Гидравлическое сопротивление в трубопроводах

Гидравлическое сопротивление в трубопроводах. Расчет диаметра
трубопроводов
Гидравлическое сопротивление при ламинарном движении
Рассмотрим трубопровод круглого сечения длиной L
L
P1
d
P2
z1
z2
0
0
Рис.1 Трубопровод круглого сечения длиной L
Решение уравнения Навье-Стокса для ламинарного течения жидкости в трубе
круглого сечения приведено в лекции 3, где получен профиль скорости по радиусу трубыуравнение Пуазейля (уравнение 56 в лекции 3):
wx 
P 2
R  r2
4L


И средняя скорость по поперечному сечению трубы S:
w
P 2
R
8L
(1)
Преобразуем уравнение Бернулли для этого случая :
z=z1=z2 ; S=const ;w=w1=w2
P1
P
 2  hn ,
g g
P1  P2  Pтр
hn , тр =
То
Pтр
(2)
g
есть,
на
преодоление
гидравлического
сопротивления
трубопровода
затрачивается пьезометрический или напор давления жидкости.
Выразим величину Pтр из уравнения (1) :
P 
8wL
R2
и подставим ее в выражение (2), заменив радиус R трубы ее диаметром d и
умножив числитель и знаменатель на величину средней скорости w:
hn , тр =
Pтр
g

8L  w  w
64 L  w 2

wd
gR 2  w
d  2g

или
hn , тр
Pтр
64 L w 2
=

 
g
Re d 2 g
(3)
Это уравнение, выражающее гидравлическое сопротивление при ламинарном
движении жидкости в трубе круглого поперечного сечения, получено теоретически. В
этом уравнении:
L/d - геометрическая характеристика канала (геометрический симплекс);
64/Re=  - коэффициент гидравлического трения (коэффициент трения) для
круглой цилиндрической трубы.
Уравнение (3) тогда можно представить:
hn , тр =
Pтр
g

L w2

d 2g
(4)
или
Pтр = hn , тр g   
 тр -
L w 2
w 2

  тр
d 2
2
коэффициент
сопротивления
(5)
трению.
Определяется
критерием
Re,
шероховатостью стенок, кривизной канала.
Для каналов некруглого поперечного сечения  =а/Re; для квадратного а=57; для
кольцевого а=96.
Гидравлическое сопротивление при турбулентном движении
При турбулентном течении аналитически получить уравнение для расчета
коэффициента трения невозможно, т.к. в этом случае система уравнений Навье-Стокса
делается незамкнутой из-за наличия пульсационных составляющих и, следовательно, не
имеет решения. Поэтому при турбулентном движении значения коэффициента трения, как
функции критерия Re, находят экспериментально, с помощью теории подобия. Т.е.
находят конкретный вид уравнения Eu=A RemFrn Г1q1 Г2q2 и отсюда выражают  
Так, для круглой прямой гладкой трубы при 3∙103<Re>105

0,3164
Re 0, 25
формула Блаузиуса
(6)
или Eu=0,158 Re-0,25l/d
hn , тр = 
0,316 L w 2
 
Rе 0, 25 d 2
(7)
Таким образом, при ламинарном течении hn , тр ~ w1, а при турбулентном течении
по гладким трубам эта потеря напора в большей степени зависит от скорости hn , тр ~ w1,75
При турбулентном движении коэффицинт трения  зависит в общем случае не
только от характера движения (Re), но и от шероховатости стенок труб.
Шероховатость труб может быть количественно оценена некоторой усредненной
величиной абсолютной шероховатости ∆, представляющей собой среднюю высоту
выступов шероховатости на внутренней поверхности трубы.
Для новых труб: ∆ =0,06-0,1 мм
Для бывших в употреблении: ∆ =0,1-0,2 мм
Для загрязненных и чугунных труб: ∆ до2 мм
Для латунных, медных, свинцовых и стеклянных труб ∆ =0,0015-0,01 мм. Их
обычно считают гладкими и определяют коэффициент трения  по формуле Блаузиуса.
Относительная шероховатость стенок   ∆/dср
dср - средний внутренний диаметр трубопровода.
Определение коэффициента трения для шероховатых труб при турбулентном
течении.
Экспериментально было установлено, что:
1. Критическое значение числа Re для жидкости, движущейся по шероховатым
трубам, остается тем же, что и для гладких - 2320.
2. Коэффициент
трения

увеличивается
с
увеличением относительной
шероховатости  .
3. При больших числах Re величина
коэффициента трения приближается к
постоянной величине тем быстрее, чем больше шероховатость  .
Влияние шероховатости на величину  определяется соотношением между
средней высотой выступов шероховатости ∆ и толщиной вязкого подслоя  , движение
жидкости в котором практически ламинарное.
В некоторой начальной области турбулентного течения толщина вязкого подслоя
больше высоты выступов шероховатости (  >∆) и жидкость плавно обтекает эти выступы,
т.е. влиянием шероховатости на величину  можно пренебречь. Эту область называют
областью гладкого трения и коэффициент трения вычисляют по формуле Блаузиуса.
При возрастании Re толщина вязкого подслоя уменьшается и, когда она становится
сравнимой с абсолютной шероховатостью (   ∆), значение коэффициента трения
начинает зависеть от шероховатости. При этом  , а, следовательно, и потеря напора на
трение возрастает под действием сил инерции, возникающих вследствие дополнительного
вихреобразования вокруг выступов шероховатости.
Таким образом, с увеличением числа Re область гладкого трения переходит
сначала в область смешанного трения, где на коэффициент трения  влияют уже и
критерий Re, и шероховатость, а затем, в так называемую автомодельную по отношению к
Re область. В автомодельной области коэффициент  практически не зависит от Re, а
определяется лишь шероховатостью. В этой области потери на трение пропорциональны
квадрату скорости (поскольку в уравнении hn , тр

L w2
коэффициент   f (Re), то

d 2g
hn , тр ~ w2). Поэтому автомодельную область также называют областью квадратичного
закона сопротивления.
lg 
Рис.2. Зависимость коэффициента трения  от критерия и степени шероховатости
1/   dэ/ ∆; кривые 1,2,3,4 соответствуют  1 >  2 >  3 >  4
I Ламинарный режим, Re< Re1; (Re1 =2320);  ~Re-1
I' Переходная область, перемежающейся турбулентности, Re1<Re< Re2;
(Re2 =10000);  ~Re-1 или  ~Re-0,25
II Область смешанного трения. Нижняя прямая - прямая Блаузиуса Re2<Re< Re3;
(Re3 =100000);  ~Re-0,25
III Область квадратичного закона сопротивления (автомодельная по отношению к
Re); Re> Re3);  = f (  ),
В 1841 году Ж. Пуазейль, исследуя течение крови в венах и капиллярах, показал,
что сопротивление жидкости R, текущей в трубе, прямо пропорционально ее вязкости
 , скорости течения w и обратно пропорционально квадрату диаметра трубы d: R ~
w/d2 Эта формула совпала с формулой Гагена.
Примерно в это же время уроженец Дижона А.Дарси (1803-1858) проектировал и
строил городской водопровод. необычайный успех этого сооружения принес инженеру
славу, он был приглашен для сооружения водопровода в Брюсселе. В ходе этих работ
Дарси провел свои знаменитые научные исследования течения жидкости в трубах. Но,
удивительное дело, найденная им зависимость не имела ничего общего с зависимостью
Гагена-Пуазейля: R ~ w2/d
Многие добросовестнейшие экспериментаторы Англии, Швейцарии, Германии не
могли устранить расхождение между формулами, что привело к напряженной
драматической конфронтации, разделившей гидравликов на два лагеря. Вода подчинялась
то одному, то другому закону.
Разрешить эту загадку удалось только в 1880 годах, когда О. Рейнольдсом были
введены понятия о ламинарном и турбулентном течениях. Рейнольдс получил
безразмерную величину - число Рейнольдса, которое как раз и управляет движением
вязких жидкостей в трубах. Если, Re < 2300 течение ламинарное. В области 2300 < Re <
10 000движение является неустойчивым турбулентным и при Re  10 000 течение
устойчивое турбулентное.
Стало ясно, почему получились разительные расхождения в опытах ГагенаПуазейля и Дарси. Гаген и Пуазейль проводили свои измерения в капиллярных трубках, при
Re < 2300 и выведенная ими формула оказалась справедливой при ламинарном течении.
Дарси же проводил свои эксперименты над течениями, для которых Re > 10 000, его
формула справедлива для турбулентных течений.
Потери напора в трубопроводе в общем случае обусловлена как сопротивлением
трения, так и местными сопротивлениями.
В различных местных сопротивлениях происходит изменение скорости по
величине или направлению. При этом возникают дополнительные (кроме трения) потери
энергии (напора) вследствие ударов, местных завихрений и т.д. (см.рис.3)

