Секция математического моделирования экологических систем

Известия ТРТУ
Специальный выпуск
Секция математического моделирования
экологических систем
УДК 519.63:532.55
Т.В. Камышникова, Т.В. Лященко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУШНОЙ
СРЕДЫ И ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ ОТ АВТОТРАНСПОРТА В
УСЛОВИЯХ ГОРОДСКОЙ ЗАСТРОЙКИ
Настоящая работа посвящена разработке математической модели для
прогноза распространения загрязнения в атмосфере от автотранспорта в
масштабах района города. Наиболее полный подход к моделированию процессов распространения загрязнения в воздушной среде города основан на
решении систем полных трехмерных уравнений Навье–Стокса. Заключительным этапом рассматриваемого подхода является численное решение
уравнения диффузии с включением интенсивности выбросов. Решение такого рода задач требует построения удовлетворительной физической модели атмосферы.
Физическая модель атмосферы
Атмосфера представляет собой подвижную среду, в которой происходят разнообразные по масштабам, направлению и скорости движения.
Обычно эти движения имеют турбулентный характер и характеризуются
непостоянством поля скоростей. При таких движениях образуются беспорядочные, меняющиеся по направлению и силе потоки воздуха и вихри. В
них можно выделить элементарные массы воздуха, которые отрываются от
общего потока и движутся самостоятельно, а затем разрушаются. Все это
приводит к сильному перемешиванию и взаимодействию между различными частями среды. Перемешивание приводит к переносу любых физических
субстанций таких, как количество движения, теплосодержание, концентрация примеси и т.п. При математическом описании процесса турбулентного
перемешивания важную роль играет коэффициент турбулентности или коэффициент диффузии, так как он используется в выражениях для турбулентных потоков различных физических субстанций. Теории турбулентности достаточно сложны, и существует множество эмпирических методов
для вычисления коэффициентов турбулентности. Коэффициент турбулентности зависит от множества параметров, в частности от шероховатости
подстилающей поверхности, распределения температуры по высоте (так
называемой температурной стратификации), скорости ветра.
Постановка задачи
Большинство используемых моделей динамики воздушной среды и
распространения примесей включает в себя уравнения Навье - Стокса и
208
Секция математического моделирования экологических систем
уравнение конвекции-диффузии. Чтобы из большого количества процессов
выделить рассматриваемый и дать его математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математические формулировки частных особенностей изучаемого объекта – краевые и
начальные условия.
Построение поля ветра
Будем полагать, что расчетная область имеет форму параллелепипеда с характерными размерами в несколько километров. Характерная высота верхней границы слоя атмосферы, в пределах которого происходит интенсивный перенос загрязнения (слой перемешивания), составляет 40 ÷ 50
м. Проблема построения поля ветра занимает важное место в создании
физической модели атмосферы. Для этой цели можно воспользоваться
уравнениями движения
1 ∂p
∂u
∂u
∂u
∂u
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
+ u + v + w − µ 2 − µ 2 −ν 2 = −
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
,
(1)
∂v
∂v
∂v
∂v
∂ 2v
∂ 2v
∂ 2v
1 ∂p
+ u + v + w − µ 2 − µ 2 −ν 2 = −
,
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂y
∂x
∂y
∂z
(2)
∂w
∂w
∂w
∂w
∂ 2w
∂ 2w
∂ 2w
1 ∂p
+u
+v
+w
− µ 2 − µ 2 −ν
=−
.
2
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂z
∂x
∂y
∂z
(3)
Уравнение неразрывности
∂ u ∂ u ∂ u 1 dρ
+
+
+
= 0.
∂x ∂x ∂x ρ dt
(4)
Здесь t – время; u, v , w – компоненты вектора скорости в направлениях декартовых координат x , y , z ; p – давление; ρ – плотность; µ , ν –
горизонтальные и вертикальные коэффициенты турбулентного обмена.
Опишем граничные условия для системы (1)-(4).
На нижней границе выполняется условие прилипания, что соответствует полному “торможению” газового потока на границе
u = 0, v = 0, w = 0 .
(5)
На верхней границе компоненты скорости совпадают с ветром, который считывается с интервалом в один метеоэпизод метеостанцией
u = u g , v = vg , w = wg ;
(6)
∂u
∂v
∂w
=0,
=0,
= 0,
∂n
∂n
∂n
(7)
на боковых границах
где n – нормаль к боковой поверхности.
