об одном алгоритме построения линий раздела между

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ РАЗДЕЛА
МЕЖДУ ВЕЩЕСТВАМИ ПРИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЯХ
Н.Г. КАРЛЫХАНОВ, А.В.СОКОЛОВ
РФЯЦ — ВНИИ технической физики им. акад. Е.И. Забабахина, Снежинск, Россия
При решении задач динамики многокомпонентных сред часто используют лагранжев–эйлеров метод. При
этом возникает проблема отслеживания, в процессе счёта, границ между компонентами среды. Способы решения данной проблемы рассмотрены в [1]. В настоящей работе предлагается один подход для построения координат линии раздела веществ.
1. СУТЬ МЕТОДА
Суть построения линии раздела веществ состоит в следующем. В начальный момент времени в центры
ячеек помещаются маркеры. Маркер характеризуется координатами его положения и номером вещества, который имеет целочисленное значение. В процессе счёта маркеры двигаются со скоростью вещества. В каждый
момент времени номера веществ образуют двумерную функцию по координатам маркеров. Если построить
полуцелые изолинии этой функции, то их можно интерпретировать, как линию границы между веществами.
Для построения изолиний можно было воспользоваться стандартными программами, но было решено создать
специализированную, которая на наш взгляд более экономична.
Данный способ построения реализован на методическом уровне, и его работоспособность проиллюстрирована на решении задачи о вихревом движении слабо сжимаемой жидкости.
2. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОЛИНИЙ
Рассмотрим метод поэтапно. В начальный момент времени в центры ячеек помещаются маркеры. В граничных ячейках маркеры ставятся в узлах на гранях, по которым проходит граница системы.
Например, рассмотрим следующую область, покрытую равномерной сеткой 40×20 ячеек, содержащую два
вещества.
Здесь зелёными и красными кружочками выделены маркеры, которые обозначают два вещества. Синие
маркеры – граничные. Рассмотрим выделенную область подробнее.
2
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
Затем строим триангуляцию маркеров методом Делоне [2].
Здесь коричневым цветом выделены линии сетки, серым – линии триангуляции.
Точки раздела сортов между веществами ставятся по следующему правилу:
Рассмотрим список треугольников, полученный после триангуляции. Маркеры являются вершинами треугольников.
– Если на грани треугольника маркеры разных сортов, то ставим точку раздела по середине между ними.(Рис.1)
– Если в треугольник входят точки, описывающие границу системы, то точку раздела ставим непосредственно на границу. (Рис.2)
Рис. 1
Рис. 2
VIII Забабахинские научные чтения
3
В результате применения указанного алгоритма, получим следующую ломаную линию, которая обозначена на рис.3 синим цветом.
Рис. 3
Таким образом, после построения триангуляции и проведения линий раздела сред, получим следующие
области.
По завершению данного этапа мы знаем линии раздела между веществами. По этим данным можем вычислить
объёмы веществ в смешанных ячейках.
3. РАСЧЁТ МАССОВЫХ КОНЦЕНТРАЦИЙ
После лагранжева этапа при переинтерполяции всех величин с учетом всех законов сохранения на эйлерову сетку возникает проблема вычисления концентраций веществ в смешанных ячейках. Для её решения воспользуемся принципом равенства давлений компонент смеси. (Первые 2 строчки системы уравнений 1).
4
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
⎧ P1 ( ρ1 , T ) = P2 ( ρ2 , T )
⎪
⎪…………………
⎪P (ρ ,T ) = P (ρ ,T )
(1)
n −1 n −1
⎨ n n
⎪ n
⎪ ρ V =m
k k
cell
⎪
⎩ k =1
Эта система не будет замкнутой. Для замыкания воспользуемся уравнением, отражающим факт того, что
сумма масс компонент смеси ячейки равна массе ячейки. Получаем систему уравнений (1).
Здесь n — количество веществ в ячейке, а k — номер вещества. T — температура в ячейке, Vk — объём
∑
k–го вещества, ρ k — плотность k–го вещества в ячейке, mcell — масса ячейки. Считаем, что температура компонент смеси в ячейке одинаковая. Решая систему уравнений (1), мы находим плотности веществ в ячейке ρk ,
а далее массовые концентрации веществ в ячейке по следующей формуле.
