Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ

Глава 4. МНОГООТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ
4.1. Формализация многоотраслевой экономики
Основные идеи моделирования многоотраслевой экономики в середине XX в. разработал лауреат Нобелевской премии, американский
ученый В. Леонтьев. В моделях В. Леонтьева решаются принципиальные вопросы рыночного равновесия. Важнейшими из них являются принцип “затраты – результаты” и принцип “чистой отрасли”. Отрасли производства выделены по видам продукции, отраслевая продукция не имеет заменителей.
В процессе производства затрачиваются материальные и трудовые ресурсы. Принцип “затраты – результаты” выражается в том,
что в каждой отрасли издержки на покупку материальных и трудовых ресурсов равны доходу от продажи произведенного продукта.
Денежные затраты на оплату ресурсов осуществляются по рыночным
ценам: ценам материальных ресурсов и цене труда (ставке заработной
платы). Результаты работы отраслей определяются размерами выручки от проданной продукции по рыночным ценам. В случае равенства
результатов производства продукции затратам ресурсов в денежном
выражении во всех отраслях в экономике достигается рыночное равновесие.
Многоотраслевая экономика моделируется с учетом межотраслевых связей. Она рассматривается в двух разрезах: статическом и динамическом. В статическом разрезе модели отражают краткосрочные периоды времени. При этом многоотраслевое производство продукции включает межотраслевые потоки производимой продукции.
Вопросы, связанные с инвестициями, не затрагиваются. Фактор времени в моделях отсутствует. В динамических моделях отражаются
долгосрочные периоды развития взаимодействующих отраслей под
влиянием инвестиций с явным учетом фактора времени. В настоящей
главе изучению подлежат статические многоотраслевые модели,
динамическое моделирование рассматривается в следующих главах.
Сфера производства на примере двух отраслей экономики, изображена на рис. 4.1.
Модели В. Леонтьева строятся на основе следующих аксиом.
1. Каждый вид продукции выпускается только одной отраслью.
2. Существует единственный производственный процесс для изготовления каждого вида продукции.
92
3. Затраты ресурсов на единицу производства продукции любой
отрасли неизменны.
4. Не существует внешних источников материальных ресурсов
(потребление природного сырья не учитывается). Каждая отрасль получает материальные ресурсы в виде промежуточной продукции
только от смежных отраслей.
Если отрасль соответствует всем аксиомам, то она называется
чистой отраслью.
Для изучения межотраслевых моделей введем необходимые обозначения и рассмотрим продуктовый оборот в системе многоотраслевой экономики на примере товарообмена двух отраслей.
Вводим следующие условные обозначения объемов продукции в
натуральных единицах:
x – вектор отраслевых продуктов, x = (x1, , xi, , xj, , xn);
y – вектор конечных продуктов, y = (y1, , yi, , yj, , yn);
z – вектор промежуточных продуктов, z = (z1, , zi, , zj, , zn);
n – число отраслей, i, j = 1, , n.
Эти обозначения не совпадают с обозначениями, введенными ранее. Каждая отрасль производит валовой продукт в количестве xi.
Часть этой продукции используется для материальных затрат в других отраслях в виде промежуточных продуктов zi. Остальная часть
является конечным продуктом yi, который удовлетворяет личное потребление населения и капиталовложения. Суммарное количество
конечной продукции отраслей, выраженной в текущих ценах, составляет валовой внутренний продукт страны.
zj
zi
xji
i-я отрасль
xi
yi
zi
zj
j-я отрасль
xj
yj
xij
Рис. 4.1. Функциональная схема отраслей
На рис. 4.1 изображены i-я и j-я отрасли, в которых отраслевые
продукты в количестве xi, xj образуют потоки конечной продукции в
93
количестве yi, yj и потоки промежуточных продуктов zi, zj, направленных на материальные затраты смежных отраслей. В системе чистых
отраслей продукты собственного производства в качестве материальных затрат не используются, следовательно, xii = xjj = 0.
В теории В. Леонтьева рассматривается два типа моделей: открытые и замкнутые. Открытые модели в ответ на экзогенный
спрос на конечный продукт выдают сведения о необходимых затратах материальных и трудовых ресурсов. В замкнутых моделях окружающая среда заменяется дополнительной отраслью, в которой спрос
производственной сферы на трудовые ресурсы удовлетворяет население страны.
4.2. Межотраслевой продуктовый баланс
в натуральных единицах
На рис. 4.1 видно, что произведенный в i-й отрасли отраслевой
продукт xi делится на валовой продукт yi и промежуточные продукты
zi. Это равенство описывается формулой
xi = yi + zi,
n
где zi =
x
ij
, i = 1, , n. Следовательно, баланс i-й отрасли опреде-
j 1
ляется формулой
n
xi = y i +
x
ij
.
(4.2.1)
j 1
Многоотраслевые материальные потоки в экономике можно отразить матрицей, которая имеет n строк в виде таблицы межотраслевого баланса (МОБ):
[xij | yi | xi ], i, j = 1, , n,
(4.2.2)
где каждая строка соответствует равенству (4.2.1). Она отражает производство i-го отраслевого продукта в количестве xi и его распределение на две части: конечный продукт yi и все составляющие промежуточного продукта xij, которые направляются на возмещение материальных затрат смежных отраслей. В первой клетке таблицы n строк
с нумерацией отраслей i = 1, , n и n столбцов с нумерацией отраслей j = 1, , n. Столбец, соответствующий первой клетке, отражает
затраты разных промежуточных продуктов i-й отрасли на j-е отрасли
в количестве xij. Последней клетке таблицы соответствует столбец
отраслевых продуктов xi.
94
Основная особенность введенной таблицы (4.2.2) заключается в
том, что по i-м строкам первой клетки продукты можно суммировать. Это – продукция одного вида. Из i-й отрасли они направляются
на материальные затраты во все смежные j-е отрасли. По столбцам
суммировать продукты нельзя, так как в каждой строке учтены продукты разных отраслей.
Обычно полагают, что существует пропорциональная зависимость между материальными затратами и объёмами отраслевого выпуска продукции. В. Леонтьев предложил модель прямых материальных затрат продукции i-й отрасли в j-й отрасли в виде линейной однородной функции
xij = aij xj ; i, j = 1, , n,
(4.2.3)
где aij = xij/xj – показатели пропорциональности (aij ≥ 0), которые называются коэффициентами прямых материальных затрат i-й продукции на производство единицы j-й продукции. В зарубежной литературе aij – технологические коэффициенты. Эти коэффициенты в
совокупности образуют квадратную матрицу А = (aij), размер которой
равен n  n.
Подставив выражение (4.2.3) в (4.2.1), получим
n
xi = yi +
a x
ij
j
; i = 1, , n.
(4.2.4)
j 1
В матричной форме баланс (4.2.4) имеет вид
x = y + А x.
(4.2.5)
Или иначе:
y = x – А x.
(4.2.6)
Если, например, в экономике две отрасли и матрица
 0 0,6 
А=
 , то промежуточный продукт первой отрасли в объеме z1
 0,7 0 
= 0,6 x1 в качестве материальных затрат x12 направляется во вторую
отрасль, остальная часть продукции используется для потребления в
количестве y1 = 0,4 x1 . Во второй отрасли промежуточный продукт в
объеме z2 = 0,7 x2 в качестве материальных затрат x21 направляется в
первую отрасль, остальная часть продукции в количестве y2 = 0,3 x2
используется для потребления. Если же значения коэффициентов
 0 0,7 
прямых материальных затрат увеличить, например до А' = 
,
0,8
0


