ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДУ 1-го
ПОРЯДКА
А. Шабаев, П. Сыромолотов
ПетрГУ, Петрозаводск
Построение математических моделей технологических процессов и технических
систем является необходимым этапом большинства научных исследований, направленных
на совершенствование процесса производства. Большое внимание при этом уделяется
моделям на основе систем дифференциальных уравнений, которые в большинстве случаев
являются более адекватными, чем стационарные модели.
Авторами уже исследовалась модель непрерывного производства сульфатной
целлюлозы на основе системы дифференциальных уравнений. Была сформулирована и
исследована задача оптимального управления данным производством как задача
квадратичного программирования. На данный момент существует программная
реализация решения данной задачи, осуществленная в среде Microsoft Visual Studio .NET,
в которой параметры модели вводятся пользователем вручную. В данной статье описан
подход к идентификации параметров указанной модели на основе данных, полученных с
помощью АСУТП metsoDNA.
Предположим, что производительность агрегата описывается следующим линейным
ДУ первого порядка:

T y(t )  y(t )  Ku(t   ) , (1)
где T – постоянная времени, y(t) – производительность агрегата, K – коэффициент
усиления, u(t) – величина управления,  – транспортное запаздывание, равное времени
пребывания исходного материала в агрегате. Значения K, T,  должны быть определены
на основе фактических значений параметров процесса.
Предположим следующее:
– Нам удалось установить значение  . Тогда замена u * (t )  u(t   ) позволяет
избавиться от запаздывания. Поэтому можно считать, что   0 .
(1)
 u , t  t p
– Управление u(t) может быть представлено в виде u (t )   ( 2 )
, где t p –
u , t  t p
некоторый момент времени. Таким образом, режимы работы агрегата можно разделить на
два – установившийся (при t ≤ tp) и переходной (t > tp).
– Нам известен вектор y k  y( t k ), k  1, ..., n измерений значения y(t) в моменты
времени t k .
– Интервал измерений равен единице, то есть tk  k .

В течение установившегося режима можно считать, что y(t )  0 , и уравнение (1)
примет вид y (t )  Ku (1) . Решая уравнение (1) при t  t p с начальными условиями

t
y (t0 )  Ku (1) , получаем: y (t )  Ku ( 2)  K (u (1)  u ( 2) )e T .
Таким образом, производительность агрегата на всем промежутке измерения
описывается следующей функцией:

Ku ( 1 ) ,t  k

t
y( t )  

(1)
(2)
T

K ( u  u )e , t  k
где k – время фактического отклика на изменение управления.
Идентификацию параметров модели будем проводить методом наименьших
квадратов. Для этого необходимо найти минимум следующей функции
2
l
 

( 2)
(1)
( 2)
T 

S ( K , T , k )   yl  Ku     yl k  Ku  K (u  u )e  .
l 1
l 1 

Найдем производные S по K и Т и приравняем их к нулю. После некоторых
преобразований получим следующую систему уравнений:
l 1
nk
n k  l 1
n k  2 l 1


( 2)
(1)
( 2)
T
T
yl k  e  l  Ku  e  l  K (u  u ) e T  l


l 1
l 1
l 1


l
l 2
nk
k
n

k

 

2
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
2
)
 Kk u   y (u  (u  u )e T )  u
yl  K   u  (u  u )e T 


l k

l

1
l

1
l 1 


Нетрудно заметить, что данная система является линейной относительно K. Выразив
K через Т в первом уравнении и подставив это выражение во второе, можно получить
уравнение
с одним неизвестным T, левая часть которого является многочленом относительно
k

(1) 2
nk
1
переменной e T , а правая равна 0. Ввиду того, что аналитическое решение этого
уравнения в общем случае невозможно, для его решения был использован численный
метод Дженкинса–Трауба, позволяющий найти все корни многочлена с вещественными
коэффициентами. Нули многочлена будут являться точками локального экстремума
функции S. Для нахождения глобального экстремума необходимо найти значения S в этих
точках, а также на границах интервала, которому принадлежат значения Т, и выбрать из
них минимальное. Это позволит определить значение Т, а затем К, оптимальные с точки
зрения минимума суммы квадратов отклонений значений, предсказанных моделью, от
данных измерений значений соответствующего параметра технологического процесса.
Так как параметр k является верхним пределом сумм в выражении для функции
S(K, T, k), то поиск минимума S(K, T, k) по k можно осуществить только полным
перебором всех значений k. После того как будет найдено k, при котором S(K, T, k)
достигает минимума, значение запаздывания τ может быть найдено как τ = k – p.
Существующая на данный момент программа для решения задачи оптимального
управления непрерывным производством сульфатной целлюлозы позволяет пользователю
в интерактивном режиме производить расчет производительностей агрегатов,
оптимальных с точки зрения отклонения уровней в промежуточных емкостях от
некоторых заданных значений. В настоящее время используются значения параметров
моделей агрегатов (постоянные времени, коэффициенты усиления и транспортные
запаздывания), полученные экспертным путем. Программный модуль, реализующий
вышеописанный подход к идентификации параметров модели, получает исходные данные
через ODBC интерфейс из информационной системы metsoDNA, что позволяет учитывать
изменения параметров модели со временем и проверять адекватность модели. Очевидно,
что этот программный модуль может использоваться и для идентификации параметров
математических моделей других технологических процессов.