1 Структурная схема системы автоматического управления

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный университет информатики
и радиоэлектроники»
Кафедра систем управления
А. Т. Доманов, С. В. Лукьянец
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Практикум
для студентов специальности 1-53 01 07 «Информационные технологии
и управление в технических системах»
Минск 2008
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие ................................................................................. Error! Bookmark not defined.
1 Математическое описание звеньев и систем............................................................................4
1.1 Построение структурной схемы .........................................................................................4
1.2 Пример построения структурной схемы подъемно-транспортного механизма
при движении вверх .............................................................................................................5
1.3 Пример построения структурной схемы исполнительного механизма
горизонтальной подачи стола вертикально-фрезерного станка ......................................7
1.4 Преобразование структурной схемы ...............................................................................11
1.5 Основные соотношения в системе автоматического управления .................................16
2 Исследование устойчивости ....................................................................................................21
2.1 Исследование устойчивости по критерию Рауса – Гурвица .........................................21
2.2 Построение области устойчивости ..................................................................................23
2.3 Исследование устойчивости по критерию Михайлова ..................................................25
2.4 Исследование устойчивости по критерию Найквиста ...................................................27
3 Анализ качества ........................................................................................................................36
3.1 Расчет ошибок установившихся режимов при типовых задающих воздействиях ......36
3.2 Пример вычисления коэффициентов ошибки .................................................................36
3.3 Ошибки установившегося режима для типовых систем: ..............................................37
3.4 Учет внешних возмущений ...............................................................................................38
3.5 Повышение точности систем в установившемся режиме ..............................................40
3.6 Анализ качества в переходных режимах .........................................................................43
3.7 Приближенная оценка перерегулирования и времени переходного процесса
по эквивалентной передаточной функции замкнутой системы ....................................43
3.8 Приближенная оценка перерегулирования и времени переходного процесса
по частотным характеристикам ........................................................................................45
3.9 Интегральная квадратичная оценка качества переходных процессов ........................46
4 Уравнения состояния систем ...................................................................................................50
4.1 Получение уравнений состояния в нормальной форме .................................................50
4.2 Получение уравнений состояния в канонической форме ..............................................53
4.3 Исследование управляемости и наблюдаемости САУ ...................................................56
5 Коррекция динамических свойств ..........................................................................................58
5.1 Синтез желаемой передаточной функции .......................................................................58
5.2 Последовательная коррекция ...........................................................................................65
5.3 Корректирующая обратная связь .....................................................................................67
5.4 Параллельная коррекция ...................................................................................................71
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задача практикума – дать студентам в небольшом по объему пособии основные сведения, необходимые в учебной и практической работе по анализу,
расчету и исследованию систем автоматического управления; способствовать
усвоению основных положений теории управления; содействовать качественному и своевременному выполнению контрольных заданий и курсовой работы.
Чтобы практикум сделать удобным для самостоятельного пользования, в него
включены необходимые формулы расчета, примеры решения задач, методические указания по выполнению заданий и курсовой работы.
Выражаем глубокую признательность Волковой Г. С. взявшей на себя тяжелую ношу по переработке записей практических занятий и доводке материалов практикума, годного для издания.
В практикуме возможны неточности, ошибки и другие недостатки, которые можно обнаружить в практической работе. О всех замеченных недостатках
просим сообщать преподавателю, ведущему занятия.
3
1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ
Расчет системы обычно ведут с помощью динамического уравнения. Получить такое
уравнение достаточно трудно. Однако задача упрощается, если построить структурную схему системы, а затем преобразовать её к форме, удобной для записи уравнения.
1.1 Построение структурной схемы
Различают структурную схему как иллюстрацию, помогающую уяснить основные
функциональные части системы, их назначение и все связи между ними, и структурную
схему как рисунок, отражающий математическое описание взаимодействий переменных в
системе и с внешней средой.
В первом случае (рисунок 1.1) внутри каждого прямоугольника, изображающего функциональную часть системы, записывают название функциональной части.
Во втором случае (рисунок 1.2) внутри прямоугольника помещают известное из литературы выражение передаточной функции. Если в литературе отсутствует рекомендуемое
выражение, то её определяют по дифференциальным уравнениям, описывающим динамическую связь входной и выходной переменных функциональной части. Уравнения удобно записывать в форме уравнения Лагранжа второго рода
d  L  L
 
 Q,
dt  y  y
(1.1)
где L = K–E – функция Лагранжа, К – кинетическая, а Е – потенциальная энергия процесса,
Q – сумма воздействий на процесс.
f
Устройство управления
v
S
e
-
Преобразователь
Цепь
коррекции
S
Регулятор
u

Объект управления
.
Динамика
y
1
управляемого
s
процесса
Цепь местной
обратной
связи
Рисунок 1.1
Объект управления
f
W5 (s)
Устройство управления
v
S
e
W1 (s)
W2 (s)
S
W3 (s)
W4 (s)
Рисунок 1.2
4
u
S
W6 (s)
sy
1
s
y
y
1.2 Пример построения структурной схемы подъемно-транспортного
механизма при движении вверх
Исходные данные
Эквивалентная схема механизма: рисунок 1.3;
Масса подъемника: m0 = 250 кг;
Масса груза: mгр = 350 кг;
Передаточное число редуктора: q = 930 рад/м;
Момент инерции двигателя: JДВ = 0,0052 кг·м2;
Момент инерции редуктора, приведенный к оси
вала двигателя: JР = 0,2JДВ .
F
wДВ
V
M
MДВ
m (V, H)
q
G
Рисунок 1.3
При движении вверх на механизм действуют противоположно направленные друг относительно друга сила тяжести G и тяговое усилие F = qMДВ. Момент силы двигателя MДВ регулируется таким образом, чтобы к моменту прибытия механизма на заданную высоту Н скорость подъема V оказалась равной
нулю.
Кинетическая энергия движения
1
J ÄÂw 2ÄÂ;
2
1
б) Редуктора: Ê ðåä   0, 2 J ÄÂ  w2ÄÂ;
2
1
в) Подъемника и груза: Ê ï î ä  (m0  mãð )V 2 ;
2
г) Подъемно-транспортного механизма:
1
1
2
K  K ÄÂ  K ðåä  Ê ï î ä  (1, 2 J ÄÂ )wÄÂ
 (m0  mãð )V 2 ;
2
2
д) Подъемно-транспортного механизма, отнесенная к прямолинейному
движению:
1
1
K  (1,2 J ÄÂ )q 2V 2  (m 0  m ãð )V 2  mV 2 (t ) ,
2
2
2
2
где m '  1,2 J ÄÂq  (m0+mгр)  1,2  0,0052  930  600  6000 кг.
а) Двигателя: Ê ÄÂ 
Потенциальная энергия
E  GH (t )  mgH (t ) ,
где m  m 0  m ãð ; g = 9,81 м/с2, а знак «–» указывает на то, что потенциальная
энергия нагрузки является энергией сопротивления движению вверх.
5
Функция Лагранжа
1
mV 2 (t )  mgH (t ) .
2
Воздействие на процесс движения
LKE
Движущееся воздействие: Q  qM ÄÂ (t ) .
Уравнение Лагранжа
m'
dV (t )
 mg  qM ÄÂ (t ) .
dt
(1.2)
Уравнения динамики подъемно-транспортного механизма
В пространстве состояний мгновенных значений скорости и высоты
[V(t), H(t)]:
dV (t ) q 
m 
  M ÄÂ (t )  g  
dt
m 
q 
.
dH (t )

 V (t )
dt

(1.3)
При описании уравнений операторным методом:
q 1
m

  M ÄÂ ( s)  g ( s)  
m s 
q
 .

1

H (s)  V (s)

s
V (s) 
(1.4)
Структурная схема
Схему строят, начиная с графического отображения правой части того
уравнения системы (1.3) или (1.4), которое содержит входную переменную.
Например, при использовании уравнений в операторной форме (1.4) структурная схема имеет вид
m
q
MДВ(s)
S
q
m'
g(s)
1
s
Рисунок 1.4
6
V(s)
1
s
H(s)
Передаточная функция механизма как отношение изображения высоты подъема H(s) к изображению момента силы двигателя MДВ(s)
W ( s) 
где K 
q
930

 0,155 Í
m 6000
1
H (s)
K
 2,
M ÄÂ ( s) s
.
Упражнения:
1. Для условий задачи, сформулированной в подразд. 1.2, построить
структурную схему подъемно-транспортного механизма при движении вниз.
Рассчитать параметры схемы и записать передаточную функцию W ( s ) , если
масса груза: а) mгр = 0; б) mгр = 150 кг.
2. Записать уравнения, описывающие движение космического аппарата на
заключительном отрезке траектории спуска с околоземной орбиты, и построить соответствующую структурную схему. Исходные данные. Заключительный
отрезок траектории совпадает с нормалью к поверхности Земли; масса аппарата: m = 3720 кг; площадь поверхности: S = 7 м2. Силы, действующие на спускаемый аппарат:
2
а) тяжести: G  mg  R3 / R3  H (t )  ;
б) аэродинамического торможения: X  0,1 0 e H V 2 / 2 ;
в) тяги тормозной двигательной установки: F, описываемой дифференциальным уравнением
dF
1
 K u(t )  F (t )  ,

dt T ÄÂÓ  ÄÂÓ
где T ÄÂÓ и K ÄÂÓ – параметры тормозной двигательной установки.
Физические постоянные в формулах:
радиус Земли: R3 = 6,37·106 м;
плотность воздуха на поверхности Земли:  0  1,225 н·с2/м4;
постоянная: β = 1,4·10-6 м-1;
начальные значения управляемых переменных: Нн = 9000 м; Vн = -200 м/с.
1.3 Пример построения структурной схемы исполнительного механизма
горизонтальной подачи стола вертикально-фрезерного станка
Кинематическая схема механизма показана на рисунке 1.5, где обозначено:
1 – двигатель постоянного тока; 2 – передача «винт – гайка качения»; 3 – подвижный стол, несущий обрабатываемую деталь 4, и жестко соединённый с
гайкой; 5 – направляющие перемещения стола; 6 – датчик вращения винта.
При обработке поверхности детали с помощью фрезы на исполнительный ме-
7
ханизм действуют силы: продольной подачи FП; резания FР; трения в направляющих Fтр.
Фреза
4
FP
3
5
2
V(t)
FП
Fтр
6
PB
1
wДВ(t)
M
МДВ(t)
Рисунок 1.5
Задание:
Построить структурную схему исполнительного механизма и рассчитать
параметры схемы.
Исходные данные
Масса стола mС = 300 кг; масса детали mд = 400 кг; усилие резанья FP = 10000 Н; коэффициент трения в направляющих f = 0,1; передаточное число между валом двигателя и звеном подачи стола q = 1258 рад/м. Характеристики двигателя: ωДВ = 60 рад/с; UДВ = 47 В;
IДВ = 29А; МДВ = 17,5 Н∙м; RДВ = 0,12 Ом; JДВ = 4,2∙10-2 кг∙м2; Тэ = 0,0073 с; Тм = 0,01 с; η = 0,92.
Эквивалентная схема исполнительного механизма: рисунок 1.6.
RДВ
+
UДВ
LДВ
F Fp Fmp
+ wДВ(t) MCН
iДВ (t)
V
CE wДВ
MДВ
m
q
V(t)
Рисунок 1.6
В исполнительном механизме протекает два процесса: процесс изменения
тока i ÄÂ (t ) в обмотке якоря двигателя и процесс изменения скоростей w ÄÂ (t ) ,
V (t ) в звеньях тягового устройства. За координаты процессов принимаем
мгновенные значения тока iДВ (t) и угловой скорости w ÄÂ (t).
8
Расчетные формулы для процессов в обмотке якоря
Кинетическая энергия:
1
2
Ê ý  R ÄÂT ý i ÄÂ
(t ) ;
2
(1.5)
Потенциальная энергия: Еэ = 0;
Активное сопротивление току: U R  R ÄÂi ÄÂ (t ) ;
Противо-ЭДС: E  C E w ÄÂ (t ) ;
U  R ÄÂI ÄÂ 47  0,12  29
Âñ
Коэффициент противо-ЭДС: C E  ÄÂ
;

 0,73
w ÄÂ
60
ðàä.
Сумма воздействий на ток:
Q ý  U ÄÂ (t )  Ñ Å w ÄÂ (t )  R ÄÂ i ÄÂ (t );
(1.6)
Дифференциальное уравнение в форме Лагранжа:
R ÄÂT ý
di ÄÂ (t )
 R ÄÂi ÄÂ (t )  U ÄÂ (t )  C E w ÄÂ (t );
dt
(1.7)
Уравнение в операторной форме:
iÄÂ ( s) 
1
U ÄÂ ( s)  ÑÅ wÄÂ (s)  .
RÄÂ (Týs  1) 
(1.8)
Расчетные формулы для процессов в механической цепи
Момент, развиваемый двигателем:
M ÄÂ (t )  C M i ÄÂ (t ) ;
(1.9)
Коэффициент момента:
CM 
M ÄÂí î ì 17,5
í ì

 0,6
;
I ÄÂí î ì
29
À
(1.10)
Момент инерции, приведенный к оси вала двигателя:
J '  1,25 J ÄÂ 
mc  mq
q 2
 1,25  4,2 10 2 
700
 0,053 кг·м2;
2
1258  0,92
(1.11)
Сила трения в направляющих:
Fòð  f (m c  m ä ) g  0,1(300+400)9,81 = 687 н;
(1.12)
Приведенный к валу двигателя статический момент сопротивления движению:
M ÑÍ 
Fp  Fòð
q

10000  688
 9,2 н·м;
1258  0,92
(1.13)
9
Кинетическая энергия механизма:
KM 
1
2
;
J w ÄÂ
2
(1.14)
Потенциальная энергия: E M  0 ;
Сумма воздействий на процесс движения:
Q ì åõ  M ÄÂ (t )  M CH (t ) ;
(1.15)
Уравнение в форме Лагранжа:
J'
d w ÄÂ
 M ÄÂ (t )  M ÑÍ (t ) ;
dt
(1.16)
Уравнение в операторной форме:
1
 M ( s)  M ÄÂ ( s)  .
J s  ÄÂ
(1.17)
1
 M ( s )  M ÑÍ ( s )  ;
T M s  ÄÂ
(1.18)
w ÄÂ ( s) 
Другой вид уравнения:
w ÄÂ ( s ) 
Коэффициент жесткости механических характеристик двигателя:

C EC M 0,73  0,6

 3,65 н·м·с;
R ÄÂ
0,12
(1.19)
Механическая постоянная с учетом влияния инерционности нагрузки:
TM 
J  0,053

 0,015 c ;

3,65
(1.20)
Система уравнений в операторной форме для построения структурной
схемы исполнительного механизма:
i ÄÂ ( s) 
1
U ( s)  C E w ÄÂ ( s)  ;
R ÄÂ (T ýs  1)  ÄÂ
M ÄÂ ( s)  C M i ÄÂ (s) ;
w ÄÂ ( s) 
10
R ÄÂ
 M ( s)  M ÑÍ ( s)  ;
C EC MT M s  ÄÂ
(1.21)
(1.22)
(1.23)
1
V ( s)  w ÄÂ ( s) ;
q
(1.24)
1
S ( s)  V (s) .
s
(1.25)
Упражнения:
3. По уравнениям (1.21) – (1.25) начиная с графического отображения правой части уравнения (1.21) построить структурную схему; при M ÑÍ ( s )  0 заS ( s)
писать передаточную функцию WÈM ( s) 
; найти численные значения
U ÄÂ ( s)
параметров передаточной функции.
4. Построить структурную схему системы с единичной отрицательной обратной связью по дифференциальным уравнениям:
а)
dy
du
 10  u (t )  f (t )  ; 0,01
 u (t )  10v(t )  10 y (t ) ;
dt
dt
б)
d2y
dy
du
de

20

40
u
(
t
);

0,5
 5e(t ); e(t )  v(t )  y (t ) ;
dt
dt
dt
dt 2
d2y
dy
dv
в) 2  2  y (t )  20  100v(t ) .
dt
dt
dt
1.4 Преобразование структурной схемы
Структурная схема в первоначальном исполнении (например, схема на рисунке 1.2)
представляет собой достаточно сложную для расчетов комбинацию звеньев направленного
действия, сумматоров и связей между ними. Путем преобразований ее сводят к структурной
схеме основной формы, показанной на рисунке 1.7 при f ( s )  0 .
v(s)
∑
e(s)
y(s)
W(s)
1
Рисунок 1.7
Основные правила преобразования
Правила сформулированы для различных схем соединения двух звеньев, передаточные
функции которых W1 ( s) – первого звена и W2 ( s ) – второго звена известны.
Правило 1. Передаточная функция W ( s ) последовательно соединенных звеньев (рисунок 1.8) равна произведению передаточных функций W1 ( s) и W2 ( s ) отдельных звеньев:
W ( s )  W1 ( s)W2 ( s) .
(1.26)
11
xвх(s)
W1(s)
x1(s)
W(s)
W2(s)
x2(s)=xвых(s)
Рисунок 1.8
Например: W1 ( s ) 
где K  K1 K 2 .
K (T2 s  1)
K1 и
K (T s  1) . Тогда
,
W ( s)  W1 ( s)W2 ( s) 
W2 ( s)  2 2
s(T1s  1)
s
T1s  1
Правило 2. Передаточная функция W ( s ) параллельно соединенных звеньев (рисунок 1.9) равна сумме передаточных функций W1 ( s) и W2 ( s ) отдельных звеньев:
W ( s)  W1 ( s)  W2 ( s) .
(1.27)
П р и м е ч а н и е : При решении практических задач сумму передаточных функций приводят к общему знаменателю с последующими алгебраическими преобразованиями.
1
Например: W1 ( s )  1 ; W2 ( s)  .
Ts
T1s  1
Тогда
W ( s) 
1
1
T2 s  1 ,


Ts T1s  1 Ts T1s  1
где T2  T1  T .
Правило 3. Передаточная функция W(s) встречно-параллельного соединения звеньев в
виде замкнутого контура с отрицательной обратной связью (рисунок 1.10) равна отношению
передаточной функции W1(s) звена в прямой цепи контура к выражению, равному единица
плюс произведение передаточных функций W1(s) и W2(s) прямой цепи и цепи обратной связи:
W ( s) 
W1 ( s )
.
1  W1 ( s )W2 ( s )
W(s)
W1(s)
xвх(s)
W1(s)
x2(s)
Рисунок 1.9
12
W(s)
x1(s)
∑
(1.28)
xвх(s)
xвых(s)
∑
xвых(s)
W1(s)
W2(s)
Рисунок 1.10
П р и м е ч а н и я :
а) если правая часть равенства (1.28) после алгебраических преобразований будет содержать множитель
1
,
(1.29)
2 2
 2 s  1 s  1
 
то при  1   4 можно в (1.29) пренебречь постоянной времени  2 и записать:
 2 
1
1
;

2 2
 2 s  1 s  1 1 s  1
(1.30)
 
б) при 2   1   4 множитель (1.29) представляют в виде произведения двух сомно 2 
жителей:
1
1
1
,
(1.31)


2 2
 2 s  1 s  1 T1 ' s  1 T2 ' s  1
где T1 ' и T2 ' вычисляют по формулам:
T1 ' 
1
2
2

1  1  4  2

12


T2 '  1
2
Например: W1 ( s ) 
2

1  1  4  2

12


;


(1.32)

.


(1.33)
1
; W2 ( s )  K 2 ; Т1 = 0,12 с; Т2 = 0,04 с; K2 = 0,16.
T1s T2 s  1
1
1
T s T s  1
K2
W1 ( s)
Тогда W ( s) 
.
 1 2

K2
T1T2 2 T1
1  W1 ( s)W2 ( s) 1 
s 
s 1
T1s T2 s  1
K2
K2
T1T2
T1
T
0,12
Обозначим:
  22 ;
 1. Находим 1  1 
 0,75 c,
K2
K2
K 2 0,16
T1T2

0,75
 4,3  4 , то постоянной
 0,75  0,04  0,173 с. Так как 1 
 2 0,173
K2
1
6,25
K2

времени  2 пренебрегаем. Получаем: W ( s ) 
.
T1
0,75
s

1
s 1
K2
2 
Правило 4. При приведении ко входу контура возмущения f (s ) , действующего внутри контура (рисунок 1.11), определяют эквивалентное возмущение на входе n(s ) (рису-
13
нок 1.12), равное произведению f (s ) на обратную передаточную функцию между изображениями переменных n(s ) и f (s ) при x âõ ( s )  0 :
n( s)  f ( s)W11 ( s) .
(1.34)
Такой перенос внешнего возмущения позволяет структурную схему контура преобразовать к схеме простейшего вида.
f(s)
x1(s)
xвх(s)
∑
W1(s)
∑
x2(s)=xвых(s)
W2(s)
1
Рисунок 1.11
W(s)
n(s)
xвх(s)
∑
∑
W1(s)
x1(s)
x2(s)=xвых(s)
W2(s)
1
Рисунок 1.12
Например в структурной схеме двигателя постоянного тока (рисунок 1.13)
статическому моменту сопротивления нагрузки МСН(s) можно поставить в соответствие эквивалентное возмущение на входе схемы n(s) , отображающее
напряжение троганья двигателя под нагрузкой,
n( s)  U òð ( s)   Ì
ÑÍ
( s)
0,008s  1
 Ì
0,24  0,28
( s)15(0,008s  1) .
ÑÍ
МCН(s)
UДВ(s)
∑
0,28
0,008s  1
МДВ(s)
0,24
∑
268 ωДВ(s)
s
0,28
Рисунок 1.13
Тогда передаточная функция прямой цепи:
W ( ð) 
14
0,28
268
18
,
0,24

0,008s  1
s
s(0,008s  1)
(1.35)
а передаточная функция двигателя как замкнутого контура
WÄÂ ( s) 
Так как
W ( s)
18
3,37
.


2 2
1  0,28  W ( s) s(0,008s  1)  0,28 18 0,04 s  0,2s  1
0,2
 5  4 , то в соответствии с (1.30) получим
0,04
3,57
.
WÄÂ ( s) 
0,2s  1
Отметим, что в (1.35) постоянная времени 0,008 с < 0,04 с. Следовательно,
пренебрегая постоянной времени 0,04 с в WДВ(s), можно пренебречь и постоянной времени 0,008 с в (1.35). Структурная схема (рисунок 1.13) принимает вид,
показанный на рисунке 1.14.
Uтp=15 Мсн
UДВ(s)
∑
ωДВ(s)
3 , 57
0 ,2 s  1
Рисунок 1.14
Упражнения:
5. Проверить формулы (1.26) – (1.28) и (1.34), используемые при преобразовании структурных схем.
6. Даны два параллельно соединенных звена с передаточными функциями:
для первого звена W1(s); для второго звена W2(s). Определить передаточную
функцию W(s) соединённых звеньев по следующим передаточным функциям:
а) W1(s) = 4; W2(s) = 1/0,1s;
б) W1(s) = 4/(0,1s+1); W2(s) = 1/0,1р;
в) W1(s) = 4/(0,1s+1); W2(s) = 1/(0,2s+1).
Ответы:
а) W(s) = 10(0,4s+1)/s,
б) W(s) = 10(0,5s+1)/s(0,1s+1),
в) W(s) = 5(0,18s+1)/(0,1s+1)(0,2s+1).
7. По структурной схеме фильтра, изображенной на рисунке 1.15, записать
передаточную функцию фильтра при следующих данных:
1
1
а) W1(s) = 1, W2 ( s)  1; б) W1(s) = 0,1, W2 ( s)   ; в) W1( s)  2, W2 ( s)  .
s
s
15
W1(s)
xвх(s)
∑
1
0,1s
W2(s)
∑
xвых(s)
1
Рисунок 1.15
Ответы:
а) W ( s) 
0,1s  1
0,2s  1
0,1s  1
, в) W ( s) 
, б) W ( s) 
.
s
0,1s  1
0,1s  1
8. На рисунке 1.16 показана структурная схема отдельной функциональной
части системы управления. Найти её передаточную функцию.
xвх(s)
∑
20
s
∑
10 xвых(s)
s
1
0,05s
Рисунок 1.16
Ответ: W ( s) 
xâû õ ( s)
10
.

xâõ ( s) s(0,1s  1)
1.5 Основные соотношения в системе автоматического управления
Ниже приведены основные расчетные соотношения в типичной системе автоматического управления (рисунок 1.17), знания которых необходимы для определения динамических характеристик системы и исследования ее поведения при воспроизведении задающих
воздействий v(t), а также при оценке влияния внешних возмущений f (t ) . Желаемую передаточную функцию замкнутой системы  æ ( s ) по практическим соображениям принимаем
равной единице:  æ ( s )  1 .
Передаточная функция прямого канала W(s) – отношение изображения выходной
переменной системы у(s) к изображению рассогласования е(s):
W ( s) 
16
y( s)
 W1( s)W2 (s) ;
e( s)
(1.36)
yж(s)
Фж(s)=1
v(s)
f(s)
e(s)
Σ
y(s)
Σ
W1(s)
W2(s)
1
Σ
eS(s)
1
Рисунок 1.17
Передаточная функция замкнутой системы по управляемой переменной
 (s ) – отношение изображения выходной переменной у(s) к изображению задающего воздействия v(s):
( p) 
y( s)
1
.

v( s )
1  W ( s)
(1.37)
Передаточная функция замкнутой системы по рассогласованию  e (s) – отношение изображения рассогласования системы е(s) к изображению задающего воздействия v(s):
e ( s) 
e( s)
W ( s) .
 1  ( s)
v( s)
1  W ( s)
(1.38)
Передаточная функция замкнутой системы по возмущению  f (s ) – отношение
изображения выходной переменной у(s) к изображению возмущения f(s):
 f ( s) 
y( s)
W2 ( s) .

f ( s) 1  W ( p)
(1.39)
Изображение ошибки управления е(s), обусловленной неточным выполнением задающего воздействия v(s), из формулы (1.38):
e( s)  v( s) 1  ( s)  v( s)
Изображение ошибки по возмущению
1
.
1  W ( s)
(1.40)
e f (s ) :
W2 (s) .
1  W ( s)
(1.41)
1
W ( s) .
 f ( s) 2
1  W ( s)
1  W ( s)
(1.42)
e f ( s )  f ( s ) f ( s )  f ( s )
Изображение суммарной ошибки еΣ(s):
eS ( s)  e( s)  e f ( s)  v( s)
В дальнейшем в ряде случаев передаточную функцию W(s) прямого канала будет принято определять как отношение полинома числителя М(s) к полиному знаменателя N(s):
17
W ( s) 
y ( s) M ( s) ;

e( s) N ( s)
(1.43)
например:
W (s) 
K (T2 s  1)
KT2 s  K
M (s) .


