения:
 X1 
100 25 
 5000 
X

,
,
A
b

X 

 5250  .
10
50


 2


Далее систему основных ограничений можно записать в
матричной и развернутой формах следующим образом: A X  b
или
178
 100 25   X 1   100 X 1  25 X 2   5000 
 10 50    X    10 X  50 X    5250  ,

  2 


1
2
(6.8.1)
или
100 X 1  25 X 2  5000,
(6.8.2)

10
X

50
X

5250.

1
2
Коэффициенты целевой функции составляют вектор-строку
c = (2000 2000). В матричной и развернутой формах задача минимизации целевой функции записывается так:
X 
c X = (2000 2000)   1  = 2000 X1 + 2000 X2  max.
 X2 
Теперь имеем развернутую форму конкретной постановки
задачи линейного программирования
2000 X1 + 2000 X2  max,
100 X1 + 25 X2 ≤ 5000,
(6.8.3)
10 X1 + 50 X2 ≤ 5250,
X1, X2 ≥ 0.
Если, например, фермер принял к исполнению план произ 20 
водства (вектор-столбец) X  
, то он получит доход в раз
100 
мере 2000  20 + 2000  100 = 240 000 руб., при этом он использует для выполнения плана сельскохозяйственные машины
в количестве 100  20 + 25  100 = 4500 м.-ч. и землю площадью 10  20 + 50  100 = 5200 сот. Следовательно, для выполнения плана фермер использует ресурсы не полностью. Резерв
использования сельскохозяйственных машин составит 5000 –
4500 500 м.-ч., резерв использования площади земли размером
составит 5250 – 5200 = 50 сот.
Поставленная задача максимизации дохода решена, ее век 25 
тор плана имеет оптимальное значение X * = 
.

100 
Тогда максимальный доход фермера составит
c X * = 2000  25 + 2000  100 = 250000 руб.
Для выполнения такого плана потребуется применять сельскохозяйственную технику в количестве 100  25 + 25  100 =
179
5000 м.-ч. и использовать землю площадью 10  25 + 50  100 =
5250 сот. Таким образом, все ресурсы будут использованы полностью.
Перейдем к постановке и решению двойственной задачи ЛП.
Для формирования системы основных ограничений имеем
транспонированную матрицу коэффициентов производственных затрат A, вектор-столбец двойственных переменных Y и
вектор-столбец цен на произведенную продукцию, которые
имеют следующие значения:
 Y1 
100 10 
 2000 
A = 
 , Y =  Y  , c =  2000  .
25
50




 2
Система основных ограничений двойственной задачи в
матричной и развернутой форме будет иметь следующий вид:
A Y ≥ c или
100 10   Y1  100Y1  10Y2   c1 
(6.8.4)
 25 50    Y  =  25Y  50Y  ≥  c  ,

  2  1
2
 2
или
100Y1  10Y2  c1  2000,
(6.8.5)

25
Y

50
Y

c

2000.

1
2
2
Ограничения (6.8.5) соответствуют характеристикам фермерского хозяйства с учетом рыночных цен на сельскохозяйственную продукцию. Эти характеристики обусловливают минимальные внутренние цены, за которые фермеру становится выгодно продавать имеющиеся у него ресурсы вместо производства и продажи продукции на внешнем рынке.
Коэффициенты целевой функции составляют вектор-строку
b = (5000 5250). В матричной и развернутой форме задача минимизации целевой функции имеет вид
 Y1 
b Y = (5000 5250)    = 5000 Y 1 + 5250 Y 2  min.
 Y2 
Следовательно, двойственная задача имеет следующий развернутый вид:
5000 Y 1 + 5250 Y 2  min,
100 Y 1 + 10 Y 2 ≥ 2000,
(6.8.6)
25 Y 1 + 50 Y 2 ≥ 2000, Y1, Y 2 ≥ 0.
180
Можно показать, что оптимальным решением двойственной
задачи является вектор теневых (внутренних) цен на ресурсы
 320 /19 
Y* = 
. Тогда в случае продажи ресурсов по этим ценам

 600 /19 
фермер получит доход в размере
 320 /19 
b Y * = (5000 5250)  
=
600
/19


