СД.Ф.8. Числовые системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
Учебно-методический комплекс
СД.8 ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
Основная образовательная программа подготовки специалиста
по специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью «Информатика»
050203.65 Физика с дополнительной специальностью
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
Раздел 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1. 1 Автор программы: Беляев В.Я., к.ф.-м.н., доцент.
1.2 Рецензенты: Зубова Юлия Владимировна, кандидат физ.-мат. наук, научный сотрудник
кафедры физики МГТУ, Мартынов Олег Михайлович, кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры
математики и МОМ МГПУ.
1.3 Пояснительная записка:
 Цели: перевести интуитивные знания о числах (натуральных, целых, рациональных,
действительных и др.) на твердую основу доказательств, опирающихся на аксиомы, дать
обоснование школьного материала, касающегося построения числовых систем.
 Задачи: предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами
математической логики и алгебры. Успешное усвоение курса «Числовые системы» залог более лёгкого и глубокого изучения этих курсов.
 Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать, должны уметь):
должны знать: основные способы построения числовых систем с полным их обоснованием,
понимать различие интуитивного школьного построения чисел от строгого аксиоматического
построения.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал,
творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных
условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
1.4 Извлечение из ГОС ВПО
Числовые системы
Аксиоматическая теория натуральных чисел. Формулировка аксиоматической теории
натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел. Неравенства на множестве
натуральных чисел. Натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства.
Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел. Независимость аксиомы
индукции и ее роль в арифметике. Эквивалентность аксиомы индукции и теоремы о
наименьшем элементе. Упорядоченные множества и системы.
Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел, теорема о порядке.
Непротиворечивость и категоричность аксиоматической теории целых чисел.
Аксиоматическая теория рациональных чисел. Первичные термины и аксиомы. Свойства
рациональных чисел. Плотность поля рациональных чисел. Непротиворечивость и
категоричность аксиоматической теории рациональных чисел.
Последовательности в нормированных полях.
Аксиоматическая теория действительных чисел. Действительное число как предел
последовательности рациональных чисел, существование корня натуральной степени из
положительного действительного числа. Аксиоматическая теория комплексных чисел.
Линейные алгебры над полями. Теорема Фробениуса.
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы
(для всех специальностей, на которых читается данная дисциплина):
№
п/
п
1
2
Шифр и
наименование
специальности
050201.00 –
«Математика и
информатика»
050203.00 –
Кур
с
Семест
р
Виды учебной работы в часах
Трудое Всего ЛК ПР ЛБ
СР
мкость
ауд
Вид
итогового
контроля
4
7
90
48
26
22
42
экзамен
4
7
90
48
26
22
42
экзамен
«Физика и
информатика»
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
Наименование раздела темы
Количество часов
все
го
л
е
к
ц
и
и
п
р
а
к
т
и
ч
е
с
к
и
е
з
а
н
я
т
и
я
107,1
§1. Натуральные числа
§2. Целые числа
§3. Рациональные числа
§4.Действительные числа
§5. Комплексные, дуальные, р-адические числа
§6.Линейные алгебры над полями. Теорема
Фробениуса.
к
о
н
т
р
о
л
ь
н
ы
е
р
а
б
о
т
ы
26 22 10,8
2
2
4
4
4
4
4
4
6
4
6
4
с
а
м
о
с
т
о
я
т
е
л
ь
н
а
я
р
а
б
о
т
а
38
6
6
6
8
6
6
к
о
л
л
о
к
в
и
у
м
Форма
отчета
З
Э
а
кз
ч
ам
е
ен
т
-
6,3
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
§1. Натуральные числа
Аксиоматическая теория натуральных чисел. Формулировка аксиоматической теории
натуральных чисел.
Сложение и умножение натуральных чисел. Неравенства на множестве натуральных чисел.
Натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства. Категоричность
аксиоматической теории натуральных чисел. Независимость аксиомы индукции и ее роль в
арифметике. Эквивалентность аксиомы индукции и теоремы о наименьшем элементе.
Упорядоченные множества и системы.
§2. Целые числа
Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел, теорема о порядке.
Непротиворечивость и категоричность аксиоматической теории целых чисел.
§3. Рациональные числа
Аксиоматическая теория рациональных чисел Первичные термины и аксиомы. Свойства
рациональных чисел. Плотность поля рациональных чисел. Непротиворечивость и
категоричность аксиоматической теории рациональных чисел Последовательности в
нормированных полях.
§4. Действительные числа
Аксиоматическая теория действительных чисел. Действительные числа как предел
последовательности рациональных чисел, существование корня натуральной степени из
положительного действительного числа.
