Автореферат - Институт вычислительной математики и
advertisement
На правах рукописи Лазарева Галина Геннадьевна Математическое моделирование многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации на суперЭВМ 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Новосибирск – 2012 1 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) Научный консультант: доктор физико-математических наук профессор Вшивков Виталий Андреевич Официальные оппоненты: Воеводин Анатолий Федорович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук. Жуков Виктор Тимофеевич, доктор физико-математических наук, заведующий отделом Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук. Черных Геннадий Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук. Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук Защита состоится 02 октября 2012г. в 15.00 час. на заседании диссертационного совета Д003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН) по адресу: 630090, Новосибирск, просп. ак. Лаврентьева, 6. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук. Автореферат разослан _____________ 2012г. Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м.н. С.Б. Сорокин 2 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность исследований. Математическое моделирование, как один из важнейших методов исследования, играет важную роль в исследовании динамики сжимаемых сред. Без вычислительных технологий прогресс, достигнутый во многих областях знаний, невозможен, так как аналитические методы решения ограничены рассмотрением упрощенных случаев с высокой степенью симметрии или дают приближенные оценки для нелинейных задач. В настоящее время разработано большое количество методов решения системы газодинамических уравнений, изучены их свойства и правомерность их использования в различных областях механики сжимаемой жидкости. На основе существующих и хорошо апробированных методов решения системы газодинамических уравнений разработано большое количество пакетов программ для моделирования течений с целью предсказания их характеристик и рабочих параметров современных инженерных устройств. Наиболее известны пакеты Ansys, Fluent, FlowVision, CFX, STAR-CD, Numeca, FlowER, MD Nastran используемые для моделирования различных типов течений. Несмотря на развитую теорию, большой опыт успешного применения разностных методов для решения системы уравнений газовой динамики и существование созданных на их основе готовых пакетов программ, решение задач динамики многофазных сжимаемых сред с учетом гравитации требует особого подхода. Приложения методов решения гиперболических систем уравнений к различным задачам всегда предполагают наличие определенных критериев к выбору метода и его модификации. Уравнения газовой динамики есть математическое выражение основных законов сохранения для сплошной среды: массы, импульса, полной энергии. В приложениях задач гидродинамики часто возникает необходимость рассматривать дополнительные физические факторы, такие как многофазность, самогравитация, процессы охлаждения, теплоперенос, плавление, наличие сильно изменяющихся реологических и транспортных свойств и т. д. Это приводит к необходимости введения в уравнения новых членов и включения в систему дополнительных уравнений. В результате изменяется содержательность математических моделей, их решение следует трактовать уже в новых физических терминах. Такая ситуация имеет место и для большого класса математических моделей в задачах генерации излучения пассивными пузырьковыми системами в гидроакустике, мантийных течений в геодинамике и столкновений галактик в современной теоретической астрофизике. При изучении сложных явлений переход к моделированию пространственных течений сжимаемых сред сопровождается появлением новых физических эффектов, которые в задачах меньшей размерности либо отсутствуют, либо проявляются лишь незначительно. Многомерные модели выдвигают особые требования к используемым для их реализации 3 численным методам. Не менее значимым фактором является возможность достаточно простой параллельной реализации метода для расчетов на суперЭВМ, так как программная реализация пространственных моделей, требующих большого числа массивов, невозможна на современных однопроцессорных компьютерах. В настоящее время возможно проведение расчетов газодинамических моделей в трехмерной постановке с хорошим разрешением (достаточно подробной сеткой либо большим количеством частиц) только на многопроцессорных вычислительных системах. Проблема использования супер-ЭВМ для решения задач динамики сжимаемых сред в первую очередь определяется сложностью адаптации алгоритмов решения задач на архитектуру многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью, доминирующим в настоящее время направлением в развитии многопроцессорных компьютеров. Несмотря на достигнутые успехи в моделировании динамики сжимаемых сред, в частности, многофазных, многие прикладные задачи до сих пор не решены. Сложность проблемы обуславливает необходимость разработки фундаментальных основ и применения математического моделирования, численных методов и комплексов программ; комплексных исследований научных и технических проблем с применением современных технологий математического моделирования и вычислительного эксперимента; разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации эксперимента и наблюдений на основе математической модели. Таким образом, актуальность работы определяется потребностью разработки, обоснования и тестирования экономичных вычислительных методов решения уравнений многофазной газовой динамики с учетом гравитации с применением современных суперкомпьютерных технологий, реализации численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемноориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента и комплексного исследования научных проблем гидроакустики, астрофизики и геодинамики с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Объект исследования данной работы – нестационарные процессы в многофазных сжимаемых средах с учетом роли гравитационных сил путем построения и изучения их математических моделей, корректной конечномерной аппроксимации и создания программно-алгоритмических средств, ориентированных на использование вычислительных систем с параллельной архитектурой. Цель исследования - опираясь на современные достижения теории разностных схем для газодинамических систем уравнений, развить численные методы решения прикладных задач гидроакустики, астрофизики и геодинамики, создать на этой основе научноисследовательские версии программного обеспечения, ориентированные на 4 использование современных вычислительных средств с параллельной архитектурой и провести численные эксперименты. Научные задачи 1. Разработать метод численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования процессов распространения ударной волны излучаемой пузырьковым кластером и ее структуры с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. 2. Разработать, обосновать и протестировать экономичный численный метод расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с сохранением свойства инвариантности решения относительно поворота. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов. Провести комплексные исследования равновесных конфигураций и коллапса самогравитирующего газа, динамики газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. 3. Разработать нестационарную математическую модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Разработать эффективный параллельный алгоритм нахождения гипозвуковой скорости течения. Создать на этой основе научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения и провести численное моделирование мантийных течений. Методы исследований, достоверность и обоснованность. Разнообразие явлений, их нелинейность, нестационарность, многомасштабность требуют детального изучения, основанного на совмещении современных знаний из различных дисциплин: методов математического моделирования, вычислительной математики, теории разностных схем, теории параллельных вычислений, в том числе методы пространственной декомпозиции областей для разработки параллельных версий алгоритмов, механики сплошных сред, гидроакустики, астрофизики и геодинамики, - с широким использованием экспериментальных и наблюдательных данных. В диссертации проводится теоретическое исследование усиления ударной волны пузырьковым кластером, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Исследования выполнены 5 методом численного моделирования, некоторые вопросы изучались аналитическими способами. Математические модели, которые использовались и развивались в работе, отличаются полнотой описания явлений, что позволило учесть целый комплекс факторов, влияющих на поведение газодинамических параметров течений в задачах гидроакустики, астрофизики и геодинамики. Методологический подход к решению поставленных задач состоит в совмещении сложных газодинамических моделей, современных представлений гидроакустики, астрофизики и геодинамики с экономичными численными методами, разработанными для суперкомпьютерных вычислений. Разработанные комплексы программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение. Достоверность подходов к численному моделированию усиления ударной волны пузырьковым кластером подтверждается совпадением результатов, полученных по двум различным численным методам: с помощью противопотоковой схемы и схемы расщепления второго порядка точности, адаптированной к исследованию течений с сильно нелинейным уравнением состояния. Последняя из используемых схем абсолютно устойчива и аппроксимирует систему уравнений, записанную в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. Сходимость численных методов проверена на последовательности измельчающихся сеток. Полученные результаты непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся экспериментальным данным по изучаемым явлениям. Процесс фокусировки ударной волны, генерируемой сферическим пузырьковым кластером, устойчив к возмущениям, заданным в виде жидкой сферы, размещенной в кластере в различных точках на оси. Газодинамическая часть программного комплекса для моделирования самогравитирующих систем была протестирована на тестах Годунова. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задачи проверена на последовательности измельчающихся сеток. Решение уравнения Пуассона для гравитационного потенциала тестировалось на аналитических решениях с разрывной правой частью. На задачах о равновесных конфигурациях самогравитирующего газа было проведено тестирование правильности решения системы уравнений газовой динамики с учётом влияния самосогласованного гравитационного поля. В ходе численного нахождения равновесных конфигураций решение системы выходило на соответствующие автомодельные решения. Правомерность применимости предложенного подхода к численному моделированию подтверждается согласованностью полученных результатов решения задачи коллапса с результатами других 6 авторов. Полученные диапазоны газодинамических параметров развития сценария столкновения галактик соответствуют теоретическим оценкам, основанным на анализе наблюдательных данных. Контроль правильности решения осуществляется выполнением разностных законов сохранения. Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе, а так же в ИГиЛ СО РАН, ИНАСАН и ИГМ СО РАН путём сопоставления результатов численного моделирования и лабораторных и натурных наблюдений. Защищаемые научные результаты. В работе присутствуют оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ. Эти три области соответствуют трем пунктам паспорта специальности 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам. Пункт третий (Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий): 1. Разработка эффективного конечно-разностного метода численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. 2. Разработка, обоснование и тестирование эффективного численного метода расчёта трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем с применением современных суперкомпьютерных технологий. В основе метода лежит совокупность оригинальных решений: модификация эйлерового этапа метода крупных частиц на основе операторного подхода с целью сохранения свойства решения инвариантности относительно поворота; линеаризация уравнений на эйлеровом этапе для адекватного воспроизведения ударных волн; коррекция схемных скоростей на лагранжевом этапе метода для ликвидации влияния направления координатных линий на решение. 3. Разработка, обоснование и тестирование нового экономичного вычислительного метода для моделирования динамики мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами с применением современных суперкомпьютерных технологий. 7 Пункт четвертый (Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента): 1. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента с целью исследования процессов распространения и структуры ударной волны излучаемой пузырьковым кластером заданной геометрии в аксиальносимметричной постановке. 2. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для численного моделирования динамики многофазных самогравитирующих систем в трехмерной декартовой системе координат, зарегистрированного в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. В ходе реализации метода разработаны оригинальные подходы для эффективного решения ряда ключевых задач: расчет гравитационного потенциала, газовой и пылевой компонент на разных сетках, организация параллельных вычислений методом декомпозиции расчетной области с использованием библиотеки MPI. 3. Создание научно-исследовательского варианта параллельного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов для численного моделирования мантийных течений Пункт пятый (Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента): 1. Эффект фокусировки ударной волны с градиентом давления вдоль фронта в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемыхй тороидальным пузырьковым кластером; формирование в пузырьковом шнуре последовательности ударных волн затухающей амплитуды. 2. Получены равновесные конфигурации самогравитирующего газа; динамика энергий коллапса самогравитирующего газа; взаимодействие компонент газопылевых самогравитирующих систем; диапазоны параметров для развития сценариев столкновений галактик с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. 3. Результаты численного моделирования процесса разогрева и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой высокотемпературной магмы под основанием коры. Научная новизна и личный вклад. В диссертации сформулированы постановки некоторых новых задач численного моделирования течений многофазных сжимаемых сред с учетом сил гравитации: усиления ударной 8 волны «свободной» пузырьковой системой, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Созданы оригинальные экономичные численные методы и параллельные алгоритмы решения поставленных задач. Научной новизной обладают как постановки задач, так и полученные решения. Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Разработан численный метод с улучшенными вычислительными характеристиками для решения нестационарных задач механики неоднородных сред в аксиально-симметричной постановке на суперЭВМ; обнаружен эффект фокусировки ударной волны, переизлучаемой сферическим пузырьковым кластером, и нерегулярное маховское отражение, возникающее во время кумуляции кольцевой ударной волны на оси симметрии; получены зависимости максимальной амплитуды давления и размеров пятна фокусировки от параметров течения. 2. Создан эйлеров численный метод на регулярной нединамической сетке для моделирования динамики самогравитирующего газа в трехмерной декартовой системе координат со свойством сохранения инвариантности решения относительно поворота; создан научно-исследовательский вариант параллельного программного обеспечения для численного моделирования динамики многофазных самогравитирующих систем, зарегистрированный в Фонде алгоритмов и программ СО РАН; получена последовательность равновесных фигур самогравитирующего газа и диапазон параметров развития каждого из сценариев модельной задачи центрального столкновения газовых компонент галактик: слияние, рассеивание, свободный разлёт и разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента. 3. Создана нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости, разработан алгоритм численной реализации нестационарных гипозвуковых течений в мантии Земли. Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановок задач, разработке адекватных численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов, интерпретации результатов численного моделирования. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами. Теоретическая и практическая значимость результатов. С помощью современных достижений теории разностных схем и методов параллельных вычислений диссертантом разработаны, теоретически и экспериментально обоснованы оригинальные экономичные численные методы решения прямых нестационарных двух- и трехмерных задач для многофазных сжимаемых сред с учетом сил гравитации и на этой основе созданы научноисследовательские версии программного обеспечения, ориентированного на 9 использование современных вычислительных систем с параллельной архитектурой. В рамках диссертационной работы разработаны свободно распространяемые проблемно-ориентированные программные комплексы для суперЭВМ с открытым кодом, в том числе зарегистрированные в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. Данные комплексы используются в исследованиях гидроакустических процессов в ИГиЛ СО РАН, теретическом анализе наблюдательных данных в ИНАСАН и изучении закономерностей мантийных течений в ИГМ СО РАН. Эффективность предложенных методов и программного обеспечения продемонстрирована на примере анализа решенных задач гидроакустики, астрофизики и геодинамики. В ходе комплексных исследований задач динамики многофазной сжимаемой среды с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента получены новые результаты: эффект фокусировки ударной волны в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим облаком пузырьков и нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемых тороидальным пузырьковым кластером; равновесные конфигурации и коллапс самогравитирующего газа, динамика газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в следующем: 1. Исследованы акустически активные системы, способные к генерации мощного излучения, изучена динамика их состояния и волновых процессов в системе распределенных в жидкости пузырьковых кластеров и механизмов их усиления, определено влияние начальных параметров смеси и динамических характеристик ударной волны на структуру ударных волн, излучаемых пузырьковым кластером, что может быть использовано при создании сазера (SASER – shock amplification by systems with energy release), акустического аналога импульсных лазерных систем. Созданная численная модель динамики ударных волн в пузырьковых средах и реализующий ее пакет программ для суперЭВМ дают разработчикам гидроакустических аналогов лазерных систем эффективный инструмент, который позволяет принимать научно обоснованные решения для постановки физических экспериментов и может послужить основой для создания генераторов акустического излучения. 2. Исследована модельная задача центрального столкновения газовых компонент галактик и определен диапазон газодинамических параметров для развития каждого из сценариев: слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездного компонента, рассеивание газовых компонент галактик. Найден механизм возникновения 10 новой дочерней галактики. Создан зарегистрированный в Фонде алгоритмов и программ СО РАН пакет программ для суперЭВМ для решения широкого класса задач гравитационной газодинамики, позволяющий получать важные, научно обоснованные теоретические выводы, необходимые для понимания не только эволюции газовых компонент взаимодействующих галактик, но и эволюции самих галактик. В дальнейшем разработанный программный комплекс для суперЭВМ может быть использован для исследования сценариев взаимодействия астрофизических объектов (не центрального столкновения дисковых галактик, близкого прохождения галактик и т.д.) с учетом процессов звездообразования. 3. Разработана нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости и алгоритм численной реализации нестационарных гипозвуковых течений в мантии Земли для суперЭВМ. Созданная научно-исследовательская версия программного обеспечения может быть использована для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов с целью получения динамических картин течений многофазных сжимаемых сред в мантии Земли с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования многофазных сред, при решении задач усиления акустических сигналов пузырьковыми средами, при моделировании гравитационно-неустойчивых процессов в мантии Земли, в теоретической астрофизике, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики. Все исследования, проводимые по теме диссертации, являются составной частью планов НИР Института, а их выполнение постоянно поддерживалось Российским фондом фундаментальных исследований в рамках проектов 0201-00864-а «Создание эффективных параллельных алгоритмов для моделирования задач физики плазмы и астрофизики», 04-01-00850-а «Численное моделирование генерации пучков быстрых ионов при взаимодействии коротких лазерных импульсов с тонкой фольгой», 05-0100665-а «Разработка параллельных алгоритмов для решения задач астрофизики и физики плазмы», 08-01-00615-а «Создание эффективных параллельных алгоритмов для моделирования процессов в физике плазмы и астрофизике», 08-01-00622-а «Численное моделирование развития аномальной теплопроводности при нагреве плазмы электронным пучком в установках УТС», 09-01-00379-а «Математическое моделирование физических основ космического плазменного двигателя», 11-01-00178-а «Численное моделирование на суперЭВМ динамики ультрарелятивистских пучков заряженных частиц», РФФИ № 11-01-12075-офи-м-2011 «Гамильтонова геофизическая гидродинамика и кинетические уравнения», 11 12-01-00061-а «Математическое моделирование на суперЭВМ нестационарных мантийных течений в сжимаемой среде с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами», 12-0100076-а «Вычислительные алгоритмы и технологии решения многомерных задач математической физики на квазиструктурированных сетках», 12-0100234-а «Моделирование динамики плазмы для газодинамической многопробочной ловушки на суперЭВМ». Представленные в диссертации результаты получены в процессе исследований по междисциплинарным ИП СО РАН №22 «Волновые процессы в многофазных средах», № 148 «Самоорганизация, катализ и процессы химической эволюции в гравитационно и термодинамически неустойчивых системах, моделирующих ранние этапы формирования Земли», № 40 «Термодинамически согласованные модели сплошных сред и их вычислительное моделирование: вычислительные модели, алгоритмы и их программная реализация; новые критерии устойчивости движения, позволяющие указывать допуски на определяющие параметры», № 113 «Разработка вычислительных методов, алгоритмов и аппаратурнопрограммного инструментария параллельного моделирования природных процессов», № 26 «Математические модели, численные методы и параллельные алгоритмы для решения больших задач СО РАН и их реализация на многопроцессорных суперЭВМ», № 2 «Тепломассоперенос в континентальной коре в условиях гравитационной неустойчивости: геологический анализ и многопроцессорное моделирование», № 103 «Законы сохранения, инварианты, точные и приближенные решения для уравнений гидродинамического типа и интегральных уравнений», № 105 «Плазменная ловушка – мишень для получения мощных атомарных пучков для термоядерных установок (разработка, изготовление, запуск и исследования)», № 12 «Математическое моделирование восходящего движения магм в литосфере», Голландско-Российскому Проекту NWO-Plasma (контракт NOWRFBS 047.016.018), программе фундаментальных исследований Отделения физических наук РАН ОФН-17 «Протяжённые объекты во Вселенной», проектам Программы Президиума Российской академии наук № 4 «Происхождение и эволюция звезд и галактик», № 18-2 «Происхождение и эволюция биосферы», № 25-2 «Эволюция гео-биологических систем», № 4 «Происхождение и эволюция звезд и галактик», программы СО РАН по супер-ЭВМ, фонда «Ведущие научные школы» (грант 2073.2003.1), программы Рособразования "Развитие научного потенциала ВШ" (проект РНП.2.2.1.1.3653 и проект РНП.2.2.1.1.1969). Представленные в диссертации исследования проводились в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (государственные контракты 12 П1246, 16.740.11.0573, 14.740.11.0350) и Федеральной целевой программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы" (государственный контракт 07.514.11.4016). Результаты разработок использованы в НИР студентов ММФ НГУ «Модели и алгоритмы высокопроизводительных вычислительных систем для решения больших задач физики» и поддержаны проектом «Подготовка и переподготовка профильных специалистов на базе центров образования и разработок в сфере информационных технологий» Комиссии при Президенте Российской Федерации по модернизации и технологическому развитию экономики России. Апробация, публикации, объем и структура диссертации. Результаты диссертационной работы известны научной общественности. Всего по теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано более 60 работ, в том числе 27 статей, из которых 18 - в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях в России и за рубежом: на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XVI сессии Российского акустического общества (Москва, 2005), IV школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физ. эксперименте» (Новосибирск, 2003), V Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Новосибирск, 2010), 17 Международном конгрессе по акустике (Италия, 2001), Международном рабочем совещании «Происхождение и эволюция биосферы» (Новосибирск, 2005), Всероссийских конференциях «Проблемы механикики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007), «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009), «Математика в приложениях» (Новосибирск, 2009), Всероссийскоих конференциях по вычислительной математике КВМ (Новосибирск, 2009, 2011), Международных конференциях PaCT (Новосибирск, 2006, 2009), «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» (Москва, 2009), «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008), «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (Новосибирск, 2010), “Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика” (Новосибирск, 2011), “Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики” (Новосибирск, 2011), Международной конференции по математическим методам в геофизике «ММГ-2008» (Новосибирск, 2008), 5 Международной конференции “Inverse Problems: Modeling and Simulation” (IP:M&S) (Турция, 2010), Международной 13 Суперкомпьютерной конференции «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2010), «Параллельные вычислительные технологии» (Новосибирск, 2012), обсуждались на семинарах в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Институте астрономии АН (ИНАСАН) и Институте космических исследований РАН. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Содержит 312 страниц, в том числе 140 рисунков, 25 таблиц. Библиография содержит 335 наименований. Благодарности. Успешному проведению исследования способствовала поддержка академиков РАН А.Н. Коновалова и Б.Г. Михайленко, оказавших большое влияние на формирование научных взглядов соискателя. Автор глубоко благодарна своему руководителю и соавтору профессору д.ф.-м.н. В.А. Вшивкову за содержательные и плодотворные обсуждения, помощь при выполнении работы. Автор ценит всестороннюю поддержку, постоянное внимание к работе и благодарит всех сотрудников Лаборатории параллельных алгоритмов решения больших задач ИВМиМГ СО РАН и сотрудников кафедры Математического моделирования ММФ НГУ во главе с заведующим кафедрой профессором д.ф.-м.н. В.М. Ковеней. Особую признательность автор выражает д.ф.-м.н. Г.И. Дудниковой и профессору д.ф.-м.н. В.К. Кедринскому, которые оказали определяющее влияние на профессиональные приоритеты соискателя. Огромное влияние на содержательную часть работы по моделированию астрофизических задач оказал сотрудник ИНАСАН (г. Москва) профессор д.ф.-м.н. А.В. Тутутков. Автор благодарна сотрудникам лаборатории метаморфизма и метасоматоза Института геологии и минералогии СО РАН ак. РАН В.В. Ревердатто и д.г.м.н. О.П. Полянскому за постановку задачи и всестороннюю поддержку при создании новой модели мантийных течений. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, цель и задачи исследования, приводится краткий обзор современного состояния исследований по теме диссертации и приведено краткое изложение полученных результатов. Глава 1. Первая серия исследований и численных экспериментов направлена на изучение проблемы кумуляции энергии ударной волны пассивной пузырьковой средой. В первом разделе приводится физико-математическая постановка задачи о взаимодействии плоской ударной волны с акустически активными 14 системами. Рассматривается двухфазная модель Иорданского – Когарко - ван Вингардена (ИКВ - модель), которая включает в себя законы сохранения массы и импульса для средних значений давления p, плотности , скорости u (ur , uz ) (1) и подсистему (2-3), определяющую состояние среды: u 1 (1) div( u ) 0, u (u ) p, t t p p ( ) p0 n 0 c02 k0 3 . 1 , k np0 1 k 1 k0 (2) S 3 2 C 2 (3) S 2 p 3 1 , S , C . t 2 t R0 p0 Система уравнений (1-3) не замкнута: в уравнении состояния для жидкого компонента вводится новая переменная k – удельная доля газовой фазы в кластере, содержащая переменную = R/Ro - относительный радиус пузырьков, динамика которой описывается уравнением Релея (3). Здесь co скорость звука в жидкости, ko - начальная объемная концентрация газовой фазы, - коэффициент поверхностного натяжения. Система уравнений записана в безразмерном виде, где po – начальное давление в жидкости , o начальная плотность жидкости , Ro – начальный радиус пузырьков в кластере, p0 / 0 - характерная скорость, R0 0 p0 - характерное время константы, по которым система уравнений приведена к безразмерному виду. Расчеты проводились при показателе адиабаты n = 7.15 для диапазонов параметров: ko = 0.001 - 0.1, Ro = 0.01 - 0.4 см. Особенность данной модели состоит в том, что она позволяет игнорировать наличие пузырьков и считать среду однородной с особыми свойствами состояния, описываемого уравнением Релея. Расчет ведется по схемам сквозного счета (без выделения особенностей). Для расчета течения как в чистой жидкости, так и в пузырьковой среде, используется одно уравнение состояния p(ρ), в которое входит удельная доля газовой фазы, имеющая свое значения для каждой среды. Контактный разрыв на границе пузырьковая среда – жидкость задается в начальный момент времени через задание плотности: 1 1 , 2 1 k0 , где 1 - плотность в жидкости, 2 - в пузырьковой среде. Задача решена в аксиально-симметричной постановке, 0 z zmax, 0 r rmax. Для расчетов принято rmax=15 см, zmax = 40см. Численные методы решения. Решение исходной системы уравнений разбито на два этапа: газодинамический и кинетический. Для реализации первого этапа приведены две разностные схемы: явная схема с направленными разностями и схема расщепления, адаптированные для расчета двумерных уравнений газовой динамики в цилиндрических координатах. Для реализации второго этапа, состоящего в решении 15 ( подсистемы уравнений, описывающих состояние пузырьковой среды, рассмотрена схема Рунге – Кутта – Мерсона 4-го порядка. Приведены результаты тестирования используемых разностных схем и сравнение методов решения газодинамических уравнений на тестовом примере о распространении плоской ударной волны в жидкости. Условия на границе z = 0 описывают ударную волну с постоянной амплитудой путём задания осевой компоненты скорости в предположении равенства нулю ее радиальной компоненты. Давление и скорость связаны через соотношение на разрыве. В расчетах амплитуда падающей волны изменялась в диапазоне 10 – 120 атм. Чтобы возмущения могли свободно выходить из области, не отражаясь от границы z = 0, используется граничное условие: u u0 , давление задается для pzuz 0 p p0 , иначе pz 0 . На границе r = 0 задаются граничные условия симметрии. На границах r = rmax и z = zmax задаются «мягкие» граничные условия: равенство нулю нормальных производных. Исследованы эффекты взаимодействия граничных условий на входе и выходе волны из расчетной области. Полученное уравнение полной энергии системы с учетом эффекта поглощения энергии пузырьковым кластером позволяет согласовывать граничные условия, проводить контроль правильности решения и используется в построении метода определения максимальной амплитуды давления в области фокусировки. Метод определения максимальной амплитуды давления в области фокусировки на основе оценки величины изменения энергии волны переизлучения состоит в построении конуса, отражающего предполагаемое в предельном случае линейное распределение давления. Применение метода к результатам расчетов позволяет найти значения амплитуды давления в пятне фокусировки с точностью не менее 2%. Во втором разделе приводится параллельная версия алгоритма. Особенность задачи состоит в том, что область моделирования состоит из подобласти, занятой чистой жидкостью и пространства пузырькового кластера. В каждой из подобластей уравнение состояния вычисляется особым образом, следовательно, изменяется количество операций. Такая постановка задачи требует особого подхода к декомпозиции области для обеспечения равномерной загрузки процессоров. Предложенный подход к декомпозиции пузырькового пространства является универсальным, не зависящим от размеров и конфигурации кластера. Топология вычислительной системы определяется структурой данных. Данные в алгоритме разрезаны на полосы, и обмен данными во время счета производятся только между соседними полосами. Поэтому топология вычислительной системы – "линейка" достаточна для решения задачи. Для выявления свойств параллельного алгоритма найдены его характеристики для разных размеров вычислительной 16 системы, разных размеров кластера и разных размеров задачи. Подробный анализ показал, что размеры пузырьковой зоны существенно влияют на общее время вычислений задачи. Экспериментально получены важные характеристики параллельного алгоритма данной задачи, такие как ускорение, эффективность, влияние неоднородности на время вычислений, которые позволяют оценить его качество и возможности получения значимых результатов. Результаты численного моделирования приведены в третьем разделе. Приведена физико-математическая постановка задачи о взаимодействии плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером. В ударной трубке радиуса rmax, заполненном жидкостью, расположено сферическое облако пузырьков с объемной концентрацией газовой фазы ko. Пузырьки газа в кластере имеют один и тот же радиус Rb. Ударная волна, распространяясь от левого торца ударной трубки, взаимодействует с облаком пузырьков, огибает его и в зоне контакта фронта преломляется в кластер. а б в г д Рис. 1 Динамика изобар. Схема иллюстрирует расположение сферического пузырькового кластера (меридиальное сечение заштриховано) и распределение изобар при ko = 0.01, psh = 30 атм, Ro = 0.01 см, Rcl = 5 см, l cl = 10 см для t = 60 мкс (б), t = 120 мкс (в), t = 180 мкс (г), t = 250 мкс (д). При обтекании кластера падающей ударной волной