регуляторами

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УКРАИНЫ
" ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ "
Кафедра
Автоматизация теплоэнергетических процессов
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Конспект лекций для студентов специальности "Автоматизированное
управление технологическими процессами и производствами "
заочной формы обучения
Киев 1999
Основы теории автоматического управления : Конспект лекций для
студентов специальности "Автоматизированное управление
технологическими
процессами и производствами " заочной формы обучения / Сост. Батюк Г.С.  Бунь
В.П., оформители Марцинковский А.О.,
Чумакова Н.В. - Киев: НТУУ " КПИ " , 1999 - 140 с.
Составители
Ответственный редактор
Рецензент
Г.С. Батюк
В.П.Бунь
Ю.М.Ковриго
В.И. Першин
Изложены
основы
теории
линейных
непрерывных
и
дискретных
автоматизированных систем управления технологическими процессами в объеме 
предусмотренном программой курса ТАУ для студентов специальности АСУТП и П
заочной формы обучения. Рассмотрены некоторые методы анализа линейных
непрерывных и дискретных АСР. Приведены краткие сведения по определению
настроечных параметров нелинейных АСР с двухпозиционными регуляторами и
регуляторами с постоянной скоростью исполнительного механизма.
Кафедра АТЭП рекомендует конспект лекций студентам заочной формы
обучения в качестве учебного пособия по курсу ТАУ.
НТУУ "КПИ"
1999
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧАСТЬ 1
Линейные непрерывные АСР
1.
1.1.
1.2.
1.3.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.3.1.
5.3.2.
6.
6.1.
6.2.
6.3.
6.3.1.
6.3.2.
6.3.3.
7.
7.1.
7.2.
8.
8.1.
8.2.
Основные сведения из динамики АСР…………………………………………... 8
Переходный процесс в АСР……………………………………………………….. 8
Устойчивость АСР……………………………………………………………….….. 9
Принцип суперпозиции. Типовые возмущения………………………………… 10
Применение преобразований Лапласа в ТАУ………………………………….. 13
Прямое и обратное преобразование Лапласа…………………………….…... 13
Основные теоремы преобразования Лапласа…………………………….…... 14
Передаточная функция……………………………………………………………. 15
Переходный процесс в АСР………………………………………………………. 16
Динамические характеристики АСР……………………………………………… 17
Комплексная частотная функция………………………………………………… 17
Переходная функция……………………………………………………………….. 18
Весовая функция……………………………………………………………………. 19
Типовые звенья АСР………………………………………………………………... 20
Введение……………………………………………………………………………… 20
Безынерционное звено…………………………………………………………….. 20
Идеальное дифференцирующее звено…………………………………….…… 21
Идеальное интегрирующее звено………………………………………………... 22
Апериодическое звено первого порядка……………………………………..…. 24
Реальное дифференцирующее звено………………………………………..…. 25
Инерционные звенья второго порядка………………………………………..… 26
Общие свойства типовых звеньев…………………………………………….…. 29
Звено транспортного запаздывания…………………………………………….. 30
Типовые соединения звеньев…………………………………………………….. 32
Основные свойства типовых объектов регулирования………………………. 35
Статические и астатические объекты регулирования………………………... 35
Экспериментальные определения временных динамических
характеристик объектов регулирования………………………………………… 37
Определение передаточной функции объекта регулирования
по его экспериментальной переходной функции……………………………... 38
Статический объект регулирования …………………………………………….. 38
Астатический объект регулирования……………………………………………. 44
Основные линейные законы регулирования………………………………….... 48
Закон регулирования……………………………………………………………….. 48
Простейшие законы регулирования……………………………………………... 48
Законы регулирования с коррекцией по интегралу и производной………… 49
Корректирующая обратная связь………………………………………………… 49
Пропорционально-интегральный закон регулирования……………………… 51
Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон
регулирования……………………………………………………………………….. 53
Структурные схемы и передаточные функции АСР…………………………… 55
Одноконтурная АСР ……………………………………………………………….. 55
Многоконтурная АСР……………………………………………………………….. 57
Астатизм АСР………………………………………………………………………… 59
Порядок воздействия………………………………………………………………. 59
Коэффициенты ошибки. Порядок астатизма АСР…………………………….. 59
8.3. Структурные условия астатизма…………………………………………………. 61
9.
АСР с компенсацией возмущения………………………………………………... 64
10. Устойчивость АСР…………………………………………………………………… 66
10.1. Переходный процесс в АСР. Устойчивые и неустойчивые АСР……………. 66
10.2. Необходимые условия устойчивости……………………………………………. 66
10.3. Критерии устойчивости…………………………………………………………….. 67
10.3.1. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица…………………………….. 67
10.3.2. Частотный критерий устойчивости Найквиста для
статических систем………………………………………………………………... 68
10.3.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста для
астатических систем -ого порядка астатизма……………………………….. 68
10.4. Влияния параметров АСР на ее устойчивость.
Критический коэффициент передачи………………………………………….. 70
11.
Оценка качества АСР……………………………………………………………… 72
11.1. Прямые показатели качества переходных процессов
в замкнутой АСР………………………………………………………………….. 72
11.2. Корневые показатели качества АСР…………………………………………… 73
11.3. Интегральные критерии качества АСР………………………………………… 73
11.4. Типовые процессы регулирования…………………………………………….. 75
11.5. Частотные критерии качества АСР…………………………………………….. 76
11.5.1. Запас устойчивости по модулю и фазе………………………………………... 76
11.5.2. Частотный показатель колебательности……………………………………… 77
12.
Расчет настроек линейных непрерывных одноконтурных АСР ………….. 79
12.1. Определение оптимальных настроек линейных
одноконтурных АСР по АФХ объекта регулирования……………………… 79
12.1.1. Условие оптимальности………………………………………………………….. 79
12.1.2. Графо-аналитический расчет настроек АСР по показателю
колебательности………………………………………………………………….. 80
12.1.3. Графо-аналитический расчет настроек АСР
по запасу устойчивости по модулю и фазе…………………………………… 87
12.1.4. Определение оптимальных настроек АСР
с помощью расширенных АФХ объекта регулирования…………………… 92
12.1.5. Переходные процессы (процессы регулирования)
в замкнутой АСР…………………………………………………………………... 97
13.
Расчет настроек линейных непрерывных двухконтурных АСР……………. 99
13.1. Введение……………………………………………………………………………. 99
13.2. Двухконтурная АСР с корректирующим
и стабилизирующим регуляторами……………………………………………. 99
13.3. Двухконтурная АСР с дополнительным сигналом из промежуточной
точки объекта регулирования………………………………………………….. 101
14.
Определение параметров настройки АСР
с нелинейными регуляторами………………………………………………….. 104
14.1. Введение……………………………………………………………………………. 104
14.2. АСР с двухпозиционным регулятором…………………………………………. 104
14.3. АСР с регулятором с постоянной скоростью
исполнительного механизма…………………………………………………….. 107
ЧАСТЬ 2
Дискретные системы с цифровыми регуляторами
15.
15.1.
Математические основы теории дискретных АСР…………………………… 110
Импульсный элемент. Дискретные сигналы. Решетчатая функция……… 110
15.2.
15.3.
16.
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
17.
18.
19.
19.1.
19.2.
19.3.
20.
21.
22.
22.1.
22.2.
23.
23.1.
23.2.
23.3.
-преобразование…………………………………………………………………. 111
Дискретное преобразование Лапласа…………………………………………. 113
Цифровые регуляторы…………………………………………………………… 114
Канал дискретного преобразования сигнала…………………………………. 114
Аналого-цифровой преобразователь.Дельта-импульсный модулятор…... 115
Цифровое вычислительное устройство………………………………………… 116
Цифро-аналоговый преобразователь. Демодулятор………………………… 116
Структурная схема дискретной АСР с цифровым регулятором…………… 119
Передаточные функции дискретной АСР с цифровым регулятором…….. 121
Критерии качества дискретных АСР с цифровыми регуляторами………… 122
Линейный интегральный критерий……………………………………………… 122
Квадратичный интегральный критерий………………………………………… 123
Условие достаточности информации об изменении
регулируемой величины…………………………………………………………. 123
Синтез типовых алгоритмов функционирования (типовых законов
регулирования) цифровых регуляторов……………………………………….. 125
Оптимальные значения параметров настройки цифровых регуляторов…. 130
Переходные процессы в дискретных АСР с цифровыми регуляторами…. 132
Вычисление переходного процесса методом вычетов……………………… 132
Вычисление переходного процесса методом степенных рядов…………… 134
Устойчивость дискретных АСР с цифровыми регуляторами………………. 135
Необходимое условие устойчивости……………………………………………. 135
Критерий устойчивости Найквиста……………………………………………… 136
Запас устойчивости дискретных АСР. Оценка запаса устойчивости по
распределению корней характеристического уравнения системы………... 137
Список литературы…………………………………………………………………. 139
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Система управления – совокупность всех устройств и ресурсов, обеспечивающая
управление каких-либо процессов.
Любая система управления включает источник информации о задачах и результатах
управления, устройства или персонал, анализирующие состояние системы и
принимающие решения об управляющих воздействиях.
Автоматизированная
система
управления
(АСУ)
–
совокупность
административных,
организационных,
экономико-математических
методов
и
вычислительных средств, оргтехники и средств связи, взаимосвязанных в процессе
своего функционирования в единой человеко-машинной системе.
Частным случаем АСУ является автоматическая система регулирования (АСР).
Под АСР понимают автоматическое управление какой-либо физической величиной
(давлением, температурой пара).
АСР включает объект регулирования и регулирующее устройство.
Физические величины, подлежащие регулированию, называют регулируемыми
величинами.
Воздействие регулирующего устройства (регулятора) на объект регулирования
называют регулирующим воздействием.
Сигнал, с которым нужно сравнивать регулируемую величину, называют
управляющим воздействием (заданием).
Причины, нарушающие нормальную работу системы регулирования, называют
возмущающими воздействиями (возмущениями).
Различают внутреннее и внешнее возмущения. Под внутренним возмущением
понимают те причины, которые воздействуют на объект через его регулирующий орган.
Все остальные причины, нарушающие режим работы системы, относят к внешним.
В технологии производств могут быть случаи, когда нужно регулировать одну
физическую величину, и случаи, когда для работы технологического участка требуется
управлять несколькими физическими величинами.
В первом случае объекты этой системы называют одномерными, во втором случае многомерными.
Многомерные АСР могут быть несвязанными и связанными.
Несвязанными многомерными АСР называют такие, когда несколько физических
величин независимы функционально друг от друга.
В этом случае вся система управления может быть представлена независимыми друг
от друга системами регулирования.
Связанными многомерными АСР называют такие, когда отдельные
регулируемые величины функционально зависят друг от друга, вследствие чего нельзя
представить всю систему управления независимыми отдельными системами
регулирования.
Различают непрерывные и прерывные системы регулирования. Системы, у
которых регулирующее воздействие приложено к объекту регулирования в течение
всего времени регулирования, называют непрерывными системами регулирования.
Если при непрерывном изменении регулируемой величины регулирующее
воздействие изменяется прерывисто через некоторые промежутки времени, то такую
систему называют прерывной системой регулирования.
При этом различают релейные и импульсные системы регулирования.
Регулирование работы какого-либо объекта можно осуществить тремя
принципами.
1. Регулированием по возмущению называют принцип, когда в течение какого-то
времени измеряется возмущающее воздействие.
Системы, реализующие этот принцип, работают по разомкнутому циклу.
2. Регулирование по отклонению регулируемой величины. В этом случае
регулятор воспринимает значение регулируемой величины, сопоставляет его с
заданным значением и по их разности вырабатывает соответствующее регулирующее
воздействие, т.е. регулирующее устройство получает информацию о результатах
своего действия. Следовательно, такой принцип регулирования предполагает
обратную связь.
Системы регулирования по отклонению в связи с этим являются замкнутыми,
т.е. работают по принципу обратной связи. Обратную связь, осуществляющую принцип
регулирования по отклонению, называют главной обратной связью. Она должна быть
отрицательной. Это означает, что положительным приращениям регулируемой
величины должны соответствовать отрицательные приращения регулирующего
воздействия.
3. Комбинированные системы регулирования предполагают использование как
принципа по отклонению, так и принципа по возмущению.
По зависимости между регулируемой величиной и возмущающим воздействием
в установившемся режиме работы различают статическое и астатическое
регулирование.
Статическим регулированием называют случай, когда в установившемся режиме
имеется однозначная зависимость между значениями регулируемой величины и
возмущающим воздействием ( Рис. В1 а )
рег.
вел.
рег.
вел.
возмущ.
а) статическое
регулирование
возмущ.
б) астатическое
регулирование
Рис. В1
Если в установившемся режиме однозначной зависимости между значениями
регулируемой величины и возмущением нет, то регулирование называют
астатическим. При таком регулировании любому установившемуся значению
возмущающего воздействия соответствует одно и то же значение регулируемой
величины ( Рис. В1 б).
ЧАСТЬ 1
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИНАМИКИ АСР
1.1. Переходный процесс в АСР
При нормальных условиях эксплуатации вся система регулирования находится в
установившемся режиме. При этом все регулируемые величины соответствуют своим
номинальным значениям, а регулирующие органы неподвижны. Такой режим работы
АСР называют статическим. Если в какой-то момент времени к системе приложено
какое-то возмущение (f(t)), то это приведет к отклонению регулируемых величин от
заданных значений и, как следствие, к работе регулирующих устройств с целью
устранения причин возмущения и возвращения регулируемых величин к своим
номинальным или близким к ним значениям.
Изменение регулируемых величин во времени в течение всего процесса
регулирования называют переходным процессом.
Такой режим работы системы называют динамическим режимом (динамикой).
В общем случае динамика в линейной непрерывной АСР может быть описана
линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами.
d n y (t )
d n 1 y (t )
dy (t )

a
     an 1
 an y (t ) 
1
n
n 1
dt
dt
dt
d m f (t )
d m 1 f (t )
df (t )
 bo

b
     bm 1
 bm f (t ),
1
m
m 1
dt
dt
dt
ao
где
ao ,..., an ; bo ,..., bm - постоянные коэффициенты ;
y(t) - регулируемая величина ;
f(t) - возмущающее воздействие.
Эта запись предполагает зависимость выходной величины y(t) от входного
воздействия f(t) и независимость входного воздействия f(t) от выходного сигнала
y(t) (Рис. 1.1.).
f(t)
y(t)
Рис. 1.1.
d
 p , т.е. вводя символ дифференцирования p , уравнение можно
dt
записать в виде:
( a o p n  a1 p n 1    a n 1 p  a n ) y (t )  (bo p m  b1 p m 1    bm 1 p  bm ) f (t )
или
A( p ) y (t )  B( p ) f (t ) .
Полагая
Здесь A( p ) и B( p ) - операторные многочлены левой и правой частей уравнения.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
ищется в виде двух слагаемых - вынужденного движения ув и свободных
колебаний усв(t):
y (t )  ув + усв(t).
Вынужденная составляющая переходного процесса является установившимся
значением регулируемой величины и находится из исходного дифференциального
уравнения приравниванием к нулю всех производных в левой и правой частях
уравнения.
b
a n ув= bm f уст, т.е. ув= m f уст
an
Свободная составляющая переходного процесса (усв (t ) ) или, иначе, переходная
составляющая (упер (t )) общего решения неоднородного дифференциального
уравнения ищется как общее решение однородного дифференциального уравнения в
виде:
n
усв (t ) =упер (t ) = C1 e p1t  C 2 e p2 t    C n 1 e pn 1t  C n e pn t =  C i e pi t ,
i 1
где
p i - і-ый корень характеристического уравнения A( p )  0 ,
соответствующего однородному дифференциальному уравнению:
A( p ) y (t )  0 ;
C i - і-ая постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий;

- символ суммирования отдельных составляющих общего решения.
Начальными условиями называют значения функций и их производных до
( n  1) го порядка включительно при t  0 (в начальный момент времени ).
Различают начальные условия для моментов времени t  0 и t  0 .
В первом случае рассматривается поведение функции в нулевой момент времени
сразу же после приложения возмущения (справа от начала координат); второй случай поведение функции в нулевой момент времени, непосредственно перед приложением
возмущающего воздействия (слева от начала координат).
1.2 Устойчивость АСР
Переходный процесс в системе описывается уравнением:
n
y (t )   C i e pi t
i 1
Если все корни простые действительные ( pi   i ), то каждая из составляющих
переходного процесса изменяется по закону экспоненты.
При этом переходная составляющая процесса стремится к нулю при  i  0 (рис.1.2 а)
или уходит в бесконечность от установившегося значения при  i  0 (рис.1.2 б).
y
y
i  0
0
i  0
0
t
t
а)
б)
Рис. 1.2
Если в уравнении имеется комплексный сопряженный корень pi   i  j i ,то
соответствующая ему составляющая переходного процесса изменяется по
синусоидальному закону (рис.1.3):
yi (t )  Yi e i t sin(  it   i ) ,
где
Yi  амплитуда колебаний;
 i  частота колебаний;
 i  сдвиг фаз (начальная фаза).
y
y
i
i
t
0
t
0
а)
б)
Рис.1.3.
Эти величины играют роль постоянных интегрирования. При этом yi (t )  0 при  i  0
(рис.1.3 а) и уходит в бесконечность при i  0 (рис.1.3. б).
АСР, переходные процессы в которых затухают  с течением времени,
называют устойчивыми.
АСР, у которых переходные процессы расходятся с течением времени,
называют неустойчивыми.
Работоспособные системы должны быть устойчивыми.
Из изложенного вытекает необходимое условие устойчивости системы отрицательность
действительной части корней характеристического уравнения,
соответствующего дифференциальному уравнению, которым описывается динамика
системы.
1.3.
Принцип суперпозиции. Типовые возмущения.
Для линейной системы справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в
том, что сумме любых возмущений соответствует сумма выходных реакций, каждая из
которых определяется соответствующим воздействием; при любом изменении
входного возмущения без изменения его формы выходная величина претерпевает
такое же изменение, также не изменяя формы.
Принцип суперпозиции применим не только к суммам, но и к интегралам. Если
входное возмущение в системе представляет собой бесконечно большое число
бесконечно малых элементарных возмущений, то выходная величина линейной
системы представляет собой сумму бесконечно малых реакций на эти бесконечно
малые возмущения.
Принцип суперпозиции дает возможность выразить реакцию системы на
любое возмущение через ее реакцию на определенный вид элементарных
возмущений. Для этого достаточно представить произвольное возмущение
элементарными воздействиями выбранного типа.
В качестве типовых возмущений чаще всего применяют единичную
скачкообразную функцию, единичную импульсную функцию, единичную линейную
функцию, единичное гармоническое колебание.
1. Единичная скачкообразная функция описывает мгновенное изменение какого-то
воздействия от 0 до 1 (рис.1.4).
f
t
t
0
Рис.1.4.
Аналитически скачкообразную функцию записывают как :
0 при t  0 и t  0
f (t )  1(t ) 
1 при t  0 и t  0
2. Единичная импульсная функция описывает кратковременное возмущение,
имеющее характер кратковременного импульсного толчка (рис. 1.5 ).
f
0
t
Рис.1.5.
Единичная импульсная функция, называемая
 - функцией Дирака,
представляет собой первую производную от единичной скачкообразной функции:
d 1(t )
 (t )  1(t ) 
dt
и равна нулю везде, кроме t  0 , где она принимает бесконечное значение, причем при
условии, что интеграл от нее по любому интервалу, содержащему t  0 , равен
единице.

  (t )dt  1

Функцию, обладающую такими свойствами, можно получить как предел
положительного прямоугольного импульса, имеющего единичную площадь, когда
длительность этого импульса стремится к нулю (рис. 1.6).
f
S(=1)   0
h
s 1
h
t
0
Рис.1.6.
3. Единичную линейную функцию f (t )  kt при k  1 называют еще рамповым
возмущением (Рис. 1.7).
tg  1
f

0
t
Рис.1.7.
Такое возмущение является типичным для следящих систем регулирования.
4. Единичное гармоническое возмущение чаще всего записывают как функцию,
изменяющуюся по синусоидальному закону ( Рис. 1.8):
f (t )  sin t  e jt
f
1
t
0
T
2

Рис. 1.8
Такой
тип
возмущений
применяют
при
частотных
методах
анализа
АСР.
2.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА В ТАУ
2.1.
Прямое и обратное преобразования Лапласа
Уравнения динамики АСР в символической Форме имеют вид:
(a 0 p n  a1 p n 1      a n 1 p  a n ) y (t )  (b0 p m  b1 p m 1      bm 1 p  bm ) f (t ) ,
p
d
dt
или
A( p) y (t )  B( p) f (t ) .
Для нахождения интеграла функции y (t ) нужно решить характеристическое
уравнение:
A( p)  a 0 p n  a1 p n 1      a n 1 p  a n  0
Уравнения пятой и выше степеней в радикалах не решаются, а решения
уравнений третьей и четвертой степеней громоздки. Поэтому при анализах АСР
переходят от классических методов решения дифференциальных уравнений к их
решениям с помощью преобразований Лапласа.
Преобразование Лапласа – функциональное преобразование, при котором
функция вещественного переменного f (t ) преобразуется в функцию комплексного
переменного F ( p ) .
Функция f (t ) преобразуема по Лапласу, если она определена и однозначна для
всей области t  0 и если


f (t ) e t dt   (конечен),
0
т.е. если она удовлетворяет условиям Дирихле.
Минимум значения  , при котором указанный интеграл конечен, называют
абсциссой абсолютной сходимости. Для большинства функций  =0. Функцию f (t )
называют оригиналом. Функцию F ( p ) - изображением (по Лапласу).
Преобразование оригинала в изображение называют прямым преобразованием
Лапласа и осуществляют с помощью интеграла:

F ( p) 
 f (t )e
 pt
dt
0
Преобразование изображения в оригинал называют обратным преобразованием
Лапласа и осуществляют с помощью интеграла:
c  j
1
f (t ) 
F ( p )e pt dp ,
2j c j
Операции прямого и обратного преобразований Лапласа будем обозначать
через L и L-1 соответственно.
Связь между оригиналом и изображением записывается в виде:
f (t )  F ( p ) .
Пример 1. Найти изображение единичной скачкообразной функции f (t )  1(t ) .

L f (t )  L 1(t )   1(t )e
 pt

dt   e  pt dt 
0
0
e  pt 
1
.

p
p 0
Пример 2. Найти изображение показательной функции f (t )  e t .
L f (t )  L e
t

 e
t
e
 pt

dt   e (  p ) t dt 
0
2.2.
0
e  (  p ) t 
1
1
;


 (  p) 0   p p  
Основные теоремы преобразования Лапласа
2.2.1. Теоремы линейности
L af (t )  a L f (t ) , a  const ,
L  f1 (t )  f 2 (t )  L f1 (t )  L f 2 (t ) .
2.2.2. Теоремы о конечном и начальном значениях оригинала
lim f (t )  lim pF ( p) ,
t 
p 0
lim f (t )  lim pF ( p) .
t 0
p 
2.2.3. Теорема запаздывания в области вещественного переменного.
Если функция f (t ) смещена на величину  от начала координат (Рис. 2.1.), то
такую функцию называют функцией с запаздывающим аргументом и записывают как
f (t   ) .
f
0

t
Рис.2.1.
Изображение такой функции имеет вид:
L f (t   )  e p F ( p) .
2.2.4. Теорема смещения в области комплексного переменного.
L e t f (t )  F ( p   ) ,
где  - величина смещения в комплексной плоскости.
2.2.5. Теоремы масштабов
L f (at ) 
1
p
F ( ) , a  const
a
a
t
L f ( )  aF (ap ) , a  const
a
2.2.6. Теорема дифференцирования при нулевых начальных условиях
где
n-порядок производной.
d n f (t )
L
 L f ( n ) (t )  p n F ( p) ,
n
dt
2.2.7. Теорема интегрирования при нулевых начальных условиях
L f (  n ) (t ) 
F ( p)
,
pn
Здесь n-кратность интеграла.
2.2.8. Теорема свертки оригиналов
Если
f1 (t )  F1 ( p) и f 2 (t )  F2 ( p)
то
t
F1 ( p) F2 ( p)   f 1 (t   ) f 2 (t )dt ,
0
где
-переменная интегрирования.
2.3.
Передаточная функция
Динамику АСР относительно регулируемой величины y (t ) по каналу возмущающего
воздействия f (t ) можно записать в виде дифференциального уравнения в
символической форме:
d
(a 0 p n  a1 p n 1      a n 1 p  a n ) y (t )  (b0 p m  b1 p m 1      bm 1 p  bm ) f (t ) , p 
dt
или
A( p) y (t )  B( p) f (t )
Если это уравнение преобразовать по Лапласу, используя теоремы линейности
и дифференцирования при нулевых начальных условиях, то преобразованное по
Лапласу уравнение по форме записи будет совпадать с символичной формой.
Отличие заключается в том, что вместо оригиналов y (t ) и f (t ) нужно записывать их
изображения Y ( p) и F ( p ) и под символом дифференцирования p понимать
комплексную переменную. С учетом сказанного, преобразованное по Лапласу при
нулевых начальных условиях исходное уравнение динамики примет вид:
A( p)Y ( p)  B( p) F ( p) ,
где
A( p) и B( p) -операторные многочлены левой и правой частей уравнения,
Y ( p) и F ( p ) -изображения выходной и входной величин.
Последнее выражение можно записать в виде
Y ( p) B( p)

F ( p) A( p)
Отношение изображения выходной величины системы к изображению входного
воздействия при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией
системы.
Обычно, эту функцию записывают как
Y ( p)
W ( p) 
F ( p)
2.4.
Переходный процесс в АСР
Изображение Y ( p) регулируемой величины y (t ) , т.е. изображение переходного
процесса можно выразить через передаточную функцию W ( p) системы относительно
регулируемой величины y (t ) по каналу возмущающего воздействия f (t ) как:
Y ( p)  W ( p) F ( p) ,
где F ( p ) -изображение возмущающего воздействия.
Переходя к оригиналу, получим переходный процесс в виде:
c  j
1
-1
-1
y (t )  L Y ( p)  L W ( p ) F ( p ) 
W ( p ) F ( p )e pt dp .

2j c  j
Однако, производить непосредственное интегрирование затруднительно,
поэтому для нахождения переходного процесса по его изображению для случаев, когда
изображение переходного процесса является правильной рациональной дробью
B( p)
,
A( p)
следует применить теоремы Хевисайда (теоремы разложения).
Например, если корни характеристического уравнения A( p )  0 действительные
простые, отличные от нуля, то
n
B( pi ) pit
y(t )  
e ,
i 1 A( pi )
где
p i - i -ый корень характеристического уравнения A( p )  0 ,
Y ( p) 
A( pi ) 

,
A( p)
p  pi
p
B( pi )  B( p)
p  pi
3.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АСР
3.1.
Комплексная частотная функция
Предположим, что АСР описывается уравнением:
(a 0 p n  a1 p n 1      a n 1 p  a n ) y (t )  (b0 p m  b1 p m 1      bm 1 p  bm ) f (t ) ,
где
y (t ) - регулируемая величина;
f (t ) - приложенное к системе возмущающее воздействие.
Допустим, что входное воздействие – синусоидальное колебательное,
описываемое уравнением:
f (t )  F sin t  Fe jt ,
где
F -амплитуда колебаний;
2
.
 -частота колебаний,  
T
В этом случае, в соответствии с принципом суперпозиции, спустя некоторое
время после приложения входного воздействия на выходе системы установятся
синусоидальные колебания с такой же частотой, но отличные по модулю и фазе.
y(t )  Y sin( t   )  Ye j (t  )
где
Y  амплитуда;
  сдвиг фаз.
Продифференцируем входную f (t ) и выходную y (t ) функции:
f (t )  Fe jt
y (t )  Ye j (t  )
f (t )  (t ) Fe jt
y (t )  (t )Ye j (t  )
f (t )  (t ) 2 Fe jt

y (t )  (t ) 2 Ye j (t  )

f ( m ) (t )  (t ) m Fe jt
y ( n ) (t )  (t ) n Ye j (t  )
Подставив далее значения функций и их производных в исходное уравнение и
разделив выходную величину на входное воздействие, получим:
Y j b0 ( j ) m  b1 ( j ) m1    bm1 ( j )  bm
e 
F
a0 ( j ) n  a1 ( j ) n 1    a n 1 ( j )  a n
Y j
e называют комплексной частотной функцией.
F
Комплексная частотная функция является отношением вынужденного движения
на выходе системы к входному гармоническому воздействию.
Сравнивая выражение комплексной частотной функции с передаточной
функцией, можно увидеть, что комплексная частотная функция является частным
случаем передаточной функции, когда комплексная переменная ( p ) является чисто
мнимой величиной ( j ) .
Обозначив комплексную частотную функцию через W ( j ) , можно записать:
Величину
B( p)
p  j
A( p) p  j
Комплексная частотная функция представляет собой вектор в комплексной
плоскости (Рис.3.1)
W ( j )  W ( p )

