Глава 3. Расчет простых

Глава
3.
Расчет простых
портфельных сделок
Простая портфел'ьпая сделка
-
это однопериодная сделка с набором
(пакетом) активов.
Временные параметры простой портфельной сделки те же, что и в
простейшей сделке:
-
t0 t1 -
начальный момент сделки,
конечный момент сделки,
Т = t1 - t0 - срок сделки.
Важнейший финансовый параметр простой портфельной сдел­
ки
ее портфель
-
-
набор активов, участвующих в сделке, с указани­
ем абсолютных или относительных их количеств.
Задавая портфель, инвестор указывает абсолютную или относи­
тельную позицию по каждому активу из заданного набора активов,
участвующих в сделке.
3.1. Портфели активов и их представление
Способы описания портфеля активов сделки:
указываются активы и их количество;
указываются
активы
и
величина денежных
средств,
вклады­
ваемых в каждый актив;
указывается относительная доля общего инвестируемого капита­
ла, вкладываемая в каждый актив.
Для формального описания этих способов обозначим через
А= {Ар~, ... , А)
-
набор активов, участвующих в портфельной сделке.
Тогда первый, или абсолютный способ состоит в задании пози­
ционного вектора:
42
Глава
3. Расчет простых портфельных сделок
z = (zl' z2,"., zn),
где
zk -
позиция инвестора в сделке по активу
Ak, k = 1, 2, ... ,
п. Этьт
портфель часто записывают в виде
п=
z1A1 + zЛ +... , zпАп.
В портфельных сделках типы позиции по различным активам
могут отличаться друг от друга. По одним активам позиция может
быть длинной (инвестор покупает их), а по другим
- короткой (ин­
вестор берет взаймы и продает их). Содержательно можно считать,
что выручка от продажи взятых взаймы активов :идет на покупку до­
полнительных единиц активов в длинной позиции. Длинная пози­
ция представляется положительным числом, а короткая
-
отрица­
тельным.
Пример
3.1. Пусть в момент открытия портфельной сделки цены
акций
IBM и GM равны $100 и $50 соответственно. Инвестор поку­
пает 20 акций IBM и 30 акций GM. В этом случае набор (состав) ак­
тивов
А=
{IBM, GM},
а представляющий (начальный) портфель сделки вектор имеет вид
z0 = (20, 30).
При этом инвестор вложил в сделку
~=
20 . $100 + 30 . $50 = $3500
собственных средств.
С другой стороны, если инвестор открывает сделку продажей
30
акций
GM и покупкой 20 акций IBM, то портфель сделки будет иметь
ВИД z0 = (20, -30).
.
.
Для
финансирования
(открытия)
такой
сделки
инвестору
необходим начальный собственный капитал:
~
= 20. $100 - 30. $50 = $500.
Владея $500, он может купить лишь 5 акций IBM, тогда как на
покупку 20 штук ему необходимо $2000, дополнительные $1500 инве­
стор получает от продажи
30 взятых в кредит акций GM.
В простых портфельных сделках абсолютньiе позиции (т.е. компо­
ненты вектора z) инвестора по активам не меняются в течение перио-:
да сделки (следовательно, неизменным остается и представляющий
портфель вектор
z).
В дальнейшем, при изучении многопериодных
сделок структура портфеЛJl будет меняться. Например, инвестор мо­
жет продать одни активы и купить другие, реинвестировать текущую
прибьmь, вложить дополнительные средства и т.п. Все эти операции
43
Часть
!.
Инвестиционный процесс и его оценивание
приводят к изменению структуры портфеля, значит, и вектора
z.
Но
мы будем считать, что в каждый момент времени структура портфеля
определена и представляется зависящим от времени вектором
z(t)
= (zl(t), zit),"., zn(t))
или, в и~щексных обозначениях,
zt =
где
zk(t) = zk 1 -
мент
(zlt'
z2t' ."' zn)'
число единиц актива
Ak , входящих в
портфель в мо­
t.
Два других способа представлениЯ портфеля зависят от цен акти­
вов, участвующих в сделке. Цены активов, как правило, . постоянно
меняются, поэтому эти представления непосредственно зависят от
момента времени. Пусть
Р/, р t2,
цены активов в момент
t
(Р/
".,
Р/,
= P(Ak, t) -
цена актива
Ak в
момент t).