то продукт потребления сократится до y'1 = 0,3 x1 и y'2 = 0,2 x2.
95
Приведенные примеры показывают, что с увеличением значений
коэффициентов прямых материальных затрат для производства неизменного количества конечной продукции необходимо увеличить производство отраслевого продукта. Эффективность производственной
сферы при этом уменьшается.
Выполнение равенства (4.2.6) обеспечивает производство конечного продукта y. Однако к этому равенству предъявляется требование
неотрицательного решения y для любого x ≥ 0. Будем писать, что
y ≥ 0; это означает, что для вектора y  ( yi ) , yi  0 , для каждого i =
1,…, n . Это требование относится к матрице А, которая должна позволять производство конечного продукта y ≥ 0. Поэтому применяется понятие продуктивной матрицы А. Доказано, что если сумма элементов каждой строки матрицы А не больше единицы и хотя бы для
одной строки строго меньше единицы, то модель В. Леонтьева с
этой матрицей продуктивна.
В случае продуктивной матрицы вектор конечного продукта
для потребления y ≥ 0 будет получен, если его обеспечивает вектор
объемов отраслевого производства в размере
x = (E – A) –1 y ≥ 0,
(4.2.7)
следовательно, матрица E  A положительно обратима, т.е. существует
( E  A) 1  0 .
4.3. Матричный мультипликатор
Пусть в этом параграфе матрица А – продуктивная матрица, т.е.
матрица E  A положительно обратима.
Система уравнений (4.2.4) может быть записана в векторноматричной форме:
x = y + Ax,
(4.3.1)
где A = (aij) – матрица коэффициентов прямых материальных затрат производства, aij – затраты продукта i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли; x = (xi) – вектор-столбец отраслевых объемов производства; y = (yi) – вектор-столбец конечного продукта.
Если ввести единичную диагональную матрицу n-го порядка Е,
тогда формулу (4.3.1) можно записать в следующем виде:
y = (E – A)x.
(4.3.2)
Решаем уравнение (4.3.2) относительно x и в случае положительной обратимости матрицы E  A получаем формулу
96
x = (E – A) –1 y.
(4.3.3)
–1
Выражение (E – A) представляет собой матричный мультипликатор и отражает пропорциональную зависимость вектора объемов
отраслевого производства x от вектора конечного продукта y.
Матричный мультипликатор в случае положительной обратимости матрицы E  A по аналогии со скалярным мультипликатором
можно разложить в степенной ряд:
(E – A) –1 = E + A + A2 + A3 + . + Ak + …
Тогда зависимость вектора отраслевого производства от спроса на
вектор конечного продукта можно записать в виде
x = (E – A)-1 y = (E + A + A2 + A3 ++ Ak + …) y =
= y + A y + A2 y + A3 y +  + Ak y + …,
где A y – материальные затраты первого порядка, A2 y – материальные
затраты второго порядка, , Ak y – материальные затраты k-го порядка и т.д.
Следовательно, чтобы произвести конечный продукт в количестве y, нужны материальные затраты первого порядка в количестве A y
и дополнительные материальные затраты A(A y) = A2 y, а для производства продукции в количестве A2 y нужны дополнительные материальные затраты A(A2 y) = A3 y и т.д.
Таким образом, матричный мультипликатор отражает полные материальные затраты производства отраслевой продукции. Иначе говоря, матричный мультипликатор – это матрица коэффициентов
полных материальных затрат отраслевой продукции, которую обозначают через B. Значение всех элементов матрицы коэффициентов
полных материальных затрат можно вычислить по известной матрице коэффициентов прямых материальных затрат по формуле
B = (E – A) –1.
(4.3.4)
Приведем алгоритм вычисления матрицы B на основании матрицы A.
1. Вычисление разности матриц E – A.
2. Вычисление определителя  полученной разности матриц.
3. Вычисление значений адъюнктов Aij = (1)i  j M ij матрицы E – A,
M ij – соответствующий минор матрицы E  A .
4. Вычисление элементов Aij/.
5. Сведение элементов Aij/ в матрицу (Aij/).
6. Транспонирование вычисленной матрицы (Aij/) и получение
матрицы полных материальных затрат:
97
B = (Aij/)T = (Aji/).
(4.3.5)
Имея значение матрицы B, на основании спроса на конечную
продукцию можно вычислить вектор отраслевого продукта по формуле
x = B y.
(4.3.6)
Пример вычисления матрицы полных материальных затрат.
0, 20 0,40 
0
1. A =  0,30 0 0,35  ,
 0, 25 0,38 0 