jV ( )
A( i )
i
 ( i )
V ( i )
u ( )
0
u( i )
Рис. 3.1
Вектор характеризуется амплитудой (А) и фазой (  ). Амплитудой (модулем)
вектора является его длина. Фаза вектора – угол между положительной вещественной
полуосью и направлением вектора.
Если изменять частоту входных колебаний от 0 до  , то получим ряд векторов в
комплексной плоскости, концы которых опишут некоторую кривую, называемую
годографом. Годограф вектора комплексной частотной функции при изменяющейся
частоте в пределах
0     , называют амплитудно-фазовой частотной
характеристикой (АФХ).
В соответствии с рисунком 3.1 различают частотные характеристики:
1. Вещественная частотная характеристика u ( ) - проекция вектора на вещественную
полуось.
2. Мнимая частотная характеристика V ( ) - проекция вектора на мнимую полуось.
3. Амплитудно-частотная характеристика A( ) .
4. Фазо-частотная характеристика  ( ) .
Между приведенными частотными характеристиками имеются однозначные
зависимости:
W ( j )  u ( )  jV ( );
A( )  u 2 ( )  V 2 ( ) ;
V ( )
;
u ( )
u ( )  A( ) cos  ( );
V ( )  A( ) sin  ( ).
 ( )  arctg
3.2
Переходная функция
Переходной функцией называют изменение во времени выходной
величины системы в результате приложения к ней единичного скачкообразного
входного воздействия.
Обозначив переходную функцию через h(t ) и соответствующее ей изображение
через H ( p) , можно записать:
H ( p)  W ( p) L1(t )  W ( p)
h(t )  L1
3.3
1
;
p
W ( p)
.
p
Весовая функция
Весовой функцией V (t )
возмущающую функцию  (t ) .
называют
Так как  (t )  1(t ) , то  ( p)  pL1(t )  p
реакцию
системы
на
импульсную
1
 1 , т.е. изображение импульсной
p
функции равно единице.
Тогда V ( p)  W ( p) ( p)  W ( p) , т.е. изображение весовой
передаточной функции. Весовая функция записывается как:
V (t )  L1V ( p)  L1W ( p) .
функции
равно
4.
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ АСР
4.1.
Введение
Любая АСР состоит из реальных физических элементов, отличающихся друг от
друга своими физическими свойствами. Однако, многие из них, будучи различными по
своей физической сущности, могут быть описаны одинаковыми математическими
уравнениями. Это дает возможность классифицировать объекты и отдельные
элементы системы в целом по их математическому описанию.
4.2.
Безынерционное звено
К таким звеньям относят физические элементы, описываемые уравнением:
y (t )  kf (t ) .
Коэффициент пропорциональности (k ) называют коэффициентом передачи.
Его размерность определяется размерностями выходной y (t ) и входной f (t )
величин:
 y(t ) .
k
 f (t )
Преобразовав уравнение по Лапласу:
Y ( p)  kF ( p) ,
получим
Y ( p)
W ( p) 
k,
F ( p)
т.е. передаточная функция звена равна его коэффициенту передачи.
Амплитудно-фазовая характеристика звена:
W ( j )  W ( p )
k
p  j
представляет собой точку на вещественной полуоси комплексной плоскости на
расстоянии k от начала координат (Рис. 4.1).
jV ( )
K
u ( )
0
Рис.4.1.
Переходная функция:
W ( p)
k
1
 L1  kL1
 k  1(t )
p
p
p
представляет собой скачкообразную функцию высотою k (Рис.4.2)
h(t )  L1
h
k
t
0
Рис. 4.2.
Весовая функция V (t )  h(t )  (k  1(t ))  k  1(t )  k (t )
импульсную функцию (Рис.4.3).
V
0
представляет
собой
t
Рис.4.3.
4.3.
Идеальное дифференцирующее звено
К ним относят элементы АСР, у которых выходная величина пропорциональна
производной входного воздействия:
df (t )
,
dt
где Т - коэффициент пропорциональности, имеющий размерность времени и
называемый постоянной дифференцирования.
y (t )  T
Преобразовав уравнение по Лапласу, получим:
Y ( p)
Y ( p )  TpF ( p ) и W ( p) 
 Tp .
F ( p)
АФХ звена
W ( j )  W ( p)
 jT  Te
j

2
p  j
является прямой, совпадающей с верхней мнимой полуосью комплексной плоскости
(Рис.4.4).
jiV ( )
900
u ( )
0
Рис.4.4.
Переходная функция звена:
W ( p)
Tp
 L1
 TL11  T (t )
p
p
представляет собой импульсную функцию (Рис.4.5).
h(t )  L1
h
0
t
Рис.4.5.
Весовая функция звена V (t )  h(t )  T (t )
второго рода (Рис.4.6).
является импульсной функцией
V
0
t
Рис.4.6.
4.4.
Идеальное интегрирующее звено
Такими звеньями называют элементы АСР, у которых выходная величина
пропорциональна интегралу от входного воздействия:
t
y (t )    f (t )dt .
0
Это уравнение можно записать и в виде:
y (t )  f (t ) .
Отсюда вытекает физический смысл коэффициента пропорциональности:
y (t )

.
f (t )
Коэффициент пропорциональности  является скоростью изменения выходной
величины, приведенной к единице возмущающего воздействия. В связи с этим
величину  называют приведенной скоростью.
Преобразовав исходное уравнение по Лапласу, получим:
F ( p)
Y ( p) 
и W ( p) 
Y ( p)  
 .
p
F ( p) p
АФХ звена

W ( j )  W ( p)


 j
 e 2
j 
p  j
является прямой, совпадающей с нижней мнимой полуосью комплексной плоскости
(Рис. 4.7).
jV ( )
 
0
u ( )
900
ω
0
Рис.4.7.
Переходная функция звена
1
W ( p)


1
h(t )  L1
 L1
 L1 2  L1 2  t ( 2  t )
p
p p
p
p
p
является прямой линией с угловым коэффициентом  (Рис. 4.8)
tg  
h

t
0
Рис.4.8.
Весовая функция звена V (t )  h (t )  
функцию высотой  (Рис.4.9).
представляет собой скачкообразную
V

t
0
Рис.4.9.
4.5.
Апериодическое звено первого порядка
К таким звеньям относят физические элементы, описываемые
дифференциальным уравнением первого порядка:
T
dy (t )
 y (t )  kf (t ) ,
dt
где
k -коэффициент передачи;
T -постоянная времени.
Преобразовав уравнение по Лапласу:
TpY ( p)  Y ( p)  kF ( p) ,
получим передаточную функцию звена:
Y ( p)
k
.
W ( p) 

F ( p) Tp  1
АФХ звена
k
W ( j )  W ( p)

 A( )e j ( ) ,
p  j jT  1
где
k
A( ) 
,  ( )  arctgT .
2 2
T  1
Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой полуокружность ,
расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости (Рис.4.10)
jV ( )
 
 0
K
0
u ( )
900
Рис.4.10.
Переходная функция звена :
W ( p)
k
k
h(t )  L1
 L1
 L1
p
(Tp  1) p T
Так как
1
1
k
1
 L1
, 
1
T
T
( p ) p
(p  )p
T
1  e t
1
=
,

( p ) p
то

t

k 1  e t k 1  e T
h(t ) 

 k (1  e T ) .
T 
T 1
T
График переходной функции приведен на рисунке 4.11 а. Она представляет
собой возрастающую экспоненту.
t
h
v
K
T
K
0
0
t
t
а)
б)
Рис.4.11.
Весовая функция звена V (t )  h (t ) 
t
k T
e
является положительной убывающей
T
по модулю экспонентой (Рис.4.11б).
4.6.
Реальное дифференцирующее звено
К таким звеньям относят элементы АСР, описываемые дифференциальным
уравнением:
dy (t )
df (t )
 y (t )  kT
.
dt
dt
Преобразовав его по Лапласу
(Tp  1)Y ( p )  kTpF ( p ) ,
получим передаточную функцию
Y ( p)
kTp
.
W ( p) 

F ( p) Tp  1
Отсюда
jkT
W ( j )  W ( p )

 A( )e j ( ) ,
p  j jT  1
где
kT
,
A( ) 
T 2 2  1
T
 ( ) 
При   0
A(0)  0 ,  (0) 

2

2
 arctgT .
. При    A()  k ,  ( )  0 .
АФХ является полуокружностью, расположенной в первом квадранте
комплексной плоскости (Рис.4.12).
jV ( )
 0
 
900
u ( )
0
K
Рис.4.12.
Переходная функция звена
W ( p)
kTp
kT 1
h(t )  L1
 L1

L
p
(Tp  1) p T
1
 ke
1
(p  )
T
является положительной убывающей экспонентой (Рис. 4.13а).
h
V

t
T
t
0
K
T
K
t
0
а)
б)
Рис4.13.
t
k 
Весовая функция звена V (t )  h (t )   e T
T
убывающую по модулю экспоненту (Рис.4.13б).
4.7.
представляет собой отрицательную
Инерционные звенья второго порядка
К таким звеньям относят элементы АСР, описываемые дифференциальным
уравнением второго порядка:
d 2 y (t )
dy (t )
T
 T1
 y (t )  kf (t ) ,
2
dt
dt
2
2
где
k -коэффициент передачи;
T1 , T2 -постоянные времени.
Преобразуем уравнение по Лапласу:
(T22 p 2  T1 p  1)Y ( p)  kF ( p).
Отсюда
Y ( p)
k
W ( p) 
 2 2
.
F ( p ) T2 p  T1 p  1
Корни характеристического уравнения
T22 p 2  T1 p  1  0 ,
т.е. корни многочлена в знаменателе передаточной функции, выражаются как:
p1, 2  
T1
T
T
1
1
 ( 1 2 ) 2  2   1 2  2 T12  4T22 .
2
2T2
2T2
T2
2T2 2T2
Обозначим p1   , p2   .
Тогда
T22 p 2  T1 p  1  T22 ( p  p1 )( p  p2 )  T22 ( p   )( p   ).
и
W ( p) 
k
T ( p   )( p   )
2
2
.
Рассмотрим случаи:
1. Если T1  2T2 , то корни характеристического уравнения действительные простые и
переходная функция
W ( p)
k
k
1
k  1
e t
h(t )  L1
 L1 2
 2 L1
 2 


p
p( p   )( p   ) T2    (   )
T2 ( p   )( p   ) p T2

e  t 
k 
e t e  t 
  2 1 


 (   )  T2         
Так как
 T
1
    1 2  2 T12  4T22
2T2 2T2

  T1
1
  

T12  4T22
2
2

2
T
2
T
2
2
 
  T1
   
2
  2T2
2
2
  1

   2 T12  4T22  
  2T2

T12
T12
4T22
1

 4  4  2
4
4T2 4T2 4T2
T2
то
k
T 
2
2

k
1
T
T22
k
2
2
и
h(t )  k (1  A1e t  A2 e  t ) ,
где
A1 


; A2 


.
Производные функции h(t ) :
h(t )  kA1e t  kA2 e  t ;
h(t )  kA1 2 e t  kA2  2 e  t .
При t   h ()  0 , h()  0 , h()  k .
Переходная функция h(t ) при t   асимптотически стремится к значению k ,
т.е. к установившемуся значению.
При t  0
h(0)  k (1  A1  A2 )  k (1 



)  k (1 
 
 
 
  0 .
h(0)  k ( A1  A2  )  k  

   
 

)  k (1 
)  k (1  1)  0 .


