Структура

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Математическая логика и теория алгоритмов
Специальность
090301 Компьютерная безопасность
Специализация
Математические методы защиты информации
Квалификация выпускника
Специалист
Форма обучения
очная
Саратов,
2012
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины является: овладение основными идеями и методами классической логики, как инструмента построения доказательств в математических дисциплинах, а также понятиями эффективности алгоритмов и
вычислений.
Изучаются разделы:
- исчисление высказываний, исчисление предикатов;
- приложения математической логики в теории булевых функций; к значные булевы функции; псевдобулевы функции и их представление рядами Фурье;
- теория доказательств (аксиоматические системы исчисления высказываний и предикатов; принцип резолюции);
- представление о теориях и моделях языков 1-го порядка;
- машины Тьюринга и частично рекурсивные функции Клини;
- приложение теории алгоритмов к исследованию систем;
- алгоритмически неразрешимые проблемы.
В процессе изучения курса студенты получают навыки применения современного аксиоматического метода в разных областях математики; методов теории моделей и теории алгоритмов для исследования свойств математических теорий; аппарата булевых функций в теории кодирования и
криптологии; машины Тьюринга в качестве основной вычислительной модели
в теории сложности вычислений.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный цикл. Базовая часть» ФГОС-3.
Для изучения дисциплины необходимы базовые знания, умения и готовности полученные обучающимися в результате освоения школьных курсов математики и информатики.
Компетенции, знания, умения и готовности, сформированные у обучающихся в результате освоения данной дисциплины, необходимы для изучения следующих курсов: «Дискретная математика», «Теория информации», «Сложность
вычислений», «Формальные языки и грамматики», «Введение в криптоанализ»,
«Криптографические свойства булевых функций».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины у студента должны сформироваться и
закрепиться следующие компетенции:
пособсностью логически верно, аргументировано и ясно строить устную
и письменную речь на русском языке, готовить и редактировать тексты
профессионального назначения, публично представлять собственные и
известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-7);
способностью к письменной и устной деловой коммуникации, к чтению и
переводу текстов по профессиональной тематике на одном из иностранных языков (ОК-8);
способностью к логически-правильному мышлению, обобщению, анализу,
критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию, постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на
основании принципов научного познания (ОК-9);
способностью самостоятельно применять методы и средства познания,
обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том
числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, изменения вида своей профессиональной деятельности (ОК-10);
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, применять достижения современных информационных технологий для поиска и обработки больших объемов информации
по профилю деятельности в глобальных компьютерных системах, сетях, в
библиотечных фондах и в иных источниках информации (ПК-3)
способностью применять методологию научных исследований в профессиональной деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными проектами (ПК-4);
способностью использовать нормативные и правовые документы в своей
профессиональной деятельности (ПК-5);
способностью работать с программными средствами прикладного, системного и специального назначения (ПК-8);
способностью использовать языки и системы программирования, инструментальные средства для решения различных профессиональных, исследовательских и прикладных задач (ПК-9);
способностью формулировать результат проведенных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-10);
способностью к самостоятельному построению алгоритма, проведению
его анализа и реализации в современных программных комплексах (ПК12);
способностью готовить научно-технические отчеты, обзоры, публикации
по результатам выполненных работ (ПК-17);
способностью разрабатывать вычислительные алгоритмы, реализующие
современные математические методы защиты информации (ПСК-2.3);
способностью моделировать алгоритмы в системах компьютерной алгебры, оценивать их работоспособность и эффективность (ПСК-2.4);
В результате изучения базовой части цикла обучающийся должен :
Знать:
основные понятия математической логики и теории алгоритмов;
применения математической логики и теории алгоритмов к исследованию
полноты и разрешимости теорий;
Уметь:
находить представления и исследовать свойства булевых и многозначных
функций формулами в различных базисах;
строить модели и формализации в разных математических областях;
Владеть:
навыками использования математической логики в приложениях;
методами построения доказательств в математических дисциплинах.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц 144 час.
№
п/п
Раздел дисциплины
Семест
р
Неделя
семестра
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
1
2
2.1
Введение
Исчисления
Исчисление
высказываний
1
1
1
1
1-10
1-7
Ле:1
Ле:18
Ле:12
Пр:18
Пр:10
С:12
С:6
2.2
Исчисление
1
предикатов
Языки, теории 1
и модели 1-го
порядка.
Теория алго1
ритмов. Уточнение понятия
алгоритма и
вычислимости
7-10
Ле:6
Пр:8
С:6
11
Ле:2
Пр:2
С:4
12-16
Ле:10
Пр:16
С:6
3
4
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
Контрольная
бота №1
На 7 неделе
ра-
Контрольная
бота №2
На 16 неделе
ра-
5
6
7
Теория слож- 1
17
ности вычислений
Неклассиче1
18-19
ские логики
Промежуточная аттестация
1
Итого:
Ле:2
С:2
Ле:3
С:3
Ле:36
Пр:36
С:27
Экзамен
45
Содержание учебной дисциплины
1. Введение. История становления математической логики. Предмет математической логики. Роль математической логики по отношению к другим математическим наукам.