3
2
s (T1s  1)(T3s  1) T1T3s  (T3  T1 ) s  1s  0 N ( s )
Аналогично будут определены и другие соотношения, например, передаточная функция замкнутой системы:
( s ) 
W (s)
M (s)
M (s) ,


1  W ( s ) N ( s )  M ( s ) D( s )
(1.44)
где полином D( s)  N ( s)  M ( s) называют характеристическим полиномом.
Характеристическое уравнение – равная нулю сумма полиномов знаменателя N(s) и
числителя M(s) передаточной функции W(s) разомкнутой системы.
D( s )  N ( s)  M ( s )  0 .
(1.45)
Упражнения:
9. Проверьте формулы (1.37) – (1.39).
10. Для структурной схемы, изображенной на рисунке 1.18, найти передаточную функцию W(s) разомкнутой системы и изображение ошибки управления е(s) при следующих исходных данных:
2
0,2
а) Т = 0,52 с, v(s) = ; б) Т = 0,42 с, v(s) =
.
s
s
v(s)
Σ
e(s)
5,2
0,07
0,04s  1
Σ
10
1
0,1s
1,43
Ts  1
1
Рисунок 1.18
Ответ: а) W ( s) 
б) W ( s) 
18
10
0,08s  2
; e( s ) 
.
s(0,04s  1)
0,04s 2  1  s  10
10(0,52s  1)
0,08s  0,2
.
; e( p ) 
s(0,4s  1)
0,4s 2  6,2s  10
y(s)
11. Структурная схема системы автоматического управления показана на
рисунке 1.19. Найти характеристическое уравнение D(s) = 0 и изображение
ошибки по возмущению f(s), если дано:
0,04
0,04
а) Т = 0,1 с, f(s) =
; б) Т = 0,2 с, f(s) =
.
s
s
f(s)
v(s) ≡ 0
50(Ts  1)
0,05s  1
Σ
Σ
2
s (0,2 s  1)
ef (s)
1
Рисунок 1.19
Ответы:
а) D( s)  0,01s 3  0,25s 2  11s  100  0, e f ( s) 
0,004 s  0,08
;
sD( s)
б) D( s)  0,01s 3  0,25s 2  21s  100  0, e f ( s) 
0,004 s  0,08
.
sD( s)
12. Структурная схема системы управления показана на рисунке 1.20.
Найти передаточную функцию замкнутой системы (s) и изображение ошибки управления е(s) при W1 ( s)  W31 ( s) .
W1(s)
v(s)
Σ
e(s)
W2(s)
Σ
y(s)
W3(s)
1
Рисунок 1.20
Ответ: ( s) 
W1(s)  W2 (s)W3 (s) , e(s)  0 .
1  W2 ( s)W3 (s)
13. Найти передаточные функции (s) и  e (s) системы управления (рисунок 1.21) с жесткой обратной связью по скорости при следующих условиях:
К1 = 84,3 В/рад; К2 = 1000; К3 = 0,75 Вс/рад; К4 = 0,015 рад/Вс; Т = 0,12 с.
19
v(s)
Σ
e(s)
K1
Σ
K2
K4
Ts  1
1
s
y(s)
K3
1
Рисунок 1.21
0,12 s 2  12 s  0
1264
.
Ответ: ( s) 
;  e ( p) 
0,12 s 2  12 s  1264
0,12 s 2  12 s  1264
20
2 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
Теория устойчивости изучает равновесие состояния системы управления и динамику ее
поведения после возникновения начальных возмущений. Основная задача состоит в том, чтобы выяснить вернётся ли система в заданное положение равновесия или эти возмущения вызовут качественно иное поведение; каким условием должна удовлетворять структурная схема
системы и её параметры, чтобы надежно гарантировать нежелательное развитие процессов.
Теория автоматического управления располагает большим количеством методов решения этой задачи. Для линейных непрерывных систем используются весьма совершенные методы, известные как критерии устойчивости Гурвица, Рауса, Михайлова, Найквиста и логарифмических частотных характеристик.
Эти критерии эквивалентны. Каждый из них определяет условия, при которых корни
характеристического уравнения
D(s)  a0 s n  a1s n1  ...  an1s  an  0
(2.1)
будут иметь отрицательные действительные части, а система асимптотически устойчивой.
Друг от друга критерии отличаются видом исходной информации и сложностью формул, по
которым можно судить об устойчивости системы, о влиянии параметров системы на её
устойчивость.
2.1 Исследование устойчивости по критерию Рауса – Гурвица
Устойчивость исследуют по коэффициентам характеристического уравнения (2.1)
оформляя простые математические выкладки в виде таблицы расчетных данных (таблица 2.1)
Методика оформления таблицы иллюстрируется на примере характеристического уравнения
(1.21) при n = 5.
Таблица 2.1 – Расчетные данные
Номер
строки
1
Математические выкладки
Номер столбца
2
3
r0 ' '
4
Формулы для
вычислений
r0  a0
r0 '  a2
1
r0
r0 '
2
r0 '
r0
r0 ' '
r0
3
r1
r1 '
4
r1 '
r1
r1 ' '
r1
5
r2
r2 '
r2 
r0 ' r1 '

r0 r1
6
r2 '
r2
0
r2 ' 
r0 ' ' r1 ' '

r0
r1
r0 ' '  a4
r1 ' '
r1  a1 r1 '  a3
r1 ' '  a5
21
Продолжение табл. 2.1
Номер
строки
1
Математические выкладки
Номер столбца
2
3
Формулы для
вычислений
4
7
r3
r3 '
r3 
r1 ' r2 '

r1 r2
8
r3 '
r3
0
r3 ' 
r1 ' '
0
r1
9
r4
r4 
r2 ' r3 '

r2 r3
Критерий устойчивости: Система устойчива, если все коэффициенты первого столбца положительны.
П р и м е р определения устойчивости следящего электропривода, построенного по схеме ЭМУ-ГД. Характеристическое уравнение электропривода:
0,0001s 5  0,0117 s 4  0,188 s 3  0,98s 2  1,8s  7  0 .
Решение:
Составляем таблицу расчетных данных по правилам, сформулированным в
таблице 2.1:
Таблица 2.2 – Цифровые данные
0,0001
1880
0,0117
83,76
1796,2
9,688
74,072
8,1
1,6
0,188
18000
0,98
598,3
17402
0
598,3
0
0
1,8
0
7
0
Все элементы первого столбца положительны. Следовательно, следящий
электропривод устойчив.
Упражнения:
14. Проверить условие устойчивости системы управления четвертого порядка (n = 4)
a3 (a1a2  a0 a3 )  a12 a4  0
(2.2)
22
и системы управления третьего порядка (n = 3)
a1a2  a0 a3  0 .
(2.3)
15. Задано характеристическое уравнение системы
0,8  10 4 s 4  0,9  10 3 s 3  0,18s 2  1s  0,21K  0 .
Определить устойчивость системы при следующих значениях коэффициента К: а) К = 50; б) К = 100.
Ответ: а) система устойчива; б) система неустойчива.
16. Определить устойчивость системы замкнутой отрицательной единичной обратной связью, если передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид:
а) W ( s) 
10
10(0,4s  1)
; б) W ( s) 
.
s(0,2s  1)(0,1s  1)
s (0,2s  1)(0,1s  1)
2
Ответ: а) неустойчива; б) устойчива.
2.2 Построение области устойчивости
Область устойчивости – это геометрическое место точек на плоскости параметров системы, соответствующих ее устойчивому состоянию. Номограмма с указанной на ней областью устойчивости заменяет вычисления по формулам выполнением простейших геометрических построений с помощью линейки и считывания отсчетов. Применяется для исследования зависимости устойчивости от параметров системы, ее чувствительности к изменению
параметров по условиям устойчивости, для обоснованного выбора регулируемых параметров в процессе наладки системы.
Методику построения области устойчивости при использовании критерия
Рауса-Гурвица проиллюстрируем на примере системы автоматического управления, структурная схема которой показана на рисунке 2.1.
З а да н ие .
Используя критерий Рауса-Гурвица построить область устойчивости в
плоскости параметров (K, T2) при следующих данных: Т1 = 0,25 с; Т3 = 0,1 с;
ΔТ2 = 0,05Т2; коэффициент запаса устойчивости α = 3.
v(s)≡0
Σ
K (T2 s  1)
s (T1 s  1)(T3 s  1)
y(s)
1
Рисунок 2.1
23
Решение. Записываем характеристическое уравнение по правилу: сумма
многочленов числителя и знаменателя передаточной функции прямого канала
равна нулю:
T1T3 s 3  (T3  T1 )s 2  (1  KT2 )s  K  0 .
Имеем уравнение третьей степени. Согласно (2.3) записываем условие
устойчивости:
(T1  T3 )(1  KT2 )  T1T3 K  0
1
откуда: 0  K 
.
T1T3
 T2
T1  T3
Граница между областью устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров K и T2 определяется уравнениями:
T 2ãð 
T1T 3
1
; K ãð 
; 0  T 2  T 2ãð .
T1  T 3
T1T 3
 T2
T1  T 3
которые при T1  0,25 с и T3  0,1 с принимают вид:
T 2ãp  0,071с и K ãp 
1
.
0,071  T 2
Границы области устойчивости показаны на рисунке 2.2.
К
100
Область
неустойчивости
K гр
п
K до

1 K гр

T2гр
10
Область допустимых
значений параметров
1
0,03
0,04
0,05
T2
0,06
0,068
Рисунок 2.2
24
T2 , c
Система будет устойчивой при любых настройках 0  T 2  T 2ãð и любых
значениях K, лежащих ниже значений K ãð . При любых других значениях T2 и
K система неустойчива.
Система склонна к неустойчивости при значениях коэффициента K близких к граничным и при неблагоприятных изменениях постоянных времени T1 и
T3 может потерять устойчивость. Необходимо учитывать и то, что структурная
схема, показанная на рисунке 2.1, является лишь представлением о динамике
реальной системы. Поэтому на номограммах выделяют область допустимых
значений параметров, при которых в реальной системе гарантируется соблюдение условий устойчивости. В данной задаче граница этой области при   3
и T2  0,05T2 определяется равенством:
K äî ï 
1
1
0,32
.


 T1T 3
0,068  T 2
 (T 2  T 2 )
T1  T 3
Упражнения:
17. Построить область устойчивости системы (рисунок 2.1) в плоскости
параметров (K, T2) при T1  0,42 с; T3  0,15 с; T2  0,05T2 и   4 .
18. Дано характеристическое уравнение системы, содержащей внутренний
контур обратной связи с коэффициентом связи KО.С : 0,0001s 4  0,0125 s 3 
0,25(1  2 K o.c ) s 2  (1  2,5 K o.c ) s  5 K  0, где К – регулируемый коэффициент
прямого канала системы. Используя критерий Рауса-Гурвица, построить область устойчивости в плоскости параметров (КО.С , К) при настройке коэффициента в пределах: 0 < KО.С < 1.
Ответ: Для правильно построенной области Kкр = 40,4 при KО.С = 0,5.
2.3 Исследование устойчивости по критерию Михайлова
Критерий Михайлова относится к частотным методам анализа систем и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению годографа характеристического
вектора (годографа Михайлова) на комплексной плоскости.
Характеристический вектор получают путем замены в характеристическом уравнении
(2.1) оператора s на jw :
D( jw)  (an  an2 w2  an4 w4  ....)  j (an1w  an3w3  an5 w5  ...)  U (w)  jV (w).
(2.4)
По Михайлову система устойчива, если при изменении w от нуля до бесконечности
характеристический вектор D ( jw) обходит последовательно в положительном направлении
(против часовой стрелки) n-квадрантов комплексной плоскости, где n – степень характеристического вектора.
Годограф Михайлова начинается при w  0 в точке an на вещественной оси и уходит в
бесконечность в соответствующем квадранте. Изменение значения an вызывает только сме25
щение годографа вдоль горизонтальной оси. Это позволяет сравнительно легко определить
диапазон изменения an, при котором система будет устойчивой. Система находится на границе устойчивости, если годограф D ( jw) проходит через начало координат и при небольшом уменьшении значения an годограф сместится и будет последовательно проходить
n–квадрантов.
П р и м е р определения диапазона изменения коэффициента усиления
следящего электропривода по критерию Михайлова. Характеристическое
уравнение электропривода задано в виде:
0,0001s5  0,0117s 4  0,188s3  0,98s 2  1,8s  K  0.
Решение. Подставим в характеристическое уравнение s  jw . Получим:
D( jw)  U (w)  jV (w) ,
где U (w)  K  0,98w2  0,0117 w4 ; V (w)  1,8w  0,188w3  0,0001w5 .
Приравняем U (w)
и V (w)
нулю: U (w)  0,0117 w4  0,98w2  K  0,
V (w)  w(0,0001w4  0,188w2  1,8)  0. Находим корни уравнения V (w)  0 :
w1  0,0 с-1; w22  10 c-1; w32  1870 с-1.
Подставляя поочередно эти значения в уравнение U (w)  0 , получим три
критических значения коэффициента усиления разомкнутого привода:
K êð1  0; K êð 2  8,6; K êð3  39082 .
Значение K êð1  0 противоречит физическому смыслу, а отрицательное
значение K êð3 указывает на неправильное соединение элементов в системе и
должны быть отброшены. Следовательно, коэффициент усиления разомкнутой
системы необходимо выбирать из диапазона: 0  K  8,63 .
Упражнения:
19. Пользуясь критерием Михайлова, определить диапазон изменения коэффициента К разомкнутой системы, если характеристическое уравнение имеет вид:
0,8 104 s 4  0,9 103 s3  0,18s 2  1,0s  0,21K  0 .
Ответ: 0  K  90,5 . Сопоставьте с результатом выполнения упражнения 15.
20. Передаточная функция разомкнутой системы с единичной обратной
связью:
K
W ( s) 
.
(0,1s  1)2 (0,01s  1)
Определить диапазон изменения коэффициента усиления К, при которых
замкнутая система будет устойчивой.
Ответ: 0  K  24,2 .
26
21. Структурная схема системы управления показана на рисунке 2.3. Построить область устойчивости в плоскости параметров (К1, КО.С) при следующих исходных данных:
а) К2 = 0,5; Т1 = 0,06 с; Т2 = 0,1 с.
б) К2 = 5,2; Т1 = 0,08 с; Т2 = 0,02 с.
v(s)


Σ
K1
Σ

K2
(1  T1 s )(1  T2 s )
1
s
y(s)
Ko.c
Рисунок 2.3
2.4 Исследование устойчивости по критерию Найквиста
Критерии Гурвица, Рауса, Михайлова предполагают знание характеристического
уравнения в виде полинома. Однако получить этот полином достаточно сложно, а порой и
невозможно. Кроме того, они дают слабое представление о степени устойчивости замкнутой системы и о влиянии параметров на ее устойчивость. Критерий Найквиста свободен от
этих недостатков. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по характеристикам разомкнутой системы, в том числе и по экспериментальным данным. Дает сведения
о степени устойчивости; показывает, как можно стабилизировать систему. В современных
микропроцессорных системах управления на основе критерия Найквиста разрабатываются
алгоритмы диагностики, тестового контроля и восстановления работоспособности систем
автоматического управления с заданными показателями качества.
При исследовании устойчивости системы по критерию Найквиста удобно использовать частотные логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую
фазовую характеристику (ЛФХ), построенные для разомкнутой системы по ее передаточной
функции W(s) .
Ниже приведены формулы, с помощью которых можно по известным исходным данным рассчитать запасы устойчивости, оценить влияние параметров разомкнутой системы на
эти запасы. По практическим соображениям формулы приведены отдельно для типовых систем с разным порядком астатизма.
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго порядка и передаточной
функцией W(s)= K a (T2 s  1) .
s2
Амплитудная частотная характеристика: K (w) 
K a 1  w2T22
w2
;
Базовая частота: w0  K 2 ;
Фазовая частотная характеристика: (w)  180  arctgwT2 ;
(2.5)
(2.6)
(2.7)
w ñð  Ê aÒ2 ;
(2.8)
Запас устойчивости по фазе: (w ñð )  180  (w)  arctgw ñðT 2  arctgÊ aT 22 ;
(2.9)
Частота среза при
Ka 
1
:
T2
27
Упражнения:
22. Проверить формулы (2.5) – (2.9).
23. Получить формулы для определения w ñð и (w ñð ) при
1

