Моделирование оптимальной структуры кредитования фирмы несколькими бан-

Моделирование оптимальной структуры кредитования фирмы несколькими банками, обладающими различной рыночной властью
Филиппова Ирина Юрьевна,
аспирантка
Кисловодский институт экономики и права;
in63@mail.ru
Аннотация: Определена оптимальная структура финансирования
фирмы с участием нескольких банков с определением доли участия в кредитовании банка, имеющего привилегии относительно получения информации о ходе реализации проекта и обладающего рыночной властью.
Ключевые
слова: моделирование,
кредитование,
оптимизация,
структура кредита, риск
Abstract. The paper develops an optimal structure of firm financing by a
few banks and the participation share of bank having privileges in obtaining the information dealing with the firm project and having market power.
Keywords: modeling, lending, optimization, credit structure, risk
Введение
В анализе, проведенном в [1], выплата по кредиту D рассматривалась
как экзогенная переменная. Безусловно, это предположение игнорирует ограничения участия кредиторов в сделке.
Этот вопрос очень важен, поскольку размер кредита, полученного от
крупного кредитора, влияет не только на прибыль фирмы, но также на прибыль кредиторов. Чем выше размер кредита, полученного от крупного кредитора, тем больше множество состояний, в которых проект фирмы оказывается успешным, и мелкие кредиты погашаются в срок. Поэтому взаимозависимое кредитование увеличивает ожидаемые прибыли мелких кредиторов
или, альтернативно, снижает рисковую премию, включаемую в обещанную
выплату по кредиту D .
Оптимальное финансирование фирмы требует при заключении кредитного договора выбора параметров D и  , максимизирующих ожидаемые
прибыли при наличии ограничений участия в сделке для кредиторов.
В
принципе, возможны четыре следующих исхода.
1. Проект не может быть профинансирован, поскольку кредиторы обоих
типов не желают предоставлять кредит.
2. Проект финансируется только мелкими кредиторами (  0) .
3. Проект финансируется только крупным кредитором (  1) .
4. Проект финансируется асимметрично и крупным кредитором, и мелкими кредиторами (0    1) .
Особый интерес представляют случаи, в которых множественное
асимметричное кредитование возникает как оптимальная структура кредита
(вариант 4). Вновь будем различать эффективную и неэффективную координацию мелких кредиторов в игре рефинансирования.
Оптимальная структура кредита при наличии эффективной
координации мелких кредиторов
При условии совершенной информации и эффективной координации
мелких кредиторов кредиты будут пролонгированы при условии    .
Ожидаемая прибыль фирмы. Фирма получает   ˆ , если эта величина
положительна. Как показано в разделе 3.1.2, ожидаемая прибыль фирмы определяется выражением (3.6). Фирма выбирает  и D таким образом, чтобы
максимизировать ожидаемую прибыль. Ограничение участия фирмы в сделке
требует неотрицательности прибыли: E ( f )  0 . Ожидаемая прибыль фирмы убывает по  и D . Изопрофиты фирмы (кривые равной прибыли) вогнуты и имеют наклон
d
 1
 
.
dD W  D
Ограничение участия в кредитной сделке мелких кредиторов. Мелкие кредиторы получают выплату в размере D при условии    и K в
остальных случаях. В случае однородного распределения случайной величины  ожидаемая прибыль мелких кредиторов в расчете на единицу ссудного
капитала составляет
E ( S )  K  ( D  K ) prob (   )  K  ( D  K )
  
.
2
(1)
Участие в кредитной сделке мелких кредиторов требует выполнения неравенства
E ( S )  R , где R  1 представляет альтернативную стоимость
ссудного капитала. Поскольку  убывает по  , ожидаемые прибыли мелких
кредиторов возрастают с ростом размера кредита, предоставляемого крупным кредитором. Следовательно, условие участия в кредитной сделке мелких
кредиторов может требовать присутствия крупного кредитора, который предоставляет фирме достаточно большую часть кредита. Условие E ( S )  R
эквивалентно условию
  S 
2 ( R  K )  ( D  K )(     V  D)
.
(D  K ) 2
(2)
Условие участия в кредитной сделке крупного кредитора. За предоставление денежных средств в размере  единиц крупный кредитор получает средства  W  при условии   ˆ (т.е. в области, в которой фирма получает прибыль), и K при условии    (в этом случае фирма ликвидируется). Условие участия в кредитной сделке требует выполнения неравенства E ( L )  R .
В промежуточных состояниях     ˆ крупный кредитор присваивает
всю прибыль фирмы. В этих состояниях случае выплата в расчете на единицу
средств, предоставленных крупным кредитором, составляет
L 
  V  (1   ) D
.