209
Известия ТРТУ
Специальный выпуск
В систему (1)-(7) входят пять неизвестных u, v, w, p, ρ . Поэтому она
должна быть дополнена уравнениями энергии, уравнением, определяющим
влажность воздуха. Влажность воздуха оказывает влияние на теплообмен в
атмосфере, на плотность воздуха. Однако в дальнейшем мы будем полагать это влияние несущественным и опустим данное уравнение. Будем считать, что атмосфера несжимаема, то есть ρ = const , v = (u, v, w) , тогда
уравнение неразрывности записывается в виде
divv = 0 .
(8)
Начальные условия:
u ( x, y, z ,0) = u 0 ( x, y, z ), v( x, y, z ,0) = v0 ( x, y, z ),
w( x, y, z ,0) = w0 ( x, y, z ),
p( x, y, z ,0) = p 0 ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ G при t = 0 .
(9)
Алгоритм решения задачи
Система уравнений (1)-(9) полностью описывает движение несжимаемого воздуха. Основной сложностью при ее решении является отсутствие
точных формул для коэффициентов турбулентности, которые зависят от
температуры, влажности и скорости ветра. Систему (1)–(9) будем решать
методом расщепления по физическим процессам и по геометрическим переменным. Решение для нахождения поля ветра заменяется последовательностью решений ряда одномерных задач с помощью метода факторизации трехточечных разностных уравнений. После подстановки выражений
u , v, w в разностный аналог уравнения неразрывности получится уравнение Пуассона для вычисления давления. Решение уравнения Пуассона
ищется итерациями (метод Зейделя). Далее находится поле ветра с поправкой к давлению. После счета поля скоростей во внутренних узлах сетки
необходимо пересчитать граничные значения u, v, w . В полученном поле
скоростей решается задача распространения загрязняющей примеси.
Уравнение диффузии
Уравнение, описывающее перенос загрязнения в атмосфере и выражающий закон сохранения массы загрязнения имеет вид
∂ϕ
+ div u ϕ + σϕ
∂t
= D ϕ + f ,
(10)
где ϕ ( x , y, z, t ) – интенсивность аэрозольной субстанции, мигрирующей
вместе с потоком воздуха в атмосфере; u = ui + vj + wk – вектор скорости частиц воздуха, как функция x, y, z, t; σϕ – член, учитывающий деструкцию субстанции; f(x,y,z,t) – источник рассматриваемой загрязняющей субстанции ϕ,µ; ν – соответственно горизонтальный и вертикальный коэффициенты диффузии,
210
Секция математического моделирования экологических систем
divu ϕ = u
су;
Dϕ =
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
+v
+w
∂x
∂y
∂z
–
соответствует конвективному перено-
∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ 
 + ν
µ
 + µ

∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
–
соответствует диффу-
зионному переносу.
Граничные условия имеют следующий вид:
на нижней границе
на верхней границе
∂ϕ
= ϕ0;
∂z
(11)
∂ϕ
= 0;
∂z
(12)
ν
на боковых границах
ϕ = ϕ0 ,u ⋅ n < 0 ;
∂ϕ
= 0, u ⋅ n ≥ 0 ,
∂n
(13)
их физический смысл заключен в равенстве концентрации загрязнения некоторому значению ϕ 0 в случае, если ветер на границе направлен внутрь
области и в беспрепятственном проникновении сквозь границу, в противном
случае.
Начальные условия имеют вид:
ϕ ( x, y.z,0) = ϕ 0 ( x, y.z ,0) .
(14)
Для замыкания системы (10) – (14) необходимо определить поле скоростей ветра, что делается выше. Для нахождения распределения концентрации примеси в трехмерной области при известном поле скоростей воздушного потока используется метод геометрического расщепления. Это позволило свести исходную задачу к последовательному решению трех более
простых связанных между собой одномерных задач.
Выводы
Построена математическая модель движения продуктов сгорания автотранспорта и формирование облака газовой смеси вблизи автомагистрали с учетом наличия ветра, турбулентности, интенсивности транспортного
потока в зависимости от времени суток, времени года, с учетом городской
застройки. Модель численно реализована.
211