Министерства образования и науки

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс
«Математика для гуманитарных специальностей»
(для студентов гуманитарного факультета НГУ)
Новосибирск
2011
Форма обучения
очная
Документ подготовлен в рамках реализации Программы развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский
государственный университет» на 2009–2018 годы.
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС высшего профессионального образования по следующим гуманитарным направлениям подготовки (квалификация (степень) "бакалавр"): 032700 Филология (стандарт утверждѐн Приказом № 34 Министерства образования и науки РФ от 14 января 2010 г.), 030600 История (стандарт утверждѐн Приказом № 732 Министерства образования и науки РФ от 16 декабря 2009 г.),
032100 Востоковедение и африканистика (стандарт утверждѐн Приказом № 68 Министерства образования и науки РФ от 25 января 2010 г.)
Учебно-методический
М.К. Тимофеевой.
комплекс
разработан
доктором
филологических
наук
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
4
1.
ЦЕЛИ ДИСЦИПЛИНЫ:
5
2.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
5
3.
ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ.
6
4.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
7
4.1.
Разделы дисциплины и виды занятий
7
4.2.
Тематический план
8
Часть I. Математика
8
Вводное занятие.
8
Тема 1. Логика
9
Тема 2. Множества, бинарные отношения.
18
Тема 2.1. Множества.
18
Тема 2.2. Отношения и функции
22
Тема 3. Элементы комбинаторики
31
Тема 4. Элементы теории вероятностей
34
Часть II. Информатика
38
Тема 5. Алгоритмы и языки программирования
38
Тема 6. Презентации и постеры
43
Тема 7. Поиск информации и базы данных
44
КОНТРОЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
46
5.
Контрольная работа по модулю 1.
46
Самостоятельная тренировочная работа по темам 2, 3.
48
Контрольная работа по модулю 2.
49
Контрольная работа по модулю 3.
50
Примеры заданий для итогового компьютерного тестирования
53
6.
ВОПРОСЫ ДЛЯ УСТНОГО ЗАЧЁТА
55
7.
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ
56
Пояснительная записка
Учебно-методический комплекс «Математика для гуманитарных специальностей» вместе с одноимѐнным сервером электронного тестирования (Портал тестирования НГУ)
предназначен для обеспечения подготовки бакалавров в рамках курса «Математика и информатика», реализуемого на гуманитарном факультете НГУ по направлениям 032700
Филология и 032100 Востоковедение и африканистика на 2 курсе в 1 семестре, по направлению 030600 История – на 1 курсе в 1 семестре. Данный курс является частью математического и естественнонаучного цикла ООП по указанным направлениям подготовки бакалавров. При составлении учебной программы учитывались требования соответствующих федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования.
В соответствии с этими стандартами базовые компетенции, на развитие которых нацелен учебный курс «Математика и информатика» и предназначенный для его обеспечения
учебно-методический комплекс «Математика для гуманитарных специальностей», были
определены следующим образом:
•
владение культурой мышления, знанием его общих законов;
•
способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;
•
способность к восприятию, анализу, обобщению информации, постановке цели
и выбору пути еѐ достижения;
•
способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности
базовые знания в области основ информатики, элементы естественнонаучного и
математического знания;
•
осознание сущности и значения информации в развитии современного общества; владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации;
•
способность работать с информацией в глобальных сетях;
•
умение создавать базы данных и обрабатывать массивы статистических данных.
При формировании содержания дисциплины учитывались особенности современной
системы образования. Курс математики, преподаваемый студентам гуманитарных специальностей, неизбежно является междисциплинарным, это учитывалось при выборе тем,
составлении заданий, выборе иллюстративных примеров.
В курс включены только те разделы математики, которые необходимы для развития
общей культуры мышления или для работы в профессиональной области. При формировании содержания курса и выборе степени глубины изучения математики использовался
следующий критерий: в курс были включены только те понятия и методы, которые студент может понять и практически освоить в течение периода обучения настолько, чтобы
уметь реально их использовать. Иначе говоря, был принят тезис: лучше более ясное и чѐткое представление об ограниченной области, чем поверхностное представление о более
обширной области. Поэтому курс не содержит ряда разделов, часто включаемых в учебники по математике для студентов гуманитарных специальностей (например, элементы
математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления). По той же
причине курс не следует и противоположной тенденции представлять «математику без
формул», создающей лишь иллюзию знания и также не редкой для учебников по математике, предназначенных студентам гуманитарных специальностей. Такой принцип формирования содержания данного курса удовлетворяет требованиям современных ФГОС, определяющих не конкретный перечень разделов математики, которые необходимо освоить
студентам гуманитарных специальностей, а список приобретаемых ими компетенций
Одну из возможностей применения математических методов предоставляет информатика. В частности, рассмотрение проблемы алгоритмизации знаний и работа с базами данных позволяют развить практические навыки использования основных понятий теории
множеств и логики. Развитию навыков работы с компьютером способствует использова-
ние разработанной в рамках данного курса системы электронного тестирования (сервер
тестирования «Математика для гуманитарных специальностей» на Портале тестирования
НГУ).
Опыт преподавания показал, что современные студенты приходят в НГУ с неплохим
базовым знанием информатики, владеют начальными навыками работы с компьютером,
поэтому многие темы из области информатики (в частности, работа с электронными таблицами и создание презентаций) в данном курсе факультативны, консультации по этим
темам предполагаются только для студентов, которые не приобрели соответствующих
знаний и навыков в школе. Таким образом, в рамках данного курса раздел «Информатика»
представлен в сильно сокращѐнном варианте (главным образом как одна из возможностей
развития навыков использования математических понятий), поэтому учебнометодический комплекс и соответствующий ему сервер тестирования названы «Математика для гуманитарных специальностей».
1. Цели дисциплины:
•
развитие навыков точного мышления,
•
развитие навыков абстрактного мышления,
•
формирование у студентов понятия о математике как универсальном инструменте
познания,
•
освоение базовых математических понятий, используемых при работе в любой научной области,
•
приобретение практических навыков использования этих понятий,
•
практическое освоение компьютерных программ, используемых в области будущей
профессиональной деятельности студента.
Курс ориентирован на студентов гуманитарных специальностей, примеры и задачи
подбираются с учетом профессиональных интересов учащихся.
Особое внимание уделяется практическому освоению терминологии. Для каждой
темы курса составлен словарь основных терминов и обозначений.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны освоить основные математические понятия, научиться использовать эти понятия и некоторые математические методы,
расширив, тем самым, свой кругозор, усовершенствовав навыки мышления и аргументации, освоив точные методы проведения исследовательской работы. Кроме того, студенты
должны усовершенствовать свои навыки использования персональных компьютеров и
применения современных информационных технологий.
Балльно-рейтинговая система оценки знаний
При выставлении итоговой оценки используется балльно-рейтинговая система. Рейтинг
студента за работу в течение семестры является суммой баллов, полученных в результате
следующих видов деятельности: выполнение промежуточных контрольных работ и итогового компьютерного тестирования, работа на занятиях, самостоятельная работа. Возможное распределение баллов показано на следующей таблице.
Название
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
Вид работы
Контрольная работа
(7 заданий в варианте)
Контрольная работа
(7 заданий в варианте)
Контрольная работа
Количество баллов
7 - 28 баллов
7 - 21 балл
5 - 15 баллов
(5 заданий в варианте)
Модуль 4
Практическая работа
Итоговый контроль Компьютерное тестирование
Решение задач,
ответы на вопросы,
Дополнительные
выступления по тематике курса
виды работы
Реферативные сообщения
6 - 18 баллов
20 – 60 баллов
3-5 баллов
за одно занятие
5-10 баллов
Контрольная работа по Модулю 1 («Логика») оценивается более высоким числом баллов по трѐм причинам: 1) эта тема является основополагающей для всего курса и значимость еѐ освоения велика, 2) как показывает практика преподавания данного предмета,
тема является более сложной для освоения, чем остальные, 3) первая по порядку тема требует более существенных усилий со стороны студента, так как ему нужно понять не только содержание изучаемой части курса, но и освоить определѐнный стиль мышления, требования к изложению результатов, особенности терминологического аппарата.
По каждому из модулей на основании результата промежуточного контроля студенту
выставляется отдельная оценка. Эта оценка в комплексе с работой студента на занятиях
может быть учтена (по желанию студента) при итоговом тестировании. В таком случае
студент освобождается от сдачи соответствующего раздела курса при итоговом тестировании, за этот раздел ему выставляется оценка, полученная при промежуточном контроле
знаний. В полном объѐме итоговое тестирование проходят только те студенты, которые
недостаточно активно участвовали в работе на занятиях и либо получили невысокие или
неудовлетворительные оценки за промежуточные контрольные, либо по тем или иным
причинам эти работы не сдавали.
Таким образом, учащимся предоставляются две стратегии успешного прохождения
курса. Первая состоит в получении максимального количества баллов за промежуточные
и итоговую аттестации, вторая – в выполнении дополнительных работ (решение задач, ответы на вопросы, выступления по тематике курса), при условии успешности которых возможно получение аттестационной оценки по соответствующей теме «автоматом».
Согласно Положению о модульной балльно-рейтинговой системе оценки качества знаний студентов на гуманитарном факультете НГУ устанавливаются следующие уровни
оценки знаний: 60-72 балла «удовлетворительно», 73-86 баллов «хорошо», 87-100 баллов
«отлично».
3.
Объѐм дисциплины и виды учебной работы.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного
процесса: лекции, практические занятия, консультации, контрольные работы, компьютерное тестирование, самостоятельная работа студента. Самостоятельная работа студентов
может состоять в выполнении тренировочных заданий, чтении дополнительной литературы, подготовке сообщений по тематике курса.
Предусмотрен текущий контроль успеваемости в форме контрольных работ. Итоговый
контроль знаний проводится либо в форме дифференцированного зачѐта, либо в форме
зачѐта. В случае проведения практических занятий по группам предполагается дифференцированный зачѐт, в случае практических занятий без деления на группы – зачѐт.
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции
Всего
часов
108
52
36
Практические занятия
18
Самостоятельная работа
72
Виды учебной работы
Вид итогового контроля
дифф. зачѐт / зачѐт
4. Содержание дисциплины
По своему содержанию курс делится на две части («Математика» и «Информатика»),
четыре дисциплинарных модуля и семь тем: логика; множества и бинарные отношения;
элементы комбинаторики; элементы теории вероятностей; алгоритмы и языки программирования; презентации и постеры; поиск информации и базы данных. По каждому из модулей проводится контроль знаний: по модулям 1, 2, 3 контрольные работы, по модулю 4 –
практические работы с использованием компьютера. Контрольные работы состоят в решении задач и проводятся в режиме компьютерного тестирования. В конце семестра проводится компьютерное тестирование по всему содержанию курса.
4.1.
Разделы дисциплины и виды занятий
Примерный учебный план курса «Математика для гуманитарных специальностей»
Количество часов
Название темы
Лекции
Семинары
(по группам)
Часть I. Математика
Вводное занятие.
2
Математика и гуманитарные науки.
Модуль 1.
Тема 1. Логика.
Краткая история логики. Основные понятия аристотелевской
силлогистики
2
6
Синтаксис и семантика пропозициональной логики
4
Дедуктивные и индуктивные рассуждения
2
Контрольная работа по модулю 1
Модуль 2.
Тема 2. Множества, бинарные отношения
2
Базовые понятия, операции над множествами
Декартово произведение, определение понятий отношение и
функция, свойства и виды отношений
2
4
Изображение отношений с помощью матриц и графов
Контрольная работа по модулю 2
Модуль 3.
Тема 3. Элементы комбинаторики
4
2
4
2
Понятие выборки, типы выборок
Тема 4. Элементы теории вероятностей.
Теоретико-множественная интерпретация вероятности. Свой-
ства функции вероятности. Условная вероятность. Математическое ожидание.
Контрольная работа по модулю 3
II. Информатика
Модуль 4.
Тема 5. Алгоритмы и языки программирования
Информация, способы хранения, переработки, поиска.
4
Понятие алгоритма. Виды алгоритмов. Классификация языков
программирования.
2
Компьютерное моделирование некоторых видов интеллектуальной сферы деятельности человека (обзор)
Тема 6. Презентации и постеры.
Рекомендации по созданию компьютерных презентаций и постеров.
2
Тема 7. Поиск информации и базы данных.
4
4
34
18
Итоговый компьютерный тест
Итого
Всего часов
4.2.
52
Тематический план
Часть I. Математика
Вводное занятие.
Математика всѐ больше используется в традиционно гуманитарных областях. Причѐм
используется не просто в функции вспомогательного средства, применяемого при компьютерной автоматизации рутинных процедур, ранее производившихся вручную. Математика зачастую служит средством нахождения и решения содержательно интересных задач,
касающихся областей, ранее считавшихся традиционно гуманитарными. Целью применения математики может быть, например, компьютерное моделирование того или иного аспекта деятельности человека или желание более точно и ясно описать некую проблему,
тем самым, лучше уразумев определѐнные еѐ аспекты.
Результат гуманитарного познания – это определѐнное видение мира. Оно значительно
отличается от того видения мира, которое даѐт математическое познание. Однако можно
ли утверждать, что эти две картины мира противопоставлены, несовместимы друг с другом?
О возможности вполне продуктивного их совмещения свидетельствует многое. Известно, например, мнение Платона о том, что каждая наука, просто чтобы быть таковой,
должна обращаться к математике. Вспомним также других известных людей – Аристотеля, Леонардо да Винчи, Рене Декарта, Исаака Ньютона, Блеза Паскаля, Готфрида Вильгельма фон Лейбница, Павла Александровича Флоренского и многих других, – каждый из
которых одновременно успешно занимался и гуманитарными науками, и математикой,
причѐм это совмещение профессий казалось вполне естественным.
Математика – это, с одной стороны, определѐнные символические языки, которые
можно развивать и изучать сами по себе, рассматривая их вне сферы приложений. Такими
вопросами занимается «чистая математика». С другой стороны, математический язык может использоваться как инструмент для изучения или описания чего-то вне математики (в
частности, – некоторой гуманитарной области). Этим занимается «прикладная математика».
Очень часто применение того или иного инструмента требует предварительной подготовки материала, к которому он применяется. Так, чтобы сделать на гончарном круге сосуд, надо сначала приготовить глиняную смесь; прежде чем применять инструменты для
ковки металла, надо этот металл сильно разогреть и т. д. Применение математики тоже
требует предварительной подготовки области еѐ предполагаемого применения, прежде
всего, – структуризации данной области. Смешивание, разогрев и т. д. здесь заменяются
осмыслением, разграничением, классификацией. Причѐм эти подготовительные умственные операции, осуществляемые вне математики, до собственно еѐ применения, могут быть
настолько детальными и тонкими, насколько того требует цель, ради которой данная работа выполняется. Математика – это инструмент, никак не ограничивающий глубину проникновения в ту область, для изучения которой он применяется.
Структуризации гуманитарных областей, в разных целях разрабатываемые нашим
умом, чрезвычайно важны для того, чтобы мы могли разглядеть, различить и оценить нюансы нашего сложного (этического, эстетического, эмоционального) опыта, развили в себе
тонкую способность чувствования. Математика же – это наиболее развитая техника, предназначенная для построения, изучения и понимания структур, для анализа составляющих
их элементов и отношений.
Литература для подготовки реферативных сообщений.
1. Аталай Б. Математика и «Мона Лиза». Искусство и наука в творчестве Леонардо да
Винчи. М.: Техносфера, 2007. 302 с.
