- Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН
advertisement
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ НЕФТИ И ГАЗА СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК На правах рукописи РОЖИН Игорь Иванович ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ДОБЫЧИ ПРИРОДНОГО ГАЗА В СЕВЕРНЫХ РЕГИОНАХ 01.04.14 – Теплофизика и теоретическая теплотехника Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук Научный консультант: д.т.н., профессор Э.А. Бондарев Якутск – 2015 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 1 СВОЙСТВА ПРИРОДНЫХ ГАЗОВ И ИХ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ................................................................................................... 25 1.1 Влияние состава природных газов на критические параметры смесей .... 26 1.2. Аналитические представления уравнения состояния природных газов .. 27 1.3. Зависимость теплоемкости и вязкости природных газов от давления и температуры ........................................................................................................... 41 1.4. Методы расчета равновесных условий гидратообразования природных газов ........................................................................................................................ 44 ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСОВЕРШЕННОГО ГАЗА........... 69 2.1. Система уравнений неизотермической фильтрации газа .......................... 74 2.2. Неизотермические эффекты при фильтрации несовершенного газа ........ 82 2.3. Вычислительный эксперимент в задачах добычи природного газа ....... 107 2.4. Влияние теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на отбор газа через одиночную скважину ............................................................. 117 2.5. Оценка возможности гидратообразования в призабойной зоне скважин ............................................................................................................................... 130 ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СКВАЖИН С МНОГОЛЕТНЕМЕРЗЛЫМИ ГОРНЫМИ ПОРОДАМИ ............................................................................................................ 136 3.1. Численное решение задачи Стефана методом Самарского-Моисеенко 140 3.2. Изучение влияния режима отбора нефти из скважин на тепловой режим многолетнемерзлых горных пород .................................................................... 156 3.3. Моделирование течения несовершенного газа в скважинах с учетом возможного образования гидратов .................................................................... 196 3 ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЗДАНИЯ ПОДЗЕМНОГО ХРАНИЛИЩА ПРИРОДНОГО ГАЗА В ГИДРАТНОМ СОСТОЯНИИ .......................................................................................................... 215 4.1. Математическая модель .............................................................................. 217 4.2. Численная реализация модели и результаты вычислительного эксперимента ....................................................................................................... 220 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 239 СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ............................................................ 243 ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 245 4 ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы диссертации. Последние три десятилетия развитие нефтегазовой промышленности Российской Федерации в основном определяется разведкой и освоением месторождений, расположенных на Северо-Востоке страны и на Арктическом шельфе. Эти месторождения расположены в криолитозоне и, кроме того, характеризуются сложным геологическим строением продуктивных горизонтов, расположенных на большой глубине, что увеличивает риск техногенных аварий и катастроф и приводит к повышению себестоимости добываемой продукции. В свою очередь эти обстоятельства требуют более тщательной подготовки технологических проектов, которые должны быть основаны на современных научных достижениях соответствующих разделов теории фильтрации жидкости и газа, а также – вычислительной математики. Более того, перед исследователями, изучающими особенности данных процессов методами математического моделирования, возникают новые задачи, соответствующие более глубокому физическому описанию этих процессов. В частности, при добыче и транспортировке природного газа в северных регионах такие природные факторы как низкие климатические температуры и наличие мощной толщи многолетнемерзлых горных пород в значительной степени определяют технологические режимы добычи газа. Это вызвано тем, что природный газ при определенных термобарических условиях, соединяясь с водой, образует твердые кристаллические соединения – газовые гидраты, которые могут образовываться как в призабойной зоне, так и в стволе скважин. Образование гидратов в призабойной зоне приводит к снижению продуктивности скважин, тогда как их образование в стволе может привести к полному прекращению подачи газа. Такие аварийные ситуации могут иметь самые тяжелые последствия. В настоящее время единственным средством борьбы с этим нежелательным явлением является закачка в скважины метанола или других ингибиторов гидратообразования. Эта мера малоэффективна, так 5 как метанол выносится из скважин вместе с добываемым газом, и она существенно повышает себестоимость добычи и транспорта газа. Следовательно, актуальной является задача выбора таких режимов отбора газа, при которых эти аварийные ситуации можно исключить, или снизить их влияние на надежность газоснабжения. В диссертации для изучения таких сложных явлений используются методы вычислительного эксперимента, позволяющие получить достаточно достоверные данные о физических процессах, изучение которых в лабораторных или натурных условиях очень сложно, а иногда и просто невозможно, и всегда требует значительных затрат средств и времени. Суть вычислительного эксперимента выражается триадой «модель – алгоритм – программа» [118], что предполагает построение математической модели, разработку алгоритма решения соответствующих начально-краевых задач и составление компьютерной программы для его численной реализации. Исследования выполнялись в рамках фундаментальных исследований РАН: проект 7.6.2.4 "Геология и ресурсы углеводородов верхнего протерозоя и фанерозоя Востока Сибирской платформы, концепция формирования нового нефтегазового центра в Республике Саха (Якутия)", проект VIII.73.4.4 "Геологические и термодинамические условия формирования и сохранения скоплений гидратов природных газов в земной коре, физико-химические основы методов их разработки", проект VII.59.1.2 "Геология, история развития и нефтегазоносность северо-восточного сектора Арктики РФ и прилегающих акваторий моря Лаптевых и Восточно-Сибирского моря"; а также – грантов РФФИ №06-01-96004 "Предупреждение гидратных пробок в скважинах регулированием темпов отбора газа", №08-05-00131-а "Моделирование влияния начальных пластовых условий и коллекторских свойств газоносных пластов на темпы добычи газа в северных регионах", №10-05-00024-а "Прогноз и предупреждение образования гидратов при добыче природного газа", проекта республиканской научно-технической программы 1.8.3 "Обоснование метода дистанционного определения интенсивности гидратообразования в 6 призабойной зоне скважин" (2006 г.), гранта Фонда содействия отечественной науке в номинации "Кандидаты наук РАН" за 2008–2009 гг., гранта Президента Республики Саха (Якутия) для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов на работу "Математическое моделирование создания подземных хранилищ природного газа в гидратном состоянии" (2013 г.). Целью диссертации является численное исследование неизотермических эффектов и тепломассообменных процессов с фазовыми переходами в прикладных задачах добычи природного газа в северных регионах. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи: обосновать выбор математических моделей неизотермической фильтрации несовершенного (реального) газа с учетом фазовых переходов газ–гидрат; построить математическую модель теплового взаимодействия газовых скважин с многолетнемерзлыми горными породами с учетом образования (диссоциации) гидратов; построить эффективные вычислительные алгоритмы решения сопряженных задач теплообмена с фазовыми переходами; в вычислительном эксперименте изучить влияние тепломассообменных процессов на динамику полей давления и температуры при различных технологических режимах отбора газа, а также – при различных коллекторских и емкостных характеристиках газоносных пластов; определить влияние этих процессов и параметров на возможность образования гидратов в призабойной зоне газовых скважин; в вычислительном эксперименте определить влияние интенсивности отбора газа, начальных условий и входных параметров на динамику образования гидратных пробок в газовых скважинах; оценить возможность создания подземных хранилищ природного газа в гидратном состоянии. Научная новизна результатов выполненных исследований заключается в определении относительного вклада различных термодинамических эффектов в 7 динамику полей давления и температуры природного газа при различных технологических режимах отбора, при различных геологических характеристиках пластов-коллекторов и при различном составе природного газа; в определении влияния режимов отбора нефти и газа и геокриологических характеристик горных пород на температурный режим эксплуатационных скважин и на динамику образования гидратных пробок; в оценке возможности подземного хранения газа в гидратном состоянии. Достоверность результатов, защищаемых в диссертации, обоснована использованием математических моделей, построенных на основе фундаментальных законов сохранения, проверенных феноменологических законов и законов термодинамики, применением эффективных и теоретически обоснованных вычислительных алгоритмов и проверкой работоспособности разработанных алгоритмов на тестовых задачах, имеющих известные решения. Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты были использованы при выполнении следующих хоздоговорных проектов: с ИМЗ СО РАН на темы "Изучение влияния нефтедобывающей скважины Ванкорского месторождения на тепловой режим грунтов" (2007–2008 гг.), "Изучение влияния режима отбора нефти из скважин Ванкорского месторождения на тепловой режим грунтов" (2008–2009 гг.), с РГУНГ им. Губкина на тему "Научные основы новых технологий и технических решений добычи газа из газогидратных месторождений" (2008 г.), с ООО Ленскгаз "Анализ работы эксплуатационной скважины №314-2 Отраднинского ГКМ в режиме ОПЭ в 2009–2012 гг.". Практическая ценность работы связана с ее прикладной направленностью. Все проведенные исследования продиктованы потребностями нефтегазовой промышленности. В частности, последний проект позволил бесперебойно снабжать природным газом г. Ленск. Результаты могут быть использованы для оценки опасности образования гидратов в призабойной зоне скважин при известных составе газа и пластовых давлении и температуре; для определения динамики образования гидратных отложений в скважинах при известных пластовых параметрах, геотермических 8 условиях и заданных темпах отбора; для определения размеров зоны протаивания горных пород при длительной эксплуатации нефтяных скважин. Апробация результатов исследований. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2008, 2012), на IV и V Евразийском симпозиуме по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата EURASTRENCOLD (Якутск, 2008, 2010), на 6th–8th International conference on gas hydrates ICGH (Vancouver, Canada, 2008; Edinburgh, Scotland, 2011; Beijing, China, 2014), на III Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск, 2008), на XIII Всероссийской научно-практической конференции (Томск, 2009), на XVI и XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам ВМСППС (Алушта, Украина, 2009, 2013), на Международной конференции «Перспективы освоения ресурсов газогидратных месторождений» (Москва, 2009), на IX, X и XI научнотехнической конференции «Современные проблемы теплофизики и теплоэнергетики в условиях Крайнего Севера» (Якутск, 2009, 2011, 2013), на XV, XVI и XVIII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2010, 2011, 2013), на VII Казахстанско-Российской международной научно-практической конференции «Математическое моделирование научно-технологических и экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности» (Алматы, Казахстан, 2010), посвященном на 50-летию Всероссийском создания научном Института молодежном форуме, мерзлотоведения им. П.И. Мельникова СО РАН (Якутск, 2010), на Всероссийской конференции к 100-летию со дня рождения ак. П.Н. Кропоткина «Дегазация Земли: геотектоника, геодинамика, геофлюиды; нефть и газ; углеводороды и жизнь» (Москва, 2010), на Пятой Сибирской международной конференции молодых 9 ученых по наукам о Земле (Новосибирск, 2010), на Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения ак. Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2011), на Четвертой конференции геокриологов России (Москва, 2011), на Всероссийской конференции «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (Иркутск, 2011, 2013), на Российско-Монгольской конференция молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению (Ханх, Монголия, 2011), на XIII Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ (Новосибирск, 2011), на VI и VII Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2011, 2014), на Всероссийской научно-практической конференции «Теоретические и практические аспекты исследований природных и искусственных газовых гидратов» (Якутск, 2011), на IX Международном симпозиуме «Проблемы инженерного мерзлотоведения» (Мирный, 2011), на Всероссийской конференции «Полярная механика» (Новосибирск, 2012), на XIV Минском международном форуме по тепломассообмену (Минск, Беларусь, 2012), на International workshop on computer science and information technologies CSIT (Ufa – Hamburg – Norwegian Fjords, 2012; Sheffield, England, 2014), на Второй международной конференции математического моделирования» «Суперкомпьютерные (Якутск, 2013), на технологии Международной конференции «Математические и информационные технологии, MIT-2013» (Врнячка Баня, Сербия – Будва, Черногория, 2013), на X Международной Азиатской школе-семинаре «Проблемы оптимизации сложных систем» (ИссыкКуль, Киргизия, 2014). Основное содержание и результаты диссертационной работы отражены в 75 печатных работах и электронных изданиях, основные из них опубликованы в 23 рецензируемых научных журналах, из которых 19 рекомендованы ВАК для защиты докторских диссертаций. 10 Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором или при непосредственном его участии. В работах, выполненных в соавторстве, диссертант участвовал во всех этапах исследования от постановки задач и численной реализации математических моделей до анализа Представление результатов, результатов изложенных полученных в в вычислительного диссертации совместных и эксперимента. выносимых исследованиях, на защиту согласовано с соавторами. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 264 страницах текста, включая 134 рисунка, 4 таблицы. Библиография содержит 176 наименований. С развитием вычислительной техники появилась возможность получать при помощи вычислительного эксперимента достаточно достоверные данные о физических процессах. Как уже указывалось, важнейшим этапом такого подхода является прогнозировать математическая природные явления модель, и позволяющая надежно управлять достоверно сложными технологическими процессами. Основная цель моделирования состоит в исследовании явлений или объектов реального мира и в предсказании результатов будущих наблюдений. Математическое моделирование – современный метод научного познания окружающего мира, дающий возможность достоверно прогнозировать природные явления и надежно управлять сложными технологическими процессами. Основная цель моделирования состоит в исследовании явлений или объектов реального мира, и предсказании результатов будущих наблюдений. Его широко применяют при решении прикладных задач в различных областях науки и техники. В математическом моделировании предполагается замена реального явления (или объекта) его математическим описанием, воспроизводимым вычислительными средствами. В действительности, на практике исходным 11 пунктом моделирования является некоторая эмпирическая ситуация (объект или явление), ставящая перед исследователями «задачу», на которую требуется дать «ответ». На основе ранее известных экспериментальных и теоретических данных выделяются определяющие свойства и характеристики исследуемой ситуации. Для описания закономерностей изменения выбранных характеристик выбирается или формулируется закон (вариационный принцип, аналогия и т.п.), которому подчиняется ситуация и записывается в математической форме. Дополнительные сведения о ситуации или иные ее характеристики также записываются математически. Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе со взаимной проверкой различных подходов, что позволяет получить важные предварительные знания об ситуации [114]. При постановке задачи необходимо установить основные наиболее существенные особенности ситуации. Важную роль в упрощении модели играют схематизация, идеализация или формализация ситуации. Следовательно, чтобы получить идеализированную задачу, поддающуюся математическому анализу, необходимо отбросить несущественные особенности. Тем самым ощутимо упростится решение задачи, но полученная модель должна быть хорошим приближением к реальной ситуации. Другая сторона упрощения связана со сравнением порядка различных величин, фигурирующих в модели. Допустим, что в результате наблюдения или вычисления замечено, что какой-то член уравнения модели гораздо больше по значению какой-то другой составляющей. Можно сэкономить много времени и усилий, упростив уравнение (отбросив малый член), но, несмотря на это, полученное решение будет правильно отражать ситуацию. Построенная математическая модель должна быть адекватной исследуемым явлениям или процессам, т.е. математическая основа модели должна быть непротиворечивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Проверка модели осуществляется сравнением 12 полученных результатов с экспериментальными данными или сопоставлением с результатами, полученными другими методами. После качественного исследования математической модели, где также проводится изучение корректности, существования и единственности решения, следует процесс отыскания решения поставленной задачи. Точное или приближенное решение находится с помощью аналитических и численных методов. Например, для линейных задач теплопроводности известны методы разделения переменных, интегральных преобразований и т.д. Математические модели большинства реальных процессов нелинейны и не подчиняются принципу суперпозиции: отдельные частные решения нелинейных уравнений могут не отражать характер поведения объекта в более общей ситуации. Для линейных моделей принцип суперпозиции применим, но они справедливы лишь при описании незначительных изменений величин, характеризующих объект, и служат лишь первым приближением к реальности. Для нелинейных моделей аналитические методы решения используются в ограниченных случаях, поэтому в основном применяются численные методы из-за явной недостаточности теоретических подходов и сложного поведения величин [114]. На втором этапе вычислительного эксперимента модель представляется в дискретной форме, удобной для применения численных методов, проводится исследование и разработка эффективного вычислительного алгоритма, реализующего рассматриваемую модель на компьютере. Вычислительный алгоритм должен не искажать основные свойства модели и исходного объекта, быть экономичным и адаптирующимся к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров. Точность алгоритма должна быть гарантированной. На последнем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Вначале полученная триада отлаживается, тестируется в пробных опытах. Если адекватность триады исходному объекту достигается, то с моделью проводятся разнообразные опыты, дающие все требуемые качественные и 13 количественные свойства и характеристики объекта. Если полученные результаты имеют большие расхождения с экспериментальными данными или теоретическими представлениями, то возникает необходимость уточнения и улучшения всех звеньев триады. Таким образом, повторяется весь цикл вычислительного эксперимента [114]. В диссертации нет отдельной главы, посвященной анализу ранее выполненных публикаций по изучению термодинамических эффектов в математических моделях добычи нефти и газа, такой анализ распределен для удобства чтения по соответствующим главам. Здесь приведем его краткое резюме. Б.Б. Лапук [80] был первым исследователем, который попытался оценить температурное поле газоносных пластов. Он считал, что при фильтрации в пористых средах изменение температуры происходит только за счет дросселирования. При этом он считал, что фильтрация газа описывается уравнением Л.С. Лейбензона [82], который использовал уравнение состояния совершенного газа. Как известно, для такого газа коэффициент дросселирования равен нулю. Связанную задачу неизотермической фильтрации совершенного газа впервые поставил Бленд [153] в 1954 г. Он же получил приближенное аналитическое решение автомодельной задачи, основанное на линеаризации исходных уравнений. В полной постановке уравнения неизотермической фильтрации несовершенного газа были впервые выведены И.А. Чарным [138, 139] и Э.Б. Чекалюком [140]. Последний качественно оценил вклад каждого слагаемого в уравнении энергии, и пришел к выводу, что наибольшее влияние на температурное поле пласта оказывает дросселирование. Он же предложил приближенный способ оценки этого эффекта, который основывался на том, что поле давлений можно определять в изотермическом приближении, и при этом коэффициент дросселирования считать постоянным. Здесь следует учитывать, что его богатая идеями монография [140] вышла в 1965 г., когда специалисты в 14 области математического моделирования гордились решениями, полученными в квадратурах. В настоящее время интерес к математическим моделям неизотермической фильтрации газа связан, главным образом, с попытками дать теоретическое обоснование рациональной технологии извлечения газа из газогидратных скоплений или же с разработкой методов предотвращения образования гидратов в системах добычи и транспорта газа. Здесь первенство принадлежит монографии четырех авторов [40], в которой в рамках подхода Р.И. Нигматулина [96] к построению моделей механики многофазных сред была построена модель образования гидратов при отборе влажного газа. К сожалению, такой подход не имел продолжения, ибо для замыкания математической модели требовалось знание эмпирических коэффициентов используемых феноменологических соотношений. Необходимые экспериментальные исследования требуют очень сложного физического оборудования, которое в то время (конец 70-х – начало 80-х годов прошлого века) не существовало. Исследователи пошли по пути обобщения задачи Стефана на случай зависимости температуры фазового перехода от давления газа [30, 35, 167]. Этот путь привел к существенному усложнению дифференциальных специальных уравнений исследований, математической чтобы установить модели и потребовал область существования физически обоснованных решений [33], но при этом в уравнения и граничные условия входило ограниченное число эмпирических констант, которые было легко определить экспериментально. Список публикаций, посвященных образованию (диссоциации) гидратов при фильтрации газа, можно существенно продолжить. Однако он будет все равно неполным, если не отметить работы, в которых моделировалось образование гидратов в газовых скважинах и газопроводов [40]. В основном в этих моделях использовался квазистационарный подход, основанный на существенной разнице характерных времен динамики роста гидратного слоя и динамики переходных процессов при движении газа в скважине. Основные 15 публикации первого этапа таких исследований проанализированы в монографии [40], а анализ исследований второго этапа содержится в третьей главе диссертации. В первой главе выполнен анализ уравнений состояния природных газовых смесей путем сравнения с достоверными экспериментальными данными [76, 174] в широком диапазоне давления и температуры. Отбор произведен не только по коэффициенту несовершенства газа, но и по коэффициенту дросселирования и удельной теплоемкости газа, так как эти параметры входят в определяющие уравнения математических моделей процесса. Аналогичный анализ выполнен для методов расчета равновесных условий образования гидратов для природных газов различного состава и для различной засоленности пластовых вод. Аналитические представления уравнений состояния природных газовых смесей являются замыкающими соотношениями в математических моделях добычи и транспорта природного газа. От их точности существенно зависит точность расчетов технологических параметров этих систем. Аналогичную роль в математическом моделировании добычи газа в северных регионах играют уравнения термодинамического равновесия гидратов с природным газом и пластовой водой различной засоленности. Получено, что в вычислительных алгоритмах наиболее удобно представлять уравнение состояния природных газов с поправочной функцией давления и температуры, а также критических параметров, определяемых по компонентному составу несовершенства. газов, Показано, который что называется аналитическое коэффициентом представление этого коэффициента уравнением Латонова-Гуревича [81] приводит к очень хорошему соответствию расчетных и экспериментальных данных почти всюду, за исключением коэффициента небольшой области несовершенства по вблизи смены давлению. знака Однако производной сравнение с экспериментальными данными по коэффициенту дросселирования не дает хороших результатов, особенно, в области приведенных давлений от 1 до 4. 16 Более того, при этом коэффициент дросселирования всегда будет положительным, т.е. газ за счет дросселирования будет всегда охлаждаться, тогда как в действительности при больших значениях приведенного давления этот коэффициент становится отрицательным, что означает нагревание газа при его изоэнтальпическом движении. Также проводилось тестирование по "инверсной кривой" и по приведенной к газовой постоянной разности теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. При определении равновесных условий образования гидратов важно правильно выбрать уравнение состояния природной газовой смеси. По известному составу природного газа были определены равновесные условия гидратообразования для некоторых месторождений Восточной Сибири. Кроме инженерной методики Истомина [72] расчеты выполнялись по методике E. Dendy Sloan [175, 176]. Получено, что наилучшее совпадение с данными лабораторных экспериментов обеспечивает использование уравнения Латонова-Гуревича и Бертло. Для учета засоленности пластовой воды вычисленная равновесная кривая пересчитывается по методике Истомина, что позволяет путем сравнения с конкретными пластовыми условиями (давление, температура и молярная концентрация соли в воде) определить возможность образования гидратов в призабойной зоне. С помощью разработанного алгоритма можно также определить, насколько изменяются равновесные параметры гидратообразования в присутствии ингибитора, в частности, растворенных в пластовой воде солей или водометанольного раствора. Во второй главе на примере плоскопараллельных потоков газа в пористой среде выполнен анализ взаимного влияния термодинамики и поля скоростей фильтрации, а также – входных параметров математической модели неизотермической фильтрации в терминах граничных и начальных условий. Здесь приводятся результаты сравнительного анализа поведения совершенного (идеального) и несовершенного (реального) газов. До настоящего времени расчеты, необходимые для проектирования разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений 17 выполняются либо на использовании математических моделей совершенного газа, либо на введении поправок на несовершенство газа, но с осреднением соответствующих термодинамических функций (коэффициента несовершенства и коэффициента дросселирования) во всем диапазоне изменения давления и температуры. Очевидно, что такой подход не только имеет ограниченное применение, но и методологически неприемлем, ибо не имеет никакого научного обоснования и не может быть систематизирован. С прикладной точки зрения он также не оправдан, ибо несовместим с современными тенденциями вовлечения в разработку газовых месторождений, расположенных на больших глубинах, то есть, имеющих высокие давления и температуры. Для математического описания процесса нагнетания газа в теплоизолированный пласт через линейную галерею скважин используется полная система уравнений, описывающая плоскопараллельную неизотермическую фильтрацию несовершенного газа в пористой среде. Данная нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, получена из законов сохранения массы и энергии и закона Дарси, а в качестве замыкающих соотношений используются физическое и калорическое уравнения состояния. Граничные условия соответствуют нагнетанию газа при заданном постоянном забойном давлении или при заданном массовом расходе различной интенсивности. Приведена численная реализация модели и ее алгоритм решения. Поставленная задача решается методом конечных разностей, при этом уравнения аппроксимируются чисто неявной, следовательно, абсолютно устойчивой разностной схемой, полученной при помощи метода баланса. Так как разностная задача будет нелинейной, то ее решение находится методом простой итерации с использованием прогоночных алгоритмов и бегущего счета на каждом шаге итерации. В вычислительном эксперименте изучалось влияние температуры нагнетаемого газа и его уравнения состояния на динамику изменения 18 температуры и давления в пласте в режиме заданного массового расхода или постоянного давления на забое скважин. Также оценено влияние интенсивности нагнетания на динамику полей температур и давления. Для выявления роли различных факторов в изучаемом процессе оценено влияние на поле температуры и давления таких составляющих уравнения энергии как кондуктивный и конвективный теплоперенос, а также – дросселирование. Далее рассмотрена задача отбора газа через одиночную скважину, расположенную в центре круговой залежи, в постановке которой перенос энергии за счет теплопроводности считается пренебрежимо малым по сравнению с конвективным переносом. На стенке скважины задается постоянное давление. На контуре питания задаются условия, моделирующие отсутствие потоков фильтрующегося газа и тепла, то есть моделируется водонапорный режим отбора газа. В вычислительном эксперименте изучалось влияние давления на забое скважины на динамику изменения температуры и давления в пласте. Кроме этого, оценивалось влияние часто используемого предположения о изотермичности процесса фильтрации на поле давления и на суммарную добычу газа. При изучении влияния теплообмена через кровлю и подошву пластаколлектора с вмещающими породами на динамику полей температуры и давления при отборе газа через одиночную скважину уравнение энергии дополняется слагаемым, описывающим теплопроводность пласта в направлении перпендикулярном вектору скорости фильтрации газа к скважине, расположенной в центре кругового пласта. В этом случае для замыкания двумерной математической модели дополнительно использовался закон Ньютона, описывающий теплообмен газоносного пласта с вмещающими породами. Показано, что влияние теплообмена с окружающей средой на температурное поле газоносного пласта локализовано в узкой зоне вблизи кровли и подошвы, хотя со временем размер этой зоны увеличивается. 19 Предложен метод прогноза размеров зоны образования гидратов, основанный на сопоставлении функциональной зависимости равновесной температуры гидратообразования от давления с реальным распределением этих параметров в газоносном пласте. Расчеты проводились для месторождений Восточной Сибири, отличающихся не только составом газа, но и глубиной залегания газоносного пласта и, соответственно, – значениями пластовых давления и температуры. В третьей главе рассматриваются сопряженные задачи теплового взаимодействия добывающих скважин с многолетнемерзлыми горными породами. При освоении и разработке месторождений нефти и газа, расположенных в зоне многолетней мерзлоты, возникает опасность значительного нарушения природного равновесия из-за теплового воздействия эксплуатационных скважин на окружающие горные породы. В результате вблизи скважин образуется зона неустойчивых талых пород. Возможные негативные последствия этого процесса зависят от ее размеров и динамики развития. Прежде всего, это просадки верхнего слоя пород в окрестности скважин, что приводит к повреждению устьевого оборудования и опасным деформациям промысловых сетей. Во-вторых, это потеря устойчивости верхней части ствола скважин, вследствие чего создаются предпосылки для потери герметичности обсадных колонн. Из сказанного выше становится ясной важность прогноза температурного поля окружающих скважину горных пород, которое определяется главным образом интенсивностью отбора нефти или газа из скважин, их конструкцией и пластовыми условиями. В свою очередь, из-за теплового взаимодействия с горными породами и адиабатического расширения (сжатия) нефти или газа происходит изменение температуры добываемой нефти или газа, соответственно изменяется температура пород. Эти процессы взаимосвязаны, и поэтому задача определения температуры горных пород может быть решена только в сопряженной постановке, т.е. при одновременном определении 20 изменения температуры нефти или газа в скважине и температурного поля окружающих горных пород. Таким образом, математическая модель исследуемого процесса должна включать в себя уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в горных породах с учетом их возможного протаивания–промерзания, описывающее изменение температуры уравнение добываемой теплопереноса, нефти или газа, необходимые граничные и начальные условия, определяемые характером сопряжения тепловых потоков на стенке скважины. В области горных пород от забоя скважины до подошвы многолетней мерзлоты коэффициенты в уравнении теплопроводности являются постоянными, и его решение может быть выполнено стандартными методами. В области многолетней мерзлоты эта задача существенно осложняется, так как здесь необходимо учитывать фазовый переход «лед–вода». Для численного решения таких задач типа Стефана используется метод Самарского-Моисеенко [120], в котором разработана экономичная разностная схема сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового перехода. Для оценки точности конечно-разностной схемы, разработанной на основе метода Самарского-Моисеенко [120], проведено сравнение результатов численного расчета с точным автомодельным решением задачи промерзания неограниченного массива грунта при постоянной температуре воздействия на границе [75]. Методами математического моделирования показано, что основное влияние на динамику формирования температурного поля горных пород и на интенсивность протаивания в зоне многолетней мерзлоты оказывают дебит скважин и температура продуктивного горизонта. При этом размеры талой зоны возрастают с глубиной, то есть наибольшее протаивание имеет место на подошве многолетней мерзлоты. Однако при больших дебитах радиус протаивания вблизи дневной поверхности также будет существенным, что для 21 несцементированных горных пород может представлять определенную опасность для наземного оборудования скважины. Далее рассматривается сопряженная задача теплообмена между несовершенным газом в скважине и окружающей средой (горными породами), которая сводится к решению дифференциальных уравнений, описывающих неизотермическое течение газа в скважине, и уравнений распространения тепла в горных породах с соответствующими условиями сопряжения. При этом в квазистационарной математической модели образования (диссоциации) гидратов в газовых скважинах учитывается зависимость коэффициента теплопередачи от газа к внутренней стенке трубы от изменяющейся со временем площади проходного сечения. Для Восточной наиболее Сибири типичных определены характеристик оптимальные газовых режимы месторождений отбора газа, соответствующие минимуму тепловых потерь в отсутствие гидратного слоя за счет дросселирования и теплообмена с окружающими горными породами, в том числе и с многолетнемерзлыми. При оптимальном расходе длительность процесса полной закупорки скважины гидратами будет максимальной, а интервал гидратообразования вблизи устья скважины минимальным. Упрощенная математическая модель, в которой температура горных пород считается постоянной во времени, приводит к существенному занижению времени образования гидратной пробки. Показано, что для глубоких скважин с пластовой температурой, существенно превышающей равновесную температуру образования гидратов, это занижение может быть кратным. Во-вторых, размер зоны протаивания горных пород косвенно зависит от расхода газа, ибо он определяет время теплового воздействия газа на окружающую среду. В-третьих, для глубоких скважин с пластовой температурой примерно равной температуре гидратообразования гидратная пробка может образоваться за 4-5 часов, то есть время теплового воздействия на горные породы невелико, и в этом случае необходимые технологические 22 параметры добычи газа можно определять в несопряженной постановке, то есть считать, что температура горных пород остается постоянной. Методами математического моделирования показано, что наибольшее влияние на дебит газовых скважин в условиях возможного образования гидратов оказывают следующие параметры: 1) глубина забоя, следовательно, и вид уравнения состояния газа; 2) мощность многолетней мерзлоты; 3) равновесные условия гидратообразования, определяемые составом газа; 4) давление и температура на забое. В то же время условия образования гидратов в призабойной зоне и ее размеры зависят от интенсивности отбора газа и отношения мощности многолетней мерзлоты к глубине скважины. Суммарная (накопленная) добыча газа существенно зависит от методики обработки промысловых данных, в частности, от учета изменения температуры в призабойной зоне. Результаты свидетельствуют о том, что образование гидратов в стволе скважин – сложный процесс, достоверный прогноз которого, то есть, обеспечение надежности добычи газа, возможно только при комплексном рассмотрении таких факторов как дебит газа и его состав, глубина скважины, пластовые и геотермические условия и состояние скважины перед пуском. В то же время анализ результатов показал, что образование гидратов в скважинах, даже при низких пластовых температурах и мощном слое многолетней мерзлоты, занимает достаточно большой промежуток времени, позволяющий оперативно предотвратить создание аварийных ситуаций в системах газоснабжения. Например, для скважин Отраднинского месторождения с пластовой температурой ниже равновесной температуры гидратообразования отбор газа можно вести в течении примерно 5 суток, а затем вводить метанол, временно останавливая добычу. Четвертая глава посвящена оценке возможности подземного хранения природного газа в гидратном состоянии. Преимущества такого способа хранения заключаются в большей компактности и стабильности хранилища, т.к. газ в гидратном состоянии занимает гораздо меньший объем, чем в 23 свободном состоянии при той же температуре и давлении, и кроме того, при переходе в гидратное состояние связывается вся свободная пластовая вода. Предложен метод оценки возможности создания подземного хранилища природного газа в гидратном состоянии в подмерзлотных водоносных горизонтах. Он основан на использовании математической модели многофазной неизотермической фильтрации несовершенного газа и воды, в которой химическая реакция гидратообразования происходит при температуре, существенно зависящей от давления газа. Соответствующая начально-краевая задача решается методом конечных разностей с использованием итерационного алгоритма и метода гидратонасыщенности, прогонки. Изучена водонасыщенности, динамика давления и распределения температуры в выбранном пласте, который характеризуется пористостью, проницаемостью и начальными значениями давления, температуры и водонасыщенности. Приведены результаты вычислений в случае истощенного газоносного и чисто водоносного пластов. Исследованы влияния несовершенства и компонентного состава природного газа (т.е. его газовой постоянной, критических параметров и равновесных условий гидратообразования) и коллекторских свойств пласта (пористость и проницаемость) на распределение и динамику водонасыщенности и гидратонасыщенности. Результаты хранилищ газа расчетов показали, что возможность создания таких существенно зависит от коллекторских свойств и гидродинамических характеристик водоносных горизонтов. Кроме того, показано, что несовершенство газа мало влияет на результаты вычислений, однако следует отметить, что использование уравнения совершенного газа приводит к завышению равновесной температуры образования гидратов, то есть, к переоценке объема газа в гидратном состоянии. Получено, что чем меньше пористость и проницаемость, гидратонасыщенность и тем водоносному пласту. тем неравномернее быстрее она увеличивается распределяется по 24 Оценивая результаты вычислительного эксперимента в целом, можно утверждать, что при современных технологиях закачки создание подземных хранилищ газа в гидратном состоянии вполне реализуемо. В то же время следует иметь в виду, что для чисто водоносных пластов подмерзлотных горизонтов создание хранилищ газа в гидратном состоянии требует тщательного анализа их коллекторских свойств и данных гидродинамических исследований. Дополнительные усилия исследователей необходимы для оценки теплового взаимодействия таких хранилищ с окружающими горными породами. Полученные результаты и предложенная математическая модель могут быть использованы при разработке научных основ технологии подземного хранения природного газа, а также парниковых и токсичных газов в гидратном состоянии. В заключении кратко полученные в диссертации. сформулированы основные результаты, 25 ГЛАВА 1 СВОЙСТВА ПРИРОДНЫХ ГАЗОВ И ИХ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Природный газ – это полезное ископаемое, представляющее собой газовую смесь, образовавшуюся в недрах Земли при анаэробном разложении органических веществ. В пластовых условиях (условиях залегания в земных недрах) природный газ находится в газообразном состоянии – в виде отдельных скоплений (газовые залежи) или в виде газовой шапки нефтегазовых месторождений, либо в растворенном состоянии в нефти или воде. Использование природных газов в промышленности, помимо огромной экономии в расходовании твердого и жидкого топлива и резкого сокращения расходов при транспортировке, приводит к интенсификации производственных процессов. Природный газ является ценнейшим химическим сырьем, из которого получаются самые разнообразные продукты. Основную часть природного газа составляет метан ( СН 4 ). В его состав могут также входить: более тяжелые углеводороды (гомологи метана) – этан ( С 2 Н 6 ), пропан ( С3 Н8 ), бутан ( С 4 Н10 ), пентан ( С5 Н12 ), гексан ( С6 Н14 ) и т.д., а также другие неуглеводородные вещества – углекислый газ ( СО 2 ), азот ( N 2 ), водород ( Н 2 ), гелий ( Нe ), сероводород ( H 2S ). Интерес к проблеме аналитического представления свойств природного газа возник на самых ранних стадиях использования этого углеводородного сырья. Ее актуальность для технологии химической переработки, добычи, хранения и транспорта сегодня только возросла, во-первых, из-за совершенствования технологических процессов, во-вторых, из-за возрастания глубин газоносных пластов, а также из-за предоставленных современной вычислительной техникой возможностей использовать сложные математические модели, в которых учитываются все основные физические особенности изучаемых процессов. В используемых при этом вычислительных алгоритмах наиболее удобно представлять уравнение состояния природных газов с поправочной функцией давления и температуры (коэффициент 26 несовершенства), которая зависит также от критических параметров, определяемых по компонентному составу газов p, T . Аналитические представления уравнений состояния природных газовых смесей являются замыкающими соотношениями в математических моделях добычи и транспорта природного газа. От их точности существенно зависит точность расчетов технологических параметров этих систем. Аналогичную роль в математическом моделировании добычи газа в северных регионах играют уравнения термодинамического равновесия гидратов с природным газом и пластовой водой различной засоленности. 1.1 Влияние состава природных газов на критические параметры смесей Псевдокритические параметры природного газа можно рассчитать с помощью эмпирических зависимостей Хенкинсона [62]: pс 48.253 0.138 g , атм; Tс 76.939 5.898 g , К, (1.1.1) n где g yi gi – средний молекулярный вес газовой смеси, yi и gi – i 1 соответственно объемная доля и молекулярный вес i -го компонента природного газа. Например, для природного газа, состоящего из компонентов представленных в табл. 1.1.1, молярная масса в г/моль находится как: g 16.043 yCH 4 30.070 yC2H6 44.097 yC3H8 56.108 yi C4Н8 58.124 yi C4H10 58.124 y nC4H10 72.151yi C5H12 72.151y nC5H12 86.178 yC6H14 100.205 yC7H16 114.232 yC8H18 128.259 yC9H 20 142.286 yC10H 22 44.010 yCO 2 28.013 y N 2 31.999 yО2 4.003 y He . Наиболее предпочтительным является параметров газовой смеси по правилу Кейа [171]: определение критических 27 n n i 1 i 1 pc yi pci , Tc yiTci ; (1.1.2) где pci , Tci – критические давление и температура i -го компонента природного газа. Из табл. 1.1.1 видно, что при определении критической температуры по формулам (1.1.1) и (1.1.2) наблюдаются расхождения. Уменьшение содержания метана и соответственно увеличение содержания его гомологов приводит к увеличению критической температуры и уменьшению критического давления. 1.2. Аналитические представления уравнения состояния природных газов Существует большое количество различных методов аналитического представления уравнений состояния природных газовых смесей. В настоящее время число уравнений состояния, предложенных для природных газов, превысило 200 и продолжает расти. Разделяют все эти уравнения на три группы. К первой группе относятся уравнения, полученные чисто эмпирическим путем и используемые для составления таблиц различных термодинамических величин; ко второй – уравнения, описывающие свойства газов качественно правильно (например, уравнение Ван-дер-Ваальса, Дитеричи, Редлиха-Квонга, Бертло); к третьей группе относятся уравнения с поправочной функцией давления и температуры, а также критических параметров (например, уравнения Латонова-Гуревича, Бертло). Связь термодинамических величин для реальных газов обычно задается в виде двух уравнений состояния: термического, связывающего абсолютное давление p , плотность (или удельный объем V ) и абсолютную температуру T , и калорического, связывающего внутреннюю энергию u с абсолютным давлением и плотностью или энтальпию i с абсолютными давлением и температурой. 28 Таблица 1.1.1 Компонентный состав (% мол.), молярная масса и критические параметры пластовых газов северных месторождений Месторождение Год Иреляхское Средневилюйское (горизонт T1-III) Мессояхское 2001 2005 1968 2005 1967 2006 СН4 86.06 82.811 90.34 88.49 98.86 99.169 С2Н6 3.75 3.838 4.98 5.84 - 0.003 С3Н8 1.40 1.470 1.74 2.25 - 0.009 i-C4H8 - 0.007 - - - - i-C4H10 - 2.552 0.22 0.48 - 0.002 n-C4H10 0.59 0.449 0.41 0.73 - 0.002 - 0.018 i-C5H12 0.139 0.26 n-C5H12 0.157 0.25 C6H14 0.005 0.39 С7H16 0.49 - 1.55 0.39 C8H18 - 0.14 C9H20 - 0.13 C10H22+ - 0.11 CO2 0.03 0.004 0.28 0.02 0.68 0.611 N2 7.62 8.309 0.48 0.51 0.45 0.186 О2 0.06 0.259 - - - - He - - 0.01 0.01 - g , г/моль 18.415 19.466 18.500 19.168 16.287 16.25 Tc , К по (1.1.1) 185.551 191.750 186.053 189.990 173.000 172.787 pc , атм (1.1.1) 45.712 45.567 45.700 45.608 46.005 46.010 Tc , К по (1.1.2) 195.175 199.601 205.022 208.799 191.033 191.202 pc , атм (1.1.2) 45.770 45.475 46.596 46.41 46.883 46.893 29 Ограничимся рассмотрением физически однородных газов, уравнения состояния которых удовлетворяют условиям термодинамического равновесия. Общие условия равновесия термодинамических систем выражаются в поведении термодинамических потенциалов. В случае задания уравнения состояния в виде потенциала (удельной внутренней энергии) u uV , s , где s – удельная энтропия, условия устойчивости термодинамического равновесия формулируются следующим образом [57, 61]: матрица 2u V 2 2u sV 2u V s 2u s 2 является положительной определенной, т.е. вторые производные внутренней энергии удовлетворяют следующим условиям: 2u 0, V 2 2 2u 2u 2u 0, V 2 s 2 s V 2u 0. s 2 Так как T u / s V , p u / V s , то указанные условия можно переписать так: p 0; V s (1.2.1) p T p T 0; V s s V s V V s (1.2.2) T 0. s V (1.2.3) Условия (1.2.1) – (1.2.3) играют важную роль в математической теории уравнений газовой динамики: они обеспечивают их гиперболичность и, 30 следовательно, возможность корректной постановки задачи Коши [61, 109]. Однако при рассмотрении разрывных решений задачи Коши условия (1.2.1) – (1.2.3) оказываются недостаточными для получения единственного решения и [109], на уравнения состояния необходимо наложить следующие дополнительные ограничения, не вытекающие непосредственно из требований термодинамики: 2u T 0; V s V s (1.2.4) 3u 2 p 3 2 0. V s V s (1.2.5) Для природных газов, с которыми приходится встречаться в большинстве задач добычи и транспорта, термическое уравнение состояния обычно задается в виде pV RT , (1.2.6) где – коэффициент несовершенства газа, R – газовая постоянная. Рассмотрим ограничения, которым должна удовлетворять функция 0 для выполнения условий (1.2.1) – (1.2.5). Функция p, T является эмпирической функцией давления и температуры газа, зависит от отношения давления и температуры к критическим значениям, характерным для данного газа и обычно определяется экспериментально. Для удобства ее использования при выполнении расчетов предложены различные эмпирические зависимости, о которых будет сказано ниже. Рассмотрение начнем с уравнения первого закона термодинамики Tds du pdV , которое с учетом выражения удельной энтальпии i u pV преобразуется к виду 31 Tds di Vdp . (1.2.7) Из условия равенства смешанных производных функции s получаем i V V T . T p p T (1.2.8) С учетом (1.2.8) уравнение (1.2.7) перепишем в виде V Tds c p dT T dp. T p (1.2.9) Кроме того, имеем полный дифференциал V V dp dV dT . T p p T (1.2.10) Исключая из (1.2.9) с помощью (1.2.10) сначала dT , а затем dp , получаем 1 1 V V Tds c p dV cV T p T p V dp; p T (1.2.11) 1 V V dV . Tds c p dT T T p p p (1.2.12) При этом воспользовались известным в термодинамике соотношением [116] p V c p cV T T V T p (1.2.13) 32 и тождеством 1 p V V . T V T p p T Из (1.2.11) и (1.2.12) имеем 1; p c p V ; V s cV p T (1.2.14) 1 T V V T ; V s cV T p p T (1.2.15) T T . s V cV (1.2.16) Считая удельные теплоемкости реальных газов положительными, из (1.2.14) получим, что для выполнения условия (1.2.1) необходимо и достаточно, чтобы с ростом давления объем уменьшался V V p 0, p T p p то есть 1 p 0. p (1.2.17) Учитывая равенства (1.2.13) – (1.2.16), условие (1.2.2) можно привести к виду 33 T cV 1 V 0, p T (1.2.18) откуда следует, что условия (1.2.1) – (1.2.3) выполняются для всех реальных газов с уравнением состояния (1.2.6) при 1 0 . Из условия (1.2.4) на основании (1.2.15) получим V V T 0, T T p T то есть 2 T 0. T (1.2.19) Таким образом, для выполнения условий (1.2.1) – (1.2.3) необходимо и достаточно наложить следующие требования на функцию p, T : 0; p p (1.2.20) T 0 . T (1.2.21) Неравенство (1.2.20) позволяет ввести важный в дальнейшем физический параметр – скорость звука с [57]: 2 p с kRT 0. s 1 2 (1.2.22) 34 Здесь показатель адиабаты k с p cV 1, так как согласно (1.2.13) 22 c p cV R . 1 Как следует из (1.2.14), для выполнения условия (1.2.5) кроме ограничений на вторые производные функции p, T требуется наложить соответствующие ограничения на функцию k с p cV , которые в общем случае в явном виде не выписываются. Для природных газов зависимость коэффициента сжимаемости от давления и температуры показана на рис. 1.2.1. Она построена по данным американских исследователей, полученным для природного газа с относительной (по воздуху) плотностью 0.630.65 [125]. Последующая проверка показала, что эти кривые с точностью ±4% описывают свойства природных газов с содержанием метана 90% и более, причем реальные величины коэффициента ближе к значениям, соответствующим чистому метану (рис. 1.2.2) [125]. На рис. 1.2.1 и рис. 1.2.2 хорошо заметно, что коэффициент сжимаемости немонотонно зависит от давления. Это обстоятельство затрудняет подбор эмпирических уравнений для описания соответствующих зависимостей во всем диапазоне изменения параметров состояния газа. Для учета влияния состава газа эти графики построены в виде зависимости от приведенных давления pr p pс и температуры Tr T Tс , т.е. от давления и температуры, отнесенных к соответствующим критическим значениям, которые зависят от состава газа. Количественный анализ зависимостей от давления и температуры показывает, что неравенства (1.2.17) и (1.2.19) выполняются до давлений 70 MПa и в диапазоне приведенных температур 1.053.0. 35 Рисунок 1.2.1. Зависимость коэффициента сжимаемости от приведенных давления и температуры для природного газа При выполнении численных расчетов удобнее пользоваться аналитическими зависимостями от давления и температуры или же уравнениями состояния, в которых давления, температура и плотность (удельный объем) связаны между собой непосредственно. Очевидна целесообразность записи уравнения состояния несовершенного газа в виде (1.2.6), так как при этом сохраняется форма уравнения Клапейрона для совершенного газа с поправочным коэффициентом, учитывающим отклонения свойств реального газа от идеального. 36 Рисунок 1.2.2. Зависимость коэффициента сжимаемости от приведенных давления и температуры для чистого метана В этом случае легко проверить, удовлетворяют ли те или иные условия зависимости (1.2.20) и (1.2.21), определяющим гиперболичность системы уравнений течения газа в трубах. Так, в практических расчетах добычи и транспорта природного газа наиболее часто используется уравнение Бертло в форме, предложенной в монографии [56]: 1 9 pr 6 1 2 . 128 Tr Tr (1.2.23) 37 Это уравнение состояния для углеводородных газов применимо при небольших давлениях (до 10 МПа) и температурах, значительно отличающихся от критических. В этом случае 1 1 , 2 1 0.84(Т c Т ) 3 p pс . Проинтегрировав калорическое уравнение состояния, через которое определяется теплоемкость газа, в дифференциальной форме T V di c p dT V T dp получим i c p0 dT RT 2 1 p0 p . То есть, T p T0 условия (1.2.17) и (1.2.19) выполняются. Однако применимость уравнения (1.2.23) ограничена областью, в которой частная производная коэффициента несовершенства по давлению отрицательна. Для природных газов это соответствует неравенству pr 3 . В работах [3, 4, 14] показано, что коэффициент несовершенства газа хорошо представим предложенным много лет назад уравнением ЛатоноваГуревича [81] 0.17376 ln Tr 0.73 r 0.1 pr . p (1.2.24) Формула (1.2.24) тестировалась путем сравнения со справочными данными из известного справочника Д. Катца с соавторами [76] для природного газа и из NIST Chemistry WebBook [174] для метана. При этом в первом случае этот коэффициент брался непосредственно из Таблицы П2 [76], а во втором вычислялся по известным значениям плотности, давления и температуры метана. Результаты сравнения представлены на рис. 1.2.3 и рис. 1.2.4. 38 Рисунок 1.2.3. Коэффициент несовершенства природного газа по данным справочника [76] (поверхность 1) и по формуле Латонова-Гуревича (поверхность 2) Рисунок 1.2.4. Коэффициент несовершенства метана по данным NIST Chemistry WebBook (поверхность 1) и по формуле Латонова-Гуревича (поверхность 2) 39 Видно, что результаты расчетов по формуле (1.2.24) очень хорошо соответствуют экспериментальным данным почти всюду, за исключением небольшой области вблизи смены знака производной коэффициента несовершенства по давлению. Минимум соответствует примерно pr 3 , где формула (1.2.24) дает несколько завышенные значения . Напомним, что для метана критическое давление равно 4.5992 МПа. Формула (1.2.24) очевидно удовлетворяет условию (1.2.19). С помощью несложных выкладок можно показать, что для выполнения условия (1.2.17) необходимо, чтобы 1 pr ln 0.17376 ln Tr 0.73 выражение было положительным. Вычисления, выполненные для 1 Tr 1.7 и для 1 pr 10 , показали, что это условие выполняется, то есть уравнение состояния (1.2.24) удовлетворяет условиям гиперболичности системы уравнений, описывающей течения сжимаемой среды в трубах. Формулу коэффициента (1.2.24) можно дросселирования использовать из также известного для вычисления термодинамического соотношения RT 2 . c p p T (1.2.25) Уравнение (1.2.25) является следствием изоэнтальпийности и легко может быть получено из физического и калорического уравнений состояния, как это показано в монографии [125]. Однако здесь формула (1.2.24) уже не дает хороших результатов, особенно, в области приведенных давлений от 1 до 4 (рис. 1.2.5). Более того, из этой формулы следует, что частная производная в формуле (1.2.25), а следовательно, и коэффициент дросселирования всегда будут положительными, то есть газ за счет дросселирования будет всегда охлаждаться, тогда как в 40 действительности при больших значениях приведенного давления этот коэффициент становится отрицательным, что означает нагревание газа при его изоэнтальпическом движении (поверхность 1 на рис. 1.2.5). Рисунок 1.2.5. Коэффициент дросселирования метана по данным NIST Chemistry WebBook [174] (поверхность 1) и по формуле Латонова-Гуревича (поверхность 2) В термодинамике для тестирования различных уравнений состояния используется понятие «инверсная кривая», которая в координатах pr Tr как раз и соответствует равенству нулю коэффициента дросселирования [129]. Из сказанного выше следует, что эмпирическое уравнение (1.2.24) этот тест не проходит, хотя и дает хорошие результаты в практически важном диапазоне изменения давления и температуры. Данные NIST Chemistry WebBook [174] показывают, что часть инверсной кривой, лежащая в этом же диапазоне, представляет собой прямую линию (рис. 1.2.6). 41 Рисунок 1.2.6. Фрагмент рис. 1.2.5 в увеличенном масштабе 1.3. Зависимость теплоемкости и вязкости природных газов от давления и температуры Уравнение состояния (1.2.24) нельзя использовать и для вычисления теплоемкости природных газов. Действительно, если использовать известное соотношение термодинамики (1.2.13) и уравнение состояния (1.2.6), то можно получить следующую формулу c p cV R 1 T . T 2 При независимых переменных p и T соотношение (1.2.13) имеет вид 42 1 V c p cV T p T V , T p 2 тогда используя уравнение (1.2.6) получим формулу T с p cV T . R р р 2 Подстановка сюда уравнения состояния (1.2.24) показывает, что результаты вычислений будут далеки от реальных значений (рис. 1.3.1). Рисунок 1.3.1. Приведенная к газовой постоянной разность теплоемкостей для метана по данным NIST Chemistry WebBook [174] (поверхность 1) и по формуле Латонова-Гуревича (поверхность 2) 43 Здесь следует заметить, что до настоящего времени расчеты с использованием математических моделей систем добычи и транспорта природного газа выполнялись в предположении, что удельная теплоемкость при постоянном давлении c p и динамическая вязкость газа постоянны. Анализ данных показал, что это не соответствует действительности. В самом деле, из рис. 1.3.1 – 1.3.2 хорошо видно, что в широком диапазоне изменения приведенных давления и температуры и удельная теплоемкость и вязкость изменяются достаточно существенно. Более того, удельная теплоемкость метана немонотонно зависит от приведенного давления (поверхность на рис. 1.3.1 и 1.3.2), причем максимум соответствует тому же значению приведенного давления, что и минимум коэффициента несовершенства газа (сравни рис. 1.2.3 и 1.2.4 с рис. 1.3.1). Однако для больших значений приведенного давления (больше 8), этот параметр можно считать постоянным (поверхность 1 на рис. 1.3.1). Таким образом, при математическом моделировании неизотермической фильтрации в пластах, глубина которых превышает 2000 м, предположение о постоянстве удельной теплоемкости вполне оправдано, но при расчетах движения газа в скважинах и, тем более, в газопроводах следует учитывать ее зависимость от давления и температуры. Динамическая вязкость газа очень сильно зависит от приведенного давления и гораздо слабее – от приведенной температуры (рис. 1.3.2). Такая тенденция прослеживается во всем диапазоне изменения этих параметров физического состояния газа, характерном для его добычи и транспорта. 44 Рисунок 1.3.2. Динамическая вязкость метана по данным NIST ChemistryWebBook [174] 1.4. Методы расчета равновесных условий гидратообразования природных газов Газовые гидраты – это специфическая группа веществ, которая образуется в результате соединения различных газов (или легко кипящих жидкостей) с водой при строго определенных температурах и давлениях, с изменением которых газовые гидраты распадаются на исходные составные части. Они относятся к классу молекулярных соединений – нестехиометрическим клатратным соединениям включениям. Область их термодинамической стабильности включает как отрицательные, так и положительные температуры по шкале Цельсия. При давлениях до 10 – 30 МПа, характерных для промысловых систем, гидраты природных газов существуют вплоть до температур 20 – 25°C, однако наиболее типичные температуры их образования – ниже 15 – 20°C. Максимальная температура 45 существования гидрата метана составляет 47.7°C при давлении 500 МПа [72]. Способностью образовывать гидраты обладают многие газы, органические жидкости (в основном летучие), а также их двойные и многокомпонентные смеси (Ar, N2, O2, CH4, CO2, C2H4, C2H6, C3H8, i-C4H10, H2S, SO2, Cl2, CS2, галогенпроизводные углеводородов С1–С4, циклические и простые эфиры и т.д.). По общепринятым современным представлениям [49, 72, 175, 176] гидраты газов представляют собой твердые кристаллические соединения, в которых молекулы газа при определенных давлениях и температурах заполняют структурные пустоты кристаллической решетки, образованной молекулами воды с помощью прочной водородной связи. По внешнему виду они напоминают рыхлый снег, лед или иней. Гидраты относят к химическим соединениям, так как они имеют строго определенный состав, но это – соединения молекулярного типа, возникающие за счет слабых ван-дерваальсовых сил при определенных термобарических условиях. Химическая связь у гидратов отсутствует, поскольку при их образовании не происходит спаривания валентных электронов и пространственного перераспределения электронной плотности в молекуле. Ван-дер-ваальсовые силы очень малы, однако энергия связи в клатратной молекуле равна около 20 – 40 кДж/моль благодаря росту ван-дер-ваальсовых сил по мере сближения молекул. В отличие от кристаллической решетки льда кристаллическая решетка гидрата без наличия молекул-гостя не может существовать в виду ее термодинамической нестабильности. Кроме того, хотя лед и образует ажурную решетку гексагональной структуры, однако образуемые им полости небольшого размера и канального вида. Они могут вместить только маленькие молекулы типа водорода и гелия. В тоже время величины многих физических параметров (плотность, теплоемкость, модули Юнга и Пуассона) гидратов и гексагонального льда близки между собой [128]. Существенные различия наблюдаются по некоторым свойствам, таким как коэффициенты тепло- и 46 электропроводности, линейного термического расширения, статические диэлектрические постоянные [72, 73]. Исследования газовых гидратов представляют большой теоретический интерес, поскольку они позволяют значительно углубить и расширить представления о весьма своеобразных твердых растворах, в которых «растворителем» является кристаллическая решетка, построенная из молекул воды, а молекулы газа, поглощенные внутренними полостями этой решетки, рассматриваются как «растворенное вещество». Следует отметить, что физические свойства кристаллической решетки «растворителя» заметно отличаются от свойств кристаллической решетки обычного льда (стабильность при Т > 273.1 К, структура, строго фиксированный объем и количество внутренних полостей, и т.д.). Газовые гидраты подразделяют на: природные (естественные) и техногенные (искусственные). Природные газовые гидраты могут образовывать скопления (вплоть до формирования газогидратных залежей, как на суше, так и под дном моря), имеющие в обозримой перспективе промышленное значение, а также находиться в рассеянном состоянии. Природные газовые гидраты в ряде случаев рассматриваются как серьезное осложняющее обстоятельство, приводящее к технологическим трудностям при бурении и эксплуатации скважин на нефть и газ, при сооружении плавучих платформ и т.п. Возможность существования газовых гидратов в природных условиях с образованием газогидратных залежей первым предсказал выдающийся российский профессор И.Н. Стрижов (1946 г.), а с начала 1960-х годов академики А.А. Трофимук и Н.В. Черский с сотрудниками и коллегами активно развивали геологические аспекты скоплений газовых гидратов как на суше, так и в акваториях (задолго до того, как к этим вопросам появился интерес за рубежом). Первый природный газогидрат держала в руках специалист ВНИИГАЗа А.Г. Ефремова (1972 г.) и уже в начале 1970-х годов в этом Институте были заложены основы распознавания гидратосодержащих пород по данным комплексного скважинного каротажа [72, 73]. Во ВНИИГАЗе и МГУ 47 им. М.В. Ломоносова в 1980-е годы был идентифицирован новый тип рассеянных газогидратов в зоне многолетнемерзлых пород, так называемые реликтовые газовые гидраты, находящиеся вне современной зоны стабильности газовых гидратов и сохраняющиеся вмороженными в многолетнемерзлые породы в метастабильном термодинамическом состоянии [49]. В настоящее время существование природных газовых гидратов является объективной реальностью, их обнаружили в придонных осадках океанов и морей, в недрах материков и островов, во льдах Антарктиды и Гренландии. Они могут образоваться как в атмосфере, так и на поверхности других планет, также в просторах Вселенной [86]. В природе преимущественно встречаются гидраты природных газов (гомологи метана), H2S, CO2, O2, N2 и др. Техногенные гидраты образуются в системах добычи нефти и газа: в призабойной зоне, стволах газовых и нефтяных скважин, шлейфах, выкидных линиях и внутрипромысловых коллекторах, в системах промысловой и заводской подготовки природного и попутного нефтяного газа, а также в магистральных газотранспортных системах, в технологических линиях химической и нефтегазохимической промышленности. В технологических процессах добычи нефти и газа техногенные гидраты выступают как нежелательное явление, в связи с этим разрабатываются и совершенствуются методы предупреждения и ликвидации гидратов. В монографии [72] проанализировано современное состояние методов борьбы с техногенным гидратообразованием в скважинах, системах сбора и промысловой подготовки природных газов. Газогидратную природу «ледяных» пробок при положительных по Цельсию температурах в газопроводах, транспортирующих неосушенный (недоосушенный) попутный нефтяной газ, впервые открыл в 1934 г. американский специалист Е.Г. Хаммершмидт, предложивший ингибиторные методы борьбы с гидратами в промысловых трубопроводах. С тех пор ингибиторные методы борьбы с гидратами с использованием растворов неэлектролитов, низших алифатических спиртов и гликолей отрабатывались многие годы. Большой вклад в разработку методов борьбы с техногенным 48 гидратообразованием в 1960 – 80-е годы внесли отечественные специалисты Ю.П. Коротаев, С.Ш. Бык, Г.С. Лутошкин, В.И. Фомина, В.А. Хорошилов. Ю.Ф. Макогон, Б.В. Дегтярев, Э.В. Маленко, Э.Б. Бухгалтер, А.Г. Бурмистров, В.И. Семин и многие другие. В последние десятилетия рядом фирм предложены и проходят промысловые испытания новые классы ингибиторов гидратообразования (низкомолекулярные позволяющие [72, водорастворимые резко увеличить гидратообразования; кинетические 73]: полимерные индукционный вещества-диспергаторы ингибиторы композиции), период (различные начала ПАВ), обеспечивающие многофазный транспорт углеводородных систем в режиме гидратообразования без отложения гидратов в промысловых коммуникациях. В.А. Истомин [72, 73] отмечает, что в настоящее время подобные ингибиторы реально можно использовать (преимущественно благоприятных в морских только в системах продуктопроводах) термобарических условиях: при нефтегазосбора исключительно небольшая степень переохлаждения, отсутствие резких колебаний температуры окружающей среды и ряда других условий. В последние годы интерес к проблеме природных и техногенных газовых гидратов заметно усилился во всем мире. Связано это с осознанием того факта, что для человечества в долгосрочной перспективе природные газовые гидраты могут стать последним реальным промышленным источником природного газа в силу весьма значительных ресурсов, неглубокого залегания и концентрированного состояния газа в них. Кроме того, расширяются геологические представления о существенной роли процессов образования и разложения газовых гидратов в глобальных природных процессах. В связи с выходом на добычу нефти и газа в экстремальных климатических условиях (в зоны распространения вечной мерзлоты, в акватории Мирового океана на большие глубины) все более обостряется и проблема техногенного гидратообразования в системах сбора продукции газовых, газоконденсатных и газонефтяных скважин [72, 73]. 49 Гидраты могут находиться в грунтах в виде крупных и мелких включений, кроме того, и просто цементировать осадки. Известно, что в крупнозернистых осадках и в свободном объеме равновесные давления и температуры газовых гидратов приблизительно равны. Однако в таких осадках как ил и глина капиллярные силы приобретают важную роль, и их вклад сказывается на величине равновесных условий (температура понижается, а давление повышается). Давно известно, что в регионах распространения вечной мерзлоты существуют большие запасы гидратов природного газа, и в частности, метана. Это было доказано геологическими и геофизическими исследованиями [64, 70, 142, 141, 150]. Установлено, что стабильность «законсервировавшихся» гидратов зависит от температуры окружающей среды, возможности сублимации влаги с поверхности, наличия светового, механического и химического воздействий. Реликтовые (неразложившиеся) газовые гидраты встречаются в криолитозоне на небольших глубинах – от 20 до 200 м. Введено понятие гидратосферы, под которым понимается верхняя часть земной коры некоторых континентов и Мирового океана, характеризующееся наличием отрицательных по Цельсию ( T 273.15 K) или небольших положительных ( T 273.15 K) температур пород и обусловленного им природного или техногенного гидратообразования [141]. Эти залежи гидратов являются альтернативными источниками углеводородного сырья, вследствие чего их изучение является важной проблемой научного сообщества. Интенсивное экспериментальное изучение гидратообразования в дисперсных средах началось в начале 1970-х годов после того, как рядом советских ученых была выдвинута идея о возможности существования в земной коре газогидратных залежей. Первые результаты экспериментальных исследований свойств гидратонасыщенных дисперсных пород были обобщены в монографии [87] и использовались для районирования возможных зон залегания таких залежей [141]. Сопоставление термодинамических характеристик осадочного чехла земной коры с равновесными условиями 50 гидратообразования показывает, что около 25% территории суши и 75% акватории Мирового океана соответствует условиям накопления и сохранения газа в гидратном состоянии. При этом глубина зон гидратообразования может достигать 1500 м и более на материке и 300 – 700 м в природных осадках океана, что позволяет считать газогидратные скопления потенциальным источником углеводородного сырья [142, 141]. Кроме того, основные центры газодобывающей промышленности страны за эти же годы переместились в районы Крайнего Севера, характеризующиеся сложными природно-климатическими условиями и в первую очередь наличием толщи многолетнемерзлых пород. Практика разработки месторождений природного газа в этих условиях показала, что неизбежное понижение и без того низкой температуры газосодержащих пород за счет дросселирования при отборе газа и конденсация влаги создают предпосылки для образования гидратов в призабойной зоне газовых скважин. Отложение гидратов приводит к резкому росту фильтрационного сопротивления, падению забойного давления и дебита скважин [103]. Образование гидратов возможно и в стволе газовых скважин, особенно простаивающих длительное время или при их консервации [63]. Затраты, связанные с предупреждением гидратообразования в системах добычи и транспорта газа весьма значительны и достигают 30% себестоимости добываемого природного газа [86]. Также, термодинамические условия в земной коре, особенно в регионах распространения вечной мерзлоты, и в осадках дна Мирового океана могут оказаться такими, которые способствуют появлению больших скоплений углеводородных газов в виде гидратов. Разработка методов добычи природного газа из газогидратных месторождений и конкретные проблемы газопромысловой практики в северных регионах требуют проведения экспериментальных исследований по определению равновесных условий гидратообразования в дисперсных породах. Образование гидратов в дисперсных породах, насыщенных водой и газом, имеет свои особенности из-за взаимодействия воды, содержащейся в порах, с 51 частицами породы. Поэтому к числу возможных факторов, влияющих на термодинамические (равновесные) условия гидратообразования, помимо состава газа и минерализации поровой воды, следует отнести и такие свойства самой породы, как ее минералогический состав, дисперсность и влагосодержание. В настоящее время экспериментально получены и изучены равновесные параметры гидратообразования практически всех известных природных и синтетических газов. Исключение составляют водород, гелий, неон. Расчеты показывают, что при температуре 273 К для образования гидрата неона требуется давление 1.7103 МПа, а для гелия – 4104 МПа. Основными факторами, определяющими возможность образования гидратов природных газов в пластовых условиях, являются: состав газа, пластовые давление и температура и степень минерализации поровой воды. Из компонентов природного газа к гидратообразующим относятся метан, этан, пропан, изо- и нормальный бутаны, двуокись углерода, сероводород, азот и кислород; к негидратообразующим – углеводороды, начиная с пентана и выше, водород и гелий. Наличие в газе даже нескольких процентов этана, и особенно, пропана и изо- и нормального бутана резко изменяет условия гидратообразования. Так, при температуре 283.1 К добавка 1% пропана приводит к значительному снижению давления гидратообразования – от 69 атм у чистого метана до 43 атм у смеси, а добавка 1% изобутана – до 30 атм для смеси. Минерализация воды приводит к снижению равновесной температуры гидратообразования при заданном давлении или к повышению давления при заданной температуре. Причиной служит понижение давления насыщенного пара воды при растворении в ней различных солей [17]. Условия гидратообразования экспериментально, значительными хотя проведение трудностями, определяют, таких главным экспериментов обусловленными образом, связано нестехиометричностью со и нестабильностью гидратов. По этим причинам экспериментальные данные различных исследователей могут существенно различаться. В то же время 52 расчетные методы позволяют получить лишь приблизительные значения этих условий. В настоящее время в мировой практике существует большое количество методов расчета равновесных условий образования гидратов, так как экспериментальные методы очень трудоемки и требуют наличия дорогостоящего оборудования. Из-за отсутствия соответствующей унификации данные лабораторных экспериментов и результаты теоретических расчетов неудовлетворительно сопоставимы друг с другом. В этой связи актуальными являются исследования, направленные на критическое сравнение различных теоретических методов и на определение диапазонов их применимости относительно соответствующих пластовым изменениям давления и температуры. Определение равновесных условий образования гидратов природных газов в пластовых условиях является сложной задачей из-за большого количества компонентов газовых смесей, а также и из-за того, что поведение природных газов существенно отклоняется от поведения совершенного газа, главным образом из-за высоких пластовых давлений. Таким образом, методы расчета этих условий должны зависеть от уравнений состояния природного газа. Выбор вида уравнения состояния является критическим для любой методики расчета. В настоящее время при определении условий гидратообразования природных газов, несмотря на наличие достаточно строгих расчетных методов, в инженерной практике обычно используют простые эмпирические зависимости. Так, в учебных пособиях и инструкциях по добыче газа до сих пор рассматриваются приближенные методы Керзона-Катца [76, 86], СхаляхоМакогона [88], Пономарева [105], в которых эти условия определяются по приведенной плотности газа. Существуют и другие эмпирические методы, такие как метод Бейли-Вишерта [71, 72, 153], Трекела-Кемпбела [77, 168], Бурмистрова [122, 123], Хорошилова [131], Мак-Леода и Кемпбела [172] и др. Однако результаты расчетов равновесного давления для заданной температуры 53 по этим методам в отдельных случаях различаются между собой в 2–3 раза. В связи с этим В.А. Истомин и В.Г. Квон [72], сохранив преимущества простых расчетных схем, разработали расчетную методику, приближающуюся к точности надежных экспериментальных данных. Данная инженерная методика основана на упрощении уравнений термодинамики газогидратной фазы. Параметры в полученных формулах подобраны по экспериментальным данным так, чтобы нивелировать погрешности от сделанного упрощения уравнений состояния газовой и газогидратной фаз. Эта методика расчета равновесных условий гидратообразования [72] в системе «природный газ – вода – гидрат» используется для природных и попутных нефтяных газов, состоящих в основном из метана СH 4 (более 50% об.) со значительным содержанием C 2 H 6 , C3 H8 , i C 4 H10 , CO 2 и H 2S . В этой методике в качестве первого шага фиксируют некоторую температуру T0 , для которой определяют давление гидратообразования исследуемой смеси газов pm0 . Вначале, исходя из термодинамической модели идеального газового гидрата, которую авторы методики считают достаточно разрабатывается форма эмпирических зависимостей для pm0 надежной, на основе упрощения формально более строгих термодинамических методик и затем подбираются по экспериментальным данным коэффициенты в получаемых термодинамически обоснованных формулах (в отличие от сугубо эмпирических подходов). При этом используются наиболее достоверные экспериментальные данные. Эту инженерную методику можно использовать только при равновесных давлениях ниже 100 атм, где погрешность расчета является вполне допустимой для практических целей. Алгоритм определения равновесных условий гидратообразования для многокомпонентной газовой смеси состоит в следующем [72]: 1. Рассчитывается давление гидратообразования pm0 (в МПа) при температуре T 0 273.15 К по эмпирическому уравнению, которое имеет вид: для гидратов кубической структуры I 54 1 p 3.03 y 0 m CH 4 2.2 yCO 2 0.7 y N 2 1/ 3 1 y c C3 H 6 yCO 2 y N 2 yCH 4 yC2H6 pm0 5 . 03 0 . 51 0 . 072 1 . 89 43 (1.4.1) , для гидратов кубической структуры II 1 p 2.5 y 0 m 1.4 yCO 2 0.67 y N 2 2 CH 4 1 yC H yi C4H10 y nC4H10 yCO 2 y N2 yCH 4 yC2H6 pm0 3 8 2.3 0.176 0.113 1.6 26.3 2323 231 , (1.4.2) где yi – мольная доля i -го компонента газовой смеси. Числовые значения в уравнениях (1.4.1) и (1.4.2) были подобраны по экспериментальным данным (по трехфазным гидратным равновесиям для чистых газов и бинарных смесей) с использованием информации по отношению степеней заполнения. Например, при подборе параметров учитывалась возможность заполнения молекулами CH 4 , N 2 , CO 2 как малых так и больших полостей в структуре II, тогда как молекулы C 2 H 6 , C3 H8 , i C 4 H10 , n C 4 H10 встраиваются только в большие полости. 2. Методом сравнительного расчета (термодинамического подобия) определяется равновесное давление гидратообразования при T Т 0 , используя условия образования для эталонной газовой смеси. При этом если исследуемая и эталонная газовые смеси близки по составу (по гидратообразующим компонентам), то их равновесные кривые гидратообразования в координатах ln p T практически эквидистантны. В этом случае давление гидратообразования pm для заданной температуры T можно определить из соотношения: 55 pm pm0 0 pe pe pm pm0 pe , pe0 (1.4.3) либо из более точного соотношения pm pm0 0 pe e pe0 0e 0 pe e , pm p pe0 0e 0 m (1.4.4) где – коэффициент сжимаемости газовой смеси; верхний индекс "0" соответствует температуре T 0 273.15 К, а нижние индексы " m " и " e " соответствуют исследуемой и эталонной газовой смеси. Подобный подход наиболее плодотворен для природных газовых смесей, причем достаточно иметь 3–4 эталонные кривые гидратообразования. Наиболее подходящей является эталонная кривая гидратообразования с близкими значениями коэффициента сжимаемости и с близкой суммой молярных долей в газе наиболее гидратообразующих компонентов – пропана, изобутана и сероводорода. В.А. Истоминым [71, 72] для определения условий гидратообразования при T Т0 предложен набор эталонных кривых гидратообразования, записанных в форме: ln p A B, T (1.4.5) но анализ совокупности экспериментальных данных показал, что кривые трехфазных равновесий для газов и газовых углеводородных) целесообразно представлять в виде смесей (в основном 56 ln p A1 B1 . T (1.4.6) где A , B , A1 , B1 – параметры, значения которых приведены в табл. 1.4.1. Растворимость газа в воде низка и такой раствор можно рассматривать как бесконечно разбавленный, для которого коэффициент активности воды aw 1 . Тогда в первом приближении имеет место соотношение f p , где f – равновесная летучесть газа. С учетом зависимости (1.4.5) уравнение (1.4.3) принимает следующий вид: 1 1 pm pm0 exp A . T0 T (1.4.7) n 3. Определяется средний молекулярный вес газа yi i . i 1 Таблица 1.4.1 Параметры A , B , A1 , B1 в уравнениях (1.4.5) и (1.4.6) для структуры КС-II Эталонная смесь, моль. % A B A1 B1 99.18 CH 4 0.82 i-C4 H10 9909.89 36.16 9738.46 35.48 98.8 CH 4 1.2 i-C4 H10 9798.12 35.65 9824.58 35.60 97.5 CH 4 2.5 i-C4 H10 9815.51 34.45 9207.96 33.16 95.0 CH 4 5.0 i-C4 H10 11083.42 39.63 9127.09 32.50 84.8 CH 4 15.2 i-C4 H10 10329.72 36.49 9811.43 34.55 4. Рассчитываются критические параметры природного газа по формулам (1.1.1) или (1.1.2). 5. Находятся приведенные температура и давление. 57 6. По уравнениям (1.2.23) или (1.2.24) вычисляется коэффициент сжимаемости газовой смеси. 7. С учетом уравнения (1.4.4), (1.4.6) находим искомое давление p m , соответствующее температуре T T0 : 1 1 0 pm p exp A1 . T0 T 0 m На основе данной методики был разработан алгоритм вычисления равновесных условий образования (диссоциации) гидратов природных газов по известному их составу, который реализуется с помощью средств программного пакета MathCad. Алгоритм был успешно тестирован путем сравнения с результатами лабораторных экспериментов, выполненных в 2001 г. для газа Иреляхского месторождения Республики Саха (Якутия), и далее использован для анализа динамики изменения равновесных условий образования гидратов при разработке других месторождений, расположенных в северных районах России. Полученные результаты были сопоставлены с результатами расчета по более точной методике E. Dendy Sloan [175, 176], где используется уравнение состояния газа Редлиха-Квонга. Результаты расчетов равновесных условий образования (диссоциации) гидратов природных газов Иреляхского и Средневилюйского месторождений Республики Саха (Якутия) и Мессояхского месторождения Красноярского края, состав которых дан в табл. 1.1.1, используемые далее при математическом моделировании отбора газа из скважин, представлены на рис. 1.4.1 – 1.4.3. Природные газы месторождений Якутии образуют гидраты кубической структуры II с заполнением молекулами газа как малых, так и больших полостей кристаллической решетки, а гидрат природного газа Мессояхского месторождения из-за большого содержания метана относится к кубической структуре I. 58 Рисунок 1.4.1. Равновесные кривые образования гидратов природного газа Иреляхского месторождения РС(Я) (точки – экспериментальные данные для пластового газа, отобранного в 2001 г.; 1 – расчетная кривая для этого газа с использованием уравнения Латонова-Гуревича; 2 – то же для уравнения Бертло; 3 – то же для уравнения Редлиха-Квонга; кривая 4 – расчетная кривая для газа, отобранного в 2005 г. с использованием уравнения Бертло) Установлено, что результаты вычислений зависят главным образом от вида эмпирического уравнения состояния реальных газов (рис. 1.4.1, кривые 1– 3). В области низких давлений (до 75 атм) кривые фазового равновесия совпадают, а в области высоких давлений наблюдаются расхождения между кривыми. Тем самым, при определении равновесных условий образования гидратов важно правильно выбрать уравнение состояния природной газовой смеси. В целом, наилучшее совпадение результатов вычислений и данных лабораторных экспериментов, выполненных в 2001 г. для газа Иреляхского месторождения, получено при использовании уравнений Бертло (1.2.23) и Латонова-Гуревича (1.2.24) (рис. 1.4.1). На этом же рисунке можно видеть 59 существенное изменение равновесных условий гидратообразования за 5 лет отбора газа (сравни кривые 2 и 4). Как следует из табл. 1.1.1, за это время количество метана в добываемом газе заметно уменьшилось, что может служить индикатором процессов гидратобразования в призабойной зоне скважины. На рис. 1.4.2 представлены результаты расчетов равновесных условий образования гидратов для Средне-Вилюйского месторождения с использованием уравнения Бертло. Если сопоставить эти результаты с данными таблицы 1.1.1 по динамике изменения состава газовой смеси, то, как и в предыдущем случае, можно сделать вывод о возможном образовании гидратов и на этом месторождении, хотя здесь интенсивность этого процесса меньше. Рисунок 1.4.2. Равновесные кривые образования гидратов природного газа Средне-Вилюйского месторождения (сплошная кривая относится газу, отобранному в 1968 г., штриховая – 2005 г.) Из рис. 1.4.3 видно, что условия гидратообразования природного газа Мессояхского месторождения, рассчитанные по методике Слоана [175, 176], за 39 лет не изменились. 60 Рисунок 1.4.3. Равновесные кривые образования гидратов природного газа Мессояхского месторождения (сплошная кривая – для газа, отобранного в 1967 г., точечная – 2006 г.) Разработанный алгоритм позволяет также определить насколько изменяются равновесные параметры гидратообразования в присутствии ингибитора, в частности, растворенных в пластовой воде солей (рис. 1.4.4). Для учета засоленности пластовой воды вычисленная равновесная кривая пересчитывается по методике [72], что позволяет путем сравнения с конкретными пластовыми условиями (давление, температура и молярная концентрация соли в воде) определить возможность образования гидратов в призабойной зоне. Так, для растворов NaCl уравнение (1.4.7) принимает вид 1 1 0 pm p exp A1 128.65 x 40.28 x 2 138.49 ln 1 x , T0 T 0 m 61 где х – молярная доля NaCl в водном растворе, которая связана с массовой концентрацией зависимостью С x NaCl 100% x NaCl (1 x) H2O ( NaCl , H2O – молекулярные веса компонентов раствора). Рисунок 1.4.4. Равновесные кривые образования гидратов природного газа Иреляхского месторождения с учетом солености пластовой воды: точки – экспериментальные данные; 1 – при отсутствии ингибитора; 2 – в присутствии NaCl с массовой концентрацией 15%; 3 – то же самое при концентрации 20% На рис. 1.4.5 представлены результаты расчета термобарических условий гидратообразования для природного газа Отраднинского месторождения Республики Саха (Якутия) следующего состава (% мол.): СН4 – 83.15, С2Н6 – 4.16, С3Н8 – 1.48, i-С4Н10 – 0.17, n-С4Н10 – 0.50, i-С5Н12 – 0.12, n-С5Н12 – 0.17, С6Н14 – 0.17, С7Н16+ – 0.28, СO2 – 0.07, N2 – 9.50, He – 0.21, H2 – 0.02. Опытнопромышленная эксплуатация скважины № 314-2 Отраднинского ГКМ, включая и результаты ее гидродинамических исследований в стационарном и нестационарном режимах, свидетельствуют о том, что наиболее вероятной 62 причиной существенного снижения ее дебита является образование газовых гидратов как в призабойной зоне, так и в стволе самой скважины. Этот вывод подтверждается и результатами исследований, изложенными в отчете ОАО «СевКавНИПИгаз» [1]. Видно, что при заданной температуре уравнение Редлиха-Квонга приводит к завышению равновесного давления, а уравнение МенделееваКлапейрона (идеальный газ) – к занижению. На этом же рис. 1.4.5 пунктирными прямыми обозначены пластовые условия (192 ат. и 286.35 К) данного месторождения. Рисунок 1.4.5. Равновесные условия гидратообразования для природного газа Отраднинского ГКМ: сплошная кривая 1 – расчетная кривая с использованием уравнения Латонова-Гуревича; штриховая 2 – то же для уравнения Бертло; штрих-пунктирная 3 – то же для уравнения Менделеева-Клапейрона; точки 4 – то же для уравнения Редлиха-Квонга; штриховая 5 – кривая с учетом солености пластовой воды с молярной концентрацией 0.0714, что соответствует 200 г/литр; сплошная 6 – кривая, построенная в отчете [1]. 63 Рис. 1.4.6 иллюстрирует влияние солености пластовых вод на равновесные условия образования гидратов для Отраднинского месторождения. При значениях пластовых параметров (давление, температура и молярная концентрация соли в пластовой воде), лежащих справа от этой поверхности, гидраты в призабойной зоне образовываться не будут. Видно, что молярная концентрация поваренной концентрации С 26.531%, соли x 0.1 , предотвращает что соответствует образование весовой гидратов при температуре газа 286.35 К. При концентрации соли меньшей 20% эта опасность существует, о чем свидетельствуют кривая 5 на рис. 1.4.5. Рисунок 1.4.6. Зависимость равновесных условий образования гидратов от солености пластовой воды для Отраднинского месторождения В качестве аналитической зависимости для снижения (сдвига) температуры начала гидратообразования в присутствии водометанольного раствора использована термодинамически обоснованная зависимость вида [72] 64 100 X T A ln 100 0.4378 X , где Х – концентрация метанола в водном растворе, масс.%; А – эмпирический подгоночный коэффициент, зависящий от давления газа, его состава и структуры образующихся гидратов. Для природных газов чисто газовых и газоконденсатных месторождений Севера России, т.е. для газов, образующих гидраты кубической структуры II, рекомендуется следующая зависимость [72] A 81 0.33 X 0.01X p 7.5, которая применима при Х 80 масс.%. Рисунок 1.4.7. Равновесные кривые гидратообразования для природного газа Отраднинского ГКМ: 1 – при отсутствии ингибитора; 2 – в присутствии водометанольного раствора с массовой концентрацией 20%; 3 – то же при концентрации 30%; 4 – то же при концентрации 40% 65 На рис. 1.4.7 показано, как меняются равновесные условия гидратообразования для Отраднинского месторождения в зависимости от концентрации водометанольного раствора. При непрерывном изменении концентрации метанола ее влияние на равновесные условия представлено на рис. 1.4.8. Область, лежащая выше пограничной поверхности, соответствует значениям давления, температуры и концентрации, при которых гидраты не будут образовываться. Рисунок 1.4.8. Зависимость термобарических условий гидратообразования для природного газа Отраднинского ГКМ от концентрации водометанольного раствора Гидраты природных углеводородных газов образуют главным образом кубическую структуру II. Например, из смеси метана и пропана уже при содержании пропана более 0.3–0.6 об.% образуется гидрат КС-II (хотя чистый метан образует гидрат КС-I по крайней мере при низких и умеренных 66 давлениях). Гидраты природных газов, образующиеся из многокомпонентных углеводородных смесей, в зависимости от состава газовой фазы могут иметь и ту и другую структуры [72, 73]: природные газы газовых месторождений (при содержании пропана и изобутана менее 0.3–0.6 об.%), а также газы, содержащие значительное количество неуглеводородных компонентов (сероводорода и азота) образуют гидраты КС-I, тогда как для природных газов газоконденсатных месторождений характерно образование гидратов КС-II (изза наличия в газе пропана и изобутана более 0.2–0.3 об.%). В гидратах КС-II на элементарную ячейку приходится 136 молекул воды, 16 малых (D) и 8 больших полостей (Н). Малые полости практически полностью будут заполнены молекулами с небольшим ван-дер-ваальсовым радиусом (СН4, N2 и др.), большие полости будут заполнены полностью (с большой избирательностью для крупных молекул С2H6, С3H8, i-С4H10) [72]. Таким образом, природные газы месторождений Якутии образуют гидраты кубической структуры II с заполнением молекулами газа, как малых, так и больших полостей кристаллической решетки. В табл. 1.4.2 представлены результаты хроматографического анализа проб природного газа следующих месторождений Республики Саха (Якутия): 1 – Отраднинского, 2 – Среднеботуобинского, 3 – Таас-Юряхского, 4 – Маччобинского, 5 – Нелбинского, 6 – Верхневилючанского, 7 – Иреляхского, 8 – Чаяндинского. По этим данным были определены молярные массы, критические параметры (табл. 1.4.2) и равновесные условия гидратообразования (рис. 1.4.9). Из-за того, что составы газов Отраднинского, Нелбинского и Чаяндинского месторождений отличаются незначительно, для них кривые фазового равновесия практически совпадают (кривые 1, 5 и 8 на рис. 1.4.9). Сопоставление равновесных кривых образования гидратов с результатами расчетов распределения температуры и давления в газоносном пласте, а также в скважинах при различных темпах отбора газа позволяет определить интервал возможного образования гидратов в призабойной зоне и в стволе скважины. 67 Таблица 1.4.2 Компонентный состав пластовых газов некоторых месторождений РС(Я) (% об.), их молярная масса и критические параметры 1 2 3 4 5 6 7 8 СН4 83.15 85.90 86.10 84.65 85.79 90.35 88.86 85.68 С2Н6 4.16 7.32 4.70 3.36 4.16 2.84 2.25 4.65 С3Н8 1.48 2.24 1.52 1.26 1.52 0.89 0.97 1.49 i-C4H10 0.17 0.26 0.18 0.17 0.16 0.08 0.12 0.13 n-C4H10 0.50 0.68 0.44 0.32 - 0.15 0.22 0.31 i-C5H12 0.12 0.17 0.13 0.09 - 0.02 - 0.04 n-C5H12 0.17 0.24 0.25 0.09 0.88 0.03 - 0.05 C6H14 0.17 0.08 - 0.06 - 0.04 - - C7H16+ 0.28 - - - - - - - CO2 0.07 0.05 0.08 - - 0.02 0.04 0.11 N2 9.50 2.64 6.13 9.10 7.16 5.39 7.14 6.99 Н2 0.02 0.14 0.04 0.11 - 0.09 - 0.09 He 0.21 0.28 0.43 0.79 0.33 0.10 0.36 0.46 18.970 18.657 18.302 18.196 18.431 17.470 17.590 18.148 g , г/моль Tc , К 195.376 204.134 196.426 190.971 195.631 192.420 190.453 194.446 pc , атм 44.125 44.954 44.512 43.956 44.384 44.747 44.428 44.438 68 Рисунок 1.4.9. Равновесные условия гидратообразования для природного газа месторождений Вилюйской синеклизы: 1 – Отраднинского; 2 – Среднеботуобинского; 3 – Таас-Юряхского; 4 – Маччобинского; 5 – Нелбинского; 6 – Верхневилючанского; 7 – Иреляхского; 8 – Чаяндинского Пластовые условия некоторых месторождений Якутии, горизонт которых не превышает 2000 м, соответствуют условиям гидратообразования в призабойной зоне – температура пласта ниже равновесной при заданном давлении. Однако наличие засоленных пластовых вод, вероятно, способствует тому, что гидратонасыщенность призабойной зоны будет незначительной. Для конкретного месторождения можно определить предельную концентрацию соли или водометанольного раствора, препятствующую гидратообразованию при пластовой температуре. 69 ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСОВЕРШЕННОГО ГАЗА Движение жидкостей, газов и их смесей в пористой среде, т.е. в системе сообщающихся между собой пор в твердом теле, изучает теория фильтрации или подземная гидрогазодинамика [19, 20, 21, 64, 99]. Она является разделом механики сплошной среды, на законах сохранения которой и следствиях из них основаны математические модели фильтрации. В этом разделе изучаются такие важные теоретические и практические задачи, как добыча нефти и газа, вторичные методы добычи, например, вытеснение нефти водой и газом, приток подземных вод к колодцам и артезианским скважинам, загрязнение грунтов, очистка водопроводной воды в бытовых фильтрах, работа технологических устройств химической промышленности, течение межклеточных жидкостей биологических организмов и многие другие природные явления и технологические процессы. Фильтрационные расчеты играют важную роль при проектировании различного рода гидротехнических сооружений, в частности грунтовых дамб и бетонных плотин [2, 104]. В работе [2] представлен исторический очерк развития теории фильтрации. Ее начало было положено работой французского инженера Анри Дарси (1856 г.), который на основе многочисленных наблюдений по фильтрации в песчаных грунтах установил линейную пропорциональность расхода воды в скважинах градиенту напора. Полученное им соотношение затем было названо законом фильтрации или законом Дарси [168]. В настоящее время он записывается в виде линейной связи между скоростью фильтрации и градиентом давления. В эти же годы Ж. Дюпюи [170] первым начал теоретические исследования фильтрации, основанные на этом линейном законе, изложил гидравлическую теорию движения грунтовых вод, вывел расчетные формулы для потоков воды в различных гидротехнических сооружениях (плотины, дамбы, перемычки). Он рассматривал фильтрацию грунтовых вод из каналов и 70 осесимметричную фильтрацию к колодцам, глубина которых достигала горизонтального водоупора. Ф. Форхгеймер рассматривал более сложные задачи подземной гидравлики в случае горизонтального напора. Кроме них большой вклад в развитии теории напорного и безнапорного движения грунтовых вод внесли Ж. Буссинеск и Ч. Слихтер. Однако до 1889 г. общей теории и дифференциальных уравнений фильтрации не было. Первый шаг в этом направлении был проделан Н.Е. Жуковским, который вывел дифференциальные уравнения фильтрации из уравнений гидродинамики Л. Эйлера, предположив, что силы трения в этом случае можно считать массовыми силами [67]. Одним из основоположников отечественной школы теории фильтрации считается академик Н.Н. Павловский. Из его работ наиболее важное значение имеет труд «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и её основные приложения» (1922 г.), в котором предложены новые принципы проектирования гидротехнических сооружений. Также, в 20-х годах прошлого столетия появились работы академика Л.С. Лейбензона, посвящённые фильтрации нефти, газа и газированной жидкости. В 1934 г. была опубликована его монография, заложившая теоретические основы нефтегазовой гидромеханики, теории фильтрации нефти и газа [82, 83]. Существенный вклад в развитии теории и практики фильтрации, в частности, нефтегазопромысловой механики внесли Б.Б. Лапук [79, 80], Р.И. Нигматулин [96], П.И. Полубаринова-Кочина [104], И.А. Чарный [132, 139], С.А. Христианович [133, 134], В.Н. Щелкачёв [147, 147, 148, 149] и др. Подробное изложение общих вопросов теории движения жидкости и газа в пористых средах можно найти в монографиях Г.И. Баренблатта, В.М. Ентова и В.М. Рыжика [19, 20], К.С. Басниева с соавторами [21], Э.А. Бондарева c соавторами [40, 125], Ю.П. Желтова [66], Р. Коллинза [78], Л.И. Рубинштейна [115] и др. Основы теории движения газа в пористой среде заложил академик Л.С. Лейбензоном [82, 83], который обобщил уравнения несжимаемой 71 жидкости в пористой среде на течение газа и впервые получил дифференциальные уравнения нестационарной фильтрации совершенного газа, подчиняющейся закону Дарси. Несколько позже его уравнение изотермической фильтрации газа с постоянной вязкостью, совпадающее с уравнением Буссинеска для формы пологой поверхности депрессии при безнапорной фильтрации несжимаемой жидкости, также было получено американским физиком М. Маскетом [91]. С открытием крупных газовых месторождений начала интенсивно развиваться газовая промышленность, при этом появились многочисленные практические задачи, связанные с расчетами движения газа в пористых средах. В общей постановке задача разработки каждого газового месторождения как единого целого является чрезвычайно сложной, что привело к постановке многочисленных частных задач и разработке эффективных методов их решения. Возникла необходимость выявления и совершенствования источников информации о газоносном пласте. Определение параметров пласта из решения обратных задач потребовало возможно более полного описания работы отдельной газовой скважины с учетом ее реальных особенностей. Очень много исследований было посвящено изучению физических основ фильтрационного сопротивления, притока газа к несовершенной скважине, исследованию совместной работы группы скважин в замкнутом газовом пласте, определению параметров пласта по стационарным и нестационарным испытаниям скважин [19, 46, 107, 108]. Обработка результатов испытаний скважин для определения характеристик пласта проводилась в рамках математической модели изотермического притока совершенного газа к скважине [125]. Методы учета реальных свойств газа и сжимаемости пласта при обработке результатов испытаний скважин были разработаны В.Н. Николаевским с соавторами [99, 100]. В работах [80, 100] было показано, что реальные свойства газа необходимо учитывать при пластовых давлениях более 150 атм и депрессиях, составляющих более 10% от пластового давления. 72 Нелинейность соответствующих задач нестационарной фильтрации газа в изотермическом случае привела к широкому распространению приближенных методов их решения [125]. Создание быстродействующих вычислительных машин чрезвычайно расширило возможности и эффективность применения математических методов в теории фильтрации. С их помощью удалось получить решение многих задач подземной гидродинамики и разработки газовых месторождений [98, 125]. Однако до недавнего времени расчеты, необходимые для проектирования разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений основывались на использовании математических моделей изотермической фильтрации совершенного газа. Толчком к обобщению этих моделей на случай неизотермической фильтрации послужила практика разработки газоконденсатных месторождений. Довольно часто при этом оказывается, что наиболее ценным продуктом является не сам природный газ, а содержащийся в нем конденсат, то есть смесь жидких углеводородов, содержащих большое количество ароматических веществ, необходимых для производства очень многих химических продуктов. В пластовых условиях при высоких давлениях и температурах конденсат полностью растворен в газе, однако из-за особенностей термодинамического поведения этой смеси при отборе газа, которые приводят к снижению давления и температуры, конденсат начинает выделяться в жидкую фазу в самом пласте (ретроградная конденсация). В результате происходит безвозвратная потеря ценного продукта. Чтобы избежать этого, используется так называемый сайклинг-процесс. Он заключается в том, что после извлечения смеси и выделения из нее жидкой фракции так называемый сухой газ возвращается в пласт для поддержания пластового давления на уровне, превышающем точку начала конденсации. В результате сжатия газа компрессорами происходит его нагрев, поэтому при моделировании сайклингпроцесса необходимо использовать модель неизотермической фильтрации [98]. 73 Интерес к изучению гидротермодинамических процессов, происходящих при фильтрации влажного газа, еще больше возрос в связи с проблемой предупреждения гидратообразования [41]. Это потребовало создания модели, учитывающей взаимосвязь сложных гидро- и термодинамических процессов, происходящих при фильтрации, и привело к постановке связанных и сопряженных задач нестационарного тепло- и массопереноса в пористой среде. Для определения динамики влагообмена рассматривается квазистационарный процесс фильтрации, при котором явно от времени зависит только газонасыщенность, а давление и температура имеют стационарные распределения. При этом модельная задача о влагообмене в призабойной зоне пласта при стационарной неизотермической фильтрации газа сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно давления, температуры и влагонасыщенности. Решение связанной задачи необходимо для получения наиболее достоверной картины неустановившихся процессов, происходящих при фильтрации газа в продуктивных коллекторах, что весьма важно для решения инженерных задач разработки и эксплуатации газовых месторождений. Такой подход к решению нестационарных задач фильтрации даст возможность выявить неизвестные ранее эффекты взаимодействия полей температур, давлений и скоростей, внести некоторые поправки в ранее используемые приближенные методы исследования, откроет новые возможности в области использования термометрических исследований нефтяных и газовых залежей для определения важнейших параметров пласта и продуктивных характеристик скважин, позволит уточнить методы обработки результатов стационарных исследований скважин в низкопроницаемых коллекторах, используя современные вычислительные средства [125]. К сожалению, несмотря на наличие полной математической модели неизотермической фильтрации несовершенного газа, при проектировании сайклинг-процесса очень часто используется либо модель совершенного газа, либо вводятся поправки на несовершенство газа, но с осреднением 74 соответствующих термодинамических функций (коэффициента несовершенства и коэффициента дросселирования) во всем диапазоне изменения давления и температуры. Очевидно, что такой подход не только имеет ограниченное применение, но и методологически неприемлем, ибо не имеет никакого научного обоснования и не может быть систематизирован. С прикладной точки зрения он также не оправдан, ибо несовместим с современными тенденциями вовлечения в разработку газовых месторождений, расположенных на больших глубинах, то есть имеющих высокие давления и температуры. В данной главе исследуется влияние параметров математической модели и типа граничных условий на динамику полей давления и температуры при неизотермической фильтрации несовершенного газа. Вначале для сохранения единого методического подхода приводится вывод основных уравнений течения газа в пористых средах из монографии [125]. Затем на примере плоскопараллельных потоков газа в пористой среде приведена математическая постановка задачи неизотермической фильтрации несовершенного газа, на основе которой в дальнейшем выполнен анализ взаимного влияния термодинамики и поля скоростей фильтрации, а также – входных параметров математической модели в терминах граничных и начальных условий. 2.1. Система уравнений неизотермической фильтрации газа Основные уравнения теории фильтрации выводятся на основе фундаментальных законов сохранения. При этом роль уравнения движения играет закон Дарси, коэффициент проницаемости в котором следует рассматривать как феноменологический параметр модели. Замыкается система соответствующими уравнениями состояния [125]. Введение осредненных характеристик – одно из фундаментальных положений теории фильтрации. Из-за хаотической структуры порового пространства его и фильтрующуюся среду рассматривают как некоторую 75 сплошную среду с осредненными характеристиками. При этом размеры элементарного объема, по которому проводится осреднение, должны быть велики по сравнению с размерами пор. Основными осредненными характеристиками являются вектор скорости фильтрации w и давление p . Закон Дарси как раз и устанавливает связь между этими характеристиками. Различными исследователями [20] было показано, что он есть следствие предположений о безынерционности движения жидкости и об объёмном характере воздействия на нее сил вязкого трения [94]. В современной формулировке закон Дарси имеет вид k w grad p , (2.1.1) где k – коэффициент проницаемости пористой среды, – динамическая вязкость фильтрующейся среды. Скорость фильтрации связана с действительной скоростью движения жидкости или газа соотношением w m , (2.1.2) где m – пористость, определяемая как отношение объема пор к общему объему пористой среды. Уравнение неразрывности. Здесь приводится обобщение вывода, предложенного в монографии [84], на случай течения газа в пористой среде. Рассмотрим малый объём насыщенной газом пористой среды , масса газа в котором равна M . В соответствие с законом сохранения массы имеем d M d m 0 , dt dt где – плотность газа. (2.1.3) 76 Дифференцируя почленно уравнение (2.1.3), получим d m d m 0. dt dt Теперь, пользуясь определением дивергенции скорости движения газа как скорости относительного изменения объёма, в котором он находится, из последнего выражения будем иметь d m m div 0 . dt (2.1.4) Заменяя в уравнении (2.1.4) полную производную по времени через локальную и конвективную составляющие и используя соотношение grad m m div div m и формулу (2.1.2), придем к традиционной записи уравнения неразрывности в пористой среде m div w 0 . t (2.1.5) Так как сжимаемость газа обычно на несколько порядков превышает сжимаемость пористой среды, то изменением пористости можно пренебречь, и тогда уравнение (2.1.5) примет вид m div w 0 . t (2.1.6) 77 Уравнение движения. В результате экспериментального изучения движения воды через песчаные фильтры в середине прошлого века был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси. Этот закон применительно к нефтегазовым задачам записывается в виде (2.1.1). Многие исследователи считают его лишь частным случаем нелинейного закона, который описывается двучленной формулой вида [107] grad p Aw Bw2 . Коэффициент A определяется внутренним трением вязкого флюида и трением его о стенки поровых каналов, коэффициент B – преодолением инерционных сопротивлений, связанных с особенностями геометрической структуры пористой среды (числом сужений и расширений, различием в просветных площадях, степенью сжатия струек жидкости и др.). Нелинейный закон фильтрации используется редко и только лишь для изотермических задач. Это связано с трудностями определения коэффициента B . В дальнейшем будет использован закон Дарси, имеющий силу при следующих условиях – мелкозернистая пористая среда или достаточно узкие поровые каналы и малая скорость фильтрации. Уравнения неразрывности (2.1.6) и движения (2.1.1) совместно с уравнением состояния газа p обычно используются для расчета гидродинамического состояния пласта. При исследовании термодинамического состояния пласта эта система дополняется уравнением энергии. Уравнение энергии. При фильтрации благодаря огромной поверхности контакта жидкости (газа) и твердого скелета их температуры очень быстро выравниваются. Время выравнивания значительно меньше характерного времени фильтрации [115]. Разность температур между компонентами пористой среды может сыграть некоторую роль при исследовании быстро протекающих процессов, но при изучении гидротермодинамических явлений при эксплуатации нефтяных и газовых залежей обычно принимают за основу равенство температур породы и насыщающих ее жидкостей и газов. 78 Выделим некоторый объем пористой среды, ограниченный поверхностью S , и запишем для него уравнение энергетического баланса, пренебрегая кинетической энергией в силу ее малости: um u1 1 1 m d W Q 0 . t (2.1.7) Здесь u и u1 – соответственно удельные внутренние энергии газа и твердого коллектора (горных пород); 1 – плотность горных пород; Q – количество тепла, проходящего через поверхность S ; W – работа внешних сил. Перенос тепла через поверхность S обусловлен теплопроводностью и конвекцией Q wu q ndS , (2.1.8) S где первый член представляет собой конвективный перенос энергии; q r gradT – вектор плотности теплового потока за счет теплопроводности, r m 1 m1 – коэффициент теплопроводность газонасыщенной пористой среды, и 1 – коэффициенты теплопроводности газа и горных пород соответственно, n – вектор нормали. При определении работы внешних сил W не учитывается работа массовых сил, т.е. исключается случаи существенного влияния естественной конвекции. При подсчете работы сил, действующих по поверхности S , учитывается лишь работа нормальных напряжений (давления), т.к. в монографии [19] показано, что работой касательных напряжений можно пренебречь. Тогда W pnwdS div pwd . S 79 Подставляя полученные выражения в уравнение (2.1.7) и переходя от поверхностных интегралов к объёмным, получим, используя произвольность выбора объёма , um u1 1 1 m div uw r gradT div pw 0 . t (2.1.9) Удельная внутренняя энергия твердого скелета определяется выражением du1 c1dT , (2.1.10) где c1 – удельная теплоемкость твердого скелета (горных пород). Для записи уравнения энергии (2.1.9) через давление и температуру используем удельную энтальпию i u pV , (2.1.11) где V – удельный объем газа. Эта функция состояния может быть представлена в виде зависимости i f p, T . Тогда i i di dp dT . T p p T (2.1.12) Известно, что i T p c p . Из (2.1.11) имеем di du pdV Vdp или di Tds Vdp , где s – удельная энтропия. Отсюда, дифференцируя по параметру состояния i s p , получаем формулу T V . Затем, p T p T используя следующее из термодинамического потенциала Гиббса соотношение 80 s i V V , находим V T . Тогда равенство (2.1.12) T p T p p T p T примет вид V di c p dT V T dp . T p (2.1.13) Уравнение (2.1.9) с учетом (2.1.10) и (2.1.11) сводится к виду p m i c 1 m T iw r T 0. 1 1 t Теперь, подставляя производные энтальпии, определенные с учетом (2.1.13), и используя уравнение неразрывности (2.1.6), получим T T V p m c р T c1 1 1 m t T t t р V w c р grad T V T grad p div r grad T . T p (2.1.14) Вводя коэффициент адиабатического расширения газа и коэффициент Джоуля – Томсона T cр 1 V V , V T ср T p T p в уравнение (2.1.14), придем к уравнению энергии для пористой среды (2.1.15) 81 сr T p mc р wc р grad T grad p r 2T , t t (2.1.16) где объемная теплоемкость газонасыщенной пористой среды определяется по формуле сr mc р 1 mc1 1 . Запишем (2.1.16) в следующем виде: c р p T m п grad T grad p 2T , t cr t (2.1.17) где п wс р cr – скорость конвективного переноса тепла; r cr – коэффициент температуропроводности газонасыщенной пористой среды. В уравнении (2.1.17) первое слагаемое в правой части описывает изменение температуры за счет адиабатического расширения; второе – конвективный перенос тепла; третье – дросселирование газа; четвертое – изменение температуры за счет теплопроводных потоков. Уравнение (2.1.17) определяет поле температур в теплоизолированном пласте при фильтрации сжимаемой жидкости или газа. Система уравнений (2.1.1), (2.1.5) и (2.1.17) замыкается уравнением состояния несовершенного газа (1.2.6). Выпишем систему уравнений, определяющих гидротермодинамическое состояние теплоизолированного недеформируемого пласта: 0; m div w t k w grad p; T c р p cp m w grad T grad p 2T ; cr t cr t p RT , (2.1.18) 82 где адиабатический коэффициент и коэффициент дросселирования с учетом (1.2.6) рассчитываются по формулам RT T RT 2 . 1 , c p p T c p p T (2.1.19) Из соотношений (2.1.19) видно, что выбор вида аналитического представления уравнения состояния играет важную роль при описании термодинамических эффектов при фильтрации несовершенного газа. Например, легко показать, что если коэффициент несовершенства газа задать в виде уравнения Бертло (1.2.23), то из второй формулы (2.1.19) следует, что коэффициент дросселирования не будет зависеть от давления газа, а только от его температуры. Система определяющих дифференциальных уравнений (2.1.18), включающая в себя уравнения сохранения и уравнение состояния газа, называется связанной системой уравнений неизотермической фильтрации несовершенного газа. 2.2. Неизотермические эффекты при фильтрации несовершенного газа Для математического описания процесса нагнетания газа в теплоизолированный пласт через линейную галерею используется полная система уравнений, описывающая плоскопараллельную неизотермическую фильтрацию несовершенного газа (2.1.18), (2.1.19). Рассмотрены граничные условия, соответствующие двум основным технологическим режимам нагнетания газа: при заданном забойном давлении или при заданном массовом расходе различной интенсивности. Для плоскопараллельного потока система уравнений (2.1.18) может быть сведена к двум уравнениям температуры [45, 162, 163]: относительно безразмерных давления и 83 p t T p p , 0 x Lk , t 0 ; x T x (2.2.1) 2 T 2T T p c p p T p T p 2 1 , 0 x Lk , t 0 ; (2.2.2) t х T t R T x x T x где T pt kp cr T p x L , p , x , Lk , , p 0 , t 2 . Здесь кроме mp0 p0 l l p m l представленных в списке обозначений приняты: l – характерный размер, L – протяженность пласта, x – текущая координата. Нижний индекс 0 означает начальное состояние газоносного пласта. В дальнейшем черта над безразмерными переменными для удобства опускается. Предложенный вид безразмерных переменных удобен тем, что позволяет свести число безразмерных параметров системы уравнений к двум: 1) отношение коэффициента температуроводности к коэффициенту пьезопроводности; 2) отношение удельной теплоемкости газа к газовой постоянной. При нагнетании газа в отличие от отбора граничные условия на внутренней границе пласта могут быть заданы произвольно. Возможно задание либо постоянного расхода газа: где A p p A, x 0, t 0 , T x (2.2.3) m R M – безразмерный массовый расход; k Н p0 cr либо постоянного забойного давления: p pb , x 0, t 0 . (2.2.4) 84 Каждое из этих условий дополняется условием постоянства температуры нагнетаемого газа: T Tb , x 0, t 0 ; (2.2.5) а на внешней границе задаются условия непроницаемости пласта для фильтрующегося газа и тепловой изоляции: p T 0, 0, x Lk , t 0 . x x (2.2.6) В уравнениях (2.2.4) и (2.2.5) нижний индекс "b" означает на стенке нагнетательных скважин, образующих так называемую галерею. В начальный момент давление и температура считаются постоянными: px, 0 1, T x, 0 T0 , 0 x Lk . (2.2.7) В качестве уравнения состояния принимается уравнение (1.2.6), где коэффициент сжимаемости несовершенного газа (1.2.24) в безразмерных T и р имеет вид: p0 p pc mp p 0.17376 ln 0 T 0.73 0.1 0 p , pc crTc (2.2.8) где Tc , pc – критические параметры природного газа, который представляет собой смесь газов, в основном, парафинового ряда, начиная с метана, определяются по формулам (1.1.2). Газовая постоянная газовой смеси определяется по формуле: R 8.314 g , 85 n где молярная масса природного газа g yi gi находится как в п. 1.1. i 1 Фракционный анализ показал, что решение начально-краевой задачи (2.2.1) – (2.2.8) зависит от двух параметров , с p R , входящих в уравнение (2.2.2), от граничных условий (2.2.3) или (2.2.4), определяемых безразмерным массовым расходом A или постоянным забойным давлением p w , и от двух безразмерных комплексов mp0 сrTc , p0 pc , входящих в уравнение состояния. Численная реализация модели и ее алгоритм решения. Для решения начально-краевой задачи (2.2.1) – (2.2.8) введем равномерную пространственновременную сетку на прямоугольнике [0, Lk ] [0, t max ] : h h , h xi ih, i 0, n; h Lk n, t j j , j 0, j0 ; t max j0 , где h – шаг сетки по пространству, n – количество узлов сетки по координате x ; – шаг сетки по времени, j0 – максимальное число локальных итераций за расчетное время t max . Сеточные методы основаны на замене дифференциальных уравнений эквивалентными алгебраическими соотношениями, которые содержат значения функции в отдельных дискретных точках – узлах сетки. Эти соотношения могут быть получены заменой производных, входящих в дифференциальное уравнение, их приближенными выражениями через разности значений функций в узлах сетки. Исходное дифференциальное уравнение, таким образом, заменяется системой линейных алгебраических уравнений, начальные и граничные условия также заменяются разностными условиями для сеточной функции. В результате процесс решения сводится к выполнению несложных алгебраических операций. При формулировке разностных аппроксимаций обычно рассматриваются все пространственные узлы на нескольких прямых, соответствующих соседним значениям временной сетки (временным слоям). Процесс решения разностной задачи представляет определение значений искомой функции на всех 86 временных слоях, исходя из известного начального ее распределения. С такой точки зрения разностная схема есть рекуррентное соотношение, связывающее соседние временные слои. Как известно, явные разностные схемы почти всегда не пригодны для численного решения краевых задач параболического типа (2.2.1) – (2.2.2) из-за того, что они устойчивы лишь при неоправданно малых шагах временной сетки. Поэтому широкое распространение получили неявные разностные схемы. Вводя обозначения pxi , t j pij и T xi , t j Ti j , заменим давление и температуру их численными аналогами в узлах сетки. Аппроксимируем уравнения системы (2.2.1) и (2.2.2) чисто неявной, следовательно, абсолютно устойчивой разностной схемой, полученной при помощи метода баланса [117, 119]: s j s 1 j 1 pi pi s j 1 s j 1 s j s j i T i i T i s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s s 1 p i 1 p i p p ki i 2 i 1 , i 1, n 1, j 0, j0 1 ; k i 1 2 h h (2.2.9) s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s s 1 j 1 1 T i 1 2 T i T i 1 T i 1 T i 1 T i T i p i pi bi di T i , 2 h 2 h s 1 j 1 s j s 1 j 1 s j s (2.2.10) где s – порядок итерации. Эти разностные уравнения имеют погрешность аппроксимации O h 2 . Разностные аналоги граничных условий (2.2.3) и (2.2.6) записывались со вторым порядком аппроксимации. Чтобы получить разностную схему для внутренней границы i 0 уравнение элементарной (2.2.1) в при постоянном расходе газа, интегрируем ячейке 0, h 2 t j , t j1 . Тогда для постоянного расхода газа разностный аналог граничного условия (2.2.3) имеет вид: 87 s j s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s p0 p1 p 0 p0 h s j 1 s j 1 s j s j k 1 A , j 0, j0 1 ; 2 h 0 T 0 0 T 0 (2.2.11) а для постоянного давления (2.2.4): s 1 j 1 p 0 pb , j 0, j0 1 . (2.2.12) Для температуры на забое скважины (2.2.5) s 1 j 1 T 0 Tb , j 0, j0 1 (2.2.13) i n Для разностной аппроксимации условий на внешней границе интегрируем уравнения xn h 2 , xn t j , t j 1 . (2.2.1) Используя и (2.2.2) граничные в элементарной условия (2.2.6), ячейке получим следующие разностные уравнения: s j s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s pn p n p n1 pn h s j 1 s j 1 s j s j k n , j 0, j0 1 ; 2 h n T n n T n (2.2.14) s 1 j 1 s j s s 1 j 1 s j s 1 j 1 s 1 j 1 s s 1 j 1 s 1 j 1 T n Tn T n T n1 T n T n1 h s s 1 j 1 p n pn h cn 2 bn 2 d n T n . (2.2.15) h 2 Начальные условия (2.2.7) аппроксимируем в виде s 0 s 0 p i 1 , T i T0 , i 0, n . (2.2.16) В соотношениях (2.2.9) – (2.2.15) приняты следующие обозначения: 88 s j 1 s ki p i 1 2 s j 1 s j 1 s j 1 s j 1 , p i 1 2 i 1 2 T i 1 2 s bn s 1 j 1 cp s 1 j 1 p R n s j 1 s j 1 n T n s j 1 s j 1 s j 1 s j 1 p i 1 p i T i 1 T i , T i 1 2 2 2 s 1 j 1 p n p n1 h j 1 s s 1 , d i j 1 s T i i j 1 1 d n j 1 s T n n s s s , bi s 1 j 1 cp R s 1 j 1 pi s j 1 s j 1 i T i s 1 j 1 p i 1 p i 1 , 2h s 1 j 1 s 1 j 1 2 s 1 j 1 s 1 j pi pi p i 1 p i 1 , 2 h s 1 j 1 s 1 j 1 2 s 1 j 1 s 1 j pn pn p n p n1 . h s Видно, что разностный аналог параметра k i вычисляется как некоторое среднее значение функции в пределах ячейки. s 1 j 1 Распределения давления p i s 1 j 1 и температуры T i определяются из системы линейных алгебраических уравнений (2.2.9) и (2.2.10), которые имеют неособую трехдиагональную матрицу, что позволяет решать их методом прогонки. Пусть известно распределения давления и температуры на j -м временном слое и требуется определить распределение температур на ( j 1) -м временном слое. Тогда разностные уравнения решаются методом простой итерации с применением алгоритма прогонки [74, 127]. При этом процесс итерации повторяется до тех пор, пока не достигается наперед заданная точность. Таким образом, для численной реализации разностной задачи (2.2.9) – (2.2.16) воспользуемся методом простых итераций. Итерационный процесс организуем следующим образом: 0 j 1 1. Задаем начальное приближение: для s 0 p i s j 1 s 1 pi s 1 j 1 s j 1 pi , Ti s 1 j 1 T i , i 0, n. 0 j 1 pi , T i j Ti j ; для 89 2. Методом прогонки решается линеаризованная система трехточечных s 1 j 1 алгебраических уравнений (2.2.9) относительно неизвестных p i в узлах пространственной сетки при i 0, n : s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 p 0 pb или C0 p 0 B0 p 1 F0 ; s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 Ai p i 1 Ci p i Bi p i 1 Fi , i 1, n 1; s 1 j 1 s 1 j 1 An p n1 Cn p n Fn . Решение данной системы уравнений будем искать в виде s 1 j 1 pi s 1 j 1 i p i 1 i , i n 1, 1, где i , i – прогоночные коэффициенты, определяемые по формулам: 0 0, 0 pb или 0 B0 С0 , 0 F0 C0 ; Bi A Fi , i i i 1 , i 1, n 1; i C A C A i i i 1 i i i 1 s 1 j 1 F A n n 1 pn n ; C n An n1 s s где Ai ki , h2 An s Ci 1 s j 1 s j 1 i T i kn , h s B0 s k1 , h Bi s k i 1 k i , Cn h2 h2 h s j 1 s j 1 2 n T n k i 1 , h2 s C0 s s j h kn , F0 2 h p0 s j s j 0 T 0 h s j 1 s j 1 2 0 T 0 A, k1 , h 90 s j Fi s j pi s j s j i T i , Fn h 2 pn s j s j . n T n 3. Аналогично методом прогонки при найденных значениях давления решаются разностные уравнения для температуры (2.2.10) относительно s 1 j 1 неизвестных T i при i 0, n : s 1 j 1 T 0 Tb ; s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 Ai T i 1 Ci T i Bi T i 1 Fi , i 1, n 1; s 1 j 1 s 1 j 1 An T n1 Cn T n Fn . Решение данной системы уравнений также ищем в виде s 1 j 1 Ti s 1 j 1 i T i 1 i , i n 1, 1. Здесь прогоночные коэффициенты определяются по формулам: 0 0, 0 Tb ; Bi A Fi , i i i 1 , i 1, n 1; i C A C A i i i 1 i i i 1 j 1 s 1 F An n1 T n n ; C n An n1 s s s bi bn bi 1 2 s где Ai 2 , An , Bi 2 , Ci 2 d i , 2h h 2 2h h h h 91 s h h s bn 1 s j s j 1 s j h s j s j 1 s j Cn d n , Fi T i p i p i , Fn T n p n p n ; 2 2 h 2 2 4. s 1 j 1 Проверяется s j 1 max p i p i i 0,n выполнение s 1 j 1 s j 1 1 , max T i T i i 0, n условий сходимости итераций: 2 , где 1 и 2 – бесконечно малые величины. Если эти условия не выполняются, то s увеличиваем на единицу и s j 1 возвращаемся к пункту 1, а если выполняются, то за p i s 1 j 1 pi s j 1 и Ti принимаем s 1 j 1 и T i , и переходим к следующему временному слою. Вычислительный эксперимент и обсуждение результатов. В вычислительном эксперименте изучалось влияние температуры нагнетаемого газа и его уравнения состояния на динамику изменения температуры и давления в пласте в режиме заданного массового расхода или постоянного давления на забое скважины, то есть, соответственно, при граничном условии (2.2.3) или (2.2.4). Влияние параметров, входящих в сами дифференциальные уравнения и в уравнение состояния можно оценить следующим образом. Параметр зависит от коэффициентов температуро- и пьезопроводности, т.