МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА города

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ШАКАРИМА города СЕМЕЙ
Документ СМК 3 уровня
УМК
УМКД
Учебно-методические
материалы дисциплины
“Дифференциальные
уравнения”
Редакция №1 от
27.08.2014 г.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
“Дифференциальные уравнения”
для специальности 5В010900 – “ Мвтематика”
Учебно-методические материалы
Семей
2014
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 2 из 108
Содержание
1
2
3
4
8
Глоссарий
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа студентов
Литература
3
8
76
106
108
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
1. ГЛОССАРИЙ
№
Новые понятия
1.
Дифференциальное
уравнение (д.у.)
2.
Порядок д.у.
3.
Решение д.у. порядка n
4.
Обыкновенное д.у. 1-го
порядка
Д.у. 1-го порядка,
разрешённое относительно
производной
Дифференциальная форма
записи
Общее решение д.у. 1-го
порядка
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Общий интеграл д.у. 1-го
порядка.
Д.у. с разделёнными
переменными
Уравнение с разделяющимися переменными
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 3 из 108
Содержание
уравнение, в которое неизвестная функция
(или вектор-функция) входит под знаком
производной или дифференциала
порядок самой старшей производной (или
дифференциала) неизвестной функции,
входящей в д.у.
функция,
имеющая
непрерывные
производные до порядка n включительно и
обращающая при подстановке уравнение в
тождество
уравнение вида F ( x, y, y)  0
Уравнение вида y  f ( x, y )
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0.
функция y   ( x, C ) , зависящая от одной
произвольной
постоянной
С
и
удовлетворяющая
следующим
двум
условиям:
1) функция y   ( x, C ) удовлетворяет д.у.
при любом конкретном значении
постоянной С в некоторой области D
изменения переменных х и у;
2) какова бы ни была точка ( x, y )  D ,
y   ( x, C )
равенство
разрешимо
относительно С, т.е. существует такое
значение C  C0 , что y   ( x, C0 ) .
равенство ( x, y, C )  0 , задающее общее
решение д.у. в неявном виде
уравнения вида f1 ( x)dx  f 2 ( y )dy
уравнение
вида
y  f1 ( x) f 2 ( y ),
или
M1 ( x) M 2 ( y )dx  N1 ( x) N 2 ( y )dy  0
11. Однородная функция порядка функция F ( x, y ) двух переменных, если для
k (или степени k)
неё
выполнено
соотношение:
k
F (x, y)   F ( x, y) , где λ – любое число или
выражение.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 4 из 108
12.
Однородное д.у.
13.
Линейное д.у.
14.
15.
Линейное однородное
Линейное неоднородное
16.
Уравнение Бернулли
y  p ( x ) y  q ( x ) y n
17.
Уравнение в полных
дифференциалах
18.
Уравнение Лагранжа
19.
Уравнение Клеро
20.
Д.у.
M N

y
x
дифференциальное уравнение, линейное
относительно х и у, коэффициенты которого
являются функциями от y’:
P( y) x  Q( y) y  R( y)  0
уравнение первой степени (т.е. линейное)
относительно функции и аргумента вида:
y  xy   ( y).
уравнение вида
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0
21.
22.
23.
24.
25.
n  го
порядка
Д.у. n  го порядка,
разрешённое относительно
старшей производной.
д.у. y /  f ( x, y) , у которого правая часть
является однородной функцией
f ( x, y )
нулевого порядка
y  p ( x ) y  q ( x )
y  p ( x) y  q( x) , где q( x)  0
y  p ( x) y  q( x) , где q( x)  0
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 , если
y ( n )  f ( x, y,..., y ( n 1) )
Общее решение уравнения n- его
y   ( x, C1 , C2 ,...,Cn ) ,
решение
го порядка
содержащее n произвольных постоянных
(n)
F ( x, y, y ,..., y )  0
C1 , C2 ,..., Cn , которые можно подобрать так,
чтобы удовлетворить любым заранее
выбранным начальным условиям:
y ( x0 )  y00 , y( x0 )  y10 , ..., y ( n 1) ( x0 )  y0n 1 .
Задача Коши
задача нахождения решения уравнения
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0 ,
удовлетворяющего
начальным
условиям
0
1
( n 1)
y ( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 , ..., y
( x0 )  y0n 1
Закон движения в
d 2x
dx 


f
t
,
x
,


дифференциальной форме
dt 
dt 2

последовательным
Уравнения вида y ( n )  f ( x) решаются
интегрированием n раз:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
y
( n 1)

стр. 5 из 108
x
 f ( x)dx  C1 ,
x0

    f ( x)dx dx  C1 ( x  x0 )  C2 , и т.д.


x0  x0

порядок понижается с помощью замены
неизвестной функции y ( k )  z ( x) .
y
26.
Уравнения вида
F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) )  0 ,
k  1 , не содержащие явно
неизвестную функцию y , а
также, возможно, несколько
её последовательных
младших производных
y / , y // ,..., y k 1
27.
Уравнение вида
F ( y, y / , y // ,..., y ( n ) )  0 , не
содержащее явно
независимой переменной.
( n  2)
порядок понижается с помощью замены
y /  p ( y ) , где y – независимая переменная,
а p - новая искомая функция, зависящая от
dp dp dy
y . Тогда y // 


 p /  p,
dx dy dx
y
28.
29.
30.
31.
Уравнения, однородные
относительно неизвестной
функции и её производных
x x
///
dp /
dp
d
/
 ( p  p) 
 p  p/

dx
dx
dx
dp / dy
dp dy

  p  p/ 


dy dx
dy dx
 p //  p 2  ( p / ) 2  p и т.д.
вводят новую неизвестную функцию z (x)
y/
zdx

по формуле y  e
или z 
. Тогда
y
y /  yz , y //  yz /  y / z  yz /  yz 2 и т.д.
Левая часть д.у.
д.у.
можно
переписать
в
виде
(n)
F ( x, y, y,..., y )  0 является d ( x, y, y / ,..., y ( n 1) )  0 ,
откуда
dx
производной некоторого
дифференциального
( x, y, y / ,..., y ( n 1) )  C1 ,
и
порядок
выражения,
исходного
уравнения
оказывается
пониженным на единицу.
Линейное д.у.
an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a0 ( x) y  f ( x)
Линейное однородное д.у.
an ( x) y ( n )  an1 ( x) y ( n1)  ...  a0 ( x) y  0
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 6 из 108
(ЛОДУ)
32.
Линейное неоднородное
(ЛНДУ)
33.
Линейно зависимая на
отрезке [a, b] система
функций y1 , y2 ,..., ym 
an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a0 ( x) y  f ( x) ,
если f ( x)  0
если существуют числа 1 ,  2 ,..., m ,
не все из которых равны нулю, такие, что
m
1 y1   2 y2  ...   m ym   i yi  0
i 1
всюду на [a, b]
34.
35.
Линейно независимая на
отрезке [a, b] система
функций y1 , y2 ,..., ym 
если
m
1 y1   2 y2  ...   m ym   i yi  0
i 1
всюду
на
[a, b]
1   2     т  0
Определитель Вронского или
вронскиан системы функций
y1, y2 ,..., ym 
W ( y1 ,..., ym ) 
только
y1
y2
...
ym
y1/
...
y2/
...
y1( m 1)
y2( m 1)
... ym/
 W ( x)
...
...
... ym( m 1)
Линейные однородные д.у. nго порядка (ЛОДУ)
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an1 ( x) y ( n1)  ... 
37.
Фундаментальная система
решений (ФСР) ЛОДУ n -го
порядка
система
любых
n
его
независимых частных решений
38.
Характеристическое
уравнение ЛОДУ с
постоянными
коэффициентами
36.
39.
Характеристические числа
ЛОДУ
40.
Линейные неоднородные д.у.
n-го порядка (ЛНДУ)
41.
Система дифференциальных
уравнений первого порядка
при
 a1 ( x) y /  a0 ( x) y  0
an r n  an 1r n 1  ...  a1r  a0 
линейно
n
 ak r k  0
k 0
корни характеристического уравнения
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an1 ( x) y ( n1)  ... 
 a1 ( x) y /  a 0 ( x) y  f ( x)
совокупность соотношений вида:
 F1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y n )  0
 F ( x, y , y ,..., y , y  , y  ,..., y  )  0
 2
1
2
n
1
2
n

..........
..........
..........
..........
..........
....

 Fn ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y n )  0
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
42.
43.
44.
Нормальная система
дифференциальных
уравнений
Общее решение системы
дифференциальных
уравнений
Линейная однородная
система
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 7 из 108
где х – независимая переменная, у1, у2,…,уn –
искомые функции
система дифференциальных уравнений
первого
порядка,
разрешенных
относительно производных от неизвестных
функций, она имеет вид:
 dy1
 dx  f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )

 dy 2  f ( x, y , y ,..., y )

2
1
2
n
 dx
........................................

 dy n  f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
 dx
совокупность функций y1  1 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,
y 2   2 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , … y n   n ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,
которые при подстановке в систему
обращают ее в тождество
нормальная
система
дифференциальных
уравнений
c
постоянными коэффициентами, если ее
можно записать в виде:
 dy
 dx  a11 y  a12 z  a13u

 dz
  a21 y  a22 z  a23u
 dx
 du
 dx  a31 y  a32 z  a33u

УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 8 из 108
2. ЛЕКЦИИ
Лекция
1.
Основные
понятия
теории
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Дифференциальные
уравнения первого порядка, разрешённые относительно
производной. Теорема существования и единственности
решения задачи Коши.
Для многих динамических, то есть меняющихся во времени, процессов и
явлений бывает трудно написать закон их поведения в виде конкретной
функции времени, а написать этот закон в виде дифференциального уравнения
часто значительно легче.
Определение. Уравнение, в которое неизвестная функция (или векторфункция) входит под знаком производной или дифференциала, называется
дифференциальным уравнением (д.у.) .
Если в д.у. неизвестная функция является функцией одной независимой
переменной, то д.у. называется обыкновенным. Если неизвестная функция
зависит от двух или большего числа переменных, то д.у. называется
дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Порядком д.у. называется порядок самой старшей
производной (или дифференциала) неизвестной функции, входящей в д.у.
Например, д.у. (1  x 2 ) y  x( y 4  1) и ( y  x)dy  y 3dx  0 являются обыкновенными
д.у. 1-го порядка, а д.у. (1  x 2 ) y  x( y 3  1) является обыкновенным д.у. 2-го
порядка.
Определение. Решением д.у. порядка n называется функция, имеющая
непрерывные производные до порядка n включительно и обращающая при
подстановке уравнение в тождество.
Процесс нахождения решений д.у. называется его интегрированием.
Далее мы будем заниматься исключительно обыкновенными д.у. и
начнём их изучение с д.у. самого низкого – первого - порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенным д.у. 1-го порядка называется уравнение вида
F ( x, y, y)  0 .
(1)
Это самая общая форма записи д.у. первого порядка –
уравнение,
неразрешённое относительно производной.
Если (1) удаётся разрешить относительно y и записать в виде
y   f ( x, y ) ,
(2)
то
уравнение (2)
называется
д.у. 1-го
порядка,
разрешённым
относительно производной. Функция f ( x, y ) называется правой частью д.у.
(2).
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
От формы (2), используя равенство y  
записи д.у. первого порядка записи
стр. 9 из 108
dy
, можно перейти к третьей форме
dx
так называемой дифференциальной форме
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0.
(3)
В ходе решения уравнения пользуются той формой записи, которая в
данный момент удобнее.
Определение.
Функция y   (x) , заданная на некотором промежутке,
называется решением д.у. (на этом промежутке), если при подстановке её в
уравнение оно обращается в тождество на этом промежутке. Предполагается
при этом, что первая производная функции  (x ) непрерывна.
Рассмотрим простейший пример: уравнение y   2 x . Его решением является
функция y  x 2 . Однако функции y  x 2  2 и y  x 2  5 также являются его
решениями. Нетрудно проверить подстановкой, что любая функция вида
y  x 2  C , где С – некоторая постоянная, является решением данного д.у. Таким
образом, данное д.у. имеет не одно или два, а бесконечное множество решений
– как говорят, семейство решений, зависящее от одного параметра –
произвольно определяемой постоянной С.
Подобная ситуация имеет место для всех д.у., и решить д.у. означает для нас
описать всю совокупность его решений.
Множество решений д.у. 1-го порядка, зависящее от одной произвольной
постоянной и содержащее все его решения, называется общим решением д.у..
Сформулируем точное определение.
Определение. Общим решением д.у. 1-го порядка называется функция
y   ( x, C ) , зависящая от одной произвольной постоянной С и удовлетворяющая
следующим двум условиям:
3) функция y   ( x, C ) удовлетворяет д.у. при любом конкретном значении
постоянной С в некоторой области D изменения переменных х и у;
4) какова бы ни была точка ( x, y )  D , равенство y   ( x, C ) разрешимо
относительно С, т.е. существует такое значение C  C0 , что y   ( x, C0 ) .
Процесс нахождения решений д.у. состоит в преобразовании его к такому
виду, из которого находится его общее решение. При этом два д.у. называются
эквивалентными, если решения одного из них являются решениями другого.
Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к
эквивалентным уравнениям. Это не всегда удаётся. Поэтому в процессе
преобразований мы должны следить, чтобы не терять решений и не
приобретать лишних.
Если в процессе разыскания решения приходим к соотношению вида
( x, y, C )  0 , которое не удаётся разрешить относительно у, то и в этом случае
решение считается найденным.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 10 из 108
Определение. Равенство ( x, y, C )  0 , задающее общее решение д.у. в
неявном виде, называется общим интегралом д.у. 1-го порядка.
Придав произвольной постоянной С конкретное значение C  C0 ,
получаем из общего решения y   ( x, C ) частное решение y   ( x, C0 ) , а из
общего интеграла ( x, y, C )  0 - частный интеграл ( x, y, C0 )  0 .
Геометрическая интерпретация д.у. 1-го порядка
Пусть дано д.у. 1-го порядка, разрешённое относительно производной и
обозначенное выше цифрой (2): y  f ( x, y) , где правая часть f ( x, y ) определена в
области D. Если y  y (x) - решение д.у. (2), то его график на плоскости Оху
называется интегральной кривой, соответствуюшей данному решению.
Общее решение y   ( x, C ) (или общий интеграл ( x, y, C )  0 ) определяет тогда
семейство интегральных кривых с параметром С.
Производная решения y(x) , с одной стороны, равна угловому
коэффициенту касательной к интегральной кривой y  y (x) в точке ( x, y ( x)) , с
другой стороны, равна правой части уравнения (2). Имеем, таким образом,
следующий геометрический смысл д.у. 1-го порядка (2), разрешённого
относительно производной: уравнение (2) устанавливает зависимость между
координатами точки на плоскости Оху и угловым коэффициентом касательной
к интегральной кривой уравнения (2), проходящей через эту точку.
Задав значение переменной х и вычислив
y
y (x) по формуле решения, можно найти угловой
D
коэффициент касательной к интегральной кривой в
точке ( x, y ( x)) . Если проделать подобное со всеми
α
точками области D, получим в области D поле
направлений с углом наклона α к положительному
( x, y )
направлению оси Ох, определяемым формулой
O
x
tg  f ( x, y ) . Задача интегрирования
д.у. (2)
заключается в нахождении интегральных кривых,
направление касательных к которым в каждой их точке совпадает с
направлением поля в этой точке.
Лекция 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные
уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными
Самыми простыми в решении являются уравнения вида f1 ( x)dx  f 2 ( y )dy ,
называемые д.у. с разделёнными переменными. Действительно, если функция
y  y (x ) есть решение этого уравнения, то в силу инвариантности формы первого
дифференциала можем записать  f1 ( x)dx   f 2 ( y )dy . Если  f1 ( x)dx  ( x)  C1 ,
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
f
стр. 11 из 108
объединив произвольные постоянные, получаем
соотношение ( x)  F ( y)  C , разрешая которое относительно y , получаем всю
совокупность решений исходного уравнения. Большинство методов решений
д.у. заключается в сведении их к уравнению с разделёнными переменными и
последующему интегрированию. Поэтому процесс нахождения решений д.у. и
называется интегрированием.
Следующими по сложности являются
уравнения с разделяющимися
переменными.
Определение. Если в д.у. y  f ( x, y) (2), разрешённом относительно
производной, правая часть f ( x, y)  f1( x) f 2 ( y), т. е. уравнение имеет вид
2
( y )dy  F ( y )  C 2 ,
Ред. № 1 от 29.08.2 010
то,
y  f1 ( x) f 2 ( y ),
(4)
или в эквивалентной форме
M1 ( x) M 2 ( y )dx  N1 ( x) N 2 ( y )dy  0 ,
(5)
разделяющимися
то уравнения (4) и (5) называются уравнениями с
переменными. Переменные в них разделяются:
- из уравнения (4), если f 2 ( y )  0 , с учетом того, что y  dy / dx , получаем
dy
 f1 ( x)dx ;
f2 ( y)
- из уравнения (5), если M 2 ( y)  0 , N1 ( x)  0 , получаем
N 2 ( y)
M ( x)
dy   1
dx .
M 2 ( y)
N 1 ( x)
Однородные уравнения
Определение. Функция F ( x, y ) двух переменных называется однородной
функцией порядка k (или степени k), если для неё выполнено соотношение:
F (x, y)  k F ( x, y) , где λ – любое число или выражение.
Примеры:
1. F ( x, y)  xy  y 2 является однородной функцией порядка 2. В самом деле,
F (x, y)  (x)(y)  (y)2  2 ( xy  y 2 )  2 F ( x, y) .
2.
F ( x, y ) 
xy  y 2
- однородная функция нулевого порядка.
x2
Если F ( x, y ) - однородная функция нулевого порядка, то, положив  
равенстве
F (x, y )  F ( x, y ) ,
имеем:
 y
 y
F ( x, y )  F 1,      .
 x
x
1
в
x
Например,
xy  y 2 y  y 
F ( x, y ) 
   .
x2
x x
Определение. Д.у. y /  f ( x, y) (2) называется однородным, если его правая
2
часть f ( x, y ) является однородной функцией нулевого порядка.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 12 из 108
y
Из предыдущего следует, что тогда д.у. (2) можно записать в виде y /    ,
x
поэтому однородное д.у. сводится к уравнению с разделяющимися переменными
заменой
z
y
,
x
или
y  zx ,
где
z  z (x)
- новая неизвестная функция.
Действительно, тогда y /  z  z / x ,
и исходное уравнение может быть
/
переписано в виде z  z x  f ( z) , или z / x  f ( z )  z , и переменные при f ( z )  z
разделяются
dz
dx