2. Лотман Ю.М. Искусствоведение и точные методы в современных зарубежных исследованиях // Искусствометрия: Методы точных наук и семиотики / Сост. и ред.
Ю.М. Лотмана, Послесл. В.М. Петрова. Изд. 2-е, доп. М.: Издательство ЛКИ, 2007.
С. 5-24.
3. Уайтхед А. Математика и добро // Уайтхед А. Избранные работы по философии:
Пер. с англ. М.: Прогресс, 1990. С. 322-336.
4. Успенский В.А. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера // Апология
математики: [сборник статей]. СПб.: Амфора, ТИД Амфора, 2010. С. 17-41.
5. Штейнгауз Г. О математической строгости // Штейнгауз Г. Математика – посредник между духом и материей. Пер. с польск. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2009. С. 61-75.
Тема 1. Логика
Краткая история логики. Логическая правильность рассуждения. Соотношение между истинностью и правильность логического вывода. Логическая структура (форма) суждения.
Понятие пропозиции. Глубина логического анализа в пропозициональной и предикатной
логиках. Язык пропозициональной логики. Эквивалентные преобразования суждений и
синонимические преобразования предложений. Описание смысла предложений естественного языка посредством формулы пропозициональной логики. Законы логики. Логические ошибки. Некоторые логические парадоксы. Дедуктивное и индуктивное рассуждение.
Словарь терминов и обозначений по Теме 1.
1. Логически правильный вывод. Если вывод заключения s из посылок p и q логически правилен, то во всех тех ситуациях, когда p и q истинны, истинность s гарантирована. Иными словами, логически правильный вывод сохраняет истинность,
обеспечивая истинность заключения при условии истинности посылок.
Истинность результата логического вывода зависит от того, истинны ли посылки. Правильность логического вывода от этого не зависит. Пример (1) представляет правильный логический вывод, пример (2) – неправильный.
(1)
Все книги в этой библиотеке редкие
Все редкие книги интересны
Значит, все книги в этой библиотеке интересны
Посылки
Заключение
(2)
Не все книги в этой библиотеке редкие
Не все редкие книги интересны
Значит, не все книги в этой библиотеке интересны
Посылки
Заключение
2. Логическая форма (структура). Рассуждение является логически правильным выводом, если логическая форма (структура) посылок действительно позволяет вывести заключение, обладающее данной логической формой (структурой). Например,
Все s есть p.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Значит, некоторые s есть p.
Этот вывод правилен для любых предложений с данной логической структурой.
Задача логики – исследовать, какие операции над высказываниями позволяют сохранить истинность, то есть получить из истинных высказываний истинные высказывания. Для того чтобы точно и ясно описывать условия истинности высказываний вводятся специальные системы обозначений (логические языки).
Глубина логического анализа высказываний зависит от того, какой логический
язык для этого используется. В рамках классической логики возможны два варианта.
a. Пропозициональная логика (или логика высказываний, или сентенциональная логика) используется для анализа логической структуры рассуждения в
терминах простых высказываний, составляющих данное рассуждение, и логических связей между этими высказываниями. Внутреннее устройство простых высказываний при этом не учитывается (каждое из них рассматривается как неделимое
целое).
b. Предикатная логика используется для более глубокого анализа рассуждения,
учитывающего не только логические связи между составляющими его простыми
высказываниями, но и внутреннее устройство этих простых высказываний.
Пропозиция (высказывание) – одно из базовых понятий языка пропозициональной логики. Пропозиция – то состояние дел в мире, о котором говорится в предложении. В классической (двузначной) логике пропозиция может принимать только одно из двух значений: «истина» или «ложь».
В повседневном языке существуют специальные средства для указания на пропозиции. Например, следующие предложения указывают на пропозицию р:
Мне сказали, что p
Я знаю, что p
Они полагают, что p
Известно, что p
Разные предложения могут выражать одну и ту же пропозицию, например,
предложения Сегодня понедельник (сказанное в понедельник) и Вчера был понедельник (сказанное во вторник) выражают одну и ту же пропозицию ( День, на который указывает данное предложение, является понедельником )
Высказывания делятся на простые и сложные (составные). Логические соотношения между простыми высказываниями определяются логическими связками, каковые могут иметь в естественном языке следующие соответствия: и, или, следовательно, значит, поскольку, но, так как, если … то и т.д. Например, Если p и q, то
s.
Пропозициональная и предикатная логики используются для описания логической структуры высказываний или рассуждений. В обеих логиках определяются правила построения сложных высказываний из простых высказываний. В пропозициональной логике внутреннее устройство простых высказываний не учитывается (каждое простое высказывание рассматривается как неделимое целое). В предикатной логике (логике предикатов) внутреннее устройство простых высказываний
учитывается.
Пропозициональная логика (сентенциональная логика, логика высказываний).
a. Синтаксис
1. Словарь:
• пропозициональные переменные: p, q, g, s...,
• логические связки (логические символы ): , , ,
• Скобки (, )
• больше никаких символов в словаре нет
Названия логических символов:
(или &) - конъюнкция (логическое «и»),
- дизъюнкция (логическое «или»),
(или ) - импликация (логический условный оператор «если …, то …»),
- отрицание («неверно, что …»)
Вместо пропозициональных переменных можно подставлять любые логические высказывания, при этом логическая структура остаѐтся прежней. Например, составляющие p и q, входящие в состав импликации p
q можно заменить на конкретные пропозиции: p = ‘идѐт дождь’, q = ‘я беру зонтик’, тогда
всѐ выражение будет соответствовать предложению ‘Если идѐт дождь, то я беру зонтик’. Однако на уровне синтаксиса неизвестно, является ли это предложение истинным или ложным.
b. Правильные выражения:
1. Любая пропозициональная переменная является правильным выражением.
2. Если и - произвольные правильные выражения, то
,
,
,
,(
), (
), (
), (
) - также правильные выражения.
3. Больше никаких правильных выражений нет.
c. Семантика.
Пропозициональные переменные могут принимать лишь одно из двух значений «истина» или «ложь». Часто вместо слова «истина» используют число «1»,
вместо «ложь» – число «0». Семантику логических связок принято задавать в
виде таблиц истинности.
Таблица истинности для конъюнкции:
Значения переменных
Значение выражения
p q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Таблица истинности для дизъюнкции:
Значения переменных
Значение выражения
p q
p
q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Таблица истинности для импликации:
Значения переменных
Значение выражения
p
q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Таблица истинности для отрицания:
Значения переменной p
Значение выражения
1
0
0
1
p
Сводная таблица истинности
Значения переменных
Значения выражений
p
q
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
p
q
p
q
p
q
p
Семантика сложных формул строится на основе входящих в их состав простых
формул. Например, семантика формулы P (Q
Q) может быть получена в результате построения следующих таблиц истинности:
Q
1
0
Q
Q
1
1
P
1
0
Q
Q P (Q
1
1
1
0
Q)
В электронных таблицах Microsoft Office Excel логические операции , ,
зованы соответственно посредством функций OR, AND, NOT.
реали-
Существуют и другие логические функции (выразимые через , , , ). Например:
строгая дизъюнкция (p q, читается «либо…, либо…»), обозначения: ,
эквивалентность (p a, читается «если и только если»), обозначения: или
штрих Шеффера (p | a, читается «не…или не…», отрицание конъюнкции),
стрелка Пирса (p a, читается «ни…, ни…», отрицание дизъюнкции),
10. Возможные миры. Один из вариантов построения семантики логического языка
использует понятие «возможный мир». Мы не всегда рассуждаем о том мире, который доступен нашему непосредственному наблюдению. Часто мы говорим о ситуациях в воображаемом или вспоминаемом мире. Например, Если бы сегодня утром не было дождя, мы поехали бы на прогулку. Для обозначения различных миров
(в том числе и непосредственно наблюдаемого) вводится понятие возможный мир.
Предполагается, что для каждой пропозиции можно указать множество всех
возможных миров, в которых данная пропозиция истинна. Соответственно, свойства каждого из возможных миров можно характеризовать, указав то множество пропозиций, которые истинны именно в этом мире. Тогда логические связки можно
интерпретировать как операции над множествами возможных миров. Например,
если Е – универсум, состоящий из всех возможных миров, и пропозиция р истинна
в множестве миров А, то закрашенная область соответствует отрицанию пропозиции р (то есть р):
Если пропозиция p истинна в множестве миров А, пропозиция q истинна в множестве миров В, то следующие рисунки иллюстрируют соответственно функции p q
и p q:
11. Истинность формулы может оцениваться относительно других формул. Например, если при условии истинности высказываний А и В высказывание С всегда
истинно, то говорят, что С логически следует из А и В. Чтобы проверить, связаны
ли эти высказывания таким отношением, достаточно построить соответствующие
им таблицы истинности.
Например, в наличии соотношения P Q ╞ P можно убедиться по таблице истинности для конъюнкции: из истинности выражения P Q всегда следует истинность
пропозиции P. Именно это соотношение и составляет содержание записи
P Q ╞ P. В наличии соотношения P (Q
Q) ╞ P можно убедиться, построив
соответствующие таблицы истинности (см. выше).
12. Формула Р называется тождественно истинной формулой (или тавтологией, или
общезначимой формулой), если Р истинно при любых значениях входящих в неѐ
переменных. Это обозначается так: ╞ Р. Например, ╞ А (В А), ╞ А А В.
Аксиомы логики высказываний – это определѐнное подмножество множества общезначимых формулы.
13. Тождественно-истинные формулы логики высказываний называют также законами этой логики. В истинности каждой такой формулы можно убедиться, построив
соответствующую ей таблицу истинности.
14. Некоторые законы логики высказываний
a. Закон тождества:
А А
b. Закон отрицания противоречия:
(А
А)
c. Закон исключѐнного третьего:
А
А
d. Законы снятия и введения двойного отрицания:
А А
А
А
e. Законы де Моргана связывают конъюнкцию и дизъюнкцию:
а) отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний:
¬ (А В) (¬ А ¬ В)
б) отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:
¬ (А В) (¬ А ¬ В)
f. Закон контрапозиции устанавливает связь между прямой и обратной импликацией. При переходе от прямой импликации к обратной происходит перестановка членов импликации и замена каждого из них его отрицанием:
(А → В) (¬ В → ¬ А)
g. Законы, позволяющие выразить импликацию через дизъюнкцию и отрицание (или конъюнкцию и отрицание):
(А В) ( А В)
(А В)
(А
В)
15. Законы логики высказываний – это схемы соотношений. Вместо входящих в их состав пропозициональных переменных можно подставлять любые правильные формулы.
Например, если вместо А подставить p q, а вместо В – p q, то схему
(А → В) (¬ В → ¬ А),
выражающую закон контрапозиции, можно переписать так:
(p q → p q) (¬ (p q) → ¬ (p q))
16. Использование таблиц истинности для характеристики сложных высказываний не
всегда удобно: чем сложнее высказывание, тем больше размер таблицы. Например,
если сложное высказывание состоит из 10 простых, то таблица истинности будет
содержать 1024 строк. Поэтому наряду с табличным методом проверки истинности
используется метод, опирающийся на логический вывод одних высказываний из
других.
17. Дедуктивное рассуждение. В таком рассуждении из чѐтко сформулированных утверждений (посылок) выводится столь же чѐтко сформулированное утверждение
(следствие). Дедуктивное утверждение истинно, если: а) истинны посылки, из которых оно выводится и б) правилен логический вывод.
Для дедуктивных рассуждений большое значение имеет импликация p
q,
где p – антецедент («предыдущий») импликации, а q – консеквент («последующий»). В классической логике высказываний антецедент и консеквент не обязательно должны быть связаны по смыслу. В неклассических логиках может использоваться строгая импликация, предполагающая наличие такой связи.
A. Примеры правил вывода.
a. Правило отделения, или утверждающий модус (modus ponens, «положительный способ» ) разрешает из двух высказываний вида А и А→В вывести заключение
В:
А, А → В
В
Горизонтальная черта отделяет заключение от посылок. В качестве посылок выступают антецедент А и сама импликация А → В, заключением служит консеквент импликации.
b. Доказательство от противного (modus tollens, буквально «отрицательный способ») разрешает из двух высказываний вида А→В и В вывести заключение А:
А → В, В,
А
Здесь в качестве посылок выступают отрицание консеквента В и сама импликация
А → В, заключением служит отрицание антецедента импликации.
c. Правило подстановки разрешает любую пропозициональную переменную заменить на любое высказывание. Если исходная формула была истинной, то в результате подстановки также получится истинное высказывание. Например, воспользовавшись законом исключѐнного третьего A A и подставив (p q) вместо
A, можно получить истинное высказывание вида
(p q)
(p q)
B. Доказательство – это конечная последовательность формул F1, F2, ..., Fn, где
каждая формула Fi – либо аксиома, либо выводима на основе некоторого правила
вывода из предшествующих ей формул Fk, k < i.
C. Различие между доказательством и логическим выводом состоит в следующем:
• при доказательстве посылки рассматриваются как истинные высказывания,
• при логическом выводе – как допущения или гипотезы.
Логический вывод может быть сделан из любых допущений, в том числе из ложных.
D. При аксиоматическом подходе истинность высказываний устанавливается не
на основе обращения к их содержаниям, а чисто формально, а именно:
1) аксиомы рассматриваются как исходные формулы, каковые мы полагаем истинными,
2) другие истинные высказывания получаются из аксиом с помощью правил вывода (то есть посредством преобразования одних формул в другие).
18. Индуктивные рассуждения (Ф. Бэкон, Дж. С. Милль). Основа индуктивного рассуждения – обобщение наблюдаемых фактов.
19. Гипотетико-дедуктивный метод (К. Поппер). Рассуждение этого типа включает
следующие этапы:
1) выдвижение гипотезы Т,
2) дедуктивный вывод из неѐ проверяемого утверждения о фактах F,
3) фальсификация или верификация первоначальной гипотезы на основе проверки
F. Фальсификация гипотезы Т состоит в выводе из двух посылок T F и F заключения T. Верифицировать гипотезу Т – значит убедиться в истинности некоторого еѐ следствия, то есть консеквента импликации T F. Верификация гипотезы никогда не может быть окончательной, так как всегда есть вероятность обнаружения новых фактов, фальсифицирующих эту гипотезу.
20. Логика высказываний как средство описания электрических схем. Логический
элемент компьютера – это схема, реализующая логические операции И, ИЛИ, НЕ.
Пропозициональная переменная трактуется как выключатель, который может быть
включен (0) или выключен (1). Последовательное соединение двух выключателей
реализует операцию , а параллельное – операцию .
a. В технических приложениях операция конъюнкции называется логическим
умножением. Эту операцию можно проиллюстрировать работой следующей
электрической цепи (1 означает, что контакт замкнут и ток в цепи есть, 0 – контакт разомкнут и тока в цепи нет):
b. Операцию дизъюнкции в технических приложениях называют логическим
сложением. Простейшая электрическая цепь, иллюстрирующая эту операцию,
имеет вид:
Тренировочные задания по теме 1.
1. Постройте таблицы истинности для следующих формул пропозициональной логики:
1) А
В
2)
А
В
3)
А В
4) А
В
5)
А
В
2. Постройте в OpenOffice.org Calc таблицы истинности для логических функций
AND, OR: первый столбец используйте для задания значений первого аргумента;
второй – для задания значений второго аргумента; в третьем столбце вычислите
значение функции для каждой возможной комбинации значений аргументов;
1) вычислите значения логических формул Р Q P и Р Q при разных значениях аргументов.
2) введите в две ячейки X и Y числовые значения; в другой ячейке Z вычислите условное значение: если значения в ячейках X и Y одинаковы, то значением ячейки Z будет 1, в противном случае 0.