  2
 


 2 

  k
h(0)  k ( A1 2  A2  2 )  k 
2 
 2   k 




  

      
1
k
 k  k 2  2 .
T2
T2
В соответствии со значениями h(t ), h(t ), h(t ) при t   и t  0 графики функции и ее
производных принимают вид, приведенный на рисунке 4.14.
Точку на кривой h(t ) ,
соответствующую
максимальной первой
производной и переходу через
нуль второй производной,
называют точкой перегиба
кривой.
h(t)
K
h (t ) 0
(V(t))
t
0
t
h (t )
K
T2
t
Рис.4.14.
0
Если T1  2T2 , то корни характеристического уравнения действительные равные
1
(     ) .
T2
Следовательно,
W ( p)
k
k 1
1
k 1  (1  t )e t
k 1  (1  t ) t
h(t )  L1
 L1 2

L

 2
e 
2
2
2
2
2
1
p
T2 ( p   ) p T2
p( p   )
T2

T2
T22
2.
t

t  T2 
 k 1  (1  t )e  k 1  (1  )e  .
T2


И в этом случае h()  k , h(0)  0, h(0)  0 , кривая функции имеет вид, изображенный
на рисунке 4.14.Следовательно, при T1  2T2 процесс апериодический.
3.
Если T1  2T2 , то корни комплексные сопряженные.

t

p1, 2
T12
1
 2  j 2
2T2
2T2
4T22  T12  v  j .
Тогда
W ( p) 
k
2
2
T
 p  v  j  p  v  j 

k
2
2
T
 p  v
2
2

и

W ( p)
k
1
k  1
1
   
vt
 2 L1


e
sin

t

arctg
   


p
T2
 p  v 2   2 p T22  v 2   2  v 2   2
 v  

Переходный процесс колебательный, затухающий по экспоненциальному закону.
В связи с этим, элементы АСР, описываемые уравнением второго порядка,
называют колебательными звеньями в случае T1  2T2 и апериодическими в случаях
T1  2T2 .
Аналитическое выражение АФХ звеньев второго порядка имеет вид:
k
W ( j )  W  p 

 A( )e j ( ) ,
2 2
p  j  T2   jT1  1
где
h(t )  L1


A( ) 
k
1  T

2
2
 ( )  arctg

2 2
T 
2
1
;
2
T1
.
1  T22 2
Графики АФХ апериодического и колебательного звеньев приведены на
рисунке 4.15 а,б.
jV ( )
jV ( )
К
 
К
 0
 
u ( )
1800
 0
1800
u ( )
 рез
а) апериодическое
б) колебательное
Рис.4.15.
АФХ колебательного звена (рис. 4.15б) имеет промежуточный экстремум.
Частоту, соответствующую этому экстремуму (максимуму), называют резонансной.
4.8.
Общее свойство типовых звеньев
В общем случае передаточная функция звена может быть записана в виде
правильной рациональной дроби.
W ( p) 
B( p)
,
A( p)
Раскладывая многочлены В( р) и А( р) на множители, можно записать:
m
W ( p)  k
 p  q 
i
i 1
n
 p  р 
i
i 1
где
k - общий коэффициент передачи звеньев;
qi , pi - i -ые корни многочленов B( p) и A( p) .
Корни многочлена числителя передаточной функции называют ее нулями, корни
многочлена знаменателя передаточной функции называют полюсами.
Так как система устойчива, то полюсы ее передаточной функции должны
располагаться в левой полуплоскости, нули же могут располагаться и в левой и в
правой полуплоскостях комплексной плоскости, например рисунок 4.16.
j
j  qi
j  qi 1
 i 1
qi 1
i
qi

0
Рис.4.16.
Из рисунка 4.16 видно, что фазы векторов АФХ меньше для случаев, когда нули
располагаются в левой полуплоскости, по сравнению со случаем, когда нуль
располагается в правой полуплоскости.
Звенья, у которых все полюсы и нули передаточной функции располагаются в
левой полуплоскости (или на мнимой оси), называют минимально-фазовыми.
Рассмотренные типовые звенья являются минимально-фазовыми.
4.9.
Звено транспортного (чистого) запаздывания
В ряде технологических процессов имеет место отставание во времени
появления выходного сигнала по сравнению с моментом приложения входного
воздействия.
Классическим примером такого явления служат транспортные средства в виде
различных транспортеров.
Уравнение, описывающее это явление, имеет вид:
y (t )  f (t   ) ,
где  -величина запаздывания выходного сигнала по сравнению с входным
воздействием.
Преобразовав уравнение по Лапласу, получим:
Y ( p )  e p F ( p );
Y ( p)
W ( p) 
 e p ;
F ( p)
W ( j )  W ( p )
 e  j .
p  j
АФХ является окружностью единичного радиуса с центром в начале
координат комплексной плоскости (рис. 4.17).
jV ( )
1
u ( )
0
Рис.4.17.
Переходная функция звена запаздывания
h(t )  1(t   )
является ступенчатой функцией, смещенной на величину запаздывания  от начала
координат (рис. 4.18).
h
1

0
t
Рис.4.18.
Весовая функция V (t )  h(t )  1(t   ) представляет собой импульсную функцию,
смещенную на величину запаздывания  от начала координат (рис. 4.19).
V
0

t
Рис.4.19.
Звено транспортного запаздывания является неминимально-фазовым, его
передаточная функция
имеет бесконечное число нулей и полюсов,
e p
расположенных как в левой, так и в правой полуплоскостях комплексной плоскости.
Однако, принципиально возможно осуществить приближение передаточной
функции e p передаточными функциями минимально-фазового вида. Необходимость
этого возникает при моделировании динамических свойств системы. Такое
приближение можно осуществить, используя метод разложения функции e p в быстро
сходящиеся ряды при ограничении сравнительно небольшим числом членов ряда.
Наиболее универсальным методом является приближение с помощью
дробно-рациональной функции.
 
W ( p)  e p 
a0  a1 p  a 2 p 2    a n 1 p n 1  a n p n
.
a0  a1 p  a 2 p 2    a n1 p n 1  a n p n
Разложение функции e p в дробный ряд Пада является примером такого
разложения:
F ,v (p )
e p  lim
,
v    J
 , (p )
где F , (p ) и J  , (p ) - функции комплекса (p ),  и ν , причем   v  1,2,3,...
Например, при   v  1
W ( p)  e p
1


p
p
2  2  p  1  2 2
.



2  p
1 p
p 1
2
2
4.10. Типовые соединения звеньев
4.10.1.
Введение
В структурных схемах АСР отдельные ее элементы (звенья) определенным
образом взаимодействуют между собой, получая и выдавая соответствующие
сигналы.
Возможны три типа взаимодействия, иначе говоря, три типа соединения звеньев.
4.10.2.
Последовательное соединение звеньев
Последовательным соединением называют тот случай взаимодействия, когда
выходной сигнал предыдущего звена является входной величиной последующего
(рис. 4.20).
f(t)
y1(t)
1
y2(t)
2
yn-2(t)
…
yn-1(t)
n-1
yn(t)
n
Рис.4.20.
Обозначив передаточные функции звеньев через W1 ( p), W2 ( p),..., Wn1 ( p), Wn ( p), в
соответствии с рисунком 4.20 находим общую передаточную функцию соединения
звеньев.
n
Y ( p)
W ( p) 
 W1 ( p)W2 ( p)    Wn 1 ( p)Wn ( p)   Wi ( p)
F ( p)
i 1
Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна
произведению передаточных функций отдельных звеньев, входящих в соединение.
4.10.3.
Параллельное согласное соединение звеньев
Таким соединением называют случай взаимодействия элементов АСР, когда
имеется один вход, а выходы алгебраически суммируются (рис. 4.21).
y1(t)
1
y2(t)
2
y(t)=∑yi(t)
f(t)
yn-1(t)
n-1
yn(t)
n
Рис.4.21.
В соответствии с рисунком 4.21 имеем:
n
Y ( p)
W ( p) 
 W1 ( p)  W2 ( p )    Wn 1 ( p )  Wn ( p)   Wi ( p )
F ( p)
i 1
Передаточная функция параллельного согласного соединения звеньев равна
сумме передаточных функций звеньев, входящих в соединение.
4.10.4.
Параллельное встречное соединение звеньев.
Такое соединение звеньев чаще называют соединением по типу обратной
связи. Это такое соединение двух групп звеньев, когда сигнал первой группы
звеньев передается на вход этой же группы, соответствующим образом измененный
другой группой звеньев (рис. 4.22).
f(t) +
z(t)
y(t)
W пр(p)
± yос(t)
W ос(p)
Рис.4.22.
В соответствии с рисунком 4.22 имеем:
Y(p)=W пр(p)Z(p),
Z(p)=F(p)±Yос(p),
Yoc(p)=W oc(p)Y(p).
Подставив второе и третье уравнения в первое, получим:
Y(p)=W пр(p)[F(p)± W oc(p)Y(p)]= W пр(p)F(p)± Wпр(p )W oc(p)Y(p);
Y(p)  W пр(p )W oc(p)Y(p)=W пр(p)F(p).
Отсюда
Wпр ( p )
Y ( p)
W ( p) 