§5. Комплексные, дуальные, р-адические числа Аксиоматическая теория комплексных чисел.
Комплексные, дуальные, р-адические числа Аксиоматическая теория комплексных чисел.
§6. Линейные алгебры над полями. Теорема Фробениуса.
Линейные алгебры над полями. Теорема Фробениуса.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№ Наименование раздела
п/п дисциплины.
Тема.
§1. Натуральные числа
§2. Целые числа
§3. Рациональные числа
§4.Действительные числа
§5. Комплексные, дуальные, р-адические
числа
§6.Линейные алгебры над полями.
Теорема Фробениуса.
Форма
самостоятельной
работы
вопросы
для
самостоятельного
изучения,
- домашние работы
контрольная
работа
Колво
часов
38
Форма
контроля
выполнения
самостоятельной работы
- проверка домашних
работ,
- проверка контрольной
работы,
- доп. вопросы на зачете
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу:
Практические занятия.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
Дополнительная
1. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
2. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
3. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
4. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
5. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.9.1. Перечень используемых технических средств: компьютеры.
1.9.2. Перечень используемых пособий - электронная библиотека кабинетов №11, №13.
1.9.3.Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения. Математические
пакеты Maple, Mathematica 5.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
1.12 Комплект экзаменационных билетов.
1.13 Примерная тематика рефератов.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
1.16 Методика(и) исследования (если есть).
1.17 Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по данной дисциплине.
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и
контрольные задания для студентов заочной формы обучения. (нет заочной формы
обучения).
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция № 1. Натуральные числа
Аксиоматическая теория натуральных чисел. Формулировка аксиоматической теории
натуральных чисел.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 2. Натуральные числа.
Сложение и умножение натуральных чисел. Неравенства на множестве натуральных чисел.
Натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства. Категоричность
аксиоматической теории натуральных чисел. Независимость аксиомы индукции и ее роль в
арифметике. Эквивалентность аксиомы индукции и теоремы о наименьшем элементе.
Упорядоченные множества и системы.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 3. Целые числа.
Аксиоматическая теория целых чисел.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 4. Целые числа.
Свойства целых чисел, теорема о порядке. Непротиворечивость и категоричность
аксиоматической теории целых чисел.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 5. Рациональные числа.
Аксиоматическая теория рациональных чисел Первичные термины и аксиомы. Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 6. Рациональные числа.
Свойства рациональных чисел. Плотность поля рациональных чисел. Непротиворечивость и
категоричность аксиоматической теории рациональных чисел Последовательности в
нормированных полях.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция №7. Действительные числа.
Аксиоматическая теория действительных чисел.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 8. Действительные числа.
Действительные числа как предел последовательности рациональных чисел, существование
корня натуральной степени из положительного действительного числа. Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 9. Комплексные, дуальные, р-адические числа.
Комплексные, дуальные, р-адические числа.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 10. Комплексные, дуальные, р-адические числа.
Комплексные, дуальные, р-адические числа.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 11. Аксиоматическая теория комплексных чисел.
Аксиоматическая теория комплексных чисел.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 12. Линейные алгебры над полями.
Линейные алгебры над полями.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 13. Линейные алгебры над полями.
Линейные алгебры над полями.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
Лекция № 14. Теорема Фробениуса.
Теорема Фробениуса.
Литература:
1. Смолич Ю. Н.Числовые системы : учеб. пособие / Ю. Н. Смолич. - М.: Флинта, 2009
2. Ларин С.В. Числовые системы. – М.: «Академия», 2001
3. Нечаев В.И. Числовые системы. – М:. Просвещение,1975.
4. Стол Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.:Наука,1971.
5. Блох А.Ш. Числовые системы.- Минск: Вышейшая школа, 1982.
6. Феферман С. Числовые системы. Обоснование алгебры и анализа.-М.: Наука.1971.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач по темам лекций.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы.
Характер
Номер и дата
Подпись заведующего
Подпись декана
изменений в протокола заседания
кафедрой,
факультета (проректора
программе
кафедры, на котором
утверждающего
по учебной работе),
было принято
внесенное изменение
утверждающего данное
данное решение
изменение
Раздел 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Учебный год Факультет
2010-2011
ФМОИиП
2011-2012
ФМОИиП
2012-2013
ФМОИиП
Беляев В.Я., к.ф.-м.н.
Беляев В.Я., к.ф.-м.н.
Беляев В.Я., к.ф.-м.н.
Специальность
050201.00 МАТЕМАТИКА
С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬЮ
050201.00 МАТЕМАТИКА
С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬЮ
050201.00 МАТЕМАТИКА
С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬЮