Методы принятия решений и нечетких множеств в

Методы принятия решений и нечетких множеств в выборе
оптимального расположения станции метрополитена
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Санкт-Петербургский государственный университет
Математико-механический факультет
Кафедра статистического моделирования
Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Сушков Ю.А.
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Пономарева А.Ю.
Санкт-Петербург
2014г.
1/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Введение
Постановка задачи
Задан план микрорайона города, в котором предложены возможные места
расположения станции метрополитена P = {pm } (m = 1, 4) и расположены
жилые комплексы H = {Hk } (k = 1, 3), торговые площади, бизнес-центр,
автостоянки, дороги, по которым движется общественный транспорт, и три
остановки для общественного транспорта. Необходимо решить задачу принятия
решения о выборе оптимального расположения станции метрополитена с
учетом признаков из заданного множества Y = {yl }, l = 1, 7:
y1 – удобство;
y2 – расстояние до поверхности (км);
y3 – затраты на павильон (млрд.
руб.);
y4 – расстояние до ближайшего
наземного транспорта (км);
2/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
y5 – пропускная способность
вестибюля (число эскалаторов);
y6 – средняя площадь вокруг
станции для офисов, торговых
площадей и автостоянок (тыс. м2 );
y7 — расстояние до центра тяжести
пассажиропотока (км).
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Введение
Карта микрорайона города
3/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Введение
Методы решения поставленной задачи
Заданы:
P = {p1 , . . . , pm } – множество альтернатив или вариантов;
Y = {y1 , . . . , yl } – множество признаков, по которым оцениваются альтернативы.
Задача – определить наилучшую альтернативу по признакам из множества Y .
Для решения скомбинированы:
Метод многокритериального анализа на основе парных сравнений, которые
осуществляются с помощью девятибалльной шкалы Саати.
Принцип Беллмана-Заде для определения наилучшего варианта.
Метод определения центра тяжести физической модели системы
распределения.
Метод вычисления взвешенных степеней предпочтения, основанный на
решении задачи разделения на торговые зоны в нечетких условиях,
предложенный Й. Леунгом.
4/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Используемые методы
Метод нечеткого многокритериального анализа вариантов; принцип
Беллмана-Заде
Матрицы парных сравнений Qi
(qkk = 1, qkj = 1/qjk (k, j = 1, m))
элементов множества альтернатив P ,
i = 1, l для каждого признака yi ∈ Y :
p1

p1
q11
 .
.
Qi = ..
 ..
pm
qm1
Система уравнений:
(
Qi · Z = λmax · Z,
z1 + z2 + . . . + zm = 1,
где λmax – макс. собств. значение Qi ,
Z = (z1 , . . . , zm ) – собств. вектор Qi ,
соответствующий макс. собств. числу.
ei =
Q
µQi (pm )
µQi (p1 )
,...,
p1
pm
...
...
..
.
...
pm

q1m
.. 
. .
qmm
,
(1)
ei .
где µQi (pj ) – степень принадлежности pj ∈ P к нечеткому множеству Q
Случаи равновесных и неравновесных признаков:
s
s 

