О длинах арифметических прогрессий в слове Туэ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "НОВОСИБИРСКИЙ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ (Новосибирский государственный университет, НГУ)"
Механико-математический факультет
Направление подготовки "Математика и компьютерные науки"
Кафедра теоретической кибернетики
ДИССЕРТАЦИЯ МАГИСТРА
ПАРШИНА Ольга Геннадьевна
О длинах арифметических прогрессий в слове
Туэ-Морса
Научный руководитель
к.ф.-м.н.
С.В. Августинович
Новосибирск 2015
1
Содержание
Содержание
1 Содержание
1
2 Введение
2
3 Основная часть
3.1 Определения и обозначения
3.2 Основной результат . . . . .
3.2.1 Случай d 6= 2n − 1 . .
3.2.2 Случай d = 2n − 1 . .
3
3
4
4
4
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Заключение.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
1
2
Введение
Начиная с классических работ Ван-Дер-Вардена [1] и Семереди [2] не ослабевает интерес к строению арифметических подпрогрессий в произвольных бесконечных словах. В частности, хорошо известно, что ограничить константой
длину такой однородной арифметической подпоследовательности невозможно.
Для фиксированных слов и ограниченных разностей вопрос о максимальной
возможной длине арифметической подпрогрессии зависит от выбора слова и
может оказаться нетривиальным. В некоторых случаях (напр. слова Теплица)
такие длины могут быть бесконечными. В данной работе эта задача рассматривается для известного слова Туэ-Морса. Известно, что в множестве его арифметических прогрессий содержатся все двоичные последовательности [4], но,
например, слово (01)n для произвольного натурального n обнаружить в нем
достаточно сложно. Подробно об этом слове и его приложениях написано в [3].
В [5] результаты [4] обобщены на произвольные автоматные слова.
Морфизм, определяющий слово Туэ-Морса, позволяет достаточно прозрачно описать распределение однородных арифметических прогрессий в нем. Оказывается, длина такой прогрессии в нем растет достаточно быстро (см. Теорему
1) и достигает своих максимумов в точках определенного вида.
2
3
3.1
Основная часть
Определения и обозначения
Пусть Σ = {0, 1} - заданный алфавит. Рассмотрим функцию B : N → Σ,
которая каждому натуральному x сопоставляет его двоичную запись. Длину такого слова обозначим |B(x)|. Также введем функцию b(x), которая суммирует
все единицы в двоичном представлении числа x по модулю q. Иными словаn−1
n−1
P
P
ми, x =
xi · 2i , B(x) = xn−1 ...x1 x0 , b(x) =
xi mod 2. Слово Туэ-Морса
i=0
i=0
определяется следующим образом: wT M = w0 w1 w2 w3 ..., где wi = b(i) ∈ Σ.
Арифметическая прогрессия длины k начальным номером c и разностью
d в произвольном бесконечном слове v = v0 v1 v2 v3 ... - это последовательность
vc vc+d vc+2d ...vc+(k−1)d . Нас интересуют однородные арифметические прогрессии,
т.е. случаи, когда vc+id = α для i = 0, 1, ..., k − 1 и α ∈ Σ.
Определим функцию A(c, d), которая каждой паре натуральных чисел c и
d сопоставляет длину арифметической прогрессии с начальным символом vc и
разностью d. Функция A(d) = maxc A(c, d) находит длину максимальной арифметической прогрессии с разностью d.
Рассмотрим начальный отрезок слова Туэ-Морса:
01101001100101101001011001101001...
Несложно видеть, что A(0, 3) = 7, A(1, 1) = A(5, 1) = 2. Так как это слово
бескубно, A(1) = 2.
3
3.2
Основной результат
В данной секции сформулирована основная теорема, остаток статьи посвящён её доказательству.
Теорема 1 Для всех натуральных n 6= 1 верно:
(
2n
n - нечётно;
maxn A(d) =
d<2
2n + 4 n - чётно.
Как будет показано далее, функция A(d) достигает своих максимумов при
значениях аргумента вида 2n − 1, n - натуральное. Докажем, что для фиксированного n при d 6= 2n − 1 значение A(d) не больше, чем 2n .
3.2.1
Случай d 6= 2n − 1
Отметим, что имеет смысл рассматривать только нечётные разности, так как
множество букв слова Туэ-Морса только с чётными номерами образуют само
это слово, а множество его букв с нечётными номерами совпадают с его инверсией.
