Общий шаблон

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»
(лектор проф. Жмулёва А.В.)
2010-2011 учебный год
1. ВВЕДЕНИЕ.(0,5 ч.)
Содержание, цели и задачи курса, организация процесса обучения.
2. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ. (0,5 ч.)
Схема построения аксиоматической теории. Свойства
аксиоматических теорий: независимость, непротиворечивость,
категоричность, эквивалентность двух формулировок
аксиоматической теории, понятие модели и интерпретации
аксиоматической теории.
3. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.(8 ч.)
Первичные термины, аксиомы, свойства сложения и умножения
натуральных чисел. Порядок на множестве натуральных чисел.
Свойства неравенств. Теоремы о наибольшем и наименьшем
элементе подмножества натуральных чисел. Бесконечность
множества натуральных чисел. Аксиоматика Пеано. Эквивалентность
двух формулировок аксиоматической теории натуральных чисел.
Свойства натуральных кратных элемента полугруппы.
Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел.
Независимость аксиомы индукции и её роль в арифметике.
4. УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ.(4 ч.)
Отношение порядка, его свойства. Понятие упорядоченной группы,
упорядоченного кольца. Свойства элементов упорядоченной группы,
упорядоченного кольца Существование и единственность линейного
и строгого порядка в полукольце натуральных чисел. Критерии
существования, единственности и продолжения порядка в кольце.
5. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.(3 ч.)
Определение системы целых чисел, первичные термины, аксиомы.
Представление целых чисел через натуральные .Свойства целых
чисел. Порядок в кольце целых чисел: существование,
единственность, продолжение порядка. Непротиворечивость и
категоричность аксиоматической теории целых чисел.
6. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.(1 ч.)
Определение системы рациональных чисел, первичные термины,
аксиомы. Представление рациональных чисел через целые. Порядок в
поле рациональных чисел: существование, единственность,
продолжение. Непротиворечивость и категоричность
аксиоматической теории чисел.
7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЯХ. (4 ч.)
Понятие нормы, свойства нормы. Примеры норм: тривиальная,
естественная, р-адическая .Определения сходящейся, ограниченной,
фундаментальной по норме последовательности элементов
нормированного поля. Определение и свойства эквивалентных по
норме последовательностей. Свойства последовательностей
элементов нормированного поля. Свойства последовательностей
элементов линейно-упорядоченного поля. Свойства
последовательностей элементов архимедовски упорядоченного
поля.
.
8. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.(8 ч.)
Определение системы действительных чисел, первичные
термины, аксиомы. Представление действительных чисел через
рациональные. Свойства действительных чисел: существование
корня натуральной степени из положительного действительного
числа, теорема о двойной последовательности, теорема о
сечении.
Непротиворечивость
и
категоричность
аксиоматической теории действительных чисел.
9. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.(1 ч.)
Определение системы комплексных чисел, первичные термины,
аксиомы. Представление комплексных чисел через
действительные. Теоремы о порядке. Непротиворечивость и
категоричность аксиоматической теории комплексных чисел.
10. АЛГЕБРЫ КОНЕЧНОГО РАНГА.(2ч.)
Дальнейшие расширения поля комплексных чисел. Линейные
алгебры с делением конечного ранга над полем комплексных
чисел, линейные ассоциативные алгебры с делением ранга 2 и
ранга 3 над полем действительных чисел. Линейная
ассоциативная алгебра с делением ранга 4 ( тело кватернионов)
над полем действительных чисел. Теорема Фробениуса.
ЛИТЕРАТУРА
1.Ван-Хао, Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории
множеств. М. «Иностранная литература», 1963.
2.Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. М. Учпедгиз,1959
3.Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы.М.
«Наука»,1972.
4.Мальцев А.И. Алгебраические системы. М. «Наука» 1970.
5.Нечаев В.И. Числовые системы. М. «Просвещение», 1975.
6.Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.
«Просвещение», 1968.
7.Феферман Числовые системы.
2
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ:
«ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ»
1. Две формулировки аксиоматической теории натуральных чисел,
их эквивалентность.
2. Свойства сложения натуральных чисел.
3. Свойства умножения натуральных чисел.
4. Теорема о трихотомии.
5. Определение и свойства отношения «>» на ℕ .
6. Теорема о наибольшем элементе подмножества натуральных чисел.
7. Теорема о наименьшем элементе подмножества натуральных чисел.
8. Бесконечность множества натуральных чисел.
9. Независимость аксиомы индукции и её роль в арифметике.
10.Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел.
11.Свойства элементов линейно и строго упорядоченного кольца.
12.Критерий существования линейного и строгого порядка в кольце.
13.Критерий единственности линейного и строгого порядка в кольце.
14.Аксиоматическая теория целых чисел. Теорема о представлении целых
чисел через натуральные.
15.Теорема о порядке в кольце целых чисел.
16.Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел.
17.Категоричность аксиоматической теории целых чисел.
18.Теорема о представлении рациональных чисел через целые.
19.Теорема о порядке в поле рациональных чисел.
20.Теорема о том, что всякое линейно упорядоченное поле содержит
подполе, изоморфное полю рациональных чисел.
21.Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел.
22.Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел.
23.Определение и свойства нормы. Примеры норм.
24.Теорема о существовании фундаментальной последовательности
линейно архимедовски упорядоченного поля, k-я степень которой
сходится к  по норме  .
25.Теорема о фундаментальности возрастающей и ограниченной
последовательности элементов нормированного поля.
26.Теорема о представлении действительных чисел через рациональные.
27.Теорема о существовании корня квадратного из положительного
действительного числа.
28.Теорема о двойной последовательности.
29 Теорема о сечении.
30.Теорема о единственности линейного порядка в поле действительных
чисел.
31.Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел.
32.Категоричность аксиоматической теории действительных чисел.
33.Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел.
34.Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел.
36.Линейная ассоциативная алгебра с делением ранга 4 над полем
действительных чисел.
37.Теорема Фробениуса.
3
4