"Прикладная математика и информатика". Магистратура

Комплексные профессионально-ориентированные задания
«Прикладная математика и информатика» Магистратура
Вероятность наступления страхового случая равна 0,1. После
1.
наступления страхового случая сумма возмещения равна 1000 долл.
Исследование показало, что компания может продать полис не более чем за
115 долл. Сколько полисов должна продать компания для того, чтобы она с
вероятностью 95% могла выполнить свои обязательства (без учета
расходов)? При решении задачи использовать нормальную аппроксимацию.
Суммарные выплаты по двум портфелям независимы и имеют
2.
составное пуассоновское распределение с параметрами
,
соответственно. Распределение индивидуальных выплат по двум портфелям
приведено в таблице
Величин
а выплат
Вероятность для
первого портфеля
Вероятность для
второго портфеля
1
0,25
0,1
2
0,75
0,4
3
0
0,4
4
0
0,1
Найти ожидаемое значение и дисперсию индивидуальных выплат
объеденного портфеля.
3
Некто имеет $120 , чтобы истратить их на 2 товара ( X , Y ), цены
на которые соответственно равны $3 и $5 .
(a) Изобразить бюджетную линию, показывающую все различные
комбинации двух товаров, которые могут быть приобретены на данный
бюджет.
Что произойдет с исходной бюджетной линией, если
1
(b) бюджет упадет на 25% ?
(c) цена товара X удвоится?
(d) цена товара Y упадет до 4 ?
4.
Для производства стали можно использовать как уголь, так и газ.
100 , единицы газа
Стоимость единицы угля равна
500 . Изобразить
изокосту, показывающую различные комбинации угля и газа, которые могут
быть приобретены
(a) с начальной затратой E = 10000 ,
(b) если затраты возрастут на 50% ,
(c) если цена на газ снизится на
20% , (d) если цена на уголь
поднимется на 25% .
5.
Фирма является монополией с функцией усреднённых затрат
AC (q ) = 10 + 20q + q .
Уравнение
спроса на
p + 2q =
20 . Найти выражение для выручки
Определить значение
её продукцию имеет вид
и прибыли
TR(q )
Π (q) .
q , максимизирующее выручку, и значение
q,
максимизирующее прибыль.
6.
Еженедельный
выпуск
продукции
даётся
продуктивной
функцией q (k , l ) = k 3/4l1/4 , a стоимости затрат на единицы капитала и труда
равны v = 1 и w = 5 в неделю соответственно. Найти минимальные затраты
на еженедельный выпуск продукции
5000
единиц и соответствующие
значения k и l .
7.
Фирма производит товар из двух сырьевых материалов, X и Y .
Количество этого товара, которое производится из
x
единиц
X
и
y
единиц Y , даётся формулой Q( x, y ) = x1/4 y 3/4 . Если фирма тратит не более,
чем
$1280
каждую неделю на сырьевые материалы, то чему равна
максимально возможная еженедельная продукция при условии, что одна
единица товара X стоит $16 и одна единица Y стоит $1 ?
2
8.
Дугласа
Найти максимум продукции для обобщенной функции Коббаq = k 0.4l 0.5
при стоимостях
PK = 3 и
PL = 4 и бюджете $108 .
Показать, что задача может быть также решена с помощью условия
микроэкономической теории для максимума выпуска
MU K PK
= .
MU L PL
Изобразить на графике бюджетную линию, а также несколько линий
уровня функции q (k , l ) и среди них -- линию q (k , l ) = qmax .
9.
Найдите однодневный VaR с доверительной вероятностью 90%
для портфеля стоимостью 20 млн. руб., в который входят акции только одной
компании (стандартное отклонение доходности акции в расчете на день
равно 2,5%).
10. Рассматривается портфель стоимостью 20 млн. руб., в который
входят акции двух компаний. Удельный вес первой акции в стоимости
портфеля составляет 60%, второй - 40%. Стандартное отклонение доходности
первой акции в расчете на один день равно 1,64%, второй - 1,92%,
коэффициент
корреляции
доходностей
акций
равен
0,8
.
Найдите
однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для этого портфеля.
11.
Портфель инвестора состоит из акций компаний Аи В. Коэффициент
корреляциями между доходностями акций компаний равен +0,85. Однодневный VaR
с доверительной вероятностью 95% по акциям компании А равен 50 тыс. руб., по
акциям компании В - 60 тыс. руб. Найдите приближенно диверсифицированный
показатель VaR портфеля из данных бумаг.
12.
Российский инвестор купил акции компании А на 200 тыс. долл.
Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день составляет
1,26%. Курс доллара 1долл.=29 руб., стандартное отклонение валютного
курса в расчете на один день 0,35%, коэффициент ковариации между курсом
доллара и доходностью акции компании А равен 0,11025. Найдите VaR
портфеля инвестора в рублях с доверительной вероятностью 95%.