Тогда вектор
z(t) = (z 1(t), zit),"., zn(t))
определяет и стоимости позиций по каждому из активов Ak:
Sk(t)
Набор (вектор)
-
S(t)
= zk(t)P(Ak, t), k = 1, 2, "., п.
этих стоимостей ·
Sп(t))
есть второй способ представления портфеля (в момент
S(t) = (S1(t), S2(t), ".,
t).
Так, для приведенного выше примера 3.1, вектор z0 = (20, 30) в
начшzьный момент времени порождает вектор
so = ($2000, $1500),
а вектор
z0 = (20, -30) -
вектор
so =
-
($2000, -$~500)
начшzьных стоимостей позиций по акциям
IBM
и
GМ
соответ­
ственно.
Алгебраическая сумма стоимостей позиций
S(t) . S1(t)
+ S/t) + ".+ Sп(t),
представляющая собой разность суммы средств, вложенных в покуп­
ку акций из длинных позиций и суммы выручки от продажи акций из
коротких позиций, есть собственный капитшz
W( t)
инвестора, вло­
женный в портфель в момент
Не следует путать
t: W(t) = S(t).
обозначение S(t) (полужирный
шрифт) век­
тора стоимости позиций, представляющего портфель, с обозначени-
44
Глава З. Расчет простых портфельных сделок
ем
S(t)
алгебраической суммой стоимостей позиций (скалярная ве­
личина).
Портфель называется инвестиционным в момент t, если его капи­
тал положителен (W(t)>O), и кредитным, если он отрицателен
( W(t)<O).
Если капитал равен нулю
( W(t)
= О), портфель называется
нейтральным. Портфель с ненулевым капиталом называется соб­
ственным.
Оба начальных портфеля из примера 3.1
-
собственные, причем
оба инвестиционные. С другой стороны, начальный портфель
z = (-20, 30) из акций IBM и G М с теми же ценами будет кредитным
с отрицательным начальным капиталом (долгом) в
~ = .- 20. $100
+ 30. $50 . - $500.
Предыдущие два способа задания портфеля
- абсолютные. В
первом слуЧ:ае указываются количество единиц аКтивов, с соответ­
ствующими знаками, во втором - денежные суммы. В финансовом
анализе наиболее распространен третий, относительный способ зада­
ния портфеля, с помощью (относительных) весов активов, равных
отношению стоимости позиции по данному активу к собственному
каnиталу портфеля в момент
t.
Таким образом, относительный спо­
соб представления портфеля сводится к заданию вектора весов
w(t)= (wl(t), w2(t) , .. . , wn(t)),
где:
wk (t)
= Sk(t) / W(t) = Sk(t) / S (t)
относительный вес актива
Ak
в портфеле в момент
t.
Поскольку по
определению
S(t)
= S1(t) + S2(t) + ... + S/t),
то сумма весов всех активов всегда равна
1:
w1(t) + w2(t) +... + wn(t) = 1.
Равенство
(3.1)
(3.1)
называется основным портфельным ограничением
(условием). Оно вьщеляет портфели среди всевозможных п-мерных
арифметических векторов
-
произвольных наборов из п чисел.
Содержательно вес актива в портфеле означает долю собствен­
ного капитала инвестора, вложенного в этот актив. Даже если абсо­
лютная структура портфеля не изменяется с течением времени, то в
силу возможного изменения цен активов, стоимость позиций активов,
капитал и относительные веса активов в портфеле могут со временем
меняться.
Начальные (т.е. вычисленные по начальным ценам) вектора ве­
сов для акций
IBM и G М из примера 3 .1
имеют следующий вид: для
45
Часть 1. Инвестиционный процесс и его оценивание
вектора
z0 = (20, 30),
соответствующий (начальный) вектор весов
равен
W0
= ($2000 j $3500, $1500 j $3500) = (4/7, 3/7),
для вектора z0
= (20, -30) -
W
0
для вектора
= ($2000 / $500, - $1500 / $500)
= (4, -3),
z0 = (-20, 30) -
wo = (-$2000 / -$500, $1500 / -$500) = (4, -3).
