Филиппова Ирина Юрьевна, аспирантка Кисловодского института экономики и права;

Экономико-математическая модель кредитования с учетом взаимозависимых отношений банка и фирмы
Филиппова Ирина Юрьевна,
аспирантка Кисловодского
института экономики и права;
in63@mail.ru
Аннотация: Исследована оптимальная структура кредита, предоставляемого фирме несколькими кредиторами (банками), причем один из кредитов предоставляется в условиях взаимозависимых отношений банка и фирмы.
Ключевые
слова: моделирование,
кредитование,
оптимизация,
структура кредита, риск
Abstract. The paper develops a theoretical framework for the analysis of
optimal debt structure by a few creditors (banks) under the condition that one of
credits is given in the sense of relationship lending.
Keywords: modeling, lending, optimization, credit structure, risk
Введение
В настоящее время многие фирмы прибегают для финансирования
инвестиционных проектов к кредитам, получаемым от нескольких банков,
часть которых находятся в достаточно тесных отношениях с заемщиком, позволяющих банку проводить эффективный мониторинг финансового состояния фирмы и пересмотр по своему усмотрению (как в лучшую, так и в худшую сторону для фирмы) условий кредитного контракта [1-3]. Поэтому определение оптимальной структуры финансирования фирмы с участием нескольких банков с определением доли участия в кредитовании банка, имеющего привилегии относительно получения информации о ходе реализации
проекта и обладающего рыночной властью при пересмотре кредитного договора в случае необходимости, является весьма актуальной задачей.
Экономико-математическая модель
1
Рассматриваем два типа банковского кредитования: кредитование в условиях взаимозависимых отношений банка и фирмы (для краткости будем
называть этот вид кредитования кредитом крупного банка) и кредитование в
условиях конкурентных отношений банка и фирмы (для краткости будем называть этот вид кредитования кредитом мелкого кредитора). Крупный банк
может пересматривать условия кредитного договора, получая дополнительную прибыль в апостериори благоприятной ситуации для заемщика, или отказываться от получения долга в противном случае. Мелкие кредиторы, в отличие от крупного, не могут пересматривать условия кредитного договора.
Предполагаем, что число мелких кредиторов велико, и каждый из них
имеет малую долю в общем финансировании фирмы мелкими кредиторами.
Расписание событий следующее.
1. Фирма желает получить кредит для финансирования инвестиционного
проекта, характеризующегося неопределенным потоком прибыли  .
Фирма выбирает размер кредита, получаемого от крупного кредитора
 ,   [0,1] . Кредитор предлагает соответствующую выплату по кредиту
D . Остальная доля кредитования фирмы (1   ) принадлежит мелким
кредиторам. Кредиторы решают, предоставлять ли фирме кредит. Это
предполагает наличие ограничений участия кредиторов в кредитной сделке при выборе  и D .
2. Информация относительно прибыли фирмы  становится открытой. В
предлагаемой модели предполагается наличие симметричной информации
между кредиторами и фирмой.
3. Все кредиторы одновременно принимают решение о продолжении финансирования или прекращении кредитования (в последнем случае получая
досрочную ликвидационную стоимость кредита K ). Кроме того, крупный
кредитор пересматривает договор и устанавливает выплату по кредиту
D  . Для простоты предполагаем, что крупный кредитор обладает полной
рыночной властью и может присваивать всю дополнительную прибыль
2
фирмы. Мелкие кредиторы не могут пересматривать свои кредитные контракты.
4. Фирма принимает решение о промежуточном инвестировании в проект
средств в объеме V . В этом случае фирма должна рефинансировать кредитование.
5. Если фирма инвестирует в проект средства в объеме V и рефинансирует
кредит, проект завершается успешно, и производятся выплаты по кредитам. В случае отсутствия инвестирования проект терпит неудачу. Окончательная ликвидационная стоимость оставшихся активов нормируется к
нулю.
Первоначальное инвестирование фирмы нормируется к единице. Если
фирма инвестирует в проект средства в объеме V и проект реализуется успешно, фирма получает поток прибыли  . Предполагаем, что поток прибыли
 характеризуется однородным распределением в интервале [    ,    ] .
Величина  представляет собой ожидаемую прибыль по проекту, которая
