Пучкова А.И.

Êîíôåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ 2011¿
Ñåêöèÿ ¾Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà è êèáåðíåòèêà¿
Èññëåäîâàíèå èíåðöèîííîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ðåñóðñîâ ìåæäó
àññèìèëÿòîðíûìè ìåõàíèçìàìè â êëåòêå ìèêðîáà.
Ïó÷êîâà Àë¼íà Èãîðåâíà
Àñïèðàíò
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, Ôàêóëüòåò
âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
E-mail: apuchkova@gmail.com
Ìèêðîáû óñâàèâàþò ïèòàòåëüíûå âåùåñòâà, èç êîòîðûõ îíè ïîëó÷àþò ñòðîèòåëüíûé ìàòåðèàë, ðàñõîäóåìûé â ïðîöåññå ðîñòà. Ñòðîèòåëüíûé ìàòåðèàë ðàñïðåäåëÿåòñÿ ñðåäè ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìàêðîìîëåêóëÿðíûõ ñòðóêòóð. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò
ïðîáëåìà ðàñïðåäåëåíèÿ ðåñóðñîâ ìåæäó ðàçëè÷íûìè ìîëåêóëÿðíûìè ìåõàíèçìàìè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êëåòêà ìèêðîáà ñîñòîèò òîëüêî èç äâóõ õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ: óãëåðîäà è àçîòà. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî êëåòêà ìîæåò ñèíòåçèðîâàòü òîëüêî äâà òèïà ýëåìåíòîâ
ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ, îäèí èç êîòîðûõ àññèìèëèðóåò ïèòàòåëüíûå
âåùåñòâà, èç êîòîðûõ êëåòêà ïîëó÷àåò óãëåðîä, à äðóãîé àññèìèëèðóåò ïèòàòåëüíûå
âåùåñòâà, èç êîòîðûõ êëåòêà ïîëó÷àåò àçîò. Âîçíèêàåò ïðîáëåìà ðàñïðåäåëåíèÿ ñòðîèòåëüíîãî ìàòåðèàëà ìåæäó óñâîåíèåì óãëåðîäîñîäåðæàùèõ ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ è
óñâîåíèåì àçîòîñîäåðæàùèõ ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ. Âîçìîæíû òðè âàðèàíòà: êëåòêà
èñïîëüçóåò âñå ñâîè çàïàñû óãëåðîäà è àçîòà äëÿ ñèíòåçà ýëåìåíòîâ ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ (ñáàëàíñèðîâàííûé ïóòü), èìååòñÿ èçáûòîê óãëåðîäà (àçîòäåôèöèòíûé ñëó÷àé), èìååòñÿ èçáûòîê àçîòà (óãëåðîä-äåôèöèòíûé ñëó÷àé). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êëåòêà ñòðåìèòñÿ âûéòè íà ñáàëàíñèðîâàííûé ïóòü, ãäå ðåàëèçóåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü å¼ ðîñòà. Ìåíåå î÷åâèäíî å¼ ïîâåäåíèå â óñëîâèÿõ àçîò-äåôèöèòà
èëè óãëåðîä-äåôèöèòà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî êëåòêà ñòàðàåòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîþ
áèîìàññó ê çàäàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè. Öåëü îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è íàõîæäåíèå
îïòèìàëüíîãî ïîâåäåíèÿ êëåòêè â óñëîâèÿõ íåäîñòàòêà óãëåðîäà èëè àçîòà.
Ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ðåñóðñîâ ìîæåò áûòü îïèñàíà â âèäå

ẋ1 = ω1 yϕ(x),




ẋ2 = ω2 (1 − y)ϕ(x),




ϕ̇(x)



 ẏ = ϕ(x) (u − y),
2
x(0) = x0 ∈ R+
,



y(0) = y0 ∈ [0, 1],




u(t) ∈ [0, 1] ∀t ∈ [0, T ],




 ϕ(x(T )) → max,
u(·)
ãäå x1 êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ, êîòîðîå ìîãëî
áû áûòü ñèíòåçèðîâàíî ìèêðîáîì ïðè ïåðåðàáîòêå âñåãî èìåþùåãîñÿ â íàëè÷èè óãëåðîäà, x2 êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ, êîòîðîå
ìîãëî áû áûòü ñèíòåçèðîâàíî ìèêðîáîì ïðè ïåðåðàáîòêå âñåãî èìåþùåãîñÿ â íàëè÷èè
1
Êîíôåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ 2011¿
àçîòà. Äåéñòâèòåëüíîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ, èìåþùååñÿ íà äàííûé ìîìåíò, ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåìó èç ýòèõ äâóõ: ϕ(x) = min{x1 , x2 }. Ïåðåìåííàÿ
y ∈ [0, 1] ïîêàçûâàåò, êàêàÿ ÷àñòü ðåñóðñîâ èä¼ò íà âîñïðîèçâîäñòâî ýëåìåíòîâ ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ óãëåðîäà. u ýòî äîëÿ âíîâü ñèíòåçèðîâàííîãî ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ,
íàïðàâëåííàÿ íà âîñïðîèçâîäñòâî ýëåìåíòîâ ìåõàíèçìà óñâîåíèÿ óãëåðîäà. ω1 , ω2 ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû, ïðè÷¼ì ω1 + ω2 = 1. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ìèêðîá
íå ñïîñîáåí äîñòàòî÷íî áûñòðî èçìåíèòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó àññèìèëÿòîðíûìè ìåõàíèçìàìè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå u = y , çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äâóìåðíîé, ðåøåíèå êîòîðîé
íàõîäèòñÿ íåñëîæíûìè ðàññóæäåíèÿìè). Òàêàÿ èíåðöèîííàÿ ìîäåëü õàðàêòåðíà äëÿ
ïðîêàðèîòè÷åñêèõ êëåòîê.
Çàäà÷à èññëåäóåòñÿ ïðè äâóõ ðåæèìàõ óïðàâëåíèÿ, èìåþùèõ ÿñíóþ áèîëîãè÷åñêóþ
èíòåðïðåòàöèþ. Òàêæå ðåøàåòñÿ çàäà÷à áûñòðîäåéñòâèÿ, ò.å. çàäà÷à ñêîðåéøåãî âûõîäà
íà ñáàëàíñèðîâàííûé ïóòü ðîñòà. Íàõîäèòñÿ óïðàâëåíèå â ôîðìå ñèíòåçà è âû÷èñëÿåòñÿ
îïòèìàëüíîå âðåìÿ ïåðåõîäà íà ñáàëàíñèðîâàííûé ïóòü.
Ëèòåðàòóðà
1. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ., Áîëòÿíñêèé Â.Ã., Ãàìêðåëèäçå Ð.Â., Ìèùåíêî Å.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ì., 1961.
2. Berg, H.A., Kiselev, Y.N., Kooijman, S.A.L.M., Orlov, M.V. Optimal allocation between
nutrient uptake and growth in a microbial trichome // Math. Biol.. 1998, 37, p. 28-48.
3. Brock, T.D., Madigan, M.T., Martinko, J.M., Parker, J. Biology of Microorganisms.
Prentice-Hall International, 1994.
2