е. от характеристик газоносного пласта (теплофизических свойств r и с r , коэффициента проницаемости k , пористости m , начального давления p0 ) и вязкости газа . Варьируя эти величины можно оценить степень их влияния на динамику температурного поля и поля давления, при этом оставляя коэффициент постоянным. Так же можно оценить влияние параметров с p R и mp0 crTc . Выполнены серии численных расчетов, в которых постоянными оставались: начальные пластовые температура ( Т 0 283.33 К) и давление ( p0 100 атм), критические температура ( Tc 200 К) и давление ( pc 45.7 атм) газа. Вычисления проводились при следующих значениях остальных параметров: Lk 100 м, l 1 м, n 1000 , h 0.1 м, 0.2 , радиус 92 одной скважины rb 0.1 м, m 0.2 , k 10 13 м2, H 10 м, 2 10 5 Пас, R 520 Дж/(кгК), c p 2600 Дж/(кгК), cr 610 6 Дж/(м3К). При этих данных также постоянными оставались параметры сr mp0 3 , с p R 5 и 0.4 . Газ считался либо совершенным ( 1 ), либо несовершенным. При этом температура нагнетаемого газа Tw считалась либо равной начальной температуре пласта, либо равной 333.33 K. Параметр A , являющийся безразмерным массовым расходом газа, принимал значения 0.0000342 или 0.0001711, соответствующие 1 кг/с и 5 кг/с. В режиме постоянного давления на забое скважин оно выбиралось таким образом, чтобы обеспечить указанные значения параметра A , а именно pb 240 атм и pb 550 атм. Проанализируем результаты вычислений, представленные на рис. 2.2.1 – 2.2.4 (всюду используется безразмерное время), где сравнивается поведение совершенного и несовершенного газа для нагнетания с постоянным массовым расходом. Вначале рассмотрим случай сравнительно малого массового расхода, когда параметр А 0.0000342 . Если при этом температура нагнетаемого газа равна начальной температуре пласта (первый вариант), то ее распределение от точки нагнетания до границы пласта для совершенного и несовершенного газов носит немонотонный характер (кривые 1 – 4 на рис. 2.2.1а). Это объясняется преобладанием различных механизмов теплообмена (эффект Джоуля-Томсона, конвекция, адиабатическое расширение и теплопроводность). Температура несовершенного газа немного превышает температуру совершенного газа. Видно, что температурные изменения в пласте незначительные – составляют доли градуса. Если же температура нагнетаемого газа больше начальной пластовой (второй вариант, Т b 333.33 К), то она с самого начала изменяется монотонно (рис. 2.2.1б), и характер соответствующих кривых свидетельствует о преобладающем кондуктивном переносе тепла. Температура газоносного пласта с течением времени практически всюду возрастает. 93 Рисунок 2.2.1. Распределение температуры газа при малом расходе для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – t 400 ; 2, 4 – t 1600 На рис. 2.2.2 представлены изменения температуры во времени. Для первого варианта на значительном удалении от нагнетательной галереи (50 м) температура обоих газов монотонно возрастает (кривые 2 и 4 на рис. 2.2.2а). При более близком расстоянии от точки нагнетания (10 м) температура обоих газов вначале растет, а затем начинает выходить на стационарный режим (кривые 1 и 3 на рис. 2.2.2а). Во втором варианте распределение температуры для обоих газов также практически одинаково (рис. 2.2.2б). Различие между кривыми невелико, что объясняется не очень большой величиной начального пластового давления при данной температуре нагнетания. В режиме нагнетания с постоянным массовым расходом реальные свойства газа оказывают небольшое влияние на распределение и динамику давления (рис. 2.2.3 и рис. 2.2.4). Видно, что давление несовершенного газа получается немного ниже, чем давление совершенного газа. Характер изменения давления для этих двух вариантов отличается незначительно. Следует отметить, что резко возрастает давление на забое нагнетательных скважин: примерно в 1.5 раза за t 200 (кривые 1 и 3 на рис. 2.2.3) и примерно в 2 раза за весь период нагнетания (кривые 2 и 4 на рис. 2.2.3). В то же время на 94 внешней границе пласта давление возрастает примерно на 15% для первого варианта (кривые 2 и 4 на рис. 2.2.4а) и на 20% для второго варианта (кривые 2 и 4 на рис. 2.2.4б). Рисунок 2.2.2. Динамика температуры газа при малом расходе для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – x 10 м; 2, 4 – x 50 м Рисунок 2.2.3. Распределение давления газа при малом расходе для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – t 200 ; 2, 4 – t 1600 95 Рисунок 2.2.4. Динамика давления газа при малом расходе для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – x 20 м; 2, 4 – x 100 м Теперь оценим влияние интенсивности нагнетания на динамику полей температур и давления, т.е. сравним результаты вычислений, выполненных для двух значений массового расхода газа 1 кг/с и 5 кг/с. Сравнение выполним для несовершенного газа. Для первого варианта соответствующие кривые приведены на рис. 2.2.5а – 2.2.8а, а для второго варианта – на рис. 2.2.5б – 2.2.8б. Видно, что влияние темпа закачки газа на динамику температурного поля наиболее существенно для первого варианта, когда температура нагнетаемого газа равна пластовой температуре (сравни соответствующие кривые на рис. 2.2.5а и рис. 2.2.6а). Температура газа и темп ее изменения возрастают с увеличением массового расхода, хотя качественные характеристики динамики температурного поля при этом сохраняются. Эта же тенденция прослеживается и во втором варианте расчета, но влияние темпа нагнетания на поле температур менее значительно, чем в первом варианте. Следует обратить особое внимание на рис. 2.2.5 и рис. 2.2.6, где хорошо заметна возрастающая роль конвективного переноса тепла при увеличении темпов нагнетания газа. Как и в работе [98] эти рисунки показывают, что 96 температура газа на внешней границе пласта со временем возрастает и эта тенденция усиливается с ростом параметра A . Рисунок 2.2.5. Распределение температуры несовершенного газа для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – малый расход; 3, 4 – большой расход; 1, 3 – t 400 ; 2, 4 – t 1600 Рисунок 2.2.6. Динамика температуры несовершенного газа для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – малый расход; 3, 4 – большой расход; 1, 3 – x 10 м; 2, 4 – x 50 м 97 Рисунок 2.2.7. Распределение давления несовершенного газа для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – малый расход; 3, 4 – большой расход; 1, 3 – t 200 ; 2, 4 – t 1600 Рисунок 2.2.8. Динамика давления несовершенного газа для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – малый расход; 3, 4 – большой расход; 1, 3 – x 20 м; 2, 4 – x 100 м В то же время увеличение расхода нагнетаемого газа в 5 раз мало влияет на относительное перераспределение давления за исключением области вблизи скважин. Под понятием "относительное" подразумевается, что характер 98 функциональных зависимостей не изменяется, тогда как абсолютные величины давления газа и темпы его роста значительно возрастают (соответствующие кривые на рис. 2.2.7 и рис. 2.2.8). Перейдем к анализу результатов вычислительного эксперимента, полученных для режима фильтрации газа при постоянном давлении на забое скважин (рис. 2.2.9 – 2.2.12). Заметны существенные различия в характере изменения температуры и давления по сравнению с предыдущим режимом фильтрации для первого варианта расчета ( Tb T0 ), тогда как для второго варианта ( Tb T0 ) и распределение, и динамика температуры и давления в этом режиме и режиме постоянного массового расхода практически совпадают (сравни рис. 2.2.1, 2.2.5 и 2.2.9, рис. 2.2.2, 2.2.6 и 2.2.10, рис. 2.2.4, 2.2.8 и 2.2.12). Рисунок 2.2.9. Распределение температуры газа при pb 240 атм (а, б), pb 550 атм (в, г) для первого (а, в) и второго (б, г) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – t 200 ; 2, 4 – t 1600 99 Однако при качественном сходстве количественные различия весьма существенны и, более того, они зависят от параметров модели, отражающих термодинамику несовершенного газа. Так, при всех значениях параметров для режима с постоянным забойным давлением несовершенный газ нагревается сильнее, чем в режиме с постоянным массовым расходом (сравни рис. 2.2.1, 2.2.5 и 2.2.9, рис. 2.2.2, 2.2.6 и 2.2.10). Скорость продвижения температурного фронта будет выше, что вызывает более интенсивное повышение температуры на внешней границе пласта. Рисунок 2.2.10. Динамика температуры газа при pb 240 атм (а, б), pb 550 атм (в, г) для первого (а, в) и второго (б, г) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – x 10 м; 2, 4 – x 50 м 100 Температура несовершенного газа немного превышает температуру совершенного газа. С ростом давления нагнетания холодного газа эта разница увеличивается с удалением от нагнетательной галереи (рис. 2.2.9а, 2.2.9в и рис. 2.2.10а, 2.2.10в), а при нагнетании нагретого газа разница незначительна. Температура обеих газов вблизи точки нагнетания немонотонно зависит от времени: вначале она возрастает, а затем монотонно убывает за счет адиабатического расширения газа (кривые 1 и 3 на рис. 2.2.10а, 2.2.10в). При больших депрессиях температурные изменения в пласте могут быть значительными (сравни рис. 2.2.9а, 2.2.9в и рис. 2.2.10а, 2.2.10в). Рисунок 2.2.11. Распределение давления газа при pb 240 атм (а, б), pb 550 атм (в, г) для первого (а, в) и второго (б, г) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – t 200 ; 2, 4 – t 1600 Очень важно отметить, что в режиме постоянного забойного давления различия в динамике перераспределения давления в пласте для совершенного и 101 несовершенного газов возрастают по сравнению с режимом постоянного дебита (сравни рис. 2.2.4 и 2.2.12). В работе [98] также получено, что в этом режиме давление распределено более равномерно (сравни рис. 2.2.3, 2.2.7 и 2.2.11). Понятно, что это объясняется его фиксацией в точке нагнетания х 0 (на забое галереи скважин). С увеличением депрессии расхождение полей давления между совершенным и несовершенным газом растет (рис. 2.2.11 и 2.2.12). Рисунок 2.2.12. Динамика давления газа при pb 240 атм (а, б) и pb 550 атм (в, г), для первого (а, в) и второго (б, г) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – x 20 м; 2, 4 – x 100 м На рис. 2.2.13 и 2.2.14 представлены динамики давления на забое при постоянных значениях расхода и динамики дебита нагнетаемого газа при постоянных значениях забойного давления. Прежде всего, отметим, что в полном соответствии с физическим содержанием процесса давление на забое 102 скважин при постоянном темпе нагнетания растет, причем эта тенденция усиливается с ростом дебита (рис. 2.2.13). Для малых темпов нагнетания небольшой период роста сменяется выходом давления на забое на почти горизонтальную асимптоту, тогда как для больших темпов нагнетания период роста давления очень велик. Рисунок 2.2.13. Динамика забойного давления при постоянном дебите для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; 1, 3 – малый расход; 2, 4 – большой расход Во-вторых, темп нагнетания со временем падает, причем вначале это падение происходит очень резко, а затем замедляется, в результате чего зависимость At выходит на асимптоту, близкую к горизонтальной (рис. 2.2.14). Из сравнения кривых на двух последних рисунках следует, что расход газа стабилизируется гораздо быстрее, чем давление на забое. Полученные результаты полностью согласуются с результатами работы [98]. Следует отметить, что очень важным для практических приложений является то обстоятельство, что по всем показателям режим с постоянным давлением на забое является более энергоемким, чем режим с постоянным массовым расходом. 103 Рисунок 2.2.14. Динамика безразмерного массового расхода при постоянном давлении нагнетания: 1, 3 – pb 240 атм; 3, 4 – pb 550 атм; 1, 2 – совершенный газ; 3, 4 – несовершенный газ; температура Т b 333.33 К Далее для выявления роли различных факторов в изучаемом процессе оценим влияние на поле температуры и давления составляющих уравнения энергии (2.2.2): кондуктивной и конвективной составляющих, а также дросселирования. При пренебрежении теплопроводностью, параметр в вычислительной программе принимается 0 . Он характеризует отношение скоростей (времен) переходных процессов при распространении возмущений температуры и давления. В большинстве практически интересных случаев этот параметр очень мал (порядка 10–6), однако так как он стоит при старшей производной по пространственной переменной, его влияние все же будет проявляться в узкой зоне (пограничном слое) вблизи движущегося фронта возмущения. В режиме нагнетания газа с постоянным малым расходом и температурой равной начальной пластовой при пренебрежении теплопроводностью немонотонный характер изменения температуры сохраняется, но температура вблизи забоя скважин возрастает больше и сдвиг температурного фронта замедляется (сравни поверхности 1 и 2 на рис. 2.2.15а). Это отставание фронта 104 отчетливо видно на рис. 2.2.15б, т.е. в случае нагнетания нагретого газа. При этом температура на внешней границе пласта остается практически неизменной. С увеличением массового расхода температурные поля имеет такой же вид, как на рис. 2.2.15, но сама температура и ее темп изменения возрастают. Аналогичные результаты получены для режима фильтрации газа при постоянном давлении (рис. 2.2.16). Рисунок 2.2.15. Температурные поля несовершенного газа при M 1 кг/с для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1 – с учетом теплопроводности; 2 – без учета теплопроводности Рисунок 2.2.16. Температурные поля несовершенного газа при постоянном давлении нагнетания pb 240 атм для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1 – с учетом теплопроводности; 2 – без учета теплопроводности 105 Вычисления также показали, что для первого варианта нагнетания отсутствие кондуктивной составляющей не влияет на поле давления. В то же время для второго варианта при малом расходе за весь период нагнетания разница между давлениями с учетом и без учета теплопроводности составляет 20 атм на забое скважин и 10 атм на внешней границе пласта. Конечно, с увеличением интенсивности нагнетания эта разница растет. Для того чтобы выявить влияние конвективной составляющей в вычислительной программе было принято с p R 0 . На рис. 2.2.17 и 2.2.18 представлены соответствующие температурные поля при реальном значении параметра 0.001 . Для обоих режимов нагнетания видно, что учет конвекции, как следует из физических соображений, ведет к ускорению температурного фронта (поверхности 1 и 2 на рис. 2.2.17 и 2.2.18). В то же время влияние конвекции на поле давления оказывается несущественным. Рисунок 2.2.17. Температурные поля несовершенного газа при постоянном расходе нагнетания M 5 кг/с для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1 – с учетом конвекции; 2 – без учета конвекции 106 Рисунок 2.2.18. Температурные поля несовершенного газа при постоянном давлении нагнетания pb 550 атм для первого (а) и второго (б) вариантов расчета: 1 – с учетом конвекции; 2 – без учета конвекции На рис. 2.2.19 показано, что из-за эффекта Джоуля-Томсона температура газа в первом режиме нагнетания понижается (поверхность 1), тогда как для второго режима это понижение незначительно, т.к. в тепловом балансе доминируют кондуктивная составляющая и адиабатическое расширение. Рисунок 2.2.19. Температурные поля несовершенного газа для первого варианта расчета при постоянном расходе M 5 кг/с (а) и давлении pb 550 атм (б): 1 – с учетом дросселирования; 2 – без учета дросселирования Из приведенных результатов следует, что особенности термодинамических процессов при фильтрации несовершенного газа следует 107 изучать совместно с процессами переноса газа фильтрационным потоком, ибо только в этом случае можно увидеть их взаимозависимость. В настоящем исследовании это проявилось в том влиянии, которое оказывает теплопроводность на изменении температуры за счет эффекта дросселирования (Джоуля-Томсона) и адиабатического расширения (сжатия) газа. Разработанная эта математическая модель и вычислительный алгоритм могут дать возможность с достаточной степенью точности прогнозировать изменения температуры и давления в газоносном пласте. 2.3. Вычислительный эксперимент в задачах добычи природного газа Для математического описания отбора газа через одиночную скважину, расположенную в центре круговой залежи, воспользуемся системой уравнений, описывающей неизотермическую фильтрацию несовершенного газа в пористой среде, в которой перенос энергии за счет теплопроводности считается пренебрежимо малым по сравнению с конвективным переносом [45, 125, 162, 163]. По аналогии с предыдущим параграфом сведем исходные уравнения неизотермической фильтрации в осесимметричной постановке к безразмерным уравнения относительно давления и температуры газа: p 1 p p r , rb r rk , t 0 , t T r r T r (2.3.1) 2 T T p c p p T p T p , rb r rk , t 0 , (2.3.2) 1 t T t R T r r T r где r r l , rb rb l , rk rk l . В дальнейшем черта над безразмерными переменными для удобства опускается. В работе [98] показано, что с точки зрения технологии добычи режим отбора с постоянным давлением на забое скважины наиболее благоприятен, т.к. он обеспечивает более равномерное распределение давления по сравнению с 108 режимом постоянного дебита. Тем самым на забое скважины задается постоянное давление газа p pb , r rb . (2.3.3) На контуре питания задаются условия, моделирующие отсутствие потоков фильтрующегося газа и тепла, то есть моделируется водонапорный режим отбора газа: p T 0, 0, r rk . r r (2.3.4) В начальный момент времени давление и температура считаются постоянными: pr , 0 1, T r , 0 T0 , rb r rk . (2.3.5) В качестве уравнения состояния принимается уравнение ЛатоноваГуревича (2.2.8). Следует отметить, что в данной постановке температура газа на забое скважины (при r rb ) является искомой величиной, определяемой в ходе решения задачи, а уравнение (2.3.2) является квазилинейным гиперболическим уравнением первого порядка. Характеристики данного уравнения выходят из правой границы, поэтому граничного условия отсутствия теплового потока (2.3.4) достаточно для определения его единственного решения. Кроме вычисления температуры и давления определялось общее t количество добываемого газа V A(t )dt , где безразмерный массовый расход 0 109 A p p выражается через размерные величины следующим образом T r r rb A m R M . 2 kH p0 cr Для решения начально-краевой задачи (2.3.1) – (2.3.6), заменяя искомые функции их численными аналогами в узлах сетки pri , t j pij и T ri , t j Ti j , аппроксимируем уравнение (2.3.1) чисто неявной абсолютно устойчивой разностной схемой, которая была выведена для случая выше рассмотренной плоскопараллельной задачи: s j s 1 j 1 pi pi s j 1 s j 1 s j s j i T i i T i s 1 j 1 s 1 j 1 s s 1 j 1 s 1 j 1 s ri p i 1 p i p i p i 1 k i k i 1 , i 1, n 1, j 0, j0 1, 2 2 h h (2.3.6) где – шаг сетки по времени t j j , j 0, j0 , h – шаг сетки по пространству h ri rb ih, i 0, n . Разностная аппроксимация граничного условия (2.3.3) имеет вид s 1 j 1 p 0 pb , j 0, j0 1. (2.3.7) Разностный аналог первого граничного условия (2.3.4) записывается со вторым порядком аппроксимации. Чтобы получить разностную схему для внешней границы i n , интегрируем уравнение (2.3.1) в элементарной ячейке rn h 2 , rn и находим s j s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s pn p n hrn p p n1 kn n , j 0, j0 1. s j 1 s j 1 s j s j 2 h n T n n T n (2.3.8) 110 Поскольку функция T r , t является достаточно гладкой, то уравнению (2.3.2) целесообразно поставить в соответствие безусловно устойчивую неявную разностную схему «уголок» [127]: s 1 j 1 s j Т i Тi 1 ai Т i s s 1 j 1 s 1 j 1 s j s s 1 j 1 s 1 j 1 s s 1 j 1 p i p i T i 1 T i bi di T i , h (2.3.9) i 0, n 1, j 0, j0 1. С учетом условия (2.3.4) для внешней границы i n получим схему s 1 j 1 s j Т n Тn s s 1 j 1 1 an Т n s1 j 1 s j s s1 j 1 p n p n d n T n , j 0, j0 1. (2.3.10) Начальные условия аппроксимируем в виде s 0 s 0 p i 1, T i T0 , i 0, n. (2.3.11) В соотношениях (2.3.6) – (2.3.10) приняты следующие обозначения: s j 1 s ki ri 1 / 2 p i 1 2 s j 1 s j 1 Zi 1 2 T i 1 2 , ri 1 2 s j 1 s j 1 s j 1 p pi ri 1 ri , p i 1 2 i 1 2 2 2 s j 1 , T i 1 2 s j 1 s j 1 T i 1 T i 2 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s s 1 j 1 s 1 j 1 s s s s c p p p p p i 1 1 p i 1 i i 1 ai j 1 , d i ai i 1 b , , i s R s j 1 s j 1 2h 2h T i i i T i , 111 2 j 1 s s 1 j 1 s 1 j 1 s s s p p n1 1 an j 1 , d n a n n . s h T n n Для численной реализации разностной задачи (2.3.6) – (2.3.11) на каждом временном слое используется метод простых итераций. При этом итерационный процесс проводится следующим образом: 0 j 1 а) задается s 0 , p i 0 j 1 pi , T i j Ti j , i 0, n ; б) методом прогонки решается линеаризованная система трехточечных алгебраических уравнений (2.3.6) – (2.3.8) относительно неизвестных значений s 1 j 1 давления в узлах пространственной сетки p i , i 0, n : s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 p 0 p w ; Ai p i 1 Ci p i Bi p i 1 Fi , i 1, n 1 ; An p n1 C n p n Fn ; s где Cn Ai s ki , h2 Bi k i 1 , h2 s Ci k i k i 1 h2 h2 s s j kn h pn h rn s j 1 s j 1 2 n T n , Fn h rn 2 s j s s j s j r i j 1 s s j 1 i T i , Fi ri p i s j s j i T i s , An kn , h ; n T n в) при найденных значениях давления определяется распределение температуры по рекуррентным формулам из (2.3.10) и (2.3.9): s 1 j 1 Тn s 1 j s 1 j 1 s 1 j Т n p n p n s 1 j 1 s 1 j s s 1 pn pn an dn ; 112 s 1 j 1 Тi s 1 j s 1 j 1 s 1 j Т i pi pi г) s s 1 j 1 T i 1 bi h проверяются s 1 j 1 s j 1 max р i р i i 0,n s 1 j 1 s 1 j s 1 pi pi ai выполнения s 1 j 1 s j 1 1 , max Т i Т i i 0, n условий s bi s d i , i n 1, 0 ; h сходимости итераций: 2 . Если они не выполняются, то s увеличиваем на единицу и возвращаемся к пункту б), а если выполняются, то переходим к следующему временному слою. В вычислительном эксперименте изучалось влияние давления на забое скважины pb , то есть влияние интенсивности отбора газа, на динамику изменения температуры и давления в пласте. Кроме этого, оценивалось влияние часто используемого предположения о изотермичности процесса фильтрации на поле давления и на суммарную добычу газа [29]. Приведем результаты расчетов, выполненных для Мессояхского месторождения, которое выбрано в качестве примера из-за многочисленных предположений о наличии в нем гидратов природного газа. Были приняты следующие pb 5.3 МПа реальные значения исходных параметров: pb 6.3 МПа, при cr mp0 3.415 1/К, этом начальная неизменными пластовая оставались: температура и сp R 5.278 , Т 0 282.91 K и начальное пластовое давление p0 6.8 МПа. Критические параметры газа Tc 191.202 K и pc 4.6893 МПа были определены по формулам (1.1.2) по известному составу (см. табл. 1.1.1, последний столбец). Вычисления показали, что изменения поля температур существенны только при интенсивном воздействии на газоносный пласт, когда pb 5.3 МПа. Однако даже в этом случае они локализованы в узкой зоне вблизи скважины, что хорошо видно на рис. 2.3.1. При малых значениях безразмерного времени t эта зона не превышает 3 м (кривая 1 на рис. 2.3.1), а в остальной части пласта температура равна начальной. В конце вычислительного процесса резкое 113 понижение температуры происходит на расстоянии 4 м от забоя, а далее она почти постоянна и незначительно ниже начальной (кривая 2 на рис. 2.3.1). Рисунок 2.3.1. Распределение температуры при pb 5.3 МПа: 1 – t 5000 ; 2 – t 1600000 Рисунок 2.3.2. Динамика температуры при pb 5.3 МПа: 1 – r 0.1 м; 2 – r 0.3 м; 3 – r 10.1 м Более детальный анализ результатов показывает, что на забое скважины температура вначале резко понижается (в приведенном примере это понижение составило 1.3 К), а затем начинает восстанавливаться (кривая 1 на рис. 2.3.2). 114 Такая же тенденция прослеживается и на небольшом расстоянии от забоя, но здесь понижение температуры составило уже 0.8 К (кривая 2 на рис. 2.3.2). Однако уже на достаточном расстоянии (10 м) наблюдается лишь незначительное понижение температуры со временем (кривая 3 на рис. 2.3.2). Теперь перейдем к оценке влияния поля температур на динамику изменения поля давления. Из физических соображений очевидно, что величина давления в точке отбора газа должна наиболее существенно определять его пространственные изменения во времени. Это хорошо видно на рис. 2.3.3, где сравниваются два варианта значений давления на забое при прочих равных условиях. Видно, что при интенсивном воздействии на пласт давление существенно изменяется во всех точках пласта, тогда как при малой депрессии эти изменения затрагивают только узкую зону вблизи скважины даже при больших значениях безразмерного времени. Рисунок 2.3.3. Поле давления: 1 – pb 5.3 МПа, 2 – pb 6.3 МПа Для детального анализа роли температурного поля в динамике распределения давления проанализируем кривые, представленные на рис. 2.3.4 и рис. 2.3.5. Видно, что это влияние невелико даже при интенсивном отборе газа, то есть, при pb 5.3 МПа, и приводит к незначительной недооценке 115 снижения давления всего на 0.01 МПа (сравни кривые 1, 2 и 3, 4 на рис. 2.3.4а; кривые 1 и 2 на рис. 2.3.5а). Аналогичная ситуация имеет место и при отборе газа с гораздо меньшей интенсивностью (сравни кривые 1, 2 и 3, 4 на рис. 2.3.4б; кривые 1 и 2 на рис. 2.3.5б). Рисунок 2.3.4. Распределение давления (сплошные кривые – неизотермический режим; пунктирные – изотермический режим; 1, 2 – t 200 ; 3, 4 – t 20000 ): а) pb 5.3 МПа; б) pb 6.3 МПа Рисунок 2.3.5. Давление в конце расчетного времени (1 – неизотермический режим; 2 – изотермический режим): а) pb 5.3 МПа; б) pb 6.3 МПа 116 Важно отметить, что на промежуточной стадии процесса ( t 160000 ) указанные выше особенности проявления неизотермичности сохраняются: при большой интенсивности отбора различия невелики (кривые 1 и 2 на рис. 2.3.6а), однако, при отборе с малой интенсивностью указанная переоценка снижения давления составляет почти 0.02 МПа, что хорошо видно на рис. 2.3.6б. Следует также обратить внимание на то, что при отборе с малой интенсивностью давление довольно быстро выходит на стационарный режим, и этот выход в изотермической модели наступает раньше, чем в неизотермической (сравни кривые 1 и 2 на рис. 2.3.6б). Рисунок 2.3.6. Давление на границе пласта (1 – неизотермический режим; 2 – изотермический режим): а) pb 5.3 МПа; б) pb 6.3 МПа Неизотермичность процесса, несмотря на казалось бы незначительное влияние на перераспределение давления в пласте, влияет на прогнозирование суммарного отбора газа (рис. 2.3.7б). Здесь недооценка роли изменений температурного поля для отбора с большой интенсивностью составляет 20% (кривые 1 и 2), а при отборе с малой интенсивностью – 34% (кривые 3 и 4). Это означает, что пренебрежение неизотермичностью процесса приводит к занижению потенциального отбора газа при расчетах прогнозируемой добычи. Отметим также, что все кривые на рис. 2.3.7б имеют два характерных почти 117 прямолинейных участка, где излом соответствует переходу на стационарный режим (режим истощения залежи). Рисунок 2.3.7. Динамика массового расхода (а) и накопленной добычи газа (б): сплошные кривые – неизотермический режим, пунктирные – изотермический режим; 1, 2 – pb 5.3 МПа, 3, 4 – pb 6.3 МПа Полученные результаты демонстрируют важность учета термодинамических процессов при математическом моделировании добычи природного газа. Представленные результаты, дополненные расчетами для других месторождений Восточной Сибири, далее использовались для оценки размеров области возможного образования гидратов в призабойной зоне пласта. 2.4. Влияние теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на отбор газа через одиночную скважину Для математического описания процесса отбора газа через одиночную скважину в случае теплообмена пласта с окружающими вмещающими породами предложенную ранее систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [22, 27, 125] и в п. 2.3 данной главы 118 дополним слагаемым, описывающим теплопроводность пласта в направлении перпендикулярном вектору скорости фильтрации газа к скважине, расположенной в центре кругового пласта, а также воспользуемся допущением о пренебрежимо малом изменении давления в этом направлении. Последнее допущение физически оправдано тем, что скважина вскрывает всю мощность пласта, то есть, отбор по высоте пласта происходит равномерно, тогда как кровля и подошва пласта непроницаемы для газа. Кроме того, как и в предыдущем разделе, здесь теплопроводность в радиальном направлении считается пренебрежимо малой по сравнению с конвективным переносом. Дополнительно принято, что теплопроводность пласта изотропна. При таких предположениях исходная система уравнений примет вид [68, 69, 97]: p 1 p p r , rb r rk , t 0 , t T r r T r (2.4.1) 2 T 2T T p c p p T p T p 2 1 , t z T t R T r r T r rb r rk , 0 z H 2 , t 0, (2.4.2) где z z l , H H l , z – координата по высоте. Остальные обозначения приведены в разделах 2.2 и 2.3 этой главы. Рассматривается режим отбора газа с постоянным забойным давлением: p pb , r rb . Внешняя граница пласта считается (2.4.3) непроницаемой и теплоизолированной: p T 0, 0, r rk . r r (2.4.4) 119 Ввиду малой мощности газоносного пласта по сравнению с его радиальной протяженностью интенсивность теплообмена через его кровлю и подошву можно считать одинаковой. Тогда, если поместить начало координаты z на кровлю пласта, то линия z H 2 будет осью симметрии. В этом случае условия теплообмена с вмещающими породами можно записать в виде: T T T0 , z 0 ; z (2.4.5) T H 0, z ; z 2 (2.4.6) где l r – число Био, – коэффициент теплообмена. В начальный момент времени давление и температура считаются постоянными: pr, z, 0 1, T r , z, 0 T0 , rb r rk , 0 z Н 2 . (2.4.7) В качестве уравнения состояния принимается уравнение ЛатоноваГуревича (2.2.8). Для решения начально-краевой задачи (2.4.1)–(2.4.7), заменяя pri , z j , t j 0 pij, 0j и T ri , z j , t j 0 Ti ,jj0 численными аналогами в узлах сетки, уравнение (2.4.1) аппроксимируется чисто неявной абсолютно устойчивой разностной схемой аналогично схеме, которая была выведена для случая плоскопараллельной задачи и в работах [45, 125, 162, 163]: s 1 j 01 s 1 j 01 s 1 j 01 s 1 j 01 s 1 j 01 j0 s s p i, j p i 1, j p i , j p i , j p i 1, j pi , j ri k s j 01 s j 01 j 0 j 0 k i 1 , i 2 2 T h h i, j i, j r r i, j T i, j i 1, nr 1, j 0, n z , j 0 0, J 0 1, (2.4.8) 120 где – шаг сетки по времени t j 0 j 0 , j 0 0, J 0 , hr – шаг сетки по радиальной координате hr ri rb i hr , i 0, nr , s j 0 1 s ki ri 1 / 2 p i 1 / 2, j s j 0 1 s j 0 1 , ri 1 / 2 i 1 / 2, j T i 1 / 2, j s j 0 1 ri 1 ri , p i 1 / 2, j 2 s j 0 1 s s j 0 1 p i 1, j p i , j 2 – шаг итерации, s j 0 1 s j 0 1 , T i 1 / 2, j s j 0 1 T i 1, j T i , j . 2 Разностная аппроксимация граничного условия (2.4.3) имеет вид: s 1 j 01 p 0, j pb , j 0, nz , j 0 0, J 0 1. (2.4.9) Разностный аналог первого граничного условия (2.4.4) записывается со вторым порядком аппроксимации. Чтобы получить разностную схему для внешней границы i nr , интегрируем уравнение (2.4.1) в элементарной ячейке rnr hr 2 , rnr и находим: s 1 j 01 p nr , j pnjr0, j s j 01 s j 01 j 0 j 0 n , j T n , j nr , jTnr , j r r s 1 j 01 s 1 j 01 s p hr rnr nr , j p nr 1, j k nr , j 0, n z , j 0 0, J 0 1. (2.4.10) 2 h r Пользуясь методом слабой аппроксимации, предложенным Н.Н. Яненко [151], расщепим уравнение (2.4.2) по пространственным переменным r и z : T T p c p p T p T p 1 , t T t R T r r T r (2.4.11) T 2T 2 . t z (2.4.12) 2 Для этих уравнений построим локально-одномерные схемы. Поскольку функция T r , z, t является достаточно гладкой, то уравнению (2.4.11) 121 целесообразно поставить в соответствие безусловно устойчивую неявную разностную схему «уголок» [127] при фиксированном j 0, n z : s 1 j 01 / 2 Т i, j T j0 i, j 1 ai Т i , j s s 1 j 01 / 2 s 1 j 01 s 1 j 01 / 2 s 1 j 01 / 2 s s 1 j 01 / 2 j0 s p i , j pi , j T i 1, j T i , j bi di Т i, j , h r i 0, nr 1, j 0 0, J 0 1. (2.4.13) Для построения разностной схемы по осевой координате методом баланса [117] интегрируем уравнение (2.4.12) по z z j 1 / 2 , z j 1 / 2 , при фиксированном i 0, nr и находим s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 / 2 Т i, j Т i, j s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 s 1 j 01 T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 , j 1, n z 1, j 0 0, J 0 1, 2 h z (2.4.14) где hz – шаг сетки по осевой координате hz z j jhz , j 0, n z , под Ti ,jj01 / 2 подразумевается значение температуры на полуцелом временном слое t j 01 / 2 . Переход с одного временного слоя на следующий осуществляется в два этапа: на первом этапе определяется температурное распределение в радиальном направлении; второй этап состоит в пересчете полученных на первом шаге по времени промежуточных результатов, с учетом теплообмена в осевом направлении. С учетом второго условия (2.4.4) для внешней границы i nr получим схему: s 1 j 01 / 2 Т nr , j T j0 nr , j s 1 anr Т nr , j s 1 j 01 / 2 s 1 j 01 / 2 j0 p nr , j pnr , j s s 1 j 01 / 2 d nr Т nr , j , j 0, n z , j 0 0, J 0 1. (2.4.15) 122 Разностные аналоги граничных условий (2.4.5) и (2.4.6) записываем соответственно в виде: s 1 j 0 1 s 1 j 01 s 1 j 01 s 1 j 01 T i ,1 T i , 0 hz Т i , 0 T0 , i 0, nr , j 0 0, J 0 1, 2 hz s 1 j 0 1 / 2 Т i ,0 Т i ,0 (2.4.16) s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 / 2 Т i , nz Т i , nz s 1 j 01 s 1 j 01 T i ,nz T i ,nz 1 hz , i 0, nr , j 0 0, J 0 1, (2.4.17) 2 hz Начальные условия аппроксимируем в виде pi0, j 1, Ti ,0j T0 , i 0, nr , j 0, n z . (2.4.18) В соотношениях (2.4.13) и (2.4.15) приняты следующие обозначения: s 1 j 01 j 0 1 / 2 1 s ai s j 0 1 / 2 i, j s T i, j s , bi cp R p s 1 j 01 i, j s j 01 / 2 s j 01 / 2 i, j s 1 j 01 p i 1, j p i 1, j T i, j 2hr , 2 j 0 1 / 2 s s 1 j 01 s 1 j 01 s 1 j 01 s 1 j 01 s s s p s s p 1 n , j p nr 1, j i 1, j p i 1, j , d nr a nr r d i ai , a nr s j 01 / 2 2hr hr T nr , j nr , j 2 . Также как в предыдущем пункте для численного решения разностной задачи (2.4.8) – (2.4.16) на каждом временном слое используется метод простых итераций. Итерационный процесс организуется следующим образом: 0 j 0 1 0 j 0 1 а) задается начальное приближение: для s 0 p i , j p , T i , j Ti ,jj0 ; для s j 0 1 s 1 j 0 1 s j 0 1 s 1 j 0 1 s 1 p i , j p i , j , T i , j T i , j , i 0, nr , j 0, n z ; j0 i, j 123 б) методом прогонки решается линеаризованная система трехточечных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений давления в s 1 j 0 1 узлах пространственной сетки p i , j для всех j 0, n z : s 1 j 01 s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 p 0, j pb ; Ai p i 1, j Ci p i , j Bi p i 1, j Fi , i 1, nr 1; s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 Anr p nr 1, j C nr p nr , j Fnr ; s s s s j0 s k i 1 k i k i 1 ki где Ai 2 , Bi 2 , Ci 2 2 hr hr hr hr s j 01 s j 01 i, j T i, j , Fi s ri p i , j s j0 s j0 i, j T i, j kn , Anr r , hr s j0 s Cnr ri k nr hr hr rnr s j 01 s , Fnr j 01 2 nr T nr hr rnr p nr s j0 s j0 ; 2 nr T nr в) при найденных значениях давления определяется промежуточное s 1 j 0 1 / 2 значение Т i , j s 1 j 0 1 / 2 Т s 1 j 01 / 2 Т i, j nr , j для всех j 0, n z : s 1 j 0 s 1 j 01 s 1 j 0 Т nr , j p n , j p n , j r r s 1 j 0 s 1 j 01 s 1 j 0 Т i, j p i, j p i, j s 1 j 01 s T i 1, j bi hr s 1 j 01 s 1 j 0 1 s p n , j p nr , j a nr r s 1 j 01 s 1 j 0 1 s p i, j p i, j ai s d nr ; s s bi di , hr i nr 1, 0; г) методом прогонки решается линейная система уравнений относительно s 1 j 0 1 неизвестных Т i , j для всех i 0, nr : 124 s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 С0 T i ,0 B0 T i ,1 F0 ; A j T i , j 1 C j T i , j B j p i , j 1 F j , j 1, n z 1; s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 Anz T i ,nz 1 C nz T i ,nz Fnz ; где B0 hz , C0 hz s 1 j 0 1 / 2 hz , 2 s 1 j 0 1 / 2 Cj T i, j 2 1 , F j hz2 д) проверяются s 1 j 0 1 max i 0 , nr , j 0 , n z , Anz s j 0 1 р i, j р i, j hz F0 T i , 0 hz T0 , 2 , C nz выполнения 1, s 1 j 0 1 max i 0 , nr , j 0 , n z hz Aj h 2 z , Bj , hz2 s 1 j 0 1 / 2 h T i ,nz hz , Fnz z 2 2 условий s j 0 1 Т i, j Т i, j сходимости ; итераций: 2 . Если эти условия не выполняются, то s увеличиваем на единицу и возвращаемся к пункту а), а если выполняются, то за значения p j 0 1 i, j j 0 1 i, j иT s 1 j 0 1 s 1 j 0 1 принимаем полученные p i , j , Т i , j , i 0, nr , j 0, n z и переходим к следующему временному слою. Расчеты месторождения проводились при для следующих природного входных газа Средне-Вилюйского данных: 2 Вт/(м2К) и 10 Вт/(м2К), r 2.326 Вт/(мК), rb 0.1 м, rk 100.1 м, H 10 м, l 1 м, Т 0 323 K, p0 240 атм, сp 2300 Дж/(кгК), R 449.4 Дж/(кгК), 2 10 5 Пас, сr 6 10 6 Дж/(м3К), m 0.2 , k 10 13 м2, pb 140 атм и 230 атм. Критические параметры Tc 205.022 K и pc 46.596 атм были определены по формуле (1.1.2) при известном составе газа (табл. 1.1.1, 1968 г.). В расчетах продолжительность отбора составляла в безразмерных величинах t 1.6 10 6 , что соответствует 731.1 ч. Вычислительный эксперимент выполнен с целью выявить степень влияния теплообмена с окружающими породами через кровлю и подошву на динамику изменения полей температуры и давления в газоносном пласте при отборе газа. Предварительные вычисления показали, что это влияние ощутимо 125 только при высоких темпах отбора, поэтому здесь представлены результаты, полученные только для давления на забое скважины pb 140 атм. Из этих же результатов следует, что во всех случаях теплообмен газоносного пласта с горными породами практически не влияет на динамику поля давления. Такой же вывод получен в работе [69] как при отборе так и при нагнетании газа. Так что ниже приведены только иллюстрации, характеризующие динамику температурных полей. Результаты вычислительного эксперимента представлены на рис. 2.4.1 – рис. 2.4.6. Рассмотрение начнем с анализа динамики температурного поля газоносного пласта. Из физических соображений очевидно, что влияние теплообмена с окружающими вмещающими породами будет наиболее заметно вблизи кровли и подошвы пласта, а наименее заметно на оси симметрии. Это подтверждается рис. 2.4.1 и рис. 2.4.2 (кривые 1 и 2, а также кривые 3 и 4 на рис. 2.4.2а практически совпадают, время безразмерное). Вначале отметим резкое падение температуры вблизи скважины в начальный пусковой период (рис. 2.4.1 и кривые 1, 2 на рис. 2.4.2а и 2.4.2б) изза дросселирования. Затем температура со временем начинает восстанавливаться, т.е. начинает преобладать конвективная составляющая теплообмена. Далее, пятикратное увеличение коэффициента теплообмена приводит к увеличению температуры всего лишь на 1 К, причем в начальный период отбора газа это различие почти незаметно (сравни кривые 1 и 2 с кривыми 3 и 4 на рис. 2.4.2б). И наконец, даже при малых временах основные изменения температуры происходят вблизи скважины, то есть в так называемой призабойной зоне, тогда как на расстоянии порядка 10 м она уже близка к начальному значению, что хорошо видно на рис. 2.4.2 и на рис. 2.4.3. Последний рисунок также хорошо иллюстрирует уже сказанное о резком падении температуры в пусковой период отбора газа (кривые 1 и 2) и о незначительном изменении температурного поля на достаточном удалении от скважины (кривые 3 и 4). 