= 5000  (320/19) + 5250  (600/19) = 250000 руб.
Это означает, что в данном случае решение двойственной
задачи отвечает ограничениям (6.8.5), которые имеют вид конкретных неравенств
100  (320/19) + 10  (600/19) = 2000  c1 = 2000 руб.,
25  (320/19) + 50  (600/19) = 2000  c2 = 2000 руб.
Выполним анализ результатов решения прямой и двойственной задачи.
В случае оптимальных решений целевые функции этой пары задач равны 250000 руб. При этом должен быть выполнен
 25 
*
план производства работ X = 
 , т.е. должно быть произве100


дено 25 т зерна и откормлено 100 шт. свиней. Альтернативный
вариант – должны быть сданы в аренду имеющиеся в распоря 320 /19  16,84 
жении фермера ресурсы по ценам Y * = 
   31,58  .
600
/19

 

Таким образом, у фермера для получения одинакового дохода есть два равноценных варианта:
- либо произвести продукцию X 1* = 25 т и X 2* = 100 шт. и
продать ее по установившимся ценам c1 = 2000 руб./т и
c2 = 2000 руб./шт. соответственно (доход составит 250000 руб.);
- либо отказаться от производства продукции и сдать в
аренду имеющиеся ресурсы по внутренним ценам, сельскохозяйственные машины в количестве b1 = 5000 м.-ч. по цене Y1* ≈
≈ 16,84 руб./м.-ч. и землю площадью b1 = 5250 сот. по цене
Y2* ≈ 31,58 руб./сот. (доход составит 250000 руб.).
Если же фермер имеет возможность на внешнем рынке реа181
лизовать имеющиеся ресурсы по более высоким ценам, чем
Y1* ≈ 16,84 руб./м.-ч. и Y2* ≈ 31,58 руб./сот., то ему выгоднее
сдавать ресурсы в аренду, чем производить обычную для его
хозяйства продукцию.
6.9. Предельные оценки ресурсов в моделях
линейного программирования
Предельный анализ ресурсов производства осуществляется
в точке рыночного равновесия, при достижении экстремального
значения целевой функции. Будем рассматривать производственное планирование методом линейного программирования. В
качестве целевой функции примем доход от продажи произведенных товаров или иной экономический эффект. В качестве
ограничений выступают располагаемые количества ресурсов.
Задача состоит в отыскании предельных продуктов всех ресурсов. При этом применяют прямую и двойственную модели линейного программирования. Особенность решаемой задачи состоит в том, что ассортимент продукции широк и количество
видов ресурсов велико.
Прямая и двойственная задачи линейного программирования в матричной записи совпадают с (6.7.1) и имеют вид
c X  max,
b Y  min
A X ≤ b,
A Y ≥ c ,
X ≥ 0;
Y ≥ 0,
где c = (ci ) – вектор-строка цен на все виды продукции,
i = 1, , m – виды продукции;
c – транспонированный вектор c;
b = (bj) – вектор-столбец ограничений на все типы ресурсов,
j = 1, , n – типы ресурсов;
b – транспонированный вектор b;
A = (aij) – матрица коэффициентов прямых производственных затрат j-х типов ресурсов на производство i-х видов продукции;
A – транспонированная матрица A;
X = (X j) – вектор-столбец плана выпуска продукции;
Y = (Yi) – вектор-столбец внутренних цен на ресурсы.
182
Задача предельных оценок ресурсов решается в два этапа.
На первом этапе определяют точку рыночного равновесия
предприятия, на втором этапе непосредственно осуществляют
предельный анализ и дают предельную оценку ресурсов.
Исследование равновесия и оценку ресурсов проводят в
случае, если прямая и двойственная задачи ЛП имеют единственное решение X * и Y *. Тогда согласно основной теореме
двойственности значение целевой функции на оптимальном
решении прямой задачи равно значению целевой функции на
оптимальном решении двойственной задачи
R * = c X * = b  Y *,
(6.9.1)
*
*
где X , Y – оптимальные значения переменных прямой и двойственной задач,
R* – максимальный доход от продажи произведенной продукции по рыночным ценам и минимальные издержки предприятия на оплату ресурсов по внутренним ценам.
Результат решения задач оптимизации выражает максимальный доход c X * и минимальные издержки на использованные ресурсы по внутренним ценам b Y *. Точка равновесия
предприятия определяется значениями переменных X * и Y *.
Перейдем к этапу предельного анализа приведенной модели.
Ослабим ресурсные ограничения путем достаточно малого
приращения ресурсов на b, тогда располагаемое количество
ресурсов будет равно b + b.
При затратах ресурсов b единственный вектор оптимального выпуска продукции равен X*, а при затратах ресурсов b +b
также будет единственный вектор оптимального выпуска X**.
Максимальный доход предприятия в первом случае равен
c X*, а во втором – c X**. Целевые функции в этих случаях будут
удовлетворять равенствам
c X * = b Y * и c X ** = (b +  b) Y * = b Y * +  b Y *.
Заметим, что в рассматриваемом случае при достаточно малом векторе  b двойственная задача с целевой функцией
(b +  b)Y будет иметь решение Y *.
Вычислим прирост целевой функции
 R* = c X ** – c X * = (b Y * +  b Y *) – b Y * =  b Y *.