0, 20 0, 40   1  0, 20  0,40 
1 0 0   0
E – A =  0 1 0    0,30 0 0,35    0,30 1  0,35  .
 0 0 0   0, 25 0,38 0   0, 25  0,38 1 

 
 

2. По полученной матрице E – A вычисляем определитель и получаем  ≈ 0,64.
3. Вычисляем значения адъюнктов матрицы E – A и получаем:
A11 ≈ 0,87; A12 ≈ 0,39; A13 ≈ 0,36, A21 = 0,31; A22 ≈ 0,90; A23 ≈ 0,39;
A31 ≈ 0,47; A32 ≈ 0,47; A33 ≈ 0,94.
4. Вычисляем значения элементов Aij/:
A11/ ≈ 0,87/0,64 ≈ 1,31; A12/ ≈ 0,39/0,64 ≈ 0,61; A13/ ≈ 0,36/0,64 ≈ 0,56;
A21/ ≈ 0,31/0,64 ≈ 0,48; A22/ ≈ 0,90/0,64 ≈ 1,41; A23/ ≈ 0,39/0,64 ≈ 0,61;
A31/ ≈ 0,47/0,64 ≈ 0,73; A32/ ≈ 0,47/0,64 ≈ 0,73; A33/ ≈ 0,94/0,64 ≈ 1,47.
5. Вычисленные элементы сводим в матрицу:
 1,31 0,61 0,56 
 0, 48 1, 41 0,61  .


 0,73 0,73 1, 47 


6. Транспонируем матрицу (Aij/) и получаем матрицу полных
материальных затрат:
 1,31 0,48 0,73 
B = (Aji/) ≈  0,61 1,41 0,73  .
 0,56 0,61 1, 47 


4.4. Открытая модель Леонтьева
Открытые модели В. Леонтьева строятся для определения условий
соблюдения рыночного равновесия материального производства про98
дуктов (отраслевого и конечного), ресурсов (трудовых и материальных) и цен в краткосрочном периоде.
Для достижения равновесия должны выполняться две группы условий: условия первой группы определяют баланс затрат (материальных и трудовых) и выпуска конечной продукции в натуральных единицах, условия второй группы – баланс денежных поступлений от
продажи отраслевой продукции и денежных затрат производства на
оплату ресурсов.
y = (yi)
спрос
x = (x i)
модель
n-отраслевой
экономики
L = (Lj)
Рис. 4.2
Рассмотрим первую группу условий равновесия, которая характеризует, с одной стороны, спрос на конечный продукт, с другой –
необходимые материальные и трудовые затраты для удовлетворения
спроса. На входе модели задан спрос на конечный продукт y = (y1,
, yi, , yn), на выходе получим необходимые объемы отраслевого
выпуска x = (x1, , xi, , xn) и трудовых затрат L = (L1, , Lj, ,
Ln), как показано на рис. 4.2.
Если межотраслевой баланс (4.2.2) дополнить строкой трудовых
ресурсов, то таблица этого баланса приобретет следующий вид:
 xij yi xi 
(4.4.1)

,
L
0
L
 j

где i = 1, , (n + 1) – строки, j = 1, , n – столбцы левой колонки.
Верхняя часть таблицы совпадает с МОБ в форме (4.2.2), она содержит n строк. В дополнительной, (n + 1)-й, строке введены затраты
труда в j-х отраслях Lj, в (n + 1)-й строке правого столбца указана
сумма затрат труда L в производственной сфере в целом. Элементы
каждой строки в таблице (4.4.1) выражены в различных единицах измерения.
Строкам таблицы (4.4.1) соответствует развернутая алгебраическая запись этой модели в виде системы уравнений:
n
xi  yi   xij , i  1,..., n;
j 1
(4.4.2)
n
L   Lj ,
строка n  1.
j 1
99
В. Леонтьев ввел пропорциональные зависимости переменных
модели (4.4.2) при неизменных коэффициентах в виде
xij = aij xj; Lj = lj xj,
(4.4.3)
где a ij = xij /xj – коэффициенты прямых материальных затрат (материальных затрат на единицу отраслевого продукта);
lj = Lj /xj – коэффициенты трудовых затрат в j-й отрасли (трудозатрат на единицу отраслевого продукта).
После подстановки выражений xij и Lj из формул (4.4.3) в систему
уравнений (4.4.2) получаем первую группу уравнений, выражающих
технологические условия равновесия в народном хозяйстве страны:
n
xi  yi   aij x j , i  1,..., n;
j 1
(4.4.4)
n
L  lj xj ,
строка n  1.
j 1
Для вывода второй группы условий равновесия от межотраслевой таблицы (4.4.1), выраженной в натуральных единицах измерения,
необходимо перейти к балансовым уравнениям в денежном выражении. Тогда сумма денежных затрат на промежуточные продукты и
на трудовые ресурсы каждой отрасли согласно левой колонке в таблице (4.4.1) выразится формулой
n
px
i ij
 wL j , j = 1, , n,
(4.4.5)
i 1
где pi – цены на продукцию i-х отраслей, которая потребляется в качестве материальных ресурсов в количестве xij, w – стоимость единицы труда (единая ставка заработной платы).
В результате производства и продажи отраслевых продуктов
каждая отрасль получит доход в размере pj xj.
Тогда условия равновесия результатов и затрат в денежном выражении для j-х отраслей определяются системой уравнений
n
p j x j   pi xij  wL j , j = 1, , n.
(4.4.6)
i 1
Если из уравнений (4.4.3) выражения xij и Lj подставить в формулу (4.4.6), то получим систему уравнений
 n