126 Рисунок 2.4.1. Температурные поля на кровле пласта: поверхность 1 – 2 Вт/(м2К), поверхность 2 – 10 Вт/(м2К) Рисунок 2.4.2. Распределение температуры по радиальной координате: а – на оси симметрии, б – на кровле пласта (кривые 1, 2 – t 4000 ; кривые 3, 4 – t 1.6 105 ). Нечетные номера соответствуют 2 Вт/(м2К), четные – 10 Вт/(м2К) 127 Рисунок 2.4.3. Динамика температуры на забое скважины (кривые 1, 2) и на расстоянии 10 м от нее (кривые 3, 4) при z 0 . Нечетные номера соответствуют 2 Вт/(м2К), четные – 10 Вт/(м2К) Анализ пространственного распределения температуры начнем с динамики ее изменения по вертикальной координате (рис. 2.4.4). Здесь хорошо видно, что наиболее существенное изменение температуры происходит вблизи кровли и подошвы пласта. Далее температура понижается, и ее величина определяется охлаждением газа за счет эффекта Джоуля-Томсона и адиабатического расширения. Этот же вывод подтверждается рис. 2.4.5, где представлено пространственное распределение температуры газа при двух существенно различных значениях времени. В то же время сравнение поверхности 1 с поверхностью 2 свидетельствует о том, что со временем область влияния теплообмена через кровлю и подошву будет увеличиваться. Сказанное выше о слабом влиянии коэффициента теплопередачи на общий характер температурного поля газоносного пласта подтверждается рис. 2.4.6 (сравни поверхности 1 и 2). Здесь хорошо видно, что это влияние не очень существенно и что оно ощущается на небольшом расстоянии от кровли, а в силу условия симметрии, и от подошвы пласта. 128 Рисунок 2.4.4. Динамика температуры по вертикальной координате при 10 Вт/(м2К): поверхность 1 – r 5.1 м, поверхность 2 – r 10.1 м Рисунок 2.4.5. Распределение температуры по пространственным координатам при 10 Вт/(м2К): поверхность 1 – t 10 5 , поверхность 2 – t 1.6 10 6 129 Рисунок 2.4.6. Распределение температуры по пространственным координатам при t 1.6 10 6 : 1 – 2 Вт/(м2К), 2 – 10 Вт/(м2К) В дальнейшем решение этой задачи было рассмотрено Г.И. Ивановым в его диссертации [68, 69]. В ней сравнением перераспределений динамики температуры и давления при различных значениях коэффициента теплообмена, проницаемости и давления на забое скважины получено, что теплообмен газоносного пласта с окружающими его горными породами очень слабо влияет на динамику поля давления. Его влияние на поле температур локализовано в узкой зоне вблизи кровли и подошвы, но со временем размер этой зоны увеличивается. Увеличение интенсивности отбора газа влечет за собой только количественные перераспределения температуры. Получено, что при добыче природного газа влияние теплообмена газоносного пласта с окружающими его горными породами на поле температур наиболее заметно для глубоко залегающих пластов, имеющих низкую проницаемость. В таких случаях вмещающие породы сильно уплотнены и, следовательно, имеют большую теплопроводность. Из-за низкой проницаемости добыча газа будет происходить 130 при больших перепадах давления, что приведет к существенному изменению начальной температуры за счет эффекта дросселирования. 2.5. Оценка возможности гидратообразования в призабойной зоне скважин Главным стимулом изучения процессов гидратообразования при добыче газа стало появление крупных центров газодобывающей промышленности на Крайнем Севере нашей страны. Как известно, эти районы характеризуются наличием толщи многолетней мерзлоты, глубина которой достигает 1500 м. В результате температура газосодержащих пород оказывается довольно низкой, а неизбежное ее понижение при добыче газа приводит к созданию условий благоприятных для образования гидратов природного газа либо непосредственно в призабойной зоне газоносных пластов, либо в стволе газовых скважин. Впервые теоретическое исследование процесса образования и диссоциации гидратов при фильтрации газа было выполнено в статье [143]. Предложенная математическая модель основывалась на допущении о первоначально полном насыщении пористой среды гидратом и о его разложении при тепловом воздействии на фронте фазового перехода. В работе [55] было получено приближенное решение задачи о диссоциации гидрата, находящегося в равновесии с газом. При этом считалось, что образующаяся вода остается неподвижной. Это предположение накладывает ограничение на величину начальной гидратонасыщенности, определяемое предельной водонасыщенностью, при которой относительная проницаемость водной фазы равна нулю. Кроме этого ограничения в работе [55] считалось, что процесс диссоциации происходит в изотермических условиях, что противоречит физике явления (снижение давления при отборе газа неизбежно должно вести к снижению температуры). В дальнейшем в работе [33] было показано, что если изначально пористая среда содержит газовый гидрат, сосуществующий в состоянии 131 термодинамического предположения о равновесия наличии с фронта газом и водой, диссоциации то гидрата использование приводит к противоречию с физикой процесса: в зоне существования гидрата температура оказывается выше, чем температура его диссоциации. Непротиворечивое решение получается, если предположить, что процесс фазового перехода происходит в протяженной области. Аналогичный результат получен и для случая, когда в начальный момент пласт насыщен газом и гидратом. При этом, как показано в [89, 135, 136, 137, 160], при проницаемостях больших, чем 10 16 м2, решение, приведенное в [55], не существует в том смысле, что распределение температуры смеси и температуры фазового перехода свидетельствуют о “перегреве” гидрата (локальная температура гидрата в зоне перед фронтом диссоциации оказывается выше локальной температуры фазового перехода, вычисленной по распределению давления). Для устранения этого противоречия предлагается математическая модель процесса, учитывающая разложение гидрата в протяженной области. Дальнейшее развитие исследований диссоциации и образования гидратов при фильтрации газа связано с учетом подвижности воды. Это снимает ограничения на величину начальной водонасыщенности, – она должна быть не выше того значения, при котором фазовая проницаемость воды равна нулю, а кроме того, позволяет учесть перенос водорастворимых ингибиторов гидратообразования. Соответствующие математические модели предложены в работах [136, 89], там же получены решения одномерных задач диссоциации газовых гидратов. Основные допущения, ограничивающие диапазон применимости полученных результатов, – использование уравнения состояния совершенного газа, что исключает возможность учета охлаждения газа за счет дросселирования, и использование линейных зависимостей фазовых проницаемостей от водонасыщенности. Технологические режимы добычи газа в северных регионах в значительной степени определяются такими природными факторами как низкие климатические температуры и наличие мощной толщи многолетней мерзлоты. 132 Их следствием являются осложнения, обусловленные возможностью образования гидратов как в призабойной зоне, так и в стволе скважин. Образование гидратов в призабойной зоне приводит к снижению продуктивности скважин, тогда как их образование в стволе может привести к полному прекращению подачи газа. Такие аварийные ситуации могут иметь самые тяжелые последствия. В настоящее время единственным средством борьбы с этим нежелательным явлением является закачка в скважины метанола или других ингибиторов гидратообразования. Эта мера малоэффективна, так как метанол выносится из скважин вместе с добываемым газом, и она существенно повышает себестоимость добычи и транспорта газа. Следовательно, актуальной является задача выбора таких режимов отбора газа, при которых эти аварийные ситуации можно исключить, или снизить их влияние на надежность газоснабжения (далее раздел 3.2 главы 3). В данном разделе предложен следующий подход к прогнозу возможного образования гидратов при отборе газа: из решения задачи неизотермической фильтрации несовершенного газа определяются поля давления и температуры в пласте (раздел 2.3 этой главы), которые затем сравниваются с равновесными условиями образования гидратов в призабойной зоне скважины [29]. Используем предложенный подход к оценке возможности образования гидратов в призабойной зоне пласта для Мессояхского месторождения, для чего сравним температурное поле в этой зоне (рис. 2.3.1, 2.3.2) с равновесными условиями гидратообразования. Равновесная температура гидратообразования вычислялась по формуле Tph ( p) a ln p b , где постоянные a 10.036 K и b 126.023 K найдены путем аппроксимации кривой термодинамического равновесия, определяемой по методике Е.Д. Слоуна [175, 176] при известном составе газа (cм. состав 2006 г., табл. 1.1.1). Видно, что при отборе с большой интенсивностью температура газа будет выше равновесной температуры гидратообразования всюду за исключением узкой зоны вблизи скважины в начальное время отбора (рис. 2.5.1, а). В то же время, при меньшей депрессии на пласт температура газа всюду ниже 133 равновесной температуры образования гидратов (рис. 2.5.1, б). Такой, на первый взгляд, парадоксальный результат объясняется тем, что в данных условиях снижение равновесной температуры гидратообразования за счет понижения давления более существенно, чем охлаждение газа за счет дросселирования из-за сравнительно небольшого перепада давления. Конечно, этот результат справедлив только для указанных выше исходных данных. Однако он позволяет сделать два важных вывода: 1) такую зону можно идентифицировать одним из геофизических методов, например акустическим каротажем; 2) на такую узкую зону для предотвращения гидратообразования несложно воздействовать одним из ингибиторов (метанол, раствор хлористого кальция и др.). Рисунок 2.5.1. Температурное поле в призабойной зоне скважины Мессояхского месторождения (1 – температура газа, 2 – равновесная температура гидратообразования): а) при pb 53 атм; б) pb 63 атм Аналогичные расчеты проводились для природного газа СреднеВилюйского месторождения Республики Саха (Якутия), которое отличается от Мессояхского гораздо большей глубиной залегания газоносного пласта и, соответственно, гораздо большими значениями пластовых давления и температуры: Т 0 323 K, p0 24 МПа, сp R 5.118 , cr mp0 1.234 1/К, 134 Tc 205.022 K, pc 4.6596 МПа, a 7.01 K, b 178.28 K, pb 14 МПа и pb 22 МПа. Состав газа, отобранного в 1968 г., представлен в табл. 1.1.1. Получены такие же основные результаты как в разделе 2.3 этой главы: изменения температуры происходят в узкой зоне вблизи скважины; при более интенсивном отборе давление изменяется во всех точках пласта, а при менее интенсивном – только вблизи скважины; влияние поля температур на поле давления и на прогнозирование суммарного отбора газа незначительно. Оценки возможности образования гидратов в призабойной зоне скважины на этом месторождении показали, что температура газа даже при интенсивном отборе газа всегда выше равновесной температуры гидратообразования (рис. 2.5.2). Этот результат полностью соответствует многолетней истории разработки Средне-Вилюйского месторождения. Рисунок 2.5.2. Температурное поле в призабойной зоне скважины Средне-Вилюйского месторождения при pb 14 МПа: 1 – температура газа, 2 – равновесная температура гидратообразования Далее приведем результаты расчетов, выполненных для Отраднинского месторождения при pb 16.87 МПа, сp R 7.51984 , cr mp0 3.53947 1/К, 135 Т 0 286.35 K, p0 18.84 МПа, Tc 195.376 K, pc 4.47 МПа, a 6.635 K, b 182.951 K. Критические параметры и равновесные условия были определены по известному составу природного газа (табл. 1.4.2). Получено, что температура газа даже при интенсивном отборе всегда ниже равновесной температуры гидратообразования (рис. 2.5.3), то есть без ввода ингибиторов в призабойной зоне всегда будут образовываться гидраты. Рисунок 2.5.3. Температурное поле в призабойной зоне скважины Отраднинского месторождения при pb 16.87 МПа: 1 – температура газа, 2 – равновесная температура гидратообразования Пластовые условия Отраднинского ГКМ соответствуют условиям гидратообразования в призабойной зоне, несмотря на незначительное падение температуры при отборе газа. Однако наличие засоленных пластовых вод, вероятно, способствует тому, что гидратонасыщенность призабойной зоны будет незначительной. 136 ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СКВАЖИН С МНОГОЛЕТНЕМЕРЗЛЫМИ ГОРНЫМИ ПОРОДАМИ При освоении и разработке месторождений нефти и газа, расположенных в зоне многолетней мерзлоты, возникает опасность значительного нарушения природного равновесия из-за теплового воздействия эксплуатационных скважин на окружающие горные породы. В результате вблизи скважин образуется зона неустойчивых талых пород. Возможные негативные последствия этого процесса зависят от ее размеров и динамики развития. Прежде всего, это просадки верхнего слоя пород в окрестности скважин, что приводит к повреждению устьевого оборудования и опасным деформациям промысловых сетей. Во-вторых, это потеря устойчивости верхней части ствола скважин, вследствие чего создаются предпосылки для потери герметичности обсадных колонн. Из сказанного выше становится ясной важность прогноза температурного поля окружающих скважину горных пород, которое определяется главным образом интенсивностью отбора нефти или газа из скважин, их конструкцией и пластовыми условиями. В свою очередь, из-за теплового взаимодействия с горными породами и адиабатического расширения (сжатия) нефти или газа происходит изменение температуры добываемой нефти или газа, соответственно изменяется температура пород. Эти процессы взаимосвязаны, и поэтому задача определения температуры горных пород может быть решена только в сопряженной постановке, т.е. при одновременном определении изменения температуры нефти или газа в скважине и температурного поля окружающих горных пород. Таким образом, математическая модель исследуемого процесса должна включать в себя уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в горных породах с учетом их возможного описывающее протаивания изменение – промерзания, температуры уравнение добываемой теплопереноса, нефти или газа, 137 необходимые граничные и начальные условия, определяемые характером сопряжения тепловых потоков на стенке скважины. В области горных пород от забоя скважины до подошвы многолетней мерзлоты теплофизические коэффициенты в уравнении теплопроводности являются кусочно-постоянными (они определяются типом горных пород, слагающих геологический разрез), и решение соответствующей задачи теплопроводности может быть выполнено стандартными методами. В области многолетней мерзлоты эта задача существенно осложняется, так как здесь необходимо учитывать фазовый переход «лед–вода». Задачи такого рода называются задачами Стефана и для их численного решения используется метод сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового перехода [48, 120]. Далее приводятся краткое описание методов решения задачи Стефана и ее численное решение, полученное автором настоящей диссертации [113, 114]. Многие процессы теплообмена связаны с изменением агрегатного состояния или физико-химической природы среды. Основной трудностью подобных задач является необходимость учета агрегатного состояния среды, в результате чего задача становится нелинейной. Математические модели процессов теплопереноса с фазовыми переходами разделяют на: модели с образованием границы раздела фаз (задачи типа Стефана) и модели с образованием зоны фазовых переходов (задачи в спектре температур). В задачах типа Стефана не учитывается наличие связанной воды и движение влаги. Такие задачи относятся к классу задач теории теплопроводности, в которых рассматриваемая среда имеет точку фазовых переходов, т.е. при определенной температуре претерпевает плавление или затвердевание (фазовый переход «жидкость – твердое тело»). На границе фазового перехода все время сохраняется постоянная температура ( Tph const ). При движении поверхности фазового перехода происходит выделение (или поглощение) скрытой теплоты плавления (или затвердевания). Решение подобного рода 138 задач имеет большое практическое значение в металлургии, строительной теплотехнике и в других прикладных дисциплинах [114]. Задачей Стефана называется задача определения температурного поля и границы фазового перехода в чистом веществе (крупнодисперсные среды, металлы). Считается, что агрегатное состояние вещества изменяется только вследствие теплопроводности под воздействием внешних и внутренних источников теплоты. Передача энергии в каждой фазе рассматриваемого вещества описывается уравнением теплопроводности, а поведение границы фазового перехода, называемой свободной границей, – условием Стефана, наличие которого относит задачу к нелинейным. Условие Стефана выражает баланс энергии при переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое, подробный вывод которого для одномерного случая приведен в [126] и для многомерного – в работе [120]. Ключевым условием на свободной границе, помимо условия Стефана, является равенство температуры вещества температуре фазового перехода, которая считается известной постоянной величиной. Это условие имеет характер аксиомы, так как не следует ни из каких фундаментальных законов, но достаточно точно отражает многие реальные процессы. В настоящее время общеизвестно, что точное аналитическое решение задачи Стефана в простейшем виде получено австрийским физиком Стефаном для расчета глубины промерзания–протаивания грунта Он получил строгое решение автомодельной задачи для полуограниченной однородной среды при постоянной, в общем случае, отличной от нуля, начальной температуре среды, называемой «классической задачей Стефана». Он же доказал, что условие на подвижной границе раздела фаз обуславливает нелинейность задачи из-за усеченности температурного поля среды, описываемого функцией линейной задачи. Задачам теплопроводности с подвижными границами посвящено огромное количество работ, в которых исследуются различные математические и прикладные проблемы с помощью различных аналитических и численных 139 методов. В монографиях [75, 85] по теории теплопроводности рассматривали задачи промерзания (протаивания) влажных тел. Автор монографии [92] исследование задач типа Стефана условно разделяет на несколько направлений: существование и единственность решения в случае одной пространственной переменной и в случае многих пространственных переменных; изучение структуры и качественных свойств решения, в том числе его поведение при неограниченном возрастании времени; квазистационарная многомерная задача Стефана; численные методы решения; оптимальное управление процессами фазового перехода. В его работе построена математическая модель процесса плавления–затвердевания чистого вещества, доказана корректность модели, описаны качественные свойства решения, исследовано классическое решение задачи Стефана в случае двух и более пространственных переменных. Численные методы решения задач теплопроводности для сложных тел и систем тел являются в настоящее время наиболее эффективными и универсальными в арсенале современных методов теории теплопроводности. Из-за нелинейности основным методом решения задач типа Стефана являются численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение того или иного аналитического метода. Разработке разностных методов решения краевых задач теплопроводности посвящено большое количество как монографических работ, так и огромное число статей в периодических журналах и различных сборниках. Основы методов конечных разностей подробно изложены в монографиях [74, 90, 126, 127, 151] и в других работах, как например, [102, 117, 119]. Существенный вклад в разработку конечно-разностных методов решения задач теплопереноса внесли авторы работ [48, 50, 54, 58], а также другие ученые. Известно, что разностные методы решения математических задач обеспечивают высокую точность результатов, учитывают большое число параметров и не требуют грубых ограничений и допущений. Однако при этом, 140 как правило, программы расчетов бывают громоздкими, а анализ результатов затруднителен из-за сложности выделения параметров, которые доминируют в полученных решениях. С другой стороны, аналитические решения, реализуемые приближенными методами, обычно недостаточно точны, так как строятся на определенных допущениях и упрощениях, т.е. учитывают меньшее число физически значимых факторов. Тем не менее, полученные аналитические выражения наглядны и довольно удобны для анализа. Самое ценное то, что они более отчетливо отражают основные тенденции и закономерности рассматриваемых процессов – выявляют качественную картину и могут служить «эталоном» для оценки численных решений [106]. В настоящее время известны следующие разностные методы решения задач типа Стефана: метод ловли фронта в узел разностной сетки, метод выпрямления фронтов, метод сглаживания коэффициентов и схемы сквозного счета. С применением их к различным конкретным задачам можно ознакомиться в работах [52, 53, 101]. Метод ловли фронта в узел сетки применяется только для одномерных однофронтовых задач, а метод выпрямления фронтов – многофронтовых задач. Характерная особенность этих методов состоит в том, что разностные схемы строятся с явным выделением искомого фронта фазового перехода. Следует отметить, что методы с явным выделением неизвестной границы фазового перехода не подходят для случая циклического изменения температуры на границе, т.к. немонотонно движущихся фронтов может быть несколько, при этом некоторые из них могут сливаться друг с другом или исчезать. 3.1. Численное решение задачи Стефана методом Самарского-Моисеенко Математическая модель задачи включает уравнение нестационарного распространения тепла в многолетнемерзлых горных породах с учетом фазового перехода «лед–вода». Это уравнение дополняется краевыми условиями, определяемыми характером сопряжения тепловых потоков. 141 При построении математической модели используются следующие упрощающие допущения. 1-е допущение. Теплофизические характеристики считаются кусочнопостоянными, учитывая их малое изменение в рассматриваемом диапазоне температур. 2-е допущение. Фазовый переход влаги происходит при постоянной температуре фазового перехода ( Tph const), без изменения начальной влажности ( const ) и объема. В действительности же фазовый переход «лед – вода» происходит в некотором диапазоне температур, зависящем от типа грунта и начальной влажности, и при этом происходит изменении его объема. Так, для водонасыщенного грунта фазовый переход происходит при температуре ниже температуры замерзания свободной воды и сопровождается миграцией влаги [121]. Математическая постановка. Процесс распространения тепла в горных породах описывается следующей системой дифференциальных уравнений: уравнением теплопроводности С (T ) T T (T ) , 0 x L, t 0, t x x (3.1.1) где объемная теплоемкость и коэффициент теплопроводности Сliq , T Tph , liq , T Tph , С (T ) (T ) Сs , T Tph , s , T Tph , (3.1.2) с начальным условием T T0 x , t 0 , и условиями Стефана на подвижных границах фазовых превращений (3.1.3) 142 T ( S v 0, t ) T ( S v 0, t ) Tph , s T x liq x Sv 0 T x W x Sv 0 S v , t (3.1.4) где S v – граница v-го фронта фазового перехода (v = 1, 2,…, v0), W qph – скрытая теплота фазового перехода воды в грунте. Остальные величины приведены в списке обозначений. Условие (1.4) означает, что на границе раздела фаз температура фазового перехода постоянна, тепловые потоки разрывны, и их разность равна произведению теплоты фазового перехода на скорость распространения границы фаз. Принимаем, что температура на одной границе тела постоянна T Tb , x 0 . (3.1.5) Условием на другой границе является условие тепловой изоляции: Т 0, x L. x (3.1.6) Исследовано достаточно много разностных схем, позволяющих решить задачи Стефана различной сложности. В работах [52, 53, 101, 106] дан обзор литературы по численным методам решения задач типа Стефана. Отмечено, что наиболее подходящим для численного решения прикладных задач Стефана, которые в основном бывают многомерными и характеризуются наличием несколько немонотонно движущихся фронтов фазового перехода, являются методы, основанные на подходе, изложенном в монографии [126]. Для этого метода авторы работы [120] разработали экономичную разностную схему сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового перехода. Схемы со 143 сглаживанием коэффициентов предложены также в работе [48] и характеризуются тем, что граница раздела фаз явно не выделяется, что позволяет использовать однородные разностные схемы. При этом скрытая теплота фазового перехода W вводится с применением -функции Дирака как сосредоточенная теплоемкость в коэффициент теплоемкости. Получаемая таким образом разрывная функция затем «размазывается» по температуре, и не зависит от размерности задачи и количества фазовых границ. Это равносильно предположению, что фазовый переход происходит не при одной определенной температуре Tph , а в некотором интервале температур, длина которого определяется величиной параметра сглаживания («размазывания»). Однако каждый метод имеет свои преимущества и недостатки. Метод Самарского-Моисеенко является одним из самых универсальных методов, но его недостаток заключается в том, что точность решения зависит от выбора параметра сглаживания. При температуре фазового перехода внутренняя энергия E T , как функция температуры, испытывает скачок величины W E Tph 0 E Tph 0, которая называется теплотой (или энтальпией) фазового перехода. Например, при температуре 0°C вода обладает запасом энергии 636 кДж/кг, тогда как лед – 302 кДж/кг. Разность в запасе энергии между ними (334 кДж/кг) составляет скрытую теплоту плавления льда (затвердевания воды), которая затрачивается на разрушение (восстановление) кристаллической решетки льда, т.е. на изменение среднестатистического расстояния между молекулами. Введя новую функцию – удельное теплосодержание Т E (Т ) C ( ) W ( Tph )d , 0 (3.1.7) 144 где ( Tph ) – дельта-функция Дирака, и подставляя (3.1.7) в уравнение энергии E T (T ) , получим t x x С (T ) W T T T ph t T (T ) . x x (3.1.8) Здесь составляющая W (T Tph ) представляет собой сосредоточенную теплоемкость, где дельта-функция Дирака имеет вид 0, T Tph , T Tph , T Tph , и удовлетворяет условию нормировки: T T )dT 1. ph В работе [101] показано, что уравнение (3.1.8) включает уравнение (3.1.1) и условие (3.1.4) на фазовой поверхности. Теплофизический смысл сосредоточенной теплоемкости W T Tph заключается в том, что теплота фазового перехода W выделяется (или поглощается) на фазовом фронте. В разностном уравнении коэффициент левой части уравнения (3.1.8) вычисляется в узлах сетки, а меняющийся фронт фазового перехода не всегда совпадает с узлом сетки. Таким образом, разностная схема не будет обладать свойством консервативности, т.е. не всегда будет учитывать теплоту фазового перехода. Возникновение такой ситуации приводит к необходимости сглаживания коэффициентов, входящих в уравнение 145 (3.1.8). Для этого -функция Дирака приближенно заменяется -образной (или «размазанной» по температуре) функцией T Tph , , отличной от нуля только на интервале Tph , Tph и удовлетворяющей условию нормировки Tph T Tph , dT 1 , T ph где – величина полуинтервала сглаживания, на котором функция T Tph , отлична от нуля. Теперь разрывную функцию С (T ) W T Tph в левой части уравнения (3.1.8) заменяем непрерывной функцией ~ С (U ) С (T ) W T Tph , . (3.1.9) которая называется сглаженной или эффективной теплоемкостью. Интегрируя данную формулу в пределах Tph , Tph , получаем следующее условие постоянства удельного теплосодержания на интервале сглаживания Tph ~ С T dT W Tph Эффективную теплоемкость Tph Tph С s dT Tph С liq dT . (3.1.10) Tph выбирают таким образом, чтобы выполнялось условие (3.1.10). Таким образом, метод Самарского-Моисеенко для решения задач типа Стефана имеет следующие этапы [120, 126]: а) исходное параболическое уравнение (3.1.1) и условие на неизвестных подвижных границах фазовых переходов (3.1.4) записываются в виде одного параболического уравнения (3.1.8) с разрывными коэффициентами; 146 б) применяется сглаживание разрывных коэффициентов и «размазывание» -функции Дирака по температуре в некотором интервале, содержащем температуру фазового перехода; в) пользуясь какой-либо конечно-разностной схемой, численно решается квазилинейное параболическое уравнение (3.1.8). Существует множество вариантов аппроксимации эффективной теплоемкости [48, 59, 101, 106], но самый распространенный из них тот вариант, когда эффективная теплоемкость непрерывна в точках Tph и Tph . Для сглаживания коэффициента теплопроводности обычно используется аппроксимация его линейной функцией, т.е. на интервале сглаживания разрывная функция заменяется отрезком прямой, соединяющей точки T ph , s и T ph , liq . При этом эффективный коэффициент теплопроводности Т совпадает с s при T Tph и с liq при T Tph . Следует отметить, что T Tph , выбирается таким образом, чтобы график функции C~Т вблизи точки T Tph имел наиболее простой вид: «ступеньки», параболы и т.д. В данной работе используются следующие аппроксимации [93, 114]: линейная зависимость Т и параболическая C~Т в окрестности фазового перехода (рис. 3.1.1): s , T Tph s , T Tph s , Tph s T Tph liq , (T ) s s liq liq s , T T ; ph liq liq (3.1.11) 147 Cs , T Tph s , 2 T Tph Cf Cs Cph , Tph s T Tph , s C (T ) 2 T Tph , Tph T Tph liq , Cf Cliq C ph liq C , T T ; ph liq liq (3.1.12) где – температурные полуинтервалы сглаживания -функции Дирака, которые могут быть не равны друг другу ( liq s , liq 0 , s 0 ). Рисунок 3.1.1. Температурная зависимость коэффициента теплопроводности (а) и объемной теплоемкости (б) в окрестности фазового перехода В выражении (3.1.12) неизвестную величину Cph определяем из равенства скрытой теплоты фазового перехода W количеству теплоты, получаемому при аппроксимации объемной теплоемкости в интервале температур от Tph s до Tph liq и равному площади заштрихованной области (рис. 3.1.1б) [93, 114]: 2 Tph liq T Tph T Tph dT Cph Cliq Cph W Cph Cs Cph s Tph s Tph liq dT Tph Tph liq Cs Cliq T Tph liq dT . Cs Cliq T Tph s Cs dT C liq s liq s liq Tph s Tph Tph 2 148 Откуда после интегрирования находим значение объемной теплоемкости при температуре фазового перехода Сph Итак, представляет 6W Cs s 3 liq Cliq liq 3 s 4 s liq математическая собой модель для дифференциальное . одномерной уравнение плоской задачи теплопроводности с соответствующими краевыми условиями (3.1.3), (3.1.5), (3.1.6). При этом задача теплопроводности с фазовым переходом «лед – вода» формулируется как обычная краевая задача для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами T T ~ С (T ) (T ) , 0 x L, t 0. t x x (3.1.13) Численная реализация модели и алгоритм решения. Для применения разностного метода в области изменения переменных x, t вводим неравномерные пространственно-временные сетки – основную и потоковую wx xi xi1 hi , i 2, n 1; x1 0; xn L , w t ), i h2 / 2, i 1; hi hi1 / 2, i 2, n 1; hn / 2, i n , t где hi , i – j0 j0 , j0 1, J 0 1; t0 0; tJ 0 Max(t j 0 шаги основной и потоковой пространственной сетки соответственно, n – количество узлов сетки по координате x ; – шаг временной сетки; J 0 – максимальное число локальных итераций за время Max(t j 0 ) . 149 При тех значениях аргумента, где функция резко меняется, шаг сетки должен быть малым, иначе точность вычисления по этой сетке будет малой. На тех участках, где функция меняется медленно, хорошую точность обеспечивает и крупный шаг сетки; мелкий шаг при этом невыгоден, ибо он приводит к сильному увеличению объема сетки. Поэтому неравномерная сетка, удачно подобранная для определенной функции, позволяет построить таблицу небольшого объема, по которой можно производить вычисления с хорошей точностью. Разумеется, для других функций эта сетка может быть малопригодной. Для получения консервативной разностной схемы методом баланса или интегро-интерполяционным методом [117, 119], интегрируем уравнение (3.1.13) по x xi1/ 2 , xi1/ 2 . В результате получим ~ Ti Ti Сi i i 1/ 2 Ti 1 Ti i 1/ 2 Ti Ti 1 , i 2, n 1 , hi 1 hi (3.1.14) где верхний знак «» означает, что величина берется с нижнего временного слоя. При этом разностные аналоги теплофизических параметров (теплоемкости, коэффициента теплопроводности) вычисляются как некоторые средние значения теплофизических функций в пределах ячейки по выражениям (3.1.11) и (3.1.12): ~ ~ T T T T Сi C Ti , i 1/ 2 i 1 i , i 1/ 2 i i 1 . 2 2 Распределение температуры Ti определяется из системы линейных алгебраических уравнений (3.1.14), которые имеют неособую трехдиагональную матрицу, что позволяет решать их методом прогонки. Пусть известно распределение температур на j0-м временном слое и требуется определить распределение температур на (j0+1)-м временном слое. Так как 150 сглаженные коэффициенты зависят от температуры, получающаяся разностная задача будет нелинейной и ее решение будет найдено методом простой итерации с использованием прогоночных алгоритмов. Систему разностных уравнений (3.1.14) можно записать в каноническом виде: AТ i1 ( A B E )Т i BТ i1 EТ i , i 2, n 1, где A i 1/ 2 hi 1 , B i 1/ 2 hi (3.1.15) ~ , E Ci i . Решение системы уравнений (3.1.15) будем искать в виде Т i iТ i1 i , i n 1, 1 , (3.1.16) где i , i – прогоночные коэффициенты. Соотношение (3.1.16) справедливо для всех значений индекса i n 1, 1 . Тогда подставляя значение Т i1 i1Т i i1 в (3.1.15) и сравнивая полученное уравнение AТ i 1 EТ i B i 1 Тi . A E B(1 i 1 ) A E B(1 i 1 ) с (3.1.16) находим рекуррентные соотношения для определения коэффициентов: EТ i B i 1 A i , i , i 2, n 1. A E B(1 i 1 ) A E B(1 i 1 ) Из граничного условия (3.1.5) в точке при i 1 имеем (3.1.17) 151 pi 0, qi Т b . (3.1.18) При i n с учетом условия тепловой изоляции (3.1.6) получим ETi B i 1 Ti . E B(1 i 1 ) (3.1.19) Решение задачи методом прогонки, разделяется на два этапа – сначала определяются прогоночные коэффициента i и i (прямая прогонка), затем вычисляются значения искомой функции (обратная прогонка). Число арифметических операций пропорционально числу уравнений. Алгоритм численного решения одномерной задачи теплопроводности с фазовым переходом описывается следующим образом: I. Задается начальное распределение температуры Т i T0 , и задается нулевое s 0 приближение Т i Т i при i 1, n . II. Определяется температурное распределение в горной породе: а) находятся прогоночные коэффициенты i и i для всех i 1, n 1 по уравнениям (3.1.17), (3.1.18); б) по известному значению Т n (3.1.19), используя рекуррентную формулу обратной прогонки (3.1.16), определяются последовательно значения Т i для всех i n 1, 1 ; в) пункты «а» и «б» повторяются до выполнения условия сходимости s 1 s итераций max Ti Ti , где – бесконечно малая величина (заданная i 1, n точность вычислений), s – порядок итерации, т.е. проводятся локальные ~ итерации, так как коэффициенты i и Ci являются нелинейными функциями температуры. 152 На каждом временном слое пункт II повторяется. Данная разностная задача будет вполне определенной, если указать способ выбора параметров сглаживания, который играет определенную роль в точности решения. В работе [48] говорится, что наиболее предпочтительными являются схемы с автоматическим выбором интервала сглаживания (сглаживание в пределах одной пространственной ячейки). В работе [120] полуинтервал сглаживания предлагается выбирать таким образом, чтобы он «охватывал» 2–3 счетные точки, а в работе [48] интервал сглаживания брать таким, чтобы он «охватывал» на сетке 4 – 8 узлов, но при этом допускается асимметричность «половинок» интервала в некоторых пределах. ~ Коэффициенты i и Ci разностного уравнения (3.1.13) вычисляются в зависимости от значения температуры по выражениям (3.1.11), (3.1.12). Теплота фазового перехода, выделяющаяся или поглощающаяся на фазовом ~ фронте, учитывается в выражении теплоемкости C , определенном в интервале сглаживания. Если в указанный интервал не попадет ни одно узловое значение температуры, то температурное поле будет определено без учета выделения или поглощения теплоты на фронте. Следовательно, возникает условие выбора длины интервала сглаживания: параметры сглаживания должны быть выбраны так, чтобы на каждом временном шаге интервал сглаживания определялся значениями температур хотя бы в двух соседних узлах, между которыми находится фронт фазового перехода (сглаживание в пределах одной пространственной ячейки) [101, 113, 114] Если фазовый фронт находится между пространственными узлами хi 1 и хi , то должны выполняться следующие условия [113, 114]: Т i Т ph liq , Т ph Т i 1 s , при Т i Т i 1 ; liq s Т i Т i 1 , Т i Т ph Т i 1 Т ph 0, Т i 1 Т ph liq , Т ph Т i s , при Т i Т i 1 ; где Ti 1 и Ti – значения температуры в узлах хi 1 и хi соответственно. 153 Для оценки точности конечно-разностной схемы, разработанной на основе метода Самарского-Моисеенко, проведено сравнение результатов численного расчета с точным автомодельным решением задачи протаивания неограниченного массива грунта при постоянной температуре воздействия (3.1.5). Точное автомодельное решение задачи протаивания грунта. Рассмотрим точное автомодельное решение одномерной задачи протаивания грунта [75]. В начальный момент грунт находится в мерзлом состоянии и имеет некоторое заданное распределение температуры T0 Tph . На его поверхности внезапно устанавливается некоторая температура T (0, t ) Tb , которая выше температуры протаивания Tph . В результате образуется протаявшийся слой переменной толщины S f (t ) . Нижняя подвижная граница его всегда имеет температуру протаивания. На этой границе происходит переход из одного агрегатного состояния в другое, на что требуется теплота фазового перехода W . Таким образом, верхняя граница ( x S ) мерзлой зоны имеет постоянную температуру фазового перехода, а ее нижняя граница ( x L ) – некоторую постоянную температуру грунта (можно принять начальную температуру T0 ). При этом нижнюю границу мерзлой зоны принимают лежащей бесконечно глубоко ( L ). Теплофизические коэффициенты мерзлой и талой зон грунта различны. Предполагается, что перенос тепла в грунте происходит только вследствие теплопроводности. Исходную задачу протаивания грунта математически можно сформулировать следующим образом: Tliq t aliq 2Tliq x 2 , t 0, 0 x S , (3.1.20) Ts 2Ts as 2 , t 0, S x , t x (3.1.21) Ts ( x, 0) T0 const, T0 Tph , S (0) 0 , (3.1.22) 154 Tliq (0, t ) Tb const, Tb Tph , (3.1.23) Ts ( L, t ) T0 , L , (3.1.24) с условиями на границе раздела фаз при x S (t ) : Tliq (S , t ) Ts (S , t ) Tph const , liq Tliq x s Ts S lph . x t (3.1.25) (3.1.26) Следовательно, задача о протаивании грунта представляет собой задачу о сопряжении двух температурных полей, определяемых уравнениями (3.1.20) и (3.1.21), при наличии особого граничного условия на движущейся границе раздела фаз, состоящего из уравнений (3.1.25) и (3.1.26). Вводя автомодельную переменную x 2 at (3.1.27) получим, что граница раздела фаз движется по закону S 2 aliq t , (3.1.28) где – некоторая константа, характеризующая скорость распространения зоны протаивания в грунте по отношению к скорости нагрева грунта, которая вычисляется из трансцендентного уравнения, получаемого из условия Стефана. При численном решении данной одномерной задачи величина радиуса теплового влияния берется достаточно большой, т.к. аналитическое решение получено для полупространства. В отличие от вышеописанной разностной схемы на другой границе задается постоянная температура, т.е. при i n Tn T0 . 155 Расчеты были проведены при следующих входных данных [114]: Tph 0 °C, T0 3 °C, Tb 10 °C, lph 334.4 кДж/кг, 1400 кг/м3, 0.2 , liq 1.974 Вт/(мК), s 2.601 Вт/(мК), Сliq 3745.28 кДж/(м3К), Сs 2808.96 кДж/(м3К), L 100 м; Max(t j 0 ) 360 сут, n 2001. Оказалось, что наибольшая относительная погрешность вычисления координаты фазового перехода наблюдается, если сглаживание проводить в пределах одной пространственной ячейки. Эта погрешность значительно понижается, если фазовая область охватывает больше двух узлов. Очевидно, что в начале процесса протаивания не могут выполняться условия выбора интервала сглаживания; поэтому в эти моменты времени сглаживание можно проводить в пределах одной пространственной ячейки или ограничиться несколькими узлами. При симметричности половинок интервала сглаживания получается, что количества узлов, охватываемых областью фазового перехода как со стороны жидкой, так и твердой фаз будут неодинаковыми. Для задачи протаивания число узлов, входящих в интервал сглаживания со стороны жидкой фазы меньше, чем со стороны твердой [113, 114]. На рис. 3.1.2 показан закон движения фазового фронта. При этом число узлов, входящих в интервал сглаживания со стороны жидкой фазы равно 3, а со стороны твердой – 5. Некоторое различие между результатами объясняется тем, что в точном автомодельном решении в отличие от численного массив грунта считается неограниченным, то есть для движения фронта протаивания создаются более благоприятные условия из-за отсутствия теплоизолированной границы. Результаты сравнения точного автомодельного и численного решений позволяют сделать вывод о правильности разработанной конечно-разностной схемы и вычислительного алгоритма. 156 Рисунок 3.1.2. Изменение координаты фазового фронта с течением времени: сплошная линия – точное автомодельное решение, штриховая – численное. 