Document 2105182

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
2012
№ 184
УДК 502.36
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ
ПАРНИКОВЫХ ГАЗОВ, ПОРОЖДЕННЫХ СТАЦИОНАРНЫМ ТОЧЕЧНЫМ
ИСТОЧНИКОМ
С.А. ЧЕРНЯВСКИЙ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Исследуется стационарное решение уравнения турбулентной диффузии парниковых газов в изотермической атмосфере с
плоскослоистым ветровым полем, в предположении слабохолмистого ландшафта местности в присутствии осадков. Показано,
что наличие атмосферных осадков может быть учтено с помощью введения эффективного коэффициента диффузии, который в
общем случае является функцией скорости ветра.
Ключевые слова: турбулентная диффузия, стационарный источник, парниковые газы, абсорбция.
Введение
Парниковые газы, выбрасываемые функционирующими предприятиями, представляют серьёзную
угрозу для стабильности климата. Накопление парниковых газов нарушает естественный температурный баланс, ведет к потеплению поверхности Земли и, как следствие, глобальному изменению климата.
Работы, посвящённые исследованию загрязнения атмосферы, в том числе парниковыми газами, ведутся
уже много лет и сохраняют свою актуальность.
Современные математические методы расчётов концентраций вредных веществ в атмосфере и развитие вычислительной техники позволяют точнее предсказывать загрязнение атмосферы и, в частности,
более детально изучать воздействие парниковых газов на климат Земли.
1. Постановка задачи
Рассматривается задача о распространении в приземном слое атмосферы парниковых газов, выбрасываемых промышленным предприятием. Относительно источника выбросов экологического загрязнения, моделируемого точечным источником, будем считать известными его «производительность» – I и
r r r
его пространственное расположение. Ветровое поле v = v (r ) будем считать плоскослоистым, постоянным на каждой высоте и не меняющимся во времени.
Требуется определить распределение концентрации парниковых газов в атмосфере.
2. Моделирование процесса распространения парниковых газов в атмосфере
Основным уравнением, характеризующим распространение парниковых газов в атмосфере, является локальный закон сохранения вещества, который представлен в виде
()
r
∂n
(1)
+ div J + λn = 0 .
∂t
Здесь n – концентрация парникового газа; λ – коэффициент, описывающий уменьшение концентрации
r
парникового газа за счёт абсорбции; J – плотность потока диффундирующего вещества, представляю-
щего собой сумму потоков диффузии
r r r
J = J1 + J 2 ,
r
r
J 1 = n ( x , y , z , t ) ⋅ v ( x, y , z ) ,
(2)
(3)
r
J 2 = −(K 1 + K 2 )grad (n(x, y, z, t ))
(4)
r
r
где J 1 – поток молекулярной диффузии; J 2 – поток турбулентной диффузии; K 1 – коэффициент молекулярной диффузии, который отражает перенос примеси в нижний слой атмосферы; K 2 – коэффициент
Математическая модель распространения в атмосфере…
129
турбулентной диффузии, который отражает перенос вещества в верхние слои атмосферы в случае анизотропной среды.
Перенос парникового газа в нижний слой незначителен в отличие от переноса в верхние слои атмосферы, поэтому K 1 ≈ 0 .
С учётом подстановок в уравнение (1) соотношений (2) – (4) и сделанных математических преобразований имеем следующее дифференциальное уравнение
∂n
∂t
+ vx
∂n
∂x
∂n
+ vy
∂y
+ vz
∂n
∂z
∂ 2n
= kx
∂ x2
+ ky
∂2n
∂ y2
+ kz
∂2n
∂z2
− λn
.
(5)
Уравнение (5) представляет собой уравнение турбулентной диффузии. Его решение получим при
следующих приближениях.
r r
Ветровое поле стационарно, вектор v = v (z ) параллелен поверхности земли и направлен вдоль оси x
в выбранной нами системе координат. На первом этапе будем полагать, что осадки отсутствуют (λ = 0) .
Относительно турбулентности атмосферы предположим её изотропность и однородность, т.е.
kx ≈ ky ≈ kz = k .
Смоделируем источник экологического загрязнения точечным источником мощности M , расположенного в точке с координатами (0,0, H ) , через которую в атмосферу выбрасывается парниковый газ.
С учётом сделанных допущений уравнение (5), описывающее появление и распространение парниковых газов, имеет вид
∂n
∂n
+ vx
− k ∆n = Mδ ( y )δ ( z − H )δ (t ) .
(6)
∂t
∂x
Естественно предположить, что на бесконечном удалении от источника концентрация выброшенr
ных парниковых газов стремится к нулю, т.е. n → 0 при r → ∞ .
Решения уравнения (6), описывающего эволюцию распространения парникового газа при разовом
выбросе имеют вид
( x − v x t )2
(z+H ) 
 −(z−H )
−
M
4 kt
4 kt 
4 kt
n1 ( x, y, z, t ) =
e
e
+ e 4 kt  ;
3


8(k π t )2


( x −v t ) y  ( z − H )
( z+H ) 
−
−
−
−
M
n2 ( x, y , z , t ) =
e 4 kt 4 kt  e 4 kt − e 4 kt  ,
3


8(k π t ) 2


−
2
−
y
2
2
2
2
2
(7)
2
x
(8)
где t – время, прошедшее после выброса.
Решение (7) имеет место при распространении парникового газа над земной, а (8) – над водной поверхностями.
Анализ решения (8) показывает, что водная поверхность хорошо абсорбирует парниковый газ, т.е.
( x −v t )

−
1

e 4 kt
lim ∫∫∫ n2 (x, y , z , t )dxdydz = ∫∫∫ M lim
3
t →∞ 8(k π t ) 2
t →∞ V ′
V′

2
x
−
y
2
4 kt
(z+H )
 − (z−H )
−
4 kt

⋅ e
+ e 4 kt


2
2

 dxdydz =0 .