. Заметим, что в случае f ( z )  z исходное уравнение уже
f ( z ) z x
является уравнением с разделяющимися переменными.
Если д.у. записано в дифференциальной форме M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 (3), то
можно показать, что оно является однородным тогда и только тогда, когда
функции M ( x, y) и N ( x, y) - однородные функции одного и того же порядка.
 a xb y c 
Уравнения вида y /  f  1 1 1  приводятся к однородному переносом
 a 2 xb2 y c2 
начала координат в точку ( x0 , y0 ) пересечения прямых a1 xb1 y c1  0, a 2 xb2 y c 2  0,
если определитель
a1
a2
b1
b2
отличен от нуля; для этого делается подстановка
x    x0 , y    y0 .
Если
определитель
равен
нулю,
то
замена
a1 x  b1 y  z приводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными.
Лекция 3. Линейные и приводящиеся к ним уравнения. Уравнения в
полных дифференциалах.
Линейные д.у. первого порядка
a1 ( x) y  a0 ( x) y  b( x) ,
Д.у. первого порядка вида
линейное
относительно неизвестной функции и её производной, называется линейным
д.у. Обычно его записывают в виде
y  p ( x ) y  q ( x ) ,
(6)
называемым нормальным. Если q( x)  0, то уравнение называется линейным
однородным, в противном случае – линейным неоднородным.
Однородное линейное д.у. y  p( x) y  0 является д.у. с разделяющимися
dy
переменными. Разделяя в нём переменные, получаем:
  p( x)dx , или,
y
интегрируя обе части: ln y    p( x)dx  ln C , C  0 . С учётом обозначения


exp( x)  e x имеем тогда общее решение y  C exp   p( x)dx . . Постоянная С
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 13 из 108
здесь может принимать любые значения, т.к. при C  0 имеем решение y  0 ,
«потерянное» на этапе разделения переменных.
Решение неоднородного линейного д.у. (6) можно искать разными
способами.
В методе Бернулли решение уравнения (6) находится в виде y  u( x)  v( x) ,
где u (x) и v(x) - неизвестные функции. Для их нахождения подставим y  u  v
dv
du
в (6): u
v
 puv  q . Сгруппировав третье слагаемое с первым:
dx
dx
du
dv
 dv

 du

u  pv   v
 q , или со вторым: v
 pu   u
 q , требуем, чтобы
dx
dx
 dx

 dx

скобка обратилась в нуль, и решаем получившееся линейное однородное д.у.
dv
так, как описано выше. Например, в первом варианте имеем:
 pv  0 .
dx
Выбрав из его общего решения какое-нибудь одно частное решение v(x) и
подставив его обратно в д.у. с группировкой, получим д.у. с разделяющимися
переменными относительно второй функции u (x) .
Другой способ решения линейного неоднородного д.у. (6) называется
методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Согласно этому методу решается вначале линейное однородное д.у.
y   p( x) y  0 , соответствующее данному неоднородному д.у. (6), т.е.
полученное из него постановкой нуля вместо правой части q(x) . Его общее


решение найдено выше: y  C exp   p( x)dx . . Суть метода заключается в том,
что решение неоднородного уравнения (6) мы находим в ЭТОМ ЖЕ виде, где
на месте постоянной C стоит неизвестная пока функция C (x), т.е. в виде


y  C ( x) exp   p( x)dx . Та как это выражение есть решение уравнения (6), то,
подставив, получим тождество, имеющее вид д.у. относительно функции C (x) .
Найдя из него C (x) , определяем общее решение исходного неоднородного д.у.
(6).
Пример. Решить уравнение y   2 y  4 x .
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y   2 y  0 . Решая его,
получаем: y  Ce 2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде
y ( x)  C ( x)e 2 x . Подставляя y (x) и y / ( x)  C / ( x)e 2 x  2C ( x)e 2 x в исходное
уравнение,
имеем:
C / ( x)e 2 x  2C ( x)e 2 x  2C ( x)e 2 x  4 x ,
что
после
приведения подобных даёт: C / ( x)  4 xe 2 x , откуда C ( x)  2 xe 2 x  e2 x  C1 .
Подставляя найденное выражение C (x) в y (x) , получаем общее решение
исходного уравнения y ( x)  (2 xe 2 x  e 2 x  C1 )e 2 x  2 x  1  C1e 2 x . Ответ тот же.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 14 из 108
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение
y  p ( x ) y  q ( x ) y n
(7)
называется уравнением Бернулли.
Так как при n  0 получается линейное д.у., а при n  1 - д.у. с
разделяющимися переменными, то далее предполагаем, что n  0 и n  1 .
y p ( x )
Разделим обе части (7) на y n , получим: n  n 1  q( x) .
y
y
1
y
z
Сделаем замену n 1  z , тогда имеем n 
. Подставляя в д.у., получим:
1 n
y
y
z
z  (1  n) p( x) z  (1  n)q( x) . Это
 p( x) z  q( x) , или, что то же самое,
1 n
линейное неоднородное д.у., которое мы решать умеем.
Методы Бернулли и Лагранжа можно применить к уравнению Бернулли и
непосредственно, не приводя его предварительно к линейному.
Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрим д.у. первого порядка в дифференциальной форме (3):
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 .
Если существует функция U ( x, y ) такая, что её полный дифференциал
dU ( x, y) совпадает с левой частью (3): dU ( x, y)  M ( x, y)dx  N ( x, y)dy , то
уравнение (3) называется уравнением в полных дифференциалах.
Из курса математического анализа известно, что необходимым и
достаточным условием того, чтобы выражение M ( x, y)dx  N ( x, y)dy было
полным дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) , является тождество
M N
,
(8)

y
x
называемое обычно «признак полного дифференциала». Таким образом, при
выполнении условия
(8) д.у. (3) является уравнением в полных
дифференциалах и легко решается, если знать функцию U ( x, y ) ,
дифференциалом которой является левая часть уравнения. В этом случае его
можно записать в виде dU ( x, y)  0 , откуда легко найти общий интеграл
U ( x, y)  C .
Другой способ нахождения функции U ( x, y ) связан со следующей теоремой
из курса математического анализа:
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy
Теорема.
Выражение
является
полным
дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) тогда и только тогда, когда
криволинейный
интеграл
 M ( x, y)dx  N ( x, y)dy
L
не
зависит
от
пути
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 15 из 108
интегрирования в односвязной области G изменения переменных x и y (Как
известно из того же курса, заданное в области G плоское векторное поле

F ( x, y )  M ( x, y ) , N ( x, y ) называется в этом случае потенциальным, а
скалярная функция U ( x, y ) - его потенциалом).
В
ходе
доказательства
указанной
теоремы
функция
U ( x, y )
восстанавливается в виде криволинейного интеграла от M ( x, y)dx  N ( x, y)dy
вдоль любого пути, соединяющего некоторую фиксированную точку ( x0 , y0 ) ,
лежащую в области G, с переменной точкой ( x , y) :
( x, y )
U ( x, y ) 
 M ( x, y)dx  N ( x, y)dy .
Здесь в качестве пути интегрирования
( x0 , y 0 )
удобно брать ломаную из двух звеньев, параллельных осям координат: Если
x
y
x0
y0
выбрать путь так, как на рис.А, то U ( x, y )   M ( x, y0 )dx   N ( x, y )dy , если так,
как на рис.Б, то U ( x, y ) 
y
x
y0
x0
 N ( x0 , y)dy   M ( x, y)dx .
( x, y )
( x0 , y 0 )
O
y
y
( x, y 0 )
x
( x0 , y )
( x, y )
( x0 , y 0 )
O
x
Рис.Б
Рис.А
Взяв дифференциал некоторой функции двух переменных и приравняв
его к нулю, получим уравнение в полных дифференциалах. Сократив на общий
множитель (если он есть), мы, скорее всего, получим д.у., не являющееся
уравнением в полных дифференциалах. Поэтому возникает обратная задача:
для заданного д.у. первого порядка в дифференциальной форме подобрать
функцию  ( x, y) так, чтобы, умножив на неё обе части уравнения, получить
уравнение в полных дифференциалах. Эта задача носит название задачи о
нахождении интегрирующего множителя. Можно доказать, что всякое д.у.
первого порядка, имеющее общий интеграл, обладает бесконечным числом
интегрирующих множителей, однако задача их отыскания в общем случае
сложна – сложнее, чем решение самого уравнения. Интегрирующий множитель
 ( x, y) удаётся найти только в некоторых частных случаях.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 16 из 108
Лекция 4. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно
производной. Метод введения параметра. Уравнения
Лагранжа и Клеро.
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’).
Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в
другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр
производную неизвестной функции.
y  p.
dp
Для уравнения первого типа получаем: y  f ( p);
y  f ( p) .
dx
dp
Делая замену, получаем: p  f ( p) ;
dx
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными.
f ( p)
f ( p)
dx 
dp;
x
dp  C.
p
p
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой
уравнений:
f ( p )

x


 p dp  C

 y  f ( p)

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в
параметрической форме.
Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же
самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

 y   pf ( p)dp  C


 x  f ( p)
Уравнения Лагранжа и Клеро.
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное
уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются
функциями от y’.
P( y) x  Q( y) y  R( y)  0
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
P( y)
R( y)
y  xf ( p)   ( p), f ( p)  
,  ( p)  
.
Q( y)
Q( y)
Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что dy  pdx , получаем:
pdx  f ( p)dx  xf ( p)dp   ( p)dp.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 17 из 108
Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть x  F ( p, C ), то
общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
 x  F ( p, C )

 y  xf ( p)   ( p)  F ( p, C ) f ( p)   ( p)
Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени
(т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:
y  xy   ( y).
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения
Лагранжа.
С учетом замены y  p , уравнение принимает вид:
y  xp   ( p).
dp
dp
dp
dp
y  p  x   ( p) ;
p  p  x   ( p) ;
dx
dx
dx
dx
x   ( p) dp  0;
dx
Это уравнение имеет два возможных решения:
dp  0 или x   ( p)  0.
В первом случае: p  c;
y  cx   (c)
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой
семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается
системой уравнений:
 y  xp   ( p)

 x   ( p)  0
Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение
не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения,
следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом.
Лекция
5. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка.
Уравнения высших порядков. Общие сведения
Д.у. n  го порядка называется уравнение вида
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0 .
(1)
Его решением называется всякая функция y (x) , обращающая (1) в тождество.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 18 из 108
Если уравнение (1) удаётся представить в виде
y ( n )  f ( x, y,..., y ( n 1) ) ,
(2)
то его называют д.у. n  го порядка, разрешённым относительно старшей
производной.
Рассмотрим простейшее д.у. второго порядка y //  f ( x) . Интегрируя его
два раза, имеем: y /   f ( x)dx  C1 ,
y
 f ( x)dx dx  C x  C
1
2
, где C1 , C 2 -
произвольные постоянные. Подобное имеет место для любого д.у. порядка
выше первого: его общее решение будет содержать столько произвольных
постоянных, каков его порядок. В случае д.у. 2-го порядка
F ( x, y, y , y // )  0
(3)
его общее решение записывается формулой y   ( x, C1 , C2 ) , а общий интеграл
– формулой ( x, y, C1, C2 )  0 .
Для выделения частных решений из общего требуется задание
дополнительных условий. Так, при решении д.у. 2-го порядка для определения
двух произвольных постоянных C1 , C2 потребуется два условия, а в уравнении
5-го порядка – целых пять.
Чаще всего задают начальные условия, т.е. условия вида
y ( x0 )  y00 , y( x0 )  y10 , ..., y ( n 1) ( x0 )  y0n 1 .
(4)
Определение. Общим решением уравнения n-го порядка (1) назовём его
решение y   ( x, C1 , C2 ,...,Cn ) , содержащее n произвольных постоянных
C1 , C2 ,..., Cn , которые можно подобрать так, чтобы удовлетворить любым заранее
выбранным начальным условиям (4).
Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего
начальным условиям (4), носит название задачи Коши. Для д.у. 2-го порядка
задача Коши задаётся так: найти решение д.у. (3), удовлетворяющее начальным
условиям
y ( x0 )  y00 , y( x0 )  y10 .
(3*)
Геометрически речь идёт о нахождении интегральной кривой y  y(x) ,
проходящей через заданную точку M 0 ( x0 , y0 ) и имеющей в этой точке
заданный наклон касательной tg  y0/ .
Механическое истолкование подобной задачи основано на втором законе
Ньютона. Если материальная точка массы m движется по оси Ох под действием
dx
dx
силы F t , x, dt , зависящей от времени t, положения точки х и её скорости dt
в момент времени t, то согласно второму закону Ньютона
d 2x
dx 

(6)

f
t
,
x
,

,
dt 
dt 2



УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 19 из 108
dx  1 
dx 
d 2x

где
ускорение
точки
в
момент
времени
t;
f
t
,
x
,

F
t
,
x
,



.
dt  m 
dt 
dt 2

Уравнение (6) выражает закон движения в дифференциальной форме;
всякому его решению x  x(t ) соответствует определённый закон движения
точки по оси Ох. Задача Коши для уравнения движения (6) состоит в
нахождении закона движения x(t ) , удовлетворяющего заданным значениям
dx
положения точки x(t0 )  x0 и её скорости
(t0 )  v0 в начальный момент
dt
времени t 0 .
Для д.у. n  го порядка (2), разрешённого относительно производной,
справедлива следующая
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если
правая часть f ( x, z1 , z2 ,..., zn ) уравнения (2) непрерывна по совокупности
аргументов и удовлетворяет условиям Липшица по аргументам z1, z2 ,..., zn , то
найдётся окрестность точки x 0 , в которой решение уравнения (2),
удовлетворяющее начальным условиям (4), существует и единственно.
(Функция f ( x, z1 , z2 ,..., zn ) удовлетворяет условию Липшица по аргументам
z1, z2 ,..., zn
в
области
если
для
любых
двух
точек
D,
( x, z11 , z12 ,..., z1n ), ( x, z12 , z22 ,..., zn2 )
из
D
выполнено
неравенство
n
f ( x, z11, z12 ,..., z1n )  f ( x, z12 , z22 ,..., zn2 )  L z i1  z i2 , где L - постоянная Липшица,
i 1
не зависящая от аргументов x , z1, z2 ,..., zn ).
Теорема существования и единственности гарантирует, что при выполнении
её условий через точку ( x0 , y0 , y10 ,..., y0n 1 )  D проходит только одно решение
этого уравнения. Если условия теоремы нарушаются в некоторой точке, то
через неё может проходить больше, чем одно решение (нарушается
единственность), либо не проходить ни одного решения (нарушается
существование).
Возможны иные постановки задач. Так, для д.у. второго порядка может
ставиться краевая или граничная задача: найти на отрезке x0 , x1  решение
уравнения F ( x, y, y, y)  0 , удовлетворяющее на концах отрезка условиям
 0 y ( x0 )   0 y( x0 )   0 ,
, где  i , i ,  i (i  0,1) - некоторые числа.



y
(
x
)


y
(
x
)


.
 1
1
1
1
1
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
В некоторых случаях можно свести д.у. порядка выше первого к д.у.
более низкого порядка.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
I. Уравнения вида
интегрированием n раз:
Ред. № 1 от 29.08.2 010
y ( n )  f ( x)
стр. 20 из 108
решаются
последовательным

 f ( x)dx dx  C ( x  x )  C , и т.д.

1
0
2
 


x0  x0
x0

II. В уравнениях вида F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) )  0 , k  1 , не содержащих
явно неизвестную функцию y , а также, возможно, несколько её
y / , y // ,..., y k 1 ,
последовательных младших
производных
порядок
y
( n 1)

x
f ( x)dx  C1 , y
( n  2)
x x
понижается с помощью замены неизвестной функции y ( k )  z ( x) . Тогда
y ( k 1)  z( x), ..., y ( n )  z ( n  k ) ( x) , и мы приходим к д.у. F ( x, z , z / ,..., z ( n k ) )  0
порядка n  k . Найдя его решение z   ( x, C1 , C2 ,...,Cn  k ) и возвращаясь к
“старой” неизвестной y, получаем уравнение y ( n  k )   ( x, C1 , C2 ,...,Cn  k )
рассмотренного выше I типа.
III. Следующим типом уравнений, допускающих понижение порядка,
F ( y, y / , y // ,..., y ( n ) )  0 , не содержащее явно
является уравнение вида
независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены
y /  p ( y ) , где y – независимая переменная, а p - новая искомая функция,
зависящая от y .
dp dp dy
Тогда y // 


 p /  p,
dx dy dx
y
///
d /
dp/
dp/ dy
dp dy
/ dp
 ( p  p) 
 p p

  p  p/  

dx
dx
dx dy dx
dy dx
 p //  p 2  ( p / ) 2  p и т.д. Подставляя в исходное уравнение, понижаем его
порядок на единицу.
IV. Уравнения, однородные относительно неизвестной функции и её
производных. Левая часть такого д.у. есть однородная функция (некоторого
y, y / ,..., y ( n ) ,
порядка
k)
относительно
т.е.
F ( x, ty , ty / ,...,ty ( n ) )  t k F ( x, y, y / ,..., y ( n ) ) .
В
этом
случае
вводят
новую
y/
zdx

неизвестную функцию z (x) по формуле y  e
или z 
. Тогда y /  yz ,
y
y //  yz /  y / z  yz /  yz 2 и т.д. При подстановке в д.у. в силу однородности F
множитель y вынесется в степени k и на него можно будет сократить, т.к. по
определению y  0 . После этого будем иметь д.у. относительно z порядка на
единицу меньшего, чем исходное д.у.
V. Если левая часть д.у. (1) F ( x, y, y,..., y ( n ) )  0 является производной
некоторого дифференциального выражения, то д.у. можно переписать в виде
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 21 из 108
d
( x, y, y / ,..., y ( n 1) )  0 , откуда ( x, y, y / ,..., y ( n 1) )  C1 , и порядок исходного
dx
уравнения оказывается пониженным на единицу.
VI. Бывает также возможность понизить порядок д.у., проведя
некоторые преобразования.
Пример. Если обе части уравнения yy ///  y / y // разделить на yy //  0 , то
получим
уравнение
y /// y /
 ,
y
y //
которое
можно
переписать
в
виде
(ln y // ) /  (ln y ) / . Из последнего соотношения следует, что ln y //  ln y  ln C ,
или, что то же самое, y //  Cy. Получилось уравнение на порядок ниже и
рассмотренного ранее типа III.
Лекция 6. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го
порядка: фундаментальная система решений, общее
решение.
Однородные
линейные
дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами.
Во многих практических задачах изучаемые функции и их производные
принимают настолько малые значения, что их квадратами, кубами и более
высокими степенями можно пренебречь. Это позволяет заменить произвольные
зависимости между величинами линейными зависимостями. Применяя эту
операцию, называемую линеаризацией, к д.у., описывающему изучаемый
процесс, получаем д.у., в которое искомые функции и их производные входят
линейно. Такие д.у. называются линейными.
Определение. Д.у. n-го порядка F ( x, y, y,..., y ( n ) )  0 называется
линейным, если его левая часть F ( x, y, y,..., y (n ) ) линейна относительно
неизвестной функции y и её производных y,..., y ( n ) , т.е. д.у. имеет вид
an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a0 ( x) y  f ( x) .
(1)
Здесь ak (x) , k  0 ,...,n , - коэффициенты д.у., an ( x)  0 , f (x) называется
правой частью д.у.; все функции считаются непрерывными на некотором
отрезке a, b.
Определение. Если в д.у. (1) правая часть f ( x)  0 , то оно называется
линейным однородным д.у. (ЛОДУ). Если правая часть не равна
тождественно нулю, то д.у. (1) называется линейным неоднородным (ЛНДУ).
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для
линейных д.у. порядка n ):
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 22 из 108
Пусть функции ak ( x), 0  k  n , и f (x) определены и непрерывны на отрезке
 ,   , an ( x)  0 для всякого x из  ,   , и пусть x 0 - некоторая точка этого
отрезка.
Тогда
для
любого
набора
начальных
данных
0
/
1
( n 1)
n 1
y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0 , ..., y
( x0 )  y0
существует единственное решение
уравнения (1), определённое на всём отрезке  ,   .
В дальнейшем будем иногда пользоваться краткими записями уравнения
n
(1):
 ak ( x) y (k ) 
f ( x) ,
или
даже
L[ y]  f ( x) ,
где
k 0
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y  a0 ( x) y - левая часть (1).
Линейная независимость функций
Определение. Система функций y1 , y2 ,..., ym называется линейно
зависимой на отрезке [a, b] , если существуют числа 1 ,  2 ,..., m , не все из
которых равны нулю, такие, что
m
1 y1   2 y2  ...   m ym   i yi  0
i 1
всюду на [a, b] , и линейно независимой, если такого ненулевого набора не
существует.
Для систем функций справедливы следующие свойства, доказательства
которых аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для
систем векторов:
1. Система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно зависима на отрезке [a, b] тогда и
только тогда, когда одна из функций есть линейная комбинация остальных.
2. Всякая система функций, содержащая функцию, тождественно равную нулю
на отрезке [a, b] , линейно зависима на [a, b] .
3. Всякая система функций, содержащая линейно зависимую на отрезке [a, b]
подсистему функций, линейно зависима на [a, b] .
Приведём примеры линейно зависимых и линейно независимых систем
функций.
1. Система функций 1, cos 2 x, sin 2 x линейно зависима на всей числовой оси,


так как по основному тригонометрическому тождеству 1  cos 2 x  sin 2 x .