3.2. Изучение влияния режима отбора нефти из скважин на тепловой режим многолетнемерзлых горных пород Задача теплового взаимодействия потоков жидкости и газа в эксплуатационных скважинах с окружающими горными породами, как уже указывалось выше, должна рассматриваться в сопряженной постановке. При этом следует учитывать резкое различие характерного времени переходных процессов в скважинах, где происходит перенос тепла за счет вынужденной конвекции и скорости потока имеют порядок 1 м/с, и в горных породах, где скорость кондуктивного коэффициента переноса тепла температуропроводности. очень Это мала различие из-за малости еще больше усугубляется при фазовых переходах влаги в мерзлых горных породах, так как скорость движение границы раздела фаз распространения температурного возмущения. много меньше скорости 157 Очевидно, что по этим причинам перенос тепла в скважинах можно моделировать стационарными уравнениями, в которые время будет входить параметрически через медленно изменяющуюся температуру горных пород в слагаемом, описывающем теплообмен движущегося флюида (нефти или газа) с окружающей средой (горной породой). Математическая постановка задачи. При стационарном движении нефти в вертикальной скважине уравнение энергии имеет вид [125]: dTн D T Tн g , dx c pн M c pн (3.2.1) где c pн – удельная теплоемкость нефти; M н Q – массовый расход нефти, являющийся константой; T – температура окружающих горных пород, являющейся медленно меняющейся функцией времени; Tн – температура нефти; x – координата вдоль оси насосно-компрессорных труб, отсчитываемая от забоя; н – плотность нефти. В уравнении (3.2.1) первое слагаемое в правой части описывает теплообмен с горными породами, а второе – охлаждение нефти за счет адиабатического расширения. Уравнение (3.2.1) при температуре горных пород линейно возрастающей с глубиной по закону T T0 x , 0 x x1 (3.2.2) имеет следующее решение [6, 16]: x g 1 exp , 0 x x1 . Tн T x0 x c pн 0 (3.2.3) 158 Здесь T0 – пластовая температура (на забое скважины при x 0 ); x1 – расстояние от забоя скважины до подошвы мерзлых горных пород; параметр x0 c pн M D . Геотермический градиент определяется путем экстраполяции результатов геотермических измерений. При построении решения (3.2.3) считалось, что температура на забое скважины и температура горных пород на этой глубине совпадают. Это означает, что начальное условие для уравнения (3.2.1) имеет вид T (0) T0 . В зоне многолетней мерзлоты величина геотермического градиента очень мала, так что его можно положить равным нулю. Тогда изменение температуры нефти в этой области имеет вид [6, 16]: ( x x1 ) ( x x1 ) gx T 0 1 exp , x1 x L , (3.2.4) Tн Tн1 exp x0 c pн x0 где Tн1 – температура нефти при x х1 , определяемая из (3.2.3); L – глубина скважины. Решения, представленные формулами (3.2.3) и (3.2.4), содержат температуру горных пород T , которая определяется из решения уравнения теплопроводности: Т ~ Т 1 r Т , rb r rk , t 0 ; C Т t r r r (3.2.5) ~ где Т – коэффициент теплопроводности, C Т – объемная теплоемкость горных пород, являющиеся кусочно-постоянными функциями от температуры (3.1.11) и (3.1.12) При записи уравнения (3.2.5) было сделано предположение, что тепловой поток в каждом сечении скважины распространяется строго радиально, Связь 159 для перехода от одного сечения к другому осуществляется через решения (3.2.3) и (3.2.4) и граничное условие на наружной стенке скважины: Т Т Т Т н , r rb . r (3.2.6) Суммарный коэффициент теплопередачи определяется по формуле: 1 n d 1 1 1 ln i 1 , d n1 0 d1 i 1 2i d i где d1 D , d n1 2rb – внутренний и внешний диаметр скважины, 0 – коэффициент теплоотдачи от нефти к внутренней стенке трубы; d i , i – диаметр и коэффициент теплопроводности i 1, n слоев конструкции скважины (насосно-компрессорных труб, кольцевого затрубного пространства, обсадной колонны, возможной теплоизоляции и т.д.). На условном радиусе теплового влияния принимаем условие отсутствия теплового потока: Т 0 , r rk . r (3.2.7) Начальное распределение температуры в момент пуска скважины t 0 после длительного простоя представляет собой некоторую постоянную для заданного сечения x: T0 Гx, 0 x x1 , Т Te , x1 x L, (3.2.8) 160 где Te – температура мерзлых горных пород. При остановке работы скважины уравнение теплопереноса, описывающее изменение температуры нефти, имеет вид [6, 16]: dTн T Tн , dt где 4 c pн н D (3.2.9) . В момент начала остановки принимается Tн f ( x) . Для определения температурного поля горных пород в различные периоды эксплуатации скважины необходимо совместно решить уравнения (3.2.3) – (3.2.9). Численная реализация модели и алгоритм решения. В области изменения переменных r , вводятся неравномерные пространственно- временные сетки – основная и потоковая: h ri ri1 hi , i 1, n 1; r0 rb ; rn rk ; i h1 / 2, i 0; hi hi1 / 2, i 1, n 1; hn / 2, i n ; t j j j , j 1, J 1; 0 0; J Max(t j ); где hi , i – шаги основной и потоковой пространственной сетки соответственно, n – количество узлов сетки по координате r ; j – шаг временной сетки; J – максимальное число локальных итераций за время Max(t j ) . Для получения консервативной разностной схемы методом баланса или интегро-интерполяционным методом [117, 119] интегрируем уравнение (3.2.5) по r ri 1/ 2 , ri 1/ 2 r ri 21/ 2 2 i ri , получим: 2 i 1 / 2 и с учетом того, что для равномерной сетки 161 s s ~s s 1 j 1 s j i ri i 1 / 2 ri 1 / 2 s 1 j 1 s 1 j 1 i 1 / 2 ri 1/ 2 s 1 j 1 s 1 j 1 T i 1 T i T i T i 1 , i 1, n 1 ; Сi T i T i h h i 1 i j (3.2.10) ~s ~ s j 1 где s – порядок итерации. Здесь принято обозначение Сi C T i , а разностные аналоги коэффициента теплопроводности вычисляются как некоторые средние значения в пределах ячейки: s i 1 / 2 s j 1 s j 1 s s j 1 s j 1 T i 1 T i T i T i 1 , i 1 / 2 . 2 2 Распределение температуры и конфигурация протаявшей части массива горных пород за счет теплового взаимодействия с нефтяной скважиной определяется из системы линейных алгебраических уравнений (3.2.10), с соответствующими начальными и граничными условиями. Так как сглаженные коэффициенты зависят от температуры, получающаяся разностная задача будет нелинейной и ее решение будет найдено методом простой итерации с использованием алгоритма прогонки. Вычислим прогоночные коэффициенты i и i , для чего разностное уравнение (3.2.10) перепишем в виде: s 1 j 1 s 1 j 1 s 1 j 1 Ai T i 1 ( Ai Bi Ei ) T i Bi T i 1 Ei , i 1, n 1 ; s где Ai i 1 / 2 ri 1 / 2 hi 1 s , Bi i 1 / 2 ri 1 / 2 hi ~s r s j , Ei С i i i T i . j Решение уравнения (3.2.11) ищется в виде: (3.2.11) 162 s 1 j 1 Ti При s 1 j 1 i T i 1 i , i n 1, 0 . (3.2.12) i 0 , используя условие конвективного теплообмена (3.2.6), получим: i Ai E rbTн , i i . Ai Ei rb Ai Ei rb (3.2.13) При i 1, n 1 прогоночные коэффициенты определяются по формулам: i Ai Ei Bi i 1 , i . Ai Ei Bi 1 i 1 Ai Ei Bi 1 i 1 (3.2.14) При i n с учетом условия отсутствия теплового потока (3.2.7) получим: s 1 j 1 Ti Ei Bi i 1 . Ei Bi 1 i 1 (3.2.15) Алгоритм численного решения сопряженной задачи теплообмена между нефтью в скважине и горными породами для некоторой глубины х 0, L описывается следующим образом: 0 j 1 I. Задается нулевое приближение s 0 , T i Ti j при i 0, n . По методу 0 Рунге-Кутта вычисляется температура нефти Tн по уравнению (3.2.3) или (3.2.4) в зависимости от глубины x . II. Определяется температурное распределение в массиве горных пород: а) по уравнениям (3.2.13) и (3.2.14) вычисляются прогоночные коэффициенты для всех i 0, n 1; 163 б) по известному значению (3.2.15) и используя рекуррентную формулу s 1 j 1 обратной прогонки (3.2.12) определяются последовательно значения T i для всех i n 1, 0 ; в) пункты «а» и «б» повторяются до выполнения условия сходимости s 1 j 1 s j 1 итераций max T i T i i 0 ,n , где – бесконечно малая величина, т.е. ~ проводятся локальные итерации, так как коэффициенты i и C i являются нелинейными функциями температуры. s 1 s III. Проверяем выполнение условия Tн Tн . Если оно не выполняется, то возвращаемся к пункту II. Тем самым процесс итерации повторяется до тех пор, пока не достигается наперед заданная точность. На каждом временном слое пункты I – III повторяются. Анализ имеющихся данных и выбор вариантов расчета для Ванкорского нефтегазового месторождения. Расчеты выполнены при исходных данных, включающих в себя: сведения о геологическом строении Ванкорского нефтегазового месторождения Красноярского края, сведения о вещественном составе горных пород и их теплофизических характеристиках, данные термометрии и кавернометрии разведочных скважин, результаты гидродинамических испытаний продуктивных горизонтов, значения пластовых параметров, характеристики добываемой нефти. Недостающие данные были получены из опубликованной справочной или научной литературы. Расчеты теплового режима массива горных пород для всех скважин проводятся при следующих входных данных: Tph 0 °C; qph 334.4 кДж/кг; g 9.81 м/с2; с pн 2100 Дж/(кгК); н 905 кг/м3, rb 0.162 м, rk 200.162 м, n 1000 ; h 0.2 м; 3600 с. Теплофизические свойства и физические параметры горных пород представлены в таблице 3.2.1. Ванкорского нефтегазового месторождения 164 Таблица 3.2.1 Теплофизические свойства и физические параметры горных пород liq , s , Сliq , Сs , кДж/(м3К) кДж/(м3К) 1.93 2570 2310 1.62 1.86 2680 2420 0.10 1.44 1.67 2720 2510 2300 0.06 2.00 - 2440 - 980 – 1831 2350 0.055 2.27 - 2420 - 1831 – 2561 2380 0.053 2.38 - 2420 - 2561 – L 2330 0.057 2.10 - 2440 - Интервал , , глубин, м кг/м3 д.е. 0 – 86 2000 0.12 1.69 86 – 488 2000 0.12 488 – 539 2120 539 – 980 Вт/(мК) Вт/(мК) Среднее значение коэффициента конвективного теплообмена 0 , которое считается постоянным по длине скважины, вычисляется по формуле: 0 Nu н . D (3.2.18) где н 0.12 Вт/(мК) – коэффициент теплопроводности нефти. Для турбулентного режима движения нефти в скважине полуэмпирическая зависимость среднего значения числа Нуссельта от чисел Рейнольдса Re 4Q D vн и Pr Прандтля vн c pн н н имеет вид Nu 0.023 Re 0.8 Pr 0.43 . При кинематической вязкости нефти vн 21.1 10 6 м2/с, коэффициентах теплопроводности стали предварительный расчет величину 5 Вт/(м2К). с 58 Вт/(мК) суммарного и цемента коэффициента ц 1.92 Вт/(мК) теплопередачи дал 165 По результатам испытания скважин Ванкорского месторождения известны следующие параметры продуктивных горизонтов: для скважины № СВн-2 D 0.168 м, 0.026 °C/м, х1 L 500 м, а) при L 1676 м – Q 13.4 м3/сут, T0 29.8 °C, б) при L 2828 м – Q 72 м3/сут, T0 60.6 °C, для скважины № СВн-11 D 0.114 м, 0.027 °C/м, х1 L 475 м, а) при L 1665 м – Q 230.5 м3/сут, T0 31.5 °C, б) при L 2778 м – Q 555.4 м3/сут, T0 64.5 °C. Рассматривались следующие сценарии работы скважин: 1. при постоянном дебите Q ; 2. при переменном дебите, когда Q за 25 лет эксплуатации уменьшается в 10 раз; 3. то же самое как п. 2, но с остановкой скважины после года работы на один год с последующим возобновлением с тем же дебитом. Таким образом, общее число вариантов расчета составило 12. Результаты расчета температурных полей горных пород при трех сценариях эксплуатации нефтяных скважин № СВн-2 и № СВн-11. Вычисления подтвердили сказанное ранее о существенном различии временных масштабов для процессов, происходящих в скважине и в горных породах: переходные процессы в скважине заканчиваются за достаточно короткое время и поэтому изменение температуры добываемой нефти как бы отслеживает медленное изменение температуры горных пород. Результаты вычислений для верхнего продуктивного горизонта (глубина 1676 м) скважины № СВн-2 представлены на рис. 3.2.1 – 3.2.8. На всех рисунках цифры у кривых соответствуют вариантам сценария. На рис. 3.2.1 и 3.2.3 приведены кривые изменения температуры горных пород на контакте со скважиной во времени на глубине 1000 м от забоя скважины и 100 м от устья, соответственно. 166 Рисунок 3.2.1. Зависимость температуры горных пород на контакте со скважиной от времени для скважины № СВн-2 (горизонт 1676 м), глубина 676 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.2. Температурное поле горных пород через 25 лет работы скважины № СВн-2 (горизонт 1676 м), глубина 676 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 167 Рисунок 3.2.3. То же, что на рис. 3.2.1, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.4. То же, что на рис. 3.2.2, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 168 Рисунок 3.2.5. Температурное поле горных пород через 5 лет работы скважины №СВн-2 (горизонт 1676 м), глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.6. То же, что на рис. 3.2.5 через 25 лет работы скважины (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 169 Рисунок 3.2.7. Изменение температуры нефти во времени, глубина 676 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.8. То же, что на рис. 3.2.5, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Видно, что при постоянном дебите происходит ее монотонное снижение. Это объясняется следующими причинами: охлаждением нефти за счет ее 170 адиабатического расширения при подъеме, сравнительно небольшим дебитом и последующим охлаждением при контакте с многолетней мерзлотой. В то же время для второго (падающая добыча) и третьего (падающая добыча с остановкой) сценариев температура пород вначале понижается, а затем по мере снижения дебита восстанавливается, и за 25 лет эксплуатации практически сравнивается с начальной температурой горных пород. Отметим также, что остановка скважины на год после первого года эксплуатации не оказывает длительного влияния на последующий температурный режим горных пород (см., например, кривые 2 и 3 на рис. 3.2.1 – 3.2.3). При этом зона теплового влияния таких малодебитных скважин невелика, и в данном случае составляет примерно 200 радиусов скважины, то есть, примерно 30 м (рис. 3.2.2 и 3.2.4). Из кривых на рис. 3.2.2 следует, что при таком режиме отбора протаивания мерзлых горных пород не происходит. Более детальные зависимости температуры горных пород от расстояния от скважины для первого сценария представлены на рис. 3.2.5 и 3.2.6, через 5 и 25 лет после пуска скважины в эксплуатацию, соответственно. Соответствующие изменения температуры нефти в скважине приведены на рис. 3.2.7 (1000 м от забоя) и на рис. 3.2.8 (100 м от устья). Здесь проявляются те же закономерности, что и для температуры горных пород, причем на соответствующих глубинах температура нефти несколько ниже температуры горных пород вблизи скважины. Аналогичные результаты для этой же скважины, но для продуктивного горизонта на глубине 2828 м представлены на рис. 3.2.9 – 3.2.16. В этом случае из-за существенно более высоких значений дебита и температуры на забое ситуация резко изменяется. Во-первых, при постоянном дебите температура горных пород монотонно изменяется во времени. На расстоянии 1000 м от забоя она возрастает (кривую 1 на рис. 3.2.9), а на глубине 100 м, то есть в зоне многолетней мерзлоты, убывает (кривую 1 на рис. 3.2.11). Во-вторых, при падающей добыче на расстоянии 1000 м от забоя температура пород возрастает в течение первого 171 года, затем убывает, но после 20 лет эксплуатации, то есть после существенного снижения дебита, вновь начинает увеличиваться (кривую 2 на рис. 3.2.9). Для этого же сценария, но в зоне многолетней мерзлоты температура пород вначале убывает, а затем начинает расти, оставаясь ниже температуры фазового перехода «лед–вода» (кривую 2 на рис. 3.2.11). Следовательно, в этом случае протаивания мерзлых горных пород не произойдет. Это подтверждается характером распределения температуры по радиусу (кривые 1 – 3 на рис. 3.2.12). При этом кривые 2 и 3 практически совпадают не только на этой глубине, но и на расстоянии 1000 м от забоя (рис. 3.2.10), что свидетельствует о незначительном влиянии остановки скважины на распределение температуры горных пород через 25 лет ее эксплуатации. Более детальное изменение температуры горных пород с расстоянием от скважины для первого сценария представлены на рис. 3.2.15 и рис. 3.2.14, через 5 и 25 лет после пуска скважины в эксплуатацию, соответственно. Рисунок 3.2.9. Зависимость температуры горных пород на контакте со скважиной от времени для скважины №СВн-2 (горизонт 2828 м), глубина 1828 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 172 Рисунок 3.2.10. Температурное поле горных пород через 25 лет работы скважины №СВн-2 (горизонт 2828 м), глубина 1828 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.11. То же, что на рис. 3.2.9, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 173 Рисунок 3.2.12. То же, что на рис. 3.2.10, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.13. Температурное поле горных пород через 5 лет работы скважины №СВн-2 (горизонт 2828 м), глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 174 Рисунок 3.2.14. То же, что на рис. 3.2.13 через 25 лет работы скважины (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.15. Изменение температуры нефти во времени, глубина 1828 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 175 Рисунок 3.2.16. То же, что на рис. 3.2.15, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Изменение температуры нефти в скважине со временем качественно повторяет изменения температуры пород на соответствующих глубинах. Однако если для расстояния 1000 м от забоя через 25 лет эта температура равна температуре пород на внешней стенке скважины (сравни кривые 1 на рис. 3.2.9 и на рис. 3.2.15), то в зоне многолетней мерзлоты она существенно ниже (сравни кривые 1 на рис. 3.2.11 и на рис. 3.2.16). Теперь температурное перейдем к поле анализу влияния горных пород. скважины Вначале № рассмотрим СВн-11 на результаты, полученные для продуктивного горизонта на глубине 1665 м (рис. 3.2.17 – 3.2.25). Кривые на этих рисунках построены для тех же отметок, что и в предыдущем случае: 1000 м от забоя и 100 м от устья. Прежде всего, отметим, что из-за высокого дебита и сравнительно небольшой глубины продуктивного горизонта здесь при постоянном дебите происходит интенсивное нагревание окружающих скважину горных пород, непосредственно контактирующих со скважиной (кривые 1 на рис. 3.2.17 и рис. 3.2.19). Однако область этого теплового воздействия невелика, и даже 176 через 25 лет работы скважины она не превышает 30 м (кривые 1 на рис. 3.2.18 и на рис. 3.2.20). При падающем дебите рост температуры горных пород будет происходить в течение первых 4 – 5 лет эксплуатации, а затем начнется ее понижение, так что через 25 лет на контакте скважины с горными породами восстановится их естественная температура (кривые 2 и 3 на рис. 3.2.17 и рис. 3.2.19). Следовательно, здесь будет иметь место интенсивное протаивание многолетнемерзлых пород, при котором размер талой зоны за 25 лет составит примерно 10 м (кривую 1 на рис. 3.2.21). Для убывающего дебита эта величина составит 8 м (кривые 2 и 3 на этом же рисунке). Отметим, что период обратного смерзания пород при остановке скважины после года работы непродолжителен (кривую 3 на рис. 3.2.21). Для большей наглядности приведем также кривые пространственного распределения температуры горных пород после 5 (рис. 3.2.22) и 25 лет (рис. 3.2.23) работы скважины. Рисунок 3.2.17. Зависимость температуры горных пород на контакте со скважиной от времени для скважины №СВн-11 (горизонт 1665 м), глубина 665 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 177 Рисунок 3.2.18. Температурное поле горных пород через 25 лет работы скважины №СВн-11 (горизонт 1665 м), глубина 665 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.19. То же, что на рис. 3.2.17, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 178 Рисунок 3.2.20. То же, что на рис. 3.2.18, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Изменения температуры нефти в скважине со временем можно видеть на рис. 3.2.24 и рис. 3.2.25. Здесь, прежде всего, обращает на себя внимание тот факт, что этот параметр при постоянных темпах отбора довольно быстро выходит на стационарное значение, которое сохраняется все 25 лет эксплуатации (кривая 1 на рис. 3.2.24 и рис. 3.2.25). При падающей добыче она существенно понижается (кривые 2 и 3 на этих же рисунках). Здесь следует отметить, что для этого варианта температура нефти существенно выше температуры окружающих пород на соответствующих глубинах (ср. кривые 1 на рис. 3.2.17 и на рис. 3.2.24 и аналогичные кривые на рис. 3.2.19 и рис. 3.2.25). Отмеченные для этого продуктивного горизонта особенности теплового взаимодействия нефтяных скважин с окружающими породами еще более усиливаются для горизонта с отметкой 2778 м (рис. 3.2.26 – рис. 3.2.34). Они проявляются в более высокой температуре горных пород и нефти в скважине на различных глубинах и, что самое важное, в увеличении размеров области протаивания (свыше 15 м). В связи с последним обстоятельством стоит 179 отметить и сокращение разницы в величине этого параметра для постоянного и падающего дебита (сравни кривые 1 и 2 на рис. 3.2.30). Рисунок 3.2.21. Изменение радиуса протаивания мерзлых пород во времени, горизонт 1665 м, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.22. Температурное поле горных пород через 5 лет работы скважины №СВн-11 (горизонт 1665 м), глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 180 Рисунок 3.2.23. То же, что на рис. 3.2.22 через 25 лет работы скважины (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.24. Изменение температуры нефти во времени, глубина 665 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 181 Рисунок 3.2.25. То же, что на рис. 3.2.24, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.26. Зависимость температуры горных пород на контакте со скважиной от времени для скважины №СВн-11 (горизонт 2778 м), глубина 1778 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 182 Рисунок 3.2.27. Температурное поле горных пород через 25 лет работы скважины №СВн-11 (горизонт 2778 м), глубина 1778 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.28. То же, что на рис. 3.2.26, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 183 Рисунок 3.2.29. То же, что на рис. 3.2.27, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.30. Изменение радиуса протаивания мерзлых пород во времени, горизонт 2778 м, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 184 Рисунок 3.2.31. Температурное поле горных пород через 5 лет работы скважины №СВн-11 (горизонт 2778 м), глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.32. То же, что на рис. 3.2.31 через 25 лет работы скважины (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) 185 Рисунок 3.2.33. Изменение температуры нефти во времени, глубина 1778 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Рисунок 3.2.34. То же, что на рис. 3.2.33, глубина 100 м (цифры у кривых соответствуют сценариям работы скважины) Результаты расчета температурных полей горных пород при планируемой добыче нефти из скважин № 125 и № 319. По результатам 186 испытания скважин Ванкорского месторождения известны следующие параметры продуктивных горизонтов [47]: для скважины №125 (нижнехетский горизонт, абсолютная отметка кровли/подошвы 2558/2960 м): D 0.114 м, L 2759 м, T0 53 °С, 0.0234 °С/м, х1 L 490 м; для скважины №319 кровли/подошвы (яковлевский 1360/1898 м): горизонт, D 0.114 м, абсолютная L 1629 м, отметка T0 28 °С, 0.024 °С/м, х1 L 480 м. При планируемой добыче нефти соответствующие изменения дебита в первые 5 лет разработки месторождения по двум скважинам представлены кривыми на рис. 3.2.35. Рисунок 3.2.35. Динамика дебита в режиме добычи: сплошная кривая – для скважины №125, пунктирная – для скважины №319 187 Вначале проанализируем результаты вычислений для скважины №125 (рис. 3.2.36 – 3.2.41). Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы. Повышение температуры горных пород происходит в основном за первый год работы скважины, затем существенно замедляется (кривые на рис. 3.2.36). При этом основные изменения температуры происходят в окрестности скважины примерно на расстоянии 20 – 30 м от обсадной колонны (кривые на рис. 3.2.37 – 3.2.39). Сказанное в одинаковой степени относится и к глубинным горным породам и к многолетней мерзлоте, подошва которой для скважины №125 находится на глубине 490 м. Рисунок 3.2.36. Изменение температуры горных пород во времени на контакте с обсадной колонной скважины №125 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) 188 Рисунок 3.2.37. Температурное поле горных пород через 5 лет работы скважины №125 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) Рисунок 3.2.38. Зависимость температуры горных пород от расстояния до скважины №125 через 1 год эксплуатации (ближняя зона) (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) 189 Рисунок 3.2.39. Зависимость температуры горных пород от расстояния до скважины №125 через 5 лет эксплуатации (ближняя зона) (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) Естественно, что такой характер изменения температуры горных пород на контакте со скважиной сказывается на динамике роста талой зоны. Однако значительная тепловая инерционность процессов фазового перехода в многолетней мерзлоте приводит к тому, что скорость движения фронта фазового перехода «мерзлая горная порода – талая горная порода» хотя и замедляется со временем, но не столь значительно, как скорость роста температуры пород (кривые на рис. 3.2.40). Отметим, что наибольшего размера талая зона достигает на подошве многолетней мерзлоты: примерно 8 м, тогда как на глубине 50 м она составляет чуть больше 6 м (сравни сплошную и штриховую кривые на рис. 3.2.40). Этот результат хорошо коррелирует с динамикой изменения температуры нефти в скважине (рис. 3.2.41). Видно, что на глубине 1759 м, то есть на расстоянии 1000 м от забоя, температура нефти примерно за месяц с момента пуска скважины становится равной температуре горных пород на этой глубине, а затем практически не меняется (сплошная кривая на рис. 3.2.41). В то же 190 время изменение температуры нефти на глубинах, соответствующих многолетней мерзлоте носит более сложный характер. Вначале она быстро растет и выходит на горизонтальное плато, на котором удерживается 9 – 10 месяцев, а затем уменьшается, выходя на новое плато примерно через два года с момента пуска скважины (штриховая и пунктирная кривые на рис. 3.2.41). Эти особенности объясняются все той же инерционностью процессов фазового перехода, и отражает тот физический факт, что затраты тепловой энергии на повышение температуры горных пород много меньше затрат на его плавление. При этом через некоторое время процесс теплопроводности в талой зоне выходит на стационарный режим, что и отражает второе плато на кривых рис. 3.2.41. Рисунок 3.2.40. Изменение размеров талой зоны для скважины №125 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) 191 Рисунок 3.2.41. Динамика температуры нефти в скважине №125 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) Рисунок 3.2.42. То же, что на рис. 3.2.36, для скважины №319 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) 192 Рисунок 3.2.43. То же, что на рис. 3.2.37, для скважины №319 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) Рисунок 3.2.44. То же, что на рис. 3.2.38, для скважины №319 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) 193 Рисунок 3.2.45. То же, что на рис. 3.2.39, для скважины №319 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) Рисунок 3.2.46. То же, что на рис. 3.2.40, для скважины №319 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) 194 Рисунок 3.2.47. То же, что на рис. 3.2.41, для скважины №319 (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) Рисунок 3.2.48. Динамика температуры нефти в скважине №319 в первый год эксплуатации (цифры у кривых соответствуют глубине скважины) Теперь рассмотрим результаты расчетов для скважины №319, дебит которой примерно в 4 раза меньше, чем у скважины №125. Весьма велики и различия в глубине и температуре продуктивных горизонтов. Для скважины 195 №125: температура в продуктивной пачке 53°C, глубина 2759 м; для скважины №319: 28°C и 1629 м, соответственно. Несмотря на такие различия, основные тенденции динамики изменения температуры горных пород и роста талой зоны сохраняются и для скважины №319. Это наглядно демонстрируется кривыми на рис. 3.2.42 – 3.2.46. Естественно, что величины температуры пород и размера талой зоны существенно ниже, чем для скважины №125. Например, радиус талой зоны на подошве мерзлоты здесь составляет 5.2 м (рис. 3.2.46), тогда как в первом случае – 8 м. Все же существуют некоторые различия, на которых остановимся ниже. Во-первых, это более длительное понижение температуры горных пород в верхней части многолетней мерзлоты на контакте с обсадной колонной (штриховую кривую на рис. 3.2.42). Во-вторых, это различия в динамике изменения температуры нефти в скважине, особенно в зоне многолетней мерзлоты (сравни кривые на рис. 3.2.47 и рис. 3.2.41). Это различие особенно хорошо видно на рис. 3.2.48, и выражается оно в более заметном росте температуры нефти сразу после пуска скважины и в отсутствии промежуточного плато, как на рис. 3.2.41 (пунктир и штриховая линия на рис. 3.2.48). Из полученных результатов следует, что основное влияние на динамику формирования температурного поля горных пород и на интенсивность протаивания в зоне многолетней мерзлоты оказывают дебит скважин и температура продуктивного горизонта. При этом размеры талой зоны возрастают с глубиной, то есть наибольшее протаивание имеет место на подошве многолетней мерзлоты. Однако при больших дебитах радиус протаивания вблизи дневной поверхности также будет существенным, что для несцементированных горных пород может представлять определенную опасность для наземного оборудования скважины. Подводя итоги этого раздела, следует обратить внимание на необходимость конкретного анализа всех возможных сочетаний таких разнородных параметров, как глубина продуктивного горизонта, температура 196 на забое, геотермический градиент, глубина многолетнемерзлых пород и их температура, дебит скважины. Особое внимание следует уделить высокодебитным скважинам. В то же время небольшие вариации конструкции скважин не влияют существенно на интенсивность теплообмена с окружающими породами. Это же можно сказать и о теплофизических характеристиках горных пород, ибо они, не считая экзотических ситуаций, меняются не очень сильно. Конечно, возможные последствия протаивания мерзлых пород вблизи устья скважины будут существенно зависеть от типа грунтов в верхней части разреза. По этой причине было бы полезно провести вычислительный эксперимент, в котором можно было бы определить «вилку», внутри которой лежат все возможные для Ванкорского месторождения и проекта его разработки размеры зон протаивания горных пород у скважин и динамику развития во времени. Рассмотренная задача была рассмотрена для решения сопряженной задачи образования гидратов в газовых скважинах при тепловом взаимодействии с многолетнемерзлыми горными породами. 3.3. Моделирование течения несовершенного газа в скважинах с учетом возможного образования гидратов Анализ факторов, определяющих надежность подачи газа потребителям, расположенным в зоне многолетней мерзлоты, показал, что первым слабым звеном технологической цепочки является сама скважина и примыкающая к ней призабойная зона газоносного пласта. Именно здесь происходит интенсивное охлаждение газа за счет дросселирования при снижении давления и за счет теплообмена с окружающими скважину многолетнемерзлыми горными породами. Так как многие месторождения имеют достаточно высокие пластовые давления, то при этом возникает опасность образования газовых гидратов непосредственно в стволе скважин, что может привести либо к снижению их пропускной способности, либо к их полной закупорке. Опасность 197 закупорки скважин газовыми гидратами возникает и при их остановке из-за низкой температуры окружающих горных пород [10, 17]. Для предупреждения образования гидратов в скважинах необходимо создать такой режим отбора газа, при котором его температура будет выше равновесной температуры гидратообразования. В этой связи существенный интерес представляет изучение возможностей управления температурой газа без изменения конструктивных параметров скважин. Такая возможность основана на следующих особенностях температурного режима газовых скважин, на который влияют два фактора: внешний теплообмен и внутренние диссипативные термодинамические процессы, являющиеся следствием несовершенства газа. Оценим влияние каждого из этих факторов отдельно в зависимости от массового расхода. Рассмотрим температуру в фиксированном сечении скважины x x1 , при двух расходах M 2 M 1 и двух входных температурах T01 Te и T02 Te (где Te – температура окружающей среды). Если газ совершенен, то увеличение расхода при T01 Te ведет к увеличению температуры в сечении x x1 , а при T02 Te – к ее уменьшению. Влияние фактора диссипативности в зависимости от расхода можно оценить, моделируя движение несовершенного газа в теплоизолированной трубе. Для всех реальных случаев увеличение массового расхода ведет к понижению температуры в фиксированном сечении. Следовательно, при T01 Te увеличение массового расхода приводит к двум противоположным тенденциям: с одной стороны, температура газа увеличивается за счет уменьшения теплообмена, а с другой – уменьшается за счет дросселирования. При малых расходах преобладает первая тенденция, при больших – вторая. Если построить график изменения температуры в фиксированном сечении от расхода, то он будет иметь максимум при некотором его оптимальном значении M * [10, 17]. Далее рассматривается сопряженная задача теплообмена между несовершенным газом в скважине и окружающей средой (горными породами), которая сводится к решению дифференциальных уравнений, описывающих 198 неизотермическое течение газа в скважине, и уравнений распространения тепла в горных породах с соответствующими условиями сопряжения. При этом в квазистационарной математической модели образования (диссоциации) гидратов в газовых скважинах учитывается зависимость коэффициента теплопередачи от газа к внутренней стенке трубы от изменяющейся со временем площади проходного сечения. На конкретных примерах показано, что при сопряженной постановке время образования гидратных пробок существенно возрастает в отличие от случая, когда температура окружающих горных пород считается неизменной. Постановка задачи. Для количественной оценки воспользуемся математической моделью стационарного течения газа в трубах, выведенной в монографии [125], где было показано, что при нормальной (безаварийной) эксплуатации скважин скорость движения газа много меньше скорости звука. Например, при глубине скважины 3000 м и при массовом расходе 10 кг/с она составляет примерно 5 м/с [10, 17]. Для описания образования и отложения гидратов в скважинах используется квазистационарная математическая модель [7, 34, 41, 125], в которой движение несовершенного газа в трубах описывается в рамках трубной гидравлики, а динамика образования гидрата – в рамках обобщенной задачи Стефана, в которой температура фазового перехода «газ – гидрат» существенно зависит от давления в потоке газа. В этой модели, основанной на законах сохранения массы и энергии для потока газа, уравнения неразрывности, движения и энергии газа сведены к виду: M 2 dp g g sin , dx 4 g S 2.5 S 02.5 (3.3.1) dT dp D Te T g sin , dx dx c p M cp (3.3.2) 199 где S , D – безразмерное поперечное сечение и диаметр проходного сечения; x – координата вдоль оси трубы, – угол наклона трубы, отсчитываемый от фиксированной горизонтальной плоскости; – коэффициент гидравлического сопротивления, Te – температура окружающей среды (горных пород), T – температура газа, M gSS0 – массовый расход газа, являющийся константой. Остальные величины приведены в списке обозначений. Как указывалось выше, что одна из возможностей регулирования температуры газа в скважине основана на ее немонотонной зависимости от массового расхода. Подчеркнем, аналогичная зависимость от дебита, то есть от объемного расхода, уже не будет обладать такой особенностью. Это объясняется структурой уравнения (3.3.2). Действительно, если перебросить второе слагаемое слева в правую часть уравнения, и обратить внимание на зависимость градиента давления от расхода, то выясняется, что интенсивность внешнего теплообмена газа с окружающей средой (первое слагаемое в правой части (3.3.2)) обратно пропорциональна массовому расходу, тогда как интенсивность дросселирования прямо пропорциональна квадрату этой величины. В работах [10, 17] для определения возможностей регулирования температуры газа определены ее зависимости от величины M . Плотность газа связана с давлением и температурой уравнением состояния g p RT 2 , p, T , , RT c p p T p (3.3.3) n где R 8.314 g – газовая постоянная, g yi gi – молярная масса газовой i 1 смеси; y i , gi – объемная доля и молекулярный вес i -го компонента природного газа. Коэффициент несовершенства газа определяется по 200 формуле (1.2.24), а критические параметры газовой смеси – по формулам (1.1.2). Уравнение, описывающее изменение площади проходного сечения скважины S с течением времени, записывается в безразмерном виде: T T ( p) dS b2 e h b1 S (Th ( p) T ) , d 1 b2 ln S (3.3.4) где b1 1 D0 4h , b2 2 D0 4h , 1 – коэффициент теплообмена между газом и слоем гидрата; 2 – коэффициент теплообмена между слоем гидрата и горной породой, D0 – диаметр трубы до образования гидрата, hTc h qh D02 t – безразмерное время, Th p a ln p b – равновесная температура образования гидрата. Эмпирические коэффициенты a и b находятся путем аппроксимации кривой термодинамического равновесия гидратообразования, определяемой по методике Слоана [175, 176] по известному составу газа. В уравнении (3.3.4) все значения температур отнесены к критической температуре газа Tc . Начальные условия для уравнений (3.3.1), (3.3.2) и (3.3.4) сформулируем в виде: p0 p0 , T 0 T0 , S 0 сonst . (3.3.5) Уравнение (3.3.4) модифицируется на случай зависимости коэффициента 1 от изменяющейся во времени площади проходного сечения трубы S . Для вывода соответствующей полуэмпирическая формула зависимости для используется коэффициента известная теплопередачи при турбулентном течении газа в трубах [124]: Nu 0.023 Pr 0.43 R e 0.8 , (3.3.6) 201 где Nu 1 D g , Re D g g , Pr g c p g – параметры Нуссельта, Рейнольдса и Прандтля, соответственно. Используя выражение для массового расхода газа и формулы (3.3.6) получим: 0.8 M 4 1 D0 0.023Pr 0.43 D g 0 g 0.8 1 . S 0.9 (3.3.7) В тех сечениях скважины, где образуется гидратный слой, то есть, где безразмерная величина проходного сечения S меньше 1, коэффициент теплообмена в уравнении (3.3.2) вычисляется по формуле (3.3.7), и при этом значение температуры горных пород Te заменяется на равновесную температуру гидратообразования Th . Уравнения (3.3.2) и (3.3.4) содержат температуру горных пород Te , которая определяется из решения дифференциального уравнения теплопроводности Т 1 Т ~ r Т е е , rb r rk , t 0 , C Т е е t r r r (3.3.8) ~ где Т е – коэффициент теплопроводности, C Т е – объемная теплоемкость горных пород, являющиеся кусочно-постоянными функциями от температуры (3.1.11) и (3.1.12). При записи уравнения (3.3.8) было сделано предположение, что тепловой поток в каждом сечении скважины распространяется строго радиально. Связь для перехода от одного сечения к другому осуществляется через решения уравнения (3.3.2) и граничное условие на наружной стенке скважины 202 Т е Те Т е Т , r rb . r (3.3.9) На условном радиусе теплового влияния принимаем условие тепловой изоляции: Тe 0 , r rk . r (3.3.10) Начальное распределение температуры горных пород в момент пуска скважины после длительного простоя задается в виде: Tе 0 Гx, 0 x L H Те , Tfr , L H x L (3.3.11) где Te 0 – температура на забое скважины, Tfr – температура мерзлых горных пород, L – глубина скважины. Следовательно, для определения изменения температуры газа и площади проходного сечения скважины при её тепловом взаимодействии с горными породами необходимо совместно решить уравнения (3.3.1) – (3.3.11). Алгоритм численного решения сопряженной задачи теплообмена скважины с горными породами описывается следующим образом: I. Задаются геометрические и физические параметры, а также начальные условия (3.3.5) и (3.3.11). II. При фиксированной площади сечения по уравнениям (3.3.1) – (3.3.3) методом Рунге–Кутта 4-го порядка вычисляются давление px и температура T x газа в скважине. III. Из уравнений (3.3.4) и (3.3.7), делая шаг по времени, находится новое значение площади проходного сечения. При этом координата x входит в уравнение (4) как параметр. 