F ( p ) 1  Wпр ( p )Woc ( p )
Передаточная функция соединения звеньев по типу обратной связи
определяется дробью, в числителе которой записывается передаточная функция
прямой цепи ( Wпр ( р ) ) передачи сигнала, а в знаменателе – единица, алгебраически
просуммированная с произведением передаточных функций прямой цепи и цепи
обратной связи ( Wос ( р) ).
Знак ″-″ в знаменателе относится к случаю положительной обратной связи, т.е.
когда сигнал от обратной связи совпадает по знаку с основным входным сигналом.
Знак ″+″ относится к отрицательной обратной связи, т.е. к случаю, когда
сигнал от обратной связи и основной входной сигнал противоположны по знаку.
В системах регулирования для обеспечения устойчивости их работы
применяют отрицательную обратную связь.
В таких случаях:
W ( p) 
Wпр ( p )
1  Wпр ( p )Wос ( p )
.
Положительная обратная связь применяется в качестве местных обратных
связей в различного рода усилителях с целью повышения коэффициента усиления
последних.
Передаточную функцию прямой цепи передачи сигналов можно записать в виде:
Wпр ( p )  K прWпр1 ( p )
где
Кпр - коэффициент передачи прямой цепи,
Wпр( р1) - передаточная функция элементов прямой цепи при единичном
коэффициенте передачи.
Тогда
W ( p) 
K прWпр1 ( p )

Wпр1 ( p)
.
1
 Wпр1 ( p )Wос ( p )
K
При достаточно большом значении коэффициента передачи прямой цепи
(теоретически при Кпр   ) получим:
1
W ( p) 
.
Wос ( p )
Контур с обратной связью при достаточно большом коэффициенте передачи
прямой цепи называют предельной системой.
Динамические свойства предельной системы определяются динамическими
свойствами обратной связи.
1  K прWпр1 ( p)Wос ( p )
5.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТИПОВЫХ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
5.1
Статические и астатические объекты регулирования
С учетом явления запаздывания передачи входного сигнала уравнение, описывающее
динамику одномерного объекта, можно записать в виде:
(a0 p n  a1 p n 1    an 1 p  an ) y (t )  bm q(t   ),
p
d
,
dt
где
y (t ) -регулируемая величина;
q(t ) -основное возмущающее воздействие (нагрузка объекта);
 -величина запаздывания.
Преобразовав уравнение по Лапласу, получим:
(a0 p n  a1 p n 1    an 1 p  an )Y ( p)  bme pQ( p); Q( p )  q (t ) .
Запишем уравнение в виде:
 a0 n a1 n1

a
b
 p 
p    n1 p  1Y ( p)  m e p Q( p)
an
an
an
 an

или
Tnn p n  Tnn11 p n1    T1 p  1Y ( p)  K об e p Q( p),
где
К об -коэффициент передачи объекта;
Т 1 , Т 2 ,..., Т n -постоянные времени.
Левый многочлен уравнения можно записать в виде сомножителей первой
степени.
Тогда
n
 T p  1Y ( p)  K
i
об
e p Q( p )
i 1
и
W ( p) 
Y ( p)
 K об
Q( p)
e p
n
 T p  1
.
i
i 1
Следовательно, в этом случае объект структурно может быть представлен в
виде последовательного соединения звена транспортного запаздывания и
апериодических звеньев первого порядка (рис. 5.1).
q(t)
y(t)
W (p)
W 1(p)
W 2(p)
…
W n-1(p)
W n(p)
Рис.5.1.
Объект статичен, так как в установившемся режиме имеется однозначная
зависимость между выходным сигналом и входным воздействием
an y()  bm q().
Если в левой части исходного уравнения отсутствует свободный член a n  0 , то
в установившемся режиме не будет однозначной зависимости между выходом и
входом, т.е. объект астатический. В этом случае
a

p n  a1 p n 1    a n 1 p y (t )  bm q(t   ) .
Это уравнение можно записать в виде:
p a0 p n 1  a1 p n  2    a n 1 y (t )  bm q(t   ),
0


 a

a
1
p 0 p n 1  1 p n  2    1 y (t ) 
q(t   ),
a n 1
a n 1
 a n 1

bm
или


1 p
e Q( p),
Tu
p Tnn11 p n 1  Tnn22 p n  2    T1 p  1 Y ( p) 
где T1 , T2 ,..., Tn 1 , Tu - постоянные времени;
Отсюда
Y ( p)
W ( p) 

Q( p)
e p
n
Tu p Ti p  1
.
i 1
Следовательно, астатический объект регулирования может быть структурно
представлен в виде последовательного соединения звена транспортного
запаздывания, интегрирующего звена и апериодических звеньев первого порядка
(рис. 5.2).
q(t)
y(t)
W (p)
W u(p)
W 1(p)
…
W n(p)
Рис.5.2.
Подставив в передаточные функции p  j , получим аналитические выражения
АФХ объектов.
Wст ( j )  Wст ( p )
 K об
p  j
e  j
n
  jT   1
 Aст ( )e j ст ( ) ,
i
i 1
Aст ( ) 
K об
n

,
Ti   1
2
2
i 1

n

n
 ст ( )     arctgTi    arctgTi   ,
 i 1
i 1
Wаст ( j )  Wаст ( p)

p  j

e  j
n
jTi   jTi  1
i 1
 Aаст ( )e j аст ( ) ,
Aаст ( ) 
1
n
Ti  Ti   1
2
,
2
i 1
 аст ( )   

n

 n
  arctgTi    arctgTi    .
2 i 1
2
 i 1
Графики АФХ объектов регулирования приведены на рисунке 5.3 а,б.
jV ( )
jV ( )
Коб
u ( )
0
 0
0
 
 

u ( )
0
а) статический ОР
б) астатический ОР
Рис.5.3.
Переходные характеристики статического и астатического объектов приведены
на рисунке 5.4 а,б.
h
h
h ( )
0
0
t
а) статический ОР
0
0
t
б) астатический ОР
Рис.5.4.
5.2.
Экспериментальное определение временных динамических характеристик
объектов регулирования
Для получения временной динамической характеристики объекта регулирования
организуют эксперимент.
В какой-то момент времени к объекту регулирования, находящемуся в
установившемся режиме работы, прикладывают некоторое возмущающее
воздействие и затем регистрируют отклонения регулируемой величины во времени
до ее восстановившегося значения с помощью соответствующего измерительного
прибора.
Перед началом эксперимента нужно убедиться в том, что объект
регулирования находится в установившемся режиме работы. Для достоверности
измеренных отклонений регулируемой величины необходимо один и тот же опыт
повторять 2-3 раза.
В найденную путем эксперимента динамическую характеристику объекта
включены характеристика собственно объекта и характеристика регистрирующего
прибора.
В связи с этим желательно в качестве датчиков отклонений физических
величин от их номинальных значений применять те, которые входят в
измерительный блок регулирующего устройства, поддерживающего на каком-то
значении данную физическую величину.
В качестве возмущающих воздействий могут быть использованы типовые
функции, некоторые из которых приведены в таблице 5.1.
Таблица.5.1.
№п/п
1.
Возмущение
f(t)
Ступенчатое при
высоте ступени h
График
f(t)
Изображение
F(p)
f
h
t
0
2.
3.
4.
П-образное при
высоте h и при
длительности 
f
Ступенчатое при
высоте h и
времени нанесения возмущения
f

Треугольное при
высоте h и
времени нанесения возмущения
2
0
h

t
h
(1  e p )
p
h
(1  e p )
2
p
h
0
h
p

t
f
h
0
 
t
h
(1  e  2p ) 2
p 2
Наиболее часто при определении динамических свойств объекта регулирования
применяют ступенчатое возмущающее воздействие (строка 1 табл.5.1), т.е.
экспериментально находят переходную функцию объекта.
5.3. Определение передаточной функции объекта регулирования по его
экспериментальной переходной функции
5.3.1. Статический объект регулирования
5.3.1.1. Структурное представление статического объекта последовательным
соединением апериодического звена первого порядка и звена запаздывания
В общем виде переходный процесс в объекте, как реакция на ступенчатое
возмущение, приведен на рисунке 5.5 а.
Для удобства использования этого процесса при нахождении передаточной
функции объекта, его (процесс) представляют приведенным к единичному
ступенчатому возмущению, т.е. переходной характеристикой, как реакцией на
единичное ступенчатое возмущение (рис. 5.5 б).
f
f ( )  B
h
hi (t ) 
yi (t )
y (t )
 i
f ( )
B
t
0
y
h(t)
y(t)
y ()  k об f () =
A
 k об B
0
0
t
а)
0
0 e
 об
Tоб
h() 
y ()

B
 k об
t
б)
Рис.5.5.
При представлении объекта простейшей моделью в виде последовательного
соединения звена запаздывания и апериодического первого порядка передаточная
функция запишется как:
K об
e  об p .
Tоб p  1
Параметры передаточной функции К об , Т об и об=0+е находятся из графика
переходной функции, как показано на рисунке 5.5 б.
Wоб ( p) 
5.3.1.2. Структурное представление статического объекта последовательным
соединением звена запаздывания и апериодического звена второго порядка
При такой модели объекта
K
Wоб ( p)  2 2 об
e  0 p .
T2 p  T1 p  1
Значения Коб и 0 (чистое запаздывание) определяются сразу же из графика
переходной функции (рис. 5.6).
Для определения коэффициентов передаточной функции Т 1 и Т22 на графике
переходной функции находят точку перегиба (т. А) и определяют ее координаты (0+n),
hn ;проводят касательную к кривой h(t ) в точке перегиба; определяют численные
значения Т1, Тоб и рассчитывают F1, F2, F=F1+F2, причем площадями являются:
F1 –площадь, ограниченная кривой h(t ) , ее асимптотой h(∞) и прямой, проведенной
через точку перегиба параллельно оси ординат;
F2 –площадь, ограниченная кривой h(t ) , ее асимптотой h(∞) и прямыми,
проведенными параллельно оси ординат на расстояниях t=0 и t=0+n от начала
координат;
h
Tоб
F2
T1
F1
B
F1+F2=F
C
h(t)
n
h()  k об
A
hп
0
0
n
t
Рис.5.6.
После произведенных построений находят
F
F
T1 