p j x j    pi aij  x j  wl j x j , j = 1, , n.
(4.4.7)
 i 1

Разделив выражение (4.4.7) на xj, получаем равенство затрат и
выпуска в виде следующей системы уравнений:
100
n
pj =
+ wlj, j = 1, , n.
pa
i ij
(4.4.8)
i 1
Итак, открытая модель включает две системы уравнений – (4.4.4)
и (4.4.8). Объединив эти системы, получаем открытую многоотраслевую статическую модель В. Леонтьева в целом:
n
xi  y j   aij x j ,
j 1
n
L  ljxj,
(4.4.9)
j 1
n
p j   pi aij  wl j .
i 1
Модель (4.4.9) содержит 2n + 1 уравнения и 2n + 1 переменных xi,
pj и L. Соблюдение этих равенств обеспечивает равновесие в народном хозяйстве страны. В ответ на предъявленный спрос на конечную
продукцию y = (yj) по этой модели можно вычислить требуемые объемы отраслевой продукции xi, трудовых ресурсов отраслей Lj и сферы
производства L и цены на отраслевые продукты pj при известных коэффициентах aij и lj.
Таким образом, в открытой модели В. Леонтьева определяются
следующие условия равновесия:
1) спроса на конечный продукт производства yj и выпуск xi каждой отрасли;
2) материальных xij и трудовых Lj ресурсов каждой отрасли и
всей сферы производства L;
3) стоимости отраслевых выпусков pj xj и трудовых затрат w lj
каждой отрасли;
4) цен на продукцию отраслей pj и ставки заработной платы w.
4.5. Задача равновесия выпуска и трудовых ресурсов
Открытую модель В. Леонтьева на основании системы уравнений
(4.4.4) после замены верхней строки на (4.3.6) можно представить в
векторно-матричном виде:
x = B y,
L = l x,
(4.5.1)
где B – квадратная матрица коэффициентов полных материальных затрат производства, l – вектор коэффициентов трудозатрат.
101
Модель (4.5.1) позволяет на основании известного спроса на вектор конечного продукта y определить вектор объема производства
отраслевой продукции x и требуемое количество трудозатрат в национальной экономике L.
Решение первого уравнения системы (4.5.1) в развернутом виде
определяет условия равновесия отраслевых и конечных продуктов.
Эту систему уравнений можно представить в развернутом виде следующим образом:
x1  ( A11 /  ) y1  ( A21 /  ) y2  ...  ( An1 / ) yn ,
x2  ( A12 / ) y1  ( A22 / ) y2  ...  ( An 2 /  ) yn ,
(4.5.2)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
xn  ( A1n / ) y1  ( A2 n / ) y2  ...  ( Ann / ) yn ,
где Aji /∆ – элементы матрицы полных материальных затрат согласно
формуле (4.3.5).
Решаем второе уравнение системы (4.5.1) в развернутом виде и
получаем условия равновесия производства отраслевых продуктов и
трудозатрат:
L = L1 + L2 + … + Ln = l1 x1 + l2 x2 + … + ln xn .
(4.5.3)
1. Пример решения задачи равновесия производства отраслевых
продуктов и конечной продукции для сферы производства в составе
0, 20 0, 40 
 0
трех отраслей с матрицей A =  0,30 0 0,35  , если вектор спроса
 0, 25 0,38
0 

 400 
на конечный продукт y =  300  . Тогда для достижения равновесия
 500 


требуется выпуск отраслевой продукции в размере
 1,31 0,48 0,73   400   1033 
x ≈  0,61 1,41 0,73   300  =  1032  .
 0,56 0,61 1, 47   500   1142 


 

2. Пример решения задачи равновесия производства отраслевых
продуктов и трудозатрат решается по вычисленному ранее значе 1,2 
нию вектора x и заданному вектору l =  1,5  .
 2,5 


