Введение Фролов Александр Александрович ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ В АРБИТРАЖНЫХ
advertisement
Фролов Александр Александрович ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ В АРБИТРАЖНЫХ СТРАТЕГИЯХ Научный руководитель – Гельман С.В., к.э.н., PhD Введение Целью данной работы является построение модели оценки риска арбитражных стратегий. Объекты, выбранные для исследования - это крэк спрэды (crack spreads) и крэш спрэды (crush spreads). Предыдущие исследования в этой области показали возможность построения прибыльных арбитражных стратегий торговли этими контрактами. Однако, авторы этих исследований испытывали трудности при подсчете рисков данных стратегий, не могли определить сумму средств для вложения в спрэды и доходность арбитражных стратегий в годовом выражении, что делало невозможным сравнение данных стратегий с альтернативными вложениями. Ключевым риском для арбитражеров является сильное невыгодное отклонение спрэда, которое приводит к нехватке собственных средств, для выплаты вариационной маржи по фьючерсным контрактам. Построив модель поведение спрэда, можно оценить вероятность того, что спрэд выйдет за максимально допустимую границу. Также существует риск того, что спрэд не вернется к прогнозному уровню до момента истечения контракта. Разработанная модель помогает оценить эти риски и определить оптимальную сумму для вложения в спрэд (количество денег на счете). Это позволяет решить проблему подсчета доходности в процентах, а также может увеличить доход арбитражной стратегии. Вероятность того, что спрэд не вернется к заданному уровню на момент истечения контракта (или на любой другой заданный день), также можно оценить с помощью модели. Эконометрическая модель, используемая при построении спрэдов, – ARMA(p,q), GARCH(m,n) с t-распределенной ошибкой. Также учитываются сезонные эффекты и ряд других факторов предложенных в предыдущих исследованиях. Модель достаточно хорошо оценивает риски принудительно закрытия позиций, лучше, чем простейшие модели. Применение модели для расчета рисков показано на примере конкретной арбитражной стратегии. Определение оптимального количества вложенных средств с использованием модели позволило существенно улучшить доходность рассмотренной стратегии. 71 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ Данная работа решает проблемы оценки риска, с которыми столкнулись исследователи арбитража на крэк и крэш спрэдах и поэтому представляется логичным развитием фундаментальных исследований в этой области Обзор литературы Рассмотрим основные исследования по арбитражу на крэк и крэш спрэдах. Обсудим работы: Johnson et al. (1991), David P. Simon (1999) – посвященные арбитражу на крэш спрэдах и работу P. Girma and A. Paulson (1999) об арбитраже на крэк спрэдах. Первое исследование Johnson et al. “The soybean complex spread: an examination of market efficiency from the viewpoint of a production process” (1991) посвящено динамике крэш спрэда сои в 1966-1988 гг. Авторы исследования описывают оптимальные действия переработчика соевых бобов. Если крэш спрэд превышает издержки переработки, то производитель занимает прямую позицию в спрэде (normal position), а именно, покупает соевые бобы, продает пищевую сою и соевое масло. Если крэш спрэд ниже издержек переработки, обратная позиция (reverse position) по крэш спрэду является оптимальной для производителя (продать соевые бобы, купить пищевую сою и соевое масло). Такие действия со стороны производителей приводят к увеличению предложения продукта переработки в первом случае и сокращению предложения во втором, что в долгосрочном периоде будет приводить уровень цен крэш спрэдов в соответствие с издержками переработчиков. Краткосрочные отклонения от издержек могут быть использованы для извлечения прибыли, то есть предоставляют возможность для арбитража. Арбитражная стратегия предполагает открытие позиции по 5 контрактам 15 числа каждого месяца, эти позиции будут в независимости от цены спрэда находиться в портфеле в течение 9.5, 7.7, 5.5, 3.5, 1.5 месяцев