(3)
Ожидаемая прибыль крупного кредитора тогда составит
ˆ
  V  (1   ) D
d  W  prob(  ˆ) 
2

E ( L )  K prob (   )  
(4)
    V  (1   ) D   (W   K ) / 2
K
.
2
Условие участия крупного кредитора в сделке состоит в том, что
E ( L )  R , что эквивалентно неравенствам
   v  d 
  L 
2 ( R  K )
W  K
W  K
D
2
W  K
при D 
2
(5)
и
  L
W  K
при D 
.
2
W  K
Параметр
представляет собой среднюю выплату в расчете на еди2
ницу кредитных средств, получаемых крупным кредитором в промежуточных состояниях     ˆ . Увеличение  расширяет множество промежуточных состояний, повышая ˆ и снижая  . Если
W  K
D
,
2
увеличение  оказывает более сильное воздействие на ˆ , чем на  . Это сокращает ожидаемую прибыль крупного кредитора. Если
W  K
D
,
2
то увеличение  характеризуется противоположным воздействием.
Оптимальный кредитный контракт. Ограничения участия в сделке
кредиторов обоих типов определяют множество кредитных контрактов
( , D ) , которые могут быть выбраны фирмой. Максимизация ожидаемой
прибыли в соответствии с ограничениями участия кредиторов в сделке требует рассмотрения нескольких различных случаев. Оптимальная структура
кредитного контракта зависит от разности R  K и других экзогенных и эндогенных параметров.
Утверждение 1.
a)
Фирма может получить кредитование тогда и только тогда, когда
W  K
RK 
2
b)

W  K
 LC .
    V 

2 

Фирма кредитуется единственным крупным займодателем (  1) тогда и только тогда, когда
L1 
W K
    V  K   R  K  LC .
2
В этом случае требуется, чтобы величины W   W и   V были достаточно велики.
c)
Для каждой комбинации параметров  ,  , V , K , W , W  , удовлетворяющей предположениям модели, существует непустой интервал значений
[ L, L ] , такой, что для значений L  R  K  L оптимальная структура
кредита асимметрична, т.е. 0    1. Заметим, что L  min{L1 , LC } .
d)
Для достаточно низких значений R  K фирма кредитуется только
мелкими кредиторами (  0) .
e)
Критические значения R  K , при которых структура кредитования
меняется ( LC , L1 , L , L) , монотонно возрастают по  и убывают по V .
Заметим, что величина R  K может интерпретироваться как убытки с
точки зрения банков в случае дефолта фирмы и поэтому является одной из
характеристик кредитного риска.
RK
0,6
L1  R  LC : *  1
R  K  LC
0,4
L1
LC
0,2
R  K  L : *  0
L
0
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0

Рис. 1. Оптимальная структура кредита при эффективной координации мелких кредиторов; K  0,8; W  1,4; W   1,6; V  0,4
Рис. 1 иллюстрирует Утверждение 1 в широком интервале параметров
модели параметров и показывает оптимальные структуры кредита. Для произвольной комбинации параметров W , W  ,  ,  , V , K можно установить, что:
1. фирма не может получить кредитование, если величина R  K достаточно велика (это определяется критической границей LC ),
2. существуют значения
R  K , ниже которых фирма кредитуется
только мелкими кредиторами (это определяется критической границей L ),
3. существует промежуточный интервал значений R  K , в котором оптимальная структура кредитования асимметрична ( [ L, L ] ).
Нетрудно видеть, что в правом верхнем углу рис. 3 оптимальное кредитование только крупным кредитором (  1) возникает только для тех параметров, для которых справедливо неравенство L1  R  K  LC .
На рис. 2 показан характерный оптимальный кредитный контракт, соответствующий внутреннему решению для проекта среднего качества и при
умеренной альтернативной стоимости каптала. Показаны также ограничения
участия в сделке для крупного кредитора  L (D ) , мелких кредиторов  S (D )
и кривые равной прибыли (изопрофиты) фирмы. Оптимальный контракт обозначен ( D  ,  ) .
Как оказывается возможным, что существование крупного кредитора выгодно для фирмы, хотя из [1] следует, что на промежуточной стадии присутствие крупного кредитора всегда снижает прибыль фирмы? Различие между
результатами [1] и настоящей работы объясняется тем, что крупный кредитор
имеет возможность пересматривать кредитный договор, тем самым позволяя
фирме сохранить устойчивое финансовое положение в большем числе состояний. Выплата по кредиту D , обещанная мелким кредиторам в момент
t  0 , включает рисковую премию для компенсации кредиторам риска дефолта фирмы ( K  D ) . Если присутствие крупного кредитора расширяет
множество состояний, в которых фирме удается сохранить устойчивое финансовое положение, это сокращает ожидаемый риск невозвращения фирмой
кредита и поэтому снижает предполагаемые выплаты по кредиту мелким
кредиторам.

