7 класс 7.1. Ответ: Решение.

7 класс
7.1. В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за
одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?
Ответ: да, можно.
Решение. Например, можно заплатить тремя монетами по 27 тугриков и получить сдачу пятью
монетами по 16 тугриков.
Возможны и другие примеры, которые приведем в общем виде:
а) заплатить 3 + 16n монет по 27 тугриков и получить сдачу 5 + 27n монет по 16 тугриков,
где n — натуральное число;
б) заплатить 22 + 27m монет по 16 тугриков и получить сдачу 13 + 16m монет по 27 тугриков,
где m — натуральное число или ноль.
Эти примеры получаются из следующих соображений. Понятно, что платить и получать сдачу
монетами одного достоинства бессмысленно. Следовательно, необходимо подобрать такие целые
числа x и y, чтобы выполнялось равенство 16x + 27y = 1.
Отметим, что уравнение вида ax + by = c имеет решение в целых числах тогда и только тогда,
когда число c кратно НОД(a; b).
Критерии проверки:
+ приведены верный ответ и пример
± приведено несколько примеров, среди которых есть как верные, так и неверные
− задача не решена или решена неверно
A
7.2. Соедините точки A и B (см. рисунок) ломаной из четырех отрезков одинаковой
длины так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:
1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.
(Достаточно привести один пример.)
B
Ответ: возможен один из вариантов проведения ломаной, показанных на рис. 7.2 а, б, в (с точностью до симметрии относительно прямой AB).
A
A
A
B
Рис. 7.2а
B
B
Рис. 7.2б
Рис. 7.2в
Критерии проверки:
+ приведен верный пример
± приведено несколько примеров, среди которых есть как верные, так и неверные
− задача не решена или решена неверно
7.3. У юного художника была одна банка синей и одна банка желтой краски, каждой из которых
хватает на покраску 38 дм2 площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее
небо, зеленую траву и желтое солнце. Зеленый цвет он получал, смешивая две части желтой краски
и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы
на картине на 6 дм2 больше, чем площадь неба?
Ответ: синим закрашено 27 дм2 , зеленым — 33 дм2 , а желтым — 16 дм2 .
Решение. Первый способ. Обозначим площади, закрашенные синим (blue), зеленым (green) и желтым (yellow) цветом, как B, G и Y соответственно. Так как зеленый цвет получается смешением двух
частей желтой краски и одной части синей, то на закрашивание зеленым цветом площади G расхо2
1
дуется количество желтой краски, соответствующее площади G, а синей — G. Учитывая, что вся
3
3
1
3
синяя краска была израсходована, составим уравнение: B + G = 38. Кроме того, по условию, G на
6 дм2 больше, чем B, то есть B = G − 6. Подставив значение В составленное уравнение, получим, что
G = 33, значит, B = 27.
1
2
Так как вся желтая краска также была израсходована, то Y + G = 38. Подставив в это равенство
3
значение G = 33, получим, что Y = 16.
Второй способ. Обозначим через x одну часть, пошедшую на получение зеленой краски. Тогда
желтой краской покрашено (38 − 2x) дм2 , зеленой — 3x дм2 , а синей — (38 − x) дм2 . Поскольку
по условию зеленым покрашено на 6 дм2 больше, чем синим, то 3x − 6 = 38 − x. Отсюда x = 11,
следовательно, желтой краской покрашено 38 − 2 · 11 = 16 дм2 , зеленой 3 · 11 = 33 дм2 , синей
38 − 11 = 27 дм2 .
Критерии проверки:
+ приведены верный ответ и полное обоснованное решение
± приведено верное рассуждение, найдены все три площади, но допущена арифметическая ошибка
±
∓
−
−
приведено верное рассуждение, но найдены только две площади из трех
верно составлено уравнение (система уравнений), но оно (она) не решено (решена)
приведен только ответ
задача не решена или решена неверно
7.4. Биолог последовательно рассаживал 150 жуков в десять банок. Причем в каждую следующую
банку он сажал жуков больше, чем в предыдущую. Количество жуков в первой банке составляет не
менее половины от количества жуков в десятой банке. Сколько жуков в шестой банке?
Ответ: в шестой банке — 16 жуков.
Решение. Пусть в первой банке x жуков, тогда во второй банке — не меньше, чем x + 1 жуков,
в третьей — не меньше, чем x + 2 жука, и так далее. Таким образом, в десятой банке не меньше, чем
x + 9 жуков. Следовательно, общее количество жуков не меньше, чем 10x + 45. Учитывая, что всего
рассаживали 150 жуков, получим: x 6 10.
С другой стороны, в десятой банке должно быть не больше, чем 2x жуков, в девятой — не больше,
чем 2x − 1 жуков, и так далее. Это означает, что в первой банке — не больше, чем 2x − 9 жуков, а
всего жуков — не больше, чем 20x − 45. Так как всего рассаживали 150 жуков, то x > 10.
Таким образом, в первой банке ровно 10 жуков, а в последней банке — 19 или 20. Найдем сумму
одиннадцати последовательных чисел, начиная с десяти: 10 + 11 + . . . + 19 + 20 = 165. Так как
всего должно быть 150 жуков, то отсутствует банка, в которой 15 жуков. Следовательно, рассадка
определяется однозначно: 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19 и 20 жуков с первой по десятую банку
соответственно. Значит, в шестой банке — 16 жуков.
Доказав, что x 6 10, можно продолжить рассуждения иначе. Так как в десятой банке не меньше,
чем x+9 жуков, причем x+9 6 2x, то x > 9. Затем рассмотреть два случая: x = 9 и x = 10, оценивая
количество жуков в десятой банке.
Критерии проверки:
+ приведены верный ответ и полное обоснованное решение
± приведены верный ответ и верные, в целом, оценки количества жуков как «сверху», так и
«снизу», которые содержат некоторые пробелы
± приведены верные обоснованные оценки количества жуков как «сверху», так и «снизу», верно
найдена рассадка жуков по банкам, но ответ на вопрос задачи неверен или отсутствует
∓ верно проведена только одна из двух требуемых оценок
∓ верно указана рассадка жуков по банкам, но она не обоснована
− приведен только ответ
− задача не решена или решена неверно
7.5. Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа
таким образом, чтобы суммы трех чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?
Ответ: нет, нельзя.
Решение. Пусть требуемая расстановка существует, S — сумма всех расставленных чисел, a и b —
числа, стоящие в кружках, расположенных в каких-либо двух вершинах треугольника. Тогда для
той вершины, в которой стоит число a, сумма чисел вдоль трех отрезков, содержащих эту вершину,
равна S + 2a. Аналогично, для вершины, в которой стоит число b, эта сумма равна S + 2b. Так как
суммы чисел вдоль любого отрезка равны, то и суммы чисел вдоль трех отрезков также равны, то
есть S + 2a = S + 2b, откуда следует, что a = b. Но это противоречит условию, где сказано, что
2
все числа должны быть различными. Таким образом, требуемой расстановки не существует, что и
требовалось доказать.
Аналогичное рассуждение можно проводить для любой пары кружков, через каждый из которых
проходит ровно три отрезка.
Критерии проверки:
+ приведены верный ответ и полное обоснованное решение
± приведены верный ответ и верное, в целом, рассуждение, которое содержит некоторые пробелы или недочеты
∓ найдена идея суммирования чисел по трем отрезкам, содержащим один и тот же кружок, но
дальнейших продвижений нет
− приведен только ответ
− задача не решена или решена неверно
3