Во всех случаях сумма весов (компонент) равна 1.
3.2. Анализ и доходность простых портфельных сделок
Разобравшись с понятием портфеля, вернемся к анализу про­
стых сделок. Теперь мы можем дать точное определение простой
сделки: это однопериодная портфельная сделка с набором активов А 1 ,
А2 ,.", Ап и неизменяемым в течение периода сделки ее портфелем
Портфель z называется портфелем сделки.
z.
Простая сделка полностью описывается:
временными параметрами: t0 - начальный момент сделки,
нечный момент сделки, Т
t 1 - t0 - срок сделки;
=
t1 -
ко-
набором активов А 1 , ~, ••• , Ап;
портфелем сделки z =
(zp z2,.", zn)
и финансовыми параметрами активов:
начальными ценами Р0 1 , Р0 2 , •", Р0 п, (Р0 k =
на актива Ak.),
конечными ценами Р1 1 , Р1 2 , ••• , Р1 п, ( Р1 k
актива Ak.), а также
текущими доходами активов: 11' 12 ,
P(Ak , 10)
= P(Ak , t 1)
, ••• ,
ln,
где
кущий доход актива Ak. за период сделки.
-
начальная це­
конечная цена
lk = l(Ak, t0 ,t1)
-
Временные параметры сделки, параметры активов и вектор
те­
z-
основные параметры простой портфельной сделки. Они определяют
другие ее финансовые параметры:
вектор начальных стоимостей позиций:
Sok = z(Ak )·P(Ak' to)
-
S0 ~(S0 1 , S02 , •.• , S0 п), где
= zk.pok
начальная стоимость позиции по активу Ak. Этот набор представля­
ет портфель сделки в денежных единицах в момент ее открытия.
Сумма компонент вектора S0 , т. е. S01 + S02 +". + S0п
ная стоимость
S0
-
это началь­
портфеля. Мы будем предполагать ее равной на­
чальному собственному капитшzу инвестора ~· Иными словами, бу-
46
Глава
3.
Расчет простых портфельных сделок
дем считать, что этот капитал полностью инвестируется в начальный
момент сделки. Формально это условие задается равенством
~
смысл которого
= So= so1 + so2 +."+ sоп'
очевиден - суммарные затраты
(3.2)
на открытие длин­
ных позиций (покупку активов) равны собственным начальным
средствам инвестора и выручке от продажи активов при открытии
коротких позиций.
Аналогично вектору стоимости начальной позиции сделки опре­
деляется вектор стоимости конечной позиции сделки
S1=(S/, S/, "., S1 п}, -:
где
. S/ = z(Ak). P(Ak,tl) = zk .-plk конечная стоимость позиции по активу Ak. Ему соответствует конеч­
ная стоимость портфеля
S1
=
S1 i + s12 +".+ siп·
(3.3)
Разность начальной и конечной стоимостей портфеля
лs =
sl - so = sl + s2 +... + sn '
представляет собой ценовой доход сделки J(PJ. Поскольку очевидно, что
лsk
= S/- Sok = zk (P1k - pok) -
ценовой ДОХОД по активу Ak,
то ценовой доход сделки равен (алгебраической) сумме ценовых до­
ходов активов из портфеля сделки.
Сумма текущих доходов активов
jc) =!/с)+
где
Ik = zk I(Ak,t0 ,t1)
-
!/с)+
...
+!/с),
текущий доход актива Ak за период
ставляет собой текущий доход сделки.
(3.4)
(t0 ,t1), пред­
Наконец сумма ценового и текущего доходов
TJ = J(P) + J(c)
(3.5)
называется ее полным доходом. Поскольку
TJ =
f(P)
+ [(с) = (J/P) + J/c)) + (J/P) + !/с))+ ... + (J/P) + !/с)) =
=TI1 +Т/2 +."+
Тlп,
то полный доход сделки равен сумме полных доходов активов за ее
период.
Все указанные параметры
- абсолютные параметры сделки. Вы47
Часть
1.