L  D 
1
L  D 
Изопрофиты фирмы
S  D 
**
W*  K
2
0
D **
D
Рис. 2. Оптимальная структура кредита при эффективной координации мелких кредиторов
Как показывает рис. 2, границы между различными структурами кредитного контракта являются возрастающими функциями в плоскости переменных  и R  K . То есть, в случае низкой альтернативной стоимости использования капитала или высокой ожидаемой прибыли, фирма с большей
вероятностью выбирает кредитование с низкой долей участия в сделке крупного кредитора или вообще без его участия. Численные расчеты показывают,
что  снижается с ростом  и возрастает с ростом R .
Оптимальная структура кредита при неэффективной координации
мелких кредиторов
Для случая неэффективной координации мелких кредиторов ранее показано, что асимметричное финансирование при 0    1 может быть оптимальным выбором, если величина D является экзогенной и достаточно ма-
лой. В этом разделе будем учитывать ограничения участия кредиторов в
сделке. Кредиты пролонгируются фирме в случае, если
    V  K  (1   )W  V  W   (W  K ) .
В данном условии точка дефолта не зависит от D .
Ожидаемая прибыль фирмы. Если кредиты пролонгируются, фирма
получает прибыль тогда и только тогда, когда   ˆ . Как показано в х1ъ, условие
  ˆ эквивалентно условию   ˆ . ̂ является убывающей и вогну-
той функцией D , причем ˆ( D  W )  0 .
Ожидаемая прибыль фирмы имеет вид

(     ˆ) 2
при   ˆ

1
4

E ( f ) 
[  ˆ]d  
.
2
2
ˆ
2 maxˆ, 
 (    )    2 (      ) при   ˆ

4
 
При   ˆ прибыль E ( f ) убывает по  и D . Изопрофиты являются убывающими и вогнутыми функциями с наклоном
 1
,
W  D
как и в случае эффективной координации мелких кредиторов. При   ˆ
ожидаемая прибыль также убывает по D . При     ˆ изопрофиты убывают и вогнуты (см. пример на рис. 3).
Ограничение участия в сделке мелких кредиторов. Выплата мелкому
кредитору составляет K при условии    и D в противном случае. Ожидаемая прибыль мелких кредиторов составляет
E ( s )  K  ( D  K ) prob(   )  K  ( D  K )
  
.
2
(6)
Выражение (6) подобно выражению (1) для случая эффективной координации мелких кредиторов, однако пороговое значение 
заменяется в рас-
сматриваемом случае на  .
Участие в сделке мелких кредиторов требует выполнения неравенства
2
E ( s )  R
  IC
S 

RK
 V  W   
DK
.
W K
(7)
Верхний индекс IC обозначает неэффективную координацию мелких кредиторов. IC
S является убывающей и выпуклой функцией D и возрастающей
функцией R . Кроме того, имеют место свойства
IC
S ( D)  1
IC
S ( D)  0


D  D1  K 
D  D0  K 
2 ( R  K )
,
  V  K
2 ( R  K )
, D0  D1 .
  V W
Характерный пример ограничения участия в сделке мелких кредиторов показан на рис. 3.
Ограничение участия в сделке крупного кредитора. Выплата крупному кредитору составляет