3
13.
Инвестор осуществляет портфельную сделку с бумагами А и В
длительностью 1,5 года. Сделка по А – длинная, сделка по В – короткая.
Количество бумаг А в портфеле равно 90, количество бумаг В равно 50.
Начальные цены бумаг А и В равны $20 и $30 соответственно, конечные
цены равны $25 и $28 соответственно. Дивиденды по бумаге А составляют
$3, по бумаге В $2. Комиссионные по сделкам покупки и продажи
составляют 2%. Налог на прирост капитала 10%, на дивидендный доход 20%.
Найти: 1) доходность сделки за период, 2) простую годовую доходность, 3)
эффективную годовую доходность.
14.
Портфель состоит из трех активов: безрискового с ожидаемой
доходностью 4% и двух рисковых с доходностью r1 =6% и r2 =15% и рисками
σ 1 =0,2, σ 2 =0,5 соответственно. Коэффициент корреляции между доходностями
рисковых активов равен 0,3. Найти портфель минимального риска при заданном
уровне его доходности 10%.
15.
Рассматривается семейство фирм в промышленности. Пусть r это ежегодные расходы на R&D, s - годовых продажи. Обе величины заданы
в миллионах долларов. Напишите модель, которая постулирует постоянную
эластичность замещения между r и s. Укажите в этой модели параметр,
который означает эластичность. Оцените модель, используя прилагаемые
данные. Как оценивается эластичность замещения между r и s?
16.
Приведены данные о зарплате, образовании, образовании
родителей и о других показателях 1230 работников. Работники или их дети
имеют более высокий уровень образования? Оцените регрессионную модель
educ =
β 0 + β1motheduc + β 2 fatheduc + u
методом наименьших квадратов. Насколько вариация переменной educ
объясняется образованием родителей. Добавьте переменную abil, которая
отражает меру индивидуальных возможностей, в регрессию. Помогает ли
новая переменная объяснить вариацию переменной educ при контроле
образования родителей?
17.
Следующая регрессия предназначена для оценки
продолжительности сна:
4
sleep =+
β 0 β1towork + β 2 educ + β3 age + β 4 age 2 + β5 yngkid + β 6 male + u
Напишите модель, которая позволяет различать мужчин и женщин с
помощью дисперсии u. Используйте данные, чтобы оценить параметры
модели (сначала оцените sleep методом наименьшим квадратов, чтобы
получить остатки). У кого оценённая вариация оказывается большей, у
женщин или у мужчин? Оказывается ли разница в вариации у женщин и
мужчин статистически значимой?
Рассмотрим функцию полезности
18.
=
U
N
∑υ ( c ),
i =1
i
υ ′ > 0,
υ ′′ < 0,
υ=
( 0) 0
где i = 1, …, N – разновидности продуктов
ci - потребление каждой разновидности;
υ ( ci )
- полезность от потребления разновидности товара i в объёме ci ;
L – общее количество потребителей, которое является фиксированным;
w
- зарплата (доход труда);
pi – цена товара i;
yi – объём выпуска разновидности товара i, производимый в экономике;
L=
α + β yi , где α - это фиксированные затраты труда, необходимые для
i
производства, и β - предельные затраты труда.
(a) запишите задачу максимизации для потребителя и выведите выражение
эластичности спроса на разновидность i;
(b) выведите условия краткосрочного (MR=MC) и долгосрочного (p=AC)
равновесия для производственного сектора.
19. Предположим, что в модели монополистической конкуренции
функция полезности имеет вид:
U (c1 , c2=
) c1θ + c2θ
где с1 и с2 – потребление соответствующей разновидности товара
5
Допустим, что θ=0.75 и доход потребителя I=280.
(a) Максимизируйте функцию полезности в соответствии с бюджетным
c1
ограничением и выведите выражение для относительного спроса c2 как
функцию относительных цен.
(b) Эластичность замещения между разновидностями товара может быть
рассчитана как
случае?
c 
d ln  1 
 c2 
p 
d ln  2 
 p1 
. Чему равна эластичность замещения в данном
p1
=3
p
2
. Найдите с1(р1) и с2(р2).
(c) Допустим, что относительные цены
(d) Рассчитайте эластичности спроса по цене для каждой разновидности
товара.
(e) Допустим, что MC1=18 и MC2=6. Чему равны цены p1 и p2? Чему равны
c1 и c2? Если общее количество потребителей в экономике L=100, чему равны
равновесные спрос и предложение разновидностей товаров в экономике?
20.
.. (Задача на модель фон Тюнена)
Крестьяне, живущие в окрестности города Урюпинска выращивают три
традиционные культуры: картофель (P), помидоры (T) и пшеницу (W).