Это означает, что стоимость дополнительных затрат на ресурсы
183
по внутренним ценам равна приросту дохода. Получаем уравнение для оптимальной величины двойственных переменных
 b Y * =  R*. Для отдельного вида ресурсов имеем соответственно Yi* =  R*/bi. Следовательно, двойственные переменные
модели линейного программирования в точке равновесия равны предельным доходам соответствующих ресурсов. Если в
качестве целевой функции выступает иной экономический эффект, то двойственные переменные модели равны приросту
экономического эффекта на единицу дополнительно затрачиваемых ресурсов.
Выводы
1. В математическом программировании величины Y = (Yi),
i = 1, , m являются двойственными переменными к плановым
объемам выпуска продукции X = (X j) , j = 1, , n.
2. Экономически значения двойственных переменных выражают внутренние цены предприятия на имеющиеся ресурсы.
Эти цены обусловлены внутренними характеристиками хозяйственной деятельности предприятия. При этом учитывается
фактор цен на продукцию предприятия. Любое изменение названных факторов влечет за собой изменение внутренних цен
на ресурсы.
3. Если значения двойственных переменных больше значений внешних цен при покупке ресурсов, то экономически выгодно увеличить объем выпуска продукции за счет дополнительной покупки таких ресурсов. Если закупочные цены ресурсов превышают значения соответствующих двойственных переменных, то затраты этих ресурсов необходимо сокращать, а
ресурсы продавать.
4. Пара двойственных моделей линейного программирования имеет экономический смысл только в том случае, если
Xj  0, Yi  0. Но если некоторый ресурс используется в произn
водстве не полностью, т.е. имеет место неравенство
a X
ij
j
< b i,
j 1
то для такого ресурса полагают внутреннюю цену Yi = 0.
5. Если предположить, что в результате деятельности предприятие получает близкий к максимальному доход (R ≈ c X*), то
184
хозяйственную ценность, близкую к внутренним ценам используемых ресурсов, можно приблизительно оценить при помощи
показателей предельного дохода от ресурсов (Yi* ≈ R/bi). Вычисленные таким способом внутренние цены позволяют принимать хозяйственные решения, описанные выше.
6.10. Предельные оценки ресурсов в моделях
нелинейного программирования
В данном параграфе применение метода предельного анализа
рассматривается на примере математической модели нелинейного программирования. Решается задача для модели следующего вида:
Y = f (X) → max,
g (X) = b,
где Y – целевая функция, зависящая от затрат производственных ресурсов (объем выпуска, доход, прибыль и т. п.);
X = (Xj), X j  0 , j  1, ... , n – вектор затрат ресурсов, число
видов которых равно n;
g = (gi), g i  0 , i  1, ... , m – вектор-функция, в которой каждый элемент gi представляет собой функцию g i ( X ) затрат X,
n < m;
b = (bi), bi  0 – располагаемые количества ресурсов.
Аналогично случаю модели линейного программирования
задачу предельного анализа модели нелинейного программирования решают в два этапа: на первом этапе определяют рыночное равновесие производства, которое находится в точке максимума целевой функции, на втором этапе в точке равновесия
проводят предельный анализ, ослабляя ресурсные ограничения.
Для выполнения первого этапа достаточно потребовать существования и единственности решения задачи нелинейного
программирования. Для выполнения второго этапа достаточно
потребовать существования, единственности и непрерывно
дифференцируемой зависимости решения задачи нелинейного
программирования для всех неотрицательных векторов b из некоторого открытого подмножества линейного пространства mмерных векторов.
Экстремум целевой функции Y находят при помощи метода
185
неопределенных множителей Лагранжа.
Функция Лагранжа имеет вид
m
Ф (X, ) = f (X) +
  (bi – gi (X)),
i
где X = (Xj).
i 1
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа определяет система уравнений ∂Ф/∂Xj = 0, j  1, ... , n в области nмерных неотрицательных векторов (Xj).
Если такая система уравнений имеет решения, то для единственности решения задачи максимизации функции Ф (X, )
достаточно потребовать строгую выпуклость вверх функции
f(X) и строгую выпуклость вниз функций gi (X) для всех
i  1, ... , m на общей непустой области определения функций f(X)
и gi (X) во множестве неотрицательных n-мерных векторов.
Кроме того, достаточно предположить строгое возрастание
функций f (X) и gi (X). В этом случае в точке максимума функции Ф (X, ) справедливы неравенства ∂f /∂Xj > 0, ∂gi /∂Xj > 0,
i > 0.
Для непрерывно дифференцируемой зависимости решения
задачи нелинейного программирования от вектора ограничений
b достаточно потребовать непрерывную дифференцируемость
функций f(X) и gi (X).
Продифференцировав по Xj функцию Лагранжа, получаем
систему уравнений конкретного вида:
 Ф  f ( X ) m  gi ( X )