Ò2
Ka .
24. Определить запас устойчивости системы при следующих исходных
данных:
а) K a  180 c2 ; T2  0,08 c; б) K a  100 c2 ; T2  0,08 c.
Ответ: а)   49 o ; б)   39 o .
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго порядка и передаточной
функцией: W ( s ) =
K a (T2 s + 1)
.
s 2 (T3 s + 1)
Амплитудная частотная характеристика:
Базовая частота: w0 
K (w) 
K a 1  w 2T22
w
2
1
w 2T32
;
Ka ;
(2.10)
(2.11)
Фазовая частотная характеристика: (w)  180o  arctgwT2  arctgwT3 ;
Запас устойчивости по фазе: (w ñð )  arctgw ñðT 2  arctgw ñðT3.
(2.12)
(2.13)
Упражнения:
25. Определить запас устойчивости системы при следующих исходных
данных:
2
а) K a  180 c ; T2  0,08 c; T3  0,016 c;
2
б) K a  180 c ; T2  0,08 c; T3  0,0073 c.
Ответ: а)   36 o ; б)   43o .
26. Для частотной логарифмической амплитудной характеристики, показанной на рисунке 2.4, записать передаточную функцию разомкнутой системы,
определить ее параметры. Найти пределы изменения коэффициента усиления
при условии, что запас устойчивости   39 o .
L, дб
46
40
1
T2
-40
20
1
1
T3
- 20
2
5
10 w0 20
Рисунок 2.4
28
80
100
- 40
w, c-1
27. На рисунке 2.5 показана структурная схема комплексной радиотехнической следящей системы с двумя источниками информации о дальности v(t).
Записать передаточную функцию разомкнутой системы. Построить частотные
ЛАХ и ЛФХ. Определить запас устойчивости по фазе.
Ответ: (wñð )  58 .
+
Σ
1,25
v(t)
Σ
10
s
Σ
v(t)
25
s (0,01s  1)
y(t)
1
Рисунок 2.5
Расчетные формулы для системы с астатизмом первого порядка и передаточной
функцией W ( s ) 
KV T2 s  1
.
s T1s  1 T3 s  1
Амплитудная частотная характеристика:  (w) 
K V 1  w 2 22
w 1 w 
2
2
1
;
1 w 
2
(2.14)
2
3
Базовая частота: w0 = K V ;
(2.15)
Частота среза: w ñð  w 02 2  w 0 ;
(2.16)
1
Фазовая частотная характеристика: (w)  90 î  arctgw 1  arctgw 2  arctgw 3 ; (2.17)
Запас устойчивости по фазе:
(2.18)
(w ñð )  180 o  (w ñð )  90 o  arctgw ñð 1  arctgw ñð 2  arctgw ñð 3 ;
Запас устойчивости по фазе при: w cp 1  10 : (w cp )  arctgw cp 2  arctgw cp 3 .
(2.19)
Упражнения:
28. Дана передаточная функция системы:
W ( s) 
KV (0,11s  1)
.
s(0,2s  1)(0,0145s  1)
Определить запас устойчивости системы при следующих данных:
а) KV = 70; б) KV = 100.
Ответ: а) (w cp )  47 î ; б) (w cp )  42 î .
29
Расчетные формулы для системы с астатизмом первого порядка и передаточной
функцией W ( s ) 
KV T2 s  1
.
s T1s  1 T3 s  1...Tn s  1
При Т1 > T2 > T3 >…> Tт передаточную функцию аппроксимируют выражением
W (s) 
KV (T2 s  1)
,
s (T1s  1)(T s  1)
(2.20)
где
n
T   Ti
(2.21)
i 3
Затем пользуются формулами (2.14) – (2.19), заменив Т3 на T .
Расчетные формулы для системы с астатизмом первого порядка и передаточной
функцией W ( s ) 
KV ( 2 s + 1)
.
s(1 s + 1)(1 + 2 3 s   32 s 2 )
1
При Т1 > Т2 и T3
 w0 , где w0 
KV
(см. рисунок 2.6) передаточную функцию апT1
проксимируют функцией вида (2.20), в которой полагают TS  2T3 , а затем пользуются
формулами (2.14) – (2.19).
L, дб
40
-20
-40
20
1
-20
1 10
T2
w0
w
0
-6
1
T1
1
w ср 100 T3
Рисунок 2.6
Например, требуется рассчитать запас устойчивости на фазе при
KV (0,2s  1)
W (s) 
, где KV  180 c 1 .
2
s(0,7 s  1)(1  0,008s  0,0001s )
K
180
 257 с-2;
Решение: Находим: 3  0,0001  0,01 с; w 02 = V 
1 0,7
wcp  w02 2  257  0,2  51,4 с-1;
(wcp )  arctgwcpT2  arctg2T3wcp 
 arctg 51,4  0,2  arctg 0,008  51,4  84 o 30  22 o 20  62 o
30
Упражнения:
29. Определить запас устойчивости замкнутой системы, если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид:
W ( s) 
100(0,12s  1)
.
s(0,4s  1)(0,0033s  1)(1  0,008s  0,0002 s 2 )
Ответ: (w cp )  41 o.
30. Для системы, структурная схема которой показана на рисунке 2.3,
определить запас устойчивости по фазе при следующих исходных данных:
а) К1 = 50 с-1; К2 = 0,5; Кoc = 2; T1 = 0,06 с; T2 = 0,1 с;
б) К1 = 30 с-1; К2 = 5,2; Кoc = 0,58; T1 = 0,08 с; T2 = 0,02 с.
Ответ: а) (w cp )  28 o ; б) (w cp )  22 o .
31. Частотная логарифмическая амплитудная характеристика L(w) разомкнутой системы показана на рисунке 2.7. По характеристике L(w) требуется:
а) записать передаточную функцию разомкнутой системы и определить ее параметры; б) определить фазовый сдвиг, вносимый системой на частоте среза
(w ñð ) и запас устойчивости по фазе (w ñð ) .
L
-20
- 40
w0
wср
-20
0,01
0,1
w0
1
50
10
100 w
-6
0
Рисунок 2.7
Расчетные формулы для системы, передаточная функция которых содержит звено
запаздывания å s
Запаздывание  или задержка во времени на определённый интервал может быть обусловлено многими причинами, например, вычислительной процедурой, выполняемой микропроцессором, реализующим закон управления; характером импульсного управления исполнительного двигателя; конечной скоростью распространения энергии в объекте управления и т.п.
Расчетные формулы систем с запаздыванием за исключением формул для расчета фазовой характеристики и запаса устойчивости по фазе полностью совпадают с расчетными
формулами систем без запаздывания. Это значительно упрощает исследование устойчивости систем с запаздыванием.
31
Что касается фазовой характеристики и запаса устойчивости по фазе, то для систем с
запаздыванием в расчетных формулах (w ñð ) и (w ñð ) появляется дополнительное слагаемое, равное отрицательному сдвигу фазы, пропорциональному длительности запаздывания
 :  (w)  w .
Методику решения типовых задач, связанных с исследованием устойчивости систем с
запаздыванием, проиллюстрируем на двух примерах.
П р и м е р 1 . Состояние процесса в промышленной установке автоматически поддерживается регулированием нескольких параметров с помощью отдельных исполнительных устройств. При модернизации установки решено переоборудовать автономные системы регулирования на базе одного микропроцессорного устройства. Необходимо по условиям устойчивости оценить допустимую задержку при регулировании одного параметра для выполнения процессором программы управления процессом в установке.
Технические условия: передаточная функция W ( s ) разомкнутой автономной системы:
W ( s) 
KV (T2 s  1)
; KV  10 1 ; T1  5 c; T2  2, 4 c; T3  0, 2 c.
c
s(T1s  1)(T3s  1)
Допустимое ухудшение запаса устойчивости по фазе при микропроцессорной реализации   (w cp )  0,05 paä (3o, не более).
Решение: Полагаем, что искомая величина задержки   T3 . Тогда передаточную функцию микропроцессорной системы аппроксимируем передаточной функцией эквивалентной аналоговой системы с запаздыванием:
KV (T2 s  1)e-s
.
W (s) 
s(T1s  1)(T3s  1)
KV
2, 4
T2  10
 4,8 c1 .
T1
5
Находим   (w ñð )  w ñð  4,8 . С другой стороны   (w ñð )  0,05 .
Используя формулы (2.15) и (2.16) определяем wñð 
0,05
 0,01 с.
4,8
Принимаем время Тk между командными сигналами в цифровой системе
управления одной переменной, называемой периодом квантования, равным задержке времени   0,01 c.
Приравнивая правые части этих выражений, получаем  
П р и м е р 2 . На рисунке 2.8 изображена структурная схема системы
управления объектом, динамическая характеристика которого аппроксимирована передаточной функцией с параметрами Kоб, Тоб и  . В устройстве управления реализован интегральный закон регулирования с параметрами настройки
Kрег. Используя критерий устойчивости Найквиста, построить монограмму с
32

и K ðåã K î áT î á
Òî á
ласти значений параметра настройки Kрег.
координатными осями
∑
K рег
s
0

 0,6 для определения обÒî á
K об e  s
Tоб s  1
1
Рисунок 2.8
Решение: для сформулированных условий имеем расчетные формулы:
K ðåã Kî á e s
передаточная функция разомкнутой системы: W ( s) 
;
s(Tî á s  1)
K ðåã K î á
частотная амплитудная характеристика: K (w) 
;
w 1  w2Tî2á

частотная фазовая характеристика:   (w)    arctgwT î á  w ;
2
K ðåã K î á
частота среза: w ñð 
;
Tî á

запас устойчивости по фазе:  (wñð )     (wñð )   arctg wñðTî á  wñð 
2


  arctg K ðåã K î áT î á 
K ðåã K î áT î á .
2
Tî á
Искомый коэффициент настройки регулятора K ðåã определяем по методике, в основе которой лежит использование номограммы, показанной на рисунке 2.9 для трех значений запаса устойчивости по фазе. Если задан иной запас
устойчивости, то монограмму достраивают по формуле:




(
w
)

ñð
 2
  arctg K ðåã K î áT î á

,

Tî á
K ðåã K î áT î á
в которой значениями выражения
K ðåã K î áT î á задаются в соответствии с

условием 0  K ðåã K î áT î á  tg (   w ñð ). Например, при   (w ñð )  0,42 рад
2
33
(24 градуса)
K ðåã K î áT î á может принимать положительные значения, не более
π
tg (  0,42)  2,23 .
2
Методику расчета коэффициента настройки Kрег по номограмме проиллюстрируем следующими данными: Kоб = 0,5, Тоб = 0,4 с,  = 0,1 с и   0,7 рад
(40 градусов).

0,1
По исходным данным находим

 0,125 .
Òî á 0,4

Пользуясь номограммой при    0,7 ðàä и
 0,125 определяем
Òî á
K ðåã K î áTî á
0,92 2
0,85

 4,25.
 0,92 , откуда следует K ðåã 
K î áT î á 0,5  0,4
Kрег Kоб Tоб
4
Область
неустойчивости
3
  0
2
   0 , 2 рад
1
   0, 7 рад
0,92
0,125
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6

об
Рисунок 2.9
Упражнения:
32. Определить коэффициент настройки интегрального регулятора в схеме,
структурная схема которой показана на рисунке 2.8, при следующих исходных
данных:
34
а) Kоб = 0,2 , Тоб = 0,4 с;  = 0,12 с и    0,2 рад;
б) Kоб = 0,15 , Тоб = 2 с;  = 0,2 с и    0,42 рад.
Ответы: а) K ðåã  22 ; б) K ðåã  7,7 .
33. В системе регулирования объектом первого порядка с запаздыванием
используется регулятор пропорционального действия. Передаточная функция
разомкнутой системы имеет вид:
W ( s) 
K ðåã Kî á e s
Tî á s  1
.
Используя критерий Найквиста, построить номограмму для определения
параметра настройки Kрег по условиям устойчивости: а)  (wcp )  1,57 рад,

 1, 0 . Построить границу устойчивости.
Tî á
Ответ: для правильно построенной номограммы значению КрегКоб = 2


должно соответствовать отношение
 0, 22 при    1,57 рад и
 0, 6
Tî á
Tî á
при    0,785 рад.
б)  (wcp )  0,785 рад при 0, 06 
35
3 АНАЛИЗ КАЧЕСТВА
В системе управления необходимо обеспечить требования не только по условиям
устойчивости, но и по условиям качества процессов в установившихся и в переходных режимах работы.
Успешное овладение методикой анализа и расчета показателей качества систем зависят
от того, насколько глубоко усвоены такие понятия теории управления, как критерии качества, коэффициенты ошибок, добротность, статизм, астатизм, инвариантность и другие.
3.1 Расчет ошибок установившихся режимов при типовых
задающих воздействиях
Значение ошибки, которое устанавливается в системе после подачи на ее вход типового задающего воздействия и затухания переходного процесса, является основным показателем качества, по которому оценивают и сравнивают системы управления. В качестве типового воздействия принято использовать следующие виды: ступенчатое, линейно изменяющееся, параболическое или синусоидальное.
Значение ошибки в установившемся режиме определяется по формуле:
eyñò  lim sv(s)[C0  C1s  C2s 2  C3s3  ...] ,
s 0
(3.1)
где v( s ) – изображение по Лапласу типового задающего воздействия на входе системы, а
C0 , C1 , C2 ,… – коэффициенты ошибок, зависящие от параметров системы.
Коэффициенты ошибок определяют с помощью разложения передаточной функции
замкнутой системы  e (s) в ряде по степеням s
 e ( s) 
1
 C0  C1 s  C 2 s 2  C3 s 3  ... .
1  K ( s)
(3.2)
3.2 Пример вычисления коэффициентов ошибки
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
K ( s) 
K a T2 s  1
.
s 2 T3 s  1
З а д а н и е : Определить первые четыре коэффициента ошибки.
Р е ш е н и е : Записываем:
 e (s) =
0  0s  1s 2  T3 s 3
1