min µQi (p1 ) i
min µQi (pm ) i 

 i=1,l

i=1,l
e=Q
e s1 ∩ . . . ∩ Q
e sl =
G
,...,
,
1
l


p1
pm


(2)
где si – вес признака yi . Для равновесных признаков все si равны 1, в случае
неравновесных признаков - s1 + . . . + sl = 1.
5/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Используемые методы
Вычисление взвешенных степеней предпочтения для признака
«Удобство»
Задан микрорайон города, в котором предложены возможные места
расположения P = {p1 , . . . , pm } нового объекта и расположены жилые
комплексы H = {H1 , . . . , HK }.
Пусть X = {x1 , x2 , . . . , xN } — множество категорий населения, которое
проживает в данных жилых комплексах.
Разбиение на категории по признакам: возраст и частота пользования
метрополитеном.
Каждая категория xn , n = 1, N принимает решение о выборе наиболее
удобного расположения некоторого нового объекта на основании t + 1
критериев G = {g1 , g2 , . . . , gt , r}.
Задана матрица Ω = (Ωnk )k=1,K расселения по жилым комплексам Hk , где
n=1,N
Ωnk — число жителей категории xn , которые проживают в жилом
комплексе Hk .
6/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Метод вычисления взвешенных степеней предпочтения
Этапы решения
Построение согласованных матриц парных сравнений для каждой категории
населения xn :
u=1,t+1
e
Bn = (buu
e – степень преимущества критерия gu над
e )u=1,t+1 , где buu
критерием gu
e,
θ=1,m
Cu = (pjθ )j=1,m , u = 1, t и C k , где pjθ – степень преимущества
расположения pj над pθ по критерию gu , k = 1, K.
Построение отношения R : X × G → [0, 1] степеней относительной важности
критерия gu по оценке категории xn .
Построение матриц Sk = (πSk (gu , pj ))j=1,m , k = 1, K – степеней
u=1,t
принадлежности pj к gu , найденных методом парных сравнений (Saaty T.
Exploring the interface between hierarchies, multiple objectives and fuzzy sets).
7/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Метод вычисления взвешенных степеней предпочтения
Этапы решения
Нахождение нечетких множеств Ej , j = 1, m с предпочтениями pj для
категории населения xkn , объединение их функций принадлежности в
матрицы Tk , (k = 1, K), элементы которой – взвешенная степень
предпочтения pj категорией населения xkn (Й. Леунг. Разделение на
торговые зоны в нечетких условиях).
Получение матриц попарного сравнения Wk из Tk .
Вычисление порога разделимости e
lk для каждой матрицы Tk .
Получение уровневых множеств Mjk , j = 1, m из матриц Tk , иллюстрирующих
сколько человек из различных категорий населения жилого комплекса Hk
предпочитает расположение pj .
Вычисление взвешенных степеней предпочтения χkj индивидуумами из
жилого комплекса Hk (k = 1, K) расположения pj (j = 1, m).
Составление искомого вектора взвешенных степеней предпочтения:
V = (v1 , v2 , . . . , vm ), где vj =
K
X
χkj .
k=1
8/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Используемые методы
Метод определения центра тяжести физической модели системы
распределения
Дана модель некоторого района города с заданной дорожной инфраструктурой.
Ограничение: в рассматриваемой модели должна быть достаточно развитая
система дорог.
Пусть D = {d1 , . . . , dm } – множество объектов (потребителей).
Необходимо: определить координаты расположения распределительного центра.
e и Ye . Перенос на нее контура заданного
Ввод системы координат с осями X
района.
Пусть задан грузооборот Γj для каждого объекта dj , j = 1, m.
Искомые координаты центра тяжести грузооборота для объектов потребителей
d1 , . . . , dm :
m
m
X
X
Γj · x
ej
Γj · yej
ecenter =
X
j=1
m
X
, Yecenter =
Γj
j=1
j=1
m
X
,
(3)
Γj
j=1
где x
ej , yej – координаты j-го объекта.
9/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Практическая реализация
Расчет взвешенных степеней предпочтения для признака «Удобство»
Пусть X = {x1 , x2 , x3 , x4 } — множество категорий населения микрорайона,
разделенного по признакам: возраст и частота пользования метрополитеном,
каждый из которых рассматриваем как нечеткое множество с соответствующей
функцией принадлежности.
x1 – молодые и редко пользующ.;
x3 – пожилые и редко пользующ.;
x2 – молодые и часто пользующ.;
x4 – пожилые и часто пользующ..
Дана матрица Ω = (Ωnk )k=1,3 расселения по жилым комплексам Hk , k = 1, 3:
n=1,4
H
 1
x1
510
x  294
Ω= 2 
x3  205
x4
231
H2
431
387
125
153
H3