  i
= 0,
(6.10.1)
 Xj
 Xj

X
i 1
j
где  f (X) / X j – предельные характеристики отдачи от использования ресурсов производства.
Итак, пусть решение системы (6.10.1) определяет единственную точку равновесия X*, в которой выпуск продукции имеет значение Y* при соответствующем наборе множителей Лагранжа 1*, , *m.
Теперь рассмотрим максимальное значение целевой функции Y* как сложной функции вектора располагаемых ресурсов
b = (bi), т.е. функции Y* = f(X*(b)).
Формула производной этой сложной функции имеет вид
186
n
Y 
 f (X *)  X j
.
(6.10.2)

bi

X

b
j 1
j
i
Продифференцировав по bi ресурсные ограничения
gk(X*(b)) = bk, получаем
n
 g k ( X * )  X j  0, при k  i,
.
(6.10.3)


1,
при
k

i

X

b
j 1

j
i
Введем значение множителя Лагранжа k* , k  1,..., m в оптимальной точке. Умножим каждое равенство (6.10.3) на k* и полученные выражения просуммируем. Тогда
n
 g k ( X * )  X j 0, при k  i,
*
k 
 *
.
(6.10.4)

X

b

,
при
k

i
j 1
j
i
 k
Теперь при k = i просуммируем левые и правые части
(6.10.4) по k  1, ... , m и получим
m
n
 gk ( X * )  X j
*
  *i ,
 k  X
 bi
k 1
j 1
j
или в другой записи, после перемены порядка суммирования
*
n m
 Xj
*
*  gk ( X )
.
(6.10.5)
i   k

X

b
j 1 k 1
j
i
Если из (6.10.2) вычтем (6.10.5), то
n
 Y*
 f ( X * )  X j n m *  gk ( X * )  X j
*
.
 i  
  k
 bi

X

b

X

b
j 1
j 1 k 1
j
i
j
i
Затем, преобразовав правую часть, получаем
n 
 Y*
 f ( X * ) m *  gk ( X * )   X j
*
 i   
  k
0.