Затраты труда на выращивание единицы продукции (ai), расходы на
транспортировку единицы продукции на 10 км (ti) и цены на Урюпинском
рынке (pi) для каждого товара приведены в следующей таблице
ai
ti
pi
P
3
2
12
T
6
3
20
W
1
1
5
Вокруг Урюпинска много плодородной земли, пригодной для
выращивания любой культуры, но всю ее скупил олигарх из Москвы и сдает
в аренду тем крестьянам, которые могут предложить наибольшую арендную
6
плату. Можно считать, что размеры города Урюпинска по сравнению с
земельными угодьями пренебрежимо малы.
Какова будет общая площадь обрабатываемых сельхозугодий?
Укажите интервалы расстояний от центра города, в пределах
которых будет выращиваться каждая культура.
Постройте график зависимости значения ренты (на единицу
продукции), взимаемой с крестьян в зависимости от расстояния
до центра города.
Предположим, что в результате неурожая прошлого года цена на
пшеницу выросла с 5 до 6 при том, что все прочие параметры остались
неизменными.
Какую культуру перестанут выращивать в следующем году?
Как изменится общая площадь обрабатываемых сельхозугодий?
Как изменятся площади, занимаемые оставшимися культурами?
После очередного урожайного года цены вернулись к старым
значениям, но
благодаря научно-техническому прогрессу издержки
транспортировки помидоров снизились в полтора раза (т. е., с 6 до 4), а их
рыночная цена снизилась с 20 до 17.
Что произойдет со структурой сельскохозяйственных угодий в окрестности
Урюпинска?
21. Johnson, Inc. рассматривает новый проект. Затраты на оборудование
составят 340000 ден.ед., 130000 ден.ед. должно быть зарезервировано в
качестве запасов на складах. Ожидается, что вследствие реализации проекта
краткосрочная задолженность возрастет на 114000 ден.ед., долгосрочные
займы вырастут на 320000 ден.ед., и часть продукции на сумму 44500 ден.ед.
будет реализована в кредит. Срок жизни проекта -- 6 год(а)(лет).
Используется линейная модель амортизации, к концу проекта оборудование
будет полностью амортизировано. По прогнозу, в конце проекта рыночная
стоимость оборудования составит 35% от первоначальной стоимости.
Чистый операционный капитал возвратится к исходному уровню по
окончании проекта. Ежегодная выручка от проекта составит 600000 ден.ед., а
операционные издержки -- 385000 ден.ед. Налог на прибыль равен 34% ,
ставка дисконтирования r = 11% .
Вопрос 1. Найти денежный поток компании в начальный момент
Вопрос 2. Найти величину EBIT в первый год реализации проекта.
7
Вопрос 3. Найти величину операционного денежного потока во второй
год реализации проекта
Вопрос 4. Найти величину посленалогового притока/оттока (указать,
что именно) средств вследствие продажи оборудования в конце проекта.
Вопрос 5. Найти составляющую денежного потока на конечный момент
времени, обусловленную возвращением чистого операционного капитала к
исходному уровню.
Вопрос 6. Рассчитать полный денежный поток проекта.
Вопрос 7. Рассчитать NPV проекта, дать заключение о
целесообразности.
его
22. Great Enterprises, Inc. делает выбор между двумя машинами.
Машина А стоит 280000 ден.ед., работает в течение 3 года(лет) и требует
8000 ден.ед. в конце каждого года в виде расходов на эксплуатацию. Машина
В стоит 215000 ден.ед., работает в течение 4 года(лет) и требует 13500 ден.ед.
в конце каждого года в виде расходов на эксплуатацию. По прошествии
срока службы эти машины будут заменены такими же. Ставка
дисконтирования равна r = 11% . Какую машину выберет компания?
Вопрос 1. Найти текущую величину затрат за период жизни машин 1 и
2
Вопрос 2. Указать формулу для поиска величины EAC (эквивалентные
годовые издержки) для машины 1
Вопрос 3. Сделать выбор между машинами на основе расчета EAC для
каждой из них.
Вопрос 4. Указать основное допущение, используемое для выбора
между проектами на основе EAC.
28. Advanced Auto Parts, Inc. эксплуатирует старое оборудование.
Текущая цена такого (старого) оборудования равна 850 ден.ед. По прогнозу,
данное оборудование можно будет продать по следующим ценам (продажа в
конце года): год 1 -- 800 ден.ед., год 2 -- 740 ден.ед., год 3 -- 675 ден.ед., год 4
-- 580 ден.ед., год 5 -- 480 ден.ед. Затраты по эксплуатации этой старой
машины следующие (производятся в конце года): год 1 -- 185 ден.ед., год 2 -260 ден.ед., год 3 -- 360 ден.ед., год 4 -- 480 ден.ед., год 5 -- 630 ден.ед.