3) постройте таблицы истинности для следующих логических формул:
а) Р
Q
б) (Р Q) (P Q)
3. Есть ли среди следующих двух рассуждений логически правильный вывод?
Сова и лисица – птицы
Следовательно, лисица есть птица
Все киты – млекопитающие
Следовательно, все киты – рыбы
4. В следующих фразах выделите простые пропозиции. Опишите смыслы фраз посредством языка логики высказываний:
Если завтра будет снег или завтра будет мороз, то мы не пойдѐм на лыжах.
Если в доме начнут топить, то будет тепло и можно будет не включать
обогреватель.
Если отзыв рецензента будет положительный, то редакция пример статью
к печати, значит, можно будет отдохнуть.
5. Комитет из трѐх человек хочет применить электрическую схему для регистрации
тайного голосования простым большинством голосов. Голосующий «за» нажимает
кнопку, «нет» – не нажимает. Какая схема может обеспечить возможность такого
голосования?
6. Опишите смыслы следующих предложений посредством языка логики высказываний:
Сократ – человек и неверно, что Буцефал - человек
Прозрачный лес один чернеет, и ель сквозь иней зеленеет, и речка подо льдом
блестит
Если это числительное, то оно обозначает количество предметов или их порядок в некоторой последовательности.
Так как мы договорились заранее и установили жѐсткие условия, то не представляется никакой возможности не прибыть на место встречи.
7. Введѐм обозначения для высказываний:
Y - «Разговор интересен»;
M – «Иванов ушѐл»;
B – «Петров ушѐл»;
C – «Сидоров ушѐл».
Используйте эти обозначения для построения формулы пропозициональной логики, описывающей смысл высказывания, являющегося отрицанием данного:
Если разговор будет интересным, то никто из участников (ни Иванов, ни Петров,
ни Сидоров) не уйдѐт.
Преобразуйте полученную формулу, воспользовавшись одним из законов де Моргана.
8. Допустим, что высказывание А уважает В, но В не уважает А истинно. Исходя из
этого факта, определите, какие из следующих высказываний истинны:
А и В уважают друг друга
А уважает В, или В не уважает А
Либо В не уважает А, либо А уважает В
Неверно, что А и В не уважают друг друга
Если А уважает В, то В уважает А
Если А не уважает В, то В уважает А
Если В не уважает А, то А не уважает В
А уважает В тогда и только тогда, когда В уважает А
9. Постройте формулы пропозициональной логики, соответствующие смыслу высказываний:
Так как он адвокат, то если он участвует в судебном процессе, он имеет
право ознакомиться с материалами следствия.
Если результат умозаключения верен, то либо мы правильно рассуждали, либо получили этот результат случайно.
Все судьи должны быть объективными, так как пристрастные люди допускают ошибки, а объективный человек не бывает пристрастным.
10. Воспользовавшись известными вам законами пропозициональной логики, рассмотрите возможные синонимические преобразования предложений из предыдущего
задания.
Тема 2. Множества, бинарные отношения.
Тема 2.1. Множества.
Понятие множества. Виды множеств. Мощность множества. Соотношения между множествами. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна). Операции
над множествами. Классификации.
Словарь терминов и обозначений по Теме 2.1.
1. Определить некоторое понятие - значит разъяснить его смысл с помощью других,
более простых или введенных ранее понятий. Поэтому понятия неизбежно разделяют на определяемые и неопределяемые, считающиеся основными, исходными.
Такие понятия можно только пояснить. Понятие множества является одним из
важнейших исходных и неопределяемых понятий современной математики. Под
множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных в одно
целое по какому-либо признаку и мыслимое как единое целое.
2. Способы задания множеств: а) перечислением: например, А = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
– множество цифр; б) заданием общего свойства всех элементов множества, например, множество всех букв латинского алфавита можно определить так: В = {х |
х – буква латинского алфавита} .
3. Численность (или мощность) множества М – количество элементов, составляющих множество М, обозначение: М .
4. Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента, обычно обозначается символом ;
= 0.
5. Единичное множество – множество, содержащее только один элемент, то есть
М = 1.
6. Конечное множество – множество, содержащее конечное число элементов.
7. Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечное число элементов.
8. Чѐткое множество – множество, включающее только такие элементы, принадлежность которых к данному множеству не вызывает сомнений.
9. Нечѐткое множество – множество, включающее элементы, которые могут быть
отнесены к этому множеству только с определѐнной степенью вероятности.
10. Нечѐткие множества (fuzzy sets). Это понятие ввѐл американский математик Л. Заде (L. Zadeh).
Пусть U некоторое множество. Нечѐткое подмножество А U характеризуется
функцией принадлежности μ и определяется так: А = { (х, μА (х)) | х U }
Часто в качестве возможных значений функции μА (х) выбирается интервал [0,1].
Например, можно считать, что μА (а) – это вероятность принадлежности элемента
а U множеству А
Примеры нечѐтких понятий: холодный, красивый, юный, умный, истинный,
правдоподобный.
Например, понятие «истинность»:может иметь такие градации:
истинный
вполне истинный
очень истинный
более или менее истинный
очень очень истинный
существенно истинный …
Нечѐткие множества – не единственный способ описания смысла нечѐтких понятий. Например, другой способ предложил польский математик Леон Кой (L.
Koj). Этот способ основан на выделении свойств, наиболее типичных для объектов,
относимых к рассматриваемому нечѐткому понятию. Допустим, что {F1, F2,…, FN}
– набор наиболее типичных свойств объектов, относимых к рассматриваемому понятию А (например, к понятию «игра»). Тогда произвольный элемент а U является
элементом рассматриваемого множества А в том и только том случае, когда а обладает хотя бы половиной свойств {F1, F2,…, FN}
11. Круги Эйлера, диаграммы Венна – способы схематичного изображения соотношений между элементами и множествами. Леонард Эйлер (1707-1783), Джон Венн
(1834-1923).
12. Возможные соотношения между элементами и множествами (см. диаграммы
ниже).
a. Элемент а принадлежит множеству М. Обозначения: а М, с Е.
b. Элемент с не принадлежит множеству М, с М.
c. Множество D содержится в множестве М. Обозначается D М.
d. Множество Е не содержится в множестве М. Обозначается Е М.
e. Множества F и G (а также множества М и Е) не пересекаются, то есть не
имеют общих элементов.
f. Множества H и Q имеют общие элементы (заштрихованная часть).
g. Множество В (строго) содержится в множестве А (или «множество В
(строго) включено в множество А», или «множество В является (строгим)
подмножеством множества А). Обозначение: В А.
h. Множества P и R равны. Обозначение: P=R
i. Запись А В означает, что возможно А В и возможно А=В. В этом случае
говорят, что множество А нестрого включено в множество В (или «А - нестрогое подмножество множества В», «А нестрого содержится в В»)/
j. Множество В называют собственным подмножеством множества А, если В
А, причѐм В не является пустым множеством и В не совпадает с А.
F
G
Q
H
P R
13. Универсальное множество – это множество, относительно которого все рассматриваемые множества являются подмножествами. Дополнение множества А до универсального множества U обозначается Ā
14. Операции над множествами (см. диаграммы ниже).
a. Объединение (или сумма) множеств C и D – это множество P = C D, такое, что: (1) каждый элемент множества C содержится в P; (2) каждый элемент множества В содержится в P; (3) никаких других элементов в P нет.
b. Пересечение множеств А и В – это множество Q = А В, такое, что:
(1) если элемент х содержится как в А, так и в В, то х содержится в Q;
(2) никаких других элементов в Q нет.
c. Разность множеств F и G – это множество R = F \ G, такое, что: (1) если
элемент х содержится в F, но не содержится в G, то х содержится в R;
(2) никаких других элементов в R нет.
d. Если H W, то разность W \ H называется дополнением множества H до
С
D
F
D
G
множества W.
15. Некоторые свойства объединения и пересечения множеств:
А А=А
А А=А
А
=А
А
=
А В=В А (коммутативность операции объединения)
А В=В А (коммутативность операции пересечения)
(А В) С = А (В С) (ассоциативность операции объединения)
(А В) С = А (В С) (ассоциативность операции пересечения)
16. Классификация – представление множества в виде объединения непустых попарно не пересекающихся подмножеств.
Тренировочные задания по теме 2.1.
1. L – множество букв, из которых состоит слово «анаконда». Какова численность
элементов множества L?
2. H – множество букв, из которых состоит слово «канон». Сравните численности
множаеств H и множества L (из предыдущего задания).
3. Всегда ли выполняется соотношение |A B| = |A| + |B| ?
4. Всегда ли выполняется соотношение |A\B| = |A| - |B| ?
5. Из каких элементов состоят следующие множества А и В?
А={x x – животное} {x x - хищник}
В={x x – животное} {x x - хищник}
6. А – множество всех белок, бегающих по Академгородку в данный момент времени;
В – множество млекопитающих, населяющих Землю в данный момент времени.
Каковы элементы множества А\В?
7. А – множество людей, присутствующих сейчас в данной аудитории, В – множество
студентов Оксфордского университета. Каковы элементы множества А\В?
8. Группа, состоящая из 20 человек, отправилась в туристическую поездку. Из них 14
человек знают английский язык, 5 – итальянский, один человек знает оба языка.
Сколько человек не знает ни английского, ни итальянского? Какие операции над
множествами вы использовали для ответа на вопрос?
9. Вспомните какие-либо произведения (проза, стихи, кинофильмы и т.д.), название
которых именует некоторое множество или операцию над множествами. Например,
«Трое в лодке, не считая собаки»: А – люди, В – собаки, С – находящиеся в лодке,
(А В) С – люди и собаки, находящиеся в лодке; С \ В = 3.
10. Лингвист анализировал текст, состоящий из 100 предложений. В каждом предложении было хотя бы одно из местоимений «я» или «ты». Всего в тексте встретилось 60 местоимений «я» и 50 «ты». Известно, что ни в одном предложении ни одно из этих местоимений не встречается более одного раза. Сколько предложений
содержат и то, и другое местоимение? Сколько предложений содержат «я», но не
содержат «ты»? Какие операции над множествами вы использовали для ответа на
вопрос?
11. Анаграмма – это перестановка букв или звуков определѐнного слова (или словосочетания), дающая в результате другое слово или словосочетание. Например,
вертикаль – кильватер, апельсин – спаниель, старорежимность – нерасторжимость,
австралопитек – ватерполистка, покраснение – пенсионерка, равновесие –
своенравие, стационар – соратница, обезьянство – светобоязнь, антиквар –
травинка, истопник – синоптик. Можно ли, воспользовавшись понятием «множество», точно определить, что такое «анаграмма»?
12. Пусть U – множество всех студентов нашего университета, α – свойство «быть
студентом 2-го курса», β – свойство «быть спортсменом», А – множество всех студентов 2-го курса, В – множество всех спортсменов. Каковы элементы множеств А
и В ? Какую классификацию множества U задают свойства α, β (см. рисунок)?
13. Как записать следующие соотношения: «Объект d не является элементом множества, являющегося пересечением множеств А и В», «Дополнение множества А до
универсального множества U является собственным подмножеством объединения
В и С»?
14. Какие из следующих соотношений верны?
с {а,в,с}
d {а,в,с}
{а,в,с} {а,в,с}
{а,в,с} {а,в,с}
{а,в} {а,в,с}
с {в,{с}}
{с} {в,{с}}
Тема 2.2. Отношения и функции
Упорядоченный набор элементов. Декартово произведение множеств. Понятие бинарного
отношения, свойства бинарных отношений. Отношения эквивалентности, толерантности,
строгого и нестрогого порядка. Понятие функции. Матрицы. Матричный способ изображение бинарного отношения. Понятия графа, виды графов. Некоторые проблемы теории
графов. Изображение бинарного отношения с помощью графа.
Словарь терминов и обозначений по Теме 2.2
1. Упорядоченный набор, состоящий из N элементов, обозначается так: а1,а2,...,аN ,
а,в – упорядоченная пара элементов. Если а в, то а,в в,а
2. Пусть М, Q – некоторые множества; D - множество, состоящее из всевозможных
упорядоченных пар х,у , где х – любой элемент из М, у – любой элемент из Q.
Множество D, определѐнное таким образом, называют декартовым произведением множеств М, Q и обозначают D=М Q.
3. Декартовым произведением множеств М1, М2,…, МN называется множество DN,
состоящее из всевозможных упорядоченных наборов вида х1,х2,…,хN , где х1 М1,
х2 М2,…, хN МN. Обозначение: DN=М1 М2 М3 … МN.
4. Бинарным (двухместным) отношением между элементами множеств М и Q называется любое подмножество R множества D=М Q. Вместо х,у R можно писать
хRу. Если х,у R, то говорят, что соотношение хRу не выполнено. Например, отношение именования R можно определить так: М – множество имѐн, Q – множество людей, хRу тогда и только тогда, когда х,у М Q и х является именем для у.
5. Если М=Q, то R называется бинарным отношением на множестве М. Например,
отношение родства Р можно определить так: М – множество людей, хРу выполнено
тогда и только тогда, когда х,у М М и человек х состоит в родстве с человеком у.
6. Некоторые из возможных свойств отношений:
a. Рефлексивность. Если для любого х М выполняется хRх, то отношение R
рефлексивно. Например, отношения «равно», «одновременно» рефлексивны.
b. Антирефлексивность. Если для любых х,у М из соотношения хRу следует,
что х у, то отношение R антирефлексивно Например, отношения «больше», «меньше» антирефлексивны.
c. Симметричность. Если для любых х,у М из соотношения хRу следует, что
уRх, то отношение R симметрично. Например, отношения «родственник»,
«сосед» симметричны.
d. Антисимметричность. Если для любых х,у М из соотношений х у и хRу
следует, что уRх не выполнено, то отношение R антисимметрично. Например, отношения «больше или равно», «меньше или равно» антисимметричны.
e. Асимметричность. Если для любых х,у М хотя бы одно из соотношений
хRу или уRх не выполнено, то отношение R асимметрично. Например, отношения «больше», «меньше» асимметричны. Асимметричное отношение
всегда антирефлексивно.
f. Транзитивность. Если для любых х,у М из соотношений хRу и уRz, всегда
следует соотношение хRz, то отношение R транзитивно. Например, отношения «больше», «меньше», «больше или равно», «меньше или равно»
транзитивны.
g. Антитранзитивность. Если для любых х,у М из соотношений хRу и уRz,
всегда следует, что хRz не выполнено, то отношение R антитранзитивною
Например, отношение «на единицу больше» антитранзитивно.
h. Если отношение R рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется эквивалентностью. Эквивалентность есть отношение одинаковости
объектов (с определѐнной точки зрения). Например, в системе муниципальных корон, принятой Геральдическим Советом при Президенте РФ в 2005 г.
(см. таблицу), отношение «х и у являются гербами одного и того же типа населѐнного пункта», заданное на множестве всех гербов Российской Федерации, есть эквивалентность.
i. Отношение R называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично. Толерантность есть отношение сходства или смежности объектов
(с определѐнной точки зрения). Например, на приведѐнном ниже рисунке
День и ночь Мориса Корнелиуса Эшера каждая белая птица похожа на соседнюю с ней, но не тождественна ей, поэтому при продвижении взгляда
влево можно заметить, что белые птицы постепенно превращаются лишь в
фон для птиц серого цвета.
7. Отношение R называется отношением строгого порядка, если оно асимметрично,
антирефлексивно и транзитивно. Например, отношения «больше», «меньше». Отношение «х является сыном у-а», заданное на множестве потомков Вильгельма I
Завоевателя (см. приведѐнное ниже генеалогическое древо английских королей),
есть отношение строгого порядка.