может рассматриваться как характеристика качества проекта. Плотность распределения вероятностей  определяется следующим образом
 1
при         
f ( )   2
.
 0 при  [    ,    ]
(1)
1
3
Дисперсия распределения (1) составляет Var ( )   2 . Распределение принято однородным для упрощения математического анализа.
Предполагается, что кредиторы могут принять решение о продолжении
финансирования или прекращении кредитования на стадии 3. Фирма может
рефинансировать заем при прекращении кредитования. Рефинансирование
займа, предоставляемого мелкими кредиторами, предполагает издержки рефинансирования для фирмы в размере W в расчете на единицу ссудного капитала. Рефинансирование займа, предоставляемого крупным кредитором,
предполагает издержки рефинансирования для фирмы в размере W   W .
3
Следовательно, фирма сталкивается с проблемой «издержек переключения»,
связанной с заменой кредитора. Это предположение служит двум следующим целям анализа. Во-первых, оно позволяет ввести в модель рыночную
власть крупного кредитора (в отличие от мелких кредиторов, не имеющих
рыночной власти). В то время как крупный кредитор может использовать
свою информацию о W  и  на промежуточной стадии при пересмотре условий кредитного контракта, мелкие кредиторы должны придерживаться
первоначально оговоренных кредитным контрактом условий. Во-вторых, тот
факт, что прекращение кредитования кредиторами каждого типа увеличивает
издержки по кредиту, устанавливает взаимодополняемость стратегий кредиторов.
Кредиторы принимают решение о пролонгировании кредита одновременно. Кредитор, прекращающий кредитование на промежуточной стадии,
получает ликвидационную стоимость кредита K в расчете на единицу ссудного капитала. Предполагаем, что величина K одинакова для крупного и
мелких кредиторов.
Чтобы вывести условия оптимального кредитования фирмы, сначала
рассмотрим взаимодействие фирмы и ее кредиторов при наличии кредитного
контракта ( , D ) .
Решение фирмы. В период 4 фирма принимает решение об инвестировании в проект средств V . В этом случае ей следует рефинансировать кредит
(если кредиторы решили прекратить кредитование). Решение фирмы об инвестировании средств V зависит от прибыли  и от доли мелких кредиторов, которые прекратили кредитование. Далее, фирма должна также возобновить финансирование от крупного кредитора, если он решил прекратить кредитование.
Предположим, что часть T  [0,1] мелких кредиторов прекращает кредитование. Предполагаем, что имеют место неравенства
DK
и W W  D.
Кроме того, предполагаем, что
4
   V  K и    V  W ,
т.е. интервал возможных значений случайной величины  достаточно широк. Это гарантирует, что в худших случаях поток прибыли настолько низок,
что кредитору нецелесообразно рефинансировать кредит на стадии 3. В наилучших ситуациях поток прибыли  достаточен для покрытия расходов по
кредиту. Решения фирмы могут быть охарактеризованы следующим образом.
Если крупный кредитор пролонгирует кредит и фирма предпринимает
инвестирование на стадии 4, ее прибыль составит
 f    V  D   (1   )(1  T ) D  (1   )TW .
Если крупный кредитор прекращает кредитование, фирма рефинансирует
кредит и предпринимает инвестирование на стадии 4, ее прибыль составит
 f    V  W   (1   )(1  T ) D  (1   )TW .
Наконец, если фирма не инвестирует на стадии 4, ее прибыль равна нулю,
поскольку все оставшиеся ее активы делятся между кредиторами. В подыгре
с началом в период 4 фирма предпринимает инвестирование, если ее прибыль  f неотрицательна. Это условие представляет собой стимулирующее
условие для фирмы.
Поведение фирмы на этой стадии зависит от решений кредиторов в периоде 3, т.е. от координации пролонгирования кредита. Кредиторы, принимая решения о прекращении или пролонгировании кредита, должны принимать во внимание: (1) стратегии остальных кредиторов, (2) стимулы фирмы
инвестировать в период 4 и (3) информацию относительно  . Прибыли кредиторов определяются следующим образом. Мелкий кредитор получает в
случае закрытия кредита K . В случае продолжения кредитования и успешной деятельности фирмы мелкий кредитор получает D , а в случае неудачи
проекта не получает ничего. Крупный кредитор в случае прекращения кредитования получает K . Крупный кредитор получает в случае пролонгирования
кредита и успешной деятельности фирмы D  , а в случае неудачи фирмы
прибыль кредитора равна нулю.
