Моделирование метаболических путей. Стехиометрические

Моделирование
метаболических путей
Стехиометрические модели
Плюснина Татьяна Юрьевна
Доц-т каф.биофизики
Биологического ф-та МГУ
Стехиометрические модели
(модели стационарных состояний)
- построение схемы метаболического пути
- вывод уравнений баланса для каждого метаболита и
объединение в систему дифференциальных уравнений
- рассмотрение стационарных состояний, получение
системы алгебраических уравнений
- постановка задачи оптимизации
- анализ распределения стационарных метаболических
потоков
Представление скорости реакции
В соответствии с законом действующих масс
(скорость реакции пропорциональна вероятности столкновения реагентов, а
вероятность в свою очередь пропорциональна концентрации реагентов с учетом
молекулярности реакции)
Для реакции
скорость записывается как
v - общая скорость реакции
v+ - скорость прямой реакции
v- - скорость обратной реакции
В общем виде:
mi и mj соответсвуют
молекулярности Si и Pj
Скорость реакции может быть выражена как через концентрации
реагирующих веществ, так и в виде баланса скоростей прямых и
обратных реакций.
Стехиометрические коэффициенты
Стехиометрические коэффициенты обозначают пропорции
субстратов и продуктов, участвующих в реакции.
Пример:
Стехиометрические коэффициенты для S1 S2 и P: -1, -1 и 2.
Набор стехиометрических коэффициентов не единственен:
если считать, что для получения одного моля используется по половине
моля каждого субстрата S1 и S2, можно записать: -1/2, -1/2 и 1;
или если изменить направление реакции, тогда можно записать: 1,1 и -2.
ОДУ для одной и нескольких реакций
v
для реакции
v = v+ - v -
имеем ОДУ:
убыль субстрата S1 со скоростью v
сопровождается убылью субстрата S2 с той же
скоростью и удвоенной скоростью увеличения
концентрации продукта P
Для метаболической сети, состоящей из m метаболитов и r реакций,
динамика системы описывается системой m уравнений.
Уравнения наз. уравнениями баланса, поскольку рассматривается
баланс между синтезом и распадом метаболита:
nij – стехиометрические коэффициенты
метаболита i в реакции j
Стехиометрическая матрица
Стехиометрические коэффициенты nij, соответствующие
метаболиту Si и реакции vj могут быть объединены в
стехиометрическую матрицу:
v1
 n11

N   ...
n
 m1
v2
n12
...
nm 2
vr
... n1r S1

... ... 
... nmr Sm
N = {nij},
i = 1,…,m ; j = 1,…,r
каждая колонка соответствует реакции (r реакций)
каждая строка соответствует метаболиту (m метаболитов)
Стехиометрическая матрица
Пример
Для простейшей сети:
Реакции метаболической сети могут быть обратимы.
Чтобы определить знак коэффициентов, направление стрелок
искусственно выбирается как положительное «слева направо» и
«сверху вниз» по отношению к образованию метаболита.
v1
Стехиометрическая матрица:
v2
v3
v4
 1 1 0 1 S1


N   0 2 1 0  S2
 0 0 0 1  S3


Стехиометрическая матрица
для реакции v2:
v1
v2
v3
v4
 1 1 0 1 S1


N   0 2 1 0  S2
 0 0 0 1  S3


Строка 1: 1 молекула S1 расходуется (-1)
Строка 2: 2 молекулы S2 образуются (2)
Строка 3: S3 в этой реакции не участвует (0)
Примеры
S4+S5
S1+S2+S3
S1
S2
S2
S1
S3
S3
S4
Примеры
S4+S5
S1+S2+S3
S1
S2
S2
S1
S3
S3
S4
 1
 
 1
N   1
 
1
1
 
 1 1 0 0 0 


0 1 1 0 0 

N
 0 0 1 1 0 


0
0
0
1
1



 1 1 1


N  0 1 0 
0 0 1 


Примеры
S2
2S2
S1
S3
S2
S3
S1
S3
S2
S1
S2
S3
S4
Примеры
S2
2S2
S1
 1 1 0 1


N   0 2 1 0 
0 0 0 1 


S3
S2
S3
S1
S3
 1 1 1


N   0 1 1 
 0 1 1


S2
S1
S2
 1 1 0 0

0 0 1 1
N 
 0 0 1 1

0 0 0 0
S3
S4
0

0
0

1 
Математическое описание метаболической системы
Пример:
 S1 
 
S   S2 
S 
 3
вектор
метаболитов
 v1 
 
v2 

v
 v3 
 
 v4 
вектор
скоростей
 dS1 
 dt 
 v1 

  1 1 0 1    v1  v2  v4 
 dS 2    0 2 1 0    v2    2v  v 
2
3 
 v  
 dt  

v4

  0 0 0 1   3  

dS
v
3


 4
 dt 
 1 1 0 1 


N   0 2 1 0 
0 0 0 1 


стехиометрическая
матрица
уравнения баланса
Примеры
S4+S5
S1+S2+S3
S1
S2
S2
S1
S3
S3
S4
 dS1 
 dt 