Представим начальный номер арифметической прогрессии в следующем виде: c = y · 2n + x, где x < 2n , y - произвольное натуральное число. Назовём x
суффиксом c.
Зафиксируем n и рассмотрим множество X = {0, 1, 2, ..., 2n − 1}, его мощность |X| = 2n . Ясно, что любые суффикс x и разность d принадлежат X, приn
чём множество {x + i · d}2i=0−1 полностью совпадает с X, т.к. d взаимно просто
с |X|. Нужное утверждение будет доказано, если для каждого значения d 6= 2n
мы найдём элемент x ∈ X, обладающий следующими свойствами: (i) x + d < 2n ;
(ii) b(x + d) 6= b(x).
Действительно, по свойству (i) c + d = y · 2n + (x + d).
Тогда b(c) = b(y) + b(x) mod 2, b(c + d) = b(y) + b(x + d) mod 2, и по свойству
(ii) b(c + d) 6= b(c).
Для доказательства нам достаточно найти только один суффикс x, удовлетворяющий этим свойствам. Так как d 6= 2n − 1 и нечётно, его двоичная запись
B(d) содержит хотя бы один ноль и заканчивается на единицу. Пусть j - наименьший номер такой, что dj = 0. Тогда, если b(d) = 0, подходящее значение
x = 2j−1 . В случае b(d) = 1 положим x = 0. Нетрудно убедиться, что эти значения x удовлетворяют свойствам (i) и (ii).
3.2.2
Случай d = 2n − 1
Напомним, что каждое натуральное число c может быть представлено в виде
c = z · 22n + y · 2n + x, где y, x < 2n . Здесь и далее мы будем использовать
обозначения B(x) = X = xn−1 ...x1 x0 , B(y) = Y = yn−1 ...y1 y0 .
Лемма 1 Пусть d = 2n − 1, c = z · 22n + y · 2n + x, где x + y = 2n − 1, тогда
(
2n + 2 − y, n - чётно,
max A(c, d) =
z
2n − y,
иначе.
4
Заметим, что из-за вида d действие c + d можно мыслить как действия x − 1
и y + 1, выполненные одновременно. Поэтому, пока y ≤ 2n − 1, сумма единиц в
Y X (конкатенации двоичных записей y и x) равна n. Это свойство позволяет
нам получить арифметическую прогрессию длины 2n − y.
Пусть y = 2n − 1, тогда x = 0. Если мы прибавим к числу такого вида
разность d, сумма единиц в двоичной записи суммы станет равна 2n. Для сохранения однородности арифметической прогрессии нам необходимо, чтобы n
было чётным, иначе получим прогрессию длины 2n − y. После очередного прибавления разности z увеличится на единицу, y занулится, а x станет равным
2n − 2. Мы можем подобрать значение z так, чтобы однородность прогрессии
сохранилась (например, если b(z) = 1, необходимо b(z + 1) = 0; для этого положим z = 11, тогда B(z) = 1011, B(z + 1) = 1100). Теперь b(y) + b(x) = n − 1 mod
2. Добавим разность d ещё раз, из вида двоичных записей x и y (Y = |{z}
0...0 1,
n-1
X = |{z}
1...1 01) видно, что чётность единиц в записи числа изменилась, а значит,
n-2
однородность нарушилась.
Таким образом, длина арифметической прогрессии равна 2n + 2 − y при
чётном n и равна 2n − y при нечётном n.
Лемма 2 Пусть n чётно, d = 2n − 1, c = z · 22n + y · 2n + x, y = 2n − 1, x = 1,
c = z · 22n + y · 2n + x, тогда maxz A(c, d) = 2n + 4.
Добавим к c разность d дважды и посмотрим на результат:
1. z → z + 1, y = 0, x = 0;
2. y = 0, x = 2n − 1.
Для подходящего z сумма единиц в двоичных записях этих чисел одинакова по
модулю 2 и совпадает с соответствующей суммой для исходного числа. После
этих шагов мы попадаем в условия Леммы 1 для y = 0, с помощью которой
получаем арифметическую прогрессию длины 2n + 2. Теперь отнимем d от исходного c и убедимся, что мы не можем получить арифметическую прогрессию
длиннее, чем 2n + 4. В самом деле, c − d = z · 22n + (2n − 2) · 2n + 2, сумма единиц
в двоичной записи этого числа равна n, тогда как в c она равна n + 1.