.
1  K ( s) K a  K a T2 s  1s 2  T3 s 3
П р и м е ч а н и е . Причем, если какой-либо коэффициент полинома числителя равен нулю, то в выражении полинома на месте этого коэффициента необходимо писать число
«ноль».
36
Делим полином числителя на полином знаменателя:
K a  K a T2 s  1s 2  T3 s 3
0  0s  1s 2  T3 s 3
1s 2  T2 s 3 
(T3  T2 ) s 3 
1 4
s 
Ka
1 2
1
s 
(T3  T2 ) s 3
Ka
Ka
0  0s 
1 4
s 
Ka
(T3  T2 ) s 3  T2 (T3  T2 ) s 4  
Результаты деления сопоставляем с (3.2). Находим
C0  0; C1  0; C 2 
1
1
T3  T2 .
; C3 
Ka
Ka
3.3 Ошибки установившегося режима для типовых систем:
статической системы при ступенчатом задающем воздействии v(t )  A 1(t )
en 
A
;
1 K
(3.3)
астатической системы с астатизмом первого порядка при линейном задающем воздействии v(t )  Vt 1(t )
eck 
V
KV
;
(3.4)
астатической системы с астатизмом второго порядка при параболитическом изме1
нении задающего воздействия v(t )  at 2
2
e yck 
a
.
Ka
(3.5)
Добротность системы по скорости DV – отношение скорости V задающего воздействия к кинетической ошибке eck численно равно коэффициенту усиления разомкнутой системы KV :
DV 

 KV .
eck
(3.6)
Добротность системы по ускорению Da – отношение постоянного ускорения а воздействия на входе системы к ошибке по ускорению e yck численно равно коэффициенту усиления разомкнутой системы K a :
37
Da 
a
e yck
 Ka .
(3.7)
Упражнения:
34. Проверить формулы (3.3) – (3.5).
35. Для комплексной радиотехнической следящей системы, структурная
часть которой показана на рисунке 2.5 определить первые три коэффициента
ошибки, а также добротность по скорости и ускорению.
Ответ: C0  0; C1  0; C2  250; DV  ; Da  250 .
36. Передаточная функция устойчивой замкнутой системы имеет вид:
Ô (s) 
B1s  B0
.
A2 s 2  A1s  A0
Сформулировать условия, при которых система будет обладать астатизмом: а) нулевого порядка; б) первого порядка; в) второго порядка
Ответ: а) B0  A0 , B1  A1 ; б) B0  A0 , B1  A1; в) B0  A0 , B1  A1.
37. Для системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
приведена в упражнении 29, найти значение ошибки в установившемся режиме
работы при задающем воздействии v(t )  ( A  Vt ) 1(t ), где À  0,25 ì ;
V  0,072 м/мин.
Ответ: e ycm  0,012 мм.
38. Определить добротность системы по скорости, структурная схема и
параметры которой приведены в упражнении 13.
Ответ: DV  105 c 1.
3.4 Учет внешних возмущений
При анализе качества установившегося режима необходимо учитывать влияние внешней среды, которая проявляет себя в виде возмущения f (t ) , приложенного в системе ко
входу объекта управления. Возмущение вносит дополнительную ошибку. В простейшем
случае при ступенчатом характере возмущения: f (t )  FB1(t ) дополнительную ошибку e f в
установившемся режиме вычисляют по формуле:
e f  lim e f ( s)  lim s
s 0
s 0
FB
 e ( s)  FB lim  e (s) ,
s 0
s
(3.8)
Аналогично при линейно изменяющемся возмущении f (t )  VB 1(t ) :
1
 e (s) ,
s 0 s
e f  V B lim
38
(3.9)
Можно использовать коэффициенты ошибок по возмущению.
Методику определения установившегося значения ошибки, обусловленной действием
возмущения, проиллюстрируем на примере системы, структурная схема которой показана на
рисунке 3.1.
f(t)
v(t)
Σ
K1(s)
+
Σ
K2(s)
1
Рисунок 3.1
З а д а н и е : Определить установившуюся ошибку по возмущающему воздействию
f (t ) , если дано: W1( s) 
2
10
; W2 ( s )  ; f (t )  0,2  1(t ) .
s
1  0,05s
Р е ш е н и е : Находим передаточную функцию замкнутой системы по возмущению:
 f ( s) 
W2 ( s)
2(1  0,05s) .

1  W1 ( s)W2 ( s) s(1  0,05s)  20
Определяем
2(1  0  05s)
 0,02 .
s 0 s (1  0,05s)  20
e f  FB lim  f ( s)  0,2 lim
s 0
П р и м е ч а н и е : Полученный результат указывает на то, что по возмущению
f (t ) система является статической, в то время как по задающему воздействию v(t ) она является астатической с астатизмом первого порядка.
Упражнения:
39. На вход системы (рисунок 3.1) действует полезный сигнал
v(t )  (5  1,8t ) 1(t ), а на объект управления – возмущение нагрузки
f (t )  0,04t  1(t ) . Определить величину ошибки от задающего воздействия и от
возмущения и порядок астатизма по этим воздействиям, если дано:
50(0,1s  1)
1,5
а) W1 ( s) 
; W2 ( s)  .
s
s
90(0,2s  1)
2
б) W1( s) 
; W2 ( s) 
.
s(0,05s  1)
0,7 s  1
Ответ: а) e óñò  0; e f  0,02.
б) e óñò  0,1; e f  .
39
40. На рисунке 3.2 изображена структурная схема преобразованной системы управления, где K1  400 В/рад; K 2  0,2 В/Н·м; K3 = 2,2·10-2 рад/В;
T1 = 0,17 с. На систему поступает полезный сигнал  âõ (t )  [ k  t ]  1(t )
и возмущение со стороны нагрузки M ÑÍ (t )  M ÑÍ 1(t ) :
K2
вх ( t )
Σ
K1
K3
s(T1s+1)
Σ
MCH(t)
вых ( t )
1
Рисунок 3.2
Для установившегося режима работы рассчитать ошибки: по полезному
сигналу eyñò ; по возмущению eM и суммарную погрешность e при следующих исходных данных:
а)  k  0,8 ðàä ;   0,022 ðàä/ñ; МСН = 12 Нм;
б)  k  1,2 ðàä ;   0,05 ðàä/ñ; МСН = 3,2 Нм.
Ответ: а) eyñò  8,6 угл. мин.; eM  20,6 угл. мин.; e  29,2 угл. мин.;
б) eyñò  19,5 угл. мин.; eM  5,2 угл. мин.; e  24,7 угл. мин.
3.5 Повышение точности систем в установившемся режиме
В теории управления разработаны условия, при удовлетворении которых система в
установившемся режиме идеально без ошибок отрабатывает задающее воздействие и невосприимчива к медленно меняющемуся возмущающему воздействию, приведенному ко входу
объекта управления. Практическое выполнение этих условий основывается на введении в
канал рассогласования e( s )  v(s )  y ( s ) производных задающего воздействия sv(s );
s v (s); … для компенсации ошибки управления по задающему воздействию и на использовании интегрирующих обратных связей для компенсации ошибок, обусловленных возмущающим воздействием внешней среды.
2
Компенсация ошибок управления по задающему воздействию
Упражнения:
41. На рисунках 3.3 и 3.4 показаны структурные схемы двух систем с одинаковой передаточной функцией W ( s) :
40
W ( s) 
KV (T2 s  1)
.
s(T1s  1)(T3s  1)
s2v(s)
K2
sv(s)
K1
v(s)
S
+
sv(s)
e(s) +
S
W(s)
S
K1
y(s)
v(s)
S
e(s) +
S
y(s)
W(s)
1
1
Рисунок 3.3
Рисунок 3.4
Задание
Для каждой системы найти передаточную функцию замкнутой системы по
ошибке  e (s ) и показать, что при выполнении условия K1  1 / KV обе системы
будут обладать астатизмом второго порядка по отношению к задающему воздействию. Определить условия, при выполнении которых во второй системе
(рисунок 3.4) обеспечивается астатизм третьего порядка.
Ответ: K1  1 / KV ; K 2  (T1  T3  T2 ) / KV .
42. На вход системы (рисунок 3.3), передаточная функция которой
W ( s)  25/ s(0,12s  1) , поступает задающее воздействие v(t )  [5  0,08t ]1(t ).
Определить установившееся значение ошибки управления e óñò при следующих
условиях: а) K1  0 ; б) K1  0,04.
Ответ: e óñò  0,0032 ; e óñò  0 .
Компенсация ошибок от внешнего возмущения на входе
объекта управления
Упражнения:
43. На рисунке 3.5 показана структурная схема системы управления объектом, динамическая характеристика которого аппроксимирована передаточной
функцией интегрирующего звена с параметром Kоб. Устройство управления
содержит интегратор, охваченный обратной связью с коэффициентом KО.С. Параметры схемы K1 , KО.С и Kоб известны.
41
По отношению к возмущающему воздействию f (t ) система обладает астатизмом нулевого порядка. Чтобы повысить астатизм, а следовательно скомпенсировать ошибку от внешнего воздействия, в систему включена дополнительная
обратная связь с одним интегратором, как показано на рисунке 3.6 и с двумя интеграторами по схеме рисунка 3.7, где b1 и b2 – коэффициенты.
f(s)
v(s)
S
K1
S
1
s
Kоб
s
S
y(s)
K1
1
Рисунок 3.5
f(s)
v(s)
S
K1
1
s
S
Rоб
s
S
y(s)
Ko.c
S
1
s
b1
1
Рисунок 3.6
-f(s)
v(s)
S
K1
S
1
s
S
Kоб
s
-KO.C
S
S
1
s
-b1
1
s
-b2
1
Рисунок 3.7
42
y(s)
Задание
а) Записать передаточные функции замкнутой системы по возмущению
 f (s) для трех вариантов структурных схем и показать, что астатизм системы
относительно возмущения f (t ) увеличивается на столько единиц, сколько интеграторов используется в дополнительной обратной связи.
б) Используя критерий Рауса-Гурвица сформулировать требования к коэффициентам b1 и b2 по условиям устойчивости системы, если дано: K1  10 ;
Kоб = 1,6 и KО.С = 5,6.
3.6 Анализ качества в переходных режимах
Под анализом качества системы при переходе с одного режима работы на другой понимают получение переходного процесса; определение показателей, характеризующих его
развитие и ход; оценку соответствия этих показателей требуемым значениям.
Показатели качества переходного процесса каждой конкретной системы индивидуальны и обусловлены назначением системы, особенностями ее структурной схемы, параметрами схемы, ограничениями на управляемые процессы и другими факторами. Все это затрудняет анализ качества. Чтобы упростить процедуру анализ проводят в следующей последовательности. Сначала получают реакцию h(t ) замкнутой системы на единичное ступенчатое
воздействие, называемую переходной функцией и определяют ее основные показатели: перерегулирование –  (в процентах); время достижения переходным процессом максимального значения – t  ; время регулирования – t p ; колебательность, которая определяется числом m колебаний относительно установившегося значения hуст за время регулирования. Затем выбирают функционал в виде интегральной квадратичной функции, отражающей влияние задающего и возмущающего воздействия на систему и ограничения на процессы управления. Наконец, вычисляют значение функционала, которое одновременно характеризует
быстроту затухания и размер отклонений управляемой переменной в переходном процессе.
В теории автоматического управления были разработаны и широко применялись различные методы анализа качества. Некоторые из них, например, приближенные методы
оценки перерегулирования и времени переходного процесса (регулирования) до сих пор
применяются на этапах предварительного анализа и проектирования систем. Однако в
настоящее время наиболее удобны в практическом применении вычислительные методы,
известные как системы MATLAB.
3.7 Приближенная оценка перерегулирования и времени переходного
процесса по эквивалентной передаточной функции
замкнутой системы
Известно, что инерционные звенья, постоянные времени которых на порядок меньше
наибольшей постоянной времени в передаточной функции разомкнутой системы, не оказывают заметного влияния на характер переходного процесса в замкнутой системе и могут
быть исключены.
В подобных случаях даже достаточно сложные устойчивые системы удается описать
передаточной функцией вида
w 2Ï
( s)  2
,
(3.10)
s  2wÏ s  w 2Ï
сохраняя при этом основные свойства исходной системы.
43
С коэффициентом демпфирования  и собственной частотой w Ï колебаний системы
непосредственно связаны перерегулирование  (в процентах); время достижения переходным процессом максимального значения t  ; время регулирования t p .
Расчетные формулы
  100 exp( / 1   2 ) ;
(3.11)
t    / wï 1   2 ;
(3.12)
t p    t ,
(3.13)
где множитель  выбирают из ряда значений, приведенных в таблице 3.1.
Таблица 3.1


0,3
3,0
0,4
2,3
0,5
1,9
0,6
1,5
0,7
1,36
0,8
1,0
П р им е р : Оценить перерегулирование  и время регулирования t p в системе, структурная схема которой показана на рисунке 3.8, если дано: T1  0,5 с;
T2  0,10 с; K1  50; K 2  0,4; K 3  0,24.
 k (s )
v(t)
S
S
S
K1
T1s  1
1
T2 s
1
s
y(t)
-K2
-K3
Рисунок 3.8
Решение: Передаточная функция  k (s ) – внутреннего контура системы:
 k ( s) 
44
K1
K1 / 1  K1 K 2
.