Имеется возможность купить новое подобное оборудование по цене 3075
8
ден.ед., расходы по эксплуатации составят 20 ден.ед. в конце каждого года.
По прошествии 6 лет эту машину можно будет продать за 1175 ден.ед. Ставка
дисконтирования равна r = 5% . В какой момент следует поменять старое
оборудование на новое?
Вопрос 1. Найти текущую величину затрат нового оборудования.
Вопрос 2. Найти величину EAC (эквивалентные годовые издержки) для
нового оборудования
Вопрос 3. Найти затраты на содержание старого оборудования на конец
года 2 .
Вопрос 4. Найти номер года, после которого оборудование надо менять
на новое
23. Ставка дисконтирования, принятая компанией, равна r = 10% .
Величина ROE составляет 14% . Доля доходов, инвестируемых в бизнес,
составляет 0.6 . По прогнозу, доход компании в будущем году составит 4.75
ден.ед. на акцию. Найти величину NPVGO -- ЧПС возможностей роста.
Вопрос 1. Найти фактор g -- темп роста прибыли/дивидендов.
Вопрос 2. Найти текущую цену акции компании.
Вопрос 3. Указать формулу для цены акции подобной компании -'дойной коровы', т.е. в предположении, что вся прибыль идет на дивиденды.
Вопрос 4. Найти величину NPVGO.
24. Ставка дисконтирования, принятая компанией, равна r = 9% .
Величина ROE составляет 10% . Доля доходов, инвестируемых в бизнес,
составляет 0.4 . Дивиденды за прошлый год составили 2 ден.ед. в расчете на
акцию.
Вопрос 1. Найти величину дивидендов в будущем году.
Вопрос 2. Когда инвесторы предпочитают высокое значение фактора g
(темп роста выручки/дивидендов): 1) Всегда 2) Ответ зависит от величины
EPS 3) Когда r<ROE 4) Когда r>ROE 5) Верного ответа нет, указываю свой...
Вопрос 3. Если ставка дисконтирования равна величине ROE, то...: 1)
Компания может увеличить свою стоимость и показатель PE, уменьшая
показатель retention ratio 2) Ответ зависит от величины EPS 3) Компания
9
может увеличить свою стоимость и показатель PE, увеличивая показатель
retention ratio 4) В таком случае RR не влияет на стоимость компании 5)
Верного ответа нет, указываю свой...
25. Акции компании имеют бета-коэф-т β = 1.1 . Безрисковая ставка
равна rF = 5% , а доходность рыночного портфеля rM = 13% . Найти: 1)
ожидаемую доходность акции данной компании 2) риск-премию рыночного
портфеля 3) Предположим, что наблюдаемая доходность данной акции равна
14% . Что нужно сделать с такой акцией?
Вопрос 1. Найти риск-премию рыночного портфеля.
Вопрос 2. Указать формулу для ожидаемой доходности акции
компании.
Вопрос 3. Предположим, что наблюдаемая доходность данной акции
равна 0.14% : 1) Акция лежит ниже линии SML 2) Акция лежит точно на
линии SML 3) Невозможно определить 4) Акция лежит выше линии SML 5)
Верного ответа нет, указываю свой...
Вопрос 4. Что происходит с акцией, если ее наблюдаемая доходность
равна значению, указанному в вопросе 3?: 1) Акция недооценена 2) Акция
переоценена 3) Акция правильно оценена 4) Невозможно определить 5)
Верного ответа нет, указываю свой...
Вопрос 5. Что нужно сделать с акцией, если ее наблюдаемая
доходность равна значению, указанному в вопросе 3? 1) Ничего делать не
надо 2) Продать в короткую 3) Купить 4) Невозможно определить по
указанным данным 5) Верного ответа нет, указываю свой...
26. Акции компании А имеют бета-коэф-т β A = 0.9 , ожидаемую
доходность 12% и несистематический риск σ ε A = 0.3 . Акции компании B
имеют бета-коэф-т β B = 0.6 , ожидаемую доходность 19% и несистематический
риск σ ε B = 0.28 . Средняя доходность рыночного портфеля равна 15% , а его
риск σ M = 0.2 .
Вопрос 1. Указать уравнение для случайной величины rA -- доходности
акции А ( rM -- доходность рыночного портфеля, ε A -- несистематическая
доходность).
Вопрос 2. Чему равно среднее несистематической доходности ε B ?
10
Вопрос 3. Чему равна систематическая часть риска акции В?
Вопрос 4. Создается портфель из данных акций с весами wA = 0.2 и
wB = 0.8 . Чему равен систематическй риск портфеля?