L  
 
W
при
 
  V  (1   ) D
при

при
   или   ˆ
K
    ˆ .
Ожидаемая выплата крупному кредитору составляет

K prob (   ) W  prob (   ) при   ˆ


E ( L )  
.
ˆ
 K prob (   )    V  (1   ) D d  W  prob (   ) при   ˆ


2

Участие в сделке крупного кредитора требует выполнения неравенства
E ( L )  R , которое приводит к следующему ограничению участия
 K (  W      )  W  (V  (1   )W     )
 R при

2




1
1
E ( L )  
(V  (1   ) D )   2  (V  (1   ) D )ˆ  ˆ 2
2
2


2


K (     )  W  (     ˆ)


 R при   ˆ
2

  ˆ
(8)
Рассмотрим случай   ˆ . Это неравенство определяет множество возможных долей крупного кредитора в объеме кредита, предоставляемого
фирме
2
  IC
L 
RK
    V  W
W  K
,
W K
(9)
которое не зависит от D . При   ˆ выплата крупному кредитору составляет
K в случае неудачи проекта фирмы и W  в случае успеха. Критическое значение  не зависит от D , поскольку было сделано предположение о неэффективной координации
мелких кредиторов. Условие участия в сделке
крупного кредитора требует, чтобы размер кредита, предоставляемого крупным кредитором, был достаточен для того, чтобы повысить вероятность успеха проекта до уровня, при котором ожидаемая выплата крупному кредитору превосходит альтернативную стоимость капитала R .
При   ˆ ограничение участия в сделке крупного кредитора меньше

IC
S для всех D  W .
Утверждение 2. При неэффективной координации мелких кредиторов
в игре рефинансирования оптимальная структура кредитного контракта
( D  ,  ) такова, что
   (D )
при условии, что пролонгирование кредита возможно.
Доказательство. Если пролонгирование кредита возможно, то оптимальная структура кредитного контракта ( D  ,  ) либо такова, что
  ˆ( D)   ( D)
IC
или   ˆ( D ) . В последнем случае IC
S   L , так что ограничение участия в
сделке крупного кредитора не является определяющим. Кривая ограничения
участия в сделке мелких кредиторов имеет отрицательный наклон,

1
IC
s D 
IC
L D 

0
D
D
Рис. 3. Оптимальная структура кредита при неэффективной координации
мелких кредиторов
однако изопрофиты имеют отрицательный наклон только при    . Следовательно, оптимальная структура кредитного контракта всегда такова, что
   (D) .
Утверждение 2 показывает, что способность крупного кредитора отказываться от взыскания долга выгодна для мелких кредиторов. По сравнению
с ситуацией, где D задается экзогенно (раздел 3.1), учет ограничения участия в сделке мелких кредиторов приводит к росту оптимальной доли кредита, предоставляемого крупным кредитором.
Ранее показано, что в случае эффективной координации мелких кредиторов фирма оптимально выбирает   0 , если убыток в случае дефолта
достаточно низок. Этот результат не имеет место в случае неэффективной
координации мелких кредиторов.
Утверждение 3. Если разность R  K достаточно мала и
(W  K ) 2
  V   W 
,
W K
то   0 .
Доказательство. При R  K  0 имеем
S ( D) 
V  W   
 0.
W K
Поэтому при достаточно низких значениях
R  K ограничение участия в
сделке мелких кредиторов не является определяющим, и оптимальный контракт ( D  ,  ) приближается к ( K ,  ( D  K )) при условии, что

 (D  K )  0

(W  K ) 2
  V   W 
.
W K
Утверждение 3 показывает, что в определенных условиях асимметричное финансирование оптимально, даже если убытки в случае дефолта малы. Причина состоит в том, что неэффективная координация мелких кредиторов в случае низкой доходности проекта сокращает ожидаемые прибыли
мелких кредиторов при отсутствии крупного.
Рис. 3 иллюстрирует пример оптимального кредитного контракта
IC
( D  ,  ) при 0    1, IC
S и  L означают ограничения участия в сделке
мелких и крупного кредиторов, соответственно, а  f  c1, 2 означают изопрофиты фирмы при c1  c2 .
Литература
1. Филиппова И.Ю. Экономико-математическая модель кредитования с учетом взаимозависимых отношений банка и фирмы // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2012. - № 2 (35).
2. Жарковская Е.П. Банковское дело. - М.: Омега-Л, 2003.
3. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. - М.: «ИНФА-М», 1997.
4. Рассказов Е.А. Управление свободными ресурсами банка. - М.: Финансы и
статистика, 2006.