2. Функции 1, x, x 2 ,..., x n образуют линейно независимую систему на любом
отрезке числовой прямой, т.к. по основной теореме алгебры многочлен степени
n , у которого хотя бы один коэффициент отличен от нуля, не может обращаться
в нуль более чем в n точках, т.е. не существует чисел  0 ,1 ,..., n , не все из
которых равны нулю, таких, что  0  1 x  ...   n x n  0 (т.е. для всех х).
Не всегда удаётся легко показать линейную зависимость или линейную
независимость систем функций, пользуясь только определением. Для
выяснения этого вопроса служит построенный ниже определитель.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 23 из 108
Определение. Пусть y1 , y2 ,..., ym  - система m  1 раз непрерывно
дифференцируемых функций. Определитель
y1
y2
...
ym
/
/
y1
y2
...
ym/
W ( y1 ,..., ym ) 
 W ( x) ,
...
...
...
...
y1( m 1) y2( m 1) ... ym( m 1)
называется определителем Вронского или вронскианом системы функций
y1, y2 ,..., ym .
Определитель Вронского служит индикатором линейной зависимости
системы функций.
Теорема. Если система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно зависима на
[ ,  ] , то её определитель Вронского W ( y1 ,..., ym ) тождественно равен нулю на
отрезке [ ,  ] .
Доказательство. Пусть система функций y1 , y 2 ,..., y m  линейно
зависима. Тогда по свойству 1 одну из них можно представить в виде линейной
комбинации остальных. Подставляя эту линейную комбинацию в определитель
Вронского, получаем, что при любом фиксированном x соответствующий
столбец есть линейная комбинация остальных. Следовательно, по свойствам
определителя, он равен нулю для всех x [ ,  ] . Теорема доказана.
Следствие. Если W ( y1 ,..., ym )  0 хотя бы в одной точке [ ,  ] , то
система функций y1 , y2 ,..., ym  линейно независима на [ ,  ] .
Примеры.
1. Система  cos x, sin x линейно независима на любом промежутке, т.к.
cos x sin x
W ( x) 
 cos2 x  sin 2 x  1  0 .
 sin x cos x
2. Система
e , xe 
x
x
линейно независима на любом промежутке, т.к.


ex
xe x
W ( x)  x
 e x e x  xe x  e x xe x  e2 x  0 ни в одной точке.
x
x
e e  xe
Замечание. Обратное теореме утверждение неверно. Возможны случаи,
когда W ( y1 ,..., ym )  0 на [ ,  ] , но система y1 , y2 ,..., ym  линейно независима!
Линейные однородные д.у. n-го порядка (ЛОДУ)
Имеют вид
(2)
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  0
и обладают двумя основными свойствами:
1. Если функция y  y(x) является решением ЛОДУ (2), то и любая функция
вида C y(x) , где C=const, также является его решением:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 24 из 108
L(Cy)  по свойству производной C можно вынести  C L( y)  0 по
условию.
2. Если функции y1 , y2 являются решениями ЛОДУ (2), то y1  y2 также
является решением (2). Доказывается аналогично по свойству производной.
Следствие. Любая линейная комбинация решений ЛОДУ (2) снова есть
его решение.
Займёмся построением общего решения ЛОДУ (2). Оно должно
содержать n произвольных постоянных C1 ,...,Cn - ровно столько, каков
порядок д.у. (2). Может показаться, что достаточно найти какие-либо n частных
решений y1 , y2 ,..., yn и составить их линейную комбинацию y  C1 y1  ...  Cn yn .
Однако она, хотя и является решением д.у. (2) в силу следствия, вовсе не
обязана быть его общим решением.
Докажем вначале две следующих теоремы.
Теорема. Для любого ЛОДУ порядка n существует система, состоящая
из n линейно независимых решений этого уравнения.
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
Доказательство. Возьмём матрицу A  
с определителем,
..................... 


a
a
...
a
nn 
 n1 n 2
отличным от нуля. Тогда строки и столбцы этой матрицы линейно независимы.
Найдём такие решения y j ( x) ( j  1,2,...n) ЛОДУ (2), чтобы выполнялись
соотношения y (jk ) ( x0 )  ak 1, j ; k  0, 1,..., n  1 . По теореме существования и
единственности такой набор решений существует. Найденная система решений
y1, y2 ,..., yn  линейно независима, так как её определитель Вронского в точке
x 0 совпадает с определителем матрицы. Теорема доказана. Матрицу А можно
взять единичную.
Теорема. Если y1 , y2 ,..., yn  - линейно независимая система n решений
ЛОДУ n -го порядка (2) с непрерывными на [ ,  ] коэффициентами и an ( x)  0
для всех x [ ,  ] , то её определитель Вронского W ( y1 ,..., ym ) отличен от нуля
для всех x [ ,  ] .
Доказательство. От противного. Пусть W ( x0 )  0 в точке x0  [ ,  ] .
Составим однородную систему линейных алгебраических уравнений из n
уравнений относительно n
неизвестных, которые обозначим C1 ,...,Cn :
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  0
 C y / ( x )  ...  C y / ( x )  0
 1 1 0
n n
0
. Её определитель совпадает с W ( x0 ) , и т.к. он

..........
..........
..........
..........
..........
.

 C1 y1( n 1) ( x0 )  ...  Cn yn( n 1) ( x0 )  0
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 25 из 108
равен 0, то записанная система имеет по крайней мере одно ненулевое решение
C10 ,...,Cn0 . Рассмотрим функцию y  C10 y1  ...  Cn0 yn . По следствию из свойств
ЛОДУ функция у является решением ЛОДУ (2). При этом из первого уравнения
системы получаем, что y ( x0 )  C10 y1 ( x0 )  ...  Cn0 yn ( x0 )  0 , из второго
уравнения системы - y / ( x0 )  C10 y1/ ( x0 )  ...  Cn0 yn/ ( x0 )  0 , …, из последнего
уравнения системы - y ( n 1) ( x0 )  C10 y1( n 1) ( x0 )  ...  Cn0 yn( n 1) ( x0 )  0 . Получили,
что у
удовлетворяет ЛОДУ (2) и нулевым начальным условиям
y ( x0 )  0, y / ( x0 )  0, ..., y ( n 1) ( x0 )  0 . Таким начальным условиям, очевидно,
удовлетворяет тривиальное решение y  0 , а по теореме существования и
единственности решения задачи Коши это решение
- единственное.
0
0
Следовательно, y  C1 y1  ...  Cn yn  0 , а поскольку не все числа C10 ,...,Cn0
равны нулю, то система y1 , y2 ,..., yn  линейно зависима. Противоречие.
Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ n -го
порядка (2) называется система любых n его линейно независимых частных
решений .
Теорема (о виде общего решения ЛОДУ (2)). Если y1 , y2 ,..., yn - ФСР
ЛОДУ (2), то его общее решение y00 может быть представлено формулой
y00  C1 y1  ...  Cn yn ,
(3)
где C1 ,...,Cn - произвольные постоянные.
Доказательство. Решение (3) будет общим, т.е. содержать все без
исключения частные решения д.у. (2), если можно так подобрать произвольные
постоянные C1 ,...,Cn , чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные
условия y ( x0 )  y00 , y( x0 )  y10 , , y ( n 1) ( x0 )  y0n 1 , где x0 - любая точка
промежутка [ ,  ] . Потребовав выполнения начальных условий, получим
систему линейных алгебраических уравнений
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  y0

/
/
/
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  y0

 ...................................................
 C1 y1( n 1) ( x0 )  ...  Cn yn( n 1) ( x0 )  y0( n 1)
C1 ,...,Cn и определителем, являющимся определителем
с неизвестными
Вронского W системы y1 , y2 ,..., yn , вычисленным в точке x0 . Т.к. y1 , y2 ,..., yn это ФСР, то W ( x0 )  0 , и система уравнений имеет решение C1 ,...,Cn при
любом выборе точки x0 и начальных условий, что и требовалось доказать.
Поиск ФСР ЛОДУ для составления yоо в общем случае является трудной
задачей. Тем не менее есть класс уравнений, для которого эта задача
достаточно легко решается.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 26 из 108
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Так называют ЛОДУ (2), у которого коэффициенты постоянны, т.е.
ai  x   ai  const :
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  0 .
(5)
Для построения ФСР ЛОДУ (5), следуя Эйлеру, будем искать его
y  e rx , r  const . Тогда y /  r  e rx , y //  r 2  e rx ,…,
решение в виде
y ( n )  r n  e rx . Подставляя в (5) и вынося за скобки общий для всех слагаемых
множитель e rx , получаем:
нуль не обращается, то
an r  an 1r
n
n 1
L(e rx )  e rx (an r n  ...  a1r  a0 )  0 . Т.к. e rx нигде в
 ...  a1r  a0 
n
 ak r k  0 .
(6)
k 0
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ с
постоянными коэффициентами (5).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Функция y  e rx является решением ЛОДУ с постоянными
коэффициентами (5) тогда и только тогда, когда число r есть корень
характеристического уравнения (6).
Замечание. Для составления характеристического уравнения (6)
достаточно заменить в ЛОДУ (5) производные y (k ) на соответствующие
степени r k (считая при этом саму функцию у нулевой производной y ( 0 ) ).
Корни
характеристического
уравнения
(6)
называются
характеристическими числами ЛОДУ (5). Как известно из алгебры, всего
их n (с учётом кратности). Структура ФСР и, как следствие, структура
общего решения определяются видом характеристических чисел.
Возможно 3 следующих случая.
Случай 1. Все корни характеристического уравнения (6) действительные
и различные.
Обозначим их r1 , r2 ,...,rn . Тогда получим n различных частных решений ЛОДУ
(5)
y1  e r1 x , y2  e r2 x ,…, yn  e rn x .
(7.1)
Докажем, что полученная система решений линейно независима.
Рассмотрим её определитель Вронского:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
r1 x
Ред. № 1 от 29.08.2 010
r2 x
W (e , e ,...,e
rn x
)
e r1 x
e r2 x
...
e rn x
r1e r1 x
r2e r2 x
...
rn e rn x
...
...
...
...
r1n 1e r1 x
 e ( r1  r2 ... rn ) x
( r  r  ...  r ) x
стр. 27 из 108

r2n 1e r2 x ... rnn 1e rn x
1
1
...
1
r1
...
r2
...
r1n 1
r2n 1
... rn
.
... ...
... rnn 1
rx
r x
r x
n
Множитель e 1 2
в правой части W (e 1 , e 2 ,..., e n ) нигде в
нуль не обращается. Поэтому осталось показать, что второй сомножитель
(определитель) не равен нулю. Предположим, что это не так, т.е.
1
1 ... 1
r1
r2 ... rn
 0.
...
... ... ...
r1n 1 r2n 1 ... rnn 1
Тогда строки этого определителя линейно зависимы, т.е. существуют
b1 , b 2 , ..., b n ,
числа
не
все
равные
нулю
и
такие,
что
b1  b2 r1  b3r12  ...  bn r1n 1  0 , b1  b2 r2  b3r22  ...  bn r2n 1  0 , …,
b1  b2 rn  b3rn2  ...  bn rnn 1  0 .
Это означает, что числа r1 ,..., rn суть n различных корней многочлена
(n  1) -ой степени, что невозможно. Следовательно, определитель в правой
части W (e r1 x , e r2 x ,...,e rn x ) не равен нулю, система функций (7.1) линейно
независима и образует ФСР ЛОДУ (5).
Таким образом, общее решение ЛОДУ (5) в рассматриваемом случае
y  C1 e r1 x  C2 e r2 x  ...  Cn e rn x .
можно записать в виде
(8.1)
Случай 2. Все корни характеристического уравнения (6)
действительные, но среди них есть кратные.
Предположим без ограничения общности, что корень r1 имеет кратность s,
а все остальные корни различны. Рассмотрим вначале случай r1  0 . Из алгебры
многочленов следует, что тогда характеристическое уравнение (6) должно
иметь вид an r n  an 1r n 1  ...  as r s  0 , так как иначе r1 не являлось бы корнем
кратности
s.
Следовательно,
ЛОДУ
(5)
имеет
вид
an y ( n )  an 1 y ( n 1)  ...  as y ( s )  0 , т.е. не содержит производных порядка ниже s.
Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 28 из 108
порядка s и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все
многочлены степени не выше s  1 , например, 1, x, x 2 ,..., x s 1 .
Покажем, что данная система функций линейно независима. Составив
определитель
Вронского
этой
системы,
получим:
1 x .....
x s 1
0 1 .... ( s  1) x s  2
2
s 1
W (1, x, x ,..., x ) 
. Это определитель верхнетреугольной
...........................
0 0 ..... ( s  1)!
матрицы с отличными от нуля элементами на главной диагонали, поэтому он не
равен нулю, что и доказывает линейную независимость системы функций
1, x, x 2 ,..., x s 1 .
Пусть теперь r1  0 . Произведём в ЛОДУ (5) замену y  ze r1 x  z exp( r1 x) .
Тогда y /  ( z /  r1 z )e r1 x , y //  ( z //  2r1 z /  r12 z )e r1 x и т. д. Подставляя полученные
значения производных в (5), снова получим ЛОДУ с постоянными
коэффициентами
L1 ( z )  bn z ( n )  bn 1 z ( n 1)  ...  b1 z /  b0 z  0
(5*)
с характеристическим уравнением
bn k n  bn 1k n 1  ...  b1k  b0  0 .
(6*)
kx
Если k - корень характеристического уравнения (6*), то z  e - решение
уравнения (5*), а y  ze r1 x  e( k  r1 ) x является решением уравнения (5). Тогда
r  k  r1 - корень характеристического уравнения (6). С другой стороны,
уравнение (5) может быть получено из уравнения (5*) обратной заменой
z  ye  r1 x и поэтому каждому корню характеристического уравнения (6)
соответствует корень k  r  r1 характеристического уравнения (6*). Таким
образом, установлено взаимно однозначное соответствие между корнями
характеристических уравнений (6) и (6*), причём различным корням одного
уравнения соответствуют различные корни другого. Так как r  r1 - корень
кратности s уравнения (6), то уравнение (6*) имеет число k  0 корнем кратности
s, и по доказанному ранее, уравнение (5*) имеет s линейно независимых
решений z1  1, z2  x , z3  x 2 ,..., zs  x s 1 , которым соответствует s линейно
независимых решений y1  e r1 x , y2  xe r1 x , y3  x 2e r1 x ,..., ys  x s 1e r1 x уравнения
(5). Присоединяя полученную систему s решений к n  s решениям,
соответствующим остальным корням rs 1 ,...,rn характеристического уравнения
(которые различны), получим ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами (5)
в случае наличия действительных кратных корней:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 29 из 108
y1  e r1 x , y2  xe r1 x , y3  x 2e r1 x ,..., ys  x s 1e r1 x , ys 1  e rs 1 x ,..., yn  e rn x . (7.2)
Таким образом, общее решение ЛОДУ (5) в рассматриваемом случае
можно записать в виде
y  C1e r1 x  C2 xe r1 x  C3 x 2e r1 x  ...  Cs x s 1e r1 x  Cs 1 e rs 1 x  ...  Cn e rn x .
(8.2)
Случай 3. Среди корней характеристического уравнения есть
комплексные корни.
Согласно изложенному выше каждому комплексному корню rj     i
кратности
s характеристического уравнения (6) соответствует набор
yl  xl 1e(   i ) x ( l  1 ,... , s ). Однако
комплексных частных решений
рассматривать комплексные решения не всегда удобно, поэтому найдём
действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы
рассматриваем ЛОДУ с действительными коэффициентами, то для каждого
комплексного корня rj     i кратности s характеристического уравнения
(6) комплексно сопряжённое ему число rk  rj     i также является корнем
кратности s этого уравнения, которому соответствует свой набор комплексных
частных решений yl  xl 1e(   i ) x , l  1 ,... , s .
Рассмотрим вместо этих решений их линейные комбинации
y  yl
y  yl
~
l 1 ,..., s , которые
y1l  l
 xl 1ex cos x, y2l  l
 xl 1ex sin x ,
2
2i
также являются решениями ЛОДУ (5). Так как преобразование,
осуществляющее переход от yl , yl к ~y1l , ~y2l , l  1 ,..., s , невырожденное (с
отличным от нуля определителем), то оно переводит линейно независимую
систему решений в линейно независимую.
Таким образом, если характеристическое уравнение (6) имеет пару
комплексно сопряжённых корней    i , каждый кратности s, то в ФСР ЛОДУ
(5) им соответствует подсистема функций
xl 1ex cos x, xl 1ex sin x , l  1 ,... , s .
(7.3)
Общее решение ЛОДУ (5) в этом случае имеет вид .
y  ...  C j ex cos x  C j 1x ex cos x  ...  C j  l xl 1ex cos x 
(8.3)
 C j  l 1 ex sin x  C j  l  2 x ex sin x  ...  C j  l  s xl 1ex sin x  ... .
Более компактная запись:
y  ...  ex (C j  C j 1x  ...  C j  l xl 1 ) cos x  (C j  l 1  C j  l  2 x  ...  C j  l  s xl 1 ) sin x  ...


УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 30 из 108
Лекция 7. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го
порядка.
Структура
решений.
Метод
вариации
произвольной постоянной. Интегрирование линейных
уравнений при помощи рядов.
Линейные неоднородные д.у. n-го порядка (ЛНДУ)
Имеют вид (1): L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  f ( x) .
Если правую часть f (x) заменить нулём, получим ЛОДУ, называемое
соответствующим данному ЛНДУ.
Теорема (о виде общего решения ЛНДУ). Общее решение yOH ЛНДУ (1)
yОН ( x)  y00 ( x)  yЧН ( x) ,
может быть представлено в виде
(2)
где y оо - общее решение соответствующего ЛОДУ, а yЧН - какое-либо частное
решение ЛНДУ.
Доказательство. Покажем сначала, что (2) – решение (1). По условию
(n)
( n 1)
/
a n ( x) yЧН
 a n 1 ( x) yЧН
 ...  a1 ( x) yЧН
 a 0 ( x) yЧН  f ( x)
и
(n)
( n 1)
/
an ( x) y00
 an 1 ( x) y00
 ...  a1 ( x) y00
 a0 ( x) y00  0 .
Складывая почленно и используя свойство производной, получаем:
a n ( x) ( y 00  yЧН ) ( n )  a n 1 ( x) ( y 00  yЧН ) ( n 1)  ... 
 a1 ( x) ( y00  yЧН ) /  a0 ( x) ( y00  yЧН )  f ( x) ,
т.е. (2) действительно является решением (1).
Покажем теперь, что (2) – общее решение (1). Пусть y1 , y2 ,..., yn  - ФСР
соответствующего ЛОДУ, тогда y00  C1 y1  ...  Cn yn . Пусть yчн (x) - какоенибудь фиксированное частное решение ЛНДУ (1). Нам нужно показать, что
для
любого
набора
начальных
данных
0
1
( n 1)
n 1
y ( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 , , y
( x0 )  y0
существует набор чисел C1 , C2 ,...,Cn
yОН ( x)  y00 ( x)  yЧН ( x)  C1 y1  ...  Cn yn  yЧН
такой,
что
решение
удовлетворяет этому набору начальных данных. Потребовав, чтобы yOH
удовлетворяло начальным данным, получим неоднородную систему линейных
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  yЧН ( x0 )  y0

/
/
/
/
 C1 y1 ( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  yЧН ( x0 )  y0
алгебраических уравнений 
.
..........
..........
..........
..........
..........
.