ρ V
Ck = k k
mcell
4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для иллюстрации работоспособности предложенной методики был проведён расчет движения изотермического газа. Решалась следующая система уравнений (2), которая отображает закон сохранения массы и импульса.
⎧ ∂ ⎛1⎞ ∂ σ
∂ σ
R ( ZβU − RβV ) +
R (− Z αU + RαV );
⎪q ⎜ ⎟ =
t
∂
ρ
∂α
∂β
⎝ ⎠
⎪
⎪
⎡⎛ ∂P
∂P ⎞ ⎤
⎪ ∂U
(2)
+ R σ ⎢⎜ Zβ
− Zα
⎨q
⎟ ⎥ = 0;
∂β ⎠ ⎦
⎣⎝ ∂α
⎪ ∂t
⎪
⎪q ∂V + R σ ⎢⎡⎛ − R ∂P + R ∂P ⎞ ⎥⎤ = 0.
α
⎜ β
⎟
⎪⎩ ∂t
∂α
∂β ⎠ ⎦
⎣⎝
Система уравнений (2) решалась численно. Разностная аппроксимация и обозначения были взяты из работы [3].
Расчет давления в смешанной ячейке проводился следующим образом: на лагранжевом этапе концентрации веществ не меняются, т.к. нет перетекания веществ через грани ячейки.
Воспользуемся принципом равенства давлений компонент смеси. (Первые 2 строчки системы уравнений
3). Составим систему уравнений.
⎧ P1 ( ρ1 , T ) = P2 ( ρ2 , T ) ;
⎪
⎪…………………
⎪P (ρ ,T ) = P (ρ ,T ) ;
(3)
n −1 n −1
⎨ n n
⎪ n
⎪ Ck = 1 .
⎪
ρ
ρ
⎩ k =1 k
∑
Эта система не будет замкнутой. Для замыкания воспользуемся уравнением, отражающим факт того, что
сумма удельных объёмов компонент, умноженных на концентрацию равна удельному объёму.
Отсюда находим ρk как функцию от ρ (плотности в ячейке). Давление в ячейке P выражается через
плотность и рассчитывается по формуле.
P = Pk ( ρk ( ρ ) ) ,
где k — произвольное число из интервала от 1 до n.
В случае нелинейности уравнений состояния, система (3) решается методом Ньютона.
VIII Забабахинские научные чтения
5
5. ТЕСТОВЫЙ РАСЧЕТ
Рассматривается цилиндрическая область, содержащая 2 вещества с различными начальной плотностью и
скоростью звука. Система находится в поле тяжести g. ГУ на осях: не протекания и свободное скольжение,
которые математически выглядят следующим образом.
ГУ:
Z: V = 0; dU/dR = 0
R: U = 0; dV/dZ = 0
g
Z
R
Динамика движения представлена на следующих картинках.
Номер шага = 0
Номер шага = 50
6
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
Номер шага = 100
Номер шага =150
Номер шага = 200
Номер шага = 250
Номер шага = 300
Номер шага = 350
VIII Забабахинские научные чтения
7
6. НЕДОСТАТКИ МЕТОДА
К недостатку данного метода можно отнести то, что триангуляция Делоне неоднозначна. Это приводит
к тому, что малое изменение координат маркеров может привести к резкому перестроению триангуляции.
(Рис. 4)
Рис. 4
7. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МЕТОДА
–
–
–
–
В дальнейшем, триангуляция будет проводиться только в районе границ раздела веществ.
Сглаживание линий раздела.
Увеличение количества маркеров в ячейке.
Регенерация и прореживание маркеров. Они проводятся таким образом, чтобы не нарушалась граница
раздела между веществами.
Ссылки
1.
2.
3.
Анучина Н.Н., Волков В.И., Еськов Н.С., Илютина О.С., Козырев О.М. «Двумерное и трёхмерное моделирование
развития неустойчивости Релэя–Тейлора для цилиндрической и сферической геометрий». Математическое моделирование. 2004г., т.16,№2, стр.69–86.
Ф. Препарата, М. Шеймос «Вычислительная геометрия: введение». Москва, «Мир», 1989.
Н.В.Первиненко, В.Д.Фролов «Неявная разностная методика расчёта двумерных задач газовой динамики с теплопроводностью». В кн. «Проблемы вязких течений (Труды VIII Всесоюзной школы семинара по численным методам механики вязкой жидкости)», ИТПМ СО АН СССР Новосибирск, 1981.