Таким образом, мы нашли начальные символы для разности d = 2n − 1,
позволяющие получить арифметическую прогрессию длины 2n + 4. Лемма доказана.
Теперь покажем, что для всех других начальных символов и разности d =
n
2 − 1 арифметические прогрессии имеют меньшую длину, чем указанная в
утверждении Теоремы.
В лемме 1 рассмотрен класс начальных символов со свойством x+y = 2n −1,
что равносильно условию B(x) = B(y). Рассмотрим такие начальные символы
c, что B(x) 6= B(y), то есть существует хотя бы одно число j ∈ {0, 1, ..., n − 1}
такое, что xj = yj . Выберем наименьший такой номер.
Возможны два случая: xj = yj = 0 и xj = yj = 1, в каждом из которых
нам необходимо найти два числа k и h таких, что b(c = k · d) 6= b(c + h · d).
Далее идет перебор значений k, h в зависимости от величины j, чётности n и
других условий. В данном случае значение длины арифметической прогрессии
совпадает со значением h.
Рассмотрим вариант xj = yj = 0.
5
• j <n−1
– ∃i : i > j, xi = 1 → k = 2j+1 , h = 3 · 2j
– ∃l : l < j, yl = 1 → k = 2j+1 , h = 3 · 2j
– xi = 0 при i > j, yl = 0 при l < j
∗ n чётно → k = 2j + 1, h = 2j + 2
∗ n нечётно → k = 0, h = 2j
• j =n−1
– n чётно → k = 2n−1 , h = 2n−1 + 1
– n нечётно → k = 2n−1 − 1, h = 2n−1
Проверка того, что данные значения k и h действительно удовлетворяют условию b(c = k · d) 6= b(c + h · d), проводится непосредственно путём сложения
чисел в двоичной системе счисления и здесь не приводится из-за громоздкости
записи.
Случай xj = yj = 1.
• j <n−1
– ∃i : i > j, xi = 1 → k = 2j+1 , h = 3 · 2j
– ∃l : l < j, yl = 1 → k = 2j+1 , h = 3 · 2j
– xi = 0 при i > j, yl = 0 при l < j
∗ n чётно → k = 2j+1 + 1, h = 2j+1 + 2
∗ n нечётно → k = 0, h = 2j+1
• j =n−1
– n чётно → k = 2n , h = 2n + 1
– n нечётно → k = 2n − 1, h = 2n
Таким образом мы рассмотрели все возможные значения начального символа арифметической прогрессии с разностью d = 2n − 1, каждый раз её длина
не превышала значений, указанных в формулировке Теоремы.
Доказательство завершено.
6
4
Заключение.
Данный результат естественным образом обобщается для алфавита произвольной простой мощности q. Обобщённое слово Туэ-Морса над этим алфавитом определяется следующим образом: буква с номером i в данном слове равна
сумме знаков в q-ичной записи числа i по модулю q.
Дальнейший интерес представляет изучение свойств арифметических прогрессий в других неподвижных точках равноблочных морфизмов.
7
Список литературы
[1] Van der Waerden, B. L. Beweis einer Baudetschen Vermutung // Nieuw
Arch. Wisk. — 1927. V.15 — P. 212-216.
[2] Szemerédi, E. On Sets of Integers Containing no k Elements in Arithmetic
Progression // Collection of articles in memory of Juriı̌ Vladimirović Linnik.
Acta Arith. — 1975. V. 27 — P. 199–245.
[3] Allouche, J.-P., Shallit,J. The Ubiquitous Prouhet-Thue-Morse Sequence //
Sequences and Their applications, Proc. SETA’98 (Ed. C. Ding, T. Helleseth,
and H. Niederreiter). //New York: Springer-Verlag — 1999 P. 1-16
[4] Avgustinovich, S. V., Fon-der-Flaass, D. G., Frid, A. E. Arithmetical
complexity of infinite words // Proc. Words, Languages and Combinatorics III
— 2000. //Singapore: World Scientific — 2003 — P. 51-62
[5] Frid, A. E. Arithmetical complexity of symmetric D0L words // Theoretical
Computer Science — 2003 V. 306 no.1-3 — P. 535-542
[6] Паршина, О.Г. О длинах арифметических прогрессий в слове Туэ-Морса
// Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции
МНСК-2014: Математика — Новосибирск, 2014 — С. 124
[7] Паршина, О.Г. Однородные арифметические прогрессии в слове ТуэМорса // Материалы 53-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2015: Математика — Новосибирск, 2015 — С. 218
8