102
Равновесие производства отраслевых продуктов и трудозатрат
определяется по формуле (4.5.3). Оно будет достигнуто при условии
L = l1 x1 + l2 x2 + l3 x3 ≈ 1, 2  1033  1,5  1032  2,5  1142  3072,6 .
4.6. Предельный анализ открытой многоотраслевой модели
Рассматриваемый ниже метод анализа открытой модели позволяет выявить, в какой мере потребуются изменения величин отраслевого выпуска и затрат труда в каждой отрасли, если произойдет прирост
спроса на валовой продукт какой-либо отрасли на малую единицу.
Для выяснения этих вопросов вводят ряд предельных показателей,
значение которых равно приросту отраслевой продукции и трудозатрат на единицу дополнительного спроса на конечный продукт y1, y2
и т.д.
Первый предельный показатель определяет, насколько надо изменить отраслевой выпуск, чтобы увеличить на единицу выпуск конечной продукции в разных отраслях.
Второй предельный показатель определяет, насколько надо изменить затраты труда в одной отрасли, чтобы увеличить на единицу
выпуск конечной продукции в той или другой отрасли.
Третий предельный показатель определяет, насколько надо изменить общие затраты труда в экономике, чтобы увеличить на единицу выпуск конечной продукции каждой отрасли.
Выполним анализ открытой модели на примере трех отраслей.
Тогда требуемое производство отраслевой продукции согласно уравнениям (4.5.2) примет вид следующей системы уравнений:
x1  ( A11 /  ) y1  ( A21 /  ) y2  ( A31 / ) y3 ,
x2  ( A12 / ) y1  ( A22 / ) y2  ( A32 /  ) y3 ,
(4.6.1)
x3  ( A13 / ) y1  ( A23 /  ) y2  ( A33 /  ) y3 ,
где Aji /∆ – элементы матрицы полных материальных затрат согласно
формуле (4.3.5).
Формула общих затрат труда (4.5.3) примет такой вид:
L = l 1 x 1 + l 2 x 2 + l 3 x 3.
(4.6.2)
Первый предельный показатель – это предельные отраслевые
продукты, которые вычисляются дифференцированием уравнения
(4.6.1) по конечной продукции:
 x1 / y1 = A11 /∆,  x1 / y2 = A21/∆,  x1 / y3 = A31/∆,
 x2 / y1 = A12 /∆,  x2 / y2 = A22 /∆,  x2 / y3 = A32 /∆, (4.6.3)
103
 x3 / y1 = A13 /∆,  x3 / y2 = A23 /∆,  x3 / y3 = A33 /∆.
Второй предельный показатель, предельные отраслевые трудозатраты, находят на основании уравнения (4.6.2), где каждое слагаемое отражает потребности в трудозатратах разных отраслей, а
именно: L1 = l1 x1, L2 = l2 x2, L3 = l3 x3. Показатель предельных отраслевых трудозатрат вычисляют дифференцированием отраслевых трудозатрат по конечным продуктам. Эти показатели приобретают следующий вид:
 L1/ y1 = l1 × A11 /∆,  L1/ y2 = l1 × A21 /∆,  L1/ y3 = l1 × A31 /∆,
 L2/ y1 = l2 × A12 /∆,  L2/ y2 = l2 × A22 /∆,  L2/ y3 = l2 × A32 /∆, (4.6.4)
 L3/ y1 = l3 × A13 /∆,  L3/ y2 = l3 × A23 /∆,  L3/ y3 = l3 × A33 /∆.
Третий предельный показатель, предельных общих трудозатрат, выводят как отраслевую сумму предельных показателей трудозатрат второго типа. Поэтому формулы предельных общих затрат
труда в экономике имеют вид
 L/ y1 = l1 × A11 /∆ + l2 × A12 /∆ + l3 × A13 /∆,
 L/ y2 = l1 × A21 /∆ + l2 × A22 /∆ + l3 × A23 /∆,
(4.6.5)
 L/ y3 = l1 × A31 /∆ + l2 × A32 /∆ + l3 × A33 /∆.
Пример решения конкретной задачи вычисления предельных по 1,31 0,48 0,73 
казателей, если матрица B = (Aji/) ≈  0,61 1,41 0,73  и вектор l =
 0,56 0,61 1, 47 


 1,2 
 1,5  .


 2,5 


Первый предельный показатель
 x1 / y1 = A11 /∆ ≈ 1,31;  x1 / y2 = A21/∆ ≈ 0,48;
 x1 / y3 = A31/∆ ≈ 0,73;  x2 / y1 = A12/∆ ≈ 0,61 и т.д.
Второй предельный показатель
 L1/ y1 = l1 × A11 /∆ ≈ 1,2 × 1,31 ≈ 1,57;  L1/ y2 = l1 × A12 /∆ ≈ 1,2 ×
× 0,48 ≈ 0,58;  L1/ y3 = l1 × A31 /∆ ≈ 1,2 × 0,73 ≈ 0,88;  L2/ y1 = l2 ×
× A12 /∆ = 1,5 × × 0,61 ≈ 0,92 и т.д.
Третий предельный показатель
 L/ y1 = l1 × A11 /∆ + l2 × A12 /∆ + l3 × A13 /∆ ≈ 1,57 + 0,92 + 1,4 = 3,89 и
т.д.
104
Результаты вычислений свидетельствуют о том, что в случае
прироста спроса на конечный продукт первой отрасли на единицу необходимо увеличить производство отраслевой продукции в первой
отрасли на 1,31 ед., трудозатраты в первой отрасли на 1,57 ед. и общие трудозатраты во всех отраслях на 3,89 ед.
4.7. Задача о равновесных ценах на продукцию
Задача о ценах равновесия решается на открытой модели В. Леонтьева (4.4.8). Она состоит в вычислении цен на отраслевую продукцию pj по известным значениям ставки заработной платы w и отраслевых коэффициентов трудозатрат lj. Чтобы определить цены pj,
необходимо решить следующую систему уравнений:
n
pj –  aij pi = wlj, j = 1, , n,
(4.7.1)
i 1
где aij – коэффициенты прямых материальных затрат. Значения постоянных коэффициентов aij, lj и w известны.
Для решения системы уравнений (4.7.1) воспользуемся ее векторно-матричной формой:
p – Ap = wl.
Отсюда
(E – A) p = wl, p = (E – A)-1 wl,
p = B wl,
(4.7.2)
где B – матрица полных материальных затрат.
Для численного решения задачи о ценах равновесия формулу
(4.7.2) записываем в развернутом виде:
 p1   A11 /  A21 /  ... An1 /    wl1 
 p   A /  A /  ... A /    wl 
22
32
 2  =  12
 × 2  .
(4.7.3)
 ...   ... ... ... ... ... ...   ... 
  