R

d
d
в
г
Рис.3. Некоторые местные сопротивления: а - внезапное расширение; б - внезапное
сужение; в - плавный поворот на 900 (отвод); г - резкий поворот на 900 (колено).
Потери напора на местные сопротивления, как и потери на трение, выражают в
долях от скоростного напора. Отношение потери напора в данном местном сопротивлении
hм.с. скоростному напору w2/2g называется коэффициентом местного сопротивления и
обозначают  м.с.
.
Итак, hм.с. =  м.с. w2/2g для каждого местного сопротивления, и, суммарно, для всех
местных сопротивлений:
hм.с. =   м.с. w2/2g
(8)
 м.с. - величина, определяемая опытным путем, находится в справочниках.
Итак:
hn  ( 
L
w2
w2
;
   м .с . ) 
 ( тр    м.с. )
d
2g
2g
Pп = hn g  ( 
м.ст.ж.
L
w 2
w 2
   м .с . ) 
 ( тр    м.с. )
d
2
2
(9)
; н/м2
(10)
Расчет диаметра трубопроводов
Диаметр трубопровода может быть определен по уравнению расхода (26, 27
см.лекцию 1). Так, для несжимаемой жидкости, было получено:
Q  wi S i
Для канала круглого сечения: S=  d2/4 (cм. ур
откуда:
d=
4Q
w
То есть, величина диаметра трубопровода определяется выбором значения
скорости движущейся в нем жидкости. Согласно уравнению, чем выше скорость, тем
меньше диаметр трубопровода, тем меньше затраты на его изготовление и его стоимость,
а также стоимость монтажа и ремонта трубопровода. Вместе с тем, при увеличении
скорости растут потери напора в трубопроводе (ур. 4), т.е. увеличивается перепад
давления, необходимый для перемещения жидкости, следовательно, растут затраты
энергии на ее перемещение. Поэтому для расчета оптимального диаметра трубопровода
необходим технико-экономический подход. При оптимальном диаметре трубопровода
обеспечиваются минимальные затраты на его эксплуатацию. Суммарные годовые расходы
на эксплуатацию трубопровода (кривая 3 на рис.4) складываются из годовых расходов на
амортизацию, ремонт (кривая 1) и стоимости энергии, необходимой для перемещения
жидкости по трубопроводу (кривая 2). Диаметр трубопровода, отвечающий оптимально
выбранной скорости движения жидкости, соответствует минимуму на кривой 3.
Рис.4. К определению оптимального диаметра трубопровода
На основе технико-экономических соображений установлены рекомендуемые
пределы изменения скоростей жидкостей, газов и паров в промышленных трубопроводах:
- для маловязких капельных жидкостей скорости не должны превышать 3 м/c;
- для вязких жидкостей - 1 м/c;
- при движении жидкости самотеком - 0,1-0,5 м/c;
- в нагнетательных трубопроводах - 1-3 м/c;
- для газов при небольших избыточных давлениях (до 0,1 бар) - 8-15 м/c;
- для газов под давлением (выше 0,1 бар) - 15-20 м/c;
- для насыщенного водяного пара - 20-30;
- для перегретого водяного пара - 30-50 м/c.
Для справки: скорость ветра при урагане 28-70 м/c.