5
Для простоты предполагаем, что все кредиторы обладают полной и
симметричной информацией о  . В любом равновесии доля закрытых кредитов является функцией  : T  T ( ) .
Решение крупного кредитора. Величина D  определяется в процессе
пересмотра кредитного договора между фирмой и крупным кредитором и
также зависит от прибыли фирмы  . Если переговоры о пересмотре кредитного договора терпят неудачу, крупный кредитор может закрыть кредитование фирме и в этом случае получить средства K в расчете на единицу ссудного капитала. Переговоры о пересмотре кредитного договора будут успешными, если прибыль  достаточно велика
для покрытия выплаты долга
крупному кредитору хотя бы в размере K , т.е.
  V  K  (1   )[T ( )W  (1  T ( )) D ] .
(2)
Можно провести различие между двумя предельными случаями с точки зрения крупного кредитора. В наихудшем случае все мелкие кредиторы принимают решение о прекращении кредитования, т.е. T ( )  1 . Это условие определяет прибыль  , ниже которой проект закрывается, поскольку эта прибыль недостаточна для выплаты кредиторам и обеспечения стимулов фирмы
для промежуточного инвестирования в размере V :
  V  K  (1   )W .
(3)
В наилучшем случае с точки зрения крупного кредитора все мелкие кредиторы продолжают кредитование фирмы, т.е. T ( )  0 . Это определяет еще одно значение  , ниже которого проект закрывается, обозначаемое  :
  V  K  (1   ) D .
(4)
Оба уравнения (3) и (4) иллюстрируют ключевую особенность многовариантного асимметричного кредитования. Значения прибыли, соответствующие
неудаче проекта фирмы, снижаются с ростом размера кредита, предоставляемого крупным кредитором, поскольку K  D . Это отражает выигрыш
фирмы от кредитования крупным кредитором, который может отказываться
от взыскания долга в случае ее плохого финансового положения.
6
При условии   
получаем единственное равновесие, при котором
все кредиторы прекращают кредитование. При условии    имеет место
единственное равновесие, при котором все кредиторы пролонгируют кредитование. При каждом значении   [ ,  ] существуют два равновесия, соответствующие прекращению и пролонгированию кредита.
Пролонгирование кредита целесообразно при условии    , и это
равновесие является Парето-доминирующим над равновесием, соответствующим прекращению кредитования. В рассматриваемой ситуации, однако,
присутствует стратегическая неопределенность, и нет причин ожидать, что
кредиторы будут действовать в соответствии с Парето-эффективностью. Для
выяснения воздействия риска несогласованности действий кредиторов (координационного риска) на условия оптимального кредитования фирмы проведем анализ двух предельных ситуаций: эффективной (все кредиты пролонгируются, если это эффективно) и неэффективной (все кредиторы прекращают кредитование при    ) координации мелких кредиторов.
Эффективная координация мелких кредиторов
Предположим сначала, что кредиты пролонгируются, если это эффективно. В этой ситуации отсутствует риск несогласованности действий кредиторов. Тем не менее, наличие мелких кредиторов связано с выгодами и альтернативными издержками для фирмы. С одной стороны, если прибыль фирмы высока, крупный кредитор извлекает часть прибыли фирмы. С другой
стороны, крупный кредитор старается смягчить бюджетное ограничение и
продолжить кредитование в случае невысокой прибыли фирмы. При критическом значении 
поток прибыли достаточен для покрытия расходов по
выплате долга D мелким кредиторам и K крупному кредитору. Но, поскольку крупный кредитор обладает полной рыночной властью, он извлекает
все прибыли фирмы вплоть до значения, при котором отказ от услуг крупно-
7
го кредитора (при издержках W  ) являются альтернативой для фирмы. Это
происходит при значении
ˆ  V  W   (1   ) D   .
(5)
При этом значении прибыль фирмы достаточна для выплаты платежей по
кредиту мелким кредиторам и для рефинансирования кредита крупного кредитора. Заметим, что величина ˆ возрастает по ссудному капиталу, предоставляемому крупным кредитором.
При условии    фирма ликвидируется, при условии     ˆ кредитование фирмы пролонгируется, однако все прибыли фирмы присваиваются
крупным кредитором, и только для   ˆ фирма получает прибыли, превосходящие ˆ .
Для однородно распределенной в интервале [    ,    ] случайной
величины  ожидаемая прибыль фирмы определяется соотношением
E ( f ) 
1
2
 