dS
 2   1
 v1 
 dt   


v

1

1

  


dS
3

   1   v1    v1 
 dt   


v
 dS   1 
1


 v 
 4 1
 1 
 dt   
 dS5 


 dt 
 dS1 
 dt 

 1 1 0 0 0  v1 
    v1  v2 
 dS2  
v
 dt   0 1 1 0 0   2   v2  v3 
  v3  



dS

0
0
1
1
0
   v3  v4 
 3 
v

 dt   0 0 0 1 1  4   v4  v5 
v 
 dS 
 5
 4
 dt 
 dS1 
 dt 

  1 1 1  v1   v1  v2  v3 
dS

 2   0 1 0  v   
v2
2






 dt 







  0 0 1   v3  
v3

 dS3 


 dt 
Примеры
S2
2S2
S1
S3
S2
S3
S1
S3
S2
S1
S2
S3
S4
 dS1 
 dt 
 v1 
1

1
0

1
    v1  v2  v4 

 
 dS 2    0 2 1 0    v2    2v  v 
2
3 
 v  
 dt  
3

v4

  0 0 0 1    

v4 
 dS3 



 dt 
 dS1 
 dt 

  1 1 1  v1   v1  v2  v3 
dS
 2    0 1 1    v    v  v 
2
3 
  2 
 dt  






  0 1 1  v3   v2  v3 
 dS3 


 dt 
 dS1 
 dt 

 1 1 0 0
dS
 2  
 dt   0 0 1 1


dS
 3   0 0 1 1
 dt   0 0 0 0
 dS 
 4
 dt 
 v1 
0     v1  v2 


 v2
0     v3  v4 
  v3  
0     v3  v4 


 v4
1     v5 
 v5 
Построение стехиометрической модели
Строго, с учетом роста (и следовательно изменения объема)
уравнение для i-го метаболита в общем виде записываются как
dSi
  nij v j   Si
dt
j
Без учета фактора
разведения
dSi
  nij v j
dt
j
В стационарном состоянии
dSi
0
dt
Si – концентрация i-го метаболита
vi – скорость образования (или
потребления) метаболита
nij – стехиометрический коэффициент iго метаболита в j-й реакции
μiSi– фактор разведения
Алгебраическое уравнение
n v
ij
j
j
0
Построение стехиометрической модели
S  ( S1 , S 2 ,..., S n )T
вектор концентраций метаболитов
v  (v1 , v2 ,..., vn )T
вектор скоростей реакций
N
стехиометрическая матрица
dS
 Nv
dt
dS
0
dt
Nv  0
уравнения баланса
стационарное состояние
система алгебраических уравнений
Гипотетическая схема метаболических потоков
Метаболиты
Процессы
транспорт через внешнюю мембрану:
v1, v14
транспорт через внутренние мембраны:
v3, v8 – через мембрану митохондрии
внутренние:
A, B, C, E, F,– в цитоплазме v9, v10, v11, v13 – через мембрану
Bm, Dm, Em – в митохондрии хлоропласта
реакции превращения субстрата в продукт
Cc, Ec, Fc – в хлоропласте
v4, v5, v6, v7, v12
внешние:
Ae, Fe
Гипотетическая схема метаболических потоков
для метаболита В:
(Общая скорость образования метаболита В) =
= (скорость образования В) – (скорость потребления В)
Метаболический поток – нормированная скорость реакции.
Размерность потока – моль/ед.биомассы/время.
В матричном виде систему дифференциальных
уравнений можно записать как :
N
dX
 Nv
dt
X
nij
Nv  0
 ij
v
число молекул i-го метаболита,
вступающего в j-ю реакцию
скорость j-й реакции,
в которой участвует i-й метаболит
Размерность N в общем виде можно записать m  r,
m – это число метаболитов, участвующих в реакциях,
r – число реакций.
Построение стехиометрической модели
• Определить систему, для которой будет
построена стехиометрическая модель
(отдельный метаболический путь, органелла,
клетка, целый организм).
• Построить схему метаболического пути.
• Для каждого метаболита записать уравнения
баланса массы, объединить в систему
дифференциальных уравнений.
• Записать условия стационарного состояния,
получить систему алгебраических уравнений.
Соотношение числа метаболитов m и числа потоков r
В условиях стационарного состояния:
Nv  0
m – количество уравнений
r – количество переменных
Возможны три варианта:
1. m = r полностью определенная система. Решение единственно.
2. m < r недоопределенная система.
Означает, что недостаточно уравнений баланса для определения всех потоков.
Система уравнений может иметь бесконечное число решений.
Возможно:
а) доопределить, измерив дополнительные потоки,
б) использовать метод линейного программирования.
(Наиболее часто встречаемый случай)
3. m > r переопределенная система.
В случае, когда доступно множество экспериментальных измерений.
Решается методом псевдо-инверсий Мура-Пенроуза (Moore–Penrose)
Постановка задачи линейного
программирования для метаболической сети
(Метод анализа стационарных потоков, Flux Balance Analysis, FBA)
I. Определить пространство решений:
•
Уравнения баланса массы для всех метаболитов.
Nv  0
•
Ограничения на потоки - максимальные и минимальные