Инвестиционный процесс и его оценивание
ше мы ввели относительный способ представления портфеля с помо­
щью вектора весов активов. Вектор весов
w0 = (wl' w2 , ••• ,
w),
определяемый начальными ценами активов, где
wk=S//~
-
доля начального капитала, инвестируемая в актив
Ak.
Поскольку по
условию
~
= so 1 + so2 +". + so п '
то для вектора весов выполняется основное портфельное соотноше­
ние (условие):
W1
+ W2 + ... + Wп = 1.
Вектор начальных весов активов, т.е. вектор
w0 называется отно­
сительным портфелем сделки. Часто о нем говорят просто как о порт­
фе.Ле простой сделки, но всегда следует помнить, что в этом случае
речь идет о начальных весах активов и в отличие от абсолютного век­
тора
z, который не изменяется в течение периода сделки, вектор весов
с течением времени МО)Кет меняться.
Доходность простых портфельных сделок. Ценовой, текущий и пол­
ный доходы сделки - абсолютные характеристики эффективности
простой портфельной сделки .
Относительными характеристиками эффективности инвести­
ционной сделки, т.е. сделки с положительным начальным инвестиро­
ванным капиталом, являются:
ценовая доходность портфеля
Г (р)
= J(P)/ Jf:О'
(3.6)
текущая доходность портфеля
r (с) = J(c); w
(3.7)
О'
полная доходность портфеля
r=
TI/~.
(3.8)
Доходность простой портфельной сделки часто называют доход­
ностью портфеля за период, равный периоду сделки.
Для кредитных сделок, т.е. для сделок с отрицательным началь­
ным капиталом, эти показатели являются характеристиками не до-·
ходности, а стоимости (кредитной процентной ставки) сделки. Если
в случае инвестиционной сделки инвестор стремится максимизиро­
вать (при прочих равных условиях) показатель
r
(полную доход­
ность), то в случае кредитной сделки, лицо ее осуществляющее (дол­
жник), стремится минимизировать этот показатель.
48
Глава
3.
Расчет простых портфельных сделок
Наконец для нейтрш~ыюй (несобственной) сделки, т.е. сделки с
нулевым капиталом, эти показатели вообще неопределенны.
.
Существует линейная связь между доходностью портфеля 7t: и до­
ходностями активов, участвующих в сделке. Эта связь выражается
широко используемой в финансовом анализе формулой
(3.9)
Таким образом, доходность (или кредитная ставка) портфеля за
период равна средневзвешенной сумме доходностей, составляющих
портфель активов. Важно также помнить, что веса активов в форму­
ле
(3.9)
определяются по их начш~ьным ценам, т.е. по ценам в начале
инвестиционного периода.
Все доходности, о которых говорилось выше, - это доходности за
период сделки! Как и в случае простейших сделок, доходности про­
стых портфельных сделок можно нормировать, т.е. приводить к базо­
вому периоду, например году. Для нормирования доходностей порт­
фельных сделок применяются обе стандартные схемы
сложных процентов. Если
r доходность
-
простых и
портфеля (или портфельной
сделки), то простая нормированная (например годовая) доходность
равна
Упр=
r /Т,
а эффективная (сложная нормированная)
Yet= (1 + r)lff -1.
Пример
3.2. Рассмотрим портфели из примера 3.1. Пусть началь­
ная цена акций IBM - $100, акций - G М - $50. Конечная цена этих
акций $78 и $60 соответственно. Наконец, пусть по этим акциям в те­
чение периода сделки были выплачены дивиденды $1 О по акциям
IBM и $5 по акциям GM. Найдем параметры сделок. Срок сделки бу­
дем считать равным
1 кварталу.
Решение. Для сделки с портфелем z =
(20, 30) имеем вектор стои­
мости начальных позиций
so =(20·$100, 30·$50) = ($2000, $1500),
начальная стоимость портфеля
. so = $2000 + $1500 = $3500.
Таким образом, это инвестиционная сделка. Веса акций
GM в портфеле равны
WIВM
IBM
и
= 2000/3500 = 4/7, Wам = 1500/3500 = 3/7,
вектор весов портфеля:
w =(4/7; 3/7).
4175
49
·
Часть
!.