T1s  (1  K1 K 2 ) 1  s T1 / 1  K1 K 2 )
При заданных значениях K1 , K 2 и T1 с погрешностью не более 5 % имеем
K1
T1
50
0,05

 2,5 ;

 0,0024 с.
1  K1 K 2 1  50  0,4
1  K1 K 2 1  50  0,4
Так как постоянная времени контура 0,0024 с на порядок меньше постоянной времени T2 (0,0024 < 0,1 T2 ), то инерционностью контура пренебрегаем. То1
гда  k ( s) 
 2,5 , а передаточная функция замкнутой системы принимает вид
K2
 k ( s) 
1 / K1 K 2
25
 2
.
2
s  ( K 3 / K 2T2 ) s  1 / K 2T2 s  6s  25
Следовательно, wÏ2  25 с-2, 2wÏ  6 . Находим wÏ  5 с-1   0,6 . Подставляя значения wÏ и  в (3.11), (3.12) и (3.13), получаем   9,4 % , t   0,8 с,
t p  1,2 с.
Упражнения:
44. Оценить перерегулирование  и время t p переходного процесса в системе (рисунок 3.8), если даны следующие значения параметров:
а) K1  100; K 2  0,12; K 3  0,10; T1  0,18 c; T2  0,23 c;
б) K1  100; K 2  0,12; K 3  0,167; T1  0,18 c; T2  0,23 c.
Ответ: а)   37 %; tp = 1,7с; б)   16 o ; tp = 1,1 с.
45. Для системы, структурная схема которой показана на рисунке 3.8,
определить численные значения регулируемых коэффициентов K 2 и K 3 , если
T2  0,014 c;
T1  0,007 c;
  30 %; t p  0,2 с;
дано: а) K1  210;
б) K1  180; T1  0,007 c; T2  0,014 c;   5 %; t p  0,14 с.
Ответ: а) K 2  0,048; K 3  0,02; б) K 2  0,032; K 3  0,029 .
3.8 Приближенная оценка перерегулирования и времени переходного
процесса по частотным характеристикам
Для типовых систем любого порядка, передаточные функции и частотные характеристики которых приведены в п. 2.4, перерегулирование  и время переходного процесса

можно оценить используя значения частоты среза wñð , запаса устойчивости по фаtp 
wñð
зе (wñð ) и данные, приведенные в таблице 3.2.
С коэффициентом демпфирования  и собственной частотой w Ï колебаний системы
непосредственно связаны перерегулирование (в процентах); время достижения переходным
процессом максимального значения t  ; время регулирования tр.
45
Таблица 3.2
(w ñð )


39
5,1
37
42
4,2
32
46
3,6
26
50
3,0
20
55
2,2
18
Упражнения:
46. Оценить перерегулирование  и время переходного процесса t p в системе для условий, приведенных в упражнении 25.
Ответ: а)   40 %; tp = 1,1 с; б)   32 %; tp = 0,9 с.
47. Для данных, приведенных в упражнении 29 оценить перерегулирование  и время переходного процесса.
Ответ:   32 %; t p  0,44 с.
3.9 Интегральная квадратичная оценка качества переходных процессов
Для детерминированных воздействий с непрерывным временем интегральную квадратичную оценку переходного процесса определяют путём интегрирования квадратичной
функции ошибки управления

J   e 2 (t )dt .
0
Вид функции е2(t) формируют с учетом воздействий на систему. В общем случае её записывают как сумму квадратов мгновенных значений ошибки по задающему воздействию
2
ev2 (t ) и ошибки по внешнему возмущению e f (t ) :
e2 (t )  ev2 (t )  e2f (t ) ,
Мгновенные значения ошибок определить по структурной схеме крайне сложно, а порой и не возможно. Это затруднение преодолевают, используя теорему Парсеваля, согласно
которой при нулевых начальных условиях
 j

1
0 e (t )dt  2j je(s)e(s)ds ,
2
где е(s) – изображение ошибки по Лапласу при s  jw .
Расчетные формулы
Интегральная квадратичная оценка Jv переходного процесса по задающему (управляющему) воздействию:
Jv 
46
1  j
 ev ( s)ev (s)ds ,
2j  j
(3.14)
где
ev ( s)  v( s) e (s) .
(3.15)
Интегральная квадратичная ошибка Jf вносимая внешним возмущением:
 j
1
Jf 
e f ( s)e f ( s)ds ,
2j j
где
e f ( s )  f ( s ) f ( s ) .
(3.16)
(3.17)
Суммарная интегральная оценка переходного процесса:
J  Jv  J f .
(3.18)
Контурные интегралы в (3.14) и (3.16) вычисляют используя итерационную процедуру или таблицы интегралов. Однако независимо от способа вычислений интегралов изображения ошибок е(s) и ef (s) необходимо записывать
в строгом соответствии со следующей полиноминальной формой
ev ( s ) 
n 1s n 1  n  2 s n  2  ...  0
,
 n s n   n 1s n 1  ...   0
'n1 s n1  'n2 s n2  ...  '0
e f (s) 
.
 n s n   n1s n1  ...   0
(3.19)
(3.19)
Причем, если какой-либо коэффициент полинома числителя отсутствует,
например  n 1 в (3.19) или ' n1 и 'n2 в (3.20), то на месте отсутствующего коэффициента следует писать число 0. В противном случае можно получить
ошибочный результат.
Значения контурных интегралов
при n = 1
при n = 2
02
02
Jv 
; Jf 
2 01
201
02
02
12
12
Jv 


; Jf 
201 21 2
201 21 2
(3.20)
(3.21)
47
Пример интегральной оценки качества переходного процесса

З а д а н и е . Определить значение функционала Jv   ev2 (t )dt , если на вход
0
системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии W ( s ) 
поступает полезный сигнал v(t )  ( A  Bt )  1(t ) .
K a (1  T2 s )
s2
Решение.
Записываем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке
1
s2
e ( s) 
 2
.
1  W ( s ) s  K aT2 s  K a
A B As  B
.
и изображение входного сигнала: v( s )   2 
s s
s2
As  B
Следовательно, ev ( s)  v( s)Ôe (s) 
.
1s 2  K aT2 s  K a
Сопоставляя полученное выражение с выражением (3.19), находим:
 0  B; 1  A;  0  K a ; 1  K 2T2 ;  2  1.
Так как n  2 , то используя формулу (3.23) получим:
B 2  A2 K a
B2
A2
Jv 


.
2 K a2T2 2 K aT2
2 K a2T2
Упражнения:
48. На рисунке 3.9 приведена структурная схема системы управления объектом, динамическая характеристика которого аппроксимирована передаточной функцией апериодического звена с динамическими параметрами объекта
Kоб и Tоб. В устройстве управления реализован интегральный закон управления.
Параметры схемы K1, Kоб и Tоб заданы. Задающее воздействие на входе системы v(t )  A 1(t ) , внешнее возмущение f (t )  B  1(t ) , где A и B известные величины. Найти алгебраические выражения для вычисления интегральных
квадратичных ошибок: Jv, Jf и J = Jv+Jf.
 f(t)
v(t)
Σ
K1
s
K об
Tоб s  1
Σ
1
Рисунок 3.9
48
y(t)
B 2 Kî á
A2
1
Ответ: Jv 
.
(Tî á 
); J f 
2
K 1 Kî á
2 K1
49. Найти значение интегральной квадратичной оценки переходного процесса в системе, структурная схема которой показана на рисунке 3.10, полагая,
что задающее воздействие на входе системы v(t )  1(t ).
v(t)
Σ
e(t)
Σ
K1
1
s
K об
s
y(t)
-Ko.c
1
Рисунок 3.10
Исходные данные
а) K1 = 10; Kоб = 0,4; KO.C = 1;
б) K1 = 10; Kоб = 0,4; KO.C = 2.
Ответ: а) J = 0,025; б) J = 0,02.
Задача
Для системы, структурная схема которой показана на рисунке 3.10, где
v(t )  A 1(t ) определить коэффициент обратной связи KO.C , коэффициент
демпфирования системы ξ , перерегулирование σ переходного процесса, время
достижения переходным процессом максимум tσ, при следующих исходных
данных:
а) А = 0,4; K1Kоб = 16; Jv = 0,04; б) А = 0,4; K1Kоб = 16; Jv = 0,048.
Ответ:
а) KO.C = 4; ξ = 0,5; σ = 16 %; tσ = 1,15 c;
б) KO.C = 7,45; ξ = 0,93; σ = 7,8 %; tσ = 2,15 c,
или б) KO.C = 2,15; ξ = 0,27; σ = 41 %; tσ = 0,82 c.
49
4 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ
При описании систем уравнениями в пространстве состояния удобно использовать
графические схемы моделей. На их основе получают уравнения в векторно-матричной форме. В зависимости от вида матрицы А различают нормальную форму уравнений состояния,
когда матрица А является Фробениусовой, и каноническую форму, когда матрица А – диагональная (в общем случае – матрица Жордана). Важен переход от одной формы уравнений к
другой. При использовании уравнений состояния в системе отмечаются новые свойства:
управляемость и наблюдаемость. В данном разделе рассматриваются примеры исследования
особенностей описания САУ в пространстве состояния.
4.1 Получение уравнений состояния в нормальной форме
Наиболее просто получаются уравнения состояния в нормальной форме, когда входное
воздействие является функцией времени (отсутствуют производные).
П р им е р 1 . Динамика САУ описывается дифференциальным уравнением третьего порядка y  2 y  3 y  y  v .
Необходимо составить структурную схему модели и получить уравнения в
пространстве состояния.
Решение. Примем в качестве переменных состояния выходную координату и ее производные: x1  y, x2  y, x3  y. Структурная схема будет иметь
следующий вид:
v


y  x3

x3  y

x2  y

x1  y
 
2
3
1
В соответствии с этой схемой запишем уравнения состояния:
 x1  x2 ,
 x2  x3 ,
 x   x  3x  2 x  v ,
2
3
 y3 x . 1

1
50
В развернутом виде
 x1   0 1 0   x1  0 
 x1 
 x    0 0 1   x   0  v, y  1 0 0  x  ,

 2 
 2 
 2  
 x3   1 3 2   x3  1 
 x3 
в компактной форме
 x  Ax  bv,

T
 y  C x,
0 1 0
где A   0 0 1  ,


 1 3 2 
0 
b  0  , CT  1 0 0.
 
1 
В случае, когда исходное дифференциальное уравнение имеет более сложную правую часть (содержит производные от входного воздействия), структура
модели также усложняется.
П р им е р 2 . Динамика САУ описывается дифференциальным уравнением второго порядка ( p 2  4 p  1) y  (2 p  7)v.
Необходимо составить структурную схему модели и получить уравнения в
пространстве состояния.
Решение. Представим исходное уравнение в следующем виде:
v
z
2p  7
1
p  4 p 1
y
2
Этой структуре соответствует запись:
(2 p  7)v  z , ( p 2  4 p  1) y  z.
Схема модели:
2p

v
z 

7

y



y

y

4
1
51
Преобразуем эту структуру, перенеся вперед выход верхнего блока (2p)
через один интегратор и избавившись от производной. Окончательно схема
модели будет:
2
v

7
x2  y



x2  y




x1

x1  y
4
1
Введя переменные состояния x1  y , x2  y , получим:
 x1  x2  2v,

 x2   x1  4 x2  7v,
y  x
1

или
 x  Ax  bv,

T
 y  C x,
0 1
где A  
,
 1 4 
 2
b    , CT  1 0 .
 7
Упражнения:
50. Динамика САУ описывается дифференциальным уравнением
( p  p3  7 p 2  10 p  1) y  2v . Получить уравнения в пространстве состояния,
предварительно составив структурную схему модели.
4
 x  Ax  bv,
Ответ: 
T
 y  C x,
0
0
где A  
0

 1
52
0
 0
 0
0
 , b    , CT  1 0 0 0 .
 0
1

 
10 7 1
 2
1
0
0
0
1
0
51. Динамика САУ описывается дифференциальным уравнением
( p  2 p  1,5) y  (3 p  1)v . Получить уравнения в пространстве состояния,
предварительно составив структурную схему модели.
2
 x  Ax  bv,
Ответ: 
T
 y  C x,
 0 1
где A  
,
 1,5 2 
 3
b    , CT  1 0 .
1
4.2 Получение уравнений состояния в канонической форме
При переходе от нормальной формы (матрица А – Фробениуса) к канонической осуществляют замену переменной через подстановку X = MQ, где М – модальная матрица вида:
1
 1
 
2
 1

 n 1 n 1
1  2
1 
n 
 , где  i – корни характеристического уравнения системы. Тогда урав

 nn 1 
0
1 0
Q=Q  M 1bv,

нения состояния будут 
где
  0 2
0 .

T


 y  C MQ,
 0 0
 n 
П р им е р 1 . Динамика САУ описывается дифференциальным уравнением y  3 y  2 y  v . Получить уравнения состояния этой системы в канонической форме.
Решение. Уравнения состояния в нормальной форме, полученные по изложенной методике (см. пример 1 п.4.1):
 x  Ax  bv,

T
 y  C x,
0 1
0 
,
b

, CT  1 0 .
где A  



 2 3 
1 
Корни характеристического уравнения системы  2  3  2  0 будут
1  1;  2  2. Их можно получить из матрицы А как
1 
0  
det  A  E   det 
  2  3  2  0.

 2 3   
53
1 1
Модальная матрица M  
.
 1 2 
1
M n , где Mn – присоединенная матрица.
Матрица M 1 
M
M 1 
1  2 1  2 1 

.
1  1 1   1 1
 2 1  0  1 
Вычислив M 1 b  
     и
 1 1 1   1

1
Q=

Q


 1 v,
окончательно имеем 
 
 y  1 1 Q.
 

1 1
C T M  1 0 
  1 1 ,
 1 2 
При преобразовании к канонической форме уравнений состояния произвольного вида модальная матрица образуется вектор-столбцами x i , т.е. собственными векторами каждого корня  i :
 x1

 x
M  2

 x
 n
x1n 

x2n 
,

n
xn 
где x i находится из решения системы  A  i  xi  0 для i  1,..., n .
П р им е р 2 . САУ описывается уравнениями состояния:
2
1
1 2 
1 3 
X 
X

V
,
Y


2 3
2 4 X .

6

6






Необходимо составить уравнения состояния в канонической форме.
Решение. Находим корни характеристического уравнения:
2 
1  
det 
  2  5  6  0;

 6 6   
1  3;  2  2.
Определим собственные векторы из решения системы  A  i  xi  0 при
i  1; 2.
(a11  1 ) x11  a12 x12  0,
Пусть i  1  3 . Тогда 
откуда 2 x11  x12  0 .
1
1
a21x1  (a22  1 ) x2  0,
54
1
Приняв произвольно x11  1 , имеем x12  2 и x12    .
 2 
(a11   2 ) x12  a12 x22  0,
При i   2  2 система 
приводится к уравнению
2
2
a21x1  (a22   2 ) x2  0
2
3 x12  2 x22  0 , откуда например, при x12  2 получим x22  3 и x 2    .
 3
1 2
Итак модальная матрица M  
.
 2 3
 3 2  1 2   7 12 
1
1  3 2   3 2 
M 1 
Mn  

; M 1B  


 2 3   4 7  ;
2
1
M
12 1 2 1


 

1 3   1 2   5 7 
CM  


.
 2 4   2 3  6 8 
Окончательно
  3
Q= 
 0

Y   5
 6



0
 7 12
Q+ 

V ,
2
4
7


7 
Q.
8
Упражнения:
52. Динамика САУ описывается дифференциальным уравнением
y  5 y  6  v . Получить уравнения состояния этой системы в канонической
форме.