его возбуждение в различных точках поверхности происходит с запаздыванием. В результате переизлучения поглощенной пузырьками преломленной волны в кластере формируется ударная волна, которая представлена на рис. 1. Отмечена такая особенность волнового процесса, как “неклассический” тип фокусировки, которая сопровождается поглощением ударной волны в кластере пузырьками газа и их последующим переизлучением. При этом наблюдается большой градиент давления вдоль фронта ударной волны. Приведены расчетные характеристики излученной сферическим кластером ударной волны в пятне фокусировки. Объемная концентрация газовой фазы в кластере играет определяющую роль в эффекте усиления. Рисунок 2 иллюстрирует сдвиг 17 пятна фокусировки к центру кластера одновременно с ростом максимальной амплитуды давления в этом пятне с ростом удельной доли газовой фазы. Рис.2 Распределение давления в пятне фокусировки на оси z для различных значений удельной доли газовой фазы. 1 – ko = 0.04, 2 – ko = 0.02, 3 – ko = 0.01, 4 – ko = 0.005, 5 – ko = 0.0025. Анализ расчетов показал, что амплитуда давления в фокусе зависит от амплитуды падающей волны, объемной концентрации газовой фазы, радиуса кластера и пузырьков. Получены соотношения, аппроксимирующие эти зависимости. Усиление эффекта фокусировки является следствием увеличения концентрации пузырьков в кластере и объема сферического облака. Совсем иной характер носит усиление эффекта фокусировки с ростом амплитуды падающей волны. Резкий рост давления в момент фокусировки с ростом амплитуды падающей волны до 40 атм сменяется асимптотическим поведением распределения давления при больших значениях psh. С ростом радиуса пузырьков в кластере амплитуда давления в момент фокусировки падает. На работу, совершаемую ударной волной над облаком пузырьков (увеличение внутренней энергии газа в пузырьках, создание радиальных потоков жидкости в процессе схлопывания), затрачивается ощутимая часть переносимой волной энергии. Приведенные энергетические оценки показывают какая доля затраченной части энергии переизлучается пузырьковым кластером с усилением амплитуды в зависимости от объемной концентрации пузырьков, радиусов пузырьков и пузырькового кластера. Показано, что при оптимальном наборе параметров доля переизлученной энергии превышает 50%. Показано, что пульсация пузырьков в кластере приводит к возникновению последовательности волн сжатия и разрежения, которые затем распространяются по расчетной области. В результате расчетов задачи о взаимодействии плоской ударной волны с двумя последовательно расположенными сферическими пузырьковыми кластерами показано, что с ростом объемной концентрации газовой фазы растет как максимальная амплитуда давления в первом и втором кластерах, так и эффект усиления. Максимальная амплитуда давления во втором кластере выше максимума давления в первом на 5-9% и растет по мере уменьшения расстояния между кластерами. В предельном случае плотно сдвинутых кластеров эффект усиления максимален. Полученные результаты 18 позволяют говорить о росте амплитуды ударной волны при ее прохождении через последовательность кластеров. Приведены результаты численного анализа структуры волнового поля в окрестности оси симметрии при формировании сходящейся стационарной осциллирующей ударной волны. В данной постановке пузырьковый кластер имеет форму тора (радиус тора Rtor, радиус сечения Rcirc), расположенного в плоскости, перпендикулярной оси ударной трубки. Взаимодействие преломленной волны с пузырьковой системой приводит к ее фокусировке внутри кластера и усилению, уровень которого определяется параметрами системы и радиусом сечения тора. Усиленная кластером ударная волна переизлучается в окружающую жидкость. Показано, что отражение волны от оси носит нерегулярный характер (см. рис.3а). Для подобного типа волн ширина (на оси z) зоны осесимметричного нерегулярного отражения (маховского диска) конечна и занимает около 3 см, при этом в диске четко выделяется зона высокого давления (ограниченная системой замкнутых изобар), которую можно определить как ядро диска Маха. Результаты численного анализа динамики роста радиуса ядра маховского диска по мере удаления от плоскости тора показывают, что по мере удаления от плоскости тора и с ростом угла падения ударной волны на ось радиус ядра маховского диска монотонно растет для всего рассмотренного диапазона значений объемной доли газовой фазы в кластере. а б Рис.3 Поля давлений в виде системы изобар для ko = 0.01 Анализ структуры волнового поля показал, что по мере распространения маховского диска вдоль оси распределение давления на оси имеет четкий максимум, величина которого тем больше, чем выше концентрация газовой фазы. По мере удаления от плоскости тора, в его ближней зоне, наблюдается резкий рост давления в ядре диска Маха с усилением амплитуды волны в 6-7 раз. Характер последующего поведения давления указывает на тенденцию к асимптотике, при которой давления в ядрах маховского диска на расстоянии 20 см от тора практически выравниваются и все еще заметно превышают (в 2 - 2.5 раза) амплитуду взаимодействующей с тором волны. Показано, что генерируемая тороидом в жидкости ударная волна имеет осциллирующий профиль, характерный для пузырькового источника, с затухающими по амплитуде максимумами; фокусировка такой ударной волны приводит к 19 последовательному формированию на оси цепочки маховских дисков (см. рис.3б). Как показывает расчет, процесс кумуляции тороидальной волны во внутренней области тора носит классический характер: начальное затухание вблизи поверхности тора и последующий рост амплитуды по мере приближения волны к оси с максимумом в точке контакта с осью. Основные закономерности кумуляции переизлученной тороидальной волны согласуются с экспериментальными данными для кольцевых ударных волн в гомогенных средах и с известными характеристиками кумуляции цилиндрической волны. Исследовано влияние геометрических параметров тороидального пузырькового кластера на кумулятивный эффект и распределение давления в ядре маховского диска. Показано, что при фиксированных параметрах среды изменение объема тора за счет роста радиуса его сечения приводит к существенному увеличению амплитуды волны в области ядра диска Маха. Топология течения при этом практически не меняется. В случае же, когда радиус сечения равен радиусу тора и внутренняя граница тора смыкается на оси в точку, динамика поля давления в жидкости существенно меняется. Фронт излученной ударной волны, сходящейся к оси, при такой конфигурации источника представляет собой вогнутую поверхность с градиентом давления, направленным от оси симметрии. Несмотря на то, что давление в окрестности оси на сходящемся фронте минимально, кумуляция течения, в конечном итоге, приводит к формированию в ближней зоне источника мощной уединенной ударной волны с амплитудой, превышающей амплитуду взаимодействующей с тором волны почти в 30 раз. Расчеты показали, что усиления кумулятивного эффекта можно достичь, увеличивая радиус сечения и уменьшая радиус тора, таким образом, сохраняя объем пузырькового кластера. Усиление кумулятивного эффекта является следствием не только увеличения объема, но и зависит от формы тора. Проведен вычислительный эксперимент для получения динамики поля давления при взаимодействии плоской ударной волны с пузырьковым шнуром, помещенным на ось симметрии гидродинамической ударной трубки. Показано, что в пузырьковой зоне формируется последовательность ударных волн затухающей амплитуды. Амплитуда первой ударной волны на оси симметрии характеризуется резким первоначальным ростом и последующим плавным возрастанием при всех параметрах задачи. Распределение амплитуды результирующей ударной волны определяется аналогичными зависимостями от параметров пузырьковой среды и геометрических параметров задачи, что и в случае сферического пузырькового кластера. Глава 2. Вторая серия исследований и численных экспериментов направлена на изучение динамики самогравитирующих систем. 