соответственно. Авторы предлагают несколько вариантов данной стратегии, позиция открывается при отклонении от среднего на 0, 10 или 20 центов. Результаты исследования показывают, что наиболее прибыльной стратегией является работа с дальними контрактами (на 5.5, 7.5, 9.5 месяцев) при большем отклонении от среднего (более 20 центов в ту или иную сторону). Подсчет прибыли производится только в абсолютных значениях, что не дает понимания о прибыльности арбитража. Прибыль в процентном выражении не подсчитана исследователями потому, что не ясно каким должен быть вложенный капитал в каждый момент времени. Исследователи не оценивают доходность, полученную системой с поправкой на риск, так как не понимают как определить уровень риска, соответствующий данным вложениям: “Поскольку риск, соответствующий 72 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ торговле спрэдом на сою не ясен, то прибыль рассматривается без поправки на риск” (Johnson et al. ,1991). Другая, более поздняя работа, рассматривающая поведение крэш спрэда сои – это работа David P. Simon “The Soybean crush spread: empirical evidence and trading strategies” (1999). Ее автор продолжает предыдущее исследование, создает эконометрическую модель крэш спрэда, а также предлагает рассматривать не только отклонения от долгосрочного среднего спрэда, но и отклонения от краткосрочного 5- дневного среднего. Для построения модели спрэда автор оценивает регрессию цен соевых бобов на цены пищевой сои и соевого масла, учитывая временной тренд и сезонные эффекты. Сезонные эффекты говорят о том, что в среднем, значение спрэда в сентябре – ноябре существенно выше, чем в феврале-июне. Это объясняется нехваткой перерабатывающих мощностей в период после сбора урожая. Разница между прогнозными значениями, полученными с помощью данной регрессии, и фактическими значениями далее моделируется с помощью модели AR(3). Далее в регрессию добавляется разница между спрэдом и его 5-дневным средним, и, так как эта переменная оказывается значимо отрицательной, автор делает вывод о свойстве спрэда возвращаться к своему 5-дневному среднему. Третья работа из этой области, описывает арбитраж на крэк спрэдах: P. Girma and A. Paulson “Risk arbitrage opportunities in petroleum futures spreads” (1999). В ней рассматриваются возможности арбитража на различных крэк спрэдах, в частности на крэк спрэд на бензин (1 бензин – 1 нефть). В каждый момент времени на рынке представлены крэк спрэды между фьючерсами с исполнением в ближайший месяц, через два месяца, и т д. Данная модель отличается от двух уже описанных тем, что торгует только одним спрэдом (например спрэдом ближайшего месяца), но при этом использует для торговли еще и информацию о всех остальных спрэдах (через два месяца, три месяца и т д.) По всем спрэдам подсчитывается средние и стандартное отклонение за n дней, то есть для m спрэдов это означает размер выборки m*n. Авторы рассматривают это среднее как нормально распределенное (это обеспечивается центральной предельной теоремой). В таком случае можно построить доверительный интервал: среднее плюс или минус некоторое количество стандартных отклонений. Когда значение спрэда выходит за эти границы можно открывать арбитражную позицию. Для сигнала на выход из позиции авторы используют среднее только по тому спрэду, в котором открыта позиция. Полученные результаты говорят о том, что используя данные арбитражные стратегии, доходность в годовом выражении после вычета трансакционных издержек составляет от 15.6% до 17.8% по различным спрэдам. Также рассматриваются риски данных стратегий, по каждой из них приводится 73 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ стандартное отклонение доходностей, наименее рискованной является арбитраж на больших отклонениях спрэдов от среднего. Подсчет рисков стратегии как стандартного отклонения ее предыдущих результатов правильный, но является средней оценкой риска за период. Условное стандартное отклонение не рассматривается, получается, что риски стратегии в любой ситуации одинаковы. Построение модели спрэда с использованием GARCH позволит подсчитать риски арбитража с учетом условной волатильности. Рассмотрим еще одну теоретическую модель, важную для понимания того, в каком диапазоне возможны колебания спрэда. Эта модель оптимальной торговли спрэдом, представленная в работе G.Poitras “Optimal futures spread positions”(1989). Автор определяет оптимальный портфель из двух активов, составляющих спрэд, максимизирующий полезность агента. Для случая, когда позиция рыночно–нейтральна (то есть стоимость купленных контрактов равна стоимости проданных), получается достаточно простое соотношение. Оптимальный размер позиции (Q) прямо пропорционален ожидаемому изменению спрэда и обратно пропорционален риску данного портфеля, где риск определяется как произведение субъективного отношения к риску (b) и дисперсии портфеля из двух активов с весами 1 и -1.(Poitras, 1989). . Таким образом, исходя из описанных работ по теориям арбитража, отклонение крэк и крэш спрэдов от своего справедливого значения возможно в некоторых пределах. Величина возможного отклонения зависит от ряда факторов. Отклонения будут тем больше, чем больше величина трансакционных издержек и величина альтернативных издержек арбитража. Величина отклонения ожидается тем больше, чем больше времени осталось до экспирации контракта. Величина отклонений спрэда увеличивается, когда увеличивается волатильность контрактов составляющих спрэд, или уменьшается корреляция между этими контрактами, так как арбитражные вложения становятся более рискованными. 1. Построение модели оценки рисков 1.1. Риски арбитражных стратегий торговли спрэдам При покупке или продаже фьючерса необходимо “внести гарантийное обеспечение”, то есть зарезервировать на счете определенную 74 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ сумму денег для обеспечения обязательств по данному контракту. Понятно, что, если количество средств на счете недостаточно велико, то при сильном невыгодном отклонении спрэда может возникнуть ситуация принудительного закрытия арбитражной позиции. С другой стороны, держать на счете слишком большие суммы денег, для предотвращения такой ситуации, также не оптимально. В таком случае эти деньги не могут быть использованы в альтернативных вложениях. Кроме того, доходность арбитража в процентах падает, так как прибыль делится на большую сумму вложенных средств. Принудительное закрытие позиции является одним из случаев закрытия арбитражной позиции. Другим случаем, когда позицию необходимо закрыть, является истечение контракта, в котором открыта позиция. Это является проблемой, когда значение спрэда для контрактов данной экспирации все еще не вернулось к эффективному уровню, но значение спрэда для контрактов с экспирацией в следующем месяце соответствует эффективному уровню. Объясним это на примере. Пусть эффективным значением спрэда является 5$, при отклонении спрэда в апрельских контрактах до 3$ спрэд был куплен. До даты истечения апрельских контрактов спрэд ни разу не вернулся к эффективному уровню в 5$, а на момент истечения контракта составил 2$. При этом значение спрэда для майских контрактов все время составляло 5$. Таким образом, убыток по позиции составил 1$, а “перекладывать” позицию в контракты следующего месяца не имеет смысла, так как значение спрэда для них соответствует эффективному уровню. Таким образом, поскольку неизвестно, каким будет значение спрэда для контрактов следующего месяца, арбитражеру необходимо, чтобы спрэд вернулся к своему эффективному значению до истечения контракта. 1.2 Организация торгов спрэдами Торговля спрэдами подразумевает автоматическое открытие позиций в соответствующих фьючерсах, не существует отдельного рынка на спрэды с заявками на покупку и продажу. В случае продажи, например, крэк спрэд на бензин (бензин – нефть), одновременно продается один контракт на бензин и покупается один контракт на нефть. Эти спрэды являются наиболее популярными и по ним рассчитываются котировки транслируемые биржей. Под тем, что биржа признает спрэд, понимается то, что при наличии на счете всех активов, входящих в спрэд, биржа определяет эту позицию как открытый спрэд. Суммарное гарантийное обеспечение в этом случае меньше чем для этих же контрактов взятых по отдельности. Пропорция, в которой берутся контракты для получения 75 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ спрэда, определяется технологическим процессом. Соотношение контрактов заданное технологией для сои 1:1.1:0,9. (соевые бобы, пищевая соя и соевое масло). Крэк спрэд определяется как один контракт на бензин минус один контракт на нефть. 1.3 Исследуемая выборка Данные по спрэдам рассмотрены на каждый рабочий день за последние 20 лет. Первые 12 лет используются для построения модели, остальные 8 лет составляют прогнозный период. В прогнозный период входит время очень сильного роста цен на ресурсы в 2007-2008 годах и период финансового кризиса 2008-2009 годов. Поэтому прогнозный период разделен на две части: 2001-2005гг и 2006-2009. Качество прогноза модели будет оценено для этих периодов отдельно. Предполагается, что во второй период, когда цены на сырье были очень волатильны, качество прогноза модели будет хуже. Спрэды рассчитаны по формулам, приведенным выше, наименования переменных: CRUSH- крэш спрэд и CRACK- крэк спрэд. Рисунок 1. Пример крэк-спреда 76 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ Рисунок 2. Пример крэш-спреда 1.4 Принципы построения модели Спрэды будут моделироваться как ARMA(p,q), с проверкой на условную гетероскедастичность в спецификации GARCH(m,n). Также будут рассмотрены нестандартные распределения остатков, в частности t – распределение. Для изучения сезонности были построены фиктивные переменные, отвечающие за каждый месяц. Альтернативно оценка сезонности в крэш спрэдах осуществлялась с помощью фиктивной переменной SEASON равной единице для данных за сентябрь-ноябрь, что соответствует сезонному росту крэш спрэдов. Для изучения сезонности в крэк спрэде используется фиктивная переменная SUMMER – равная 1 для периода март-сентябрь. Она призвана отследить рост спроса на бензин (а значит рост крэк спрэда) в летний период. Исходя из графиков, временного тренда в наблюдениях не присутствует, тем не менее, включим в регрессию фиктивные переменные для каждого из годов. Также в регрессию будут включены переменные, оценивающие дисперсию контрактов, составляющих спрэд, и их корреляцию. Предполагается, что эти переменные будут влиять на волатильность спрэда, а значит, должны быть включены в уравнение для оценки дисперсии спрэда (вместе с GARCH). Чтобы избежать мультиколлинеарности были использованы средневзвешенные значения волатильности активов, входящих в спрэд, переменные названы 77 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ VARCRACK, VARCRUSH. Исходя из теории, которую сформулировал G.Poitras, корреляция между активами составляющими спрэд также должна быть включена в модель. Эта переменная используется для оценки крэк спрэда и обозначена CRACKCORR. 2. Результаты регрессии Оставим сравнительный анализ всех спецификаций регрессий за кадром. Ниже приведены спецификации модели признанные наилучшими. Однако, и в них есть незначимые переменные, которые не были исключены. В частности, переменные сезонности (фиктивные для месяцев) в спрэде на бензин оказались значимы как группа, но некоторые из них незначимы по отдельности. Поскольку не было найдено теоретических оснований для исключения именно месяцев, оказавшимися незначимыми, все переменные были оставлены в регрессии. Аналогичная логика может быть применена для других незначимых переменных. 2.1 Результаты регрессии для крэш спрэда Нами оценивалась следующая модель крэш спрэда, результаты оценки которой приведены в таблице CRACKt ht α0 CRACKt-1 CRACKt-2 εt-1 0.646 1.465 -0.466 -0.532 (0.236) (0.169) (0.169) (0.161) ω0 VARCRUSHt-1 ε t-12 ht-1 0.226 E-03 1.33 E-06 0.359 0.442 3.52 (0.045) (0.241) (0.037)E-03 (0.345) E-06 (0.048) Таблица 1. Результаты оценки модели крэш спрэда. 78 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ Регрессия показала, что нет значимой зависимости крэш спрэда от времени и от сезона, то есть издержки переработчиков были практически постоянны за все время рассмотрения и составляли примерно 64.6 цента за бушель. Крэш спрэд положительно зависит от своего предыдущего значения и отрицательного от своего значения с лагом два. Сумма коэффициентов при двух лаговых переменных близка к единице, поэтому рассмотрим корни характеристического уравнения, они равны 0.99 и 0.47 - оба меньше единицы. Значит, процесс стационарен, но при этом имеет очень длинную память, т.е. стремится к своему безусловному среднему очень медленно. T-распределение имеет степени свободы 3.52, что означает существенно более тяжелые “хвосты” распределения по сравнению с нормальным. Такое значение для степеней свободы является странным, так как в теории, куртозис t- распределения с количеством степеней свободы меньше 4 не существует. Формула для куртозиса tраспределения 2 6 /( 4) . Однако, для конкретной выборки куртозис может быть подсчитан и для такого распределения. (его значения приведены выше). Волатильность спрэда является стационарной, так как 1 1 0.801 1 . Увеличение волатильности по активам, составляющим спрэд, ожидаемо положительно влияет на дисперсию спрэда. Можно рассматривать это как следствие метода расчета спрэда, так как он является линейной комбинацией этих активов. Также можно считать это подтверждением теоретической модели G. Poitras (1989). Увеличение волатильности в активах, составляющих спрэд, увеличивает риски арбитражеров, торгующим спрэдом. Поэтому открывается меньше арбитражных позиций и спрэд колеблется в более широком диапазоне. 2.2 Результаты регрессии для крэк спрэда 79 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ CRACKt CRACKt α0 CRACKt-1 FEB MAR APR MAY JUN 3.728 0.978 0.341 1.027 1.232 1.460 1.461 (0.255) (0.0038) (0.072) (0.095) (0.113) (0.125) (0.131) JUL AUG SEP OCT NOV DEC εt-1 1.528 1.368 0.445 0.169 -0.020 -0.349 0.082 (0.133) (0.131) (0.124) (0.113) (0.094) (0.074) (0.0201) ω0 VARCRACKt-1 CRACKCORRt-1 ε t-12 ε t-22 0.050 0.066 -0.052 0.233 0.130 (0.008) (0.011) (0.008) (0.041) (0.029) ε t-32 ε t-42 ht-1 ht-2 ht-3 -0.112 -0.160 -0.469 0.420 0.660 3.952 (0.025) (0.035) (0.070) (0.052) (0.065) (0.342) ht Таблица 2. Результаты оценки модели крэк спрэда. Динамика крэк спрэда оказалась зависимой от сезонных факторов, но оказалась независима от времени. Вероятно, издержки переработчиков оставались примерно постоянными за рассмотренный период и составляли около 3.73$ за баррель. Однако, нехватка мощностей для переработки в летние месяцы приводила к недостатку предложения бензина, а значит росту цен на него и цен на переработку. Пик сезонного спроса приходится на июль, когда цены на переработку выше чем в январе в среднем на 1.52$, во все месяцы с марта по август, спрэд в целом выше среднего на 1-1.5$. В зимний период, отличие цен на переработку нефти от январских не очень существенно, в среднем, цены на переработку значимо ниже в декабре и значимо выше в сентябре и феврале (отклонения в пределах 0.5$ от январской цены). Дисперсия спрэда зависит положительно от своих предыдущих значений. Также имеется положительная зависимость условной дисперсии спрэда от дисперсии цен на нефть и бензин, что вполне предсказуемо. Однако, надо сказать, что зависимость между дисперсией спрэда и дисперсией активов не столь однозначна. Возможна ситуация, когда например дисперсия актива увеличивается, а дисперсия спрэда нет. 80 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ Например, когда цены активов изменяются с 102$ и 100$ до 82$ и 80$, а спрэд не изменяется. Если до этого цены на активы были близко к 100$, то дисперсия цен активов растет, а дисперсия спрэда падает. Насколько вероятной является такая ситуация зависит от корреляции между активами. Влияние корреляции на дисперсию спрэда отрицательно. Чем больше корреляция, тем более устойчивой является взаимосвязь между активами, значит, тем меньше должны быть отклонения спрэда. Так и получается в модели. 3. Прогнозы модели Для того чтобы понять насколько хорошо данная модель может оценить риски арбитражеров, сконцентрируемся на риске принудительного закрытия позиции при резком невыгодном отклонении спрэда. Построим доверительные 95% и 99% интервалы, и оценим, соответствует ли пропорция значений, выходящих за интервал, выбранному уровню значимости. Будем использовать 90%, 95% и 99% доверительный интервалы. Для каждого из них найдем функцию выбросов (hit function), как предлагают Tsay, Ruey,S. (Tsay, Ruey S. 2005). Ht – равную 1, если реализовавшееся значение выходит за границы доверительного интервала и нулю в остальных случаях. Среднее значение функции выбросов должно соответствовать уровню значимости интервала. В таблицах 3 и 4 ниже приведены функции выбросов для крэк и крэш спрэдов. Используется как статический, так и динамический прогнозы, оба прогноза делаются на один день вперед. Также для сравнения была рассмотрена простая модель оценки риска – AR(1) с нормально распределенным остатком. Крэк спрэд Crack_var_4 (static) H-90% 2001-2005 0.12 2006-2009 0.13 Crack_var_4 (dynamic) H-90% 2001-2005 0.05 2006-2009 0.11* Простая модель H-90% 2001-2005 0.06 2006-2009 0.23 Таблица 3. Оценки для крэк-спредов 81 H-95% 0.08 0.09 H-95% 0.03 0.08 H-95% 0.04* 0.17 H-99% 0.034 0.040 H-99% 0.016* 0.027 H-99% 0.030 0.092 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ Звездочкой отмечены прогнозы на 1% уровне значимо не отличаются от ожидаемых значений, то есть прогнозы хорошего качества. Из таблицы видно, что разработанная модель недооценивает риски резких отклонений спрэда почти на всех уровнях значимости. Исключение составляет динамический прогноз для 2001-2005 годов, на 99% уровне значимости и для 2006-2009 годов на 90% уровне значимости. Для более волатильного периода 2006-2009 недооценка риска получается ожидаемо больше. В целом, весь прогнозный период был существенно более волатильным, чем тот, на котором оценивалась регрессия, что частично объясняет недооценку риска в период 2001-2009. Простая модель оценки риска переоценивает риск для 2001-2005 гг (для 90% и 95% уровня) и существенно недооценивает риск для периода 2006-2009 гг. Можно сказать, что построенная модель дает оценку риска лучше чем простая модель, хотя и сама оценивает риск не совсем верно. Рассмотрим прогнозы для крэш спрэда: Крэш спрэд Crush_var_4 (static) H-90% H-95% 2001-2005 0.07 0.05* 2006-2009 0.05 0.03 Crush_var_4 (dynamic) H-90% H-95% 2001-2005 0.09* 0.05* 2006-2009 0.11* 0.07* Простая модель H-90% H-95% 2001-2005 0.03 0.02 2006-2009 0.06 0.04 Таблица 4. Оценки для крэш-спредов H-99% 0.020 0.016* H-99% 0.022 0.033 H-99% 0.011* 0.015* Из таблицы видно, что статический прогноз переоценивает риски модели для 95% и недооценивает для 99% уровня значимости. В свою очередь динамический прогноз верно оценивает риски отклонения спрэда на 90% и 95% уровнях значимости, но переоценивает их для 99% уровня значимости. Простейшая модель оценки риска не уступает построенной модели на 99% уровне значимости, но существенно переоценивает риски на 90% и 95% уровнях значимости. Можно сказать, что результаты динамического прогноза существенно превосходит прогнозы простой модели. 82 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ 4. Пример использования модели для арбитражной стратегии 4.1 Объяснение арбитражной стратегии Для того, чтобы стало более понятно, как данная модель может быть применена, приведем конкретный пример. Рассмотрим, каким образом изменится доходность арбитражной стратеги при использовании данной модели. Будем рассматривать модель арбитража на крэк спрэде, за период 2001-2009. Построим стратегию похожую на те, что описаны в представленных научных работах по арбитражу на крэк и крэш спрэдах. Будем использовать 100 –дневное среднее и заданное отклонение k$ от среднего, для открытия позиций. То есть, в случае, когда спрэд стоит меньше, чем 100-дневное среднее минус k$ - открывается длинная позиция, когда стоит больше чем среднее плюс k$ - открывается короткая позиция. Закрытие позиции может происходить в нескольких случаях. Позиция закрывается в случае, когда спрэд достигает своего среднего уровня. Еще одной причиной закрытия позиции является истечение срока контракта, в котором открыта позиция. Теперь рассмотрим то, сколько средств должно находиться на счете. Один из используемых методов, приведенный в работе P. Girma, A. Paulson, использует максимальное невыгодное отклонение спрэда за период 1990-2000, а затем, если внутри прогнозного периода встречаются более невыгодные отклонения, обновляется. В Таблица 7 такой способ называется “классический метод”. Альтернативным подходом, который становится возможным с использованием разработанной модели, является построение одностороннего доверительного интервала, для определения уровня, который спрэд не превысит с заданной вероятностью. В данной стратегии используется отклонение в размере 2.15 стандартных отклонений от среднего, что при данном количестве степеней свободы tраспределения, соответствует 95% одностороннему интервалу. Количество денег на счете точно такое, чтобы изменения в пределах интервала не приводили к принудительному закрытию позиции. При расчете прибыли стратегии в процентах необходимо учитывать то, что позиции на счете были открыты не постоянно, то есть деньги использовались не все время. Пусть позиции были открыты t% времени, средняя сумма на счете - Invest и заработанная сумма за период 8 лет и 5 месяцев равна Return, тогда: Прибыль в процентах годовых 83 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ Издержки учтены из расчета 0.09$ за круг на один баррель, сюда входит 0.05$ брокерская комиссия и 0.04$ разница между спросом и предложением. Предполагается, что никаких дополнительных издержек, связанных с принудительным закрытием позиции, арбитражер не несет. В таблице 5 обобщаются результаты по трем стратегиям (для открытия позиций при разных отклонениях) и двум методам расчета вложенной суммы. Абсолютная доходность и вложенные средства представлены из расчета на один баррель (контракт на 1000 баррелей). Абсолютная доходность представлена за вычетом издержек. Доходность в процентах годовых подсчитана по формуле, описанной выше. Для сравнения представлено количество принудительных закрытий, стандартное отклонение дневных доходностей и коэффициент Шарпа, рассчитанный для безрисковой ставки rf =3% на протяжении всего периода. Отклонение Доходность Вложено Время в Доходность в Количество Отклонение для дневных Коэффициент Метод подсчета риска абсолютная средств позициях процентах принудительных открытия позиции доходностей Шарпа (Rf=3%) (Return $) (Investment $) (t%) годовых (r%) закрытий (%) Классический метод 25.3618 29.760 77.1% 9.2% 1.0 4.56% 1.45% 1.5$ С помощью модели 39.9626 14.226 76.4% 19.9% 33 9.25% 2.26% 2.5$ Классический метод С помощью модели 43.4392 46.6108 30.159 14.408 64.3% 63.5% 14.8% 23.7% 4.0 31 4.67% 9.38% 2.53% 2.59% 5$ Классический метод С помощью модели 53.0596 81.569 31.397 15.330 33.7% 31.3% 23.5% 40.5% 4.0 22 5.36% 11.04% 4.68% 4.57% Таблица 5. Сравнение стратегий и методов расчета. 4.2 Результаты стратегии для разных методов подсчета риска Классический метод для определения размера инвестиции, то есть для определения количества денег на счете, имеет ряд очевидных недостатков. С одной стороны, оценка возможного отклонения спрэда в соответствии с максимальным произошедшим до этого, может недооценить риск, так как в будущем отклонения могут существенно превысить прошлые максимальные отклонения. Модель, использующая данные о текущей волатильности спрэда, по ее изменениям может предсказать сильное отклонения спрэда, даже превышающее предыдущий максимум. С другой стороны, классический метод может недооценить риск, так как 84 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ однажды случившееся максимальное отклонение может повториться еще не скоро, и хранить на счете очень большую сумму в ожидании этого неэффективно. Видно, что в данной ситуации второй эффект доминирует, “классический метод” предполагает существенно большие инвестиции чем модель данного исследования. В среднем, сумма вложений предполагаемая моделью в два раза меньше, что означает удвоение “плеча” для арбитражера. Кроме того, что использование модели помогает правильно оценить необходимую сумму вложений, ее использование в некоторых ситуациях (для 1.5 и 5 долларов разницы) существенно увеличивает абсолютную прибыль стратегии. Вероятно, это происходит потому, что в случае аномально резких отклонений спрэда, данная стратегия арбитража работает не очень хорошо, поэтому принудительный выход из позиции оказывается выгодным. Использование построенной модели существенно увеличило среднегодовую доходность для всех приведенных стратегий арбитража. Из этого нельзя сделать вывод, о том, что использование данной модели всегда будет увеличивать доходность, но, по крайней мере, возможность для такого увеличения была показана. Заключение Разработанная модель помогает правильно оценить риски стратегии и определить оптимальную сумму для вложения в спрэд (количество денег на счете). Это позволяет решить проблему подсчета доходности в процентах, а также может увеличить доход арбитражной стратегии. Также модель может использоваться для оценки риска невыгодного отклонения спрэда на определенную дату. Прогнозы рыночных рисков, построенные с помощью модели для данных спрэдов, являются достаточно хорошими. Пропорция отклонений за рамки заданных интервалов в целом соответствует заданному уровню значимости для крэш спрэда, но не очень хорошо соответствует для крэк спрэда. Однако, для обоих спрэдов прогнозные характеристики модели лучше, чем для простейшей модели оценки риска, использующей предыдущее значение спрэда для прогноза (AR(1)) и нормально распределенной ошибкой. Возможны дальнейшие модификации модели с использованием более сложных методов эконометрического анализа, для устранении данной проблемы. Также в качестве дальнейшего развития данного исследования, можно предложить применение различных техник подсчета VaR для данной ситуации. Например, построение исторического распределения (historical simulation), простого и средневзвешенного (weighted historical simulation), и др. Изначально разработанную для арбитражных стратегий на крэк и крэш 85 Фролов А.А. ОЦЕНКА РЫНОЧНЫХ РИСКОВ спрэдах, модель возможно применить и для оценки рисков стратегий использующих другие спрэды. Литература 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Butterworth D., Holmes P. (2002) Inter-market spread trading: evidence from UK index futures markets, Applied Financial Economics, 12(11), p.783-791. Dow J., Gorton G. (1994) Arbitrage chains, The Journal of Finance, 49(3), p.819-849 Enders W. (2004) Applied econometric time series. Second edition. John Wiley&Sons. Girma P., Paulson A. (1999) Risk arbitrage opportunities in petroleum futures spreads. The Journal of Futures Markets, p. 931-955. Johnson R., Zulauf C., Irwin S., Gerlow M. (1991). The soybean complex spread: an examination of market efficiency from the viewpoint of a production process. The Journal of Futures Markets, p. 25-38. Maribu K., Galli A., Armstrong M. (2007). Valuation of spark-spread options with mean reversion and stochastic volatility. The Journal of Electronic Business Management, 5(3), p.173-181. Milonas N., Henker T. (2001). Price and convenience yield behavior in the international oil market, Applied Financial Economics, 11, p.23-36. Poitras G. (1989). Optimal futures spread positions. The Journal of Futures Markets, p. 123-134. Simon D. (1999). The soybean crush spread: empirical evidence and trading strategies. The Journal of Futures Markets, p. 271-289. Shahidehpour M, Li T., Choi J. (2005). Optimal generation asset arbitrage in electricity markets. KIEE International Transactions on Power Engineering, 5-A,(4), p. 311-321. Tsay, Ruey S. (2005) Analysis of financial time series. John Wiley&Sons Tuckman B., Vila J. (1992). Arbitrage with holding costs: a utility-based approach. The Journal of Finance, 47(4), p.1283-1302. Wahab M., Cohn R., Lashgari M. (1994). The gold-silver spread: integration, cointegration, predictability, and ex-ante arbitrage. The Journal of Futures Markets, p. 709-756. 86