Вопрос 5. Для
несистематический риск
портфеля
из
предыдущего
вопроса
найти
Вопрос 6. Имеется акция С, чья ковариация с рыночным портфелем
равна Cov( rA , rM ) = 0.03 . Найти бета-коэффициент данной акции
27. Рассматривается однофакторная модель. Имеются два
диверсифицированных портфеля, A и B. Портфель А имеет бета-коэф-т
β A = 1 , ожидаемую доходность 11% . Портфель B имеет бета-коэф-т β B = 1.2 ,
ожидаемую доходность 23% . Безрисковая ставка равна 5% .
Вопрос 1. Есть ли возможность арбитража? Что для этого нужно делать
с активами А и В? 1) Покупать обе бумаги 2) Возможности для арбитража
нет 3) Продавать в короткую A, покупать B 4) Продавать в короткую B,
покупать A 5) Верного ответа нет, указываю свой...
Вопрос 2. Найти веса вложений в активы А, В и безрисковый актив,
обеспечивающие арбитраж.
Вопрос 3. Найти риск получившегося портфеля. В чем измеряется этот
риск? Написать формулу.
Вопрос 4. Нужно ли иметь начальный капитал, чтобы осущевить
данную сделку? 1) Нет, не нужно. Получаем деньги от короткой продажи
актива A, вкладываем их в безрисковый актив и актив B 2) Да, нужно. На
покупку безрискового актива и актива B 3) Нет, не нужно. Получаем деньги
от короткой продажи актива B, вкладываем их в безрисковый актив и актив A
4) Да, нужно. На покупку безрискового актива 5) Верного ответа нет,
указываю свой...
Вопрос 5. Найти доход от подобной сделки на сумму 1000 .
Вопрос 6. Рассмотрим следующую тактику (не используется
безрисковый актив): продаем в короткую актив A, покупаем актив B на
сумму 1000 ден.ед. Начальные вложения равны нулю. Доход, очевидно,
больше нуля: 1000× | 0.11 − 0.23 | . Что не так в этой схеме? Арбитраж ли это?
Если нет, то почему?
11
Рассматривается двухфакторная модель некоторого актива:
r = 0.17 + 0.8 × F1 + 0.4 × F2 + ε . Дисперсия фактора 1 равна 0.04 , дисперсия
28.
фактора 2 есть 0.09 , дисперсия несистематической компоненты 0.04 .
Безрисковая ставка равна 6% .
Вопрос 1. Чему равна ожидаемая доходность акции?
Вопрос 2. Чему равно среднее значение фактора F1 ?
Вопрос 3.
компоненты?.
Чему
равно
среднее
значение
несистематичекой
Вопрос 4. Найти с.к.о. доходности данного актива.
29. Cruiseliners, Inc. имеет 240000 акций в обращении, стоимость акции
равна 39 ден.ед. В следующем квартале Cruiseliners выплатит ежегодные
дивиденды в размере 1.8 ден.ед. на акцию. Скорость роста дивидендов
оценивается в 3% . Cruiseliners также выпустила 7500 бескупонных облигаций
номиналом 900 ден.ед. со сроком обращения 3 год(а)(лет). В настоящее
время облигации продаются за 80% к номиналу. Налог на прибыль
корпорации составляет 34% .
Вопрос 1. Указать выражение для стоимости АК компании.
Вопрос 2. Найти текущее отношение долга к АК.
Вопрос 3. Найти cтоимость долга компании с учетом фактора
налоговой экономии.
Вопрос 4. Найти средневзвешенную цену за капитал.
30. Затраты на оборудование составляют 220000 ден.ед., а ежегодный
посленалоговый денежный поток от проекта оценивается в 60000 ден.ед. в
конце каждого из последующих 6 лет. Отношение долга к собственному
капиталу составляет 0.2 . Стоимость собственного капитала составляет 14% .
Стоимость заемного капитала равна 5% без учета фактора налоговой
экономии. Расходы по размещению заемного и акционерного капитала
составляют 2% и 10% соответственно. Ставка налога на прибыль равна 34% .
Вопрос 1. Указать выражение для стоимости размещенных акций,
приходящейся на данный проект.
Вопрос 2. Найти средневзвешенную цену на капитал.
12
Вопрос 3. Найти денежный поток проекта.
Вопрос 4. Найти NPV проекта.
31. Levered Corporation и Unlevered Corporation являются компаниямиблизнецами во всем, кроме структуры капитала. Unlevered Corporation не
имеет долга и имеет в обращении 6000 акций с рыночной ценой в 18 ден.ед.
Levered Corporation имеет долг в размере 25000 ден.ед., стоимость заемного
капитала равна 11% . Показатель EBIT каждой из компаний равен 345000
ден.ед. Налоги не уплачиваются. Имеется возможность заимствования под
11% годовых.
Вопрос 1. Найти стоимость Unlevered Corporation.
Вопрос 2. Найти стоимость Levered Corporation.