203 IV. Определяется температурное распределение в массиве горных пород, то есть решается задача (3.3.8) – (3.3.11). Так как сглаженные коэффициенты в уравнении (3.3.8) зависят от температуры, получающаяся разностная задача будет нелинейной и ее решение находится методом простой итерации с использованием прогоночных алгоритмов. На каждом временном шаге пункты II – IV повторяются. При построении вычислительного алгоритма учитывалось существенное различие временных масштабов для процессов, происходящих в скважине и в горных породах: переходные процессы в скважине заканчиваются за достаточно короткое время и поэтому изменение температуры газа как бы отслеживает медленное изменение температуры горных пород. Результаты вычислительного эксперимента. Расчеты выполнялись при следующих значениях параметров, соответствующих двум месторождениям Республики Саха (Якутия): 1) Средне-Вилюйскому 5.82 Вт/(м2∙К), D0 0.1 м, 90о , 0.02 , h 920 кг/м3, qh 510000 Дж/кг, h 1.88 Вт/(м∙К), g 0.0307 Вт/(м∙К), c p 2300 Дж/(кг∙К), g 1.3 10 5 Па∙с, R 449.4 Дж/(кг∙К), p0 240 105 Па, T0 323 К, L 2550 м, pс 46.573 105 Па, H 500 м, Tс 205.239 К, Te 0 328 К, a 7.009 К, 0.0277 К/м, b 178.28 К, Tfr 271.15 К, Tph 273.15 К; qph 334400 Дж/кг; состав газа дан в табл. 1.1.1 (1969 г.); 2) Отраднинскому T0 286.35 К, R 438.3 Дж/(кг∙К), D0 0.146 м, p0 188.35 105 Па, pс 44.71 105 Па, Tс 195.376 К, a 6.635 К, b 182.951 К, L 2480 м, H 680 м, Te0 286.48 К, 0.0085 К/м; состав газа дан в табл. 1.4.2; остальные параметры имеют те же значения, что и в первом варианте. Видно, что эти месторождения имеют существенно различные составы природного газа, а также пластовые и геотермические условия при примерно равной глубине продуктивного горизонта. В качестве физических характери- 204 стик горных пород для этих месторождений приняты свойства, представленные в табл. 3.2.1. На начальном этапе вычислялся оптимальный массовый расход газа, соответствующий минимуму тепловых потерь в отсутствие гидратного слоя. Возможности выбора оптимального дебита газа, при котором теплопотери за счет дросселирования и за счет теплообмена с мерзлыми горными породами, в основном зависят от глубины скважины и значений пластовых температур и давлений, и в меньшей степени – от конструкции скважин. Установлено, что для неглубоких скважин оптимальный режим отбора может отсутствовать. Если при этом месторождение залегает под мощной толщей многолетней мерзлоты, то гидратообразование может иметь место по всему стволу скважины. Для Средне-Вилюйского месторождения оптимальный расход оказался равным 9 кг/с, а для Отраднинского такой расход примерно соответствует предельно свободному дебиту скважины и поэтому расчеты проводились при массовом расходе 2.86 кг/с, что соответствует рабочему дебиту скважины 187000 м3/сут. В последующем вычислительном эксперименте варьировались начальные значения свободного сечения скважины и массовый расход. Наиболее интересные результаты получены для Средне-Вилюйского месторождения. Они представлены на рис. 3.3.1 – рис. 3.3.5. Прежде всего отметим, что при оптимальном расходе гидратная пробка образуется вблизи устья скважины, а ее нижняя граница находится много выше подошвы многолетней мерзлоты, что хорошо видно на рис. 3.3.1а, где точка пересечения температуры газа (кривые 2 и 3) и равновесной температуры гидратообразования (кривая 4) соответствует глубине 2550–2505=45 м, то есть в этом интервале температура газа становится ниже температуры гидратообразования. Уменьшение проходного сечения сопровождается резким падением давления вблизи устья скважины (рис. 3.3.1б). При сопряженной постановке задачи значения температуры и давления газа в верхней части ствола скважины оказываются немного выше, а интервал образования 205 гидратной пробки немного меньше (33 м), чем при постоянной во времени температуре горных пород (кривые 3 на рис. 3.3.1а и рис. 3.3.1б). Рис. 3.3.2 иллюстрирует изменения площади проходного сечения скважины для двух значений массового расхода, когда в начальный момент скважина свободна от гидратов, то есть S 0 1. Видно, что при сопряженной постановке время образования гидратных пробок существенно возрастает в отличие от случая (поверхности 2), когда температура окружающих горных пород считается неизменной (поверхности 1). С увеличением массового расхода возрастает длительность процесса полной закупорки скважины гидратами: для оптимального расхода она составляет примерно 423 часа при сопряженной и 251 час при несопряженной постановке, а для меньшего расхода – 13 часов и 9 часов, соответственно. Рисунок 3.3.1. Изменение температуры (а) и давления (б) газа с глубиной для скважины Средне-Вилюйского месторождения при М 9 кг/с: |1 – t 0.34 часа, 2 – t 251.3 часа (при несопряженной постановке), 3 – t 422.9 часа (при сопряженной постановке), 4 – равновесная температура гидратообразования, 5 – начальная температура горных пород 206 Рисунок 3.3.2. Изменение площади проходного сечения скважины СреднеВилюйского месторождения по глубине и во времени при S (0) 1: а) М 9 кг/с; б) М 2 кг/с; 1 – несопряженная постановка, 2 – сопряженная постановка Рисунок 3.3.3. Динамика радиуса протаивания вокруг скважины Средне-Вилюйского месторождения по глубине и во времени при S (0) 1: а) М 9 кг/с; б) М 2 кг/с При этом наиболее интенсивное протаивание происходит вблизи подошвы мерзлоты, что объясняется сравнительно высокой температурой газа, а радиус протаивания примерно пропорционален массовому расходу – 1.3 м при 9 кг/с, 0.25 м при 2 кг/с (сравни рис. 3.3.3а и рис. 3.3.3б). 207 Ситуация становится менее предсказуемой, если в начальный момент скважина только наполовину свободна от гидратов, то есть S (0) 0.5 (рис. 3.3.4, рис. 3.3.5). В этом случае оптимальный расход газа составляет 4.8 кг/с. При таком расходе гидратная пробка вблизи устья скважины образуется через 173 часа (рис. 3.3.4а, поверхность 2) для сопряженной задачи и через 109 часов (рис. 3.3.4а, поверхность 1) для несопряженной задачи. Нижняя граница пробки находится на глубинах 56 м и 52 м для несопряженной и сопряженной задач, соответственно. При этом в нижней части скважины от забоя до глубин 1415 м (для несопряженной) и 1160 м (для сопряженной) площадь проходного сечения со временем возрастает, т.е. происходит разложение гидратов. Для несопряженной задачи в конце процесса отбора газа на уровне забоя свободным от гидратов остается сечение S 0.86 (поверхность 1 на рис. 3.3.4а). При меньшем расходе – от забоя до глубин 1428 м (для несопряженной) и 1173 м (для сопряженной) площадь проходного сечения со временем также растет. Выше этих отметок толщина гидратного слоя со временем растет, образуя гидратную пробку вблизи устья через 209 часов для сопряженной задачи и через 9 часов для несопряженной задачи (рис. 3.3.4б). Для несопряженной задачи в конце процесса отбора газа на уровне забоя свободным от гидратов остается сечение S 0.53 (поверхность 1 на рис. 3.3.4б), а для сопряженной задачи – часть скважины от забоя до отметки 357 м полностью очищается от гидратов. Отметим, что эти отметки превышают глубины, на которой температура газа становится равной равновесной температуре гидратообразования. Глубина протаивания горных пород в этом случае меньше, чем для скважины со свободным от гидратов в начальный момент сечением, и для этих двух расходов не превышает 1 м (рис. 3.3.5а и рис. 3.3.5б). Это объясняется гораздо воздействия газа на горные породы. меньшим временем теплового 208 Рисунок 3.3.4. Изменение площади проходного сечения скважины Средне-Вилюйского месторождения по глубине и во времени при S (0) 0.5 : а) М 4.8 кг/с; б) М 2 кг/с; 1 – несопряженная постановка, 2 – сопряженная постановка Рисунок 3.3.5. Динамика радиуса протаивания вокруг скважины Средне-Вилюйского месторождения по глубине и во времени при S (0) 0.5 : а) М 4.8 кг/с; б) М 2 кг/с Теперь рассмотрим соответствующие процессы для Отраднинского месторождения. Это месторождение отличается от Средне-Вилюйского низкой пластовой температурой, гидратообразования. которая близка к равновесной температуре 209 Расчеты проводились при двух значениях массового расхода: 1 кг/с и 2.86 кг/с. Начальное значение безразмерного сечения скважины соответствовало отсутствию газовых гидратов. Из рис. 3.3.6 следует, что образование гидратов происходит по всему стволу скважины, но наиболее интенсивно этот процесс идет в его верхней части, примерно соответствующей мощности многолетней мерзлоты (680 м). Полная закупорка устьевой части скважины при указанном рабочем дебите, то есть при расходе 2.86 кг/с происходит приблизительно за 4.5 часа и за 9.8 часа при расходе 1 кг/с. При этом на забое за те же 9.8 часов будет перекрыто 25% проходного сечения (рис. 3.3.6). Физически такое различие в динамике объясняется тем, что при меньшем расходе газ не успевает существенно охладиться, а вклад эффекта дросселирования при сравнительно небольшом перепаде давления также невелик. Поверхности для несопряженной и сопряженной постановок задачи здесь практически сливаются, и поэтому эти обозначения не нанесены. Рисунок 3.3.6. Динамика безразмерной площади проходного сечения скважины Отраднинского месторождения по глубине. Цифры на поверхностях соответствуют величине массового расхода в кг/с 210 Сказанное выше подтверждается характером изменения давления и температуры (рис. 3.3.7 – 3.3.8). Резкое падение давления и температуры в приустьевой зоне вызвано сужением проходного сечения и сопутствующим этому охлаждением газа за счет дросселирования. При этом, как видно из рис. 3.3.6, изменение проходного сечения будет менее резким, чем изменение давления, так как снижение давления благоприятно влияет на условия гидратообразования, понижая равновесную температуру. Тем не менее, температура газа всюду ниже равновесной температуры и, следовательно, гидраты могут образовываться по всему стволу скважины. Рисунок 3.3.7. Динамика давления по глубине скважины Отраднинского месторождения при массовом расходе 2.86 кг/с 211 Рисунок 3.3.8. Динамика температуры по глубине скважины Отраднинского месторождения при массовом расходе 2.86 кг/с Из рис. 3.3.9 видно, что радиус протаивания составляет примерно 0.15 м на подошве многолетнемерзлых пород. Рисунок 3.3.9. Изменение радиуса протаивания вокруг скважины Отраднинского месторождения по глубине и во времени при S (0) 1 и М 2.86 кг/с 212 Математическое моделирование периодического отбора газа (9 часов при суточном дебите 187 тыс. м3/сут, 15 часов скважина перекрыта) дало следующие очень важные результаты, представленные на рис. 3.3.10 – 3.3.11. Из графиков изменения температуры и давления на устье во времени видно, что периодический режим более благоприятен с точки зрения безопасности работы скважины, чем режим непрерывного отбора. Действительно, при непрерывном отборе газа давление на устье понижается до 11.0 МПа, а при периодическом – до 11.7 МПа, температура до 265.6 К и до 266.8 К, соответственно. Причем резкое понижение этих параметров происходит только при существенном перекрытии проходного сечения скважины. Эти показатели дают возможность контролировать время работы скважины до ее полной остановки с последующей закачкой метанола. В данном случае это время составляет примерно 5 суток. Рисунок 3.3.10. Зависимость давления на устье скважины от времени при периодическом отборе газа 213 Рисунок 3.3.11. Зависимость абсолютной температуры на устье скважины от времени при периодическом отборе газа Представленные результаты позволяют сделать следующие практически важные выводы. Во-первых, задачи теплового взаимодействия потока газа в скважинах с окружающими горными породами в общем случае являются сопряженными. Упрощенная математическая модель, в которой температура горных пород считается неменяющейся во времени, приводит к существенному занижению времени таких внутренних процессов в скважинах, как образование гидратной пробки. Показано, что для глубоких скважин с пластовой температурой существенно превышающей равновесную температуру образования гидратов это занижение может быть кратным. Во-вторых, размер зоны протаивания горных пород косвенно зависит от расхода газа, ибо он определяет время теплового воздействия газа на окружающую среду. В частности, за 18 суток максимальный радиус протаивания составил 1.3 м на подошве многолетней мерзлоты. В-третьих, для глубоких скважин с пластовой температурой примерно равной температуре образования гидратов гидратная пробка может образоваться за 4 – 5 часов, то есть время теплового воздействия 214 на горные породы не велико, и в этом случае необходимые технологические параметры добычи газа можно определять в несопряженной постановке, то есть считать, что температура горных пород остается постоянной. Результаты свидетельствуют о том, что образование гидратов в стволе скважин – сложный процесс, достоверный прогноз которого, а следовательно, и обеспечение безопасности добычи газа, возможно только при комплексном рассмотрении таких факторов как дебит газа и его состав, глубина скважины и пластовая температура, геотермические условия и состояние скважины перед пуском. В то же время этот анализ показывает, что образование гидратов в скважинах, даже при низких пластовых температурах и мощном слое многолетней мерзлоты, занимает достаточно большой промежуток времени, позволяющий оперативно предотвратить создание аварийных ситуаций в системах газоснабжения. Для скважины Отраднинского месторождения с пластовой температурой ниже равновесной температуры гидратообразования отбор газа можно вести в течении примерно 5 суток, а затем вводить метанол, временно останавливая добычу. 215 ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЗДАНИЯ ПОДЗЕМНОГО ХРАНИЛИЩА ПРИРОДНОГО ГАЗА В ГИДРАТНОМ СОСТОЯНИИ В настоящее время подземные хранилища природного газа, в основном, создаются в пористых пластах на базе истощенных газовых и газоконденсатных месторождений или водоносных структур, расположенных вблизи трассы магистральных газопроводов или крупных центров потребления газа. Их роль заключается в обеспечении равномерной подачи газа по газопроводам при его сезонно неравномерном континентальным потреблении, климатом, то особенно, есть они в регионах служат с резко своеобразными аккумуляторами газа. Альтернативой таких хранилищ могут стать подземные хранилища газа в гидратном состоянии, т.е. в твердой фазе, которая образуется при закачке природного газа в пористые коллекторы при определенных термодинамических условиях (при определенных соотношениях между температурой и давлением, зависящих от состава газа). В зоне распространения многолетнемерзлых пород этими коллекторами могут служить подмерзлотные водоносные горизонты. Например, в Центральной Якутии они могут располагаться непосредственно под подошвой многолетней мерзлоты на глубинах 500 – 600 м [18], при этом их проницаемость лежит в пределах 10–12 – 10–14 м2 . Преимущества такого способа хранения заключаются в большей компактности и стабильности хранилища, т.к. газ в гидратном состоянии занимает гораздо меньший объем, чем в свободном состоянии при тех же температуре и давлении, и кроме того, при переходе в гидратное состояние связывается вся свободная пластовая вода. Известен способ хранения природных газов в гидратном состоянии, в котором гидраты создаются из природного газа и воды в специальных емкостях, располагающихся на поверхности, и в этом смысле они являются аналогом хранилищ сжиженного газа. 216 В немногочисленных научных публикациях [95, 144, 145, 146], посвященных математическому моделированию создания подземных хранилищ природного газа в гидратном состоянии, использовались следующие упрощающие допущения: 1) не учитывались реальные свойства природного газа; 2) не учитывалась зависимость равновесных условий образования гидратов от состава природного газа; 3) пластовая вода считалась неподвижной; 4) в уравнении энергии не учитывались адиабатическое расширение и эффект Джоуля – Томсона; 5) граничные условия ставились таким образом, чтобы свести исходную задачу к автомодельной; 6) соответствующие дифференциальные уравнения решались приближенными методами. В данной главе предложен метод оценки возможности создания подземного хранилища природного газа в гидратном состоянии в подходящих с геологической точки зрения водоносных пластах (подмерзлотных горизонтах). Он основан на использовании математической модели многофазной неизотермической фильтрации несовершенного газа и воды, в которой химическая реакция гидратообразования происходит при температуре, существенно зависящей от давления газа. С помощью этой модели оценивается динамика распределения гидратонасыщенности, водонасыщенности, давления и температуры в выбранном пласте, который характеризуется пористостью, проницаемостью и начальными значениями давления, температуры и водонасыщенности. Соответствующая начально-краевая задача решается методом конечных разностей с использованием итерационного алгоритма и метода прогонки. Результаты расчетов показали, что возможность создания таких хранилищ газа существенно зависит от коллекторских свойств и гидродинамических характеристик водоносных горизонтов. 217 4.1. Математическая модель Для изучения динамики образования гидратов при нагнетании природного газа в водоносный пласт ограниченных размеров воспользуемся математической моделью работы [167], в которой наиболее полно учтены основные физические особенности этого процесса: реальные свойства газа, эффект Джоуля – Томсона, совместное движение воды и газа, массообмен между газом, водой и гидратом. Здесь используются модифицированные уравнения теории неизотермической многофазной фильтрации, которые выводятся на основе фундаментальных законов сохранения массы и энергии [8, 30]. Роль уравнений движения здесь играет обобщенный закон фильтрации Дарси, коэффициенты проницаемости в котором являются функциями насыщенности соответствующей фазой [139]. Для замыкания системы необходимо добавить уравнения состояния каждой фазы. В данном случае считается, что поведение газа описывается каким-либо эмпирическим уравнением состояния, а вода и гидрат несжимаемы. Рассмотрение выполним на примере модельной осесимметричной задачи нагнетания газа через одиночную скважину в горизонтальный водоносный пласт, кровля и подошва которого непроницаемы и теплоизолированы. Предположим, что течение газа происходит в пласте, изначально насыщенном водой, либо водой вместе с газом. Скелет пористой среды недеформируемый, газ находится только в газообразном и гидратном, вода – только в жидком и гидратном состояниях, то есть, образования льда и пара не происходит [8, 30]. В работах [45, 162, 163] и в разделе 2.2 показано, что доля теплопроводности в общем балансе переноса тепла пренебрежимо мала по сравнению с конвекцией, тем самым в уравнении энергии положим равным нулю кондуктивную составляющую. Тогда на основе фундаментальных законов механики многофазных сред [21, 40] c учетом обобщенного закона Дарси уравнение энергии в цилиндрических координатах можно привести к виду: 218 c e T t mqh h f T p m1 1 k 1 w cw w t T t w f g p T f g RT 2 p 2 g cg k 1 g cg 0, g r r g c p p T r где ce 1 ms cs m1 g cg m h ch mw cw – (4.1) эффективное значение объемной теплоемкости пористой среды, содержащей газ, гидрат и воду. В этих же координатах запишем уравнения фильтрации газа и воды: m p 1 k 1 f g p p , r m h R 1 t T r r g T r t (4.2) 1 k 1 f w p r m(1 ) h . t r r w r w t (4.3) m Здесь кроме представленных в списке приняты следующие обозначения: k – абсолютная проницаемость, – содержание газа в единице объёма гидрата. Для однозначного решения системы (4.1) – (4.3) необходимо задать начальные и граничные условия. В качестве начальных условий задаем начальные значения давления, температуры, гидратонасыщенности и водонасыщенности: p(r, 0) p0 , T (r, 0) T0 , (r, 0) 0 , (r, 0) 0 . (4.4) В точке нагнетания газа, то есть на забое скважины, задаются постоянное значение температуры: T (rb , t ) Tb ; (4.5) 219 и либо забойное давление газа p(rb , t ) pb (t ) , (4.6) либо его объемный дебит (приведенный к нормальным физическим условиям) 2 rb H g k 1 f g p(rb , t ) Q , n g r (4.7) где n – плотность газа при pn 101325 Па и Tn 273.15 К. На контуре пласта задается условие непроницаемости (отсутствие притока газа): p(rk , t ) 0. r (4.8) Уравнения задачи замыкаются: соотношениями для относительных фазовых проницаемостей газа и воды [139] 3.5 1 (1 3 ), 0 0.9 f g ( ) 0.9 ; 0, 0.9 0.2 3.5 , 0.2 1 f w ( ) 0.8 ; 0, 0 0.2 (4.9) (4.10) условием термодинамического равновесия «гидрат – газ – вода» T a ln p b , (4.11) 220 где a, b – эмпирические константы, определяемые по экспериментальным данным или вычисляются для газа данного состава по методикам, изложенных в монографиях [72, 175, 176]; и уравнением состояния для несовершенного газа g p / RT , (4.12) где ( p, T ) – эмпирическая функция, которую аппроксимируем уравнением Латонова-Гуревича (1.2.24). Для решения поставленной задачи (4.1) – (4.12) используется метод конечных разностей. При этом исходные уравнения, граничные и начальные условия заменяются их сеточными аналогами [45], а для решения соответствующей системы алгебраических уравнений на каждом временном слое использовался предложенный в работах [30, 51] алгоритм реализации метода простых итераций. 4.2. Численная реализация модели и результаты вычислительного эксперимента Для решения начально-краевой задачи (4.1) – (4.12), заменяя pri , t j pij , T ri , t j Ti j , ri , t j i j и ri , t j i j численными аналогами в узлах пространственно-временной сетки, аппроксимируем уравнения (4.1) – (4.8) чисто неявной абсолютно устойчивой разностной схемой: T j j Ti j Ti j 1 i j i j 1 j j mq h h m1 i i 1 i j с e,i i T i c f p j pij 1 p j c f p j pij k 1 i j w w w ,i j i j g g ,i i 1 i w i RTi g hi 1 n k 1 i j f g ,i Ti j pij1 pij g ij T i hi 1 j 2 , i 1, n 1, j 0; Ti j1 Ti j hi 1 (4.13) 221 pi j pij 1 i ri j j j 1 j 1 m 1 i i j j 1 i i j 1 j 1 i Ti i Ti k 1 f g p pij1 pij i j i j 1 i ri r m h R h T g i 1 i 1 / 2 j (4.14) pij pij1 , h i i 1 / 2 (4.15) k 1 f g p pij pij1 , i 1, n 1; r T h g i i 1 / 2 j i j i j 1 h i j i j 1 i ri m i ri m1 w k 1 f w r w j pij1 pij i 1 / 2 hi 1 k 1 f w r w j i 1, n 1, j 0; p0j pi0 p0 , Ti 0 T0 , i0 0 , i0 0 , i 0, n ; (4.16) T0j Tb , j 0; (4.17) j p0j k 1 0 f g ,0 p1j p0j Q, j 0; pb или 2 rb H j 0 RT0 j n g h 1 (4.18) где – шаг равномерной сетки по времени t j j , j 0, J , hi – шаг квазиравномерной сетки по радиальной координате со сгущением вблизи точки нагнетания h ri1 ri expln( rk rb ) n, hi1 ri1 ri , i 0, n 1; r0 rb , h0 0 , i hi hi 1 2 – шаг потоковой сетки. В разностном виде условие на правой границе записывается с первым порядком аппроксимации: pnj pnj1 , j 0. (4.19) Для решения нелинейной системы алгебраических уравнений (4.13) – (4.19) на каждом временном слое, можно использовать следующий алгоритм реализации метода простых итераций. Вначале, используя (4.13), исключаем из 222 (4.14) выражение i j i j 1 , при этом все Ti j заменяем через а ln pij b . В получающемся уравнении дискретный аналог производной температуры по времени заменяем конечно-разностным аналогом производной давления по времени. Алгоритм дальнейших действий заключается в следующем. 1. Задаем начальное значение счетчику итераций s 0 и начальные приближения распределений давления, температуры, водонасыщенности и гидратонасыщенности равными их соответствующим значениям на нижнем временном слое: s s s s p i pij 1 , T i Ti j 1 , i i j 1 , i i j 1 , i 0, n . 2. Увеличиваем счетчик итерации на единицу. Умножаем уравнение pij ijTi j и складываем его с уравнением (4.14). Далее из (4.15) на полученного уравнения методом потоковой прогонки находим распределение s давления p i , i 0, n . s 3. Начиная с левого конца ( i 0 ) для всех i 0 из уравнения (4.13) s находим распределение гидратонасыщенности i , при этом распределение температуры определяется из условия трехфазного равновесия "гидрат – газ – s s s вода" T i a ln p i b, i 0, n . В случае i 0 из уравнения (4.13) сразу находим s распределение температуры T i . s 4. Из уравнения (4.15) находим распределение водонасыщенности i , так же начиная вычисления с левого конца. 5. Повторяем пункты 2 – 4 до заданной точности. Если условия сходимости итераций выполняются, то переходим к следующему временному слою. В вычислительном эксперименте изучалось влияние пористости и проницаемости водоносного пласта и интенсивности закачки газа на динамику 223 полей температуры, давления, водонасыщенности и гидратонасыщенности. Другие исходные параметры оставались неизменными и имели следующие значения: w 1000 кг/м3, s 2650 кг/м3, h 920 кг/м3, cw 4200 Дж/(кгК), cg 2093 cs 700 Дж/(кгК), ch 3210 Дж/(кгК), qh 510000 Дж/кг, 0.147 , w 1.8 10 3 Пас, Дж/(кгК), g 1.3 10 5 Пас, p0 3.0 106 Па, T0 274.15 К, Tb 279.15 К, H 10 м, rb 0.1 м, rk 100.1 м, п 100 , 10 с. В начальный момент пласт не содержит гидратов. Состав закачиваемого природного газа, по которому вычислялись газовая постоянная, критические давление и температура и эмпирические коэффициенты, входящие в соотношение (11), соответствовал СреднеБотуобинскому месторождению Республики Саха (Якутия): CH 4 85.90 , C 2 H 6 7.32 , C3H8 2.24 , n - C5 H12 0.24 , i - C 4 H10 0.26 , C6 H14 0.08 , CO 2 0.05 , n - C 4 H10 0.68 , N 2 2.64 , i - C5 H12 0.17 , H 2 0.14 , He 0.28 (объемные доли, %); R 445.6 Дж/(кг∙К), pc 4.555 МПа, Tc 204.134 К, a 7.82 К, b 166.64 К. Месторождение было выбрано потому, что для этого газа имеются прямые экспериментальные данные по равновесным условиям гидратообразования, которые были использованы для вычисления эмпирических коэффициентов соотношения (4.11). Вычислительный эксперимент проводился, чтобы выявить принципиальную возможность создания подземного хранилища газа в гидратном состоянии на небольших глубинах, соответствующих подошве многолетней мерзлоты в центральной части Восточной Сибири. По этой причине время нагнетания газа было ограничено 10 сутками. В качестве варьируемых параметров были выбраны расход нагнетаемого газа (86400 и 432000 м3/сут), его уравнение состояния (несовершенный или совершенный газ) и начальная водонасыщенность пласта (истощенный газоносный или чисто водоносный пласт). 224 На рис. 4.1 – рис. 4.9 представлены результаты вычислений в случае начальной водонасыщенности 0 0.4 . Их анализ позволяет сделать следующие выводы. За сравнительно небольшое время температура газа существенно повышается: при малом расходе – на 12 K, при большом – на 20 K (кривые 3 и 5 на рис. 4.1а и кривую 3 на рис. 4.1б). При малых значениях времени наблюдается перемещение температурного фронта (кривые 1 и 4 на рис. 4.1а и кривая 2 на рис. 4.1б), а затем температура растет со временем по линейному закону, причем интенсивность этого роста существенно зависит от расхода нагнетаемого газа (сравни кривые 2 и 3 на рис. 4.2а и рис. 4.2б). Из кривых на рис. 4.1а также следует, что несовершенство газа мало влияет на распределение температуры, даже при больших расходах газа. Рисунок 4.1. Распределение температуры при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1, 4 – t 3 часа; 2 – t 1 сут; 3, 5 – t 10 сут; 1, 2, 3 – несовершенный газ; 4, 5 – совершенный газ 225 Рисунок 4.2. Динамика температуры при большом (а) и малом (б) расходе несовершенного газа: 1 – r 0.1 м; 2 – r 0.2 м; 3 – r 100.1 м Рисунок 4.3. Распределение давления при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – t 3 часа; 2, 4 – t 5 сут; 3, 5 – t 10 сут; 1, 2, 3 – несовершенный газ; 4, 5 – совершенный газ 226 Рисунок 4.4. Динамика давления: 1, 3, 5 – r 0.1 м; 2, 4 – r 100.1 м; 1, 2, 5 – большой расход; 3, 4 – малый расход; 1, 2, 3, 4 – несовершенный газ; 5 – совершенный газ Давление газа в хранилище со временем растет, однако, гораздо медленнее, чем температура, и кроме того, оно практически равномерно распределено по площади хранилища за исключением области вблизи скважины (рис. 4.3). В то же время интенсивность этого роста существенно зависит от расхода газа (кривые 1, 2 и 3, 4 на рис. 4.4). Давление совершенного газа получается немного больше, чем давление несовершенного газа, и эта разница с течением времени увеличивается (кривые 2, 4 и 3, 5 на рис. 4.3, кривые 1 и 5 на рис. 4.4). Перейдем к анализу динамики изменения водонасыщенности и гидратонасыщенности создаваемого хранилища – основных показателей эффективности процесса (рис. 4.5 и рис. 4.6). Из рис. 4.5а следует, что к моменту окончания закачки газа вода полностью перешла в гидрат только в узкой зоне вблизи нагнетательной скважины. В остальной части хранилища водонасыщенность снизилась вдвое: с 0.4 до 0.2. При меньшей интенсивности нагнетания такого уменьшения особо не наблюдается (рис. 4.5б). Соответственно, при большом расходе вблизи нагнетательной скважины гидратонасыщенность почти достигла значения 0.4, а в остальной части пласта 227 она возросла от 0 до примерно 0.25 (рис. 4.6а). Из рис. 4.6а видно, что по водоносному пласту передвигается несколько размытый вал гидратонасыщенности. При меньшем расходе гидратонасыщенность монотонно возрастает и в конце процесса нагнетания на забое скважины она равна 0.25, а на контуре пласта – 0.05 (рис. 4.6б). Рисунок 4.5. Поле водонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – несовершенный газ, 2 – совершенный газ Рисунок 4.6. Поле гидратонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – несовершенный газ, 2 – совершенный газ 228 Оба рисунка 4.5 и 4.6 подтверждают сказанное ранее о малом влиянии несовершенства газа на результаты вычислений, однако следует отметить, что использование уравнения совершенного газа несколько завышает значения гидратонасыщенности (рис. 4.6). Теперь рассмотрим влияние компонентного состава природного газа (т.е. его газовой постоянной, критических параметров и равновесных условий гидратообразования) на динамику водонасыщенности и гидратонасыщенности в случае большого расхода. Для этого результаты, полученные для газа СреднеБотуобинского месторождения, сопоставлялись с расчетами, выполненными для Отраднинского месторождения Республики Саха (Якутия). Компонентный состав газа приведен в разделе 1.4, его параметры: R 438.3 Дж/(кг∙К), pс 4.471 МПа, Tс 195.376 К, a 6.635 К, b 182.951 К. На рис. 4.7 представлены результаты расчета в случае нагнетания несовершенного газа с большей интенсивностью. Показанное положение поверхностей свидетельствует о том, что в конце процесса нагнетания гидратонасыщенность будет выше, а водонасыщенность ниже для газа с большим значением коэффициента а и малым значением коэффициента b , то есть для газа Отраднинского месторождения. Рисунок 4.7. Поле водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) при большом расходе: 1 – газ Средне-Ботуобинского месторождения, 2 – газ Отраднинского месторождения 229 Также было исследовано влияние коллекторских свойств пласта на водонасыщенность и гидратонасыщенность. На рис. 4.8 показаны соответствующие поля для различных значений пористости, а на рис. 4.9 – для различных проницаемостей. Видно, что чем меньше пористость и проницаемость, тем быстрее увеличивается гидратонасыщенность и тем неравномернее она распределяется по водоносному пласту (рис. 4.8а и рис. 4.9а). Рисунок 4.8. Поле водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) при большом расходе: 1 – m 0.15 , 2 – m 0.4 Рисунок 4.9. Поле водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) при большом расходе: 1 – k 8 1013 м2, 2 – k 8 1014 м2 230 Проанализируем результаты вычислений для случая водоносного пласта, когда в начальный момент 0 0.9 . При этом пространственная сетка теперь должна быть равномерной ( h ri1 ri hi1 , hi1 rk rb n , i 0, n 1 , n 1000 ), так как предварительные расчеты показали, что при новом начальном значении водонасыщенности искомые функции изменяются во всем пространственном диапазоне. Здесь состав газа соответствовал СреднеБотуобинскому месторождению, и он считался несовершенным. В этом случае, как и для истощенного газоносного пласта, за сравнительно небольшое время температура газа существенно повышается: за 3 часа при большом расходе – на 13 K, при малом – на 11 K (кривые 1 на рис. 4.10а и на рис. 4.10б). При малых значениях времени наблюдается перемещение температурного фронта, причем его скорость существенно зависит от темпа нагнетания (кривые 1 и 2 на этих же рисунках). В момент завершения закачки температура по всему пласту выравнивается, повышаясь при большом расходе на 21 К, при малом – на 12 К. Рисунок 4.10. Распределение температуры при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – t 3 часа; 2 – t 1 сут; 3 – t 10 сут 231 Давление газа в хранилище со временем растет, однако, гораздо медленнее, чем температура, особенно при малой интенсивности закачки (сравни соответствующие кривые на рис. 4.11а и рис. 4.11б). При этом при большой интенсивности закачки оно уже через 5 суток практически равномерно распределено по площади хранилища (кривые 2 и 3 на рис. 4.11а). Рисунок 4.11. Распределение давления при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – t 3 часа; 2 – t 5 сут; 3 – t 10 сут Сопоставим эти результаты с распределением водонасыщенности и гидратонасыщенности в хранилище. Из сравнения кривых 1 и 2 на рис. 4.10 и рис. 4.12 видно, что скорость фронта водонасыщенности существенно меньше скорости температурного фронта. При этом распределение водонасыщенности качественно соответствует решению задачи Бакли-Леверетта [139]. Влияние образования гидратов, то есть перехода части воды в неподвижную фазу, проявляется в немонотонности распределения за фронтом (особенно это заметно по кривой 3 на рис. 4.12б) и в том, что перед фронтом водонасыщенность при большом расходе всегда меньше 1 (рис. 4.12а). Эти выводы подтверждаются анализом кривых распределения гидратонасыщенности, представленных на рис. 4.13, причем наиболее наглядно эти эффекты проявляются при большом расходе газа. Действительно, 232 сопоставление на рис. 4.12а и рис. 4.13а показывает, что скорости фронта водонасыщенности и условного фронта гидратонасыщенности примерно равны. Рисунок 4.12. Распределение водонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – t 3 часа; 2 – t 1 сут; 3 – t 10 сут Рисунок 4.13. Распределение гидратонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – t 3 часа; 2 – t 1 сут; 3 – t 10 сут Сравнение кривых на рис. 4.13а и рис. 4.13б показывает, что величина гидратонасыщенности сильно зависит от интенсивности закачки газа. Конечно, это не прямое, а косвенное воздействие, которое объясняется различием в изменениях давления и температуры при существенно разных темпах закачки. 233 В то же время значение гидратонасыщенности перед фронтом свидетельствует о том, что в этой части хранилища далеко не вся вода перешла в гидрат. Важные выводы следуют из сопоставления динамики рассмотренных выше функций. Эти результаты представлены на рис. 4.14 – рис. 4.15. Обращаем внимание на рис. 4.14, где приведены только две кривые, так как температура газа на забое задана (условие (4.5)). На этом рисунке хорошо видно, что после некоторого времени температура выходит на регулярный режим, что полностью соответствует физике процесса (постоянная температура и расход нагнетаемого газа). Давление выходит на квазистационарный режим несколько позже, чем температура, что объясняется более сложной динамикой движения смеси газ – вода (рис. 4.15). Однако для большого расхода газа оно сильно (почти в 4 раза) возрастает по всему объему хранилища (кривые 1 и 2 на рис. 4.15а). Для малого расхода газа возрастание давления не превышает 50%, и при этом даже в конце закачки оно распределено по пласту неравномерно (рис. 4.15б). Рисунок 4.14. Динамика температуры при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – r 10.1 м; 2 – r 100.1 м 234 Рисунок 4.15. Динамика давления при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – r 10.1 м; 2 – r 100.1 м Из рис. 4.16 и рис. 4.17 отметим, что при большой интенсивности закачки газа водонасыщенность изменяется во времени немонотонно. Это особенно заметно вблизи скважины, где со временем вода частично переходит в гидрат (кривая 1 на рис. 4.17а), а большая ее часть оттесняется от скважины (кривая 1 на рис. 4.16а). Рисунок 4.16. Динамика водонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – r 1.1 м; 2 – r 50.1 м; 3 – r 100.1 м 235 Рисунок 4.17. Динамика гидратонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа: 1 – r 1.1 м; 2 – r 50.1 м; 3 – r 100.1 м Из результатов, представленных на рис. 4.10 – рис. 4.17 следует, что к моменту окончания закачки газа почти во всем пласте образуется зона смеси гидрата с водой, однако, гидратонасыщенность при этом составляет около 0.3 при большом расходе газа и менее 0.1 при малом расходе. Учитывая рост гидратонасыщенности во времени по закону, близкому к линейному (рис. 4.17), можно утверждать, что увеличение продолжительности закачки газа приведет к существенному увеличению этого показателя. В вычислительном эксперименте также оценивалось влияние коллекторских свойств пласта на распределение и динамику водонасыщенности и гидратонасыщенности в конце закачки. Вычисления проводились только для большого расхода газа. На рис. 4.18 и рис. 4.19 показаны соответствующие кривые для двух различных значений пористости. 236 Рисунок 4.18. Влияние пористости на распределение водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) в конце закачки газа при большом расходе: 1 – m 0.15 , 2 – m 0.4 Рисунок 4.19. Влияние пористости на динамику водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) на внешней границе при большом расходе: 1 – m 0.15 , 2 – m 0.4 Кривые на рис. 4.18 подтверждают физически очевидный вывод о том, что скорость вытеснения воды газом будет тем выше, чем меньше пористость. Это, в свою очередь, приведет к росту гидратонасыщенности (сравни кривые 1 и 2 на рис. 4.18а и рис. 4.18б). Такой вывод подтверждается сравнением кривых 1 и 2 на рис. 4.19б: скорость роста гидратонасыщенности увеличивается 237 с уменьшением пористости. Зависимость динамики водонасыщенности от пористости сложнее (рис. 4.19а): при меньшей пористости она вначале возрастает быстрее, но затем и убывает быстрее. Влияние проницаемости на распределение и динамику рассматриваемых функций показано на рис. 4.20 и рис. 4.21. Как следует из кривых на рис. 4.20 уменьшение проницаемости в 10 раз мало сказывается на скорости движения фронта водонасыщенности (сравни кривые 1 и 2 на рис. 4.20а), что полностью соответствует теории Бакли-Леверетта. В то же время оно приводит к резкому, хотя и локализованному вблизи скважины, росту гидратонасыщенности (кривая 2 на рис. 4.20б). Рисунок 4.20. Влияние проницаемости на распределение водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) в конце закачки газа при большом расходе: 1 – k 8 1013 м2, 2 – k 8 1014 м2 Однако снижение проницаемости приводит к задержке динамики как водонасыщенности (кривые на рис. 4.21а), так и гидратонасыщенности (кривые на рис. 4.21б). 238 Рисунок 4.21. Влияние проницаемости на динамику водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) на внешней границе при большом расходе: 1 – k 8 1013 м2, 2 – k 8 1014 м2 Оценивая результаты вычислительного эксперимента в целом, можно утверждать, что при современных технологиях закачки создание подземных хранилищ газа в гидратном состоянии вполне реализуемо. В то же время следует иметь в виду, что создание в водоносных пластах подмерзлотных горизонтов хранилищ газа в гидратном состоянии требует тщательного анализа их коллекторских свойств и данных гидродинамических исследований скважин. В частности, при коротком периоде закачки газа предпочтение следует отдавать коллекторам с пористостью меньше 0.2, что обеспечивает более равномерное заполнение хранилища гидратом. Проницаемость должна быть выше 10 -14 м2 , чтобы при больших темпах закачки не допустить чрезмерного роста давления, которое может привести к потере герметичности кровли и подошвы коллектора. Дополнительные усилия исследователей необходимы для оценки теплового взаимодействия таких хранилищ с окружающими горными породами. Полученные результаты и предложенная математическая модель могут быть использованы при разработке научных основ технологии подземного хранения природного газа, а также парниковых и токсичных газов в гидратном состоянии. 239 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Анализ результатов работы позволяет сделать следующие основные выводы. 1. В вычислительных алгоритмах наиболее удобно представлять уравнение состояния природных газов с поправочной функцией приведенных давления и температуры, которая называется коэффициентом несовершенства. Из большого числа существующих аналитических представлений этого коэффициента выбрано уравнение Латонова-Гуревича, которое приводит к очень хорошему соответствию расчетных и экспериментальных данных почти всюду, за исключением небольшой области вблизи смены знака производной коэффициента несовершенства по давлению. 2. Аналогичный анализ выполнен для методов расчета равновесных условий образования гидратов природных газов различного состава при различной засоленности пластовых вод. По известному компонентному составу природного газа были определены равновесные условия гидратообразования для некоторых месторождений Северо-Востока России. Показано, что наилучшее совпадение с данными лабораторных экспериментов обеспечивает использование уравнений Латонова-Гуревича и Бертло. Для учета засоленности пластовой воды вычисленная равновесная кривая пересчитывается по методике Истомина, что позволяет путем сравнения с конкретными пластовыми условиями (давление, температура и молярная концентрация соли в воде) определить возможность образования гидратов в призабойной зоне. С помощью разработанного алгоритма можно также определить, насколько изменяются равновесные параметры гидратообразования в присутствии ингибитора, в частности, растворенных в пластовой воде солей или водометанольного раствора. Пластовые условия некоторых месторождений Якутии соответствуют условиям гидратообразования в призабойной зоне. Однако наличие засоленных пластовых вод, вероятно, способствует тому, что гидратонасыщенность 240 призабойной зоны концентрации будет соли и незначительной. Определены водометанольного раствора, предельные препятствующие образованию гидратов при пластовой температуре. 3. Показано, что прогноз образования гидратов в призабойной зоне возможен только несовершенного в газа. рамках Такой неизотермической прогноз выполнен модели путем фильтрации сопоставления распределения давления и температуры в газоносном пласте, полученного в результате численного решения задачи отбора газа, с равновесными условиями образования гидратов. В вычислительном эксперименте установлено, что для газовых месторождений с небольшой глубиной залегания продуктивных горизонтов (порядка 1000 м) при интенсивном отборе температура газа будет выше равновесной температуры гидратообразования всюду за исключением узкой зоны вблизи скважины в начальное время отбора. В то же время, при меньшей депрессии на пласт температура газа будет всюду ниже равновесной температуры. Этот эффект объясняется тем, что в данных условиях снижение равновесной температуры гидратообразования за счет понижения давления более существенно, чем охлаждение газа за счет дросселирования. Показано, что для наиболее типичных газовых месторождений, расположенных под многолетней мерзлотой, эта зона невелика, что допускает ее обработку ингибиторами без существенных затрат. 