В случае непрерывного действия источников, функцию стационарного распределения концентрации парниковых газов в атмосфере можно получить, используя соотношения (7) или (8).
В качестве примера рассмотрим вывод выражения для стационарной концентрации парниковых газов над земной поверхностью.
Нетрудно видеть, что
t
∞
−∞
0
ns ( x, y, z ) = ∫ I (t ′)n( x, y, z , t − t ′)dt ′ = ∫ n1 ( x, y, z , τ )dτ .
130
С.А. Чернявский
Значение интеграла, дающего функцию распределения концентрации парникового газа для случая
стационарных выбросов при отсутствии атмосферных осадков, имеет вид
xv 
v
v
−
x + y +(z − H )
−
x + y +( z + H ) 
M
1
1

n s ( x, y , z ) =
e 2k
e 2k
⋅ e 2k 
+
2
 x 2 + y 2 + ( z − H )2
 (9)
2
2
4πk
x + y + (z + H )


При наличии атмосферных осадков в нестационарном случае при разовом выбросе функция распространения концентрации парникового газа может быть представлена в виде
n ( x , y , z , t ) = n1 ( x , y , z , t )e − λt ,
x
n ( x, y , z , t ) =
x
M
8(k π t )2
3
⋅e
−
2
2
2
( x − v x t )2 + y 2
4 kt
x
(z + H )
 − (z − H )
−
− λt 
⋅ e ⋅ e 4 kt + e 4 kt


2
2
2
2
2


.

Соответствующее стационарное решение nλ в случае атмосферных осадков находится по формуле,
аналогичной (9)
1
1

(x +y +( z−H ) )⋅(v +4kλ)
(x +y +( z+H ) )⋅(v +4kλ) 
−
−
1
1

2k
2k
nλ ( x, y, z) =
⋅e ⋅
e
+
e
(10)
.
2
 x 2 + y 2 + ( z − H )2
2
2
4π k
x
+
y
+
(
z
+
H
)


M
xvx
2
2
2
2k
2
x
2
2
2
2
x
Коэффициент абсорбции λ зависит от интенсивности осадков и влияет на уменьшение парниковых
газов из атмосферы. В работе в качестве примера осадков взята морось, воздействующая на парниковый
газ, интенсивность которой 0,01 с-1.
В формуле (10) присутствует дополнительный сомножитель, отвечающий за воздействие атмосферных осадков на парниковый газ. Данный сомножитель называется эффективным коэффициентом диффузии (µ ) и в общем случае является функцией скорости ветра
µ (v x ) =
v x2 + 4k λ
2k
.
(11)
3. Результаты численного исследования
В качестве парникового газа выбран CO2, поскольку это вещество выбрасывают предприятия всех отраслей промышленности, и оно наиболее сильно влияет на изменение среднегодовой температуры. Для
CO2 коэффициент диффузии k = 1,4·10-5 м2/с при температуре воздуха T = 0 ºС и нормальном давлении.
Y
Y
а
б
X
X
Рис. 1. Распространение CO2 при разных значениях cкорости ветра:
а - распространение CO2 при скорости ветра vx = 4 м/с; б - распространение CO2 при скорости ветра vx = 17 м/с
На рис. 1 представлены контурные графики распространения CO2 в атмосфере при разных значениях скоростей ветра на высоте H = z = 15 м (высота жизненно-важного слоя атмосферы) с заданной
производительностью источника I = 10 кг/с. Данные графики при наличии и отсутствии осадков подобны. Это связано с тем, что морось, которая воздействует на CO2, не вносит существенного вклада в процесс абсорбции CO2.
Математическая модель распространения в атмосфере…
131
На рис. 2 представлена графическая зависимость изменения эффективного коэффициента диффузии
(11) с увеличением скорости ветра. При скорости ветра v x > 20 м/с влияние CO2 на атмосферу практически не ощутимо.
Заключение
В статье проведены аналитические и численные исследования распространения парниковых газов в атмосфере при наличии и отсутствии атмосферных осадков. Результаты
исследований могут быть использованы при
проектировании промышленных объектов с
целью учёта вредного влияния выбросов на
окружающую среду.
Рис. 2. Зависимость эффективного коэффициента
диффузии от скорости ветра
ЛИТЕРАТУРА
1. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
2. Монин А.С. Атмосферная диффузия. - М.: Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН, 1959.
3. Степаненко С.Н., Волошин В.Г., Типцов С.В.. Решение уравнения турбулентной диффузии для стационарного и точечного источника. - Одесса: Одесский государственный экологический университет, 2007.
THE MATHEMATICAL MODEL OF THE DISTRIBUTION OF GREENHOUSE GASES IN THE
ATMOSPHERE, GENERATED BY THE STATIONARY POINT SOURCE
Chernyavskiy S.A.
Examine a stationary solution of the equation of turbulent diffusion of greenhouse gases in the isothermal atmosphere with a flatflaky wind field, under the assumption small hilly landscape areas in the presence of precipitation. It is shown that the presence of atmospheric precipitation can be taken into account with the help of introduction of effective diffusion coefficient, which in the general
case is a function of wind speed.
Key words: eddy diffusion, stationary source, greenhouse gases, absorption.
Сведения об авторе
Чернявский Сергей Анатольевич, 1989 г.р., окончил МГТУ ГА (2011), соискатель кафедры безопасности
полётов и жизнедеятельности МГТУ ГА, ведущий технолог центра информационных технологий и средств обучения, область научных интересов – математические аспекты инженерной экологии и безопасности полётов.