Инвестиционн.ый процесс и его оцен.ивание
Вектор конечной стоимости позиции
зо•$6О) ~
s 1 = (20·$78,
конечная стоимость портфеля
($1560, $1800),
S1 = $1560 + $1800 = $3360.
Ценовой доход J(PJ=ЛS= $3360- $3500
=-
$140,
20·$10 + 30·$5 = $200 + $150 = $350,
ПОЛНЫЙ ДОХОД TI= $350- $140 = $210.
Ценовая доходность портфеля r(p> = -140/3500 = -0,04 или -4%,
текущая доходность портфеля r<c> = 350/3500 = 0,1, или 10%,
текущий доход сделки J(cJ =
полная доходность портфеля r портф'=
Полная доходность ащий
ГIВМ =
210/3500 = 0,06,
или
6%.
IBM равна:
[($78 - $100) + $10]/$100 = - 0,12 ИЛИ -12%,
аакцийGМ
r0 м=
[($60 - $50) + $5] / $50 = 0,3 или 30%.
Легко видеть, что выполняется равенство:
rпортф.
поскольку
= WIВM rIВM + WGM r GM'
0,06 = 4/7·(-0,12)
+ 3/7·0,30.
Простая годовая доходность сделки равна
Упр=
или
24%,
а эффективная годовая
уэф=
или
0,06/ (1/4) = 0,24,
(1 + 0,06) 4 -1 = 0,2625,
26,25%.
С другой стороны, для сделки с портфелем
z = (20, -30)
вектор
начальных стоимостей позиций
so =(20·$100, -30·$50)=($2000, -$1500),
и начальная стоимость портфеля
S0 = $2000 - $1500 = $500.
Это также инвестиционная сделка. Начальный вес ащий
IBM и
GM в портфеле будут равны
wIВМ = 2000/500
= 4 ' wGM = -1500/500 = -3
соответственно, и, значит, начШJьный вектор весов (относительный
портфель)
wo = (4; -3).
Вектор конечной стоимости позиций S 1 =($1560, -$1800),
конечная стоимость портфеля
Ценовой доход J(p)=ЛS= -
sl = $1560 -
$1800 = - $240.
$240 -$500 = -$740,
текущий доход сделки J(cJ = $200 - $150 = $50,
50
Глава
3. Расчет простых портфельных сделок
TI= -$740 + $50 = -$690.
Ценовая доходность портфеля r<P> = - 740/ 500 = -1, 48, или -148 %,
полный доход
текущая доходность портфеля
=50/500 = 0,1, или 10%,
полная доходность портфеля r= -690/500 = -1,38, или-138%.
r(c)
Легко видеть, что и в этом случае выполняется равенство
r портф.
= WIВM rIBM + wGM r GM '
поскольку
-1, 38 = 4 ·
3.3.
(-О, 12)
+ (-3) · О, 3.
Портфельное представление сделок с~ маржей
Во второй главе рассмотрены простейшие сделки с маржей.
Строго говоря, эти сделки нельзя назвать простейшими, поскольку
хотя, на первый взгляд, в них покупается или продается только актив
одного вида, на самом деле полное описание сделки предусматрива­
ет задание по двум позициям: по активу сделки; по обязательству
(долгу) брокеру. Покажем теперь, как описывать и рассчитывать ха­
рактеристики простейших сделок с маржей, используя их портфель­
ное представление.
Длинные сделки. Начнем с анализа длинных маржевых сделок.
Пусть инвестор покупает пА единиц актива А по цене Р0А при началь­
ной марже равной µ 0• В этом случае начШlьная позиция инвестора по
активу А равна, очевидно,
а ее стоимость
sол = zл рол= пл рол·
Для финансирования этой позиции инвестор вносит
"·
~=µoSoA
собственных и
Do = SoA -
µо
SoA = (1- µo)SoA
заемных средств. Заемные средства
-
это короткая позиция по де­
нежным средствам (деньгам) . Таким образом, в маржевой сделке на­
ряду с активом А участвует еще один актив
. . ,. . деньги.
Его мы обозна­
чим через М. Единицей актива в этом случае будет выбранная денеж­
ная единица (рубль, доллар и т.п.). При этом цена единицы денежно­
го актива всегда постоянна и равна стоимости одной денежной едини­
цы. Тогда позиция и ее стоимость для денежных средств совпадают.