;
h() K об
T1
F2  T1hn  или T22  Tоб ( F2  T1hn ) .
K об  hn
K об
Коэффициент Т1 может быть определен, как длина (в размерности времени)
проекции касательной к переходной характеристике в точке перегиба на асимптоту
кривой h(t ) .
T22 
5.3.1.3. Определение передаточной функции статического объекта по его
экспериментальной переходной характеристике методом Симою (методом площадей)
Статический объект регулирования в общем случае может быть описан
линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
или передаточной функцией вида
1
W ( p) 
,

k
1   Fk p
k 1
которая с желаемой степенью точности может быть аппроксимирована дробнорациональной функцией

W ( p) 
1   bk p k
k 1

1   ak p k
k 1
Из этих уравнений имеем

1

W ( p)
1   ak p k
k 1

1   bk p k
k 1
Отсюда

 1   Fk p k .
k 1
a1  b1  F1 ;
a 2  b2  b1 F1  F2 ;
a3  b3  b2 F1  b1 F2  F3 ;
a 4  b4  b3 F1  b2 F2  b1 F3  F4 ;

a k  bk  bk 1 F1    b1 Fk 1  Fk .
или
a k  bk 
i 1
b F
i  k 1
i
k i
 Fk
где

  t k 1 i  k  2
 t i  dt
Fk   1   
  Fk 1i

i! 
0
 (k  1)! i 0
Здесь  (t ) - нормированная переходная функция.
t
Введя безразмерное время   , t  F1 , dt  F1d  и заменив переменную,
F1
получим:

   k 1   k  2 i  k 3 Fk 1i   i 
k


Fk  F1  1   

 
 d .
k 1i
 k  1! k  2! i 0 F1 i! 
0
Это выражение позволяет вычислить любой коэффициент Fk .
Например, при к=1

F1   1   d ;
0
при к=2

      0 
F2  F12  1   

 d ;
1
!
0
!
0


при к=3
   2    F2 
F3  F  1   

 2  d .
1!
F1 
0
 2!
Из этих уравнений вытекает геометрический смысл коэффициентов F1, F2, …,Fк.
Коэффициент F1 является площадью, ограниченной нормированной кривой
переходной функции, осью ординат и линией установившегося значения функции
(рис. 5.7).
F1

F1
F2

3
1
F1(∞)
1
0
t
Рис.5.7.
0
t
Рис.5.8.
Коэффициент F2 является площадью, ограниченной функцией F1(t), осью ординат и
линией установившегося значения функции F1(∞) (рис. 5.8).
Коэффициент F3 – площадь, ограниченная функцией F2(t),осью ординат и линией
установившегося значения функции F2(∞) (рис. 5.9.).
F2
F3
F2(∞)
0
t
Рис.5.9.
Коэффициент Fк – площадь, ограниченная функцией Fк-1(t), осью ординат и линией
установившегося значения функции Fк-1(∞).
Иначе говоря, коэффициенты Fк являются интегралами к-ой кратности функции
1   (t ) . Из геометрических представлений коэффициентов Fк вытекает простой метод
нахождения безразмерной передаточной функции объекта, заключающийся в
последовательности выполнения операций:
1. Ось абсцисс переходной функции h(t ) разбивают на отрезки ∆t, исходя из условия,
что на протяжении всего графика функция h(t ) мало отличается от прямой в
пределах двух ∆t (рис. 5.10).
h
t
0
t
nt
Рис.5.10.
2. Функцию h(t ) н приводят к нормированному (тарированному) виду  (t ) путем
деления hi (∆t i ) на установившееся значение h( ) .
h (t )
 i ( ∆ ti )  i i .
h ( )
3. Заполняют столбцы 1,2,3 таблицы 5.2.
Таблица 5.2.
t  it
1
X
x
x
 (t )   i (it )
2
x
x
x
1   i (it )
3
x
x
x
Определяют площадь F1
n

F1  t  1   i it   0.51   0,
 i 0

  i 
4
x
x
x
it
F1
где
n
 1   it  - сумма третьего столбца таблицы 5.2.
i 0
i
4. Заполняют столбец 4 таблицы 5.2 и строят функцию 1   i it  в масштабе
безразмерного времени (рис. 5.11).
1   i (it )
1

0
Рис.5.11.
5. Предполагая, что можно ограничиться тремя коэффициентами знаменателя
передаточной функции, заполняют таблицу 5.3 и определяют площади F2 и F3.
Таблица.5.3.
i
1   i (i)
1  i
 1   i (i)  
 1  i
(i) 2  1   i (i)  
1  2i 
 1  2i 
2
2

1
X
X
2
x
x
3
x
x
4
x
x
5
x
x
(i)
2

6
x
x
n

F2  F12   1   i i 1  i   0.51   0
 i 0

n

i 2   0.51   0,

F3  F13   1   i i 1  2i 


2 



 i 0

где
2


i  
1   i i 1  i ,  1   i i 1  2i  2  - суммы элементов четвертого


и шестого столбцов таблицы 5.3.
В этом случае
1
W1 ( p ) 
.
3
F3 p  F2 p 2  F1 p  1
6.
Находят размерную передаточную функцию объекта в виде:
Wоб1 ( p)  K обW1 ( p),
h ( )
где K об 
- коэффициент передачи объекта.
f ( )
7.
Если в объекте имеется чистое запаздывание 0, то передаточная функция
объекта записывается как:
Wоб ( p)  K об e  0 pW1 ( p).
5.3.2. Астатический объект регулирования
5.3.2.1. Структурное представление объекта регулирования, обладающего
интегрирующими свойствами, последовательным соединением звена запаздывания и
интегрирующего звена.
В наипростейшем виде структурная модель объекта представляется
последовательным соединением звена запаздывания и интегрирующего звена.
Такому
представлению
структурной
модели
объекта
соответствуют
последовательные участки переходной характеристики на рисунке 5.12: отрезок
прямой АВС и асимптота СД.
h
Д
hd
C
A
0
B
d
0
 e t d
 об
t
Рис.5.12.
В таком случае передаточная функция объекта запишется как:
e  об p
,
Wоб ( p)  K об
p
где
об=0+е – общее запаздывание, равное сумме транспортного 0 и емкостного е
запаздываний;
Коб – коэффициент передачи объекта.
Коэффициентом передачи объекта регулирования называют отношение
установившегося значения выходной величины к установившемуся значению входного
воздействия.
В данном случае под коэффициентом передачи объекта понимают отношение
установившегося значения скорости h уст изменения выходной величины h(t ) к
установившемуся значению f уст входного воздействия f (t ) .
В соответствии с этим:
hуст
.
K об 
f уст
f уст =1,
Для
единичного
скачкообразного
входного
воздействия
а
установившееся значение скорости изменения выходной величины, в соответствии с
рис. 5.12, есть отношение приращения ∆h ординаты асимптоты к соответствующему
приращению ∆t оси абсцисс.
Таким образом, численное значение Коб для астатического объекта
регулирования находится как угловой коэффициент асимптоты кривой h(t), т.е. как
тангенс угла наклона асимптоты к оси времени, например
K об 
5.3.2.2.
hd
.
t d
Структурное
представление
объекта
регулирования,
обладающего
интегрирующими свойствами, последовательным соединением звена
транспортного запаздывания, апериодического звена первого порядка и
интегрирующего звена.
Более точный способ аппроксимации динамических свойств астатического
объекта вытекает из представления структурной модели объекта в виде
последовательного соединения трех типовых звеньев: звена транспортного
запаздывания, апериодического первого порядка и интегрирующего.
Такому
представлению
структурной
модели
объекта
соответствуют
последовательные участки переходной характеристики h(t) на рисунке 5.13: отрезок
прямой АВ, кривая ВЕ, отрезок прямой ЕД, являющийся частью асимптоты ДС.
h
F
Д
∆h(∞)
h(t)
h1(t)
E
h1(∞)
h ()
α
A
0
B

0
e
 об
K
t
C
Рис.5.13.
В этом случае
e  0 p 1
,
Tоб p  1 p
где Коб – коэффициент передачи, определяемый, как и ранее, через коэффициент
наклона асимптоты
EF
K об  tg 
;
DF
0 – транспортное запаздывание;
Тоб – постоянная времени апериодического звена, определяемая из рисунка 5.13
как Tоб  DF   e .
Wоб ( p)  K об
5.3.2.3.
Структурное
представление
объекта
регулирования,
обладающего
интегрирующими свойствами, параллельным соединением интегрирующего и
статического
звеньев,
последовательно
соединенным
со
звеном
транспортного запаздывания
В частных случаях технологических процессов кривые переходных функций
могут быть знакопеременными от момента приложения воздействия до
установившегося значения.
Например, переходные характеристики относительно уровня воды в барабане
парового котла, отражающие явления уплотнения или набухания объема котловой
воды в барабане котла при изменениях его нагрузки по пару (рис. 5.14).
h
h
0
0
0
t
t
0
а) уменьшение
расхода пара
б)увеличение
расхода пара
Рис.5.14.
Такие кривые переходных функций могут быть представлены двумя функциями:
прямой hи (t) путем переноса асимптоты кривой в точку t=0 и кривой hст(t), получаемой
вычитанием исходной характеристики h(t) из прямой hи (t), например рисунок 5.15.
h
hu(t)
h(t)
hcт(t)
0
α
0
t
Рис.5.15.
В соответствии с этим объект структурно может быть представлен в виде схемы,
приведенной на рисунке 5.16.
Wu ( p )
+
f(t)
h(t)
W ( p )
-
Wст ( p )
Рис.5.16.
Измерив на исходном графике переходной функции величину запаздывания 0,
можно записать передаточную функцию, соответствующую явлению чистого
запаздывания.
W ( p )  e  0 p .
Передаточную функцию Wu ( p) интегрирующего звена находят, как и в
предыдущих случаях, по тангенсу угла наклона асимптоты кривой h(t)
dh 1 tg  u
Wu ( p ) 