значения потоков (если известно).
i   i  i
II. Определить целевую функцию.
z   cij v j
j
Поиск оптимального решения
Ограничения:
Неограниченное
пространство
решений
Оптимизация
целевой функции
Допустимое
пространство
решений
Оптимальное
решение
Reed JL, Vo TD, Schilling CH, Palsson BO. 2003. An expanded genome-scale
model of Escherichia coli K-12 (iJR904 GSM/GPR). Genome Biol. 4:R54
Задача линейного программирования
Пример:
максимизировать
при условии:
Ограничения
(пространство решений)
Целевая функция
Выбор целевой функции
Целевая функция определяется из биологических потребностей клетки
или из биотехнологической задачи.
Примеры целевой функции:
1. Максимизировать продукцию АТФ.
2. Минимизировать поток питательных веществ из среды.
3. Минимизировать продукцию окислительновосстановительных эквивалентов (NAD(P)H).
4. Максимизировать продукцию определенного
метаболита.
5. Максимизировать биомассу.
Расчет биомассы:
а1 белок + a2 углеводы + a3 липиды + а4 ДНК + а5РНК + b АТФ →
→ с биомассы+ b АДФ+ продукты
Расчет биомассы
Расчет биомассы:
а1 белок + a2 углеводы + a3 липиды + а4 ДНК + а5РНК + b АТФ →
→ с биомассы+ b АДФ+ продукты
Техника анализа стационарных потоков
http://www.nature.com/nbt/web_extras/supp_info/nbt0201_125/info_frame.html
1. Выписываем все метаболиты и объединяем их в схему
Техника анализа стационарных потоков
http://www.nature.com/nbt/web_extras/supp_info/nbt0201_125/info_frame.html
2. Выписываем все метаболические потоки
Техника анализа стационарных потоков
http://www.nature.com/nbt/web_extras/supp_info/nbt0201_125/info_frame.html
уравнения баланса
ограничения на потоки
целевая функция
3. Записываем уравнения баланса, ограничения на потоки,
целевую функцию
Техника анализа стационарных потоков
http://www.nature.com/nbt/web_extras/supp_info/nbt0201_125/info_frame.html
4. Записываем стехиометрическую матрицу и уравнения баланса в
матричном виде
Техника анализа стационарных потоков
http://www.nature.com/nbt/web_extras/supp_info/nbt0201_125/info_frame.html
5. Получаем результаты оптимизации
Анализ метаболических потоков
Экспериментальные методы модификации штамма
• нокаутирование генов
• мутация генов с частичным изменением
каталитических и регуляторных свойств
• амплификация генов
• вставка генов из других (микро)организмов
Применение анализа метаболических путей
Метаболизм E.coli
Распределение метаболических потоков
для полного набора генов.
Целевая функция – максимум биомассы
при росте на глюкозе.
Способность E.coli адаптироваться к
утрате функциональности гена может
быть проанализирована путем удаления
гена из основного набора
Распределение метаболических потоков,
когда «выключен» ген sucA.
(ген sucA кодирует необходимый компонент реакции в ЦТК)
Поток перенаправляется через
глиоксилатный шунт.
Реакция Succ—SucCoA обращается.
Применение анализа метаболических путей
Метаболизм синезеленых водорослей
N.R. Boyle et al
J. Schwender (ed.), Plant Metabolic Networks, Springer Science+Business Media, LLC 2009
Метод элементарных мод
Рассматривает стационарные состояния.
Не требует оптимизации.
Учитывает обратимость реакций.
Рассматривает все возможные направленные пути от одного
внешнего метаболита к другому (при этом внутренние метаболиты
накапливаться не должны).
Элементарная мода – направленный путь, включающий набор
реакций от одного внешнего метаболита к другому.
S0
S1
S4
S2
S3
S0
S1
S4
S2
S3
Метод элементарных мод
Внешние метаболиты: S0, S3, S4
S0
S1
S2
S3
S0
S1
S4
S4
Элементарные моды
S2
S3
Метод элементарных мод
S0
S1
S2
S3
S4
 1   1   0   1  1  0 
           
1 0  1 1
0
1
A
v   , , , , , 
 1   0    1   1   0   1 
           
 0   1   1   0   1  1
S0
S1
S2
S4
 1   1   1  0 
       
1 0
0
1
B
v   , , , 
1 0  0   1 
       
 0   1   1  1
Число элементарных мод равно числу собственных векторов
стехиометрической матрицы.
Любой путь может быть представлен как линейная комбинация
элементарных мод.
Элементарная мода характеризуется своим уникальным набором
ферментов
S3
Применение метода элементарных мод
Применение метода элементарных мод