20 В первом разделе приводится обширный обзор работ в рассматриваемой области и физико-математическая постановка задачи динамики трёхмерных газовых объектов в самосогласованном гравитационном поле. В рассмотрение включены численные реализации трехмерных моделей, описывающие гравитационную газодинамику, в том числе большое число пакетов, находящихся в свободном доступе. Наиболее популярными методами решения в настоящее время являются лагранжев бессеточный метод сглаженных частиц (SPH) и эйлеровы методы с использованием адаптивных сеток (AMR). Перечислены различные свойства этих подходов и их влияние на решение. Рассматривается система уравнений газовой динамики, замкнутая уравнением состояния для идеального газа и дополненная уравнением Пуассона для гравитационного потенциала. div v 0 , t v div v v grad p grad 0 , t E div( Ev ) div pv grad 0 , v Q , t p 1 , div grad 4. Здесь – плотность газа, v – вектор скорости, p – давление, – гравитационный потенциал, получаемый из уравнения Пуассона, 0 – гравитационный потенциал от центрального тела, – удельная внутренняя энергия, – показатель адиабаты, Q – функция охлаждения, E – удельная полная энергия. Система уравнений записана в безразмерном виде. Задача рассматривается в трёхмерной постановке. Приведено описание метода крупных частиц и разработанных модификаций. Для реализации эйлерового этапа приведены две разностные схемы: схема с центральными разностями и схема, основанная на решении линеаризованной системы уравнений эйлерова этапа. На лагранжевом этапе происходит конвективный перенос газодинамических величин. Проведено исследование устойчивости метода крупных частиц. На задаче о распаде разрыва были исследованы различные подходы к аппроксимации уравнений на эйлеровом этапе. Проведена верификация численного метода решения уравнений газовой динамики на тестах Годунова. Численная модель пылевого облака в упрощенном виде сводится к задаче взаимодействия N-тел, движущихся под действием гравитационных сил. Задачи этого типа при астрофизическом моделировании обычно решаются методом частиц-в-ячейках (Particle-Mesh) с использованием «древесного алгоритма» (Treecode), что позволяет использовать в расчете большое число частиц. Модель движения самогравитирующего вещества описывается 21 системой, состоящей из бесстолкновительного кинетического уравнения Власова-Лиувилля и уравнения Пуассона. Рассмотрено совместное решение системы уравнений для частиц и системы уравнений газовой динамики с учетом сил гравитации: g v g div v g v grad p Fg Fтрg , div g v 0, t t g E div v g E Qтр div pv Fg Fтрg , v , t v2 T p E , , p gT , div pv 1 Qтр p div v , t 2 1 p f f F Fтр f u p 0, p t , r f t , r , u du , t r m u Fp p grad , Fg g grad , 1 2 , p g , 2 4 . Здесь f t, r , u – зависящая от времени t одночастичная функция распределения по координатам и скоростям, r x, y, z – координаты частиц, u u x , u y , u z – скорости частиц, F m – гравитационная сила, действующая на частицу массы m, t , r f t , r , u du – распределение плотности частиц в пространстве и времени, Ф = Ф1 + Ф2 – гравитационный потенциал, в котором происходит движение, состоящий двух частей: первая часть потенциала Ф1 представляет собой потенциал неподвижной центральной массы (галактической черной дыры, протозвезды), а вторая часть Ф2 зависит от совокупного распределения движущихся частиц и удовлетворяет уравнению Пуассона. Введена сила трения между газовой и g пылевой компонентами: Fтр kтр p g u v , Fтрp kтр p g v u . Изложен метод решения уравнения Пуассона для гравитационного потенциала, основанный на преобразовании Фурье. В программной реализации используется быстрое преобразование Фурье. Рассматриваемая математическая модель оптимальна на классе задач без ограничений на функции распределения газодинамических параметров (плотность, давление, скорость). В качестве граничных условий для уравнений газовой динамики использовались однородные краевые условия второго рода. Для задания граничного условия для уравнения Пуассона может быть использованы фундаментальное решение уравнения Лапласа или моменты инерции. Практика расчетов показывает, что неинвариантность разностных схем относительно группы преобразований, допускаемых исходной системой 22 дифференциальных уравнений, приводит к нежелательным счетным эффектам, существенно искажающим картину изучаемого физического явления. Во втором разделе рассмотрена проблема сохранения конечноразностными схемами свойства решения инвариантности относительно поворота и пути к ее решению. Проведен сравнительный анализ результатов расчета задачи о распространении газового шара в вакуум с использованием различных конечно-разностных схем, показано преимущество использования инвариантной схемы, построенной на основе метода дифференциального приближения. Описаны элементы операторного подхода для построения разностных схем. Преимущество операторного представления разностных схем оказывается особенно ощутимым в случае необходимости использования инвариантных относительно поворота численных реализаций, при этом особую роль играют вопросы согласования свойств разностных аналогов дифференциальных операторов grad и div . Рис. 4 Изолинии плотности без (слева) и при использовании (справа) операторного подхода Приведены расчётные характеристики при использовании операторного подхода в задаче эволюции самогравитирующего облака (см. рис. 4). Использование согласованных аналогов дифференциальных операторов приводит к более точному и симметричному решению. Приведена коррекция скоростей переноса вещества на лагранжевом этапе разработанного метода. Система уравнений на лагранжевом этапе отвечает за конвективный перенос плотности, импульса, полной и внутренней энергий через грани ячеек с так называемой схемной скоростью. Эта скорость не соответствует искомой скорости газа, которую можно определить только после завершения лагранжева этапа системы, как результирующую итоговых значений импульса и плотности. Схемная скорость может быть получена как результат осреднения векторов скорости, расположенных в узлах (классический способ), в ячейку или исходя из точного движения границ ячеек (модифицированный способ). 23 В третьем разделе приводится обзор современных пакетов программ для моделирования задач астрофизики на суперЭВМ и параллельная версия алгоритма. Целью параллельной реализации являлась возможность решать большие задачи за приемлемое время. Алгоритм, реализующий метод крупных частиц, обладает высокой степенью внутреннего параллелизма, т.к. имеет место только локальное взаимодействие между соседними элементами, и для вычисления потенциала в слое сетки требуются значения не более чем в двух соседних слоях. Тем самым выполнено условие линейности алгоритма, необходимое для его реализации на мультикомпьютерах. Несмотря на это, метод является сложным для эффективной параллельной реализации. Одним из главных вопросов – это правильное распределение массивов сеточных переменных между процессорными элементами. Для распараллеливания алгоритма рассматриваемой задачи применён метод геометрической декомпозиции. Рассматриваемая задача N-тел является затратной по памяти и вычислительным ресурсам. Для типичной трехмерной задачи размер расчетной сетки составляет 400*400*400 ячеек, а соответствующий размер сетки для решения уравнения Пуассона – порядка 1024*1024*1024 ячеек. Чтобы уровень шумов был приемлемым, необходимо не менее 100 частиц на ячейку расчетной области. Таким образом, получаем 6.4 млрд. частиц. Итоговый объем оперативной памяти составляет 311.3 Гб. Очевидно, что такая задача требует распараллеливания. Принципиальную трудность может составлять необходимость расположения частиц и узлов сетки из одной области пространства моделирования в одном процессоре. Рассмотрено три способа распараллеливания. Важно отметить, что распараллеливание проведено не только для того, чтобы уменьшить время счета. Основная задача заключается в том, чтобы путем увеличения числа частиц добиться снижения уровня численных флуктуаций. Проведен анализ параллельного алгоритма решения задачи самогравитирующего вещества, состоящего из газа и частиц. Параллельное быстрое преобразование Фурье при решении уравнения Пуассона выполняется с помощью свободно распространяемой библиотеки FFTW [www.fftw.org], которая сама задает способ декомпозиции. Таким образом, имеются две вложенные сетки, которые по-разному распределены между процессорами: малая сетка для движения вещества и большая сетка для решения уравнения Пуассона. Поэтому на каждом шаге по времени необходимо дважды делать перераспределение сеточных значений между процессорами: перераспределение значений плотности вещества перед решением уравнения Пуассона и значений гравитационного потенциала после него. Комплекс параллельных программ был реализован на языке Fortran. Для межпроцессорного взаимодействия использовалась библиотека 24 MPI. Для оценки эффективности созданного параллельного кода была проведена серия тестов для расчетов отдельно звездной и газовой компонент. Таким образом, реализованный трехмерный код позволяет выполнять расчеты на сетках порядка 500×500×500 ячеек и использовать 1 млрд. модельных частиц. При увеличении числа используемых процессоров имеет место ускорение счета. Четвертая часть посвящена исследованию динамики самогравитирующих газовых систем. Исследованы равновесные конфигурации вращающегося само-гравитирующего газа. Такие конфигурации важны для моделирования газодинамических процессов на этапах образования нейтронных звезд или черных дыр, а также для моделирования коллапса и вспышек сверхновых. В отсутствии вращения звезда имеет сферическую форму, поверхности постоянного давления – изобарические поверхности – являются концентрическими сферами, и все газодинамические параметры обладают центральной симметрией. В этом случае равновесные конфигурации можно построить аналитически и определить газодинамические параметры в явном виде. Если газ вращается вокруг фиксированной в пространстве оси с некоторой заданной угловой скоростью, то форма газового объекта становится эллипсовидной. В этом случае равновесные конфигурации звезды можно построить аналитически только при специальных ограничениях на газодинамические параметры, а в общем случае задачу приходится решать численно. Угловая скорость должна удовлетворять условию [Барская И.