Лебегово продолжение меры Понятие внешней меры и ее

Лебегово продолжение меры
Понятие внешней меры и ее свойства
Определение. Пусть
- мера, определенная на полукольце
подмножеств
множества и пусть
. Внешней мерой множества будем называть число равное
, где
. В случае, когда покрывается счетным числом
элементов полукольца, будем считать внешнюю меру равной
, в противном случае
будем обозначать
Замечание. Если в определении внешней меры все ряды расходятся, то будем
считать, что
Свойства внешней меры
1.
(включая
)
Очевидно
2. Счетная полуаддитивность.
Пусть
, тогда
Очевидно достаточно рассмотреть случай, когда
в силу определения внешней меры
и
,
поэтому
и свойство доказано, переходя к пределу
3. Монотонность.
Если
, то
Это
из того, что
и по свойству 2. получаем то, что
необходимо доказать.
4. Если
, то
и пусть
- мера в
. Пусть
по свойству
4.
и
Замечание. Из доказанных свойств , что внешняя мера является мерой на
полукольце , но, вообще говоря, она не является мерой на
Пример 1 . Пусть - мера Лебега на , т.е.
. Найдем
Переходя к пределу при
, получаем
Пример 2 . - конечное или счетное, тогда
Покажем сначала, что если - точка на , то
монотонности
То, что
.
, по свойству
, то
из свойства полуаддитивности.
Измеримые по Лебегу множества. Лебеговское продолжение меры
Определение.
выполнено
Мн-во
будем называть
измеримым по Лебегу, если
Обозначим систему всех измеримых по Лебегу мн-в
Положим
Т.1.(без доказательства)
1. - -алгебра.
2. Если
- -аддитивная мера на , то , определяемая формулой (1), аддитивная мера на ( - из определения внешней меры)
Определение.
-аддитивная мера, определяемая (1), на множестве
и
называется лебеговским продолжением меры.
Т.2. Лебеговское продолжение меры - продолжение меры .
Для доказательства достаточно показать, что
Пример 3 . Пусть
- мера Лебега на прямой. По Т.2.
измеримы, они
являются элементами полукольца
и по Т.1.
, то
измерим.
и по свойству 6.
Из измеримости интервала следует измеримость произвольного борелевского
множества.
Пример 1 . Пример неизмеримого множества
и введем на нем отношение эквивалентности
, если
. Это
отношение разбивает
на непересекающиеся классы. Выберем в каждом классе по
одному представителю и составим из них множество .
Докажем, что
неизмеримо.
. Рассмотрим все
рациональные числа из (-1;1) их счетное число, занумеруем их, получим
последовательность
, ясно, что
Предположим, что - измеримо. Пусть
По свву 4. меры
Противоречие.
Пусть
, тогда
классы не пересекаются и по свойству 3 меры получаем
, но ввиду (*)
Противоречие. - неизмеримое
и не борелевское.
Пример 2 . Канторовское множество
Рассмотрим
разделим его на 3 части и выбросим средний интервал
,
далее разделим каждый из оставшихся промежутков на 3 части и выбросим средний и
т.д. Получившееся множество обозначим
,
- объединение выбрасываемых интервалов.
Покажем, что мощность
равна континууму. Во множестве
находятся все
числа, в троичной записи которых не присутствует 1, т.е. они эквивалентны множеству
последовательностей, состоящих из 0 и 2, а таких чисел не счетное число.
Мера Лебега-Стильтьеса
и
называется мерой Лебега-Стильтьеса. Если
Утверждение 1 .
- -аддитивна на
(без доказательства)
- неубывающая на .
, то это мера Лебега на прямой.
- непрерывна слева.