8. Отношение R называется отношением нестрогого порядка, если оно антисимметрично, рефлексивно и транзитивно. Например, отношения «больше или равно»,
«меньше или равно».
9. Пусть R – некоторое бинарное отношение. Отношение S называется обратным отношением, если хRу выполнено тогда и только тогда, когда выполнено уSх. Пример: конверсия (отношение «читать» является обратным к отношению «быть читаемым»).
10. Функция f есть бинарное отношение, заданное на множестве X Y) (т.е. множество
упорядоченных пар <x,y> X Y), такое, что для любого x X существует единственный элемент y Y такой, что <x,y> f . Пример такого отношения приведѐн на
следующем рисунке. Множество X называется областью определения функции f ,
а множество Y – областью значений функции f . Обозначение: f(x)=y. Переменную
х называют независимой переменной (или аргументом), переменную y – зависимой переменной.
Y
X
11. Два множества А и В, на первом из которых задано отношение R, а на втором – S
называются изоморфными, если существует взаимно-однозначная функция f с областью определения А и областью значений В, сохраняющая данное отношение, то
есть (1) для любых х,у А, связанных отношением R, соответствующие им
элементы из В связаны отношением S, и наоборот: (2) для любых g,h В, связанных
отношением S, соответствующие им элементы из А связаны отношением R. Например, местность и карта этой местности, на которых заданы отношения «река х
вдвое длиннее реки y» или «город х в два раза ближе к морскому побережью, чем
город y» изоморфны.
12. Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что она имеет размеры
m n. Матрица размера n n называется квадратной.
13. Матричный способ задания бинарного отношения. Пусть М – множество мощности n, R – заданное на М бинарное отношение. Перенумеруем элементы М посредством целых чисел от 1 до n. Построим квадратную таблицу с n строками и n
столбцами. Пусть х,у М и х – элемент с номером i, у – элемент с номером j. Построим матрицу, задающую отношение R. На пересечении i-й строки и j-го столбца
поставим 1, если соотношение хRу выполнено, и 0, если соотношение хRу не выполнено. i-ая строка и i-ый столбец будут характеризовать i-й элемент множества
М. Например, матрица для множества из четырѐх элементов будет иметь такой вид:
14. Задание бинарного отношения в виде графа. Пусть М – конечное множество.
Изобразим элементы множества М в виде точек плоскости. Если х,у М, х у и хRу,
то проведѐм стрелку от х к у. Если х М и хRx, то нарисуем петлю, выходящую из х
и входящую в ту же точку. Если отношение симметрично (для любых х,у выполняются отношения хRу и уRх), то иногда удобнее вместо стрелок использовать линии. Такой граф называется неориентированным. В неориентированном графе
линии, соединяющие вершины, называют рѐбрами. Граф, соответствующий несимметричному отношению (в котором вершины соединены стрелками) называют
ориентированным, а стрелки, соединяющие вершины – дугами. Графы с пометками при вершинах называют помеченными графами. Ниже приведены примеры
различных видов графов.
a. Ориентированные графы с тремя вершинами:
b. Неориентированные графы с тремя вершинами:
c. Неориентированные графы с четырьмя вершинами:
d. Помеченные и непомеченные графы:
15. Путь от вершины х к вершине у - это такая последовательность рѐбер, по которой
можно перейти от х к у. При этом никакое ребро маршрута не встречается более
одного раза. Вершина х называется начальной вершиной пути, вершина у — конечной вершиной. Количество рѐбер, составляющих путь, называют расстоянием
между вершинами х и у
16. Две вершины графа называются связными, если в графе существует путь, в котором одна из этих вершин является начальной, а другая – конечной. Если такого
пути не существует, вершины называются не связаннными.
17. Граф называется связным, если любая пара его вершин — связная. Граф
называется несвязным, если в нем есть хотя бы одна несвязная пара вершин.
18. Цикл - путь, в котором начальная вершина совпадает с конечной.
19. Деревом называется любой связный граф, не имеющий циклов. Дерево может быть
ориентированным или неориентированным.
20. Вершина ориентированного дерева, в которую не входит ни одна дуга, называется
корнем дерева. Вершины ориентированного дерева, у которых нет выходящих дуг,
называются висячими (или терминальными) вершинами или листьями. Ниже
приведены примеры различных видов деревьев.
21. Гипотеза четырѐх красок. Если имеется карта с изображением нескольких стран,
то интересно узнать, сколько понадобится цветов для такой раскраски этих стран,
чтобы никакие две соседние страны не были окрашены в один и тот же цвет. Согласно гипотезе о четырѐх красках предполагается, что любую карту на плоскости
или поверхности шара можно раскрасить только четырьмя красками таким образом, чтобы никакие две смежные страны не были одного и того же цвета. Каждая
страна должна состоять из одной связной области, а смежными называются страны, которые имеют общую границу в виде линии (а не просто одной общей точки).
Тренировочные задания по теме 2.2.
1. Допустим, что А – множество всех названий городов, В – множество всех стран, S
– бинарное отношение «находиться в». Приведите примеры элементов из множества D=А В?
2. Как будет соотноситься с множеством D (из предыдущего задания) множество, состоящее из всех упорядоченных пар х,у , где х А, у В, хSу?
3. Пусть W1, W2, W3, W4, W5 – соответственно множества слов русского, английского,
французского, польского, татарского языков. W=W1 W2 W3 W4 W5 – декартово
произведение заданных множеств. Построен словарь, ставящий в соответствие каждому слову русского языка один из возможных переводов этого слова на каждый
из остальных перечисленных языков. Как с помощью введѐнных ранее понятий
описать состав этого словаря? Можно ли сказать, что построенный словарь – это 5местное отношение М W, состоящее из всех таких наборов х1,х2,х3,х4,х5 , где
хi Wi, i {1,2,3,4,5} и каждое из слов х2-х5 является переводом слова х1 на соответствующий язык?
4. Допустим, что на множестве М задано некоторое бинарное отношение R, R М М.
Какими свойствами может обладать данное отношение?
5. Какими свойствами обладают следующие отношения?
R1: x является столицей страны y
R2: x находится на территории y
R3: x является частью y
R4: x является студентом ВУЗа y
R5: x является преподавателем y
R6: слово x можно составить из букв слова y
R7: человек x такого же роста, как и человек y
6. Какие из следующих отношений являются функциями? Укажите области определения и области значений этих функций.
f(x) – отец х,
f(x) – сын х,
f(x) – дедушка х,
f(x) – дедушка х со стороны матери,
f(x) – старшая дочь х
7. Рассмотрим два варианта одной и той же мелодии, второй из которых получился в
результате переноса первоначальной мелодии на октаву выше. Какой изоморфизм
можно задать на множествах нот, составляющих эти две мелодии?
8. Определим множество М={Россия, США, Франция, Англия}. Перенумеруем эти
элементы в том порядке, в каком они здесь записаны. Рассмотрим отношения R1, R2
и изобразим эти отношения посредством матриц:
хR1у: х больше у по площади,
хR2у: х больше у по численности населения,
Матрица отношения R1
Россия
США
Франция
Матрица отношения R3
Англия
Россия
США
Франция
Англия
Россия
0
1
1
1
Россия
0
0
0
0
США
0
0
1
1
США
1
0
0
0
Франция
0
0
0
1
Франция
1
1
0
0
Англия
0
0
0
0
Англия
1
1
1
0
9. Пятеро молодых людей при встрече обменялись рукопожатиями (каждый с
каждым пожали друг другу руки один раз). Сколько всего рукопожатий было
сделано? Пусть S - отношение «обменяться рукопожатиями». Какими свойствами
это отношение обладает?
10. Ниже приведѐно древо индоевропейской семьи языков. Какие отношения между
языками можно задать на основе информации, представленной на этом древе?
Укажите свойства введѐнных отношений.
11. Есть ли среди изображѐнных ниже графов одинаковые?
12. Задача о Кѐнигсбергских мостах: можно ли обойти все семь мостов города Кенигсберга (ныне Калининграда) таким образом, чтобы по каждому мосту пройти в точности один раз. Задача была поставлена и решена Эйлером в 1736 г. На приведѐнном ниже рисунке изображена схема расположения мостов в Кенигсберге.
13. Задача «Вокруг света» придумана Вильямом Гамильтоном в 1859 г. и состоит в
следующем: найти такой замкнутый путь по рѐбрам изображѐнного ниже многогранника, который проходил бы через каждую вершину ровно один раз.
Тема 3. Элементы комбинаторики
Понятие выборки и виды выборок. Подсчѐт количества элементов выборки.
Словарь терминов и обозначений по Теме 4.
1. Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, причѐм первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, …, kое действие – nk способами. Тогда указанную последовательность действий можно
выполнить n1 n2 … nk способами. Пример: допустим, что в продаже имеются
5 видов тортов и 6 видов пирогов, тогда общее число вариантов покупки двух кулинарных изделий – одного торта и одного пирога – равно 5 6=30.
2. Правило суммы. Пусть требуется выполнить одно из k действий, причѐм первое
действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, …, k-ое действие
– nk способами. Тогда общее число вариантов выполнения одного действия равно
n1 + n2 + … + nk. Пример: допустим, что в продаже имеются 5 видов тортов и 6 ви-
дов пирогов, тогда общее число вариантов покупки одного кулинарного изделия
(торта или пирога) равно 5+6=11.
3. Факториал числа n (обозначается n!, произносится «
») —
произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, то есть
n! = 1 2 3 … n. По определению считается, что 1! = 1; 0! = 1.
4. Выборки. Пусть М – конечное множество, М={х1, х2, …, хn}, М =n. Требуется выбрать из этого множества k элементов. Сколькими способами это можно сделать?
Возможно несколько типов выборок.
a. Выборка с возвращениями и учѐтом порядка (не является подмножеством М). Пусть k – шаг выбора; хk – выбранный на этом шаге элемент, 0 k
n. Повторения разрешены, значит, в каждой позиции можно выбрать любой
из n элементов множества М. Общее число вариантов выборки: Sn = nk. Это
схематично изображено в таблице:
Шаг выбора
1
2
3
…..
k
Выбираемый элемент
х1
х2
х3
…
хk
Количество вариантов выбо- n
ра
n
n
…
n
b. Выборка без возвращений с учѐтом порядка (не является подмножеством
М). Повторения не разрешены, значит, на i-м шаге можно выбрать любой
элемент из оставшейся части множества М. Общее число вариантов выборки:
A
n
= n (n - 1) (n - 2) (n - 3) ... (n – k + 1) =
k
n!
(n - k) !
Шаг выбора
1
2
3
…
k
Выбираемый элемент
х1
х2
х3
…
хk
n-1
n-2
…
n–k+1
Количество вариантов вы- n
бора
В случае k = n количество всевозможных перестановок (в разном порядке)
из n разных элементов по n равно n!
Пример: на приѐм к директору пришли 10 человек, а он может принять
только 8 человек. Число способов, которыми пришедшие на приѐм могут
образовать очередь, равно
10!
2!
= 10 9 8 7 6 5 4 3 = 1814400.
c. Выборка без возвращений и без учѐта порядка (является подмножеством
М). Такие выборки называются сочетаниями. В этом случае общее число
вариантов выборки («число сочетаний из n элементов по k элементов») таково:
k
A n
Сn=
k!
=
n!
k ! (n - k) !
d. Выборка с возвращениями и без учѐта порядка (не является подмножеством М). Количество вариантов выборки равно:
~k
k
Сn = Сn+k-1
Итоговая таблица:
Количество вариантов выборки
n – общее число элементов, k – количество элементов в выборке
C учѐтом порядка
С возвращениями
Sn = nk
Без возвращений
k
n!
An = (n - k) !
Без учѐта порядка
~k
k
Сn = Сn+k-1
Сn=
n!
k ! (n - k) !
Тренировочные задания по теме 4.
1. В 1888 г. появились первые фотоаппараты фирмы «Kodak». Основатель компании
Джордж Истман так объяснял происхождение этого слова:
"Я сам придумал это слово. Буква "К" - моя любимая буква алфавита. Она мне
кажется сильной и запоминающейся. Мне пришлось перепробовать множество
комбинаций букв, прежде чем получилось слово, начинающееся и
заканчивающееся на букву "К". И слово "КОДАК" - результат моих попыток".
Сколько комбинаций букв пришлось бы перепробовать Истману при выборе названия своей фирмы, если бы он составлял это название из букв русского алфавита
(количество букв в русском алфавите 33) и хотел придумать слово
А) из 5 букв?
Б) из 6 букв?
В) из 7 букв?
2. Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?
Решение:
3. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика»?
Какой тип выборок здесь будет использован?
4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Пушкина
так, чтобы том 2 стоял рядом с томом 1 и справа от него?
5. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 4 и 7? Используйте при
подсчѐте следующий рисунок.
6. Для проведения письменного экзамена надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта, если считать,
что порядок нумерации вариантов неважен, а также порядок расположения заданий
внутри каждого варианта не имеют значения?
Решение. По правилу произведения получаем:
7
7
C28
C21
C147 C 77
Поскольку порядок расположения вариантов значения не имеет, полученное число
надо разделить на 4! 1
28!
7
7
C28
C21
C147 C 77 =
.
4!
4!(7!) 4
Тема 4. Элементы теории вероятностей
Виды событий: элементарное, сложное; совместимые и несовместимые события; достоверные, практически невозможные, случайные. Вероятность события, таблица вероятностей. Сумма и произведение событий. Правило сложения вероятностей. Правило умножения вероятностей. Условная вероятность события. Теоретико-множественная трактовка
вероятности. Свойства функции вероятности. Математическое ожидание случайного события.
Словарь терминов и обозначений по Теме 4.
1. Вероятность некоторого события равна отношению числа равновероятных исходов,
благоприятных для данного события, к общему числу равновероятных исходов.
Допустим, что n – общее количество испытаний, среди них в m случаях произошло
интересующее нас событие а. Тогда вероятность наступления данного события
равна
Р(а) =
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
n
k
Вероятность события А всегда находится в интервале между 0 и 1: 0 Р(A) 1.
Если результат опыта полностью исчерпывается только каким-либо одним из множества событий, значит эти события элементарны.
Сложное событие – это событие, состоящее из нескольких элементарных (например, «появление букв м или е»)
События несовместимы, если появление одного из них при данном испытании исключает появление другого. В противном случае события совместимы
Если для некоторого А выполнено Р(А) = 0, то А – практически невозможное событие.
Если для некоторого А выполнено Р(А) = 1, то А – достоверное событие.
Если для некоторого А не выполнено ни то, ни другое, то А – случайное событие.
Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в
результате произведѐнного опыта.
Пример. Допустим, что в некотором тексте (не содержащем ошибок и опечаток)
встретилось буквосочетание которо. Проведѐм эксперимент: отгадайте следующую букву текста? Для носителя языка этот вопрос прост: ясно, что в данной позиции правильного русского текста может находиться только одна из букв г, е, й, м.
Каждое из этих событий случайно, так как может произойти, а может и не произойти.
Если проводимый опыт может иметь несколько разных исходов, то ему соответствует таблица вероятностей:
Исходы опыта
А1
А2
…
Вероятности
Р(А1)
Р(А2)
Аk
Р(Аk)
Пример.
Буква, следующая за буквосочетанием которо в правильном
русском тексте
А1: буква г
А2: буква е
А3: буква й
А4: буква м
Вероятности
Р(А1) = 
Р(А2) = 
Р(А3) = 
Р(А4) = 
9. Пусть нас интересует случай, когда выполняется хотя бы один из возможных исходов А или В. Такое событие называется суммой событий А и В, обозначается
А + В.