1
 [  ˆ]d  4 [     V  W

 (1   )(W   D)]2 . (6)
ˆ
Из выражения (6) видно, что ожидаемая прибыль убывает по ссудному капиталу, предоставляемому крупным кредитором. ˆ возрастает по  , так что
рост  сокращает множество состояний, в которых фирма получает положительные прибыли. Кроме того, во всех этих состояниях прибыли убывают
с ростом  , т.е. в более узком интервале прибыль также будет ниже. Крупный кредитор полезен в продолжении проекта в состояниях, в которых пролонгирование эффективно (поток прибыли по проекту выше ликвидационной
стоимости фирмы), однако присваивает все прибыли. Соответственно, при
фиксированном значении D (при игнорировании ограничений участия кредиторов в сделке) фирма не может получить выгоду от кредитования крупным кредитором в случае неэффективной координации мелких кредиторов.
Однако, как будет видно из анализа, проведенного в разделе 3.2, оптимальная структура кредитного контракта учитывает ограничения участия кредиторов в сделке и определяет значение D эндогенно. Поскольку крупный кре-
8
дитор принимает на себя риск мелких кредиторов в силу того, что может отказываться от взыскания долга с фирмы в случае неблагоприятной ситуации,
асимметричное множественное кредитование может оказаться для фирмы
оптимальным.
Неэффективная координация мелких кредиторов
В качестве альтернативы рассмотрим ситуацию, когда мелкие кредиторы координируются на наиболее неэффективном равновесии и закрывают
кредитование фирмы для всех состояний, в которых    . В этом случае
имеет место максимальный риск несогласованности действий мелких кредиторов, и фирма вынуждена рефинансировать кредит, неся затраты в размере
W в расчете на единицу ссудного капитала для продолжения проекта.
В состоянии  поток прибыли фирмы достаточен для рефинансирования кредитов мелких кредиторов и для платежа в размере K крупному кредитору. Значение
 является пороговым значением банкротства фирмы.
Пороговое значение, выше которого фирма получает положительные прибыли, есть значение ˆ при условии, что оно превосходит значение  . Из определения этих величин получаем
ˆ  

  ˆ 
W D
.
W  D W  K
(7)
Заметим, что ˆ  1 . Если ссудный капитал, предоставляемый крупным кредитором, достаточно мал, т.е. при   ˆ , он не сможет присвоить всю прибыль
фирмы. Во всех состояниях, в которых проект фирмы продолжается, ее прибыль превосходит затраты, соответствующие отказу от услуг крупного кредитора. В худших ситуациях, при    , поток прибыли недостаточен для
возобновления кредитования мелкими кредиторами, даже если крупный кредитор требует платеж только в размере K .
Ожидаемая прибыль фирмы в рассматриваемом случае определяется
следующим образом
9
E ( f ) 
1
2
 