( n 1)
 C1 y1( n 1) ( x0 )  ...  Cn yn( n 1) ( x0 )  yЧН
( x0 )  y0( n 1)
/
( n 1)
( x0 ),..., yЧН
( x0 ) из левых в правые части
Если перенести числа yЧН ( x0 ), yЧН
уравнений этой системы, получим новую неоднородную систему, определитель
которой равен W ( x0 )  0 , вследствие чего существует её единственное решение
C1 , C2 ,...,Cn . Теорема доказана.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 31 из 108
Один из универсальных способов нахождения частного решения yЧН метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Метод вариации произвольных постоянных решения ЛНДУ
Рассмотрим снова ЛНДУ общего вида
L [ y ]  a n ( x) y ( n )  a n 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a 0 ( x) y  f ( x) .
(3)
Пусть общее решение соответствующего ему ЛОДУ
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  0
(4)
y00  C1 y1  ...  Cn yn ,
имеет вид
(5)
где y1 , y2 ,..., yn  - ФСР ЛОДУ (4).
Аналогично случаю линейного уравнения первого порядка, будем искать
частное решение yЧН уравнения (3) в виде (5), превратив постоянные C1 ,...,Cn
в переменные – функции – иначе говоря, «варьируя» их:
yЧН  C1 ( x) y1  ...  Cn ( x) yn ;
(6)
при этом для нахождения неизвестных пока функций C1 ( x),..., Cn ( x) требуется
составить систему из n соотношений между ними.
Выбор одного соотношения очевиден: функция (6) должна быть
решением ЛНДУ (3). Подставим функцию (6) в ЛНДУ (3), для чего найдём её
производные.
Первая производная равна

 

/
yЧН
 C1/ . ( x) y1  ...  Cn/ ( x) yn  C1 ( x) y1/  ...  Cn ( x) yn/ .
(7)
При вычислении второй производной в правой части появится уже
четыре больших скобки, при вычислении третьей производной – восемь, и так
далее. Так как при подстановке решения (6) в уравнение (3) получается только
одно соотношение, то выбор остальных n  1 полностью находится в нашей
власти.
Поэтому
для
упрощения
подстановки
первую
скобку
/.
/
C1 ( x) y1  ...  Cn ( x) yn в (7) полагаем равной нулю. С учётом этого вторая
производная становится равной

 

//
yЧН
 C1/ . ( x) y1/  ...  Cn/ ( x) yn/  C1 ( x) y1//  ...  Cn ( x) yn// .
В ней также полагаем первую скобку равной нулю, находим третью
производную и повторяем процедуру далее до (n  1) -ой производной
/
/
включительно, получая при этом n  1 соотношение между C1 ( x),...,Cn ( x) .
Наконец, n -ая производная оказывается равной

 

(n)
yЧН
 C1/ . ( x) y1( n 1)  ...  Cn/ ( x) yn( n 1)  C1 ( x) y1( n )  ...  Cn ( x) yn( n ) .
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 32 из 108
Подставляя полученные производные в (3) и приводя подобные при
C1 ( x),...,Cn ( x) , будем иметь:

L( y )  C1 ( x)  an ( x) y1
(n)

 C ( x)  a ( x) y
 C2 ( x)  an ( x) y2
n

n
n
( n 1)
 an 1 ( x) y1

 ...  a1 ( x) y1  a0 ( x) y1 
/

 a ( x) y  
(n)
 an 1 ( x) y2
( n 1)
 ...  a1 ( x) y2  a0 ( x) y2  ... 
(n)
 an 1 ( x) yn
( n 1)
 ...  a1 ( x) yn
/

/
0
n
 an ( x)  C1/ . ( x) y1( n 1)  ...  Cn/ ( x) yn( n 1)  f ( x) .
Т.к. функции y j , j  1,2,..., n, являются решениями соответствующего ЛОДУ
(4), то все скобки, кроме последней, обращаются в нуль. Присоединяя
оставшееся соотношение к уже имеющимся n  1 , получаем неоднородную
/
/
систему алгебраических уравнений для нахождения C1 ( x),...,Cn ( x) :







C1/ . ( x) y1  ...  Cn/ ( x) yn  0
C1/ . ( x) y1/  ...  Cn/ ( x) yn/  0
.......................................................
f ( x)
C1/ . ( x) y1( n 1)  ...  Cn/ ( x) yn( n 1) 
an ( x )
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского ФСР
y1, y2 ,..., yn  соответствующего ЛОДУ (4) и поэтому не равен нулю.
/
/
Следовательно, существует единственное решение системы C1 ( x),...,Cn ( x) .
Найдя его и проинтегрировав, получим функции C1 ( x),...,Cn ( x) с точностью
до постоянных интегрирования. Подставляя C1 ( x),...,Cn ( x) в (6), получаем
общее решение ЛНДУ (3).
В простейшем случае n  2 , т.е. для ЛНДУ второго порядка, система
соотношений (8) приобретает вид
 C1 y1  C2 y2  0 ,

 C  y  C  y  f ( x ) .
2 2
 1 1
a2 ( x )
Изложенный метод называется методом вариации произвольной
постоянной или методом Лагранжа. Он является общим методом нахождения
yЧН и пригоден для любого ЛНДУ.
Решение ЛНДУ n-го порядка методом вариации произвольных
постоянных связано с вычислением n неопределённых интегралов. Существует
класс ЛНДУ с постоянными коэффициентами, не требующих выполнения
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
интегрирования при нахождении
следующей лекции.
стр. 33 из 108
y чн , которые будут рассмотрены на
Лекция 8. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Метод подбора yчн по виду правой части
Суть метода подбора состоит в следующем.
Решается ЛНДУ (1)
L [ y ]  an ( x) y ( n )  an 1 ( x) y ( n 1)  ...  a1 ( x) y /  a0 ( x) y  f ( x)
с постоянными коэффициентами. Если правая часть f (x) этого д.у. имеет вид
f ( x)  ex ( Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x) ,
(2)
где Pn (x) и Qm (x ) - многочлены степени n и m соответственно, то частное
решение y чн ЛНДУ (1) ищется в виде
~
~
yЧН  x s ex Pk ( x) cos x  Qk ( x) sin x ,
(3)
~
~
где k  max n , m  , Pk ( x) и Qk ( x) - многочлены степени k общего вида с
неопределёнными коэффициентами, s – кратность корня
r  i
характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ (если    i не
является корнем характеристического уравнения, то s  0 ).
В зависимости от чисел  ,  , s возможны восемь различных случаев,
которые удобно свести в следующую таблицу:
Сводная таблица видов частных решений y чн для различных видов правых
частей f (x)
№
Правая часть f (x)
1
Pn (x)
2
Pn ( x) ex


Контрольное число
  i
  0 не входит в
число корней
  0 является
характеристического
корнем
уравнения
характеристического
уравнения кратности
s
   не входит в
число корней
характеристического
уравнения
Вид частного решения
y
~ чн
Pn ( x)
~
x s Pn ( x)
~
Pn ( x) ex
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 34 из 108
   является
3
4
Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x
e
x
Pn ( x) cos x 
 Qm ( x) sin x 
корнем
характеристического
уравнения кратности
s
   i не входит в
число корней
характеристического
уравнения
   i является
корнем
характеристического
уравнения кратности
s
     i не
входит в число
корней
характеристического
уравнения
     i является
корнем
характеристического
уравнения кратности
s
~
x s Pn ( x) ex
~
~
Pk ( x) cos x  Qk ( x) sin x

~
x s Pk ( x) cos x 
~
 Qk ( x) sin x

~
e x Pk ( x) cos x 
~
 Qk ( x) sin x



~
x s e x Pk ( x) cos x 
~
 Qk ( x) sin x

Лекция 9. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения
второго порядка. Функция Грина краевой задачи. Краевая
задача Штурма – Лиувилля.
Краевые задачи. Функция Грина.
1. Для отыскания решения краевой задачи
Ly= a0(x)y + a1(x)y + a2(x)y = f(x), x0  x  x1; (*)
y(x0) + y(x0) = 0; y(x1) = y(x1) = 0 (**)
надо подставить общее решение неоднородного уравнения
уон = уоо + учн = С1у1(х) + С2у2(х) + учн(х),
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 35 из 108
где у1, у2 – два линейно незваисимых решения однородного уравнения, учн –
частное решение неоднородного уравнения, в краевые условия и определить
константы С1 и С2. Найти эти константы из краевых условий (**) не всегда
удаётся и поэтому краевая задача (*), (**) не всегда имеет решение.
2. Если краевая задача неизменна, кроме функции f(x), которая может
изменяться от задачи к задаче (функция f(x) имеет смысл вынуждающей силы
источника и т.п.), то решение краевой задачи (*), (**) выгодно записывать в
форме
где G = G(x,s) – функция Грина однородной задачи f(x) = 0 (которая, в свою
очередь, не всегда существует). Алгоритм нахождения
G = G(x,s) следующий:
а) найти два (у1(х) и у2(х)) нетривиальных решения неоднородного уравнения
(*), причём у1(х) должно удовлетворять первому, а у2(х) – второму краевым
условиям;
б) функция Грина G(x,s) ищется в виде
G(x,s) = a(s)y1(x), x0  x  s,
b(s)y2(x), s  x  x1.
где функции a(s) и b(s) определены из системы
by2(s) = ay1(s); by2(s) = ay1(s) + 1 / a0(s).
3. Краевая задача на собственное значение имеет вид
Ly= a0(x)y + a1(x)y + a2(x)y = y,
y(x0) + y(x0) = 0; y(x1) = y(x1) = 0.
Собственным значением этой задачи называется число , при котором краевая
задача имеет нетривиальное решение, которое, в свою очередь, называется
собственной функцией задачи.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 36 из 108
Краевая задача Штурма – Лиувилля
Будем рассматривать однородное линейное уравнение второго порядка
Ly ≡ a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y = 0.
Его можно записать по-другому:
(1)
Однородное уравнение Ly = 0 и неоднородное Ly = f, как известно,
имеют бесконечное множество решений. На практике часто бывает нужно из
множества решений выделить только одно. Для этого задают некоторые
дополнительные условия. Если это начальные условия у(х0) = уo, y'(xo) = y1, то
получают задачу Коши. Если задают дополнительные условия на концах
некоторого отрезка, то получают задачу, которая называется краевой задачей.
Условия, которые задаются на концах отрезка, называются краевыми
условиями. Краевые условия иногда именуют также граничными условиями и
тогда
говорят
о
граничной
задаче.
Мы будем задавать линейные краевые условия вида
(2)
где α1, α2, β1, β2, A, B - заданные числа, причем по крайней мере одно из чисел
α1, α2, и одно из чисел β1, β2, отличны от нуля. Если в (2) хотя бы одно из чисел
А и В не равно нулю, то краевые условия называют неоднородными. Если А =
В = 0, то условия (2) называются однородными. Краевая задача называется
однородной, если рассматривается однородное уравнение (1) Ly = 0 и
однородные краевые условия (2). Решением краевой задачи называется такое
решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным
краевым условиям. Заметим сразу, что однородная краевая задача всегда имеет
решение у ≡ 0 (тривиальное решение).
Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение
(3)
содержащее некоторый числовой параметр λ. Здесь функции р(х), q(x), r(x)
действительные, а число λ может быть, вообще говоря, и комплексным. Краевая
задача (3), (2) при А = В = 0 является однородной. Поэтому при любых λ она
имеет тривиальное решение. Нас будут интересовать такие значения λ, при
которых эта задача обладает не только тривиальными решениями.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 37 из 108
Задача Штурма-Лиувилля. Найти те значения параметра λ, при которых
уравнение (17) имеет нетривиальное решение, удовлетворяюшее однородным
краевым условиям (16). В дальнейшем будем ее записывать в виде
{Lλy = 0, l1y = 0, l2y = 0}.
Те значения параметра λ, при которых задача Штурма-Лиувилля имеет
ненулевое решение, называются собственными значениями (собственными
числами) задачи, а сами эти решения - собственными функциями. Задачу
Штурма-Лиувилля называют также задачей на собственные значения. В силу
однородности уравнения и краевых условий собственные функции задачи
Штурма-Лиувилля определены с точностью до постоянного множителя. Это
означает, что если y(х) -собственная функция при некотором значении λ, то
произведение Cy(x), где С - произвольная постоянная, также является
собственной функцией при том же значении параметра λ. В связи с этим часто в
качестве собственной функции рассматривают нормированную функцию у{х),
у которой ||у(х)|| = 1. Такая собственная функция определена, по существу,
однозначно (с точностью до знака ±). Далее мы подробно изучим наиболее
простой случай задачи Штурма-Лиувилля, когда уравнение имеет вид
y'' + λy = 0.
(4)
Из множества краевых условий вида (2) ограничимся тремя частными
случаями:
1) краевые условия первого рода
y(a) = y(b) = 0,
(5)
2) краевые условия второго рода
y'(a) = y'(b) = 0,
3) краевые условия третьего рода
(6)
(7)
Общая задача Штурма-Лиувилля будет обладать свойствами, очень похожими
на свойства в этих простых случаях, если на коэффициенты уравнения (3)
наложить дополнительные условия: р(х), q(x), f(x) -непрерывные функции,
причем р(х) имеет, кроме того, непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0,
q(x) ≥ 0.
Основные свойства собственных значений и собственных функций задачи
Штурма-Лиувилля.
Лемма. Определитель Вронского двух собственных функций задачи
Штурма-Лиувилля на концах отрезка [а, b] равен нулю.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 38 из 108
Свойство 1. Две собственные функции задачи Штурма-Лиувилля,
соответствующие одному и тому же собственному значению λ, линейно
зависимые.
Свойство 2. Две собственные функции у1(x) и у2(x), соответствующие
различным собственным значениям λ1 и λ2 (λ1 ≠ λ2), на отрезке [а, b]
ортогональны.
Если уравнение, входящее в задачу Штурма-Лиувилля, имеет вид (3), где
r(х) > 0 и r(x) 1, то под ортогональностью функций в этом случае
подразумевают ортогональность с весом r(х): две функции y1(x) и у2(х)
ортогональны на отрезке [а, b] с весом r(x), если
Под нормой функции ||у(x)|| в этом случае также подразумевают весовую
норму:
Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным
собственным значениям, образуют линейно независимую систему функций.
Это утверждение вытекает из попарной ортогональности собственных
функций, соответствующих различным собственным значениям (смотри
свойство 2).
Свойство
действительные.
4.
Собственные
значения
задачи
Штурма-Лиувилля
Свойство 5. Пусть коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют
условиям: р(х), q(x), r(x) - непрерывные функции и, кроме того, р(х) имеет
непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0, q(x) > 0, r(х) > 0. Тогда задача
Штурма-Лиувилля {Lλ y = 0, l1 y = 0, l2 y = 0} имеет бесконечное число
собственных значений λ 1, λ2, ... λn, ... Если краевые условия имеют вид (5) или
(6), или (7), то собственные значения соответствующей задачи ШтурмаЛиувилля удовлетворяют неравенствам
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 39 из 108
Теорема Стеклова.Всякая непрерывная функция f(x), удовлетворяющая
однородным краевым условиям : l1f = 0 и l2f = 0 , и имеющая непрерывные
производные до второго порядка на отрезке [а, b], разлагается на этом отрезке в
сходящийся ряд Фурье по собственным функциям yn(х) задачи ШтурмаЛиувилля {Lλ y = 0, l1 y = 0, l2 y = 0} :
где коэффициенты Фурье Сn вычисляются по формулам:
Эта теорема применяется при решении уравнений математической физики
методом Фурье.
Решение задач Штурма-Лиувилля
Задачу Штурма-Лиувилля в общем виде мы, конечно, решить не сможем.
Однако некоторые частные случаи удается разобрать до конца и получить
формулы для собственных значений и собственных функций. Разберем эти
случаи.
Вначале рассмотрим уравнение (4) y'' + λy = 0. и краевые условия
первого рода (5) y(a) = y(b) = 0. Для удобства будем считать, что a = 0 и b =
l > 0. К такой задаче можно всегда свести данную задачу, если сделать замену
переменной x' = x - a, при этом вид уравнения не изменится.
Вид общего решения уравнения (4) зависит от значений параметра λ.
Разберем три случая: 1) λ < 0, 2) λ = 0, 3) λ > 0. В первом случае обозначим λ =
- k2. Тогда характеристическое уравнение r2 - k2 = 0 будет иметь
действительные различные корни r1 = k, r2 = - k: Поэтому, общее решение
дифференциального уравнения запишется в виде y = C1ekx + C2e-kx. Подставим
краевые условия в общее решение и получим
Определитель этой системы равен
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 40 из 108
Следовательно, система имеет только нулевое (тривиальное) решение C1 = C2 =
0. Значит, при λ < 0 данная задача не имеет собственных значений. Если λ = 0,
то общее решение уравнения y'' = 0 записывается в виде y = C1x + C2. При
подстановке
краевых
условий
получим:
Поэтому, точка λ = 0 также не является собственным значением задачи.
Наконец, в третьем случае обозначим λ = k2 и получим характеристическое
уравнение r2 + k2 = 0. Оно имеет комплексные корни r1 = ki и r2 = -ki и
общее решение дифференциального уравнения в этом случае запишется в
виде y = C1cos kx + C2sin kx. Подставим краевые условия в общее решение:
(7)
Для того, чтобы эта система имела нетривиальные решения, необходимо и
достаточно, чтобы sin kl = 0. Следовательно kl = πn, то есть
Так
как
то можно ограничиться только положительными
значениями n = 1, 2, ... . Таким образом, собственные значения данной задачи
имеют вид
При этих значениях алгебраическая система
(7) имеет решения:C1 = 0, C2 - любое действительное число. Подставим эти
значения в общее решение дифференциального уравнения и получим
собственные функции задачи
Обычно постоянный множитель выбирают либо равным единице, либо из
условия нормировки:
По тому же алгоритму решаются задачи Штурма-Лиувилля следующего вида:
(8)
и
(9)
Эти задачи так же, как и предыдущая, при λ 0 не имеют собственных
значений. В случае λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y =
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
=C1cos kx +C2sin kx, где
получим:
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 41 из 108
После подстановки у в краевые условия,
а) для задачи (8)
b)для задачи (9)
Для того, чтобы эти системы уравнений имели нетривиальные решения,
необходимо и достаточно, чтобы coskl = 0. Следовательно,
как
то есть
Отрицательные значения n можно не рассматривать, так
Таким образом, собственные значения у этих задач одинаковые
Собственные функции задачи (8) имеют вид
А у задачи (9) они другие:
Некоторые отличия возникают при решении задачи Штурма-Лиувилля в
случае краевых условий второго рода
y'' + λy = 0, y'(0) = y'(l) = 0.
(10)
Рассуждениями, аналогичными тем, которые проводились для краевых
условий первого рода, можно показать, что задача (10) при λ < 0 не имеет
собственных значений. А вот λ = 0 является собственным числом. В самом
деле, при λ = 0 общее решение уравнения имеет вид y = C1x + C2. После
подстановки у в краевые условия (10) получим: C1 = 0, C2 - любое
действительное число. Следовательно, функция у = 1 является собственной
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 42 из 108
функцией задачи. Другие собственные значения и собственные функции
получаются при λ > 0. В этом случае, общее решение уравнения имеет вид
y = C1cos kx + C2sin kx,
Найдем производную этой функции и
подставим в нее краевые условия (10):
Эта алгебраическая система имеет нетривиальные решения тогда и
только тогда, когда, sinkl = 0 то есть kl = πn или
образом, числа
Собственные
Таким
также являются собственными значениями задачи.
функции
при
этих
значениях
имеют
вид
Окончательно, задача (10) имеет собственные значения
.
и
собственные функции
Для задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего рода (21) уже не
удается получить собственные значения в явном виде. В качестве примера
рассмотрим одну такую задачу, когда
y'' + λy = 0, y'(0) = y(0), y'(l) = 0.
(11)
При
задача (11) не имеет собственных значений и собственных
функций. Доказательство этого проводится так же, как и для краевых условий
первого рода. При λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y =
C1coskx + C2sinkx, где
. После дифференцирования этой функции и
подстановки её производной и самой функции в краевые условия (11) будем
иметь:
или
(12)
Получившаяся алгебраическая система будет иметь нетривиальные
решения только в том случае, когда
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 43 из 108
coskl - ksinkl = 0
или
ctgkl = k
(13)
Уравнение (13) является трансцендентным уравнением относительно k. Оно не
решается в явном виде. Однако, построив графики левой и правой частей
уравнения (13), видно, что оно имеет бесконечно много решений (см. рис.13).
Обозначим корни уравнения (28) через rn, n = 1,2, ... . Тогда
при
Рис.13
Численными методами можно найти приближенные значения rn. Из системы
(12) при k = rn получим C1n = rnC2n , где C2n -произвольные постоянные. При
этих значениях постоянных решения дифференциального уравнения будут
иметь вид
yn = C2n (rn cos rnx + sin rnx).
Они являются собственными функциями краевой задачи (11) с собственными
значениями
Лекция
10. Системы дифференциальных уравнений: основные
понятия. Существование и единственность решения.
Интегралы нормальной системы дифференциальных
уравнений. Система дифференциальных уравнений в
симметрической форме.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 44 из 108
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность соотношений вида:
 F1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y n )  0
 F ( x, y , y ,..., y , y  , y  ,..., y  )  0
 2
1
2
n
1
2
n