10. Произведением двух событий А и В называется ситуация, когда выполняются сразу оба события А и В, обозначается АВ.
11. Правило сложения вероятностей.
Если события А и В несовместимы, тогда Р (А + В) = Р (А) + Р (В)
Если события А и В совместимы, тогда Р (А+В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ)
12. Правило умножения вероятностей.
Допустим, что А происходит в m1 из n1 равновероятных исходов первого опыта, а
независимое от него событие В – в m2 из n2 равновероятных исходов второго опыm1
n1
m2
n2
и
та. Тогда вероятность события А и вероятность события В соответственно равны:
Вероятность совместного появления событий А и В такова:
Р (АВ) =
m1
m2
m1 · n1
·
=
n1
n2
n1 · n2
13. Пусть А1, А2, … Аk – все такие события, что при каждом единичном испытании наступает одно и только одно из этих событий. Тогда эти события образуют полную
систему событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему,
равна единице: Р (А1) + Р (А2) + … + Р (Аk) = 1.
14. Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность, которую имеет событие В в том случае, когда известно, что событие А произошло.
Обозначение: РА(В)
15. Если события А и В независимы, то РА (В) = Р(В). Пусть событие А происходит при
n равновероятных исходах опыта, причѐм среди этих исходов в m случаях происходит также и событие В. Тогда
РА (В) =
m
n
Пусть k – общее число равновероятных исходов опыта, с которым связано выполнение событий А и В. Тогда Р(АВ)=Р(А) РА(В). Отсюда следует, что
РА (В) =
P (AB)
P (A)
16. Теоретико-множественная интерпретация вероятности
Пусть Е – полное множество элементарных событий, событием называется любое
его подмножество А Е.
А
Вероятность события Р (А) =
Е
Вероятность достоверного события Р (Е) = 1
Вероятность невозможного события Р ( ) = 0
17. Свойства функции вероятности:
1. Р (А) 0, Р (Е) = 1
2. Р (А В) = Р (А) + Р (В), если А В = (т.е. А и В несовместимые события)
3. Р (А В) = Р (А) + Р (В) – Р (А В)
4. Р (Ā) = 1 – Р (А)
5. Р (А В) = Р (А) · Р (В) (события А и В несовместимы)
6. Р (А В) = Р (А) РА (В)
18. Математическое ожидание случайной величины
х – случайная величина, принимающая конечное число значений: х1, х2,…,хn.
Среднее значение величины х определяется следующей формулой:
М (х) = х1 · Р (х1) + х2 · Р(х2) + … + хn Р (хn) = Σхi · Р (хi)
Пример. Имеются четыре карточки, на каждой из которых записано одно из чисел
1, 2, 3, 4. Наугад выбирается одна карточка. Среднее значение:
М (х) = х1 Р (х1) + х2 Р (х2) + х3 Р (х3) + х4 Р (х4) = 1  +2  +3  + 4  = 2 
Тренировочные задания по теме 5
1. Имеются два завода, производящих лампочки. Первый выпускает 20% всех лампочек (из них 30% бракованных), второй – 80% (из них 10% бракованных). Какова
вероятность того, что покупатель купит в магазине исправную лампочку?
2. Пусть М - некоторое множество, а М, |М|=n. Требуется выбрать из этого множества наугад один элемент. Если шансы каждого элемента быть выбранным одинаковы, то какова вероятность того, что выбранным элементом окажется а?
3. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков,
делящееся на 3?
4. В зале присутствуют 200 студентов из одного ВУЗа, 250 - из второго, 300 - из
третьего. Какова вероятность того, что студент, с которым Вы случайно заговорили, учится во втором институте?
5. Имеется игральный кубик, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3 (каждое на
двух гранях). Кубик бросают два раза. Случайная величина – получившаяся сумма
очков. Вычислите математическое ожидание для данной случайной величины.
6. Допустим, что слово «азбука» было составлено из букв разрезной азбуки. Затем
карточки с буквами тщательно перемешали, по очереди извлекли 3 карточки и разложили в один ряд. Какова вероятность того, что в результате сложится слово
А) «куб»,
Б) «бак»?
7. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачѐт считается сданным, если даны
ответы хотя бы на 3 из 4-х вопросов билета. Взглянув на первый вопрос, студент
обнаружил, что знает его. Какова вероятность того, что студент сдаст зачѐт? Пусть
А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен; В – событие, заклю-
чающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете. Тогда
Р (В) = 20 / 25 = 4 / 5. Необходимо определить вероятность события Р (А В).
8. Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. Затем шляпы возвращаются наугад.
Найти:
А) вероятность того, что все четверо получат свои собственные шляпы,
Б) вероятность того, что свои шляпы получат в точности 3, 2, 1, 0 человек,
В) среднее значение числа посетителей, которые получат свои собственные
шляпы.
9. Некий человек хочет купить газету стоимостью 5 рублей. В его кармане есть одна
монета 10 рублей и 5 монет по 1 рублю. Продавец газет предложил этому покупателю газету в обмен на 1 монету, вынутую наугад из его кармана.
А. Безобидное ли это предложение и, если нет, то кому оно выгодно?
Б. Как ответить на тот же вопрос при условии, что продавец предложил вынуть
наугад две монеты?
10. Сколько различных билетов с указанием станции отправления и станции назначения можно напечатать для железной дороги, на которой 50 станций?
11. Ёлочная гирлянда состоит из 10 последовательно соединѐнных лампочек, каждая
из которых с вероятностью 0,01 перегорает, а с вероятностью 0,99 - нет. Какова вероятность того, что ни одна лампочка в гирлянде не перегорает?
12. В программе для компьютера, написанной на Турбо Паскале, использована функция Random(x), генерирующая целые случайные числа от 1 до х. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появится число, делящееся на 5, если х=100?
13. Ребѐнок играет буквами разрезной азбуки. Какова вероятность того, что, разложив
в ряд буквы А, З, К, И, Р, Д, Н, П, он составит слово ПРАЗДНИК?
14. Имеется 8 карточек; одна сторона каждой из них чистая, а на другой написаны буквы: И, Я, Л, З, Г, О, О, О. Карточки кладут на стол чистой стороной вверх, перемешивают, а затем последовательно одну за другой переворачивают. Какова вероятность того, что при последовательном появлении букв будет составлено слово
ЗООЛОГИЯ?
15. В некоторой серии денежно-вещевой лотереи на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрѐл 2 билета этой серии. Какова вероятность выигрыша:
А) хотя бы по одному билету;
Б) по первому билету денег, а по второму - вещи?
16. На садовом участке посажены три дерева: вишня, слива, яблоня. Вероятность того,
что приживѐтся вишня, равна 0,7; для сливы и для яблони вероятности прижиться
соответственно равны 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что
А) приживутся ровно два дерева;
Б) приживутся не менее двух деревьев;
В) приживѐтся хотя бы одно дерево?
17. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность,
имея 7 билетов, выиграть:
А) по двум билетам;
Б) по трѐм билетам?
18. У дикорастущей земляники красная окраска ягод доминирует над розовой; этот
признак передаѐтся по наследству. В некоторой популяции земляники вероятность
встретить растение с красными ягодами равна 0,7. Какова вероятность того, что
среди отобранных случайным образом 8-ми растений этой популяции красные ягоды будут иметь:
А) 6 растений;
Б) не менее шести растений?
19. Участник телевизионной игры за правильный ответ на каждый заданный ему вопрос получает пять баллов. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа баллов, которые может получить участник телевизионной игры за правильный
ответ на один вопрос, если имеются два варианта ответов на вопрос и этот участник будет отвечать наугад?
20. Игра состоит в набрасывании колец на колышки? Игрок получает четыре кольца и
бросает по одному до первого попадания на колышек. Вероятность попадания при
каждом бросании равна 0,1. Найти ряд распределения случайной величины Х –
числа неизрасходованных игроком колец.
21. Группа из 11 человек, в том числе Иванов и Петров, располагаются за круглым
столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым будут сидеть 3 человека?
Часть II. Информатика
Тема 5. Алгоритмы и языки программирования
Понятие алгоритма. Виды и свойства алгоритмов. Блок-схема как способ описания алгоритма. Примеры задач, не имеющих алгоритмического решения. Стили программирования. Классификация языков программирования. Примеры алгоритмических и компьютерных моделей некоторых видов интеллектуальной деятельности человека.
Словарь терминов и обозначений по Теме 5.
1. Алгоритм – это точное предписание, которое задаѐт вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного алгоритма исходных данных) и направленный на получение полностью определяемого этим исходным данным результата. (В.А. Успенский, Математический энциклопедический
словарь).
Каждый алгоритм строится в расчѐте на некоторую категорию исполнителей и
описывается на доступном для исполнителя языке, предписывая ему совершить
определѐнную последовательность действий, направленных на достижение указанной цели или решения поставленной задачи. Предполагается, что исполнитель выполняет команды формально, без каких-либо раздумий по их поводу, не вникая в
их содержание.
2. Основные свойства алгоритмов:
• дискретность (представляет собой последовательности раздельных шагов
вычисления),
• детерминированность (исходные данные полностью предопределяют результаты работы алгоритма),
• определѐнность (каждый шаг алгоритма должен быть точно определѐн),
• результативность, или конечность (алгоритм направлен на достижение
определѐнного результата и должен заканчиваться после выполнения конечного числа шагов),
• универсальность, или массовость (алгоритм ориентирован на решение
бесконечного числа однотипных задач).
3. Различие между алгоритмом и исчислением (или дедуктивной системой). В алгоритме переход от каждого предыдущего шага к последующему однозначно определѐн. Исчисление задаѐт множество допустимых возможностей такого перехода.
Исчисление – это конечный список «разрешительных» правил (или правил поро-
ждения, или правил вывода). Пример исчисления – язык пропозициональной логики.
4. Запись алгоритма распадается на отдельные указания – команды (элементарные
законченные действия).
5. Блок – схемы – это графический способ задания алгоритма. Условные обозначения, используемые при построении блок-схем, приведены в следующей таблице.
Начало - конец
Процесс
Ввод-вывод
Типовой процесс
Решение
вие)
(усло-
6. Три основных алгоритмических конструкции: последовательная (линейная),
циклическая, ветвящаяся (условная).
7. Примеры задач, в общем случае не имеющих алгоритмического решения.
a. Задача о замощении. Суть этой задачи такова: дан набор многоугольников,
требуется определить, покрывают ли они плоскость; иными словами, возможно ли покрыть всю плоскость только этими многоугольниками без зазоров и наложений? В качестве многоугольников можно, например, взять
плитки, состоящие из нескольких квадратов, примыкающих один к другому
сторонами. Такие плитки называются «полимино» (на рисунке ниже приведѐн пример одного из вариантов полимино - пентамино), существует игра
под таким названием, похожая на игру «Пазлы» (Puzzle). В 1966 г. американский математик Роберт Бергер показал, что ответ на поставленный выше
вопрос в общем случае отрицателен.
b. Вычисление совершенных чисел. Совершенные числа – это числа, которые равны сумме своих делителей, например: 28 = 1+2+4+7+14. Определим
функцию S(n) = n-ое по счѐту совершенное число. Задача состоит в том,
чтобы вычислить S(n) по произвольно заданному n. Общего метода вычисления совершенных чисел нет.
8. Пример использования алгоритмических описаний в филологии. Фактически
Владимир Пропп в своей книге «Морфология волшебной сказки» предложил алгоритм описания содержаний волшебных сказок. В Университете Брауна (США)
алгоритм, описанный В. Проппом, был реализован в виде компьютерной программы генерации сказок (digital propp). Эта программа доступна в режиме онлайн на
следующем сайте (на этом сайте можно прочитать статьи о принципах работы генератора и попробовать сгенерировать сказку в режиме онлайн):
http://www.brown.edu/Courses/FR0133/Fairytale_Generator/home.html
9. Язык программирования – формальная знаковая система, используемая для описания алгоритмов, исполнителем которых является компьютер. Количество таких
языков очень велико (исчисляется тысячами) и постоянно увеличивается. Например, на сайте The Encyclopedia of Computer Languages (http://hopl.murdoch.edu.au/)
приведѐн список из 8512 языков.
10. Языки программирования различаются по уровням. Уровень характеризует степень
близости языка программирования и машинного языка: чем меньше требуется детализировать описание алгоритма при использовании языка, тем выше этот язык по
своему уровню. Обычно выделяют три уровня языков программирования: машинные языки (низший уровень), машинно-ориентированные (ассемблеры), машинно-независимые (языки высокого уровня). Чем выше уровень языка, тем этот
язык ближе к естественной для человека форме описания.
11. Языки высокого уровня подразделяются на группы в зависимости от того, какой
стиль программирования они позволяют реализовать. Стили программирования:
• Процедурное (императивное) программирование. Программа указывает
алгоритм исполнения и состоит из последовательности операторов (инструкций), задающих действия, которые должен выполнить компьютер. Примеры
языков этого типа: Ada, Basic, Си, КОБОЛ, Фортран, Модула-2, Pascal, ПЛ/1.
В случае декларативного программирования (в основном значении данного термина) программа описывает
нечто, а не как его создать (во своѐм втором значении этот термин охватывает функциональное и логическое
программирование как противопоставляемые императивному). Пример: язык
HTML, описывающий, что содержит веб-страница, а не как еѐ отобразить на
экране монитора.
• Функциональное программирование. В отличие от императивных языков,
программа на таком языке не представляют собой последовательность инструкций, она определяют что надо вычислить (какие функции), а не как это
надо делать. Примеры: XQuery, Haskell, LISP, Scheme.
• Логическое программирование. Языки такого типа также определяют, что
надо вычислить, а не как это надо делать. Программа специфицирует факты,
на которых основывается алгоритм, и определяет отношения между объектами. Центральным понятием в логическом программировании является отношение. Примеры: Prolog, Planner, Mercury, Oz, Fril, QLISP.
• Объектно-ориентированное программирование. Центральное понятие – не
отношение, а объект. Языки этого типа первоначально предназначались для
реализаций функций машинной графики, характеризуются богатыми графическими возможностями. Например, C++, Java, Visual Basic , Delphi, Simula,
Object Pascal, Perl, PowerBuilder, Python, JavaScript.
Языки высокого уровня также можно упорядочить в зависимости от их близости к
естественному для человека описанию: самый низкий уровень имеют процедурные
языки, затем – функциональные и логические языки.