 [  ˆ]d .
(8)
 
max ˆ ,
С ростом  пороговые значения ˆ и  двигаются в противоположных направлениях. При   ˆ дальнейшее увеличение  сокращает множество состояний, в которых фирма получает прибыль, и снижает прибыль фирмы.
При фиксированном значении D оптимальный размер кредита, полученного
от крупного кредитора, меньше значения ̂ и уравновешивает предельные
убытки, связанные с завышением цены кредита крупным кредитором, с предельными выгодами от положительного воздействия, оказываемого ростом
 на точку дефолта фирмы в силу неэффективной координации мелких кредиторов. Если размер кредита, получаемого от крупного кредитора, мал, эффект координации доминирует над эффектом завышения цены кредита крупным кредитором.
Для иллюстрации роли  на рис. 1 показана прибыль фирмы  f в ситуации, когда   ˆ , или, эквивалентно, ˆ   . Увеличение  сдвигает значение 1 к  2 и ˆ1 к ˆ2 . Если фирме пролонгируется кредитование, рыночная власть позволяет крупному кредитору извлечь часть прибыли фирмы.
Доля прибыли, которую может присвоить крупный кредитор, возрастает с
ростом  . Это снижает прибыль фирмы для рассматриваемого состояния.
Воздействие роста  на продолжение проекта, однако, положительно. Увеличение  снижает точку дефолта фирмы  и расширяет множество состояний, в которых фирма получает прибыль. Оптимальный размер кредита,
получаемого от крупного кредитора, уравновешивает эти два эффекта.
Эти соображения позволяют вывести оптимальный размер кредита, получаемого от крупного кредитора, при условии фиксированного значения
D.
10

 f    ˆ,   ˆ
 f1
 f2
ˆ1

 2  1
ˆ2


Рис. 1. Влияние роста  на критические состояния и прибыль фирмы
Утверждение. При условии неэффективной координации мелких кредиторов для кредитных контрактов с выплатами D оптимальная структура кредитного контракта, максимизирующая прибыль фирмы, асимметрична, т.е. 0    1 тогда и только тогда, когда
   V W 
(W  K )(W  D )
.
W  D
В этом случае оптимальный размер кредита, получаемого от крупного кредитора, определяется соотношением
(W  K )(W  D )  (W   D )(     V  W )
 
.
(W  K )(2W   W  2 D  K )

В противном случае   0 .
11
(9)
Доказательство. Для вычисления оптимального размера кредита, получаемого от крупного кредитора, максимизируем прибыль фирмы, учитывая, что оптимальное значение  будет ниже ̂ . Тогда ожидаемая прибыль
составит
1
E ( f ) 
2
 

1  (   ) 2   2
ˆ
 (    )ˆ  ˆ  .
ˆ [   ]d  2 
2


Используя определения ˆ и  , получаем
E ( f )


1
[(W  K )(ˆ   )  (W   D)(     )] .
2
(10)
Приравнивая производную (10) к нулю, получаем максимизирующее прибыль значение  (9). Нетрудно видеть, что
  ˆ ,
 убывает с ростом
   и возрастает с ростом V . Значение  положительно тогда и только
тогда, когда выполняется неравенство
   V W 
(W  K )(W  D )
.
W  D
Утверждение устанавливает, что получение кредита от крупного кредитора может быть выгодным для фирмы при наличии координационного
риска. Оптимальный размер кредита  , получаемый от крупного кредитора,
убывает по величине    . Для достаточно успешных проектов или умеренных значений K финансирование проекта не требует участия крупного
кредитора. Чем меньше    , тем больше значение  , однако оно остается меньше ̂ и поэтому всегда меньше единицы.
Литература
12
1. Жарковская Е.П. Банковское дело. - М.: Омега-Л, 2003.
2. Boot, Arnoud W., 2000, Relationship Banking: What do we know?, Journal of
Financial Intermedation 9, 7–25.
3. Mayer, Colin, 1988, New issues in Corporate Finance, European Economic Review 32, 1167–1189.
13