С., 2006]: 0 1 1 2 r 2 d 0.4 d . 2 2 С увеличением угловой скорости 90% самогравитирующего газа принимает форму эллипсоида вращения, полуоси которого можно аппроксимировать функциями : rx w 2.35 103 exp w 0.15736 1.18171, rz w 2.52 103 exp w 0.17686 1.03146. Проведен сравнительный анализ результатов численного моделирования коллапса самогравитирующего газа. Процессы коллапса астрофизических объектов в настоящее время активно исследуются теоретически в связи с появлением значительного числа наблюдательных данных. Явление коллапса имеет место, как на начальной стадии звездной эволюции, так и на конечной стадии эволюции звезд. Задачи астрофизического коллапса характеризуются резким изменением плотности и давления за короткий промежуток времени. В работе показано преимущество созданного метода над методом сглаженных частиц (SPH) при моделировании областей с высоким градиентом плотности. Основным результатом в данной задаче является поведение энергий, поведение энергий качественно, а до момента коллапса количественно совпадают с результатами других авторов. В задаче коллапса 25 ошибка в полной энергии при использовании метода крупных частиц составляет порядка 5%. Реализована математическая модель динамики газопылевых самогравитирующих систем. В центре области находится самогравитирующий газопылевой шар с гидростатически равновесным распределением газа и аналогичным распределением частиц. В случае нулевой силы трения газовая и пылевая фазы взаимодействуют только через гравитационное поле. При отсутствии пыли на достаточно больших временах счета сохраняется равновесная конфигурация газа в системе. Введение пылевого компонента приводит к разлету газа с сохранением в центре области высокой плотности. Разлет газа обусловлен его взаимодействием с пылевым компонентом системы. Частицы, двигающиеся по произвольным круговым орбитам, вносят изменения в силы гравитации, которые нарушают неустойчивое равновесное состояние газового шара. Введение учета силы трения приводит к достаточно быстрому разлету газа, который формирует равновесную конфигурацию невысокой плотности. Такие результаты обусловлены усилением взаимодействия компонент системы: частицы, двигающиеся по произвольным круговым орбитам, более активно увлекают за собой газ, неподвижно находящийся в неустойчивом равновесном состоянии. На фоне разлета газа происходит коллапс пылевого облака, причем именно введение силы трения приводит к сжатию пылевого облака, так как без сил трения область, заполненная пылью, постепенно расширяется. Рис. 5 Распределение плотности при образовании третей галактики, лишённой звездной компоненты. Начало столкновения (1), начало разлёта галактик со звездным компонентом (2), окончательное формирование третей галактики (3) Исследована модельная задача центрального столкновения газовых компонент галактик. Показано, что сценарием столкновения галактик может быть их слияние, свободный разлёт, разлёт с образованием новой галактики, лишённой звездной компоненты (см. рис. 5), рассеивание газовых компонент галактик. Получены диапазоны газодинамических параметров для развития каждого из сценариев центрального столкновения галактик, неизбежных в их 26 плотных скоплениях. Полученные результаты подтверждают существующие теоретические оценки и согласуются с данными наблюдений. Глава 3. Заключительная серия исследований и численных экспериментов направлена на описание процесса разогрева и вызванного им всплывания легкого вещества в результате андерплейтинга базитовой магмы в основании континентальной коры. В первом разделе приводится обзор современных математических моделей мантийных течений и физико-математическая постановка задачи динамики мантийных течений с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. Рассматривается система уравнений, описывающую динамику слабосжимаемой жидкости, замкнутую уравнением состояния: v 0, t v 1 1 vi vk 2 vm v v p gey , t xk xk xi 3 ik xm T v T k T , t Уравнение состояния является прямым следствием выражения для плотности y 0 1 T ( p p y 0 ) : p p y 0 y 0 T 1 , где – плотность, v vx , v y – скорость, T – температура, p – давление, – вязкость, g – ускорение свободного падения, k – температуропроводность. В уравнении состояния использованы параметры 3 1051/ C o , 10111/ Па. Характерные значения переменных задачи: характерная длина L0 105 м, 0 2.8 103 кг / м3 , T0 550o C , k0 106 м 2 / сек, t0 L20 k0 , v0 k0 L0 , p0 0 k0 L20 . Для определения вязкости в модели использовано уравнение Аррениуса: A exp E RnT , где - экспериментальные данные, R A 1.2 1017 , E 1.34 105 , n 2.6 универсальная газовая постоянная, T – температура. В рассматриваемой постановке задачи значения коэффициента вязкости находятся в диапазоне 0 1014 1028 Па×с . Следовательно, число Прандтля и число Рэлея: Pr 0 0 k0 3.6 1016 3.6 1030 , Ra g 0 L30 0 k0 104 1010 , где - характерный перепад температуры. В модели рассматривается нормальная кора с экспоненциальным распределением радиоактивных источников тепла. Введение учета процессов плавления осуществляется на основе экспериментальных данных о температурной зависимости давления и вязкости среды в твердом состоянии и в состоянии расплава [Gerya T. V., 27 2007]. Выбор модели слабосжимаемой жидкости определяется, как желанием использовать более полную модель процесса с учетом скачков плотности, вызванных фазовыми переходами при плавлении, так и возможностью создания численной технологии решения с привлечением хорошо апробированных конечно-разностных схем. Известен [Андреев В. К., 2008] критерий Пухначева применимости классической модели ОбербекаБуссинеска для описания тепловой гравитационной конвекции. Если параметр gL30 0 k имеет порядок меньший или равный единице, то модель Обербека-Буссинеска не применима. Величина характеризует относительный вклад факторов плавучести и объемного расширения жидкости в формирование поля скоростей. В рассматриваемом классе задач значение коэффициента вязкости может варьироваться в диапазоне 9 5 0 1014 1028 Па/с, параметр принимает значения от 10 до 10 . При небольших характерных скоростях геодинамических процессов для такого типа задач характерна высокая скорость звука и малое число Маха: , M v0 c 1013. Геодинамика рассматривает очень c p 104 м сек медленные течения, поэтому в теории ранее не использовалось число Маха, в отличие от сейсмологии и других разделов геофизики. Формально вычислив число Маха, можно обратиться к опыту вычислений в области существенно дозвуковых течений. Для улучшения счетных характеристик численной модели поле давлений разделяется на сумму постоянного давления массовых сил, которое учитывается при задании начальных данных, и переменного давления, которое определяется из уравнения состояния. Численная модель реализована на регулярной прямоугольной сетке в декартовой системе координат. Система уравнений движения (внутренний цикл) реализована неявным конечно-разностным методом стабилизирующей поправки первого порядка по времени и пространству. Во внутреннем цикле итерации по фиктивному времени осуществляются до достижения точности . Во внешнем цикле по реальному времени для реализации уравнения неразрывности и уравнения температуры используется метод стабилизирующей поправки. Система уравнений решается для отклонения давления от гидростатического, начальное распределение плотности находится методом Рунге-Кутта 4 порядка точности. Во втором разделе приводится параллельная версия алгоритма. Для распараллеливания алгоритма рассматриваемой задачи выбрана вычислительная система с общей памятью с учетом специфики численной модели, характеризующейся большим числом векторных прогонок и не требующей более десятка процессоров при распараллеливании. Алгоритм реализован на языке Фортран с использованием программных средств 28 распараллеливания алгоритмов над общим полем памяти - OpenMP. Распараллеливание алгоритма заключается в выделении частей (подобластей) расчетной области и распределении этих подобластей по потокам (в качестве задания работ) для вычислений каждым потоком в назначенной ей подобласти. Расчетная область условно "разрезается" на полосы вдоль координаты X или Y, которые (в данной программе) статически распределяются средствами OpenMP по потокам для вычислений. Заметим, что точки соседних полос, необходимые при вычислении по шаблону "крест", доступны всем