 

 pn   A1n /  A2 n /  ... Ann /    wln 
Пример решения задачи рассмотрим на примере трех отраслей
экономики с матрицей B и вектором l из п. 4.5. Ставку заработной
платы установим в размере w = 15 ед. Тогда система уравнений
(4.7.3) решается следующим образом:
 1,31 0,48 0,73   15  1, 2 
p = B wl ≈  0,61 1,41 0,73  ×  15  1,5  =
 0,56 0,61 1, 47   15  2,5 

 

105
 1,31 0,48 0,73   18,0   45,36 
=  0,61 1,41 0,73  ×  22,5  =  61,90  .
 0,56 0,61 1, 47   37,5   99,00 

 
 

В результате решения получаем p1 ≈ 45,36; p2 ≈ 61,90; p3 ≈ 99,00.
4.8. Замкнутая межотраслевая
модель Вальраса – Леонтьева
Различные варианты замкнутой многоотраслевой статической
модели разработаны и исследованы известными учеными Л. Вальрасом и В. Леонтьевым. Если открытая модель отражает только производственную сферу, к которой предъявляется спрос домашними хозяйствами, то замкнутая модель отражает производственную сферу и
домашние хозяйства совместно, в их взаимосвязи. Поэтому полагают,
что открытая модель определяет частные условия равновесия, а
замкнутая модель определяет общие условия равновесия экономики.
В отличие от открытой модели, замкнутая модель не имеет экзогенного воздействия.
Модель статическая – это значит, что движение производственного капитала не учитывается, его изменения относятся к длительным периодам времени. Иначе говоря, рассматривается модель краткосрочного периода.
Смысл замыкания модели состоит в том, что к информации об
отраслях производства добавляется своеобразная (n + 1)-я отрасль –
домашние хозяйства, которые предъявляют спрос к n-отраслевому
производству на продукцию всех отраслей и поставляют отраслям в
качестве ресурса производства специфический продукт – рабочую
силу (см. рис. 4.3). В свою очередь, производственные отрасли к домашним хозяйствам предъявляют спрос на рабочую силу и поставляют продукцию своих отраслей
При определении общего равновесия выясняют соотношения
объема производства всех видов продукции и труда, а также цен на
все виды продукции и средней заработной платы.
106
Спрос
на продукцию
n - отраслевая
экономика
Спрос
на труд
n + 1 отраслевая
экономика
домашние
хозяйства
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Основные допущения при синтезе замкнутых межотраслевых моделей состоят в следующем.
1. Экономика обособлена, нет экспорта – импорта продукции.
2. Государство в экономике не участвует.
3. Цены на продукцию и труд формируются на основе спроса и
предложения.
4. Все виды отраслевого продукта становятся промежуточной
продукцией для потребления домашними хозяйствами.
5. Труд в модели является промежуточным продуктом (циркулирует только внутри модели).
6. Технологические возможности отраслей и возможности домохозяйств не ограничивают производство продукции в любом сочетании. Это означает, что производственные отрасли полностью удовлетворяют спрос на все виды продукции, а домашние хозяйства полностью удовлетворяют спрос на труд.
Замкнутая модель предназначена для изучения равновесия экономики в целом, она выявляет две группы условий равновесия. Первая группа условий отражает производственную деятельность, а вторая – денежные отношения.
Рассмотрим первую группу условий равновесия на замкнутой модели.
В качестве исходной информации межотраслевых потоков примем таблицу открытой модели (4.4.1) следующего вида:
 xij yi xi 

,
L
0
L
 j

где i = 1, , n + 1 – строки, j = 1, , n – столбцы левой колонки.
В производственной сфере имеется n производственных
отраслей, i = 1, , n и (n + 1)-я “отрасль”, отражающая домашние хозяйства, которые участвуют в потреблении продукции всех n производственных отраслей. Конечный продукт yi становится промежуточным продуктом. Объемы продукции (n + 1)-й “отрасли” обозначим
107
через xi,n+1 = yi. Кроме того, трудозатраты последней строки Lj обозначим через xn+1,j, совокупные трудозатраты L обозначим через xn+1.
Теперь квадратная матрица в левом верхнем углу исходной межотраслевой таблицы расширяется до матрицы размером (n + 1) 
 (n + 1) за счет строки трудозатрат и столбца конечного продукта.
Таблица межотраслевых связей приобретает следующий вид:
 xij xi ,n1 xi 
(4.8.1)

,
x
0
x
n1 
 n1, j
где i = 1, , n +1 – строки, j = 1, , n + 1 – столбцы левой колонки.
Элементы xij (i = 1, , n +1, j = 1, , n + 1) измеряются в натуральных единицах, поэтому по столбцам таблицы (4.8.1) их суммировать невозможно (продукты разные).
В случае чистых отраслей имеем xii = xjj = 0. Поэтому все элементы главной диагонали, отражающие внутренние передачи промежуточных продуктов, равны нулю.
На основании таблицы межотраслевых потоков (4.8.1) можно составить систему уравнений:
0 +  + x1j + … + x1i + … + x1n + x1n+1 = x1,

           


 
xi1 +  + xij + … + 0 + … + xin + x i,n+1 = xi, (4.8.2)