......................................................
 Fn ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1 , y 2 ,..., y n )  0
где х – независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется
системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка,
разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется
нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид:
 dy1
 dx  f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )

 dy 2  f ( x, y , y ,..., y )

2
1
2
n
 dx
........................................

 dy n  f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
 dx
(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух
дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в
трехмерном пространстве.
Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного
пространства функции f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), … f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y1 , y 2 ,..., y n , то для
любой точки ( x0 . y10 , y 20 ,..., y n0 ) этой области существует единственное решение
y1  1 ( x),
y 2   2 ( x), ... y n   n ( x)
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой
окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям x0 . y10 , y 20 ,..., y n0 .
Определение. Общим решением системы дифференциальных
уравнений вида (1) будет совокупность функций y1  1 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ,
y 2   2 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , … y n   n ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , которые при подстановке в
систему (1) обращают ее в тождество.
Метод исключения (сведение системы дифференциальных уравнений к
одному уравнению)
Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений
является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей
производной
Введением новых функций
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 45 из 108
это уравнение заменяется нормальной системой п уравнений
Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п
уравнений первого порядка
эквивалентна одному уравнению порядка п. На этом основан один из методов
интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения.
Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:
(2)
Здесь а, b, с, d — постоянные коэффициенты, a f(t) и g(t) — заданные
функции; x(t) и у(t) — искомые функции. Из первого уравнения системы (2)
находим
(3)
Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (3), а вместо
dy
— производную от правой части (3), получаем уравнение
dt
второго порядка относительно x(t)
где А, B, С — постоянные. Отсюда находим x  xt , C1 , C 2  . Подставив
dx
найденное выражение для х и
— в (3), найдем у.
dt
Нахождение интегрируемых комбинаций.
Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 46 из 108
(4)
состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций
(сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (4)
образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто
решаемые уравнения вида
где и — некоторая функция от искомой функции x1 t  , x 2 t  , …, x n t  . Каждая
интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено п
независимых первых интегралов системы (4), то ее интегрирование закончено;
если же найдено т независимых первых интегралов, где т < п, то система (4)
сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений.
Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы
дифференциальных уравнений (4) иногда бывает удобно записать ее в
симметричной форме
(5)
В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической
форме, переменные t , x1 , x 2 ,..., x n равноправны, что в некоторых случаях
упрощает нахождение интегрируемых комбинаций.
Для решения системы (5) либо берут пары отношений, допускающие
разделение переменных, либо же используют производные пропорции
где коэффициенты 1 ,  2 ,...,  т производные и их выбирают так, чтобы
числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.
Лекция
11. Однородная система линейных дифференциальных
уравнений. Фундаментальная система решений однородной
системы. Неоднородные системы. Метод вариации
произвольных постоянных..
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся
случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для
систем произвольного порядка.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 47 из 108
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c
постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее
можно записать в виде:
 dy
 dx  a11 y  a12 z  a13u

 dz
(1)
  a21 y  a22 z  a23u
dx

 du
 dx  a31 y  a32 z  a33u

Решения системы (1) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются
решениями этой системы.
2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже
являются решениями системы.
Решения системы ищутся в виде:
y  e kx ; z  e kx ; u  e kx ,  ,  ,  , k  const
Подставляя эти значения в систему (1) и перенеся все члены в одну
сторону и сократив на ekx, получаем:
(a11  k )  a12   a13  0

a21  (a22  k )   a23  0
a   a   (a  k )  0
32
33
 31
Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение
необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:
a11  k
a12
a13
a21
a22  k
a23  0
a31
a32
a33  k
В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей
степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим
уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует
ненулевое решение системы (1):
y1  1e k1 x ,
z1  1e k1 x ,
u1   1e k1 x ,
y2   2 e k 2 x ,
z2   2e k 2 x ,
u2   2 e k 2 x ,
y3   3e k3 x ,
z3  3e k3 x ,
u3   3e k3 x .
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами
будет решением системы (1):
y  C11e k1 x  C2 2ek 2 x  C3 3ek3 x ;
z  C11e k1 x  C2  2e k 2 x  C33e k3 x ;
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 48 из 108
u  C1 1e k1 x  C2 2ek 2 x  C3 3e k3 x .
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
 x  5x  2 y

 y  2x  2 y
Составим характеристическое уравнение:
5k
2
2
 0;
2k
(5  k )( 2  k )  4  0;
k 2  7k  6  0;
k1  1;
10  5k  2k  k 2  4  0;
k 2  6;
Решим систему уравнений:
(a11  k )  a12   0

a21  (a22  k )   0
(5  1)1  21  0
41  21  0
Для k1: 

21  (2  1) 1  0
21  1  0
Полагая  1  1 (принимается любое значение), получаем: 1  2.
(5  6) 2  2 2  0
 1 2  2 2  0
Для k2: 

2 2  (2  6)  2  0
2 2  4 2  0
Полагая  2  2 (принимается любое значение), получаем:  2  1.
t
6t

 x  C1e  2C2e
Общее решение системы: 
t
6t

 y  2C1e  C2e
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение: x  5 x  2 y;
Подставим в это выражение производную у =2x + 2y
уравнения.
x  5 x  4 x  4 y;
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
x  5 x  4 x  2 x  10 x
x  7 x  6 x  0
k1  6;
k2  1
x  Ae t  Be 6t ;
x  Ae t  6 Be 6t ;
2 y  x  5 x  Ae t  6 Be 6t  5 Ae t  5Be 6t ;
1
y  2 Ae t  Be6t ;
2
1
B  C2 , получаем решение системы:
Обозначив A  C1;
2
из второго
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 49 из 108
t
6t

 x  C1e  2C2e

t
6t

 y  2C1e  C2e
Лекция 12. Системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами
называется система дифференциальных уравнений вида
(1)
где коэффициенты a ik — постоянные, a x k t  — искомые функции от t.
Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения
(2)
где
Одностолбцовая матрица
называется частным решением уравнения (2) в интервале (а, b), если
выполняется тождество
для a<t<b.
Система частных решений
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 50 из 108
(здесь в записи x ik нижний индекс указывает номер решения, а верхний —
номер функции в решении) называется фундаментальной на интервале (а, b),
если ее определитель Вронского
для всех t  a, b  .
Теорема. Если система частных решений однородного уравнения (2)
является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид
где С1 , С2,..., Сп — произвольные постоянные.
Линейные системы можно интегрировать различными способами,
рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахождения
интегрируемых комбинаций и т.д.
Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными
коэффициентами применяется также метод Эйлера.
Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных
дифференциальных уравнений:
(3)
Решение системы (З) ищем в виде
(4)
Подставляя (4) в (3) и сокращая на е , получаем систему уравнений
для определения  ,  и  :
rt
(5)
Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель  равен
нулю,
Уравнение (6) называется характеристическим.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 51 из 108
А. Пусть корни r1 , r2 и r3 характеристического уравнения —
вещественные и различные. Подставив в (5) вместо r число r1 , и решив
систему (5), получим числа 1 , 1 и  1 . Затем положим в (5) r  r2 2 и получим
числа  2 ,  2 ,  2 и, наконец, при r  r3 получим 3 ,  3 и  3 . Соответственно
трем наборам чисел  ,  и  получим три частных решения
Общее решение системы (3) имеет вид
Б. Рассмотрим на примере случай, когда корни характеристического
уравнения комплексные.
Пример. Решить систему
Решение. Выпишем систему для определения  и  :
(7)
(8)
Характеристическое уравнение
имеет корни r1  3i , r2  3i . Подставляя r1  3i в (8), получаем два уравнения
для определения 1 и 1 :
из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель
системы (8) равен нулю).
Возьмем 1  5 , 1  1  3i , тогда первое частное решение запишется так:
(9)
Аналогично, подставляя в (8) корень r2  3i , найдем второе частное
решение:
(10)
Перейдем к новой фундаментальной системе решений:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
Пользуясь известной формулой Эйлера е
и (11) получаем
it
стр. 52 из 108
(11)
 cos t  i sin t , из (9), (10)
Общим решением системы (7) будет
Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было бы сразу
написать общее решение системы (7), пользуясь формулами
где Rez и Imz обозначают соответственно действительную и мнимую части
комплексного числа z, т. е. если z  a  bi , то Rez = a, Im z = b.
В. Случай кратных корней.
Пример. Решить систему
(12)
Решение. Характеристическое уравнение
имеет кратный корень r1  r2  3 .
Решение следует искать в виде
(13)
Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем
(14)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой
части (14), получаем:
откуда
(15)
Величины 1 и 1 остаются произвольными. Обозначая их
соответственно через С1 и С 2 , получаем общее решение системы (12):
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 53 из 108
Замечание. Легко проверить, что если (13) подставить во второе
уравнение системы (12), то получим тот же результат (15). В самом деле, из
равенства
получаем два соотношения для определения  2 и  2 через 1 и 1 :
откуда
Лекция 13. Динамические системы. Свойства решений. Точки покоя,
предельные
циклы.
Исследование
траекторий
в
окрестности точки покоя.
Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется
система, которая в нормальной форме записывается в виде
В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x) (не зависит от
t), где
Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x'
зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим
изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 54 из 108
Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной
форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных
функций на единицу:
Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены
условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть x = φ(t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b].
Множество точек x = φ(t) , t  [a, b] — кривая в пространстве Rxn . Эту
кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а
пространство Rxn , в котором расположены фазовые траектории, называют
фазовым пространством автономной системы.
Точка a называется положением равновесия ( точкой покоя) автономной
системы, если F(a) = 0 .
Равенство x = φ(t) , t  [a, b] — параметрические уравнения фазовой
траектории.
Интегральная кривая системы изображается в (n + 1) –мерном пространстве Rx,
n+1
и может быть определена уравнениями
t
Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной
кривой на пространство Rx.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 55 из 108
На рисунке приведено изображение интегральной кривой автономной системы
и соответствующей фазовой траектории.
Рассмотрим линейную автономную систему 2-го порядка с постоянными
коэффициентами x' = A·x :
Такая система имеет единственную точку покоя x ≡ 0, x=0, y=0, (0, 0).
Характер точки покоя (её устойчивость, асимптотическую устойчивость,
неустойчивость) можно установить по собственным значениям λ1, λ2 матрицы
системы A.
Если λ1, λ2 — разные действительные отрицательные числа, то точка покоя
асимптотически устойчива, такая точка покоя называется устойчивый узел.
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности устойчивого
узла.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 56 из 108
Если λ1, λ2 — разные действительные положительные числа, то точка покоя
неустойчива, такая точка покоя называется неустойчивый узел.
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности неустойчивого
узла.
Если λ1, λ2 — действительные числа разных знаков, то точка покоя
неустойчива, такая точка покоя называется седло.
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности седла.
Если λ1, λ2 — комплексные числа, λ1,2= Reλ ± iImλ, и Reλ ≤ 0, то точка
покоя устойчива.
Если λ1, λ2 — комплексные числа, λ1,2= Reλ ± iImλ, и Reλ = 0, то точка
покоя устойчива, но не асимптотически устойчива, такая точка покоя
называется центром.
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности центра.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 57 из 108
Если λ1, λ2 — комплексные числа, λ1,2= Reλ ± iImλ, и Reλ < 0, то точка
покоя асимптотически устойчива, такая точка покоя называется устойчивым
фокусом.
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности
устойчивого фокуса.
Если λ1, λ2 — комплексные числа, λ1,2= Reλ ± iImλ, и Reλ > 0, то точка
покоя неустойчива, такая точка покоя называется неустойчивым фокусом.
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности
неустойчивого фокуса.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 58 из 108
Если λ1= λ2 ≠ 0 — действительные положительные числа, то точка — узел
специального вида — диакритический узел;
при λ1= λ2 < 0 — устойчивый диакритический узел;
при λ1= λ2 > 0 — неустойчивый диакритический узел.
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности устойчивого
диакритического узла.
Если λ1= 0, λ2 ≠ 0, то существует прямая, проходящая через начало
координат, все точки которой являются точками покоя.
Если λ1= λ2 = 0, то все точки плоскости являются точками покоя системы.
В зависимости от собственных значений матрицы A, различают четыре типа
невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.
Тип собственных
значений
Чисто мнимые
Тип особой
точки
Центр
Тип фазовых
траекторий
окружности,
эллипсы
Вид фазовых
траекторий
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
Комплексные с
отрицательной
действительной
частью
Устойчивый
фокус
Комплексные с
положительной
действительной
частью
Неустойчивый Логарифмические
фокус
спирали
Действительные
отрицательные
Устойчивый
узел
Действительные
положительные
Неустойчивый
параболы
узел
Действительные
разных знаков
Седло
Логарифмические
спирали
параболы
гиперболы
стр. 59 из 108
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 60 из 108
Лекция 14. Устойчивость по Ляпунову. Устойчивость линейных
систем. Исследование на устойчивость по первому
приближению.
Элементы теории устойчивости.
Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является
одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений,
которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а
изучению характера поведения этого решения при изменении начальных
условий или аргумента.
Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере
решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех
случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть
найдено аналитически.
Пусть
имеется
некоторое
явление,
описанное
системой
дифференциальных уравнений:
dyi
 f i (t , y1 , y 2 ,..., y n );
dt
и начальные условия: yi (t 0 )  yi 0 .
(i  1,2,..., n)
(1)
Для конкретного явления начальные условия определяются опытным
путем и поэтому неточны.
Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)
dy
 f (t , y ) непрерывна и по
dt
переменной у имеет ограниченную частную производную f y  N на области
Если правая часть дифференциального уравнения


D  t 0  a  t  t 0  a, y0  b  y  y0  b ,
прямоугольника, ограниченного
то
решение
y(t )  y(t , t 0 , y0 ) , удовлетворяющее начальным условиям y(t 0 )  y 0 , непрерывно
зависит от начальных данных, т.е. для любого   0   0 , при котором если
y0  y0  0, то y(t , t 0 , y0 )  y(t , t 0 y0 )   при условии, что
t 0  t  T ; T  T0 , где
 1 b
T0  min a, , ,
 N M
M  max f (t , y ) .
( t , y )D
Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения,
так и для системы уравнений.
Определение. Если (t )  1 (t ),  2 (t ),...,  n (t ) - решение системы
дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по
Ляпунову, если для любого   0   0 , такое, что для любого решения
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
y(t )  y1 (t ), y 2 (t ),..., y n (t )
той же
удовлетворяют неравенствам
системы,
yi (t 0 )  i (t 0 )  
справедливы неравенства
yi (t )  i (t )  
стр. 61 из 108
начальные
условия
которого
i  (1, n)
t  t 0 , 
(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)
Т.е. можно сказать, что решение (t) устойчиво по Ляпунову, если
близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t 
t0 .
lim yi (t )  i (t )  0, i  (1, n) ,
Если
то
решение
(t)
называется
t 
асимптотически устойчивым.
Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения
(t )  1 (t ),  2 (t ),...,  n (t ) системы
dyi
 f i (t , y1 , y 2 ,..., y n );
dt
(i  1,2,..., n) можно свести
к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой
системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:
xi (t )  yi (t )  i (t ),
i  1,..., n.
Тогда:
dyi dxi di


dt
dt
dt
dxi
 f i t , x1  1 (t ),..., xn   n (t )  f i t , 1 (t ),...,  n (t ),
dt
i  1,..., n.
(2)
Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение xi (t )  0.
Теорема. Решение (t )  1 (t ),  2 (t ),...,  n (t ) системы (1) устойчиво по
Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное
решение системы (2).
Это тривиальное решение называется положением равновесия или
точкой покоя.
Определение. Точка покоя xi (t )  0 системы (2) устойчива по Ляпунову,
если для любого   0 ()  0 такое, что из неравенства
xi (t 0 )  ()
(i  1,..., n)
следует
xi (t )   (i  1,..., n) t  t 0 .
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 62 из 108
Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система
dyi
 f i (t , y1 , y 2 ,..., y n );
dt
имеющая тривиальное решение yi (t )  0 .
(i  1,2,..., n)
Пусть
существует
дифференцируемая
функция
v( y1 ,..., y n ) ,
удовлетворяющая условиям:
1) v( y1 ,..., y n ) 0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v
имеет минимум в начале координат.
2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль
решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:
n
n
dv
v yi
v


f i (t , yi ,..., y n )  0
dt i 1 yi t
i 1 y i
при t  t 0
Тогда точка покоя yi  0, i  1,..., n устойчива по Ляпунову.
Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой
окрестности начала координат y12  ...  y n2    выполнялось условие
v
   0, (t  t 0 ),
t
- постоянная величина, то точка покоя yi  0, i  1,..., n асимптотически
где 
устойчива.
Функция v называется функцией Ляпунова.
Классификация точек покоя.
Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами
 dx
 dt  a11 x  a12 y

 dy  a x  a y
21
22
 dt
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:
a11  
a12
a 21
a 22  
0
Рассмотрим следующие возможные случаи:
1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и
различные.
1  0,  2  0, 1   2 .
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 63 из 108
Точка покоя x  y  0 будет устойчива. Такая точка покоя называется
устойчивым узлом.
2) Корни характеристического уравнения действительны и
1  0,  2  0 или 1   2  0 .
В этом случае точка покоя также будет устойчива.
3) Хотя бы один из корней 1 , 2 положителен.
В этом случае точка покоя x  y  0 неустойчива, и такую точку называют
неустойчивым седлом.
4) Оба корня характеристического уравнения положительны 1  0,  2  0 .
В этом случае точка покоя x  y  0 неустойчива, и такую точку называют
неустойчивым узлом.
 x  C1 1e  C 2 1e
Если полученного решения 
t
1t
 2t
системы исключить параметр t,
 y  C1 2 e 1  C 2  2 e  2t
то полученная функция y  (t ) дает траекторию движения в системе координат
XOY.
Возможны следующие случаи:




Устойчивый узел.
Неустойчивый узел.
Седло.
5) Корни характеристического уравнения комплексные 1  p  iq,  2  p  iq .
Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по
Ляпунову.
Такая точка покоя называется центром.
Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.
Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 64 из 108
Лекция 15. Линейные уравнения в частных производных первого
порядка.
Случай
двух
независимых
переменных.
Характеристики. Квазилинейное уравнение. Задача Коши.
Уравнения в частных производных первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением в частных производных
первого порядка называется уравнение вида
∂u
f1(x)
∂u
+ ... + fn(x)
∂x1
= 0,
(1)
∂xn
в котором f1, ..., fn — заданные непрерывные скалярные функции, определенные
в области D(f) пространства Rn. Решением уравнения (1) называется
определенная в подобласти D области D(f) скалярная функция u, имеющая
частные производные первого порядка по всем переменным и обращающая
уравнение (1) в тождество относительно x = (x1, ..., xn) ∈ D. График решения u =
u(x1, ..., xn) в пространстве R×Rn называется интегральной поверхностью
уравнения (1).
Как уже указывалось в очерке О8, автономные первые интегралы системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
x′ = f(x)
(2)
(здесь f = (f1, ..., fn): D(f) → Rn) и только они являются решениями уравнения (1).
Таким образом, траектории системы (2) являются линиями уровня
интегральной поверхности уравнения (1) (см. рис. 1). Эти траектории
называются характеристиками уравнения (1).
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 65 из 108
Рис. 1.
Таким образом, задача о нахождении решений уравнения (1) сводится к задаче
о нахождении первого интеграла системы (2). Полный первый интеграл этой
системы играет при этом роль "базиса" во множестве всех решений. Более
подробно. Пусть функция f = (f1, ..., fn) непрерывно дифференцируема, а ее
производная удовлетворяет условию Липшица. Пусть, кроме того, f(x0) ≠ 0.
Тогда в силу теоремы об автономных первых интегралах в некоторой
окрестности D точки x0 существует (n – 1)-мерный невырожденный
автономный первый интеграл V(x) системы (2). Из этой же теоремы следует,
что любое решение u уравнения (1) (т. е. автономный скалярный первый
интеграл уравнения (2)) может быть записан в окрестности D в виде
u(x) = F[V(x)],
где F: Rn–1 → R — некоторая (своя для каждого решения) непрерывно
дифференцируемая функция.
Более сложный объект представляет собой т. н. квазилинейное
дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка —
уравнение вида
∂u
f1(x, u)
∂u
+ ... + fn(x, u)
∂x1
= fn+1(x, u),
(3)
∂xn
в котором f = (f1, ..., fn+1): D(f) ⊂ Rn+1 → Rn+1 — заданная непрерывная функция.
Решение и интегральная поверхность уравнения (3) определяются аналогично.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 66 из 108
Отметим, что понятие решения включает в себя и требование, чтобы (x, u(x)) ∈
D(f) при всех x ∈ D = D(u). Подчеркнем, что в отличие от уравнения (1),
уравнение (3) линейным не является. В частности, линейная комбинация
решений не обязательно является его решением.
С уравнением (3) тесно связано следующее линейное(!) дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка
∂v
f1(x, u)
∂v
+ ... + fn(x, u)
∂x1
∂v
+ fn+1(x, u)
∂xn
=0
(4)
∂u
и соответствующая ему ((n + 1)-мерная) система обыкновенных
дифференциальных уравнений
x′ = f(x, u),
(5)
u′ = fn+1(x, u),
где f = (f1, ..., fn). Траектории системы (5) называются характеристиками
уравнения (3).
В линейном случае, как уже отмечалось, характеристики являются линиями
уровня интегральных поверхностей. В квазилинейном случае дело обстоит
несколько иначе. А именно, интегральные поверхности квазилинейного
уравнения в некотором смысле целиком "склеены" из характеристик. Точнее,
это утверждение выглядит так: через каждую точку интегральной поверхности
проходит целиком лежащая в ней характеристика (см. рис. 2). Действительно,
Пусть S = {(x, u(x)): x  D} — интегральная поверхность уравнения (3), (x0, u0)
 S. Пусть φ(t) — решение задачи Коши
x′ = f[x, u(x)],
x(t0) = x0.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 67 из 108
Рис. 2.
Тогда кривая (φ(t), ψ(t)), где ψ(t) = u[φ(t)], очевидно, лежит в S и, кроме того,
является характеристикой.
Связь между уравнениями (3) и (4) выявляет следующее утверждение: если v =
ψ(x, u) — решение уравнения (4) такое, что ∂ψ(x, u)/∂u ≠ 0, а функция u = φ(u) в
некоторой области D  Rn удовлетворяет уравнению
ψ[x, u(x)] = 0,
(6)
то в D функция φ является решением уравнения (3). Действительно, по теореме
о дифференцировании неявной функции из (6) вытекает, что
∂φ(x)
∂ψ(x, u)
=–
∂xi
∂ψ(x, u)
|
∂xi
·[
u = φ(x)
–1
|
∂u
]
.
u = φ(x)
Подставляя u = φ(x) и вычисленное значение ∂φ(x)/∂xi в левую часть уравнения
(3) и учитывая, что функция ψ является решением уравнения (4), получим
∂φ(x)
f1[x, φ(x)]
∂φ(x)
+ ... + fn[x, φ(x)]
∂x1
– [ f1[x, φ(x)]
∂ψ(x, u)
|
=
∂xn
+ ... + fn[x, φ(x)]
∂ψ(x, u)
|
] ×
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
∂x1
∂xn
u = φ(x)
∂ψ(x, u)
× [
∂ψ(x, u)
∂u
]
=
u = φ(x)
∂ψ(x, u)
|
·[
u = φ(x)
u = φ(x)
–1
|
∂u
= fn+1[x, φ(x)]
стр. 68 из 108
–1
|
∂u
]
= fn+1[x, φ(x)].
u = φ(x)
Последнее и означает, что φ является в D решением уравнения (3).
На самом деле имеет место и обратное утверждение: если u = φ(x) — решение
уравнения (3) в D, то найдется такое решение v = ψ(x, u) уравнения (4), что
∂ψ(x, u)/∂u ≠ 0 и ψ[x, φ(x)] = 0. Доказательство этого факта опускается в связи с
его громоздкостью.
Описанная связь между уравнениями (3) и (4) позволяет строить общее
решение уравнения (3). А именно, как уже говорилось, общее решение
уравнения (4) имеет вид
v = F[V(x, u)],
где V — n-мерный невырожденный автономный первый интеграл системы (5),
а F — произвольная непрерывно дифференцируемая скалярная функция. После
этого общее решение u уравнения (3) находится из уравнения
F[V(x, u)] = 0.
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений в
частных производных индивидуальное решение во множестве всех решений
можно выделять различными способами. В данном очерке мы, не углубляясь в
точные формулировки, дадим лишь геометрические представления о
постановке задач Коши для уравнений (1) и (3). Задача Коши, или начальная
задача для этих уравнений обычно ставится так. В пространстве Rn задается (n
– 1)-мерное многообразие (поверхность) Γ, например, как множество точек,
выделяемых уравнением γ(x1, ..., xn) = 0, где γ — достаточно гладкая функция.
На поверхности Γ задается функция u0 и требуется найти решение (1) или (3) в
окрестности многообразия Γ, совпадающее с u0 на Γ.
Для уравнения (1) геометрическая интерпретация задачи Коши такова: через
каждую точку (x, u0(x)) графика функции u0 требуется провести кривую на
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 69 из 108
высоте u0(x), проходящую над характеристикой уравнения (1), выпущенной из
точки x (см. рис. 3а). Из эти кривых и "склеивается" интегральная поверхность,
отвечающая решению задачи Коши.
Рис. 3.
Для уравнения же (3) через каждую точку графика функции u0 надо провести
характеристику уравнения (3) и "склеить" из них интегральную поверхность,
отвечающую решению задачи Коши (см. рис. 3б).
Следует подчеркнуть следующее обстоятельство. Если пересечение
поверхности Γ с каждой характеристикой уравнения (1) состоит не более, чем
из одной точки (например, в окрестности Γ это бывает так, если характеристики
пересекают Γ трансверсально, т. е. под ненулевым углом), то задача Коши для
этого уравнения в общей ситуации локально (т. е. в окрестности Γ) однозначно
разрешима. Решение в этом случае строится так. Через точку x ∈ D надо
провести характеристику уравнения (1) до ее пересечения с поверхностью Γ
скажем в точке y. После этого надо положить u(x) = u0(y) (см. рис. 4а).
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 70 из 108
Рис. 4.
В противном случае задача Коши может и не иметь решения. На рис. 4б
изображены характеристики уравнения (1). В этой ситуации значение решения
в точке x должно, с одной стороны, равняться u0(y), а с другой стороны, — u0(x).
Если u0(x) ≠ u0(y), то такая задача Коши решений не имеет.
Аналогичная (несколько более сложная) ситуация имеет место и для задачи
Коши для уравнения (3)
Неоднородное линейное уравнение с частными производными первого
порядка (квазилинейное)
Если искать решение этого уравнения в неявном виде
, то для определения функции v приходим к однородному линейному
уравнению
Линейное относительно старших производных уравнение второго
порядка
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 71 из 108
Классификация уравнений второго порядка
1. Если
в области G, то уравнение гиперболического типа.
2. Если
- параболического типа.
3. Если
- эллиптического типа.
Канонический вид уравнений второго порядка
1. Канонического уравнение гиперболического типа:
или
2. Каноническое уравнение параболического типа:
3. Каноническое уравнение эллиптического типа:
Дифференциальное уравнение характеристик уравнения
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 72 из 108
есть
Задача Коши для неограниченной струны
при начальных условиях
.
Решение:
(формула Д'Аламбера).
Колебание полуограниченной струны
Решение:
где
Метод Фурье для уравнения колебаний ограниченной струны
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
Начальные условия:
стр. 73 из 108
.
Граничные условия:
.
Решение:
где
Уравнение теплопроводности для нестационарного случая
Распределение температуры в неограниченном стержне
Начальное условие:
.
Решение:
(интеграл Пуассона).
Распределение температуры в стержне, ограниченном с одной стороны
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
Начальное условие:
Краевое условие:
стр. 74 из 108
.
.
Решение:
Распределение температуры в ограниченном стержне
Начальное условие:
Граничные условия:
.
.
Решение:
Уравнение Лапласа
или
,
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
где
Ред. № 1 от 29.08.2 010
- оператор Лапласа.
В плоском случае уравнение Лапласа имеет вид
Задача Дирихле для круга
(
- полярные координаты).
Решение:
(интеграл Пуассона).
стр. 75 из 108
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 76 из 108
3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Практическое занятие 1.
Основные понятия теории обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка,
разрешённые
относительно
производной.
Теорема
существования и единственности
решения задачи Коши.
Пример 1. Для уравнения y  e x  y имеем y   e x e y ,
откуда e  y dy  e x dx .
Интегрируя обе части, получаем: e  y  e x  C , откуда имеем общее решение
y   ln( e x  C ) .
Пример 2. Решить уравнение xydx  ( x  1)dy  0 . В предположении, что
y( x  1)  0,
получаем
xdx
dy

y
x1
или, интегрируя,
ln y   x  ln x  1  ln C
, C  0,
откуда y  C ( x  1)e  x - общее решение уравнения. Решение y = 0 получается из
общего решения при C = 0, а решение x  1 не содержится в общем решении.
Объединяя всё найденное, имеем, таким образом, ответ: y  C ( x  1)e  x , x  1 .
Пример 3. Решить уравнение (e5 x  9)dy  ye 5 x dx . В предположении, что y  0,
получаем
dy
e5 x dx
 5x
y
e 9
или,
интегрируя,
ln y  15 ln( e 5 x  9 )  ln C
,
отсюда
y  C  e5 x  9 .
Решение y = 0 получается при C  0 .
Задание для самостоятельной работы.
Решить д.у.:
1. 1  x 3 y   x 2 1  y 2 ;
2.; 9  x 4 y   x 3 ( y 2  4)  0
3. x 3 ( y 2  1)dx  (1  x 4 )2 ydy  0 ;
4. (1  x 2 ) y   x( y  1) .
Литература. [4]: §4
5
Практическое занятие 2.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения первого порядка
Пример. Решим уравнение ( y 2  2 xy )dx  x 2 dy  0 . Это однородное уравнение,
так как y 2  2 xy и x 2 - однородные функции второго порядка. Делаем замену
y  xz, dy  zdx  xdz . Подставляя в уравнение, имеем:
( x 2 z 2  2 x 2 z )dx  x 2 ( zdx  xdz)  0.
Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на x 2 , получаем уравнение с
разделяющимися переменными
( z 2  z )dx  xdz  0.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
Разделяя переменные, получаем

dz
dx

,
z ( z  1)
x
стр. 77 из 108
или, что то же самое,
1 
dx
1
Интегрируя
последнее
соотношение,
имеем
 
dz  .
x
 z z 1
ln z  ln z  1  ln x  ln C . Потенцируя (переходя от логарифмической функции к
e x ),
z
y
 Cx или, делая обратную замену z  , получаем
z 1
x
можем записать
y
 Cx .
yx
При сокращении на
x2
мы потеряли решение
x0,
которое в
найденное решение не входит. Кроме того, мы могли потерять решения при
делении на z ( z  1) . Случай z  0 даёт решение y  0 , входящее в найденное при
C  0 . Случай z  1 даёт решение y  x , которое не входит в найденное.
Ответ:
y
 Cx
yx
- общий интеграл,
yx
- частное решение.
Задание для самостоятельной работы.
Решить уравнения:
1. ( y  x)dy  ydx  0 ; 2. ( x 2  xy  y 2 )dy  y 2 dx  0 ;
Литература. [4]: §5
3.
xy   y (ln y  ln x) .
Практическое занятие 3.
Линейные и приводящиеся к ним уравнения.
Уравнения в полных дифференциалах.
Линейные д.у. первого порядка
Пример 1.
Решим неоднородное линейное д.у.
замену y  u  v . Имеем: u
y  2 y  4x .
Сделаем
dv
du
v
 2uv  4 x . Группируем первое слагаемое с
dx
dx
dv
du
третьим: u  2v   v  4 x . Потребовав, чтобы скобка обратилась в нуль,
 dx

dx
приходим к линейному однородному д.у.
dv
 2v  0 . Разделяя в нём
dx
dv
 2dx , находим его общее решение v  Ce2 x , из которого,
v
положив, к примеру, C  1, получаем v  e2 x . Подставив её в д.у. с
группировкой, имеем д.у. относительно второй неизвестной функции u (x) :
du
e 2 x
 4 x . Разделяем переменные: du  4 x e2 x dx , и после интегрирования
dx
находим u  2 xe2 x  e 2 x  C . Ответ к исходному д.у. получаем, перемножив u и v :
y  u  v  e2 x (2 xe2 x  e2 x  C )  2 x  1  Ce2 x .
переменные:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 78 из 108
Пример 2. Решить уравнение y   2 y  4 x .
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y   2 y  0 . Решая его,
получаем: y  Ce 2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде
y( x)  C ( x)e2 x . Подставляя y (x) и y / ( x)  C / ( x)e2 x  2C ( x)e2 x в исходное
уравнение, имеем: C / ( x)e2 x  2C ( x)e2 x  2C ( x)e2 x  4 x , что после приведения
подобных даёт: C / ( x)  4 xe2 x , откуда C ( x)  2 xe2 x  e 2 x  C1 . Подставляя найденное
выражение C (x) в y(x) , получаем общее решение исходного уравнения
y ( x)  (2 xe 2 x  e 2 x  C1 )e 2 x  2 x  1  C1e 2 x . Ответ тот же.
Пример 3. Решим линейное д.у. y  5 y  e7 x . Рассмотрим соответствующее
однородное уравнение
y  5 y  0 .
Решая его, получаем
dy
 5 dx , ln y  5 x  ln C
y
,
Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y  C ( x)e 5 x .
Подставляя y и y  C ( x)e 5 x  5C ( x)e 5 x в исходное
уравнение, имеем: C ( x)  e12x , откуда C ( x)  121 e12 x  C1 и y ( x)  121 e7 x  C1e 5 x общее решение исходного уравнения.
Пример 4. Решим д.у. первого порядка (4e3 y  x)dy  dx . Разрешим его
y  Ce 5 x .
относительно производной:
dy
1
 3y
, откуда ясно, что оно не является ни
dx 4e  x
д.у. с разделяющимися переменными, ни однородным д.у., ни линейным
относительно y. Вспомним, однако, что переменные x и y в д.у. первого
порядка, записанное в дифференциальной форме, входят равноправно. Считая
x  x( y ) и переписав уравнение в виде 4e3 y  x  dx , или, что то же самое, в форме
dy
x /  x  4e3 y , получаем, что данное д.у. является линейным относительно x и x / .
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение x /  x  0 . Решая его,
получаем:
dx   dy , ln x   y  ln C
x
,
x  Ce y .
Ищем теперь решение уравнения
в виде x  C ( y )e  y . Подставляя в него x и x  C ( y)e y  C ( x)e y , имеем
C ( y )  4e 4 y , откуда C ( y )  e 4 y  C1 и x( y )  e 3 y  C1e  y - общее решение исходного
уравнения.
Уравнение Бернулли
Пример 1. Найти общее решение д.у. y   2 xy  2 xy 3 . Это уравнение
x  x  4e3 y
Бернулли при
n 3.
Делаем замену
z
Разделив обе части уравнения на
1
y
виде
 z   4xz  4x .
2
. Тогда
Решая
y
z  2 3
y
это
получаем
y
2x

 2 x.
y3 y 2
и поэтому уравнение переписывается в
линейное
произвольной постоянной, получаем
y3,
уравнение
2
z ( x)  1  C1e 2 x ,
откуда
методом вариации
1
y
2
2
 1  C1e 2 x ,
или, что
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
то же самое,
Ред. № 1 от 29.08.2 010
1
y
1  C1e
2x2
. При делении на
y3
мы потеряли решение
которое в полученное решение не входит.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
части на 2 y , получаем y  xy 
замену
стр. 79 из 108
2 yy  2 xy 2  x3 .
y  0,
Разделив обе
3
x
. Это уравнение Бернулли при n  1 . Делаем
2y
z  y2 .
Тогда z   2 yy  и поэтому уравнение переписывается в виде
z  2 xz  x3 . Это линейное уравнение. Решаем вначале соответствующее
2
однородное уравнение. Имеем: z  2xz  0 , z  Ce x . Находим теперь решение
2
уравнения z  2xz  x3 в виде z  C ( x)e x . Подставляя в него z и z  , получаем
C ( x)  x 3e  x
2
,
откуда
U  x 2 , dV  x exp(  x 2 )dx ,
z ( x)   12 x 2  12  C1e x
2
y    12 x 2  12  C1e x
2
C ( x)   x3e  x dx .
2
имеем:
, откуда
Интегрируя
по
C ( x)   12 x 2e  x  12 e  x  C1 .
2
y 2   12 x 2  12  C1e x
2
2
частям
с
Поэтому
или, что то же самое,
.
Уравнения в полных дифференциалах
Пример 1. Дифференциальное уравнение
полных дифференциалах, так как
xdy  ydx  0
является уравнением в
M ( x, y )  y , N ( x, y )  x ,
M
N
 1,
1
y
x
и
d ( xy)  xdy  ydx .
Поэтому xy  C есть общий интеграл этого уравнения.
Пример 2. Для уравнения 2 xydx  x 2dy  0 выражение x 2 y  C есть общий
интеграл, так как левая часть этого уравнения является полным
дифференциалом функции u ( x, y )  x 2 y.
Чтобы найти U ( x, y ) ,сопоставим вид её полного дифференциала
U ( x, y )
U ( x, y )
dx 
dy с левой частью д.у. Имеем тогда
x
y
U
U
M,
 N . Из одного из полученных равенств, например, первого,
x
y
dU ( x, y ) 
находим U ( x, y )   M ( x, y )dx  C ( y ) , где C ( y ) - пока произвольная функция от y.
Подставив U ( x, y ) во второе равенство, получаем уравнение относительно C / ( y) .
Решив его, находим функцию C ( y ) , а за ней и U ( x, y ) .
Пример 3.Найти общее решение уравнения 2 xydx  ( x 2  y 2 )dy  0 . Так как
M ( x, y) 
N ( x, y)  2
 (2 xy)  2 x,

( x  y 2 )  2x ,
y
y
x
x
то данное уравнение является
уравнением
дифференциалах
M ( x, y )  2 xy 
в
полных
U
U
, N ( x, y )  x 2  y 2 
.
x
y
Из
первого
и
равенства
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
U ( x, y )   2 xydx  x 2 y  C ( y ) . Подставим во второе:
стр. 80 из 108
U
 x 2  C / ( y )  x 2  y 2 , откуда
y
y3
y3
. Тогда
 C1 . Положив здесь C1  0 , имеем U ( x, y )  x 2 y 
3
3
y3
общий интеграл уравнения имеет вид: x 2 y   C .
3
C / ( y)   y 2 и C ( y)  
Пример 4. Найти общее решение уравнения
2 xydx  ( x 2  y 2 )dy  0 .
Выше уже определяли, что данное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах. Восстановим функцию U ( x, y ) , взяв в качестве пути
интегрирования ломаную на рис.А. При x0  0, y0  0 получаем:
y
 2
y3 
y3
2