Вопрос 3. Указать стратегию с акциями Unlevered Corp., которая
воспроизводит доход акционера от владения акциями Levered Corp.: 1)
Продавать Unlevered Corp., частично покупая займы Levered Corp. 2)
Покупать Unlevered Corp., полностью за счет собственных заимствованных
средств 3) Нельзя осуществить 4) Покупать Unlevered Corp., частично за счет
самостоятельно заимствованных средств 5) Верного ответа нет, указываю
свой...
Вопрос 4. Следуя стратегии из предыдущего вопроса, сколько заемных
средств надо привлечь при покупке 35 штук акций Unlevered Corp..
32. Streiber Publishing Company не имеет долга в структуре капитала. Ее
выручка до уплаты налогов и процентов равна 34500 ден.ед. в год. Цена
собственного капитала Streiber Publishing Company составляет 13% . Ставка
налога на прибыль 35% . Число акций в обращении равно 55000 . Если Streiber
Publishing введет в свою структуру капитала долг в размере 95000 ден.ед.,
заместив им часть АК, какова будет цена акции данной компании?
Вопрос 1. Указать выражение для стоимости компании без долга.
Вопрос 2. Найти стоимость компании с долгом.
Вопрос 3. Найти число акций в обращении после выпуска долга.
Вопрос 4. Найти стоимость акции фирмы с долгом.
33. NanoChemicals Industrial, Inc., планирует объявить о выпуске долга
в $4 млн для выкупа своих акций. Стоимость долга составит 7% .
13
NanoChemicals в настоящий момент -- компания, финансируемая на 100% за
счет АК, стоит сейчас $10 млн и имеет 800000 акций в обращении.
NanoChemicals имеет годовую EBIT $2.8 млн, ставка налога 34% .
Вопрос 1. Найти доходность капитала компании до выпуска долга.
Вопрос 2. Найти цену акции до выпуска долга.
Вопрос 3. Найти цену акции после объявления о выпуске долга.
Вопрос 4. Найти кол-во выкупленных акций в результате размещения
долга.
Вопрос 5. Найти доходность АК компании после объявления о выпуске
долга.
34. Darren Munn недавно вернулся с конференции под названием
'Теория структуры капитала' и находится под впечатлением от услышанного
по поводу теории Модильяни-Миллера. Munn выбирает между тремя
вариантами потенциальной структуры капитала для своей компании,
MunnMart, и верит что теория ММ поможет ему в этом. Варианты, которые
рассматривает Munn: (i) 100% АК, (ii) 50% и 50% долг, (iii) 100% долг.
Вопрос 1. Если Munn использует теорию ММ со всеми ее
допущениями, в т.ч. и об отсутствии налогов, то какую структуру он
выберет: 1) 50% долг и 50% АК 2) 100% АК 3) 100% долг 4) Структура
капитала не имеет значения в данном случае 5) Верного ответа нет, указываю
свой...
Вопрос 2. Если Munn уберет предположение об отсутствии
налогов,то...: 1) Структура капитала не имеет значения в данном случае 2)
100% долг 3) 50% долг и 50% АК 4) 100% АК 5) Верного ответа нет,
указываю свой...
Вопрос 3. На конференции Munn также услышал о теории
компромисса. Если он последует ей, то...: 1) 100% АК 2) Структура капитала
не имеет значения в данном случае 3) 50% долг и 50% АК 4) 100% долг 5)
Верного ответа нет, указываю свой...
35. Компания изначально планировала выплатить дивиденды в размере
$1.6 на акцию через год и такие же дивиденды через два года. После этого
компания прекратит существование. Доходность по акциям компании равна
16% , число акций в обращении 4000 . Найти: 1) текущую стоимость акции 2)
14
Совет директоров хочет поднять текущую цену акции за счет увеличения
первых дивидендов (через год) до $2.2 на акцию. Финансирование этого
увелеичения -- за счет выпуска новых акций. Найти текущую стоимость в
этом случае (расчет обязателен).
Вопрос 1. Найти текущую стоимость акции при первоначальной
дивидендной политике.
Вопрос 2. Найти денежный поток новым акционерам (за счет которых
удалось поднять первые дивиденды) на конец второго года.
Вопрос 3. Найти дивиденды старым акционерам на конец второго года.
Вопрос 4. Найти текущую стоимость акции фирмы при новой
дивидендной политике.
36.Построить и обосновать арбитражную стратегию, если
Ctam > St + Pt –
K
am
– цены в момент времени t соответственно
T − t , где St, Pt и Сt
(1 + r )
на базисный актив, европейский опцион пут и американский опцион
колл, T – дата исполнения, K – цена исполнения обоих опционов
37.Построить и обосновать арбитражную стратегию, если ft >
Ft (T ) − K
,
(1 + r )T −t
где ft – цена (в момент t) форвардного контракта на поставку актива, K
– цена поставки, T – время поставки, Ft(T) – форвардная цена актива, r
– безрисковая ставка на промежуток времени от времени от t до T.