           


 
xn1 +  + xnj + … + xni + … + 0 + xn,n+1 = xn,
xn+1,1 +  + xn+1,j +  + xn+1,i + … + xn+1,n + 0 = xn+1.
Для удобства анализа замкнутой модели переменные xi (i = 1, ,
n +1) перенесем из правых частей уравнений в позиции нулевых элементов левых частей. Тогда условия равновесия замкнутой модели
описываются системой однородных линейных алгебраических уравнений:
– x1 +  + x1j + … + x1i + … + x1n + x1,n+1 = 0,

           


 
xi1 +  + xij + … – xi + … + xin + x i,n+1 = 0, (4.8.3)

           


 
xn1 +  + xnj + … + xn + … – xn + xn,n+1 = 0,
xn+1,1 +  + xn+1,j +  + xn+1,i + … + xn+1,n – xn+1 = 0.
Очевидно, что после такого изменения итоги суммирования по
строкам равны нулю, а суммировать по столбцам невозможно.
108
В системе уравнений (4.8.3) все переменные заменяют технологическими условиями
xij = aij xi (i, j = 1, …, n+1),
(4.8.4)
где aij (i, j = 1, …, n) – коэффициенты прямых материальных затрат i-х
продуктов в производстве j-й продукции, a(n+1)j = Lj/L – коэффициенты, выражающие доли трудовых затрат отраслей, ai,n+1 = yi/xi – коэффициенты, выражающие доли конечной продукции в отраслевом продукте. Полагают, что все введенные коэффициенты прямых затрат
имеют постоянные значения.
В системе уравнений (4.8.3) xii = – xi. Поэтому при i = j имеем aii
= – 1.
Теперь, подставив в систему уравнений (4.8.3) в позиции i = j величину – 1 и выражения xij по формуле (4.8.4), получим первую группу
условий равновесия:
(– 1) x1 + … + a1jxj + … + a1i xi + … + a1n xn + a1,n+1xn+1 = 0,

  

  

  



 
ai1 x1 + … + aij xj + … + (– 1)xi + … + ain xin + ai,n+1xn+1 = 0,

  

  

  



 
an1x1 + … + anjxj + … + anixi + … + (–1)xn + an,n+1xn+1 = 0,
an+1,1 x1 + … + an+1,j xj + … + an+1,n xi + … + an+1,nxn + (– 1) xn+1 = 0,
которую можно записать в свернутом виде:
n1
a x
ij
j
 0 , i = 1, , n + 1.
(4.8.5)
j 1
Система уравнений (4.8.5) имеет бесконечное множество решений. Поэтому одну из переменных модели приравнивают к единице и
получают решение системы в долях от принятой единицы. Если, например, x1 = 1, то остальные xi, i = 2, , n + 1 будут выражены в долях от x1.
Вторая группа условий равновесия определяется на замкнутой
модели по соотношению денежных затрат на оплату ресурсов и дохода каждой отрасли. Согласно принципу «затраты – результаты» равновесие устанавливается в случае равенства денежных затрат на материальные ресурсы и труд и результатов в виде денежной выручки
от продажи произведенного продукта. Все производимые продукты и
используемые ресурсы рассматривают в стоимостном, а не в натуральном выражении.
Для вычисления денежных затрат и выручки необходимо ввести
обозначения цен. Цены на все виды продукции i = 1, , n обозначим
109
через pi, цену на труд, т.е. ставку заработной платы w обозначим через pn+1. Тогда стоимость материальных затрат i-й продукции в j-й отрасли равна pixij, стоимость трудозатрат в j-й отрасли wLj равна pn+1,j
xj.
В стоимостном выражении элементы системы уравнений (4.8.2)
можно суммировать по столбцам. Сумму денежных затрат на производство продукции в j-х отраслях можно записать в следующей форме:
n1
px
i ij
, j = 1, , n + 1.
(4.8.6)
i 1
Согласно (4.8.4) подставим выражение xij в (4.8.6) и получим другую формулу суммарных денежных затрат j-й отрасли:
n 1
pa x
i ij
j
, j = 1, , n + 1.
(4.8.7)
i 1
Вместе с тем результат работы i-й отрасли можно найти как
произведение цены на объем конечного выпуска продукции, т.е. pixi.
Следовательно, согласно принципу “затраты – результаты” по
каждой j-й отрасли получаем равенство
n 1
pa x
i ij
j
 p j x j , j = 1, , n + 1.
i 1
Сократив левую и правую части уравнений на xj, выводим формулу
n 1
pa
i ij
= pj, j = 1, , n + 1.
(4.8.8)
i 1
После переноса pj из правой части в левую часть уравнения
(4.8.8) получаем следующую систему уравнений:
p1(a11 – 1) + … + p1a1j + … + p1a1i + … + p1a1n +
p1 a 1,n+1
= 0,

  

  

  



 
piai1
pi a i,n+1
+ … + piaij + … + pi(aii – + … + pi ain +
= 0,
– 1)

pnan1
pn+1an+1,1
  

  

  


+ … + pnanj + … + pnani + … + pn(ann – +

pnan,n +1
 
= 0,
– 1)
+ … + pn+1an+1,j + … + pn+1an+1,i + … + pn+1an+1,n + pn+1(an+1,n+1 – = 0.
– 1)
С учетом того, что в экономике чистых отраслей aii = ajj = 0, выведенная система уравнений принимает следующий вид:
110
– p1
+…+ p1a1j + …+ p1a1i + …+ p1a1n + p1 a 1,n+1

  

  

  



piai1
+…+ piaij + …+ – pi + …+ pi ain + pi a i,n+1

  

  