потокам, поскольку все данные находятся в общей памяти. Параметры (плотность, температура, давление), вычисляемые по явным схемам с расщеплением по пространственным направлениям, рассчитываются полосами вдоль одной из координат. Параметры скоростей рассчитываются во внутреннем цикле программы по неявной схеме методом прогонки и расчет осуществляется вдоль обеих координат. Массивы для хранения прогоночных коэффициентов задаются в локальной памяти каждого потока, что позволяет потокам осуществлять обратный проход (в алгоритме прогонки) для каждой строки или столбца вычисляемой ими полосы. На ускорение и эффективность параллельного алгоритма рассматриваемой задачи основное влияние оказывает размер сеточного пространства, точность расчета скоростей оказывает крайне слабое влияние. Детальный анализ параллельного алгоритма показал, что возможно получать для сеточных пространств среднего размера (5000х1000) близкое к линейному ускорение, не смотря на использование векторной прогонки. Разработаны подходы к построению параллельных алгоритмов для вычислений над распределенной памятью на основе решения уравнения движения для гипозвуковых течений в интегральном виде. Результаты численного моделирования приведены в третьем разделе. Рассматривается прямоугольная область земной коры глубиной 30км и шириной 60км. На верхней границе области задана свободная поверхность с постоянным нулевым значением температуры, заданы плотность 2.8 103 кг / м3 и давление 105 Па . Боковые границы области изолированы для передачи тепла и выхода вещества. На нижней границе задана область, шириной 20км, постоянно прогреваемая до температуры 1200o C , т.е. рассматривается процесс андерплэйтинга. На остальной части нижней границы задана температура 550o C . Для согласования граничных условий температура на нижней границе изменяется по экспоненциальному закону. В ходе расчета скорости в области нагрева задаются согласованно в соответствии с исходными уравнениями, что позволяет получать гладкие значения скоростей. Давление на нижней границе в начальный момент времени задается равное 108 Па . 29 Рис. 6 Распределения значений температуры, полученные в результате расчетов с использованием подхода МДТТ (слева) и модели слабосжимаемой жидкости (справа). На рис. 6 показаны результаты расчетов в форме меняющегося температурного поля в разные моменты геологического времени (1 млн лет =3.15*1013сек) при переменном коэффициенте вязкости. Показано сравнение результатов расчетов двух подходов: левая колонка представляет результаты с использованием МДТТ подхода, правая – с применением механики жидкости при переменном коэффициенте вязкости. Показаны поля температуры в теле диапира, различия в моделях заключаются в скорости подъема и форме диапира. В ходе расчета высота прогретой области растет, затем верхняя часть разогретого участка среды начинает расширяться и принимает характерную форму плюма с закрученными краями, вызванными процессом тепловой конвекции. При заданном законе вязкости скорость всплывания оказалась 0.02 м/год, такая оценка хорошо согласуется с геологическими наблюдениями. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ В диссертации сформулированы постановки новых двух- и трехмерных задач математического моделирования течений многофазных сжимаемых сред с учетом гравитационных сил: усиления ударной волны «свободной» пузырьковой системой, динамики самогравитирующих систем и мантийных течений. Созданы оригинальные экономичные численные методы, параллельные алгоритмы и научно-исследовательские варианты параллельного проблемно-ориентированного программного обеспечения, в том числе зарегистрированные в Фонде алгоритмов и программ СО РАН. Разработан метод численного моделирования взаимодействия плоской ударной волны со «свободной» пузырьковой системой заданной геометрии с применением современных суперкомпьютерных технологий. Разработан и обоснован численный метод для расчёта динамики самогравитирующих 30 многофазных систем с сохранением свойства инвариантности решения относительно поворота. Разработана новая нестационарная математическая модель мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости с сильно изменяющимися реологическими и транспортными свойствами. В ходе комплексных исследований задач динамики многофазной сжимаемой среды с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента получены новые результаты: эффект фокусировки ударной волны в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим облаком пузырьков и нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн, генерируемых тороидальным пузырьковым кластером; равновесные конфигурации и коллапс самогравитирующего газа, динамика газопылевых самогравитирующих систем и развитие сценариев столкновений галактик. СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Всего по теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано более 60 работ, в том числе 27 статей, из которых 18 - в ведущих рецензируемых научных журналах из перечня ВАК: 1. Кедринский В.К., Шокин Ю.И., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Лазарева Г.Г. Генерация ударных волн в жидкости сферическими пузырьковыми кластерами // Докл. РАН. 2001. Т. 381. №6. С. 773-776. 2. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г. Численное моделирование динамики ударных волн в пузырьковых системах // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. №5. С. 24-39. 3. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И., Лазарева Г.Г. Фокусировка осциллирующей ударной волны, излученной тороидальным облаком пузырьков // ЖЭТФ. 2004. Т.125. вып.6. С.1302-1310. 4. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Лазарева Г.Г. Формирование и усиление ударных волн в пузырьковом «шнуре» // ПМТФ. 2005. Т. 46. №5. С.46-52. 5. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Операторный подход для численного моделирования гравитационных задач газовой динамики // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. №3. С. 27-35. 6. Вшивков В.А., Г.Г. Лазарева, Киреев С.Е., Куликов И.М. Параллельная реализация на суперЭВМ модели газовой компоненты самогравитирующего протопланетного диска // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12. № 3. С. 38-52. 7. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Корнеев В.Д. Численное моделирование усиления ударных волн в пузырьковом шнуре на суперЭВМ // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 225-232. 31 8. Вшивков В.А., Г.Г. Лазарева, Куликов И.М. Модификация метода крупных частиц для задач гравитационной газовой динамики // Автометрия. 2007. Т. 43. №6. С. 46-58. 9. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Снытников А.В. Адаптивное изменение массы модельных частиц при моделировании тлеющего ВЧ-разряда в силановой плазме // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. №1. С. 22-30. 10. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Снытников А.В. Эффективный параллельный алгоритм для численного моделирования процессов в моносилановой плазме тлеющего разряда // Автометрия. 2008. Т. 44. №5. С. 112-122. 11. Лазарева Г.Г. Современные методы решения многомерных уравнений гравитационной газовой динамики и их программные реализации для суперЭВМ // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10. вып. 1. С. 40-64. 12. Тутуков А.В., Лазарева Г.Г., Куликов И.М. Газодинамика центрального столкновения двух галактик: слияние, разрушение, пролет, образование новой галактики // Астрономический журнал. 2011. Т. 88. №9. С. 837-851. 13. Лазарева Г.Г., Полянский О.П., Федорук М.П., Бабичев А.В., Вшивков В.А., Ревердатто В.В. Нестационарная модель конвективных мантийных течений в приближении слабосжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. 2011. Т. 16. №5. С. 67-79. 14. Вшивков В.А., Лазарева Г.Г., Киреев С.Е., Куликов И.М. Численное решение трехмерных задач динамики самогравитирующих многофазных систем // Научный вестник НГТУ. 2011. №3 (44). С. 69-80. 15. Лазарева Г.Г., Куликов И.М., Вшивков В.А., Кошкарева Е.А., Берендеев Е.А., Горр М.Б., Антонова М.С. Параллельная реализация численной модели столкновения галактик // Вестник НГУ. Серия: Информационные технологии. 2011. Т.9. вып. 4. С. 71-79. 16. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov I., Tutukov A. Hydrodynamical code for numerical simulation of the gas components of colliding galaxies // The Astrophysical Journal Supplement Series. 2011. V.194. 47. P. 1-12. 17. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov I., Tutukov A. Computational methods for ill-posed problems of gravitational gasodynamics // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2011. V. 19. I. 1. P. 151-166. 18. Лазарева Г.Г. Комплекс параллельных программ для моделирования динамики ударных волн в пузырьковых системах // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2012. Т. 11. вып. 2. С. 41-55. 32