1
 2 0 
Q=Q    v,
Ответ: 
где   
 1
.
0

3


 y  1 1 Q,
 

53. Динамика САУ описывается уравнениями состояния
7 
2
1 2 
 1 3
X 
X 
V, Y  


 X.

5

10
3
4
2
5






Преобразовать эти уравнения к канонической форме.
 8

 14 21 
  7 4 
 3 0 
Ответ: Q=Q   13 19  V ; Y  
 Q, где   
.

0

5
11
 



6 
 2
2

 7
55
4.3 Исследование управляемости и наблюдаемости САУ
Рассмотрим управляемость и наблюдаемость на примере САУ второго порядка.
Если динамика САУ описывается уравнениями состояния в нормальной форме, то исследовать эти свойства системы целесообразно по матрицам управляемости и наблюдаемости.
П р им е р 1 . Уравнения САУ имеют вид:

 0 1
1 
X    v,
X  

 20 9 
 2

y  2 1 X.
 

Определить управляемость и наблюдаемость.
Решение.
rank K y  2.
Матрица
K y  B
1  1   1 2 
1  0
AB    
    
,
 2  20 9  2   2 38
1
 2

1
 Ñ 
  2
Матрица K Í    
1   
 0
 , rank  2.

20

7
ÑÀ  2 1 



 20 9 

Система полностью управляема и полностью наблюдаема.
Для исследования управляемости и наблюдаемости можно перейти к канонической форме уравнений состояния и оценить матрицы В и С.
П р им е р 2 . Пусть уравнения САУ имеют вид, представленный в предыдущем примере.
Необходимо определить управляемость и наблюдаемость.
Решение. Найдем корни характеристического уравнения системы как
1 
0  
det  A  E   
  2  9  20  0, 1  4;  2  5.

 20 9   
1 1
1
1  5 1  5 1 
1
;
M

M


;
Модальная матрица M  
n

M
1  4 1   4 1
 4 5
 5 1  1   7 
1 1
T
M 1 b  

;
C
M

2
1


   
 4 5   6 3.
 4 1  2   6 


Уравнения состояния в канонической форме:
  4 0 
7
Q+
Q= 

 6  v,
0

5

 
 
 y  6 3 Q.



56
Так как матрицы b и C T  не содержат нулевых элементов, то система
полностью управляема и полностью наблюдаема (выводы совпали с результатами предыдущего примера).
Упражнение:
54. САУ описывается уравнениями:

0 1
2
X    v,
x  

 3 4 
3

y  1 0 X.
 

Определить управляемость и наблюдаемость системы.
57
5 КОРРЕКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
Задача коррекции состоит в том, чтобы определить передаточные функции таких корректирующих устройств, которые при минимальной сложности их реализации обеспечивают системе требуемые показатели качества.
Задачу решают в два этапа. На первом этапе осуществляют синтез желаемой передаточной функции разомкнутой системы, а на втором – выбирают наиболее предпочтительный
способ коррекции и определяют передаточные функции корректирующих звеньев.
5.1 Синтез желаемой передаточной функции
Традиционные методы синтеза основаны на использовании частотных логарифмических амплитудных характеристик (ЛАХ). Наиболее часто используют типовые желаемые
характеристики, приведенные в таблице 5.1.
Для всех желаемых ЛАХ характерно, что они пересекают ось нуля децибел под единичным наклоном -20 дб/дек, что необходимо для обеспечения устойчивости.
Синтез желаемой передаточной функции Wæ ( s ) осуществляют в следующей последовательности. Ориентируясь на передаточную функцию W ( s ) разомкнутой системы, состоящей из функционально необходимых элементов, выбирают тип желаемой ЛАХ Læ (w) . Затем, используя заданные показатели качества, осуществляют привязку среднечастотной
асимптоты Læ (w) с единичным наклоном к оси частот и сопрягают ее с асимптотами ЛАХ
неизменяемой части системы в области низких и в области высоких частот. Наконец, записывают передаточную функцию Wæ ( s ) .
Методику синтеза Wæ ( s ) проиллюстрируем на нескольких примерах.
П р и м е р 1. Синтез Wæ ( s ) по заданным значениям ошибки max и
частотного показателя качества M
Исходные данные:
Скорость изменения воздействия на входе системы с астатизмом первого порядка не
превышает значения  max  0,12 ðàä/ñ , а ускорение –  max  0,1 ðàä/ñ2 . Требуется построить желаемую ЛАХ Læ (w) и определить Wæ ( s ) системы, удовлетворяющей следующим
показателям качества: максимальная ошибка  max  2 угл.мин., показатель колебательности
M  1,3 . Передаточная функция W (S ) исходной системы, состоящая из функционально необходимых элементов (без коррекции):
W ( s) 
K
.
s(1  0,054s)(1  0,01s)
Решение. Общий коэффициент разомкнутой системы K  

58
0,12
 3438  206 c-1 . Координаты контрольной точки AK :
2
частота

0,1
wK  max 
 0,8 c1 ;
max 0,12
(5.1)
 max

max
(5.2)
ордината
LK  20lg
2
max
max max
0,122
 20lg
 3438  48 дб.
0,12
(5.3)
Таблица 5.1 – Типовые желаемые передаточные функции и асимптотические
ЛАХ
Передаточная функция
Асимптотическая ЛАХ Læ (w)
Wæ ( s )
Lж , дб
w1 
1
T0
-20
w 3 1
T3
w2  1
T2
h
Wæ ( s) 
K (1  T2 s)
w4 
1
T4
-40
n
s(1  T1s) Ï (1  Ti s)
-20
i 3
w KV
w ср
w0
w, с1
-40
-60
Lж , дб
Wæ ( s ) 
w3 
KW (1  T2 s )
1
T3
h
2
n
s 2 Ï (1  Ti s )
w4 
i 3
KW  w
1
w0
wср
Lж , дб
Wæ ( s) 
h
2
(1  T0 s)2 Ï (1  Ti s)
1
w
1 0
w2 
T2
wср
3 w, с1
1
T3
w4 
n
i 3
2
w3 
0
K
1
T4
2
1
T4
3 w, с
1
59
По этим данным строим запретную зону, в которую не должна попадать
желаемая ЛАХ. Для этого (см. рисунок 5.1) на частоте wK  0,8 c1 откладываем ординату LK  48 äá и через полученную точку AK проводим две прямые с
наклоном -20 дб/дек и -40 дб/дек.
L, дб
1
T1
Aк
1
T2
1 1
1
T3 0, 01 T4
1
0, 054
A
LK  48 дб
 20
 40
L
Lж
B
 40
 20
wк
w 2 10
1
w1  2wк
w0
148
K  206
wср
w, c1
100
C
20 lg
20 lg
M
 13, 2 дб
M 1
D
M
 5 дб
M 1
 60
w3 w4
Рисунок 5.1
Первую сопрягающую частоту w1 принимаем равной 2 wK :
w1  2wK  2  0,8  1, 6 c 1 .
(5.4)
Допустимое значение первой постоянной времени
T1 
1
1

 0, 625 c.
w1 1, 6
(5.5)
Через точку А проводим асимптоту с наклоном -40 дб/дек и находим базовую частоту
w0 
Kw1  206 1, 6  18, 2 c1 .
(5.6)
В соответствии с требованием M  1,3 принимаем показатель колебательности M = 1,28 и находим границы среднечастотной асимптоты:
60
20lg
M
1, 28
 20lg
 13, 2 дб,
M 1
1, 28  1
(5.7)
M
1, 28
 20lg
 5 дб.
M 1
1, 28  1
(5.8)
20lg
Определяем частоту сопряжения w2 как абсциссу точки В, полученной
при пересечении асимптоты с наклоном -40 дб/дек верхней границы среднечастотной асимптоты:
M 1
1, 28  1
 18, 2
 8,5 c1 .
M
1, 28
w2  w0
(5.9)
Требуемое значение второй постоянной времени
T2 
1
1

 0,118 c.
w 8, 5
(5.10)
Строим среднечастотную асимптоту с единым наклоном до пересечения с
нижней границей в точке С, абсцисса которой определяет частоту сопряжения
w3  w0
M 1
1, 28  1
 18, 2
 69, 2 c 1.
M ( M  1)
1, 28(1, 28  1)
(5.11)
Третья постоянная времени
T3 
1
1

 0, 0145 c.
w3 69, 2
(5.12)
По передаточной функции (5.1) строим ЛАХ L(w) исходной системы и
формируем высокочастотные асимптоты желаемой ЛАХ Læ (w) так, чтобы их
наклоны совпадали с наклонами высокочастотных асимптот L(w) . В этом случае сопрягающая частота w4  100 ñ1 , а четвертая постоянная времени
T4 
1
 0, 01 c.
w4
(5.13)
Желаемая передаточная функция разомкнутой системы
WÆ ( s) 
K (1  T2 s )
206 (1  0,118s)

.
s(1  T1s)(1  T3s)(1  T4 s) s(1  0, 625)(1  0, 0145s)(1  0, 01s)
(5.14)
61
Можно продолжить высокочастотный участок с наклоном -40 дб/дек до
совпадения асимптот в точке D. Тогда соответствующая постоянная времени
1
T4 
 0, 0068 , а Wæ ( s ) принимает вид
148
Wæ ( s) 
206(1  0,118s)
.
s(1  0, 625s)(1  0, 0145s)(1  0, 0068s)
(5.15)
П р и м е р 2. Синтез Wæ (w) по допустимому значению установившейся ошибки и требуемым показателям качества в переходных режимах:
 %, , t p .
Построить желаемую ЛАХ Læ (w) и определить передаточную функцию Wæ ( S ) для
системы с астатизмом первого порядка, удовлетворяющей следующим условиям: допустимое значение установившейся ошибки äî ï  8 óãë.ì èí . при постоянной скорости
  0,16 ðàä/ñ и ускорении   0, 24 ðàä/ñ2 ; максимальное перерегулирование  %  30 % ;
время регулирования переходного процесса t ð  0, 4 ñ при числе колебаний n  2 ; передаточная функция исходной некорректированной системы
W ( s) 
K
.
s(1  0,038s)(1  0,0087 s)
(5.16)
Решение. Полагаем погрешность по скорости  ñê и погрешность по
ускорению  óñê равными:
1
ñê   óñê    4 óãë.ì èí .
2
Определяем добротности системы:
по скорости
 0,16
D  K 

 3438  137,5 ñ1 ,
ñê
4
по ускорению
D  K 

 óñê

0, 24
 3438  206 ñ2 .
4
(5.17)
(5.18)
(5.19)
Для дальнейших расчетов принимаем:
K   140 c 1 , K   210 c 2 , w0  K  210  14,5 c1 .
(5.20)
Проверяем выполнение условий по точности

62

  0,16 0, 24 



  3438  7,86 угл.мин.
K  K   140 210 
(5.21)
Условие   8 óãë.ì èí . выполняется.
Определяем первую сопрягающую частоту w1 желаемой ЛАХ:
w1 
K  210

 1,5 c1 .
K  140
(5.22)
и соответствующую ей постоянную времени Т1 желаемой передаточной функции Wæ ( s) :
1
1
(5.23)
T1 

 0, 67 c.
w1 1, 5
Принимаем  %  26 % . Из таблицы 3.2 находим b  3,6 и определяем
допустимое значение частоты среза
wñð 
   3,14  3, 6

 28 ñ1 .
tð
0, 4
(5.24)
Принимаем wñð  30 ñ1 .
Определяем вторую сопрягающую частоту
w02 210
w2 

 7 ñ1 .
wñð
30
(5.25)
и соответствующую постоянную времени
T2 
1 1
  0,143 c.
w2 7
(5.26)
Строим желаемую ЛАХ Læ (w) до частоты среза wñð . Через точку с ординатой 20 lg K   43 дб и абсциссой w  1 проводим асимптоту с единичным
наклоном -20 дб/дек до пересечения с осью абсцисс в точке w  K   140 c 1 .
Через точку A, соответствующую частоте w1  1,5 c1 , проводим асимптоту с
наклоном -40 дб/дек и через wñð  30 c1 – асимптоту с единичным наклоном
-20 дб/дек. Пересечение прямых даёт вторую опорную частоту w2  7 ñ1 .
Для правильного выбора параметров высокочастотной части желаемой
ЛАХ построим ЛАХ L(w) исходной нескорректированной системы в соответствии с выражением (5.16). Так как наклоны высокочастотных ЛАХ Læ (w) и
L(w) должны совпадать, то принимаем
w3  10w2  10  7  70 ñ1
(5.27)
и достраиваем Læ (w) так, как показано на рисунке 5.2.
63
L(w), дб
1
T1
1
20 lg K
40
1
1
1
w3 
T3 0,0087
0,038
1
T2
A
1
-20
T3
L
-40
20
B
1 w  1,5
1
w2  7
Lж
2
-20
10
w0  210
wср
K   140 c1
w, c1
100
C
-60
Рисунок 5.2
Проверяем условие сохранения запасов устойчивости
2
w3
 4,
wñð
(5.28)
w3
70