12. Примеры онлайновых программ, реализующих алгоритмы моделирования интеллектуальных видов деятельности человека.
a. Анализаторы текста:
Автоматическая обработка текста (морфологический и синтаксический анализ, автоматический перевод: http://www.aot.ru/
Автоматический морфологический анализ: http://starling.rinet.ru/morph.htm
Синтаксический анализ произвольного текста английского языка (Link
Grammar Parser): http://www.link.cs.cmu.edu/link/
b. Автоматическое
определение
функционального
стиля
текста:
http://teneta.rinet.ru/hudlomer/,
http://www.textology.ru/web.htm
c. Идентификация языка:
http://odur.let.rug.nl/~vannoord/TextCat/Demo/,
http://www.fuzzums.nl/talenknobbel/index.php ,
http://nlp.petamem.com/en/langident.cgi
d. Программы-собеседники (chatterbot, чаттербот), виртуальные личности:
Тест Тьюринга: http://www.turinghub.com/
Loebner Prize (премия Лѐбнера, даѐтся победителю соревнования программ в
прохождении
теста
Тьюринга):
http://www.loebner.net/Prizef/loebnerprize.html
Тест «Машинный перевод или Платонов?»:
http://reverent.org/ru/machine_translation_or_platonov.html
Маленький говорящий робот (английский язык): http://www.elbot.com/
Он же на немецком языке: http://www.elbot.de/
Jabberwacky (настраиваемые эмоции и реакции):
http://international.jabberwacky.com/
Алиса и капитан Кирк:
http://www.pandorabots.com/pandora/talk?botid=f5d922d97e345aa1
Статьи раздела «Всѐ о программах-собеседниках»
http://netnotes.narod.ru/talkerus/index.html, на русском языке)
e. Некоторые переводчики текстов, работающие в режиме онлайн:
ПРОМТ: http://www.translate.ru/text.asp?lang=ru
Smartlink Corp: http://translation.imtranslator.net/
Babel Fish, используют SYSTRAN): http://babelfish.altavista.com/
СОКРАТ: http://online.perevodov.net/Perevodov.net/onlinedictionaries/socrat.php4
WorldLingo:
http://www.worldlingo.com/en/products_services/worldlingo_translator.html
Перекладачка (Украина): http://pere.org.ua/cgibin/pere.cgi?han=view&wht=text&lng=uk-ua
COGNITIVE TRANSLATOR: http://cs.isa.ru:10000/
SDL Trados, технология Translation Memory: http://www.freetranslation.com/
Переводчик на основе системы "ПРОМТ":
http://infinit.reverso.net/traduire.asp
TRIDENT: http://www.trident.com.ua/
Пролинг: http://www.prolingoffice.com/page.aspx?l1=28
Перевод текста и словари: http://translito.com/ru/translators/French-Russian
InterTran: http://intertran1.tranexp.com/Translate/result.shtml
Тренировочное задание по теме 5.
Основные выводы В. Проппа можно кратко сформулировать в виде следующих положений.
I. Все волшебные сказки однотипны по своему строению.
II. Постоянными, устойчивыми элементами сказки служат функции действующих
лиц, независимо от того, кем и как они выполняются. Они образуют основные составные части сказки.
III. Число функций, используемых в волшебной сказке, ограниченно.
IV. Последовательность функций всегда одинакова, но не все сказки используют все
функции.
Познакомьтесь с краткими описаниями параметров волшебных сказок (см. таблицу
ниже), выберите определѐнное их подмножество, постройте блок-схему порождения получившегося у вас сюжета сказки и сгенерируйте саму сказку, воспользовавшись указанным выше онлайновым генератором digital propp.
№
Функции действующих лиц
Определение функции
Завязка сказки
Один из членов семьи отлучается из дома
К герою обращаются с запретом
Запрет нарушается. В сказку вступает новое лицо – антагонист
героя (или вредитель).
4. Антагонист пытается произвести разведку. Выведывание может иметь целью узнать местопребывание детей, иногда драгоценных предметов и пр.
5. Антагонисту даются сведения о его жертве
6. Антагонист пытается обмануть свою жертву, чтобы овладеть
ею или ее имуществом. Он принимает чужой облик. Затем следует и самая функция, каковая выполняется путем уговоров, например, ведьма предлагает принять колечко, применения волшебного средства, например, мачеха дает пасынку отравленные
лепешки и т.д.
7. Жертва поддается обману и тем невольно помогает врагу.
Например, герой соглашается на все уговоры антагониста. Частный случай - обманный договор : "Отдай то, чего в доме не знаешь".
8. Антагонист наносит одному из членов семьи вред или ущерб
8а Одному из членов семьи чего-либо не хватает, ему хочется
иметь что-либо
9. Беда или недостача сообщается, к герою обращаются с
просьбой или приказанием, отсылают или отпускают его. Эта
функция вводит в сказку героя. Например, клич о помощи
(обычно исходящий от царя и сопровождаемый обещаниями), за
которым следует отсылка героя.
10. Искатель соглашается или решается на противодействие
1.
2.
3.
11. Герой покидает дом. Эта отправка представляет собою нечто
иное, чем временная отлучка (см. выше). Иногда пространственное перемещение героя отсутствует.
Ход действия
В сказку вступает новое лицо: даритель или, точнее, снабдитель.
Обозначение
отлучка
запрет
нарушение
выведывание
выдача
подвох
пособничество
вредительство
недостача
посредничество
или соединительный момент
начинающееся
противодействие
отправка
Обычно оно случайно встречено в лесу, на дороге и т.д. От него
герой получает некоторое (волшебное) средство, которое позволяет впоследствии ликвидировать беду.
12. Герой испытывается, выспрашивается, подвергается нападению и пр., чем подготовляется получение им волшебного
средства или помощника
13. Герой реагирует на действия будущего дарителя
14. В распоряжение героя попадает волшебное средство
15. Герой переносится, доставляется или приводится к месту нахождения предмета поисков
16. Герой и антагонист вступают в непосредственную борьбу
17. Героя метят. Например, герой получает кольцо.
18. Антагонист побеждается
19. Начальная беда или недостача ликвидируется
20. Герой возвращается
21. Герой подвергается преследованию
22. Герой спасается от преследования
23. Герой неузнанным прибывает домой или в другую страну
24. Ложный герой предъявляет необоснованные притязания. Если герой прибывает домой, то притязания предъявляют братья.
Если он служит в ином царстве, их предъявляют генерал, водовоз и др.
25. Герою предлагается трудная задача
26. Задача решается
27. Героя узнают. Он узнается по отметке, по клейму (рана, звезда)
по предмету (колечко, полотенце), решению трудной задачи. В
этом случае узнавание – функция, коррелирующая с клеймением,
с отметкой.
28. Ложный герой или антагонист изобличается
29. Герою дается новый облик
30. Враг наказывается
31. Герой вступает в брак и воцаряется. Иногда герой вместо руки
царевны получает денежную награду или компенсацию в иных
формах.
первая функция
дарителя
реакция героя
снабжение, получение волшебного средства
пространственное
перемещение между двумя царствами или путеводительство
борьба
клеймение или
отметка
победа
ликвидация беды
или недостачи
возвращение
преследование
или погоня
спасение
неузнанное прибытие
необоснованные
притязания
трудная задача
решение
узнавание
обличение
трансфигурация
наказание
свадьба
Тема 6. Презентации и постеры
1. Использование программы PowerPoint для подготовки постеров. Научный постер используется для стендового доклада на конференции. Создать постер можно,
например, в программах PowerPoint, Impress, InDesign, QuarkXPress, Pagemaker. В
сети Интернет имеются размеченные заготовки постеров, соответствующие сайты
можно найти, задав поисковое словосочетание poster template (нужный постер открыть в PowerPoint, модифицировать в случае необходимости размеры, заполнить
«пустой» текст и графику реальным содержанием).
2. Некоторые из сайтов, содержащих галереи образцов постеров:
PosrterPresentation.com
(http://www.posterpresentations.com/html/free_poster_templates.html)
PowerPoint templates for scientific research posters
(http://www.postersession.com/templates.php)
PowerPoint templates for posters
(http://groups.ucanr.org/posters/Templates_for_Posters/)
PrintPlace.com (http://www.printplace.com/templates/posters.aspx)
3. При подготовке научного постера рекомендуется организовать его так, чтобы
общая площадь пустого пространства на постере была не менее 35 %, а число слов
не было слишком большим (800 или менее).
Обычно постер содержит следующие разделы: название (1-2 строки), введение
(информация, требующая минимума предварительных знаний, не более 200 слов),
материалы и методы (не более 200 слов), результаты (не более 200 слов), выводы
(около 300 слов), цитируемая литература (не более 10 ссылок), благодарности
(личные и организациям, не более 40 слов), контактная информация (около 20
слов).
Рекомендуется: не использовать трудно воспринимаемые заголовки с кавычками и
заголовки в стиле предложения (все буквы – заглавные); не делать текстовые поля
шире 40 букв (около 11 слов в строке); избегать блоков текста длиннее, чем 10
предложений; лучше использовать курсив, а не подчѐркивание; блоки предложений
предпочтительнее оформлять в виде списковой структуры; нежелательно использовать тѐмный фон; осторожно использовать цвета (не забывать, что цвета формата
RGB, в отличие, например, от CMYK, искажаются при печати); текст лучше перемежать иллюстрациями; если есть информация, интересная только для части людей, можно сделать «скрытую часть» (которая становится видимой при отгибании
некоторой части постера). Можно сделать небольшие печатные копии постера для
раздачи.
Тренировочное задание по теме 7.
Познакомиться с указанными выше галереями образцов постеров, разработать на основе
одного из них свой собственный постер по выбранной теме.
Тема 7. Поиск информации и базы данных
Понятие информации. Способы организации, хранения, поиска. Виды поисковых систем.
Возможности семантического поиска информации. Базы данных и базы знаний. Виды баз
данных. Примеры баз данных. Использование для построения реляционной базы данных
программ OpenOffice.orgBase и Microsoft Office Access.
1. База данных (БД) – логически структурированный организованный в соответствии
с определѐнными правилами набор данных, хранящийся и обрабатываемый в вычислительной системе.
2. Виды баз данных:
a. картотеки,
b. иерархические (часто изображаемы в виде дерева с объектами разных уровней),
c. сетевые (в отличие от иерархических здесь возможны циклы),
d. реляционные (двухмерные таблицы типа «сущность – еѐ атрибуты», это
наиболее популярный вид БД),
e. многомерные (пост-реляционные, вместо двухмерных используют многомерные массивы),
f. объектно-ориентированные (данные представлены в виде объектов разных
классов).
4. Примеры лингвистических баз данных:
http://ruscorpora.ru - Национальный корпус русского языка
http://www.philol.msu.ru/~lex/corpus/ – корпус текстов русских газет конца ХХ
в., содержит тексты общим объемом более 200 тыс. словоупотреблений (сайт
лаборатории общей и компьютерной лексикологии и лексикографии МГУ)
http://www.sfb441.uni-tuebingen.de/b1/rus/korpora.html – Тюбингенские корпусы
русских текстов (Институт славистики Уппсальского университета): современные тексты (публицистические и художественные), литература XIX, XX вв.
http://www.ling.helsinki.fi/projects/hanco/ – Hanco (Хельсинкский аннотированный корпус русского языка)
http://starling.rinet.ru/cgi-bin/main.cgi?flags=wygnnnl – перечень баз данных по
разным языкам,.
http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/resolveform?lang=Latin – PERSEUS (словарь/корпус латинского языка)
http://titus.uni-frankfurt.de/indexe.htm – TITUS (текстовые и языковые материалы
по индоевропейским языкам, Франкфурт)
http://starling.rinet.ru/descrip.php?lan=ru#bases - Вавилонская башня (проект международной этимологической базы данных)
http://www.vifaost.de/fachdatenbanken/ru/ – специализированные базы данных
"Язык и литература Восточной Европы"
http://cfrl.ru/cfrl-root0.html - Машинный фонд русского языка
http://aclweb.org/aclwiki/index.php?title=Corpora – разные виды корпусов для
многих языков
http://smalt.karelia.ru/ - Информационная система «Статистические методы анализа литературного текста»
Тренировочное задание по теме 7.
1. Какие атрибуты (признаки) объектов должны быть отражены в базе данных, описывающей хобби студентов, если эта база данных позволяет получать ответы на
вопросы следующих типов: Каков возраст студентов, увлекающихся пением? Кто
из студентов занимается шахматами? Студенты каких факультетов не принимали
участия ни в каких спортивных соревнованиях? Какие спортивные секции посещают студенты?
2. Спроектируйте базу данных, содержащую следующую информацию (определите,
какие таблицы и связи между таблицами должны быть в базе данных):
А) Теннисный матч, турнир, первый игрок, второй игрок, время матча, победитель
матча, название турнира, место проведения турнира, имя игрока, страна игрока,
рейтинг игрока.
Б) Песня, имя автора, имя исполнителя, место исполнения, вид исполнителя (певец/группа), название песни, адрес автора, автор текста песни, исполнение, автор
музыки песни, время исполнения, исполнитель, телефон автора, исполняемая песня.
3. Спроектируйте многотабличные базы данных для следующих предметных областей:
a. БИБЛИОТЕКА. (База данных должна содержать информацию о книгах, читателях, библиотекарях.)
b. ГОРОДСКАЯ ТЕЛЕФОННАЯ СЕТЬ. (База данных должна содержать информацию об абонентах, оплате переговоров, тарифах.)
a. ШКОЛЬНОЕ РАСПИСАНИЕ. (База данных должна содержать информацию
об уроках, классах, преподавателях.)
b. ПРЕДПРИЯТИЕ ТОРГОВЛИ. (База данных должна содержать информацию
об отделах, товарах, продавцах.)
c.
4. Допустим, у Вас имеется база данных, состоящая из одной таблицы со следующей
структуры: название песни, имя автора текста, имя автора музыки, дата сочинения
текста, дата сочинения музыки, жанр. Как выбрать из этой базы данных
a. названия всех тех (и только тех) песен, для которых Иванов выступил хотя
бы в одной из двух ролей: автора текста или автора музыки? (Определите
запрос в режиме дизайна)
b. названия всех тех (и только тех) авторов текста, которые в 2007 году сочинили хотя бы одну колыбельную песню на музыку Иванова? (Определите
запрос в режиме мастера)
c. имена всех тех (и только тех) исполнителей, которые в 2007 году на концерте в Останкино спели хотя бы одну песню на музыку Иванова? (Нарисуйте
схематично вид экрана при определении запроса в режиме дизайна)
13. Допустим, у Вас имеется база данных, состоящая из одной таблицы следующей
структуры: теннисный матч, название турнира, имя победившего игрока, имя проигравшего игрока, время матча. Как выбрать из этой базы данных
a. имена всех тех (и только тех) игроков, которые победили Иванова хотя бы в
одном матче Кубка Кремля в 2007 году? (Определите запрос в режиме дизайна)
b. имена всех тех (и только тех) игроков, которые участвовали в матчах, проводившихся не позднее 2007 года и являлись в них победителями? (Определите запрос в режиме мастера)
14. Допустим, Вам нужно создать базу данных, состоящую из одной таблицы следующей структуры: название песни, имя исполнителя, имя автора текста песни, имя автора музыки песни, место исполнения, время исполнения.
a. Опишите кратко, как создать такую таблицу (одним из возможных способов) и как еѐ заполнить.
b. Как добавить к уже имеющейся таблице столбец, содержащий информацию
о длительности исполнения песни?
c. Как выбрать из этой базы данных названия всех тех (и только тех) песен, для
которых Иванов выступил хотя бы в одной из трѐх ролей: исполнителя песни, автора текста, автора музыки? Нарисуйте схематично вид экрана при определении запроса.
5. Контрольные материалы
Контрольная работа по модулю 1.
Проанализируйте логическую структуру следующих предложений из произведения Н.
Макиавелли, Государь. Выделите пропозиции и отобразите связи между ними посредством логики высказываний. Если формула получилась большая, то для выполнения следующей части задания рассматривайте еѐ фрагмент, соответствующий выделенной части
предложения. Постройте таблицу истинности для получившейся формулы (фрагмента
формулы). Какие возможны эквивалентные преобразования получившейся формулы
(фрагмента формулы) и соответственно синонимические преобразования предложения?
Постройте отрицание формулы (фрагмента формулы), какое преобразование предложения
будет соответствовать этому преобразованию формулы. Если формула содержит импликацию, примените к этой формуле (еѐ фрагменту) закон контрапозиции. Если формула содержит конъюнкцию или дизъюнкцию, то примените к этой формуле (еѐ фрагменту) один
из законов де Моргана.