U ( x, y )   (2 x  0)dx   ( x  y )dy   x y    x y  . Тогда общий интеграл
3 0
3

0
0
y
x
2
y3
 C. Ответ тот же.
3
e  y dx  (2 y  xe  y )dy  0 является
(общее решение) имеет вид
Пример 5. Уравнение
дифференциалах, так как
2
x2 y 
уравнением в полных
N ( x, y ) 
 (2 y  xe y )  e  y . Восстанавливая U ( x, y )
x
x
по схеме рис.Б., при x0  0, y0  0 получаем:
M ( x, y )   y
 (e )  e  y ,
y
y
y
x
U ( x, y)   (2 y  0  e  y )dy   e  y dx   y 2  xe y . Следовательно, общий интеграл
0
0
уравнения равен  y  xe y  C .
Задание для самостоятельного решения.
Решить уравнения:
1. y   3 y  2e 5 x ;
2. y   ytg x  sin x ;
3. y 2 y   x 2 y 3  x 2 .
4. (2 xy  y 3 )dx  ( x 2  3xy 2 )dy  0 ;
5. y sin( xy  y)dx  ( x  1) sin( xy  y)dy  0 .
2
Литература. [4]: §6
Практическое занятие 4.
Уравнения первого порядка, не разрешённые
относительно производной. Метод введения
параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
y 
y
 x  1;
x
y (1)  0.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
y 
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 81 из 108
y
y
dy y
dy dx
 0;
y  ;
 ;
 ;
x
x
dx x
y
x
dy
dx
 y   x ; ln y  ln x  ln C;
y  Cx;
Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:
y  C ( x) x;
Дифференцируя, получаем: y   C ( x) x  C ( x);
Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное
дифференциальное уравнение:
C ( x) x  C ( x)  C ( x)  x  1
xC ( x)  x  1
1
 1
C ( x)  1  ;
C ( x)   1  dx  C ;
x
x

C ( x)  x  ln x  C;
Итого, общее решение: y  x( x  ln x  C ).
C учетом начального условия y (1)  0 определяем постоянный коэффициент C.
0  1  ln 1  C ;
C  1.
Окончательно получаем: y  x  x ln x  x.
Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное
2
уравнение:
2 x  ln x  x 
1
 1  x  ln x  1  x  1; верно
x
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
1. 5
1
0. 5
0. 5
1
1. 5
2
- 0. 5
Пример. Найти общий интеграл уравнения x( y 2  1)dx  y( x 2  1)dy  0 .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
xdx
ydy
 2
 0;
2
x 1 y 1
xdx
ydy
  2 ;
2
1
y 1
x
ln x 2  1  ln y 2  1  ln C ;
Общий интеграл имеет вид: ( x 2  1)( y 2  1)  C.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 82 из 108
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных
значениях С.
С = - 0,5
С = -0,02
С = -1
С = -2
2
1. 5
1
0. 5
-2
-1
1
2
- 0. 5
-1
- 1. 5
-2
С = 0,02
С = 0,5
С=1
С=2
Пример.
Найти
решение
дифференциального
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
y  cos x  ( y  1) sin x;
y (0)  0.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
y
sin x

;
y  1 cos x
dy
 y  1   tgxdx;
dy
 tgxdx;
y 1
ln y  1   ln cos x  ln C;
ln ( y  1) cos x  ln C;
C
 1.
Общее решение имеет вид: y 
cos x
( y  1) cos x  C;
Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.
0
С
 1;
1
C  1.
уравнения,
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
Окончательно получаем: y 
стр. 83 из 108
1
 1.
cos x
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Действительно, уравнение y  cos x  ( y  1) sin x может быть рассмотрено как
линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
y  cos x  y sin x  sin x.
Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
y  cos x  y sin x  0;

dy
 tgxdx;
y
y  cos x  y sin x;
dy
 tgxdx  ln C;
y 
ln y   ln cos x  ln C;
y
C
.
cos x
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y 
Тогда y  
y cos x  C;
C ( x) cos x  C ( x) sin x
.
cos 2 x
C ( x)
.
cos x
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
C ( x) cos x  C ( x) sin x cos x  C ( x) sin x  sin x;
cos 2 x
C ( x) cos x
 sin x;
C x)  sin x;
cos x
 cos x  C
C
;
y
 1;
Итого y 
cos x
cos x
cos x
C ( x)   sin xdx   cos x  C ;
С учетом начального условия у(0) = 0 получаем y 
1
 1;
cos x
Как видно результаты, полученные при решении данного
дифференциального уравнения различными способами, совпадают.
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать
метод решения, исходя из сложности преобразований.
Пример.
1
2
Решить уравнение y   y cos x  sin 2 x с начальным условием
у(0) = 0.
Это линейное неоднородное
однородное уравнение.
уравнение.
Решим
соответствующее
ему
dy
  cos xdx;
ln y   sin x  C1 ;
y
y  e  sin x  e C1 ;
y  Ce  sin x ;
y   y cos x  0;
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь
вид:
y  C ( x)e  sin x ;
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 84 из 108
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и
подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
y   C ( x)e  sin x  C ( x)e  sin x cos x;
C ( x)e  sin x  C ( x)e  sin x cos x  C ( x)e  sin x cos x  sin x cos x;
C ( x)e  sin x  sin x cos x;
C ( x)  e sin x sin x cos x;
V  e sin x ;
dU  cos xdx; 
sin x
sin x
С ( x)   e sin x cos xdx  
  e sin x   e cos xdx 
sin x
dV  e cos xdx; U  sin x;
e sin x sin x  e sin x  C.
Итого y  e  sin x e sin x sin x  e sin x  C ;
y  sin x  1  Ce  sin x ;
sin x


Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное
дифференциальное уравнение.
cos x  Ce  sin x ( cos x)  sin x cos x  cos x  Ce  sin x cos x  sin x cos x; (верно)
Найдем частное решение при у(0) = 0.
0  sin 0  1  Ce 0 ;
C  1.
Окончательно y  sin x  e  sin x  1.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
20 xdx  3 ydy  3x 2 ydy  5xy 2 dx
с начальным условием у(1) = 1.
Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с
разделенными переменными.
20 x  3 yy   3x 2 yy   5xy 2 ;
3 yy ( x 2  1)  5x( y 2  4);
3y
5x
3y
5x
y 2
 2
;
dy  2
dx;
2
y  4 x 1
y 4
x 1
3y
5x
 y 2  4 dy   x 2  1 dx;
3
5
ln( y 2  4)  ln( x 2  1)  ln C1
2
2
( y 2  4) 3  C  ( x 2  1) 5 ;
y 2  4  C  3 ( x 2  1) 2 ;
5
3
y  C ( x  1)  4;
2
2
5
y  C ( x 2  1) 3  4 ;
С учетом начального условия:
5
3
1  С  2  4  С 3 32  4 ;
1  2C 3 4  4;
C
5
Окончательно
 x2  1 3
  4.
y  5
 2 
5  2C 3 4 ;
5
3
2 4
.
125  8C 3  4; C 3 
125
;
32
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 85 из 108
Пример. Решить дифференциальное уравнение xy   y  x  1 с начальным
условием у(1) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
xy   y  0;
xdy
  y;
dx
dy
dx
 ;
y
x
C
xy  C ;
y ;
x
ln y   ln x  ln C;
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
y
C ( x)
;
x
Подставим в исходное уравнение:
x
C ( x) x  C ( x) C ( x)

 x  1;
x
x2
C ( x) x
 x  1;
x
x2
 x  C;
2
x
C
Общее решение будет иметь вид: y   1  ;
2
x
1
C учетом начального условия у(1) = 0: 0   1  C;
2
x 3
Частное решение: y    1;
2 2x
C ( x)  x  1;
C ( x) 
3
C ;
2
y
Пример. Найти решение дифференциального уравнения xy   y ln   с
x
начальным условием у(1) = е.
Это уравнение может быть приведено к виду уравнения
разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
y
Обозначим: ln    u;
y
 eu ;
x
x
y   xu e u  e u ;
y  xeu ;
Уравнение принимает вид:
xu e u  e u  e u u;
xu   1  u;
xu   u  1;
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
x
du
 u 1  
dx
;
x
du
 u  1;
dx
du
dx
 ;
u 1 x
ln u  1  ln x  ln C ;
y
Сделаем обратную замену: Cx  ln    1;
x
u  1  Cx;
 y
ln    Cx  1;
x
Общее решение: y  xeCx 1 ;
C учетом начального условия у(1) = е: e  e C 1 ;
Частное решение: y  ex;
C  0;
y
 e Cx 1 ;
x
с
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 86 из 108
Второй способ решения.
y
;
x
xy   y ln y  y ln x;
xy   y ln
y 
y
y
ln y   ln x;
x
x
Получили линейное неоднородное
Соответствующее однородное:
y
ln y  0;
x
y
dy
dx
y   ln y;
 ;
x
y ln y
x
дифференциальное
уравнение.
y 
ln ln y  ln x  ln C ;

d ln y 
dx
 ;
ln y
x
ln y  Cx;
y  e Cx ;
Решение исходного уравнения ищем в виде: y  e C ( x ) x ;
Тогда y   e C ( x ) x C ( x) x  C ( x);
Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
xeC ( x ) x C ( x) x  C ( x)   e C ( x ) x ln
e C ( x) x
;
x
x 2 C ( x)  xC( x)  C ( x) x  ln x;
x 2 C ( x)   ln x;
C ( x)  
ln x
;
x2
dx 

u  ln x; dv  2 ;

ln x
 dx  ln x 1

 ln x
x 
C ( x)    2 dx  
 2  
  C;
   
x
x
x
x 
 x
du  dx ; v   1 ;

x
x 
C ( x) x
ln x 1Cx
ye
e
 xeCx 1 ;
Получаем общее решение: y  xeCx 1 ;
y
Пример. Решить дифференциальное уравнение y   e x 
y
 0 с начальным
x
условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
y
xu 
 ln u;
y  x ln u;
y   ln u 
;
x
u
xu 
 u  ln u  0;
xu   u 2  0;
Уравнение принимает вид: ln u 
u
du
dx
du
dx
xu   u 2 ;
 ;
  ;
2
2

x
x
u
u
y
x
e  u;
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
1
 ln x  ln C ;
u
Делаем обратную подстановку: e

y
x
1
 ln Cx;
u
y
  ln(ln Cx);
x
 ln Cx;
Общее решение: y   x ln(ln Cx);
C учетом начального условия у(1) = 0: 0   ln(ln C );
Частное решение: y   x ln(ln ex);
Второй способ решения.
y
y  e x 
стр. 87 из 108
C  e;
y
0
x
y
x
Замена переменной: u  ; y  ux; y   u x  u;
e u
u x  u  e u  u  0
u x  e u  0
du
x  e u
dx
dx
 e u du 
x
dx
  e u du   ;
x
 ln x  ln C;
e u  ln Cx ;
 u  ln(ln Cx );
u   ln(ln Cx );
Общее решение: y   x ln(ln Cx);
Литература. [4]: §8
Практическое занятие 5. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка.
Пример. Решить уравнение y   e 2 x с начальными условиями x0 = 0; y0 =
1;
y0  1;
y0  0.
1 2x
e  C1 ;
2
1
1

y     e 2 x  C1 dx  e 2 x  C1 x  C 2 ;
4
2

1
1
 1
y    e 2 x  C1 x  C 2   e 2 x  C1 x 2  C 2 x  C 3 ;
2
4
 8
y    e 2 x dx  C1 
Подставим начальные условия:
1
1
1
1
 С 3 ;  1   C 2 ; 0   C1 ;
8
4
2
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 88 из 108
1
5
7
C1   ; C 2   ; C 3  ;
2
4
8
Получаем
частное
решение
(решение
задачи
Коши):
1
1
5
7
y  e2x  x 2  x  .
8
4
4
8
Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.
10
7. 5
5
2. 5
- 10
-8
-6
-4
-2
2
4
- 2. 5
-5
- 7. 5
Пример. Найти общее решение уравнения yy   ( y ) 2  4 yy   0.
Замена переменной: p  y ;
y  
dp
 p 2  4 yp  0;
dy
dp
dp
p
1) y  p  4 y  0;
 4 ;
dy
dy
y
yp
dp
p;
dy
 dp

p y
 p  4 y   0;
 dy

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену
p
y
переменной: u  .
u
 du  4
dy
;
y
du
y  4  u;
dy
du  4
u  4 ln y  4 ln C1 ;
dy
;
y
u  4 ln C1 y ;
p  4 y ln C1 y ;
С учетом того, что p 
dy
, получаем:
dx
dy
 4 y ln C1 y ;
dx
dy
 4 y ln C y   dx;
1
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
x
стр. 89 из 108
1 d (ln C1 y ) 1
 ln ln C1 y  C 2 ;
4  ln C1 y
4
Общий интеграл имеет вид: ln ln C1 y  4 x  C ;
y   0;
y  C;
2) p  0;
Таким образом, получили два общих решения.
2
Пример: Решим уравнение yy //  y /   0 . Его можно переписать в виде
d ( yy / )  0 , откуда yy /  C1 . Разделяя переменные, получаем: ydy  C1dx .
Интегрируя, имеем y 2  C1x  C2 - общий интеграл исходного д.у.
VI. Бывает также возможность понизить порядок д.у., проведя
некоторые преобразования.
Пример :Если обе части уравнения yy ///  y / y // разделить на yy //  0 , то
получим уравнение
y /// y /
, которое можно переписать в виде (ln y // ) /  (ln y ) / .

y //
y
Из последнего соотношения следует, что ln y //  ln y  ln C , или, что то же самое,
y //  Cy. Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа
III.
Литература. [4]: §14
Практическое занятие 6.
Линейное однородное дифференциальное
уравнение n-го порядка: фундаментальная
система решений, общее решение. Однородные
линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Пример. Для уравнения y //  3 y /  2 y  0 корни характеристического
уравнения r 2  3r  2  0 равны r1  1 , r2  2 . Следовательно, ФСР (7.1) составляют
y1  e x , y2  e 2 x , а общее решение (8.1) записывается в виде
функции
y  C1e x  C2e2 x .
Пример. Для ЛОДУ y ///  4 y //  4 y /  0 характеристическое уравнение
r 3  4r 2  4r  0 имеет корни: r  0 кратности 1 и r  2 кратности 2, т.к.
r 3  4r 2  4r  r (r  2) 2 . Поэтому ФСР уравнения является система функций
y1  1, y2  e 2 x , y3  xe 2 x , а общее решение имеет вид y  C1  C2e 2 x  C3 xe 2 x .
Пример. Для уравнения y (5)  2 y ( 4)  y ///  0 характеристическое уравнение
r 5  2r 4  r 3  0 имеет корни r  0 кратности 3 и r  1 кратности 2, так как
r 5  2r 4  r 3  r 3 (r  1) 2 . Поэтому ФСР решений является система функций
y1  1, y2  x, y3  x 2 , y4  e x , y5  xe x , а общее решение имеет вид
y  C1  C2 x  C3 x 2  C4e x  C5 xe x .
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 90 из 108
Пример . Для уравнения y //  2 y /  5 y  0 корни характеристического
уравнения
r 2  2r  5  0
равны r1, 2 
2  4  20
 1  2i , и ФСР состоит из функций
2
а общее решение имеет вид y  C1e x cos 2 x  C2e x sin 2 x.
Пример . Для уравнения y ///  4 y //  13 y /  0 корни характеристического
y1  e x cos 2 x, y2  e x sin 2 x,
уравнения
r 3  4r 2  13r  0
функций
y1  1, y2  e 2 x cos 3 x,
y  C1  C2e
2x
cos 3x  C3e
2x
равны
r1  0, r2,3 
y3  e 2 x sin 3x,
4  16  52
  2  3i ,
2
а
общее
и ФСР состоит из
решение
имеет
вид
sin 3x.
Пример Для уравнения y ( 4)  8 y //  16 y  0 характеристическое уравнение
r 4  8r 2  16  0 имеет корни r  2i кратности 2, так как r 4  8r 2  16  (r 2  4) 2 .
Поэтому ФСР состоит из функций y1  cos 2 x , y2  x cos 2 x , y3  sin 2 x , y4  x sin 2 x , а
общее решение имеет вид
y  C1 cos 2 x  C2 x cos 2 x  C3 sin 2 x  C4 x sin 2 x  (C1  C2 x) cos 2 x  (C3  C4 x) sin 2 x .
Литература. [4]: §15 (стр94-98)
Практическое занятие
7. Линейное неоднородное дифференциальное
уравнение n-го порядка. Структура решений.
Метод вариации произвольной постоянной.
Интегрирование линейных уравнений при
помощи рядов.
Пример 1. Найдём общее решение уравнения y //  4 y /  3 y  9e3 x .
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y //  4 y /  3 y  0 . Корни его
характеристического уравнения r 2  4r  3  0 равны  1 и  3 , поэтому ФСР
состоит из функций y1  e  x и y 2  e 3 x . Решение неоднородного уравнения ищем
в виде y  C1( x)e x  C2 ( x)e3x . Для нахождения производных C1 ,C2 составляем
систему уравнений

 C1e  x  C2 e 3x  0,

x
3 x

 9e 3x ,
 C1e  3C2 e
C2  
9
.
2
Интегрируя полученные функции, имеем
Подставляя
9
4
решая которую, находим
9
2
C1
и
C2
~
9
2
C1  e  2 x ,
~
9
9
~
C1   e  2 x  C1 , C2   x  C2 .
4
2
в выражение для y , окончательно находим общее решение
~
y   e 3 x  x e 3 x  C1 e  x  C2 e 3 x .
Пример 2. Найдём общее решение ЛНДУ y ///  7 y /  6 y  e5 x . Корни
характеристического уравнения r 3  7r  6  0 соответствующего ЛОДУ равны
 2 ,  1 , 3 . Поэтому ФСР ЛОДУ состоит из функций y1  e 2 x , y 2  e  x , y 3  e 3 x .
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 91 из 108
Решение исходного ЛНДУ ищем в виде y  C1 ( x)e 2 x  C 2 ( x)e  x  C3 ( x)e 3 x . Для
нахождения производных C1 , C 2 , C 3 составляем систему уравнений
 C1e 2 x  C 2 e  x  C3 e 3 x  0,