Следовательно, инвестор занимает по денежным средствам корот­
кую позицию
-4*
51
Часть
I
Инвестиционный процесс и его оценивание
стоимость которой
soм=-Do.
В результате, начальное состояние · маржевой сделки описывается
вектором позиций
с начальной стоимостью
равной начальному капиталу
Wo: Начальный вес актива А будет равен
w/ = S/ /~ = 1/µ0,
а вес денежных активов (долга)
wом = sом /~ = -(1~ µо)(µо . 1~1/µо.
Следовательно, начальный (относительный) портфель сделки имеет
вид:
Пусть теперь, Р1 л - конечная цена актива А и /А - текущий доход за
период сделки, тогда полная доходность актива за этот период равна:
ГА= [(PIA-P/) +/А) /РоА·
Поскольку цена денежной единицы (ее номинал) всегда постоя­
нен, то ее ценовой доход равен нулю. Однако денежные активы могуг
приносить текущий доход, например, в виде процентов по депозиту,
ссуде и т.п. В данном случае денежные средства заемные, поэтому те­
кущий доход отрицателен и представляет собой плату (проценты) за
брокерский кредит. Если ставку (за период сделки!) по брокерской
ссуде обозначить через гм , то эта ставка будет представлять собой
полную доходность дене:жных активов. Тогда согласно формуле (3.9)
полная доходность маржевой сделки будет:
r= гл w0A + rм w0 м = (1/µ 0 )rA + (l-1/µ 0)r м
Из формулы
rм +
(rA - rм )/µ 0 • (3.10)
(3 .1 О) следует, что доходность сделки с маржей зави­
сит только от доходности актива, ставки по ссуде и уровня начальной
маржи . Если ставку по ссуде не учитывать; то доходность сделки бу­
дет равна гл
/ µ 0, что
совпадает с ранее полученным результатом.
Пример 3.3. Пусть инвестор Покупает с помощью маржевого сче­
та 100 акций IBM по $100 каждая. Начальная маржа µ0 = 50%, и став­
ка по брокерской ссуде гм= 10%. Предположим также, что конечная
цена акций $120, и в течение периода сделки бьmи выП11ачены диви-
52
Глава
денды по
$5
3.
Расчет простых портфельных сделок
на акцию. Срок сделки , будем считать равным-1 кварта­
лу. Рассчитаем сделку портфельным методом.
Решение. Доходность акций равна
'шм=
[($120 - $100) + $5]/$100 = 0,25, или25%.
Позиция инвестора по акциям и ее стоимость равны соответственно:
ZIBM
= 100 И S JBM =
О
100· $100 = $10000 •
Позиция по денежнь1м средствам (долг) и ее стоимость равны соответственно:
zм..:.... -5000 и sом = -$5000.
Таким образом, вектор позиций (абсолютныйп~ртфель сделки) равен:
Z0 =(100,
вектор стоимостей позиций
-5000),
so = (S/BM, SOM) = ($10000, -
$5000),
а начальная стоимость портфеля (инвесТИрованны:И капитал):
so = S/BM + sом = $10000 -
$5000 = $5000.
Начальные веса активов равны соответственно
w/вм _
$10000 / $5000= 2 ·, w0M = -$5000 / $5000 = -1,
а вектор весов (относИ:тельный портфель сделки) w0 ..:.... (2, -1).
Тогда доходность с,целки, согласно общей формуле (9), будет
равна:
"
r= 'шм w/вм + rмw0 м= 2·0,25 + (-1)·0,1=0,4, или 40%.
Заметим, что непосредственное использование формулы
(3.10)
дает тот же результат:
r= rм +
(rшм -
rм)/µ0 = 0,1
+ (0,25 - 0,1)/0,5 = 0,4.
Простая и эффективная доходности сделки составят соответ­
ственно
rnp
= 0,4/(1/4) = 1,6 rэф = (1 +0,4)4 -1 = 2,84.