(в каждом варианте контрольной работы анализируется только одно предложение)
a. Я не заботился здесь ни о красоте слога, ни о пышности и звучности слов,
ни о каких внешних украшениях и затеях, которыми многие любят расцвечивать и уснащать свои сочинения, ибо желал, чтобы мой труд либо остался в безвестности, либо получил признание единственно за необычность
и важность предмета
b. Я не стану касаться республик, ибо подробно говорю о них в другом месте,
я перейду прямо к единовластному правлению.
c. Я не заботился здесь ни о красоте слога, ни о пышности и звучности слов,
ни о каких внешних украшениях и затеях, которыми многие любят расцвечивать и уснащать свои сочинения, ибо желал, чтобы мой труд либо остался в безвестности, либо получил признание единственно за необычность
и важность предмета.
d. Люди, веря, что новый правитель окажется лучше, охотно восстают против старого, и вскоре они на опыте убеждаются, что обманулись, ибо новый правитель всегда оказывается хуже старого.
e. У государя, унаследовавшего власть, меньше причин и меньше необходимости притеснять подданных, почему они и платят ему большей любовью, и
если он не обнаруживает чрезмерных пороков, вызывающих ненависть, то
закономерно пользуется благорасположением граждан.
f. Если кто-нибудь из соседей замышлял нападение, то теперь он проявит
большую осторожность, так что государь едва ли лишится завоеванной
страны, если переселится туда на жительство.
g. Завоеванное и унаследованное владения могут принадлежать либо к одной
стране и иметь один язык, либо к разным странам и иметь разные языки; в
первом случае удержать завоеванное нетрудно, во втором же – поистине
трудно.
h. Живя в стране, можно заметить начинающуюся смуту и своевременно ее
пресечь, иначе узнаешь о ней тогда, когда она зайдет так далеко, что
поздно будет принимать меры.
i. Когда могущественный государь входит в страну, менее сильные государства примыкают к нему, так что ему нет надобности склонять их в свою
пользу, ибо они сами охотно присоединятся к созданному им государству.
j. Если же вместо колоний поставить в стране войско, то содержание его
обойдется гораздо дороже и поглотит все доходы от нового государства,
вследствие этого приобретение обернется убытком; к тому же пострадает гораздо больше людей, так как постои войска обременяют все население, отчего каждый, испытывая тяготы, становится врагом государю, а
также враги могут ему повредить, ибо хотя они и побеждены, но остаются у себя дома.
k. Герцог рассудил, что чрезмерное сосредоточение власти больше не нужно,
ибо может озлобить подданных, и учредил, под председательством почтенного лица, гражданский суд.
l. Герцог обрел собственных солдат и разгромил добрую часть тех войск, которые в силу соседства представляли для него угрозу, чем утвердил свое
могущество и отчасти обеспечил себе безопасность; теперь на его пути
стоял только король Франции.
m. Так прочны были основания его власти, заложенные им в столь краткое
время, что он превозмог бы любые трудности – если бы его не теснили с
двух сторон враждебные армии или не донимала болезнь.
n. Ни в коем случае не следовало допускать к папской власти тех кардиналов,
которые были им обижены в прошлом или, в случае избрания, могли бы бояться его в будущем, ибо люди мстят либо из страха, либо из ненависти.
o. Он ошибся в расчете, ибо если он не мог провести угодного ему человека, он
мог отвести неугодного.
p. Самое же главное для государя - вести себя с подданными так, чтобы никакое событие -- ни дурное, ни хорошее - не заставляло его изменить своего
обращения с ними, так как, случись тяжелое время, зло делать поздно, а
добро бесполезно, ибо его сочтут вынужденным и не воздадут за него благодарностью.
q. Если государь пришел к власти с помощью народа, он должен стараться
удержать его дружбу, что совсем не трудно, ибо народ требует только,
чтобы его не угнетали.
r. Тому, кто приходит к власти с помощью знати, труднее удержать власть,
так как если государь окружен знатью, которая почитает себя ему равной, он не может ни приказывать, ни иметь независимый образ действий.
s. Государь не волен выбирать народ, он волен выбирать знать, ибо его право
карать и миловать, приближать или подвергать опале.
t. Народ, на худой конец, отвернется от государя, тогда как от враждебной
знати можно ждать не только того, что она отвернется от государя, но
даже пойдет против него, ибо она дальновидней, хитрее, загодя ищет путей к спасению и заискивает перед тем, кто сильнее.
Самостоятельная тренировочная работа по темам 2, 3.
1. Определим следующие множества:
А={х | х – студенты НГУ}
В={у | у – студенты Оксфордского университета}
С={z| z – сотрудники НГУ}
Будем считать, что среди студентов НГУ нет студентов Оксфордского университета, но
некоторые студенты НГУ являются одновременно сотрудниками НГУ
Постройте множества:
1. А\В
2. В\А
3. А\С
4. В\(С В)
5. В А
6. А В С
7. А В С
8. Ā
2. Рассмотрим множества из предыдущего задания. Какие из следующих соотношений верны?
1. А В
2. В А
3. (А С) В
4. В\С В)
5. (В А) С
6. (А В) С
7.
8. (А В С) Ā
(А В С) Ā
3. На множестве С заданы бинарные отношения S и R:
a. х связан отношением S с у тогда и только тогда, когда х прописан по тому
же адресу, что у
b. х связан отношением R с у тогда и только тогда, когда х может ездить на работу тем же транспортом, что и у
Являются ли отношения S и R рефлексивными, симметричными, транзитивными?
4. Сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторений букв можно составить из 32 букв русского алфавита? По данным четырехтомного «Словаря русского языка» (М., 1957–1961) только 114 таких сочетаний выступает в качестве самостоятельных слов (имена собственные, сокращения, архаизмы и диалектные
слова при этом не учитываются). Какова вероятность того, что наугад взятое сочетание из двух разных букв русского алфавита окажется словом?
5. Последовательно случайным образом выбираются буквы русского алфавита. Буквы
складываются рядом в линию в том же порядке, в каком выбираются. Возможен
повторный выбор одной и той же буквы. Какова вероятность того, что в результате
сложится слово комбинаторика?
6. Энциклопедия состоит из 10 томов — с 1-го по 10-й. Эти книги раскладывают на
книжной полке. Какова вероятность того, что книги расположатся в беспорядке, то
есть так, что хотя бы один том не следует непосредственно за томом, номер которого на 1 меньше?
Контрольная работа по модулю 2.
Данная контрольная работа предполагает подготовку по одному и тому же типовому шаблону не повторяющихся вариантов заданий. Количество разных заданий равно количеству
студентов. Это достигается благодаря тому, что все семь заданий, составляющих один вариант (предназначенный для одного студента), ориентированы на анализ определѐнного
текста. Для каждого варианта используется свой текст. В качестве текстов выбираются
различные (короткие) последовательности цифр или символов. Например, числа, пословицы и поговорки на разных языках. Поскольку ответы сильно зависят от анализируемого
текста, решения заданий одного варианта нельзя механически перенести на другой вариант.
Примеры типовых заданий.
I. В заданиях 1-7 используйте числа 653258, 69708, 717 и универсум
Е= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 .
1. Постройте множество А, состоящее из всех цифр, образующих запись этих трѐх
чисел, и не включающее никаких других символов.
2. Постройте следующие множества:
a. А {1,2,3,4,5,6}
b. А {1,2,3,4,5,6}
c. А\{1,2,3,4,5,6}
d. Ā
3. Изобразите операции из задания 2 с помощью кругов Эйлера (для каждой операции нарисуйте отдельный рисунок и закрасьте на нѐм область, получающуюся в результате данной операции).
4. На множестве Е определим бинарное отношение хSу, понимаемое так: «цифры
х и у обе встретились в записи одного и того же числа» (имеются в виду только
три числа, названные выше). Обладает ли это отношение свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности? Если оно не обладает каким-то из
перечисленных свойств, то продемонстрируйте это, приведя конкретный пример нарушения свойства.
5. Является ли отношение S эквивалентностью, толерантностью, отношением
строгого или нестрогого порядка?
6. Изобразите отношение S двумя способами, построив а) граф, б) матрицу данного отношения.
7. Постройте декартово произведение А В, где В= а,в .
II. В заданиях 1-7 используйте текст First come, first served и универсум Е= х х – буква латинского алфавита .
1. Постройте множество А, состоящее из всех букв этого текста и не включающее
никаких других символов.
2. Постройте следующие множества:
a. А {1,2,3,4,5,6}
b. А {1,2,3,4,5,6}
c. А\{1,2,3,4,5,6}
d. Ā
3. Изобразите операции из задания 2 с помощью кругов Эйлера (для каждой операции нарисуйте отдельный рисунок и закрасьте на нѐм область, получающуюся в результате данной операции).
4. На множестве Е определим бинарное отношение хSу, понимаемое так: «буквы
х и у обе встретились в одном и том же слове» (имеются в виду только слова из
приведѐнного в задании текста). Обладает ли это отношение свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности? Если оно не обладает каким-то
из перечисленных свойств, то продемонстрируйте это, приведя конкретный
пример нарушения свойства.
5. Является ли отношение S эквивалентностью, толерантностью, отношением
строгого или нестрогого порядка?
6. Изобразите отношение S двумя способами, построив а) граф, б) матрицу данного отношения.
7. Постройте декартово произведение А В, где В= 1,2 .
III. В заданиях 1-7 используйте текст Дорогу осилит идущий и универсум Е= х х –
буква русского алфавита .
1. Постройте множество А, состоящее из всех букв этого текста и не включающее
никаких других символов.
2. Постройте следующие множества:
a. А {1,2,3,4,5,6}
b. А {1,2,3,4,5,6}
c. А\{1,2,3,4,5,6}
d. Ā
3. Изобразите операции из задания 2 с помощью кругов Эйлера (для каждой операции нарисуйте отдельный рисунок и закрасьте на нѐм область, получающуюся в результате данной операции).
4. На множестве Е определим бинарное отношение хSу, понимаемое так: «буквы
х и у обе встретились в одном и том же слове» (имеются в виду только слова из
приведѐнного в задании текста). Обладает ли это отношение свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности? Если оно не обладает каким-то
из перечисленных свойств, то продемонстрируйте это, приведя конкретный
пример нарушения свойства.
5. Является ли отношение S эквивалентностью, толерантностью, отношением
строгого или нестрогого порядка?
6. Изобразите отношение S двумя способами, построив а) граф, б) матрицу данного отношения.
7. Постройте декартово произведение А В, где В= 1,2 .
Контрольная работа по модулю 3.
Вариант 1.
1. Сколькими способами можно образовать фразу из слов множества А={уже, наступала,
ночь, быстро, зимняя}, используя каждое слово ровно 1 раз, если считать, что при построении фраз можно располагать слова в любой последовательности?
2. Какова вероятность того, что первым во фразе будет слово ночь?
3. Какова вероятность того, что первым словом во фразе будет зимняя, а вторым – наступала?
4. Из множества А произвольным образом выбираются 3 разных слова. Какова вероятность того, что будут выбраны слова наступила, зимняя, ночь (именно в таком порядке)?
5. Производится то же действие, что в предыдущем случае, но порядок выбора слов из
множества А безразличен. Какова вероятность того, что будут выбраны слова наступила,
зимняя, ночь (в любом порядке)?
Вариант 2.
1. Сколько разных 6-значных чисел можно образовать из цифр {1, 5, 3, 7, 8, 2}, используя
каждую цифру ровно 1 раз? Первой цифрой числа не может быть 0.
2. Какова вероятность того, что первой цифрой числа будет 3?
3. Какова вероятность того, что первой цифрой числа будет 7, а второй – 1?
4. Из того же набора цифр случайным образом строится 6-значное число, но каждую цифру можно использовать многократно. Какова вероятность того, что будет построено число
1532?
5. Производится то же действие, что и в предыдущем случае, но порядок цифр в числе не
имеет значения. Какова вероятность того, что построенное число будет состоять из цифр
1,5,5,5?
Вариант 3.
1. Сколькими способами можно образовать последовательность из букв множества А={ф,
р, у, к, т, о, в, ы, й}, используя каждую букву ровно 1 раз, если считать, что буквы могут
располагаться в любом порядке?
2. Какова вероятность того, что первой буквой слова будет о?
3. Какова вероятность того, что первой буквой слова будет к, а второй – ф?
4. Из элементов того же множества А строится последовательность длиной в 5 букв, причѐм одна и та же буква может быть использована неоднократно. Какова вероятность того,
что получится последовательность фрукт?
5. Производится то же действие, что и в предыдущем случае. Какова вероятность того, что
построенная последовательность будет содержать буквы ф, р, у, к, т (в любом порядке)?
Вариант 4.
1. Сколькими способами можно расставить 8 стульев за одним 8-местным столом (использовав все стулья)? Среди стульев нет одинаковых.
2. Известно, что среди расставляемых стульев есть один вертящийся и два с подлокотниками. Какова вероятность того, что вертящийся стул будет поставлен первым по порядку?
3. Какова вероятность того, что первым будет поставлен стул с подлокотниками, а вторым
- вертящийся?
4. Допустим, что в комнату принесли ещѐ 6 разных стульев с подлокотниками. Какова вероятность того, что при расстановке стульев за тем же столом будут использованы все
стулья с подлокотниками (порядок их расстановки имеет значение)?
5. Произведено то же действие, что и в предыдущем случае. Какова вероятность того, что
при расстановке стульев за тем же столом будут использованы все стулья с подлокотниками (порядок их расстановки не имеет значения)?
Вариант 5.
1. Сколькими способами можно распределить 10 разных билетов между 10 людьми, если
каждому человеку давать ровно 1 билет?
2. Известно, что среди билетов есть один билет в оперу и два на балет. Какова вероятность
того, что первым будет отдан билет в оперу?
3. Какова вероятность того, что первым будет отдан билет на балет, а вторым – в оперу?
4. Допустим, что количество людей увеличилось (теперь их 15), а билетов столько же, то
есть билеты достанутся не всем. Какова вероятность того, что один из этих 15 человек
(например, Иванов) получит билет?
5. Какова вероятность того, что Иванову достанется билет на балет?
Вариант 6.
1. Имеется горизонтальная доска объявлений, на которой (в один ряд) можно разместить
ровно 14 объявлений. Сколькими способами можно расклеить на ней 14 объявлений, если
все объявления разные?
2. Допустим, что среди объявлений есть два о продаже земельного участка и три о репетиторстве. Какова вероятность того, что первым слева окажется объявление о продаже земельного участка?
3. Какова вероятность того, что первым слева будет объявление о репетиторстве, а рядом с
ним – объявление о продаже земельного участка?
4. Появилась возможность разместить 5 объявлений в неких печатных изданиях, причѐм
эти объявления не обязательно должны быть разными (например, во всех 5 изданиях может быть напечатано одно и то же объявление). Какова вероятность того, что все напечатанные объявления будут разными?
5. Какова вероятность того, что во всех изданиях будет напечатано одно из имеющихся
объявлений о репетиторстве?
Вариант 7.
1. Каждой из 15 разных книг, стоящих на одной и той же полке, необходимо поставить в
соответствие числовой номер. Номера присваиваются по порядку: 1, 2, 3, 4 и т.д. Сколькими способами можно перенумеровать книги?
2. Допустим, что среди книг имеется 5 томов стихотворений Пушкина и один том произведений Бунина. Какова вероятность того, что первым окажется том Пушкина?
3. Какова вероятность того, что первый номер будет у тома Бунина, а второй – у тома со
стихами Пушкина?
4. На полку добавили ещѐ 5 томов стихотворений Пушкина, но эти книги перенумеровать
не успели. Какова вероятность того, что 3 случайным образом выбранные с полки книги
окажутся пронумерованными (порядок выбора этих книг не важен).