  



pnan1
+…+ pnanj + …+ pnani + …+ – pn + pnan,n +1
pn+1an+1,1 +…+ pn+1an+1,j + …+ pn+1an+1,i + …+pn+1an+1,n+ – pn+1
=

=

=
=
0,

0,

0,
0.
Применительно к каждой j-й отрасли берем сумму по соответствующему столбцу и выводим вторую группу условий равновесия:
n 1
 pa
i ij
= 0, j = 1, , n + 1.
(4.8.9)
i 1
Таким образом, многоотраслевое равновесие в замкнутой экономике создается при соблюдении обеих групп условий (4.8.5) и (4.8.9),
которые в целом получили название замкнутой модели Вальраса –
Леонтьева:
n 1
a x
ij
j
= 0, i = 1, , n + 1,
j 1
n 1
a
ij
pi = 0, j = 1, , n + 1.
(4.8.10)
i 1
Напомним, что условия равновесия замкнутой системы в виде
систем уравнений (4.8.10) определяют только соотношение производимых продуктов и их стоимостей.
4.9. Учебные задания
4.9.1. Верно / неверно
1. Принцип В. Леонтьева “затраты – результаты” выражается в
том, что в каждой отрасли издержки на покупку материальных и
трудовых ресурсов равны доходу от продажи произведенного продукта.
2. В динамическом разрезе модели макроэкономики отражают
краткосрочные периоды времени.
3. В замкнутых моделях В. Леонтьева окружающая среда заменяется дополнительной отраслью.
4. При увеличении материальных затрат в одной отрасли материальные затраты в остальных отраслях уменьшаются.
111
5. Если сумма элементов каждой строки матрицы прямых материальных затрат не больше единицы и хотя бы для одной строки
больше единицы, то модель В. Леонтьева с этой матрицей продуктивна.
6. Элементы главной диагонали матрицы прямых материальных
затрат равны единице.
7. Вектор отраслевого продукта можно вычислить, умножив матрицу общих материальных затрат на вектор конечного продукта.
4.9.2. Тесты
1. Статические модели В. Леонтьева строятся на основе следующих аксиом:
а) каждый вид продукции выпускается только одной отраслью; б)
существует единственный производственный процесс для изготовления каждого вида продукции; в) экономика получает инвестиции от
специализированной отрасли; г) затраты ресурсов на единицу производства продукции любой отрасли неизменны; д) не существует
внешних источников материальных ресурсов; е) каждая отрасль получает материальные ресурсы в виде промежуточной продукции
только от смежных отраслей.
2. Определите правильную структуру произведенного продукта
из указанных ниже:
а) валовой продукт отрасли разделяется на материальные затраты
смежных отраслей и конечный продукт; б) валовой продукт отрасли
разделяется на материальные затраты всех отраслей и конечный продукт; в) валовой продукт отрасли разделяется на материальные затраты смежных отраслей и промежуточной продукции; г) конечный продукт отрасли разделяется на валовой продукт и материальные затраты
смежных отраслей; д) суммарное количество конечной продукции
отраслей, выраженный в текущих ценах, составляет валовой внутренний продукт страны.
3. Определите правильную последовательность вычисления матрицы полных материальных затрат на основании матрицы прямых
материальных затрат:
а) вычислить разность матриц E – A, затем – определитель и адъюнкты этой разности; б) вычислить миноры матрицы разности E – A;
в) вычислить частные от деления адъюнктов на определитель матрицы разности E – A и составить матрицу из вычисленных элементов;
г) транспонировать матрицу разности E – A.
112
4. В открытой модели В. Леонтьева определяются следующие условия равновесия:
а) спроса на конечный продукт производства и выпуск каждой
отрасли; б) материальных и трудовых ресурсов каждой отрасли и
всей сферы производства; в) стоимости отраслевых выпусков и трудовых затрат каждой отрасли; г) стоимости отраслевых выпусков и
ставки заработной платы; д) цен на продукцию отраслей и ставки заработной платы.
5. Основные предположения при синтезе замкнутых межотраслевых моделей состоят в следующем:
а) экономика обособлена; б) государство в экономике не участвует; в) в экономике существует дефицит трудовых ресурсов; г) цены на
продукцию и труд формируются на основе спроса и предложения; д)
все виды отраслевого продукта для домохозяйств становятся промежуточной продукцией; е) труд в модели является промежуточным
продуктом; ж) технологические возможности отраслей и возможности домохозяйств не ограничивают производство продукции в любом
сочетании.
4.9.3. Задачи
1. Матрица прямых материальных затрат имеет следующий вид:
a12
a13 
0


0,30
0
a
23

 . Вычислите матрицу полных материальных затрат.
 0, 25 0, 40 0 


2. Определите условия равновесия производства отраслевой и
конечной продукции при известной из предыдущей задачи матрице
полных материальных затрат и заданного вектора конечной продукции y1 = 400, y2 = 300, y3 = 500.
3. Определите условия равновесия производства отраслевой продукции и общих трудозатрат при заданном векторе коэффициентов
трудозатрат l1 = 1,2; l2 = 1,5; l3 = 2,5 и вычисленном ранее равновесном выпуске отраслевых продуктов.
4. Вычислите значения предельных отраслевых продуктов на основании решенной выше задачи о матрице полных материальных затрат.
113
5. Вычислите значения предельных трудозатрат отраслей по известной из решения первой задачи матрице полных материальных затрат и вектору коэффициентов трудозатрат l1 = 1,2; l2 = 1,5; l3 = 2,5.
6. Вычислите значения предельных общих трудозатрат по данным о предельных отраслевых трудозатратах, известным из решения
предыдущей задачи.
114