Короткие сделки. Совершенно аналогично рассматриваются ко­
роткие сделки с маржей. Пусть инвестор продает пА единиц актива А
по цене Р0А при начальной марже равной µ 0• В этом случае начальная
позиция инвестора по активу А (долг!) равна, очевидно,
ZA = -
nA,
53
Часть
I
Инвестиционный процесс и его оценивание
Эта позиция обеспечивается выручкой от продажи актива (т.е. де­
нежными средствами) в размере плРоА
W,,о
= -S0A и взносом
= µ о ·n·PA
= -µ о SA
о
о
собственных (денежных) средств инвестора. Таким образом, суммарная позиция по денежным средствам равна
sом =
-SOA + (-µOSOA) = -(1 +µo)SoA·
Следовательно, начальный вектор стоимостей позиций имеет
ВИД
so = (SOA' SОМ) = (SOA' -(1 +µо) sол).
Веса активов равны w0A =
S//
wом= sом / ~
а вектор весов
~
= -1/µ 0 и
= (1+ µо)/µо = 1+1/µо,
w0 = (-1/µ 0 , 1+1/µ 0).
Наконец, доходность сделки, согласно формуле
(3.9), будет:
r= rA w0A+ rм w0 м = (-1/µ 0)rA + (1+1/µ0 )rм= rм- (rA - rм)/µ0 . (3.11)
Пример
3.4.
Рассчитаем сделку из примера
3.3
при условии что
это короткая, а не длинная сделка, т.е. инвестор продает
IBM.
100
акций
Остальные параметры будем считать теми же самыми, что и в
примере
3.3.
Решение. Позиция инвестора по акциям (долг!) и ее стоимость
равны соответственно:
Z 18м=
-100 и S0 1вм = -100· $100 = -$10000.
Позиция по денежным средствам складывается из взноса инве­
стора и выручки от продажи акций
Zм =
10000+0,5·10000 = 15000,
ее стоимость s0 м = $15000.
Таким образом, вектор позиций (абсолютный портфель сделки)
равен
zo =(-100, 15000),
вектор стоимостей позиций
so = (SOIВM, SOM) = (-$10000, $15000),
а начальная стоимость портфеля (инвестированный капитал)
so = S/BM + sом = $15000 -
$10000 = $5000.
Начальные веса активов равны соответственно
54
Глава
w/вм =
Расчет простьа портфельньа сделок
3.
-$10000 / $5000 = -2, w0 M = $15000 / $5000 = 3,
а вектор весов (относительный портфель сделки)
w0 = (-2, 3).
Следовательно, доходность сделки, согласно общей формуле (3.9) будет:
r= r1вм w/BM + rм w0 м = -2·0,25 + 3·.0,1
=
-0,2.
Тот же результат получается с использованием формулы
r= rм- (rшм- rм)/µ0 = 0,1- (0,25 - 0,1)/0,5
(3.11):
= -0,2.
Простая и эффективная дох<;>дности сделки равны соответственно:
r =-О 2/(1/4) = - О 8 r
пр
'
'
4
=
(1-0
2)
:-1 =-О ' 59.
эф
'
3.4. Учет комиссионных налогов и инфляции
Проведенный выше анализ портфельных сделок не учитывал
многих важных факторов. Речь идет о комиссионных, налогах и ин­
фляции. В портфельных сделках учет этих факторов осуществляется
в целом примерно по тем же правилам, что и в простейших сделках.
В качестве базы для начисления комиссионных и налогов использу­
ются агрегированные характеристики сделки. Так, на практике ко­
миссионные, конечно, берутся с каждой отдельной операции покуп­
ки или продажи порции (лота) активов. Но поскольку эти расходы
суммируются, то при постоянной ставке комиссионных можно счи­
тать, что они берутся с суммарного объема всей портфельной сделки.
Налоговая база портфельной сделки получается сальдированием со­
ответствующих доходов и расходов сделки. Если налог начисляется
на полный доход (без разделения на текущий и ценовой), то сальди­
руются все доходы и расходы сделки за период. Проиллюстрируем
сказанное на примере.
Пример
3.5.
Найти реальную посленалоговую доходность (за пе­
риод и эффективную) для сделки из примера
3.2.
Ставка комиссион­
ных2%, ставка налога на текущийдох9д 20%, а на ценовой
инфляции 8% годовых.
