Инспекционный контроль. Типовая задача

Инспекционный контроль. Типовая задача
Директор горнолыжной базы, не имея возможности постоянно присутствовать на
ней, нанимает на работу администратора базы для выполнения определенного типа работ
(управлять персоналом, следить за качеством сервиса и обеспечивать бесперебойную
работу
подъемника).
Директор
назначает
фиксированную
заработную
плату
администратору (f единиц рублей). Если администратор качественно выполняет
порученную ему работу и затрачивает на выполнение заданий усилия в размере е рублей,
то директор базы получает выручку в размере R единиц рублей. Если же администратор
не выполняет свою работу (подъемник перестает работать, сервис ненадлежащего
качества), то база теряет своих клиентов, а директор – прибыль. Директор, зная о такой
возможности, может провести проверку. Затраты на проведение проверки составляют i
единиц рублей. Заработная плата выплачивается директором во всех случаях: и при
отсутствии контроля, и в случае контроля, но только если он не выявил отклонение от
условий контракта. В противном случае зарплата выплачиваться не будет. Издержки
контроля не зависят от результатов мониторинга.
Задание
1. Изобразите матрицу игры, описывающую данное взаимодействие.
2. При каком соотношении параметров (R, e, f, i) в данном взаимодействии не
установится равновесия по Нэшу в чистых стратегиях.
3. Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях (при соотношении параметров,
найденных в п.2).
4. От каких параметров зависит вероятность выбора той или иной стратегии
администратором в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях? Вероятность выбора
той или иной стратегии директором? Продемонстрируйте, как изменяется поведение
игроков (выбор равновесной стратегии) при изменении какого-либо параметра.
Решение
1. В общем виде матрица игры выглядит следующим образом:
Директор
Контролировать
Администратор
Работать
Отлынивать
f − e; R − f − i
0; − i
Не
контролировать
f − e; R − f
f;− f
2. Если директор будет «Контролировать», то наилучшим ответом администратора на
такой выбор директора будет стратегия «Работать», так как выигрыш будет больше:
f − e > 0 . Если директор не будет контролировать, тогда наилучшим ответом
администратора на стратегию «Не контролировать» является стратегия «Отлынивать», так
как: f > f − e .
Если
администратор
контролировать»
его,
выбирает
так
«Работать»,
R − f > R − f − e.
как:
то
директор
Если
предпочтет
администратор
«Не
решит
«Отлынивать», то для того чтобы узнать наилучший ответ директора, необходимо
определить соотношение параметров i и f. С одной стороны, зарплата администратора (f)
может быть меньше издержек контроля (i). Тогда директор предпочтет «Не
контролировать» администратора, в результате чего установится равновесие по Нэшу в
чистых стратегиях («Не контролировать» и «Отлынивать»). Но нам необходимо показать,
что здесь не установится равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, а это возможно лишь
при зарплате большей, чем издержки мониторинга: f > i.
3. Найдем равновесие в смешанных стратегиях графическим способом.
Не контролировать
Контролировать
Отлынивать
Работать
f
R− f
f −e
0
R− f −i
f −e
q*
0
1
–i
p*
1
-f
Рис. 1. Поведение директора
Рис. 2. Поведение администратора
На рисунке 1 изображены выигрыши администратора при выборе директором
стратегии либо «Не контролировать», либо «Контролировать». На вертикальных осях
откладывается выигрыши администратора, а на горизонтальной оси отложена вероятность
выбора той или иной стратеги директором. Если администратор выбирает стратегию
«Работать», то он получит выигрыш равный (f – e) в обеих ситуациях: и когда наниматель
«Контролирует» (q = 1), и когда «Не контролирует» (q = 0). Выигрыши от стратегии
«Работать» откладываем на соответствующих осях и соединяем одной линией. Эта линия
представляет собой комбинацию множества ожидаемых выигрышей, зависящую от
вероятности выбора той или иной стратегии директором.
Если администратор выбирает стратегию «Отлынивать», то с вероятностью q = 1
директор выберет стратегию «Контролировать» и администратор ничего не получит, и с
вероятностью q = 0 директор выберет стратегию «Не контролировать» и администратор
получит выигрыш в размере f. Соединяем выигрыши от этой стратегии одной линией.
На графике видно, что эти две линии пересекаются в одной точке, образуя два
подобных треугольника. По свойству подобных треугольников (отношение высот
подобных треугольников, опущенных на соответствующие стороны, равно отношению
этих сторон) можно найти равновесную вероятность. Таким образом, получаем:
q
f − ( f − e)
=
1− q
f −e
⇒q=
e
f
Т.е. вероятность выбора директором стратегии «Контролировать» зависит от
заработной платы и от усилий работника.
Аналогичным образом находим равновесную вероятность выбора администратором
той или иной стратегии (р). На рисунке 2 на вертикальных осях отображены выигрыши
нанимателя при выборе администратором стратегий «Отлынивать» и «Работать». На
горизонтальной оси отражена вероятность выбора администратором той или иной
стратегии. Если директор выбирает стратегию «Контролировать», то он получит выигрыш
равный (R – f) в ситуации, когда администратор «Работает» (p = 1), и (– i), когда тот
«Отлынивает» (p = 0). Выигрыши от стратегии «Контролировать» откладываем на
соответствующих осях и соединяем одной линией.
Если директор выбирает стратегию «Не контролировать», то с вероятностью р = 1 он
получит выигрыш равный (R – f – i), и с вероятностью р = 0 он получит: (– f). Точно также
выигрыши от стратегии «Не контролировать» откладываем на соответствующих осях и
соединяем одной линией. Пересечение линий дает нам равновесную вероятность выбора
стратегии администратором.
− i − (− f )
p
f −i
i
=
⇒ p=
= 1−
1 − p R − f − ( R − f − i)
f −i +i
f
Т.е. вероятность выбора администратором стратегии «Работать» зависит от заработной
платы и от издержек мониторинга.
4. Вероятность выбора той или иной стратегии администратором в равновесии по
Нэшу в смешанных стратегиях зависит от заработной платы и издержек мониторинга.
Вероятность выбора той или иной стратегии директором в равновесии по Нэшу в
смешанных стратегиях зависит опять же от заработной платы и от усилий работника.
Оптимальные стратегии не зависят от величины прибыли, получаемой директором при
успешной работе администратора. Решение работника о выборе стратегии определяется
соотношением его заработной платы и трансакционных издержек контроля. Чем выше
издержки контроля, тем ниже стимулы контроля со стороны нанимателя и,
соответственно, тем выгоднее работнику отлынивать, понимая высокую степень
безнаказанности. Решение нанимателя о контроле определяется соотношением заработной
платы работника и его издержками, связанными с добросовестным поведением. Чем выше
эти издержки, тем более интенсивно его нужно контролировать.