2 x
 C 2 e  x  3C3 e 3 x  0,
 2C1e
 4C e 2 x  C  e  x  9C  e 3 x  e 5 x .
1
2
3

Решая эту систему, находим
полученные функции, имеем
Подставляя
y
C1 ,
C2 ,
C3
1
5
1
4
C1  e 7 x , C 2   e 6 x , C3 
C1 
1 2x
e .
20
Интегрируя
~
~
1 7x ~
1
1
e  C1 , C 2   e 6 x  C 2 , C3  e 2 x  C3 .
35
24
40
в выражение для
y,
окончательно находим
1 5 x ~ 2 x ~  x ~ 3 x
e  C1 e
 C 2 e  C3 e .
84
Литература. [4]: §15 (стр98-115)
Практическое занятие
8. Неоднородные линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами.
ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального
вида.
Примеры
1. Решить ЛНДУ y ///  4 y //  5 y /  2 y  2 x  3 . Составляем соответствующее
ЛОДУ y ///  4 y //  5 y /  2 y  0 . Корнями его характеристического уравнения
r 3  4r 2  5r  2  0 являются r1, 2  1 кратности 2 и r3  2 кратности 1. Общее
решение соответствующего ЛОДУ имеет вид: y00  C1e x  C2 xex  C3e2 x .
Правая часть f ( x)  2 x  3 . Это многочлен степени 1. Следовательно, n  1 ,   0
(т.к. нет экспоненты e x ),   0 (т.к. нет ни косинуса, ни синуса), контрольное
число      i  0 не является корнем характеристического уравнения,
поэтому s  0 . Частное решение yчн ищем в виде многочлена той же степени
n  1 с неопределёнными коэффициентами: yЧН  Ax  B . Находим
//
///
последовательно: yЧН/  A , yЧН
 0 , yЧН
 0 . Подставляя в уравнение, получаем:
5 A  2 Ax  2B  2x  3 . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x ,
  2A  2
, откуда A  1, B  4
 5 A  2B  3
получаем: 
и yЧН   x  4 - частное решение.
Тогда yОН  y00  yЧН  C1e x  C2 xex  C3e2 x  x  4 - общее решение исходного
ЛНДУ.
2. Для ЛНДУ y ///  4 y //  5 y /  2 y  (2 x  3)e2 x общее решение
соответствующего ЛОДУ имеет тот же вид, что и в примере 1:
y00  C1e x  C2 xex  C3e 2 x .
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 92 из 108
Правая часть f ( x)  (2 x  3)e2 x . Следовательно, n  1 ,   2 ,   0 (т.к. нет ни
косинуса, ни синуса), контрольное число      i  2 является корнем
характеристического уравнения кратности 1, поэтому s  1 . Частное решение
yчн ищем в том же виде, что и f (x ) , но с неопределёнными коэффициентами и
множителем x s  x : yЧН  x( Ax  B) e2 x  ( Ax2  Bx )e2 x .
3. Для уравнения y //  y  cos x корнями характеристического уравнения
r 2  1  0 являются числа r1, 2   i кратности 1, т.е. общее решение
соответствующего ЛОДУ имеет вид y00  C1 cos x  C2 sin x .
Правая часть f ( x)  cos x , значит,   1 . В правой части нет экспоненты e x ,
следовательно,   0 и контрольное число      i  i . Число  является
корнем характеристического уравнения, поэтому s  1 . Определим степень k.
При cos x стоит множителем многочлен Pn ( x)  1 степени n  0 , а sin x нет
вообще, т.е. при синусе стоит множителем многочлен Qm ( x)  0 степени m  0 .
Поэтому k  max n , m  0 , и частное решение yчн ищем в виде
yЧН  x( A cos x  B sin x) . Подстановку в исходное ЛНДУ удобно делать так:
yЧН  Ax cos x  Bx sin x
1 

/
yЧН  ( A  Bx ) cos x  ( B  Ax) sin x
 0   (складывая и приводя подобные при
//
yЧН
 (2 B  Ax) cos x  (2 A  Bx ) sin x  1 
cos x , sin x )
//
yЧН
 yЧН  2B cos x  2 A sin x  cos x .
Из этого равенства, сравнивая коэффициенты при cos x и при sin x , получаем:
 2B  1
, т.е. A  0 , B  0,5 . Следовательно, yЧН  0,5x sin x ,

 2 A  0
yОН  C1 cos x  C2 sin x  0,5 x sin x .
Литература. [4]: §15 (стр115-124)
Практическое
занятие
9.
Краевая задача для линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
Функция Грина краевой задачи. Краевая задача
Штурма – Лиувилля.
Пример 1. Найти решение краевой задачи
у + у = 1, у(0) = 0, у(/2) = 0.
Решение. Найдём уон(х) уравнения у + у = 1. Оно равно уон(х) = уоо(х) +
учн(х), где уоо(х) = C1eix + C1*e-ix = aCosx + bSinx,
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 93 из 108
a, b  R, yчн = 1. Следовательно, уон = aCosx + bSinx + 1.
Подставим уон в краевые условия уон(0) = 0, уон(/2) = 0, получим
а = 1, b = 1. Окончательно решение примет вид
y(x) = – Cosx – Sinx + 1.
Пример 2. Построить функцию Грина и записать решение краевой задачи
через эту функцию:
у + у = arcsinx, у(0) = 0, у (1) = 0.
Решение. Найдём согласно алгоритму у1(х) и у2(х). Для этого найдём
общее решение однородного уравнения уоо(х): уоо(х) = C1 + C2e-х. Функция у1(х)
должна иметь вид у1(х) = C1 + C2e-х, где C1 и C2 такие, что удовлетворяется
первое краевое условие. Это имеет место, если, например, C1 = 1, C2 = –1, т.е .
у1(х) = 1 – e-х. Функция у2(х) имеет тот же вид у2(х) = C1 + C2e-х, но C1 и C2
такие, что у2(1) = 0, т.е. C2 = 0. Следовательно, у2(х) = С1 = 1. Функция Грина
имеет вид
G(x,s) = a(s)(1-е-х), b(s).
где функции a(s) и b(s) находятся из системы
b(s) = a(s)(1-е-s), a(s) = е-s;
ab(s) = a(s)е-s + 1,  b(s) = 1-е-s.
Функция Грина имеет вид
G(x,s) = еs(1+е-х), x0  x  s,
1 – еs, s  x  x1.
Решение краевой задачи имеет вид
Пример 3. Решить краевую задачу на собственные значения:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 94 из 108
у = у, у(0) = 0, у(1) = 0.
Решение. Общее решение уравнения у = у имеет вид Подставив уоо(х) в
краевые условия, получим систему уравнений для коэффициентов С1 и С2:
С1 – С2 = 0,
С1exp(e) + С2exp(e) = 0.
Из линейной алгебры известно, что однородная система уравнений имеет
нетривиальные решения, если детерминант этой системы равен нулю:
1
-1
=0
exp(e) exp(e)
Последнее соотношение является уравнением для . Решим его:
e2ki = 1, k = 0, 1, 2, … 2e = 2ki.
Собственные значения равны k = 2k2 / e2. Собственные функции этой задачи
находим по формуле
yоо = C1exp(kix / e) + C2exp(kix / e)
и краевым условиям у(0) = у(е) = 0. Получим решение y(x) = Sin(kx/e).
Задачи для самостоятельного решения
Решить краевые задачи:
а) у + у = 1, y(0) = 0, y(1) = 1;
б) у + у = x, y(0) = 0, y(/2) = 0;
в) у = y, y(0) = 0, y(1) = 0.
Литература. [4]: §17
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 95 из 108
Практическое занятие
10.
Системы дифференциальных уравнений:
основные
понятия.
Существование
и
единственность
решения.
Интегралы
нормальной
системы
дифференциальных
уравнений.
Система
дифференциальных
уравнений в симметрической форме.
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
 x  5x  2 y

 y  2x  2 y
Составим характеристическое уравнение:
5k
2
2
 0;
2k
(5  k )( 2  k )  4  0;
k 2  7k  6  0;
k1  1;
10  5k  2k  k 2  4  0;
k 2  6;
Решим систему уравнений:
(a11  k )  a12  0

a21  (a22  k )  0
(5  1)1  21  0
21  (2  1)1  0
Для k1: 
41  21  0

21  1  0
Полагая 1  1 (принимается любое значение), получаем: 1  2.
(5  6) 2  2 2  0
2 2  (2  6) 2  0
Для k2: 
 1 2  2 2  0

2 2  4 2  0
Полагая  2  2 (принимается любое значение), получаем:  2  1.
 x  C1e t  2C 2 e 6t
Общее решение системы: 
t
6t
 y  2C1e  C 2 e
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение: x   5 x   2 y ;
Подставим в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения.
x   5 x   4 x  4 y;
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
Обозначив
 x  C1e t  2C 2 e 6t

 y  2C1e t  C 2 e 6t
x  5x  4x  2x  10x
x  7 x  6x  0
k1  6;
k2  1
t
6t
x  Ae  Be ;
x  Ae t  6Be 6t ;
2 y  x  5 x  Ae t  6 Be 6t  5 Aet  5Be 6t ;
1
y  2 Ae t  Be 6t ;
2
1
A  C1 ;
B  C2 ,
получаем
решение
2
системы:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 96 из 108
Пример. Найти решение системы уравнений
 y  y  z

z   y  z  x
Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному
выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая
переменная х).
Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:
y   y   z .
Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: y   y   y  z  x .
С учетом первого уравнения, получаем: y   2 y   x.
Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.
y   2 y   x;
y   2 y   0;
k 2  2k  0; k1  0; k 2  2.
Общее решение однородного уравнения: y  C1  C 2 e 2 x .
Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального
уравнения по формуле y  x r e x Q( x);   0; r  1; Q( x)  Ax  B;
y   2 Ax  B; y   2 A;
1
1
2 A  4 Ax  2 B  x;
A ; B ;
4
4
y  Ax 2  Bx;
Общее решение неоднородного уравнения:
y  C1  C 2 e 2 x 
1
x( x  1).
4
Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:
1
z  C1  C 2 e 2 x  ( x 2  x  1).
4
Пример. Найти решение системы уравнений:
 y  z  w

z  3 y  w
w  3 y  z

Составим характеристическое уравнение:
k
1
3
3
k
1
1
1  0;
k
 k (k 2  1)  3k  3  3  3k  0;
k
k
1
1
k

3
1
3 k
k 3  7k  6  0;

3 k
3
  0;    ;
Если принять  = 1, то решения в этом случае получаем:
y1  0; z1  e  x ; w1  e  x ;
2) k2 = -2.
 0;
k1  1; k 2  2; k 3  3;
1) k = -1.
      0

3      0;
3      0

1
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
2      0

3  2    0;
3    2  0

стр. 97 из 108
   ;   ;
Если принять  = 1, то получаем:
y 2  e 2 x ; z 2  e 2 x ; w2  e 2 x ;
3) k3 = 3.
 3      0
2

3  3    0 ;   ;   ;
3
3    3  0

Если принять  = 3, то получаем:
y 3  2e 3 x ; z 3  3e 3 x ; w3  3e 3 x ;
Общее решение имеет вид:
 y  C 2 e 2 x  2C3 e 3 x

x
2 x
3x
 z  C1e  C 2 e  3C3 e

x
2 x
3x
w  C1e  C 2 e  3C3 e
Литература. [4]: §20,21
Практическое
занятие
11.
Однородная система линейных
дифференциальных уравнений. Фундаментальная
система
решений
однородной
системы.
Неоднородные
системы.
Метод
вариации
произвольных постоянных.
Пример. Проинтегрировать систему:
dy
dz
(а)
 y  z  x,
 4 y  3z  2 x
dx
dx
при начальных условиях
( y ) x  0  1,
( z) x  0  0
(б)
Решение.
1) Дифференцируя по x первое уравнение, будем иметь:
d 2 y dy dz


 1.
dx 2 dx dx
dy dz
Подставляя сюда выражения
и
из уравнений (а), получим:
dx dx
d2y
 ( y  z  x)  (4 y  3 z  2 x)  1
dx 2
или
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 98 из 108
d2y
 3 y  2 z  3 x  1
(в)
dx 2
2) Из первого уравнения системы (а) находим
dy
(г)
z
yx
dx
и подставляем в только что полученное уравнение; получаем:
d2y
 dy

 3 y  2  y  x   3x  1
2
dx
 dx

или
d2y
dy
 2  y  5 x  1.
(д)
2
dx
dx
Общее решение последнего уравнения есть
y  (C1  C2 x)e  x  5 x  9
(е)
и на основании (г)
z  (C1  2C1  2C2 x)e  x  6 x  14. (ж)
Подберем постоянные C1 и C 2 так, чтобы удовлетворялись начальные
( z ) x  0  0 . Тогда из равенства (е) и (ж) получаем:
условия (б): ( y ) x  0  1,
1  C1  9 , 0  C2  2C1  14 ,
откуда C1  10 , C2  6 . Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным
начальным (б), имеет вид
y  (10  6 x)e  x  5 x  9 ,
z  (14  12 x)e  x  6 x  14 .
Литература. [4]: §23 (стр194-197)
Практическое занятие
12.
Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными
коэффициентами.
Метод Эйлера.
Примеры 1.Решить систему ЛДУ с постоянными коэффициентами
 dy1
 dx  2 y1  y2
 dy
 2  3 y1  4 y2
 dx
Составляем характеристическое уравнение (4)
(2  )
1
0
3
(4  )
8  6  2  3  0
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 99 из 108
2  6  5  0
1  1;  2  5
Составим соответствующие однородные системы алгебраических уравнений
1   2  0
 2  1


 31  3 2  0
 1  1,  2  1
 31   2  0
 2  1


 31   2  0
 2  3
Тогда общее решение представляется по формуле (5) в виде
 y1 ( x)  C1e x  C2 e5 x

x
5x
 y2 ( x)  C1e  3C2 e
Пример 2. Решить систему трех ЛДУ с постоянными коэффициентами
 dx
 dt   x  y  z
 dy
 x yz
 dt
 dz  x  y  z
 dt
Составляем характеристическое уравнение (4)
1 
1
1
1
1 
1
1
1
1 
(  1) 2 (1  )  1  1  1    1      1  0
(2  2  1)(1  )  0
(  1) 2 (1  )  3(  1)  0
(  1)(1  2  3)  0
  1  0; 4  2  0
1  1,  2  2,  3  2
Для 1  1 получим систему
  2  3  0

 1   3  0
    2  0
2
3
 1
Для  2  2 получим систему
1  1

2  1
   1
 3
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 100 из 108
 31   2   3  0
1  1


 1  3 2   3  0
2  1
   0
  2
2
3
 1
 3
21  2 2  0
 31  1   3  0
1   2
 3  21
Для  3  2 получим систему
2 3  0
1   2   3  0
 1  1


3  0
1   2   3  0
 2  1
    3  0
 0
 1   2
2
3
 1
 3
Общее решение системы ЛДУ найдем по формуле (5)
 y1 (t )  C1e  t  C2 e 2t  C3e  2t

t
2t
 2t
 y 2 (t )  C1e  C2 e  C3e
 y (t )  C e  t  2C e 2t
1
2
 3
Литература. [4]: §22
Практическое занятие
13. Динамические системы. Свойства решений.
Точки покоя, предельные циклы. Исследование
траекторий в окрестности точки покоя.
Пример 1. Построим интегральную кривую и фазовую траекторию решения
задачи Коши
Задачу решим методом исключения:
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 101 из 108
Решим задачи Коши для полученного линейного однородного
дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
x1'' + 3x1 = 0:
Имеем:
Соответствующая интегральная кривая определеяется и пространстве Rx1,x2,t3
уравнениями
Фазовая кривая, которая является проекцией интегральной кривой на
пространство Rx1,x22, определяется уравнениями
На рисунке приведены изображения интегральной кривой (слева) и
соответствующей фазовой кривой (справа).
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 102 из 108
Пример 2. Исследуем характер точки покоя автономной системы
Найдём собственные значения матрицы системы:
Поскольку λ1,2= ± i √2, то точка покоя — центр.
На рисунках приведены фрагменты фазового портрета и вектороного поля в
окрестности центра.
Литература. [4]: §26
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 103 из 108
Практическое занятие
14. Устойчивость по Ляпунову. Устойчивость
линейных систем. Исследование на устойчивость
по первому приближению.
Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать
на устойчивость решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию
(1)
Решение. Уравнение (1) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее
решение
. Начальному условию х(0)=0 удовлетворяет решение
(2)
уравнения (5). Начальному условию х(0) = х0 удовлетворяет решение
(3)
Рассмотрим разность решений (3) и (2) уравнения (1) и запишем ее так:
Отсюда видно, что для всякого  > 0 существует  > 0 (например,    )
такое, что для всякого решения x(t) уравнения (1), начальные значения которого
удовлетворяют условию
выполняется неравенство
для всех t >0. Следовательно, решение  (t) = t является устойчивым. Более
того, поскольку
решение  (t) = t является асимптотически устойчивым.
Это решение  (t) является неограниченным при t   .
Приведенный пример показывает, что из устойчивости
дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.
Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения
решения
(4)
Решение. Оно имеет очевидные решения
(5)
Интегрируем уравнение (4):
откуда
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 104 из 108
(6)
Все решения (5) и (6) ограничены на  ,    . Однако решение x(t) = 0
неустойчиво при t   , так как при любом х 0  0,   имеем lim xt    .
x 
Следовательно, из ограниченности решений дифференциального
уравнения, вообще говоря, не следует их устойчивости. Это явление характерно
для нелинейных уравнений и систем.
Литература. [4]: §27
Практическое занятие 15. Линейные уравнения в частных производных
первого порядка. Случай двух независимых
переменных. Характеристики. Квазилинейное
уравнение. Задача Коши.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 105 из 108
Литература. [4]: §24
Методические рекомендации
Подготовку к каждому практическому занятию следует начинать с
повторения основных разделов темы, детального разбора примеров (по
рекомендованной литературе или конспектам) и ответов на контрольные
вопросы.
Работа над учебником обязательно должна сопровождаться решением
задач по изучаемому разделу курса. Задачи рекомендуется решать
самостоятельно, так как при этом лучше усваивается и закрепляется
теоретический курс. Очень полезно, самостоятельно произвести все
требующиеся расчеты, а затем проанализировать приведенные в учебнике и
задачниках примеры и задачи с решениями.
Типовые задачи мы будем решать на аудиторных практических занятиях.
Во время самостоятельной работы под руководством преподавателя я смогу
дать ответы на вопросы, которые возникнут у вас при выполнении домашних
заданий.
Для полного понимания рассматриваемого материала, необходимо
оформить краткий конспект каждой темы, записывая основные определения и
все без исключения формулы с анализом их прикладного смысла. Все записи, а
также решения задач по каждой теме, следует вести в отдельной тетради для
практических работ.
В дальнейшем этот материал, подготовленный вами самостоятельно, не
только окажет большую помощь при повторении курса перед экзаменом, но и
может быть использован как справочное пособие в практической работе.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 106 из 108
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Методические рекомендации
В ходе изучения дисциплины каждый студент получит индивидуальные
домашние задания, которые охватывают основные разделы курса и позволяют
выяснить, насколько хорошо усвоены теоретические положения и может ли
студент применять их для решения практических задач.
Каждое задание должно быть выполнено на листах формата А4 и
оформлено в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению
расчетных работ. Работа должна быть написана разборчивым почерком. На
обложке самостоятельной работы необходимо указать специальность, курс,
группу, фамилию и имя студента, номер варианта и дату сдачи работы.
Решение задач следует сопровождать краткими пояснениями, обязательно
приводить все формулы, используемые в задаче. После завершения домашней
работы необходимо сделать ссылку на использованную литературу.
Не откладывайте выполнение задания на последний день перед его сдачей.
К сожалению, некоторые студенты так и поступают. В этом случае у вас
возникнут затруднения при решении более сложных задач. Если вы будете
придерживаться установленного графика выполнения работы, то во время
проведения СРСП, преподаватель сможет ответить на возникшие у вас вопросы
при решении задач.
Задания для самостоятельной работы
СРО 1. Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. Практическое
пособие по высшей математике. Типовые расчеты, задачи 8.1-8.10
СРО 2. Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. Практическое
пособие по высшей математике. Типовые расчеты, задачи 9.1-9.10
СРО 3. Биттнер Г.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Приложение 3, задачи 1-5
СРО 4. Биттнер Г.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Приложение 3, задачи 6-7
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 107 из 108
Темы для самостоятельной работы студента (реферат)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Метод последовательных приближений
Уравнение Бернулли
Интегрирующий множитель
Уравнение Риккати
Уравнения Эйлера
Метод изоклин для дифференциальных уравнений второго порядка
Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов
Применение преобразования
Лапласа
к
решению
линейных
дифференциальных уравнений и систем.
УМКД 042-18-37.1.90/03-2014
Ред. № 1 от 29.08.2 010
стр. 108 из 108
5. ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
Основная.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. - М.: Наука,1967.
Понтрягин Л.С.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:
Наука,1988.-332с
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: ГИФМЛ ,1959
Краснов М.Л. ,Киселев А.И., Макаренко А.И.
Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.: Высшая школа,1978
Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные
уравнения (примеры и задачи).- М.: Наука,1989
Дополнительная.
6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений .-М.: Наука,1970
7. Гутер Р.С.,Янпольский М.А. Дифференциальные уравнения М.: Высшая
школа,1976
8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчиление.М.:Наука ,1969
9. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения .- М.:Просвещение,1988
10. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука,
1985
11. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Высшая
школа, 1975