10%. Темп
Решение.
Выручка от продажи акций
l(омиссионные за проДажу
Чистая выручка
Стоимость купленных акций
Комиссионные за покупку
Затраты на покупку
Ценовой доход (с учетом комиссии)
3360 = 78-20+ 60-30
67,20 = 3540-0,02
3292,80 = 3360 - 67 ,20
3500 = 100· 20 + 50· 30
70 = 3500. 0,02
3570 = 3500 + 70
-277,20 =3292,80 - 3570
55
Часть
1
Инвестиционный процесс и его оценивание
Налог на ценовой доход
о
Чистый ценовой доход
-277,20
Полученные дивиденды
350 = 10·20 + 5.30
70 = 350. 0,20
280 = 350- 70
2,80 = 280 - 277,20
Налог на текущий доход
Чистый текущий доход
Чистый полный доход
3570 = 3500(1 + 0,02)
0,08% = 2,80/3570
1,94% - (1+0,08)(1/4) - 1
Инвестированный капитал
Доходность за период
Инфляция за период
Реальная доходность за период
Реальная эффективная доходность
Задачи к главе
-l,83%=(0,0008-0,0194)/1,094
-7,12% = (1-0,0183) 4 -1.
3
1. В начале года инвестор купил 20 акций компании А по $50 и 40
акций компании В по $80. Через три месяца он продал все акции
компании А по цене 60 и все акции компании В по $100. За период
владения акциями инвестор получил дивиденды: $5 на акцию А и $2
на акцию В. Найдите ценовой, текущий и полный доходы, получен­
ные инвестором. Рассматривая сделку инвестора как портфельную,
укажите три способа представления портфеля этой сделки . .Каковы
простая и эффективная доходностц сделки?
2.
Начальный капитал инвестора
$100 ООО.
В начале года он фор­
мирует портфель из акций А и В с вектором весов (40%, 60%). Ожида­
емая (простая) доходность акций А и В 20% и 24% годовых соответ­
ственно . Через полгода инвестор продает все акu;ии. Сколько акций
А и В было в портфеле, если их начальные цены
$50
и
$120
соответ­
ственно? Каков чистый ожидаемый доход инвестора, если комисси­
онные составляют
ке
25%?
2%
и инвестор платит подоходный налог по став­
Какова реальная доходность портфеля за период сделки,
если инфляция составляет
3.
12% в год?
Инвестор осуществляет полугодовую портфельную сделку с
акциями А и В. Вектор позиций сделки равен
(80, -50). Начальные
цены акций А и В $50 и $40, а конечные $60 и $50 соответственно. Ди­
виденды за период сделки - $4 на акцию А и на $2 акцию В. Каков на­
чальный капитал инвестора? Каков ценовой, текущий и полный до­
ход сделки? Найти доходности сделки: за период, простую и эффек~
тивную годовую. Как изменятся показатели доходности, если учесть
2% комиссионных и выплату налогов по ставкам: '10% на прирост ка­
питала и 20% на текущий доход?
56
4. Начальная маржа при покупке акций - 60%. Инвестор покупа­
ет 500 акций по цене $80 за штуку. Определить эффективную доход­
ность маржевой сделки без учета комиссии и процентов брокеру,
если за месяц цена акций: а) поднялась до $100; б) снизилась до $70.
Опишите сделку как портфельную и найдите эффективную доход­
ность портфеля. Найдите доходность сделки, если ставка брокерской
комиссии 2%, ставка брокера за кредит - 10%, ставка налога 20%.
Какова реальная эффективная доходность сделки, если темп инфля­
ции равен 8% в год?
5. Пусть рынок состоит только из двух активов. За планируемый
инвестиционный. период актив А имеет ожидаемУю доходность 8%, а
актив В 20%:
а) Если ваш капитал распределен поровнУ между этими актива­
ми, то какова ожидаемая доходность ваших инвестиций?
б) Если 40% капитала вложено в актив А, и 60% в актив В. Како­
ва ожидаемая доходность такого портфеля?
в) Какова должна быть структура портфеля, чтобы его ожидаемая
доходность составляла а)
5%;
б)
40%;
в)
50%?