 bi

X

b
j 1   X j
k 1

j
i

Так как выражение в квадратных скобках в силу (6.10.1)
 Y*
*
равно нулю, то  i 
. Иначе говоря, в точке равновесия
 bi
при малом ослаблении i-го ресурсного ограничения множитель
Лагранжа равен предельной эффективности использования
соответствующего ресурса при прочих равных условиях, т. е.
при постоянных величинах остальных ресурсов.
По аналогии с анализом модели линейного программирова187
ния множители i* называют двойственными переменными модели нелинейного программирования. Двойственные переменные i* имеют экономический смысл внутренних цен ресурсов. Число этих переменных равно числу ресурсных ограничений.
Если в абстрактной постановке задачи исследования в качестве цели рассматривать некоторый производственный эффект
или определенную пользу, то двойственные переменные выражают предельную эффективность производства. Предельная
эффективность ресурса производства совпадает с двойственной
оценкой (внутренней ценой) ресурса.
6.11. Учебные задания
6.11.1. Верно / неверно
1. Равновесие предприятия достигается в случае, если изокванта пересекает изокосту в двух точках.
2. Если предприятие получает максимальную прибыль, то
тангенс угла наклона изокосты равен предельной норме замещения трудовых ресурсов капиталом.
3. Условия достижения рыночного равновесия совпадают с
условиями максимизации прибыли предприятия.
4. Распределение денежных средств для покупки ресурсов
отражает изокванта.
5. Межотраслевое равновесие будет достигнуто в точке эффективного распределения ресурсов по Парето.
6. Двойственные переменные модели линейного программирования в точке равновесия равны предельным доходам соответствующих ресурсов.
7. Если в качестве целевой функции выступает иной экономический эффект, то двойственные переменные модели равны
приросту экономического эффекта на единицу дополнительно
затрачиваемых ресурсов.
8. Двойственные переменные выражают внутренние цены
предприятия на имеющиеся ресурсы.
6.11.2. Тесты
1. Если изокоста пересекает изокванту в двух точках, то для
повышения эффективности работы предприятия необходимо
188
выполнить следующее:
а) увеличить объем выпуска продукции; б) сократить объем
выпуска продукции; в) увеличить затраты на оплату капитала за
счет сокращения затрат на оплату труда; г) увеличить затраты
на оплату труда за счет сокращения затрат на оплату капитала;
д) сократить суммарные расходы на оплату ресурсов;
е) увеличить суммарные расходы на оплату ресурсов.
2. Указать необходимые условия достижения максимального дохода при ограниченных затратах на ресурсы предприятия
из перечисленных ниже:
а) равенство однодолларовых предельных продуктов всех
ресурсов производства; б) равенство фондовооруженности труда отношению эластичности выпуска по капиталу к эластичности выпуска по труду; в) равенство отношения цен на ресурсы
производства отношению предельных продуктов этих ресурсов;
в) равенство предельной нормы замещения ресурсов обратному
отношению цен на эти ресурсы; г) равенство отношения стоимости ресурсов производства отношению показателей эластичности выпуска по этим ресурсам; д) равенство предельной нормы замещения ресурсов значению углового коэффициента изокосты.
3. Указать необходимые условия достижения максимальной
прибыли при ограниченных затратах на ресурсы предприятия
из перечисленных ниже:
а) равенство однодолларовых предельных продуктов всех
ресурсов производства; б) равенство фондовооруженности труда отношению эластичности выпуска по капиталу к эластичности выпуска по труду; в) равенство отношения цен на ресурсы
производства отношению предельных продуктов этих ресурсов;
г) равенство отношения стоимости ресурсов производства отношению показателей эластичности выпуска по этим ресурсам;
д) равенство предельной нормы замещения ресурсов значению
углового коэффициента изокосты; е) равенство предельных затрат производства по выпуску продукции цене на производимую продукцию.
6.11.3. Задачи
1. Заданы варианты параметров производственной функ189
ции Y = Kα Lβ (табл. 6.1).
Вариант
α
β
1
0,3
0,6
2
0,3
0,8
3
0,3
0,9
4
0,4
0,5
5
0,4
0,7
6
0,4
0,8
7
0,5
0,4
8
0,5
0,6
9
0,5
0,7
Таблица 6.1
11
12
0,6
0,6
0,5
0,7
10
0,6
0,3
Доказать, что для получения предприятием максимального
дохода необходимо выполнение следующих условий.
1) Равенство однодолларовых предельных продуктов всех
ресурсов производства.
2) Равенство отношения цен на ресурсы производства отношению предельных продуктов этих ресурсов.
3) Равенство предельной нормы замещения ресурсов обратному отношению цен на эти ресурсы.
Доказать, что для получения предприятием максимальной
прибыли необходимо выполнение следующих условий.
4) Равенство однодолларовых предельных продуктов разных ресурсов производства.
5) Равенство отношения цен на ресурсы производства отношению предельных продуктов по этим ресурсам.
6) Равенство предельной нормы замещения ресурсов обратному отношению цен на эти ресурсы.
7) Равенство предельных затрат производства по выпуску
продукции цене на производимую продукцию.
2. Варианты значений предельной нормы замещения капитальных ресурсов трудом на предприятии представлены в
табл. 6.2.
Вариант
Предельная норма
замещения
1
0,4
2
0,6
3
0,8
4
1,0
5
1,2
6
1,4
7
1,6
8
1,8
Таблица 6.2
9
10
2,0 2,2
Необходимо выполнить следующее.
1) Определить, какой из ресурсов следует замещать другим
ресурсом для достижения равновесия, если известна изокоста
40K + 50L = 2000.
2) Вычислить цену на капитальные ресурсы, если ставка
заработной платы 40 руб./час, если предприятие получает максимальную прибыль.
3. Вывести условия рыночного равновесия двух отраслей и
решить задачу максимизации их суммарного дохода 15 X + 25 Y
190
от реализации продукции, если производственные функции от 