38.В текущий момент времени стоимость основного актива S0 равна 100.
За один временной период рынок может перейти в одно из трех
состояний: в первом стоимость основного актива повысится до 110, во
втором – останется равной 100, в третьем – понизится до 90.
Безрисковая процентная ставка на один временной период равна 5%.
Требуется найти границы безарбитражных цен европейского опциона
колл со сроком исполнения в конце периода и ценой исполнения K =
100.
39.В текущий момент времени на рынке имеется три актива, которые
стоят соответственно 10, 7 и 12. За один временной промежуток рынок
может перейти в одно из двух состояний, в которых цены активов
составят соответственно 12, 9, 10 или 7, 6, 15. Требуется установить,
15
возможен ли арбитраж, и если воз-можен, изменить текущую цену
одного из активов так, чтобы арбитраж стал невозможен. Найти общие
ограничения на текущие цены, при которых арбитраж невозможен.
40.Используя биномиальную модель цен активов, найти: а) вероятность
того, что доходность актива за год будет находиться в промежутке от
18% до 20%; б) вероятность того, что доходность актива превысит
20%. Параметры модели: u = 1,029, d = 0,972 – недельные
соответственно повышающий и понижающий коэффициенты, p = 0,55
– вероятность повышения цены актива, n = 52 – число недель в году.
41.Четырехпериодная биномиальная модель задана следующими
параметрами: u = 1,05; d = 0,96; r = 3%. Текущая цена базового
актива равна 100. Найти цену европейского опциона пут со сроком
исполнения в конце четвертого периода и ценой исполнения 110 во
всех узлах биномиальной решетки.
42.Двухпериодная
биномиальная
модель
задана
следующими
параметрами: u = 1,1; d = 0,9;
r = 3%. Найти эвристическую цену
европейского опциона колл со сроком исполнения в конце второго
периода и ценой исполнения 104, если текущая цена базового актива
равна 100, а p = 0,8; q = 0,2 – вероятности повышения и понижения
цены актива за один период. Найти вероятность, нейтральную к риску,
рассчитать
безарбитражную
цену
опциона,
построить
реплицирующую инвестиционную стратегию.
43.Рассчитать эвристическую цену опциона колл, если срок исполнения
опциона полгода, цена исполнения опциона 102, текущая цена актива
100, волатильность актива 20%, ожидаемая доходность актива 10%,
безрисковая ставка 6% при непрерывном начислении процентов.
Рассчитать по формулам Блэка-Шоулза безарбитражные цены опциона
колл и аналогичного опциона пут. Определить объемы рискового и
безрискового активов в реплицирующем портфеле для опциона колл
на текущий момент.
44.Инвестор приобретает 1000 единиц актива по цене 100 за единицу.
Волатильность актива 20%, безрисковая ставка 6% при непрерывном
начислении процентов. Определить, сколько опционов пут со сроком
исполнения полгода и ценой исполнения 102 нужно купить, чтобы
сформировать дельта-нейтральный портфель.
16
45.Кредит, взятый под 24% годовых, начисляемых ежеквартально,
погашается ежеквартальными выплатами в размере 10 тыс. руб. в
конце каждого квартала в течение двух лет. В результате снижения
процентной ставки до 12% годовых ежеквартальные выплаты были
пересчитаны. Найдите новую сумму ежеквартального платежа.
46. Фирме необходимо через 4 года выплатить долг размере 1 млн. руб.
Найдите количество 2--х летних бескупонных облигаций и 10--ти
летних бескупонных облигаций с номиналами 1 тыс. руб., которые
следует купить, чтобы хеджировать риск изменений процентной
ставки равной 10% . Нарисуйте график зависимости текущей
стоимости иммунизирующего портфеля от величиы процентной
ставки.
47.Цена f ( S , t ) фьючерса с ценой поставки ϕ и днем поставки T
вычисляется в некоторый момент времени t по формуле
f ( S , t ) = S − ϕ e − r ( T − t ) , где S = S (t ) "--- цена актива, на который выписан
фьючерс в момент времени t . Проверьте, что функция f
удовлетворяет уравнению Блэка--Шоулза.
48. Докажите, что чем выше текущая цена акции, тем выше цена колл
опциона при неизменных цене исполнения опциона и волатильности.
Определите, увеличивается или уменьшается цена опциона колл при
увеличении цены исполнения и неизменных остальных параметрах.
Аналогичный вопрос о зависимости цены опциона колл от
волатильности.
49.Докажите, что чем выше текущая цена акции, тем ниже цена пут
опциона при неизменных цене исполнения опциона и волатильности.
Определите, увеличивается или уменьшается цена опциона пут при
увеличении цены исполнения и неизменных остальных параметрах.