420
264 
.
272 
128
Дано множество критериев G = {g1 , g2 , g3 , g4 , r}, где
g1 — возможность подъехать на общественном транспорте,
g2 — наличие магазинов и торговых площадей,
g3 — наличие автомобильных стоянок,
g4 — расположение наземного вестибюля на поверхности или под землей,
r — расстояние до жилых комплексов по прямой.
10/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Практическая реализация
Искомый вектор взвешенных степеней предпочтения и центр тяжести
пассажиропотока
Bn , n = 1, 4:
для критерия g2 :
C2 : p2 > p3 > p4 > p1
для критерия g3 :
C3 : p1 > p2 > p4 > p3
для критерия g4 :
C4 : p3 > p2 > p1 > p4
для категории x1 :
B1 : g3 > g2 > g1 > r > g4
для категории x2 :
B2 : g1 > g2 > g3 > g4 > r
для категории x3 :
B3 : g1 > g2 > r > g3 > g4
для категории x4 :
B4 : g4 > g1 > r > g2 > g3
C k , k = 1, 3:
для жилого комплекса H1 :
C 1 : p2 > p 4 > p 1 > p 3
для жилого комплекса H2 :
C 2 : p3 > p 2 > p 1 > p 4
для жилого комплекса H3 :
C 3 : p4 > p 3 > p 2 > p 1
Cp , p = 1, 4:
для критерия g1 :
C1 : p4 > p1 > p3 > p2
Искомый вектор взвешенных степеней предпочтения предполагаемых мест
расположения станций pm , m = 1, 4 для всех категорий населения,
проживающего в жилых комплексах микрорайона:
V =
p1
1.178
p2
1.307
p3
0.483
p4
1.187 .
Вычисленные координаты расположения центра тяжести пассажиропотока:
ecenter , Yecenter ) = (348, 93).
(X
11/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Практическая реализация
Нечеткие множества для заданных признаков
Таблица: Значения признаков для оценки мест расположения станции
Признаки
Удобство (y1 )
Расстояние до поверхности (y2 )
Затраты на павильон (y3 )
Расстояние до ближайш. наземн. транспорта (y4 )
Пропускная способность вестибюля (y5 )*
Средняя площадь вокруг станции для торг. площадей и автомобильных стоянок (y6 )
Расст-е до центра тяжести пассажиропотока (y7 )
p1
1.178
0.02
4.2
0.28
2
p2
1.307
0.034
3.15
0.55
3
p3
0.483
0.03
3.05
0.3
2
p4
1.187
0.015
3.9
0.24
4
20
66
15
27
0.26
0.088
0.22
0.20
* – p1 : 1 на вход (6:00–10:00), 1 на выход; p2 : 2 на вход (6:00–10:00), 1 на выход;
p3 : 1 на вход, 1 на выход; p4 : 2 на вход, 2 на выход;
e 5 = 0.048 , 0.242 , 0.102 , 0.608 ,
e 1 = 0.123 , 0.570 , 0.041 , 0.266 ,
Q
Q
p2
p3
p4 p2
p3
p4 p1
p1
e 2 = 0.287 , 0.043 , 0.091 , 0.579 ,
e 6 = 0.103 , 0.647 , 0.059 , 0.191 ,
Q
Q
p2
p3
p4 p2
p3
p4 p1
p1
e 3 = 0.050 , 0.300 , 0.546 , 0.105 ,
e 7 = 0.049 , 0.655 , 0.087 , 0.209 .
Q
Q
p2
p3
p4 p1
p2
p3
p4
p1
e 4 = 0.278 , 0.053 , 0.150 , 0.519 ,
Q
p1
p2
p3
p4
12/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Практическая реализация
Случаи равновесных и неравновесных признаков
Случай равновесных признаков:
e=Q
e1 ∩ . . . ∩ Q
e7 =
G
0.048 0.043 0.041 0.105
,
,
,
.
p1
p2
p3
p4
Случай неравновесных признаков:
Оценки признаков: y1 – 5; y2 – 1; y3 – 2; y4 – 3; y5 – 4; y6 – 4; y7 – 3.
Веса признаков: y1 – 0.227; y2 – 0.045; y3 – 0.091; y4 – 0.136; y5 – 0.182; y6 –
0.182; y7 – 0.136.
0.621
,
p1
e 2 = 0.945 ,
Q
p1
e 3 = 0.761 ,
Q
p1
e 4 = 0.840 ,
Q
p1
e1 =
Q
13/16
0.880
,
p2
0.868
,
p2
0.896
,
p2
0.671
,
p2
0.484 0.740
e 5 = 0.575 , 0.772 , 0.660 , 0.913 ,
,
Q
,
p3
p4 p2
p3
p4 p1
0.898 0.976
e 6 = 0.661 , 0.924 , 0.597 , 0.74 ,
,
,
Q
p3
p4 p2
p3
p4 p1
0.946 0.815
e 7 = 0.664 , 0.944 , 0.717 , 0.808 .
,
,
Q
p3
p4 p1
p2
p3
p4
0.773 0.915
,
,
p3
p4
e = 0.575 , 0.671 , 0.484 , 0.740 .
G
p1
p2
p3
p4
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Практическая реализация
Рис.: «Сравнение вариантов расположения станции с учетом важности признаков»
14/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Вывод
Заключение
Таким образом, поставленная задача полностью решена. В результате
проделанной работы были получены следующие результаты:
максимально полная модель, принимающая во внимание различные
критерии, как объективные, такой как уменьшение расходов на
строительство или максимизация пропускной способности станции, так и
субъективные с точки зрения разных категорий населения, проживающего в
данном микрорайоне;
решена задача принятия решения на основании оценок, проводимых
экспертами, о выборе наиболее удобного для населения, проживающего в
рассмотренном микрорайоне города, расположения новой станции
метрополитена из возможных мест;
определены координаты центра тяжести пассажиропотока данного
микрорайона;
скомбинированы некоторые методы принятия решений с использованием
нечетких множеств, учитывая полученные в ходе вычислений результаты, на
их основе был разработан метод выбора оптимального расположения новой
станции метрополитена из числа предложенных вариантов мест;
написана программа на языке Mathcad для решения поставленной задачи и
проведен анализ полученных результатов.
15/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена
Вывод
Спасибо за внимание!
16/16
Калюжная Юлия Юрьевна, гр. 522
Выбор оптимального расположения станции метрополитена