2. Исчисления
2.1. Исчисление высказываний
- Алгебра высказываний. Логические законы. Основные теоремы логики
высказываний
- Приложения логики высказываний в теории булевых функций. Нормальные формы
- Полнота и замкнутость систем булевых функций. Теорема о функциональной полноте.
- Релейно-контактные схемы.
- Аксиоматические системы исчисления высказываний. Теорема о дедукции. Теорема Геделя о полноте исчисления высказываний.
- Теория моделей исчисления высказываний.
Практические занятия
[1], упражнения к главе 1, раздел 1.
Самостоятельная работа
[2], гл.1
2.2. Исчисление предикатов
- Предикаты. Истинностные таблицы предикатных формул. Условия перенесения теорем логики высказываний на предикатные формулы.
- Аксиоматические системы исчисления предикатов. Теорема о дедукции.
Принцип резолюции.
Практические занятия
[1], упражнения к главе 2, раздел 1.
Самостоятельная работа
[1], упражнения к главе 2, раздел 1.
3. Языки, модели и теории 1-го порядка.
Обобщенная теорема о полноте. Теорема о компактности. Примеры теорий
1-го порядка. Реляционная алгебра и реляционное исчисление.
Практические занятия
[1], упражнения к главе 2.4, раздел 1.
Самостоятельная работа
[1], глава 2.3, 2.4, раздел 1.
4. Теория алгоритмов. Уточнение понятия алгоритма и вычислимости
- Интуитивное понятие алгоритма. Машина Тьюринга, как уточнение интуитивного алгоритма. Нормальные алгоритмы Маркова.
- Частично рекурсивные функции Клини. Тезис Черча. Класс примитивно
рекурсивных функций. Теоремы замкнутости для класса примитивно рекурсивных множеств и предикатов. Возвратная рекурсия. Функции на n-ках.
Канторовская нумерация.Рекурсивно перечислимые множества и предикаты.
Н.и д. условия рекурсивной перечислимости. Теоремы замкнутости для
класса рекурсивно перечислимых множеств и предикатов. Порожденные
множества. Рекурсия второй ступени. Универсальные функции. Теорема
Клини о нормальной форме частично рекурсивных функций. Неразрешимые
теории. Приложение теории алгоритмов к исследованию систем.
Практические занятия
[1], упражнения к главе 1, раздел 2.
Самостоятельная работа
[1], глава 1,2, раздел 2.
5. Теория сложности вычислений
- Меры сложности. Теорема об ускорении.
Самостоятельная работа
[1], глава 3, раздел 2,
6. Неклассические логики
- K-значные логики. 1-я и 2-я формы k-значной логики. Критерии полноты.
- Псевдобулевы функции и их представление рядами Фурье.
Самостоятельная работа
[2], глава 2.
5. Образовательные технологии
Рекомендуемые образовательные технологии: использование методических
материалов сайта кафедры Теоретических основ компьютерной безопасности и
криптографии, тестирование и использование материалов курса «Математическая логика и теория алгоритмов» на портале course.sgu.ru.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. А.Н..Гамова. Математическая логика и теория алгоритмов.
Учебное пособие. Изд-во СГУ, 3-е изд., дополненное. Саратов, 2006.
2. А.Н..Гамова. Математическая логика и теория алгоритмов.
Учебное пособие. Изд-во СГУ, 2-е изд., дополненное. Саратов, 2000.
3. А.Н..Гамова. Математическая логика и теория алгоритмов.
Учебное пособие. Изд-во СГУ, 3-е изд., дополненное. Саратов, 1998.
4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику : учеб. пособие / С. В.
Яблонский ; под ред. В. А. Садовничего ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 4-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2006. - 384 с.
б) дополнительная литература:
5. В.А. Успенский, Н.К. Верещагин, В.Е. Плиско. Вводный курс математической логики. М:ФИЗМАТЛИТ,2007.
6. C.К.Клини. Математическая логика. Изд-во Мир.М, 1973..
7. И.А.Лавров, Л.Л.Максимова. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов.М:Наука,1975.
8. А.И.Мальцев. Алгоритмы и рекурсивные функции.М:Наука,1965.
9. К.Катленд. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций.Пер.с англ.М:Мир,1983.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционная аудитория с возможностью демонстрации электронных презентаций при уровне освещения, достаточном для работы с конспектом.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по специальности 090301 «Компьютерная
безопасность» и специализации «Математические методы защиты информации».
Автор
доцент
А.Н.Гамова
Программа одобрена на заседании кафедры теоретических основ компьютерной
безопасности и криптографии от «___» __________2012 года, протокол № ___
Зав. кафедрой
теоретических основ
компьютерной безопасности и криптографии
профессор
В.Н.Салий
Декан факультета
компьютерных наук
и информационных технологий
доцент
А.Г.Федорова