Аналогичный вопрос о зависимости цены опциона пут от
волатильности.
50. Предполагается, что цена S (t ) некоторого актива удовлетворяет
модели Блэка--Шоулза. Цена производного финансового инструмента,
выписанного на этот актив, в момент исполнения T равна X (T ) .
Определите цену X (T ) этого финансового инструмента в текущий
момент времени t , t < T , если
• X (T ) =| S − K | ;
17
• X (T ) = 1 , если S (T ) > K и X (T ) = 0 , если S (T ) ≤ K ;
• X (T ) = S (T ) , если S (T ) > K и X (T ) = 0 , если S (T ) ≤ K ;
• X (T ) = S (T ) − L , если S (T ) > K и X (T ) = 0 , если S (T ) ≤ K .
Числа K и L "--- положительные константы, L ≤ K .
51.Текущая цена S (τ ) некоторого актива равна 100 рублей. Колл опциона
на этот актив сроком полгода имеет цену исполнения 105 долларов. В
рамках модели Блэка--Шоулза вычислите цену c колл опциона.
Волатильность σ актива, ожидаемая доходность µ , и процентная
ставка r равны 0.08 , 0.05 и 0.04 соответственно.
52.Текущая цена золота "--- 500 долларов за унцию. Цена поставки
фьючерсного контракта сроком на год равна 700 долларов. Процентная
ставка равна 10% годовых. Предположите, что хранение золота ничего
не стоит и укажите арбитраж.
53.Двухмесячная (непрерывная) процентная ставка в США и Швейцарии
равна 8% и 3% годовых соответственно. Текущая цена швейцарского
франка равна 0.6600 доллара, а цена его поставки по двухмесячному
фьючерсу "--- 0.670 доллара. Какие появляются арбитражные
возможности?
54.Пут опцион на некоторый базовый актив с ценой S (t ) исполняется в
момент времени T по цене K . Пользуясь отсутствием арбитража на
рынке, докажите, что цена P(t ) пут опциона удовлетворяет
неравенству P(t ) ≤ Ke − r (T −t ) .
55.Банк предлагает следующий производный финансовый инструмент.
Инвестор вкладывает деньги в банк в долларах или рублях под r %
годовых, начисляемых непрерывно. Валюту, в которой хранятся
деньги (и по которой начисляется процентная ставка), определяет
инвестор в момент получения денег. Пусть, например, текущий курс: 1
доллар равен 30 рублей, а в момент получения денег "--- 1 доллар
равен 29 рублей. Тогда инвестор потребует, чтобы вклад считался
рублевым. Вычислите справедливую процентную ставку r .
Постоянная долларовая процентная ставка, начисляемая непрерывно,
равна r1 , а рублевая "--- r2 . Предположите, что банковское
обязательство по доллару является безрисковым активом, цена рубля в
18
долларах меняется в соответствии с n -периодной биномиальной
моделью, а волатильность рубля относительно доллара равна σ .
56.Оптимальный портфель в случае непрерывного времени. Инвестор
формирует портфель Π(t ) из рискового актива X (t ) и безрискового
F (t ) ,
которые
удовлетворяют
уравнениям
актива
dX (t ) = µ X (t )dt + σ X (t )dw(t ), dF (t ) = γ F (t )dt
w(t )
где
"--винеровский процесс, а µ > 0 , σ > 0 и γ > 0 "--- некоторые
положительные константы, µ > γ . В каждый момент времени t
инвестор определяет какую долю u = u(t , Π(t )) своих средств он будет
держать в рисковом активе. Он максимизирует свою функцию
полезности f , выражающую удовольствие инвестора от ожидаемой
цены портфеля в некоторый будущий момент времени T .
Предполагается, что f ( x ) = ln( x ) (тем самым, функция f вогнута).
Найдите оптимальную функцию u .
57. Цена P(t ) некоторой единицы ресурсов (таких, например, как нефть
или газ) меняется со временем в соответствии с уравнением
dP(t ) = µ P(t )dt + σ P(t )dw(t ), где µ и σ "--- некоторые константы, а
w(t ) "--- винеровский процесс. Пусть Q (t ) "--- это количество ресурсов,
оставшихся в момент времени t , I = I (t ) = const "--- постоянные
инвестиции. Добыча ресурсов происходит до тех пор, пока ожидаемый
доход от продажи добытых в следующий малый промежуток времени
ресурсов превышает инвестиции. Предполагается, что процесс Q (t )
удовлетворяет уравнению dQ (t ) = −λQ (t )dt .
(а) При каком условии добыча будет прекращена?
(б) Оцените, до какого момента времени будет происходить добыча
природных ресурсов, если P0 = 100 , Q0 = 1000 , I = 1000 , µ = λ = σ = 0.1 .
19