4. Методами математического моделирования показано, что основное влияние на динамику формирования температурного поля горных пород и на интенсивность протаивания в зоне многолетней мерзлоты оказывают дебит нефтедобывающих скважин и температура продуктивного горизонта. При этом размеры талой зоны возрастают с глубиной, то есть наибольшее протаивание имеет место на подошве многолетней мерзлоты. При больших дебитах радиус протаивания вблизи дневной поверхности становится существенным, что для несцементированных горных пород может представлять опасность для наземного оборудования скважины. определенную 241 5. Ранее разработанная квазистационарная математическая модель образования и отложения гидратов в скважинах была модифицирована на случай зависимости коэффициента конвективного теплообмена от изменяющейся во времени площади проходного сечения скважины. Учет этого фактора приводит к увеличению длительности процесса полной закупорки скважины гидратами. Сопоставление равновесных кривых образования гидратов с результатами расчетов распределения температуры и давления в скважинах при различных темпах отбора газа позволяет определить интервал возможного образования гидратных пробок. Показано, что наибольшую опасность для нормальной эксплуатации представляет возможное образование гидратов в стволе скважины. Определена динамика этого процесса при различных дебитах и режимах отбора. Показано, что периодический отбор газа более благоприятен с точки зрения безопасности работы скважины, чем режим непрерывного отбора. Так как резкое понижение давления и температуры на устье скважины происходит только при существенном перекрытии проходного сечения скважины гидратами, то эти показатели дают возможность контролировать время работы скважины до ее полной остановки с последующей закачкой метанола. Для наиболее типичных характеристик газовых месторождений Западной и Восточной Сибири определены оптимальные режимы отбора газа, соответствующие минимуму тепловых потерь в отсутствие гидратного слоя за счет дросселирования и теплообмена с окружающими горными породами, в том числе и с многолетнемерзлыми. Получено, что основными параметрами, определяющими полную закупорку газовых скважин гидратами, являются глубина скважины, пластовые давление и температура, дебит газа и его состав, геотермические условия и состояние скважины перед пуском. Анализ результатов показал, что образование гидратов в скважинах даже при низких пластовых температурах и мощном слое многолетней мерзлоты, занимает достаточно большой 242 промежуток времени, позволяющий оперативно предотвратить возникновение аварийных ситуаций в системах газоснабжения. 6. Предложен метод оценки возможности создания подземного хранилища природного газа в гидратном состоянии в подмерзлотных водоносных горизонтах. Он основан на использовании математической модели многофазной неизотермической фильтрации несовершенного газа и воды, в которой химическая реакция гидратообразования происходит при температуре, существенно зависящей от давления газа. Результаты расчетов показали, что возможность создания таких хранилищ газа существенно зависит от коллекторских свойств и гидродинамических характеристик водоносных горизонтов. Кроме того, показано, что несовершенство газа мало влияет на результаты вычислений, однако следует отметить, что использование уравнения совершенного газа приводит к завышению равновесной температуры образования гидратов, то есть, к переоценке объема газа в гидратном состоянии. Получено, что чем меньше пористость и проницаемость пласта, тем быстрее увеличивается гидратонасыщенность и тем неравномернее она распределяется по водоносному пласту. 243 СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ C – объемная теплоемкость; с – удельная теплоемкость; cp – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении; cr – объемная теплоемкость газонасыщенной пористой среды; cV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; D – внутренний диаметр скважины; f – фазовая проницаемость, g – ускорение свободного падения; H – мощность газоносного пласта или многолетней мерзлоты; k – коэффициент проницаемости; М – массовый расход газа; m – пористость; p – давление; Q – дебит скважины; qh – удельная теплота фазового перехода «гидрат – газ – вода»; qph – удельная теплота фазового перехода «лед – вода»; R – газовая постоянная; r – радиальная координата; rb – наружный радиус скважины; rk – радиус контура пласта или радиус теплового влияния; Т – температура; t – время; – скорость течения газа; w – скорость фильтрации; x, z – декартовые координаты; y – объемная (мольная) доля; – суммарный коэффициент теплопередачи или коэффициент конвективного теплообмена; 244 – геотермический градиент; – коэффициент адиабатического расширения газа; – коэффициент дросселирования или содержание газа в единице объёма гидрата; – коэффициент несовершенства газа; – коэффициент температуропроводности газонасыщенной пористой среды; р – коэффициент пьезопроводности газонасыщенной пористой среды; – коэффициент теплопроводности; r – коэффициент теплопроводности газонасыщенной пористой среды; – динамическая вязкость; – молярная масса; v – кинематическая вязкость; – гидратонасыщенность; – плотность; – водонасыщенность; – весовая влажность горных пород. Нижние индексы величин означают: b – на стенке скважины; с – критический; g – газ; h – гидрат; k – на контуре питания; liq – жидкая фаза; ph – фазовый переход; r – приведенный; s – твердая фаза или твердый скелет пористой среды; w – вода; 0 – начальное состояние. Остальные величины, параметры и обозначения объяснены в тексте. 245 ЛИТЕРАТУРА 1. Аналитические исследования результатов работы скважины №314-2 Отраднинского ГКМ и лабораторное изучение проб сосуществующих флюидов [Текст]: отчет о НИР / ОАО «СевКавНИПИгаз». – Ставрополь, 2011. – 77 с. 2. Аравин, В.И. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде [Текст] / В.И. Аравин, С.Н. Нумеров. – М.: ГИТТЛ, 1953. – 616 с. 3. Аргунова, К.К. Возможности аналитического представления уравнения состояния природных газов [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // XIII Российская конференция по теплофизическим свойствам веществ: тез. докл. (Новосибирск, 28 июня – 1 июля 2011 г.) – Новосибирск: Изд-во Института теплофизики СО РАН, 2011. – С. 11–12. 4. Аргунова, К.К. Возможности аналитического представления уравнения состояния природных газов [Электронный ресурс] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Труды XIII Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ (Новосибирск, 28 июня – 1 июля 2011 г.) – Новосибирск: ИТ СО РАН, 2011. – 1 электрон. опт диск (CD-ROM). – ISBN 9785-89017-030-9. – 6 с. 5. Аргунова, К.К. Вычислительный эксперимент в неизотермической фильтрации газа [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, В.Е. Николаев // Вычислительные технологии. – 2001. – Т. 6. Спец. выпуск «Труды международной конференции RDAMM, посвященной 80-летию Н.Н. Яненко». Ч. 2. – С. 66– 70. 6. Аргунова, К.К. Изучение влияния нефтедобывающих скважин Ванкорского месторождения на тепловой режим грунтов [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Инженерная экология. – 2009. – №2. – С. 43–55. 246 7. Аргунова, К.К. Математические модели образования гидратов в газовых скважинах [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Криосфера Земли. – 2011. – Т. XV, №2. – С. 65–69. 8. Аргунова, К.К. О математическом моделировании разработки Мессояхского месторождения [Электронный ресурс] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, В.В. Попов, И.И. Рожин // Электронный научный журнал "Нефтегазовое дело". – – 2008. Режим доступа: http://www.ogbus.ru/authors/Argunova/Argunova_1.pdf. 9. Аргунова, К.К. Обобщенная математическая модель образования гидратов в газовых скважинах [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // III Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации»: тез. докл. / под ред. В.И. Васильева. – Якутск: Изд-во «Сфера», 2012. – С. 30–31. 10. Аргунова, К.К. Определение интервала гидратообразования в скважинах, пробуренных в многолетнемерзлых породах [Электронный ресурс] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, В.Е. Николаев, И.И. Рожин // Электронный научный журнал "Нефтегазовое дело". – 2008. – Режим доступа: http://www.ogbus.ru/authors/Argunova/Argunova_2.pdf. 11. Аргунова, К.К. Определение интервала гидратообразования в скважинах, пробуренных в многолетнемерзлых породах [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Наука и образование. – 2008. – №1(49). – С. 13–19. 12. Аргунова, К.К. Оценка опасности образования гидратов в скважинах Мессояхского газового месторождения [Электронный ресурс] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Труды IV Евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата: Секция 4. Тепломассоперенос и термомеханика дисперсных сред. – Якутск: ИФТПС СО РАН, 2008. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – № гос. рег. 0320900128. – 13 с. 247 13. Аргунова, К.К. Регулирование работы газовых скважин: возможности математического моделирования [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев // Наука и образование. – 2005. – №1. – С. 41–45. 14. Аргунова, К.К. Свойства реального газа и их аналитическое представление [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Газохимия. – 2010. – №6(16). – С. 52–54. 15. Аргунова, К.К. Температурный режим горных пород при добыче нефти Ванкорского месторождения [Электронный ресурс] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Труды IV Евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата: Секция 4. Тепломассоперенос и термомеханика дисперсных сред. – Якутск: ИФТПС СО РАН, 2008. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – № гос. рег. 0320900128. – 10 с. 16. Аргунова, К.К. Тепловое взаимодействие нефтедобывающих скважин с многолетнемерзлыми горными породами [Текст] / К.К. Аргунова, Э.А. Бондарев, И.И. Рожин // Наука и образование. – 2008. – №4(52). – С. 78–84. 17. Аргунова, К.К. Численное изучение нелинейных эффектов в моделях добычи природного газа [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Аргунова Кира Константиновна. – Якутск, 2005. – 97 с. 18. Балобаев, В.Т. Подземные воды Центральной Якутии и перспективы их использования [Текст] / В.Т. Балобаев, Л.Д. Иванова, Н.М. Никитина и др.; отв. ред. Н.П. Анисимова. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, Фил. «Гео», 2003 – 137 с. 19. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах [Текст] / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1984. – 208 с. 20. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа [Текст] / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1972. – 288 с. 21. Басниев, К.С. Подземная гидравлика [Текст] / К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. – М., Недра, 1986. – 304 с. 248 22. Бондарев, Э.А. Влияние неизотермических эффектов на добычу газа в северных регионах [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2011. – Т. 14, №1. – С. 19– 28. 23. Бондарев, Э.А. Влияние неизотермических эффектов на добычу газа в северных регионах с учетом возможного гидратообразования в призабойной зоне скважин [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. – 2012. – Т. 12, №4. – С. 10–16. 24. Бондарев, Э.А. Влияние перепада давления на добычу газа из Мессояхского месторождения [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова, Ф.А. Адзынова // Газохимия. – 2011. – №2(18). – С. 48–51. 25. Бондарев, Э.А. Влияние перепада давления на добычу газа из Мессояхского и Средневилюйского месторождений [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Современные проблемы теплофизики и теплоэнергетики в условиях Крайнего Севера: материалы X науч.-техн. конф. (Якутск, 7 декабря 2011 г.). – Якутск: Издательский дом СВФУ, 2013. – С. 18–28. 26. Бондарев, Э.А. Влияние пластовых параметров на образование гидратов в газовых скважинах в многолетнемерзлых породах [Текст] / Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова, И.И. Рожин // Теоретические и практические аспекты исследований природных и искусственных газовых гидратов / Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции (Якутск, 24–28 августа 2011 г.) – Якутск: Ахсаан, 2011. – С. 11–17. 27. Бондарев, Э.А. Вычислительный эксперимент в задачах добычи природного газа [Электронный ресурс] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Труды Междун. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», (Новосибирск, 30 мая - 4 июня 2011 г.) – № гос. рег. 0321101160, ФГУП НТЦ "Информрегистр". – Новосибирск, 2011. – Режим доступа: http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik90/fulltext/38432/46714/RozhinII.pdf. 249 28. Бондарев, Э.А. Динамика образования гидратов в призабойной зоне газовых скважин [Текст] / Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова, И.И. Рожин, В.В. Попов // Газовая промышленность. – 2010. – №2/642. – C. 14–16. 29. Бондарев, Э.А. Динамика образования гидратов при добыче газа [Текст] / Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова, И.И. Рожин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – №4(2). – С. 399–401. 30. Бондарев, Э.А. Динамика образования гидратов при добыче природного газа [Текст] / Э.А. Бондарев, В.В. Попов // Вычислительные технологии, 2002. – №1. – С. 28–33. 31. Бондарев, Э.А. Изучение влияния нефтедобывающих скважин Ванкорского месторождения на тепловой режим грунтов [Текст] / Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова, И.И. Рожин / Тезисы докладов Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации». – Якутск: ООО РИЦ «Офсет», 2008. – С. 18–19. 32. Бондарев, Э.А. Исследование возможности создания подземных хранилищ природного газа в гидратном состоянии [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова / VII Международная конференция по математическому моделированию: тез. докл. / под ред. И.Е. Егорова, Ф.М. Федорова. – Якутск: ООО Компания "Дани-Алмас". – С. 177–178. 33. Бондарев, Э.А. К математическому моделированию диссоциации газовых гидратов [Текст] / Э.А. Бондарев, А.М. Максимов, Г.Г. Цыпкин // Доклады АН СССР. – 1989. – Т. 308, №3. – С. 575–578. 34. Бондарев, Э.А. Математические модели образования гидратов в газовых скважинах [Текст] / Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова // Труды XIV Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». Часть III. – Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2009. – С. 41–51. 250 35. Бондарев, Э.А. Математическое моделирование многофазной фильтрации с учетом образования и диссоциации газовых гидратов [Текст] / Э.А. Бондарев, Т.А. Капитонова // Наука и образование. – 1997. – № 2. – С. 74–79. 36. Бондарев, Э.А. Математическое моделирование образования гидратов при добыче природного газа [Электронный ресурс] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова / Международная конференция «Математические и информационные технологии, MIT-2013» (X конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании»). – Режим доступа: http://conf.nsc.ru/files/conferences/MIT- 2013/fulltext/144531/151300/Bondarev.pdf. 37. Бондарев, Э.А. Математическое моделирование создания подземного хранилища природного газа в гидратном состоянии [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова / Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам ВМСППС’2013 (Алушта, 22-31 мая 2013 г.). – М.: Изд-во МАИ, 2013. – С. 509–511. 38. Бондарев, Э.А. Математическое моделирование теплового взаимодействия нефтедобывающих скважин с многолетнемерзлыми грунтами [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Информационные и математические технологии в науке и управлении / Труды XV Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». Часть I. – Иркутск: ИСЭ им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 2010. – С. 54–61. 39. Бондарев, Э.А. Методы идентификации математических моделей гидравлики [Текст] / Э.А. Бондарев, А.Ф. Воеводин, В.С. Никифоровская. – Якутск: Издательский дом СВФУ, 2014. – 188 с. 40. Бондарев, Э.А. Механика образования гидратов в газовых потоках [Текст] / Э.А. Бондарев, Г.Д. Бабе, А.Г. Гройсман, М.А. Каниболотский. – Новосибирск, Наука, Сиб. отд-ние, 1976. – 157 с. 251 41. Бондарев, Э.А. Моделирование образования гидратов в газовых скважинах при их тепловом взаимодействии с горными породами [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Инженерно-физический журнал. – 2014. – Т. 87, №4. – С. 871–878. 42. Бондарев, Э.А. Моделирование образования гидратов при движении газа в трубах [Текст] / Э.А. Бондарев, Л.Н. Габышева, М.А. Каниболотский // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. – 1982. – №5. – С. 105–112. 43. Бондарев, Э.А. Образование гидратов при разработке Отраднинского газоконденсатного месторождения [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // SOCAR Proceedings. Научные труды НИПИ "Нефтегаз" ГНКАР. – 2014. – №4. – С. 46–53. 44. Бондарев, Э.А. Оценка возможности подземного хранения природного газа в гидратном состоянии [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Информационные и математические технологии в науке и управлении / Труды XVIII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». Часть I. – Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2013. – С. 71–76. 45. Бондарев, Э.А. Плоскопараллельная неизотермическая фильтрация газа: роль теплопереноса [Текст] / Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова, И.И. Рожин // Инженерно-физический журнал. – 2009. – Том 82, №6. – С. 1059–1065. 46. Бондарев, Э.А. Прикладная гидродинамика [Текст] / Э.А. Бондарев, О.Г. Андрианова. – Якутск, 2005. – 86 с. 47. Бондарев, Э.А. Температурное поле многолетнемерзлых пород вокруг скважин при планируемой добыче нефти [Текст] / Э.А. Бондарев, И.И. Рожин, К.К. Аргунова // Наука и образование. – 2011. – №1(61). – С. 22–26. 48. Будак, Б.М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана [Текст] / Б.М. Будак, Е.Н. Соловьева, А.Б. Успенский // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 1965. – Т. 5, № 5. – С. 828– 840. 252 49. Бык, С.Ш. Газовые гидраты [Текст] / С.Ш. Бык, Ю.Ф. Макогон, В.И. Фомина. – М.: Химия, 1980. – 296 с. 50. Вабищевич, П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей [Текст] / П.Н. Вабищевич. – М.: Изд-во Моск. университета, 1987. – 164 с. 51. Васильев В.И. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа [Текст] / В.И. Васильев, В.В. Попов, Т.С. Тимофеева. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. – 126 с. 52. Васильев, В.И. Введение в вычислительную теплофизику. Ч. 1. Прямые задачи тепломассопереноса [Текст] / В.И. Васильев, Е.Е. Петров. – Якутск: Изд-во Якутского гос. университета, 1997. – 83 с. 53. Васильев, В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями [Текст] / В.И. Васильев. – Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1985. – 160 с. 54. Васильев, Ф.П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами [Текст] / Ф.П. Васильев // Доклады АН СССР. – 1964. – Т. 157, №6. – С. 1280–1283. 55. Веригин, Н.Н. Линейная задача о разложении гидратов газа в пористой среде [Текст] / Н.Н. Веригин, И.Л. Хабибуллин, Г.А. Халиков // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. – 1980. – №1. – С. 174–177. 56. Вукалович, И.И. Уравнения состояния реального газа [Текст] / И.И. Вукалович, И.И. Новиков. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1948. – 343 с. 57. Вулис, Л.А. Термодинамика газовых потоков [Текст] / Л.А. Вулис. – М.: Госэнергоиздат, 1950. – 304 с. 58. Вычислительные методы в математической физике [Текст] / П.Н. Вабищевич, В.М. Головизнин, Г.Г. Еленин и др. – М.: Изд-во Моск. университета, 1986. – 150 с. 59. Галкин, А.Ф. Теплоаккумулирующие выработки [Текст] / А.Ф. Галкин, Ю.А. Хохлов. – Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1992. – 133 с. 253 60. Геология нефти и газа Сибирской платформы [Текст] / А.Э. Конторович, В.С. Сурков, А.А. Трофимук. – М.: Наука, 1981. – 552 с. 61. Годунов, С.К. Термодинамика газов и дифференциальные уравнения [Текст] / С.К. Годунов // УМН. – 1959. – Т. XIV, вып. 5(89). – С. 97–116. 62. Гуревич, Г.Р. Справочное пособие по расчету фазового состояния и свойств газоконденсатных смесей [Текст] / Г.Р. Гуревич, А.И. Брусиловский. – М: Недра, 1984. – 264 с. 63. Дегтярев, Б.В. Борьба с гидратами при эксплуатации газовых скважин в северных районах [Текст] / Б.В. Дягтерев, Э.Б. Бухгалтер. – М.: Недра, 1976. – 198 с. 64. Ентов, В.М. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи [Текст] / В.М. Ентов, А.Д. Зазовский. – М.: Недра, 1989. – 232 с. 65. Ершов, Э.Д. Проблемы гидратообразования в криолитозоне [Текст] / Э.Д. Ершов, Ю.П. Лебеденко, Е.М. Чувилин, В.А. Истомин, В.С. Якушев // Геокриологические исследования. – М.: Изд-во МГУ, 1989. – С. 50–63. 66. Желтов, Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта [Текст] / Ю.П. Желтов. – М.: Недра, 1975. – 216 с. 67. Жуковский, H.E. Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод [Текст] / Н.Е. Жуковский // Полн. собр. соч. Т.7. – М.: ГПИ, 1937. – 204 c. 68. Иванов, Г.И. Влияние теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на неизотермическое течение реального газа [Текст]: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Иванов Гаврил Иванович. – Якутск, 2014. – 16 с. 69. Иванов, Г.И. Влияние теплообмена пласта-коллектора с вмещающими породами на неизотермическое течение реального газа [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Иванов Гаврил Иванович. – Якутск, 2014. – 91 с. 70. Истомин, В.А. Газовые гидраты в природных условиях [Текст] / В.А. Истомин, В.С. Якушев. – М.: Недра, 1992. – 236 с. 254 71. Истомин, В.А. Инструкция по инженерным методам расчета условий гидратообразования [Текст] / В.А. Истомин. – М.: ВНИИгаз, 1989. – 85 с. 72. Истомин, В.А. Предупреждение и ликвидация газовых гидратов в системах добычи газа [Текст] / В.А. Истомин, В.Г. Квон. – М.: ООО «ИРЦ Газпром», 2004. – 506 с. 73. Истомин, В.А. Термодинамическое моделирование газогидратных систем для решения задач добычи газа [Текст]: дис. ... д-ра. хим. наук: 02.00.04 / Истомин Владимир Александрович. – Москва, 1999. – 285 с. 74. Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст] / Н.Н. Калиткин. – М.: Наука, 1978. – 512 с. 75. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел [Текст] / Г. Карслоу, Д. Егер. – М.: Наука, 1964. – 488 с. 76. Катц, Д.Л. Руководство по добыче, транспорту и переработке природного газа [Текст] / Д.Л. Катц, Д. Корнелл, Р.И. Кобаяши и др.; пер. с англ. под ред. Ю.П. Коротаева. – М.: Недра, 1965. – 672 с. 77. Кемпбел, Д.М. Очистка и переработка природных газов [Текст] / Д.М. Кемпбел. – М.: Недра, 1977. – 314 с. 78. Коллинз, Р. Течения жидкостей через пористые материалы [Текст] / Р. Коллинз. – Пер. с англ. под ред. Г.И. Баренблатта. – М.: Мир, 1964. – 352 с. 79. Лапук, Б.Б. О состоянии и задачах дальнейшего развития теоретических основ разработки газовых месторождений [Текст] / Б.Б. Лапук, Ф.А. Требин. // Тр. МИНХ и ГП. – М.: ГОСИНТИ, 1961. – 112 с. 80. Лапук, Б.Б. Теоретические основы разработки месторождений природных газов [Текст] / Б.Б. Лапук. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 296 с. 81. Латонов, В.В. Расчет коэффициента сжимаемости природных газов [Текст] / В.В. Латонов, Г.Р. Гуревич // Газовая промышленность. – 1969. – №2. – С. 7–9. 82. Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде [Текст] / Л.С. Лейбензон. – Л.: Гостехиздат, 1947. – 244 с. 255 83. Лейбензон, Л.С. Собрание трудов: В 2 т. [Текст] / Л.С. Лейбензон. – Т. 2: Подземная гидрогазодинамика. – М.: АН СССР, 1953. – 544 с. 84. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский. – М.: Наука, 1973. – 847 с. 85. Лыков, А.В. Теория теплопроводности [Текст] / А.В. Лыков. – М.: Высшая школа, 1967. – 600 с. 86. Макогон, Ю.Ф. Газовые гидраты, предупреждение их образования и использование [Текст] / Ю.Ф. Макогон. – М.: Недра, 1985. – 232 с. 87. Макогон, Ю.Ф. Гидраты природных газов [Текст] / Ю.Ф. Макогон. – М.: Недра, 1974. – 208 с. 88. Макогон, Ю.Ф. Определение условий образования гидратов и их предупреждение / Сер. Геология, разведка и разработка газовых и газоконденсантных месторождений [Текст] / Ю.Ф. Макогон, А.С. Схаляхо. – М.: ВНИИЭгазпром, 1972. – 43 с. 89. Максимов, А.М. Математическая модель объемной диссоциации газовых гидратов в пористой среде: учет подвижности водной фазы [Текст] / А.М. Максимов // Инженерно-физический журнал. – 1992. – Т. 62, №1. – С. 76– 81. 90. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики [Текст] / Г.И. Марчук. – Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1973. – 352 с. 91. Маскет, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде [Текст] / М. Маскет. Пер с англ. – М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. – 640 с. 92. Мейрманов, А.М. Задача Стефана [Текст] / А.М. Мейрманов. – Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1986. – 187 с. 93. Местников, В.В. Исследование возможностей использования охлаждающих систем для регулирования температурного режима грунтовых оснований в криолитозоне [Текст]: дис. ... канд. тех. наук: 05.13.18 / Местников Владимир Владимирович. – Якутск, 2013. – 137 с. 256 94. Михайлов, Г.К. Движение жидкостей и газов в пористых средах [Текст] / Г.К. Михайлов, В.Н. Николаевский – В кн.: Механика в СССР за 50 лет. В 4-х т. Т. 2. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1970. – С. 585–648. 95. Мусакаев, Н.Г. Двухфазные течения с физико-химическими превращениями в каналах и пористых средах в задачах нефтегазовой механики [Текст]: дис. ... д-ра. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Мусакаев Наиль Габсалямович. – Тюмень, 2012. – 241 с. 96. Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред [Текст] / Р.И. Нигматулин. Ч. 2. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 360 с. 97. Николаев, В.Е. Численное моделирование влияния теплообмена пластаколлектора с вмещающими породами на отбор газа через одиночную скважину [Текст] / В.Е. Николаев, Г.И. Иванов, И.И. Рожин // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2013. – Т. 16, №4. – С. 337–346. 98. Николаев, В.Е. Численный анализ взаимодействия тепловых и гидродинамических процессов при фильтрации газа [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Николаев Владимир Егорович. – Якутск, 2000. – 109 с. 99. Николаевский, В.Н. Механика насыщенных пористых сред [Текст] / В.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов. – М.: Недра, 1970. – 336 с. 100. Николаевский, В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред [Текст] / В.Н. Николаевский. – М.: Недра, 1984. – 232 с. 101. Павлов, А.Р. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при фазовых переходах [Текст] / А.Р. Павлов. – Якутск: Изд-во Якутского госуниверситета, 2001. – 56 с. 102. Пасконов, В.М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена [Текст] / В.М. Пасконов. В.И. Полежаев, П.А. Чудов. – М.: Наука, 1984. – 288 с. 103. Пилоян, Г.О. Введение в теорию термического анализа [Текст] / Г.О. Пилоян. – М.: Наука, 1964. – 232 c. 257 104. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод [Текст] / П.Я. Полубаринова-Кочина. – М.: Наука, 1977. – 664 с. 105. Пономарев, Г.В. Условия образования гидратов природных и попутных газов [Текст] / Г.В. Пономарев. – Куйбышев: НИИНП, 1960, вып. 2. – С. 49– 55. 106. Попов, Ф.С. Вычислительные методы инженерной геокриологии [Текст] / Ф.С. Попов. – Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. 1995. – 136 с. 107. Пыхачев, Г.Б. Подземная гидравлика [Текст] / Г.Б. Пыхачев, Р.Г. Исаев. – М.: Недра, 1973. –360 с. 108. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917–1967). [Текст] – М.: Наука, 1969. – 546 с. 109. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике [Текст] / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. – М.: Наука, 1978. – 688 с. 110. Рожин, И.И. Влияние неизотермических эффектов на добычу газа и определение области возможного образования гидратов в призабойной зоне газоносных пластов [Текст] / И.И. Рожин, Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова // Материалы Четвертой конференции геокриологов России. – Т. 3. Части 7– 12. – М.: Университетская книга, 2011. – С. 84–91. 111. Рожин, И.И. Математическое моделирование создания подземных хранилищ природного газа в гидратном состоянии [Текст] / И.И. Рожин, Э.А. Бондарев, К.К. Аргунова // Результаты исследований получателей грантов президента РС(Я) и государственных стипендий РС(Я) за 2013 год. – Якутск: ООО Изд-во "Сфера", 2014. – С. 4–10. 112. Рожин, И.И. Расчетные и экспериментальные исследования состава гидратов природных газов месторождений Якутии [Текст] / И.И. Рожин, Л.П. Калачева, А.Ф. Федорова // Евразийский Союз Ученых. IV Междун. науч.практ. конф. «Современные концепции научных исследований» (Москва, 26–27 сентября 2014 г.) – №6, часть 5. – М.: ЕСУ, 2014. – С. 113–116. 258 113. Рожин, И.И. Численное моделирование переходных процессов в прикладных задачах теплопроводности с фазовыми превращениями [Текст]: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Рожин Игорь Иванович. – Якутск, 2005. – 18 с. 114. Рожин, И.И. Численное моделирование переходных процессов в прикладных задачах теплопроводности с фазовыми превращениями [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Рожин Игорь Иванович. – Якутск, 2005. – 182 с. 115. Рубинштейн, Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах [Текст] / Л.И. Рубинштейн. – М.: Недра, 1972. – 275 с. 116. Румер, Ю.Б. Термодинамика, статистическая физика и кинетика [Текст] / Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. литер., 1972. – 400 с. 117. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем [Текст] / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1971. – 550 с. 118. Самарский, А.А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры [Текст] / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. – М.: Наука, 1997. – 320 с. 119. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений [Текст] / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. – М.: Наука, 1978. – 592 с. 120. Самарский, А.А. Экономичная схема сквозного счета для многомерных задач Стефана [Текст] / А.А. Самарский, Б.Д. Моисеенко // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 1965. – Т. 5, № 5. – С. 816–827. 121. Справочник по строительству на вечномерзлых грунтах [Текст] / Под ред. Ю.Я. Велли, В.И. Докучаева, Н.Ф. Федорова. – Л.: Стройиздат, 1977. – 552 с. 122. Степанова, Г.С. Разработка сероводородсодержащих месторождений углеводородов [Текст] / Г.С. Степанова, И.Ю. Зайцев, А.Г. Бурмистров. – М.: Недра, 1986. – 163 с. 259 123. Степанова, Г.С. Уточненный метод расчета условий гидратообразования [Текст] / Г.С. Степанова, А.Г. Бурмистров // Газовая промышленность. – 1986. – №10. – С. 47. 124. Теория тепломассообмена: учебник для вузов [Текст] / С.И. Исаев, И.А. Кожанов, В.И. Кофанов и др.; под ред. А.И. Леонтьева. – М.: Высшая школа, 1979. – 495 с. 125. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа [Текст] / Э.А. Бондарев, В.И. Васильев, А.Ф. Воеводин, Н.Н. Павлов, А.П. Шадрина. – Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. – 272 с. 126. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – Изд. 5-е. – М.: Наука, 1977. – 736 с. 127. Турчак, Л.И. Основы численных методов: учебное пособие [Текст] / Л.И. Турчак. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 320 с. 128. Федосеев, С.М. Газовые гидраты криолитозоны [Текст] / С.М. Федосеев // Наука и образование. – 2006. – №1(41). – С. 22–27. 129. Физическая энциклопедия [Текст]. –Т. 1. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 704 с. 130. Хайруллин, М.Х. Моделирование гидратообразования в стволе вертикальной газовой скважины [Текст] / М.Х. Хайруллин, М.Н. Шамсиев, П.Е. Морозов, Л.А. Тулупов // Вычислительные технологии. – 2008. – Т. 13, №5. – С. 88–94. 131. Хорошилов, В.А. О некоторых закономерностях изменения параметров гидратообразования сероводородсодержащих газов [Текст] / В.А. Хорошилов // Нефтяное хозяйство. – 1987. – №3. – С. 43–46. 132. Хранение газа в горизонтальных и пологозалегающих водоносных пластах [Текст] / И.А. Чарный, Д.И. Астраханов, А.М. Власов и др. – М.: Недра, 1968. – 299 с. 133. Христианович, С.А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело [Текст] / С.А. Христианович. – М.: Наука. МФТИ, 1998. – 336 с. 260 134. Христианович, С.А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. Теория пластичности. Энергетика [Текст] / С.А. Христианович. – М.: Изд-во МФТИ, 2000. – 272 с. 135. Цыпкин, Г.Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов сосуществующих с газом в природных пластах [Текст] / Г.Г. Цыпкин // Инженерно-физический журнал. – 1991. – Т. 60, №5. – С. 736–742. 136. Цыпкин, Г.Г. О влиянии подвижности жидкой фазы на диссоциацию газовых гидратов в пластах [Текст] / Г.Г. Цыпкин // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. – 1991. – №4. – С. 105–114. 137. Цыпкин, Г.Г. О режимах диссоциации газовых гидратов в высокопроницаемых пластах [Текст] / Г.Г. Цыпкин // Инженерно-физический журнал. – 1992. – Т. 63, №6. – С. 717–721. 138. Чарный, И.А. Основы газовой динамики [Текст] / И.А. Чарный. – М.: Гостоптехиздат, 1961. – 200 с. 139. Чарный, И.А. Подземная гидрогазодинамика [Текст] / И.А. Чарный. – М.: Гостоптехиздат, 1963. – 396 с. 140. Чекалюк, Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта [Текст] / Э.Б. Чекалюк. – М.: Недра, 1965. – 238 с. 141. Черский, Н.В. Изучение газоносности зон гидратообразования СССР [Текст] / Н.В. Черский, С.П. Никитин. – Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1987. – 260 с. 142. Черский, Н.В. Исследование и прогнозирование условий накопления ресурсов газа в гидратных залежах [Текст] / Н.В. Черский, В.П. Царев, С.П. Никитин. – Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1983. – 156 с. 143. Черский, Н.В. О тепловом методе разработки газогидратных залежей [Текст] / Н.В. Черский, Э.А. Бондарев // Доклады АН СССР. – 1972. – Т. 203, №3. – С. 550–552. 261 144. Шагапов, В.Ш. Нагнетание газа в пористый резервуар, насыщенный газом и водой [Текст] / В.Ш. Шагапов, Н.Г. Мусакаев, М.К. Хасанов // Теплофизика и аэромеханика. – 2005. – Т. 12, №4. – С. 645–656. 145. Шагапов, В.Ш. Образование газогидрата в пористом резервуаре, частично насыщенном водой, при инжекции холодного газа [Текст] / В.Ш. Шагапов, М.К. Хасанов, Н.Г. Мусакаев // Прикладная механика и техническая физика. – 2008. – Т. 49, №3. – С. 137–150. 146. Шагапов, В.Ш. Численное моделирование образования газогидрата в пористом пласте конечной протяженности при продувке его газом [Текст] / В.Ш. Шагапов, М.К. Хасанов, И.К. Гималтдинов, М.В. Столповский // Прикладная механика и техническая физика. – 2011. – Т. 52, №4. – С. 116–126. 147. Щелкачев, В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации [Текст] / В.Н. Щелкачев. – М.: Нефть и газ, 1995. – Часть 1. 586 с.; Часть 2. 493 с. 148. Щелкачев, В.Н. Подземная гидравлика: учебное пособие для студентов нефтегазовых специальностей университетов [Текст] / В.Н. Щелкачев. – М.: РХД, 2001. – 736 с. 149. Щелкачев, В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме [Текст] / В.Н. Щелкачев. – М.: Гостоптехиздат, 1959. – 467 с. 150. Якушев, В.С. Многолетнемерзлые породы как коллектор газовых и газогидратных скоплений [Текст] / В.С. Якушев, Е.В. перлова, Е.М. Чувилин, В.В. Кондаков // Газовая промышленность. – 2003. – №3. – С. 36–40. 151. Яненко, Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики [Текст] / Н.Н. Яненко. – Новосибирск: Наука, 1967. – 196 с. 152. Argunova, K.K. Mathematical modelling of hydrate formation during natural gas production. [Electronic resource] / K.K. Argunova, E.A. Bondarev, I.I. Rozhin // Zbornik radova Konferencije MIT-2013. – http://www.mit.rs/2013/zbornik-2013.pdf – Kosovska Mitrovica: Prirodnomatematicki fakultet Uiverziteta u Pristini; Novosibirsk: Institute of Computa- 262 tional Technologies SB RAS. – Beograd: Stamparija Ofsetpres, Kraljevo, 2014. – Pp. 43–50. – 1 CD-ROM. 153. Baillie, C. Chart gives hydrate formation temperature for natural gas [Text] / C. Baillie, B. Wichert // Oil&Gas Journal. – 1987. – V. 4. – Pp. 37–39. 154. Bland, D.R. Mathematical theory of the flow of a gas in a porous solid and of the associated temperature distributions [Text] / D.R. Bland // Proc. Royal Soc. A221. – 1954. – No. 1144. – Pp. 1–27. 155. Bondarev, E. Estimation of natural gas underground storage in hydrate state [Electronic resource] / E. Bondarev, I. Rozhin, K. Argunova // Proceedings of the 8th International Conference on Gas Hydrates (ICGH 2014). 28 July – 1 August 2014, Beijing, China. ICGH/files/T3Energy/T3-138.pdf. – 1 CD-ROM. – 9 pp. 156. Bondarev, E. Mathematical model of natural gas underground storage in hydrate state [Text] / E. Bondarev, I. Rozhin, K. Argunova // Proceedings of the 16th International Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT'2014), Sheffield, England, September 16-22, 2014. Vol. 1. – Ufa: Ufa State Aviation Technical University, 2014. – Pp. 115–122. 157. Bondarev, E. Mathematical models of hydrate formation in gas wells [Electronic resource] / E. Bondarev, I. Rozhin, K. Argunova / Proceedings of the 7 th International Conference on Gas Hydrates (ICGH 2011). Edinburgh, Scotland, United Kingdom, July 17-21, 2011. ICGH/papers/icgh2011Final00064.pdf – 1 CD-ROM. – 5 pp. 158. Bondarev, E. Prediction of hydrate plugs in gas wells in permafrost [Electronic resource] / E. Bondarev, K. Argunova, I. Rozhin // Proceedings of the 6th International Conference on Gas Hydrates (ICGH 2008), Vancouver, British Columbia, Canada, July 6-10, 2008. – 1 CD-ROM. – 5 pp. 159. Bondarev, E.A. Influence of nonisothermal effects on gas production in northern regions [Text] / E.A. Bondarev, I.I. Rozhin, K.K. Argunova // Numerical Analysis and Applications. – 2011. – Vol. 4, No. 1. – Pp. 12–20. 160. Bondarev, E.A. Mathematical simulation of hydrate formation and dissociation in the systems of natural gas production and transportation [Text] / E.A. 263 Bondarev, T.A. Kapitonova, A.M. Maksimov, G.G. Tzypkin // AMSE Periodical. Modeling, Simulation and Control. – 1990. – Vol. 21, No. 1. – Pp. 53–63. 161. Bondarev, E.A. Modeling the formation of hydrates in gas wells in their thermal interaction with rocks [Text] / E.A. Bondarev, I.I. Rozhin, K.K. Argunova // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – 2014. – V. 87, No. 4. – Pp. 900–907. 162. Bondarev, E.A. Plane-parallel nonisothermal filtration of a gas: the role of heat transfer [Text] / E.A. Bondarev, K.K. Argunova, I.I. Rozhin // Journal of Engineering Physics and Thermophysic. – 2009. – Vol. 82, No. 6. – Pp. 1073–1079. 163. Bondarev, E.A. Plane-parallel nonisothermal gas filtration: the role of thermodynamics [Text] / E.A. Bondarev, K.K. Argunova, I.I. Rozhin // Journal of Engineering Thermophysics. – 2009. – Vol. 18, No. 2. – Pp. 168–176. 164. Bondarev, E.A. Simulation of gas production in the northern regions: the role of thermodynamics [Text] / E.A. Bondarev, I.I. Rozhin, K.K. Argunova // Proceedings of the Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT’2012), Russia, Ufa-Hamburg-Norwegian Fjords, September 20-26, 2012. – Vol. 1. – Ufa: USATU Editorial-Publishing Office, 2012. – Pp. 153–162. 165. Bondarev, E.A. Simulation of gas production in the northern regions: the role of thermodynamics [Electronic resource] / E.A. Bondarev, I.I. Rozhin, K.K. Argunova // Mathematical Sciences. – 2012. – 6:17 /SpringerOpen Journal – http://www.iaumath.com/content/6/1/17. – DOI:10.1186/2251-7456-6-17. – 28 p. 166. Bondarev, E.A. Simulation of hydrate formation in gas wells at thermal interaction with rocks [Text] / E.A. Bondarev, I.I. Rozhin, K.K. Argunova // Суперкомпьютерные технологии математического моделирования: труды II Международной конференции / Под ред. В.И. Васильева. – Якутск: Издательский дом СВФУ, 2014. – С. 130–139. 167. Bondarev, E.A. Simulation of multiphase flow in porous media accompanied by gas hydrate formation and dissociation [Text] / E.A. Bondarev, T.A. Kapitonova // Russian Journal of Engineering Thermophysics. – 1999. – Vol. 9, No. 1–2. – Pp. 83–97. 264 168. Campbell, J.M. Gas conditioning and processing [Text] / J.M. Campbell. – V. 2: The equipment modules. – 7th ed. – Norman: Campbell Petroleum Series, 1992. – 444 pp. 169. Darcy, Н. Les fontaines publiques de la ville de Dijon [Text] / H. Darcy. – Paris: Dalmont, 1856. – p. 204. 170. Dupuit, J. Etudes theoriques et pratiques sur le mouvement des eaux dans le canaux decouverts et a travers les terrains permeables [Text] / J. Dupuit. –2-eme ed. – Paris: Dunod, 1863. – 304 р. 171. Kay, W.B. Density of hydrocarbon gases and vapors at high temperature and pressures [Text] / W.B. Kay // Industrial & Engineering Chemistry Research. – 1936. – Vol. 28. – Pp. 1014–1019. 172. McLeod, H.O. Natural gas hydrates at pressures to 10,000 psia [Text] / H.O. McLeod, J.M. Campbell // Journal of Petroleum Technology. – 1961. – V. 13, Issue 6. – Pp. 590–594. 173. Nikolaev, V.E. Numerical modeling of the influence of heat exchange of reservoir beds with enclosing rocks on gas production from a single well [Text] / V.E. Nikolaev, G.I. Ivanov, I.I. Rozhin // Numerical Analysis and Applications. – 2013. – Vol. 6, No. 4. – Pp. 289–297. 174. NIST Chemistry WebBook [Electronic resource] – http://webbook.nist.gov/chemistry. 175. Sloan, E.D. Clathrate hydrates of natural gases [Text] / E.D. Sloan. – Third edition. – New York: Marcel Dekker, 1998. – 730 p. 176. Sloan, E.D. Clathrate hydrates of natural gases [Text] / E.D. Sloan, C.A. Koh. – Boca Raton: Taylor&Francis Group/CRC Press, 2008. – 720 p.