 2,3.
wñð 30
Условие (5.28) соблюдается.
По желаемой ЛАХ записываем передаточную функцию
находим
Wæ ( s) 
K  (1  T2 s)
140(1  0,143s)
. (5.29)

s(1  T1s)(1  T3s)(1  T4 s) s(1  0,67 s)(1  0,0143s)(1  0,0087 s)
Можно продлить среднечастотную асимптоту желаемой ЛАХ до пересечения с L(w) . Это даст новую постоянную времени T3  0, 008 ñ и передаточную функцию
Wæ ( s) 
140(1  0,143s)
.
s(1  0, 67 s)(1  0, 008s) 2
(5.30)
Упражнения:
48 Допустимое значение ошибки по скорости ñê  4 угл.мин. при
max  0,14 ðàä/ñ . Ускорение max  0, 21 ðàä/ñ2 . Построить низкочастотную
часть желаемой ЛАХ при следующих условиях:
64
а) w1  2 wK ; б) w1  wK ; в) w1  0, 6 wK .
Ответ: параметры низкочастотной части желаемой ЛАХ:
w0  20 c 1 ;
а) K   120 c1 , w1  3 c1 ,
б) K   170 c1 ,
w1  1,5 c 1 , w0  16 c 1 ;
в) K   200 c1 ,
w1  0,9 c 1 , w0  13, 4 c 1 .
49 Построить среднечастотную часть желаемой ЛАХ при следующих
данных:
а) w0  16 ñ1 , M  1, 2 ; б) w0  18 ñ1 , M  1, 24 ; в) w0  18 ñ1 , M  1,18 .
Ответ: сопрягающие частоты среднечастотной асимптоты:
а) w2  6,5 c1 , w3  72 c 1 ;
б) w2  7,9 c1 , w3  74 c 1 ;
в) w2  7 c1 , w3  85 c-1 .
50 Построить среднечастотную часть желаемой ЛАХ, если дано: добротность системы по скорости D  150 c 1 , добротность по ускорению 180 c2,
максимальное перерегулирование   38 % , время регулирования переходного
процесса t ð  0,5 ñ .
Ответ: частота среза wñð  26 ñ1 , сопрягающие частоты: w2  7 ñ1 ,
w3  70 ñ1 .
51 Выбрать вид желаемой ЛАХ и рассчитать параметры желаемой передаточной функции системы, которая должна обеспечивать время регулирования
переходного процесса t ð  0,15 ñ и значение ошибки по скорости
ñê  3 óãë.ì èí . при скорости изменения задающего воздействия на входе
системы âõ  0, 24 ðàä/ñ . Показатель колебательности системы M  1,38 , не
более.
П р и м е ч а н и е : при решении задачи воспользоваться соотношением
wñðt ð  7,85 .
Ответ: Wæ ( s) 
275(1  0, 071s)
.
s(1  0,38s)(1  0, 0113s)
5.2 Последовательная коррекция
Структурная схема системы, в которой корректирующее звено включено в прямую
цепь управления, показана на рисунке 5.3. При установленных передаточных функциях
Wæ ( s ) и W ( s ) передаточную функцию WK ( s ) корректирующего звена находят из условия:
65
WK ( s) 
Wæ ( s) .
W ( s)
(5.31)
Wж ( s )
хвх ( s )
S
W (s)
Wк (s)
хвых ( s )
Рисунок 5.3
Упражнения:
52 На рисунке 5.4 изображены логарифмические амплитудные характеристики скорректированной разомкнутой системы Læ (w) и разомкнутой системы, состоящей из функционально необходимых элементов, L(w) . Записать передаточную функцию Wê ( s ) корректирующего звена. Определить запас устойчивости по фазе скорректированной системы.
1  0, 2s
Ответ: Wê ( s) 
, (wñð )  52 .
1  0,8s
L, дб
40
1
T
20
1
T2
1 1

Tа T3
L
40
Lж
1 1,25
5
10
20
wср
50
100
w, c1
40
40
Рисунок 5.4
53 Частотные логарифмические амплитудные характеристики Læ (w) для
скорректированной системы и L(w) для системы, состоящей из функционально
необходимых элементов, показаны на рисунке 5.5. Определить передаточную
функцию последовательно включённых корректирующих звеньев и рассчитать
их параметры. Рассчитать запас устойчивости по фазе (wñð ) скорректированной системы и оценить показатели качества в переходном режиме.
66
1  T2 s 1  Ta s 1  0, 2s 1  0, 08s



;
1  T1s 1  T3s 1  0,8s 1  0, 02s
  20% , t p  0, 4 c .
(wñð )  52 % ,
Ответ: Wê ( s) 
L, дб
40
1
T1
1
T2
40
20
1 1,25
L
Lж
5
1
Tа
1
T3
20
10 12,5
wср
50
100
w, c1
40
Рисунок 5.5
5.3 Корректирующая обратная связь
Различают жёсткую и гибкую обратную связь.
Жёсткую обратную связь используют для снижения инерционности отдельной функциональной части системы и как следствие для поднятия ЛАХ L(w) в области средних и высоких частот. Это позволяет упростить реализацию последовательных корректирующих звеньев.
П р и м е р . Исходные данные:
Задана передаточная функция W ( s ) разомкнутой нескорректированной
систем:
W ( s) 
100
.
s(0, 08s  1)
Соответствующая ЛАХ L(w) показана на рисунке 5.5. Выделим в структурной схеме системы инерционное звено с постоянной времени Ta  0, 08 c и
охватим его жёсткой отрицательной обратной связью с коэффициентом преобразования ko.c. , как показано на рисунке 5.6.
67
10

S

10
0, 08S  1
1
S
kO.C.
Рисунок 5.6
Согласно схеме запишем новую передаточную функцию:
1
10
1  10  ko.c.
10 1  0, 08s
100
Wê ( s)  


.
s 1  10  ko.c.
s 1  0, 08 s
1  10  ko.c.
1  0, 08s
1
положим равной постоянной вре1  10  ko.c.
мени T3  0, 02 с желаемой передаточной функции скорректированной систе0,08
0, 08
мы. Тогда из равенства
 0, 02 . Находим: 1  10  ko.c. 
4 и
1  10  ko.c.
0,02
ko.c.  0,3 .
Жёсткая обратная связь уменьшает коэффициент преобразования звена в
1
. Поэтому для сохранения заданной добротности системы коэффи1  10  ko.c.
циент усиления звена в прямой цепи на входе сумматора необходимо увеличить в 1  10  ko.c.  1  10  0,3  4 раза.
На рисунке 5.7 показана структурная схема разомкнутой системы с жёсткой обратной связью:
100
Её передаточная функция: W ( s) 
s(1  0,02s)
соответствует ЛАХ L(w) , показанной на рисунке 5.4.
В этом выражении величину
40

S

10
1  0, 08s
0,3
Рисунок 5.7
68
1
s
Гибкая обратная связь играет в системе ту же роль, что и последовательная коррекция. Однако её реализация оказывается часто более простой.
Для получения передаточной функции Wo.c. ( s ) гибкой обратной связи целесообразно
получить вначале передаточную функцию Wê ( s) последовательной коррекции, а затем пересчитать её в эквивалентную обратную связь по формуле:
Wo.c. ( s) 
1  Wê ( s) ,
Wê ( s)W2 ( s)
(5.32)
где W2 ( s ) – передаточная функция элементов системы, охватываемых обратной связью.
П р и м е р . Исходные данные:
– Структурная схема скорректированной системы: рисунок 5.8;
– Передаточные функции частей исходной системы:
W1 ( s )  10 ; W2 ( s) 
10
.
1  0, 08s
– Желаемая передаточная функция скорректированной системы:
Wæ ( s) 
хвх (s )

100(1  0, 2s)
s(1  0,8s)(1  0,02s)
K ж (s)
S
W1 ( s )


S

W2 ( s )
1
S
хвых (s )
WO.C (s)
Рисунок 5.8
Определить вид и параметры передаточной функции Wo.c. ( s ) .
Решение. Передаточная функция нескорректированной системы:
1
100
W (s)  W1(s)W2 (s)  
s s(1  0,08s)
Передаточная функция корректирующего звена последовательного типа:
Wê ( s) 
Wæ (s) (1  0, 2s)(1  0, 08s)

.
W ( s) (1  0,8s)(1  0, 02s)
Передаточная функция корректирующей обратной связи:
69
(1  0, 2s)(1  0, 08s)
1  Wê ( s)
(1  0,8s)(1  0, 02 s)
Wo.c. ( s ) 

.
10
Wê ( s )W2 ( s) (1  0, 2 s)(1  0, 08s) 
(1  0,8s)(1  0, 02 s) (1  0, 08s)
1
Преобразуя правую часть этого выражения, получим:
Wo.c. ( s) 
0, 054s
.
(1  0, 2s)
Упражнения:
54 Исходные данные:
- Структурная схема скорректированной системы: рисунок 5.8;
- Передаточные функции частей нескорректированной системы:
W1( s) 
20,6
,
(1  0,01s)
W2 ( s) 
10
;
(1  0,54s)
- Желаемая передаточная функция разомкнутой системы:
Wæ ( s) 
206(1  0,118s)
.
s(1  0, 01s)(1  0, 625s)(1  0, 0145s)
З а д а н и е : Определить передаточную функцию и параметры корректирующей обратной связи.
0,047 s(1  0,0057 s)
Ответ: Wo.c. ( s) 
.
(1  0,118s)
Передаточная функция Wo.c. ( s ) физически нереализуема, так степень полинома числителя больше степени полинома знаменателя. Однако постоянная
времени 0,0057  0,118 с. Поэтому её влиянием можно пренебречь и на этом
основании записать:
Wo.c. ( s) 
0,047 s
.
(1  0,118s)
55 Исходные данные:
– Структурная схема скорректированной системы: рисунок 5.8;
– Передаточные функции частей начальной нескорректированной
системы:
70
W1( s) 
62,6
,
(1  0,01s)
W2 ( s) 
5
;
(1  0,08s)
– Желаемая передаточная функция разомкнутой системы:
Wæ ( s) 
313(1  0,12s)
.
s(1  0,91s)(0, 012s)(1  0, 01s)
З а д а н и е : Определить передаточную функцию и параметры корректирующей обратной связи.
0,144s
Ответ: Wo.c. ( s) 
.
(1  0,12s)
56 На рисунке 5.9 изображена структурная схема скорректированной системы, передаточная функция которой в разомкнутой состояний имеет вид:
Wæ ( s) 
хвх ( s )


S
1000(1  0, 05s)
.
s(1  0, 733s)(1  0, 0051s)(1  0, 0014s)
K1 (1 0,05 s )
1 0,733 s


S
Wж ( s )
10
1,8310
 -4 s 2  2 ,2102 s 1
K о.с
1
S
хвых ( s )
1s
1 0 ,1s
Рисунок 5.9
З а д а н и е : Определить численные значения параметров схемы: K1 , K o.c.
и  , обеспечивающих желаемую передаточную функцию Wæ ( s ) .
Рекомендация: При определении параметров положить 0,1  0 .
Ответ: K1  2500 , K o.c.  24 ,   0,006c.
5.4 Параллельная коррекция
Используется для введения в закон регулирования интеграла и производной от ошибки
управления. Введение интеграла уменьшает установившиеся ошибки, а производной – перерегулирование.
Устройства, реализующие принципы параллельной коррекции, называют обычно регуляторами пропорционально-интегрального (ПИ), пропорционально-дифференциального
(ПД) и пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) действия.
71
Структурная схема ПИД регулятора показана на рисунке 4.10. Расчёт регулятора заключается в определении значений Kp, TИ и TД по заданным требованиям к качеству системы.
e(s )
1
TИ s
KP
S
U (s )
TД s
Рисунок 5.10
П р и м е р . Исходные данные:
- Структурная схема системы: рисунок 5.11;
- Параметры схемы: K 0  9 , T01  0,8 c , T02  0, 04 c ;
- Задающее воздействие на входе системы: xâõ (t )  1(t ) .
х вх ( s )

S
e(s)
W p (s)

u(s)
K0
(1  T01s)(1  T02 s)
х вых ( s )
Рисунок 5.11
З а д а н и е : Определить передаточную функцию регулятора W p ( s ) , которая устраняет установившуюся ошибку и сохраняет неизменным коэффициент
демпфирования  .
Решение. Характеристическое уравнение системы без регулятора
( W p ( s )  1 ).
T01T02 s 2  (T01  T02 ) s  (1  K 0 )  0 .
(5.33)
Сводим к уравнению стандартного вида
s 2  2wÏ s  w2Ï  0
(5.34)
путём деления всех членов уравнения (5.33) на величину T01 T02 . Получим:
s2 
72
T01  T02
1  K0
s
 0.
T01T02
T01T02
(5.35)
Сопоставляя уравнения (5.34) и (5.35) находим:
1  K0
1 9

 17, 68 c1;
T01T02
0,8  0, 04
wÏ 

1 T01  T02
1
0,8  0, 04



 0, 74 .
2wÏ T01T02
2  17, 68 0,8  0, 04
При единичной ступенчатой функции xâõ (t )  1(t ) в системе устанавливаются значения ошибки:
1
0,8  0, 04 s 2  (0,8  0, 4) s  1
en  lim s  e( s )  lim s  
 0,1.
s 0
s 0
s 0,8  0, 04 s 2  (0,8  0, 04 s)  1  9
Для устранения ошибки в закон управления необходимо ввести интегральную составляющую. Выбираем структурную схему ПИ регулятора
(рисунок 5.10 при TÄ  0 ). Записываем передаточную функцию разомкнутой
системы с ПИ регулятором:
Wæ ( s)  K p (1 
9Kp
1
9
1  TÈ s
)


.
TÈ s (1  0,8s)(1  0, 04s)
TÈ (1  0,8s)(1  0, 04s)
Параметр TÈ выбирается произвольно. Полагаем TÈ  0,8 c. Тогда получим:
Wæ ( s ) 
9Kp
1
.
0,8 s(1  0, 04 s)

Чтобы определить K p запишем характеристическое уравнение системы с
регулятором 0,04s 2  1  s 
9
K p  0 и приведём его к уравнению вида:
0,8
1
9
(5.36)
s2 
s
Kp  0.
0,04
0,8  0,04
Сопоставляя уравнения (5.36) и (5.34), а так же учитывая, что коэффициент демпфирования   0,74 необходимо сохранить неизменным, получим:
wÏ 
1
1
1


 16,9 c;
2 0, 04 2  0, 74  0, 04
0,8  0,04 16,92  0,8  0,04
K p  wÏ

 1,02.
9
9
2
73
Упражнения:
57 Исходные данные:
– Структурная схема системы: рисунок 5.11;
– Параметры схемы: K 0  0,3 , T01  0, 2 c , T02  0, 06 c ;
– Задающее воздействие на входе системы: õâõ (t )  1(t ) .
Задание:
а) Определить передаточную функцию регулятора W p ( s ) , которая устраняет установившуюся ошибку. При K p  12 оценить показатели качества переходного процесса.
б) Определить передаточную функцию регулятора W p ( s ) , которая устраняет установившуюся ошибку и при K p  12 обеспечивает переходной процесс
без перерегулирования.
74
Св. план 2008, поз.
Учебное издание
Доманов Александр Тимофеевич
Лукьянец Степан Валерьянович
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Практикум
для студентов специальности 1-53 01 07 «Информационные технологии
и управление в технических системах»
Редактор Т. П. Андрейченко
Корректор
Подписано в печать
Гарнитура «Таймс».
Уч.-изд.л. 7,5.
Формат 6084 1/16.
Печать ризографическая.
Тираж 200 экз.
Бумага офсетная.
Усл. печ. л. .
Заказ 259.
Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования
«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
ЛИ № 02330/0056964 от 01.04.2004. ЛП № 02330/0131666 от 30.04.2004.
220013, Минск, П.Бровки, 6