раслей имеют вид X  a1 K1 L1 и Y  a2 K 2 L2 , суммарные затраты на труд L = 20 тыс. руб./час, суммарные затраты на капитал
K = 50 тыс. руб./час. Варианты параметров производственных
функций приведены в табл. 6.3.
1
№ 1
2
a1
2
2
α1 0,25 0,25
β1 0,5 0,75
a2
5
5
α2 0,5 0,5
β2 0,25 0,5
3
2
0,5
0,5
5
0,75
0,25
4
3
0,75
0,25
4
0,5
0,5
5
3
0,25
0,75
4
0,25
0,75
1
2
6
3
0,5
0,5
4
0,75
0,25
7
4
0,75
0,25
3
0,5
0,5
8
4
0,25
0,75
3
0,25
0,75
2
9
4
0,5
0,5
3
0,75
0,25
10
5
0,75
0,25
2
0,5
0,5
Таблица 6.3
11
12
5
5
0,25
0,5
0,75
0,5
2
2
0,25
0,75
0,75
0,25
4. Предприятие производит три вида продукции, используя
для этого два вида ресурсов. Задача оптимизации плана решается методом линейного программирования. Исходные данные
о ресурсах для производства продукции заданы в табл. 6.4.
Ресурсы,
Ресурс 1
Ресурс 2
Коэффициенты прямых
Имеющееся
производственных затрат
количество
ресурсов
(ед.)
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
1
2
0
20
2
3
1
25
Таблица 6.4
Рыночная цена
ресурсов
(ден.ед.)
15
10
Варианты цен на продукцию приведены в табл. 6.5.
Вариант
Цена продукта 1
Цена продукта 2
Цена продукта 3
1
15
20
30
2
20
30
15
3
30
15
20
4
15
20
25
5
20
25
15
6
25
15
20
7
30
20
15
8
20
15
30
Таблица 6.5
9
10
15
15
30
25
20
30
Выполнить следующее.
1) Поставить прямую и двойственную задачи линейного
программирования (планирования) производства.
2) Вычислить оптимальный план производства продукции и
доход предприятия в случае использования ресурсов в рамках
имеющегося количества.
3) Вычислить внутренние цены ресурсов.
4) Определить возможность получения дополнительного
дохода в случае сокращения производства и частичной продажи
ресурсов.
5) Определить наиболее выгодный вариант плана производства с учетом возможной частичной продажи ресурсов.
6) Провести предельный анализ имеющихся на предприятии ресурсов.
191