5. Какова вероятность того, что будут выбраны книги с номерами 1,2,3 (причѐм именно в
таком порядке)?
Вариант 8.
1. Сколькими способами можно образовать фразу длиной в 6 слов из элементов множества А={уже, наступала, ночь, быстро, зимняя}, если каждое слово можно использовать
неоднократно и слова во фразе могут располагаться в любой последовательности?
2. Какова вероятность того, что первым во фразе будет слово ночь?
3. Какова вероятность того, что первым словом во фразе будет зимняя, а вторым – наступала?
4. Из множества А произвольным образом выбираются 3 слова (возможен повторный выбор одного и того же слова). Какова вероятность того, что будут выбраны слова наступила, зимняя, ночь (именно в таком порядке)?
5. Производится то же действие, что в предыдущем случае, но порядок выбора слов из
множества А безразличен. Какова вероятность того, что будут выбраны слова наступила,
зимняя, ночь (в любом порядке)?
Вариант 9.
1. Сколько разных 10-значных чисел можно образовать из цифр {1, 5, 3, 7, 8, 2}, если каждую цифру можно использовать многократно? Первой цифрой числа не может быть 0.
2. Какова вероятность того, что первой цифрой числа будет 3?
3. Какова вероятность того, что первой цифрой числа будет 7, а второй – 1?
4. Из того же набора цифр случайным образом строится 6-значное число, но каждую
цифру можно использовать только однократно. Какова вероятность того, что будет построено число 1532?
5. Производится то же действие, что и в предыдущем случае, но порядок цифр в числе не
имеет значения. Какова вероятность того, что построенное число будет состоять из цифр
1,5,5,5?
Вариант 10.
1. Сколькими способами можно образовать 9-буквенную последовательность из букв {ф,
р, у, к, т, о, в, ы, й}, если каждую букву можно использовать неоднократно и буквы могут
располагаться в любом порядке?
2. Какова вероятность того, что первой буквой слова будет о?
3. Какова вероятность того, что первой буквой слова будет к, а второй – ф?
4. Из элементов того же множества А строится последовательность длиной в 5 букв, причѐм одна и та же буква может быть использована только однократно. Какова вероятность
того, что получится последовательность фрукт?
5. Производится то же действие, что и в предыдущем случае. Какова вероятность того, что
построенная последовательность будет содержать буквы ф, р, у, к, т (в любом порядке)?
Примеры заданий для итогового компьютерного тестирования
Часть 1. Пропозициональная логика
1. Отметьте те последовательности символов, которые являются правильными выражениями языка пропозициональной логики: 1) P Q S; 2) P
Q S; 3)
P Q
S; 4) (Q P)
(S P); 5) (P S S)(Q P)
2. Отметьте, какие из приведѐнных ниже выражений пропозициональной логики являются тавтологиями (для выяснения этого вопроса можно построить соответствующие таблицы истинности или воспользоваться известными Вам общезначимыми формулами):
(P Q) ( Q
P)
(A (A B)) A
A A
(A B) B
(A B) B
3. Если известно, что Р – истинное высказывание,Q – ложное высказывание, то какие
из следующих выражений пропозициональной логики будут ложными:
P Q
P Q
P Q
Q P
Q P
4. Выберите (из приводимого ниже списка) формулу, которую можно поставить в соответствие высказыванию «Я не стану касаться республик, ибо подробно говорю о
них в другом месте, я перейду прямо к единовластному правлению» (Н. Макиавелли. Государь). Использованы следующие обозначения пропозиций: Р – я стану касаться республик, Q – подробно говорю о них в другом месте, S – я перейду прямо
к единовластному правлению.
(Q S) P
( P Q) S
(Q
P) S
(P Q) S
5. Рассмотрим другое высказывание: «Он ошибся в расчѐте, ибо если он не мог провести угодного ему человека, то он мог отвести неугодного». Данному высказыванию поставлена в соответствие формула (P Q) S. Какая из следующих пропозиций здесь обозначена через S?
он ошибся в расчѐте
он не мог провести угодного ему человека
он мог отвести неугодного
6. Рассмотрим высказывание: «Если государь пришѐл к власти с помощью народа, он
должен стараться удержать его дружбу». Этому высказыванию поставлена в соответствие формула P Q. Какое из приводимых далее предложений будет соответствовать контрапозиции данной формулы:
Если государь не пришѐл к власти с помощью народа, он не должен стараться
удержать его дружбу
Если государь не должен стараться удержать дружбу народа, то он не пришѐл
к власти с помощью народа
Если государь должен стараться удержать дружбу народа, то он пришѐл к
власти с помощью народа
7. Какие из следующих фраз можно считать синонимичными в соответствии с одним
из законов де Моргана?
Неверно, что этот фильм новый и интересный
Этот фильм не новый и не интересный
Этот фильм не новый или не интересный
Часть 2. Множества, бинарные отношения
1. Даны множества: А={a, b, c}, B={b, d, e, f}. Каков состав элементов следующих
множеств: A B; A B; A\B; В\А?
2. Заданы три множества А={a, b, c}, В={b, f}, С={f, e, h}.Упорядочьте следующие
множества по убыванию их мощности: A B, A B C, A B, A\B.
3. Заданы два непустых множества А и В. Известно, что А В. Чему равно пересечение этих множеств? Выберите нужный вариант из следующих: В, А, A\B, B\A
4. Известно, что декартово произведение множеств А и В таково А В={<a,b>, <a,c>,
<f,c>, <a,e>, <f,b>, <f,e>}. Чему равно множество А?
5. На элементах множества A={□, ◊, ○, ⌂, ∆, O} задано бинарное отношение R такое,
что элемент х связан отношением R с элементом у тогда и только тогда, когда количество углов у элемента х больше количества углов у элемента у. В следующем
списке отметьте те свойства, которыми обладает данное отношение: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность?
6. На множестве А={□, ◊, ○, ⌂, ∆, O} задано отношение Q такое, что элемент х связан
отношением Q с элементом у тогда и только тогда, когда количество углов у элемента х ровно на единицу больше количества углов у элемента у. Пусть G – граф,
задающий отношение Q. Из следующего списка выберите те пары вершин этого
графа, которые будут связаны между собой дугами (неважно, куда направлены
стрелки): ⌂ и □; ○ и ⌂; ∆ и □; ⌂ и ∆
7. Заданы два множества: А={1, 2, 3}, В={4,5,6,7}. В следующем списке отметьте пары, входящие в декартово произведение А В: <1, 2>; <2, 4>; <5, 3>; <3, 7>; <6, 1>
Часть 3: Комбинаторика, теория вероятностей
1. Слово «белка» сложено из букв разрезной азбуки. Буквы этого слова перемешали,
и выбирают случайным образом по одной, снова размещая в ряд слева направо в
том порядке, в каком выбирают. В результате снова получается последовательность из 5 букв. Сколько всего разных последовательностей можно получить таким
образом?
2. Из множества А={□, ◊, ○, ⌂, ∆, } извлекают наугад по одному два элемента. Известно, что первым был извлечѐн пятиугольник. Какова вероятность того, что вторым будет извлечѐн четырѐхугольник?
3. Из множества слов {лиса, лось, медведь, авось, небось} выбирается наугад одно
слово. Найдите следующие вероятности: 1) это слово рифмуется со словом «реветь»; 2) первой буквой этого слова является буква «л»; 3) это слово имеет в своѐм
составе ровно две гласные буквы; 4) в этом слове есть буква «о»
4. Множество А состоит из следующих форм слова кот: кот, коты, котов, котами,
кота, коту, коте, котах. Какова вероятность того, что в наугад выбранном из А
слове х четвѐртая буква будет «а», если известно, что в этом слове х всего четыре
буквы?
5. Сколько существует вариантов решения теста, состоящего из 10 вопросов, если на
каждый вопрос предлагается по 5 вариантов ответа и из этих 5 вариантов нужно
выбрать один?
6. Событие А состоит в том, что первыми четырьмя буквами слова, которое наугад
выбрано из словаря современного русского литературного языка, оказались буквы
книг (именно в такой последовательности). Событие В состоит в том, что пятой буквой слова, наугад выбранного из того же словаря, оказалась буква «е». Какой из
следующих формул соответствует вероятность того, что первыми пятью буквами
слова, наугад выбранного из того же словаря, окажутся буквы книге (именно в такой последовательности)?
6. Вопросы для устного зачѐта
Часть 1. Пропозициональная логика
1. Понятие пропозиции. Соотношения между пропозициями и предложениями естественного языка. Возможность описания смысла предложения естественного языка посредством формулы пропозициональной логики.
2. Синтаксис пропозициональной логики. Семантика пропозициональной логики.
3. Логические функции и их интерпретации. Таблицы истинности. Тождественноистинные формулы.
4. Понятие «возможный мир». Графическая интерпретация логических функций (на кругах Эйлера).
5. Некоторые законы пропозициональной логики. Антецедент и консеквент импликации.
6. Формальное доказательство в пропозициональной логике. Некоторые правила логического вывода (modus ponens , modus tollens, правило подстановки).
Часть 2. Множества, бинарные отношения.
7. Теория множеств: понятие множества, способы задания множеств, типы множеств,
соотношения между
8. множествами. Нечѐткие множества.
9. Универсальное множество. Операции над множествами. Мощность множества. Классификация (свойства классификации, примеры правильных классификаций).
10. Декартово произведение. Определение отношения, бинарные отношения. Свойства
бинарных отношений.
11. Матричный способ задания бинарного отношения.
12. Понятия «граф», «дерево», виды графов (деревьев). Задание бинарного отношения в
виде графа.
Часть 3. Комбинаторика, теория вероятностей.
13. Понятие выборки. Типы выборок. Способы подсчѐта количества вариантов выборок
для трѐх типов выборок (объяснение каждого способа).
14. Базовые понятия теории вероятностей: «элементарное событие», «сложное событие»,
«совместимые события», «несовместимые события», «случайное событие», «досто-
верное событие», «практически невозможное событие». Таблица вероятностей. Сумма
и произведение двух событий. Полная система событий.
15. Правило сложения вероятностей. Правило умножения вероятностей. Условная вероятность события.
16. Теоретико-множественная интерпретация вероятности. Математическое ожидание
случайной величины.
17. Некоторые свойства функции вероятности.
Часть 4. Алгоритмы, презентации
18. Понятие алгоритма. Основные свойства алгоритмов.
19. Примеры алгоритмов, создаваемых и используемых в гуманитарной сфере.
20. Способы описания алгоритмов (проиллюстрировать примером)
21. Тест Тьюринга, обратный тест Тьюринга и его использование в сети Интернет
22. Создание научного постера
Часть 5. Работа с базами данных в OpenOffice.orgBase
23. Какие типы баз данных существуют и как устроена реляционная база данных?
24. Если Вы создаѐте новую базу данных в OpenOffice.orgBase, то в каком случае надо еѐ
регистрировать? Как заполнить данными уже созданную ранее таблицу?
25. Как использовать базу данных, созданную в OpenOffice.orgBase, импортировав еѐ в
текстовый редактор OpenOffice.orgWriter?
26. Создание таблицы в режиме дизайна.
27. Изменение структуры созданной ранее таблицы.
7. Литература по курсу
1. Гладкий А.В. Введение в современную логику: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр.
М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 240 с.
2. Грес П.В. Математика для гуманитариев: [Учеб. пособие для вузов] М.: Юрайт,
2000. 112 с. (http://iboo.ru/3521.htm)
3. Дунаев В.В. Занимательная математика. Множества и отношения. СПб.: БХВПетербург, 2008. 336 с.
4. Жоль К.К. Логика в лицах и символах: учебник для вузов. Изд. 2-е, испр. и доп. М.:
АСТ: Восток-Запад, 2006. 320 с.
5. Золотаревская Д.И. Теория вероятностей. Задачи с решениями: Учебное пособие.
Изд. 6-е. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 168 с.
6. Севастьянов С.В. Компьютерная грамотность для «гуманитариев»: Курс лекций: в
2 ч. Новосибирск: НГУ, 2006. Ч. 1: Основы работы в среде «Windows». 168 с.
7. Успенский В.А. Апология математики: [сборник статей]. СПб.: Амфора, ТИД Амфора, 2010. 554 с.
8. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. 256 с.
Дополнительная литература
1. Бюлент А. Математика и «Мона Лиза». Искусство и наука в творчестве Леонардо
да Винчи. М.: Техносфера, 2007. 304 с.
2. Введение в криптографию. Под ред. В.В. Ященко. Серия «Новые математические
дисциплины». Москва, МЦНМО – ЧеРо, 2000.
3. Искусствометрия: Методы точных наук и семиотики / Сост. и ред. Ю.М. Лотмана,
Послесл. В.М. Петрова. Изд. 2-е, доп. М.: Издательство ЛКИ, 2007. 366 с.
4. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. Пер. с
англ. М.Г. Зайцевой. Под ред. И.М. Яглома. М.: изд. иностр. лит., 1963. 488 с.
5. Очерки истории информатики в России. Антология. / Редакторы-составители Д.А.
Поспелов, Я.И. Фет. Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1998. 664 с. (2-е издание: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 2010 г.)
6. Писаревский Б.М., Харин В.Т. Беседы о математике и математиках. М.: Физматлит,
2006. 208 с.
7. Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? / Пер. с англ., предисл. Ю.А. Данилова. М.: Издательский Дом Мещерякова, 2008. 272 с. (Научные развлечения).
8. Шрейдер Ю.А. Логика знаковых систем: Элементы семиотики. Изд. 2-е. М.: Эдиториал УРСС, 2010. 64 с.
9. Штейнгауз Г. Математика – посредник между духом и материей. Пер. с польск. М.:
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 351 с.
Дополнительная литература для филологов:
1. Арапов М. В. Квантитативная лингвистика. М.: Наука, 1988. 183 с.
2. Арапов М. В., Херц М. М. Математические методы в исторической лингвистике.
М.: Наука, 1974. 168 с.
3. Баранов А.Н. Введение в прикладную лингвистику: [Учеб. пособие]. М. : Эдиториал УРСС, 2001. 358 с. (Новый Лингвистический учебник)
4. Захаров В.П. Информационно-поисковые системы: Учебно-методическое пособие.
– СПб: Издательство СПбГУ, 2005. 48 с.
5. Зубов А.В., Зубова И.И. Информационные технологии в лингвистике: Учебное пособие. М.: Академия, 2004. 208 с.
6. Лагута О.Н., Тимофеева М.К. Национальный корпус русского языка и Интегрум:
итоги и перспективы. // Русский язык в научном освещении. № 2 (14), 2007. С. 113132.
7. Леонтьева Н.Н. Автоматическое понимание текста: системы, модели, ресурсы.
Учебное пособие. М.: Издательский центр «Академия», 2006. 302 с.
8. Марчук Ю.Н. Компьютерная лингвистика: учебное пособие. М.: АСТ: Восток – Запад, 2007. 320 с.
9. Пиотровский Р.Г., Бектаев К.Б., Пиотровская А.А. Математическая лингвистика:
[пособие для педагогических институтов]. Москва, Высшая школа, 1977. 383 с.
10. Прикладное языкознание / Под ред. А.С Герда. СПб., 1996. 528 с.
11. Тимофеева М.К. Язык с позиций философии, психологии, математики. Новосибирск, НГУ, 2007. (М.: Флинта, Наука, 2010)
12. Хроменков П.Н. Современные системы машинного перевода: учеб. пособие. М.:
Изд-во МГОУ, 2005. 159 с.