.
dt p
p
p
Передаточную функцию статического звена Wст ( p) находят из кривой hст(t)
одним из способов нахождения передаточной функции статических объектов.
При этом
Коб.ст 
hст ()
 hст () (при f уст  1) .
f уст ()
Тогда


Wоб ( p)  W ( p)  u  K об.стWст ( p) .
p

6. ОСНОВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В
ПРОМЫШЛЕННЫХ РЕГУЛЯТОРАХ
6.1.
Закон регулирования
Любой регулятор должен устранять причину, нарушающую равновесный режим
работы объекта.
Регулятор, работающий по принципу отклонения, должен воспринимать
значения регулируемой величины и сопоставлять его с заданным значением.
Разность
z (t )  y3 (t )  y(t ) , называемая рассогласованием, является входом
регулятора. В зависимости от рассогласования регулятор вырабатывает регулирующее
воздействие y p (t ) , являющееся выходом регулятора.
Регулирующее воздействие поступает на вход объекта с целью устранения
причины, приведшей к отклонению регулируемой величины от ее заданного значения.
В общем случае уравнение регулятора, замкнутого на объект регулирования,
можно записать как:
K ( p) y p (t )  C ( p) z (t ),
где К(р) и С(р) – операторные многочлены.
Знак "-" в правой части означает реализацию управления по принципу
отрицательной обратной связи.
Регулятор как самостоятельный элемент системы, отключенный от объекта
регулирования, описывается уравнением.
K ( p) y p (t )  C ( p) z (t )
Многочлен С(р) определяет закон регулирования, т.е. характер зависимости
между выходным и входным сигналами регулятора.
Многочлен К(р) указывает на характер выполнения этого закона.
Если К(р)=1, то закон регулирования идеален. В соответствии с записанным
уравнением закона регулирования имеем:
Y p ( p) C ( p)
W p ( p) 
- для реального закона регулирования

Z ( p) K ( p)
и
Y p ( p)
W p ( p) 
 C ( p) - для идеального закона регулирования.
Z ( p)
6.2.
Простейшие законы регулирования
Простейшими законами регулирования являются пропорциональный (П) и
интегральный (И).
Пропорциональный закон регулирования записывается уравнением вида:
y p (t )  K p z (t ) ,
где Кр – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом передачи
регулятора.
В этом случае имеется однозначная пропорциональная зависимость между
регулирующим воздействием и рассогласованием.
Передаточная функция регулятора имеет вид:
Y p ( p)
W рп ( p) 
 Kp
Z ( p)
П - регулятор является безынерционным усилительным звеном.
Интегральный закон регулирования предопределяет интегральную зависимость
между регулирующим воздействием и рассогласованием.
t
y p (t )   p  z (t )dt.
0
Это уравнение можно записать в виде:
y p (t )   p z (t ).
Отсюда  p 
y p (t )
, т.е. коэффициент передачи интегрального регулятора
z (t )
является отношением скорости изменения регулирующего воздействия к
рассогласованию. Поэтому коэффициент передачи И- регулятора называют еще
приведенной скоростью регулирования.
Из исходного уравнения имеем:
Y p ( p)  p
Z ( p)
Yp ( p )   p
; W ри ( p) 
.

p
Z ( p)
p
И – регулятор является интегрирующим звеном. Следовательно динамические
свойства И - регулятора определяются динамическими свойствами интегрирующего
звена.
6.3.
Законы регулирования с коррекцией по интегралу и производной
6.3.1. Корректирующая обратная связь
П и И – регуляторы не всегда обеспечивают надлежащее качество
регулирования.
П – регулятор предопределяет статизм системы и в связи с этим могут возникать
случаи, когда статическая ошибка превышает допустимое ее значение. В связи с этим
появляется необходимость введения корректирующих устройств, устраняющих
приведенные недостатки простейших регуляторов.
Если закон регулирования определяется передаточной функцией W p1 ( p ), а
желателен W p ( p ), то W p ( p )  Wk ( p )W p1 ( p ) и
Wk ( p ) 
W p ( p)
W p1 ( p )
.
В большинстве случаев при формировании законов регулирования, отличных от
простейших, коррекции осуществляются с помощью обратной связи по двум типам
структурных схем, когда обратная связь охватывает только усилитель (рис. 6.1) и когда
обратная связь охватывает и усилитель и исполнительный механизм (рис. 6.2).
yз(t)
ур(t)
+
ЧЭ
У
ИМ
ОС
Рис.6.1.
yз(t)
ур(t)
+
ЧЭ
У
ИМ
ОС
Рис.6.2.
Контур с обратной связью является предельной системой.
1
В этом случае Wk ( p) 
Woc ( p )
Следовательно,
1
W p ( p )  Wчэ ( p )
Wим ( p )
Woc ( p )
и
1
W p ( p )  Wчэ ( p )
.
Woc ( p )
Чувствительный элемент относят к объекту управления, исключая из
структурной схемы регулятора, в связи с тем, что динамические свойства ЧЭ отражены
в характеристике объекта управления.
Тогда
Wим ( p)
Woc ( p)
для случая, когда обратная связь охватывает только усилитель,
и
1
Wp ( p) 
Woc ( p)
для случая охвата обратной связью и усилителя и исполнительного механизма.
Таким образом, для получения желаемого закона регулирования при введении
коррекции по типу обратной связи передаточные функции устройств обратной связи
определяются как:
W ( p)
Woc ( p)  им
W p ( p)
и
1
.
Woc ( p) 
W p ( p)
W p ( p) 
6.3.2. Пропорционально-интегральный (ПИ) закон регулирования
В этом случае
t


1
y p ( p)  K p  z t    z (t )dt 
Tu 0


Постоянную интегрирования Ти называют временем изодрома.
Преобразуем уравнение по Лапласу


1 Z ( p) 
1 
Yp ( p )  K p  Z ( p ) 
  K p 1 
 Z ( p) .
Tu p 

 Tu p 
Отсюда
Y p ( p)
K 1

T p 1
1 
  K p  p  K p u
W рПИ ( p) 
 K p 1 
Z ( p)
Tu p
Tu p
 Tu p 
Подставив р= j , получим АФХ регулятора
jT   1
j
( )
W рПИ ( j )  K p u
 AрПИ ( )e рПИ ,
jTu
где
Tu  2  1
2
АрПИ ( )  K p
Tu 
 рПИ ( )  arctgTu 

2
;
.
График АФХ приведен на рисунке 6.3.
iV ( )
Kp
u ( )
0
 

0
Рис.6.3.
Переходная функция регулятора:
WрПИ ( p)
Kp 
Kp
 Kp

hp ПИ (t )  L1
 L1 


K

1
(
t
)

t.
p
2 
p
Tu
 p Tu p 
График переходной функции приведен на рисунке 6.4.
hрпн
tg 

Kp
0
t
Рис.6.4.
Kp
Tи
Обычно ПИ-регулятор реализуют с помощью обратной связи.
Если обратная связь охватывает только усилитель, то передаточная функция
обратной связи принимает вид:
1
Tu pWим ( p)
Kp
Wим ( p)
Wим ( p)
Wос ( p) 


;
Wрпи ( p) K Tu p  1
Tu p  1
p
Tu p
Если исполнительный механизм является интегрирующим звеном с передаточной
функцией
Wим ( p ) 
то
Wос ( p ) 
1  им
Tu p
Kp p
Tu p  1

 им
p
,
 им Tu
Tu p  1

K ос
,
Tu p  1
где

1
- степень обратной связи;
Kp
Kос  имTu - коэффициент передачи звена обратной связи.
Следовательно, обратная связь должна быть выполнена в виде апериодического звена
первого порядка. Такую обратную связь называют жесткой обратной связью с
инерционностью первого порядка.
Если обратная связь охватывает и усилитель и исполнительный механизм,
то
1
Tu p
Kp
Tu p
K p
1
1
Wос ( p ) 



 ос
T p  1 Tu p  1 Tu p  1 Tu p  1
W рПИ ( p )
Kp u
Tu p
Следовательно, обратная связь должна быть выполнена в виде реального
дифференцирующего звена. Такую обратную связь называют упругой или гибкой
обратной связью.
Вообще жесткой обратной связью называют такую, которая в установившемся
режиме работы пропускает установившееся значение входного воздействия.
Гибкой обратной связью называют обратную связь, которая в установившемся
режиме не пропускает установившегося значения входного сигнала.
Обязательным элементом гибкой обратной связи является дифференцирующее звено.
6.3.3. Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) закон регулирования
ПИД - закон регулирования - регулирующее воздействие пропорционально
сумме рассогласования, интегралу и производной рассогласования.

1
y p (t )  K p  z (t ) 
Tu

где
Тпр - время предварения (опережения);
t
 z(t )dt  T
0
пр
dz (t ) 

dt 
Ти - время изодрома;
Кр - коэффициент передачи.
Преобразуем уравнение по Лапласу:




1
1
Y p ( p)  K p Z ( p) 
Z ( p)  Tпр pZ ( p)  K p 1 
 Tпр p Z ( p) .
Tu p


 Tu p

Отсюда
Y p ( p)
Kp


1
W рПИД ( p) 
 K p 1 
 Tпр p  K p 
 K p Tпр p .
Z ( p)
Tu p
 Tu p

АФХ ПИД - регулятора
WрПИД ( j )  WрПИД ( p)


1
j
( )
 K p 1 
 jTпр   AрПИД ( )e рПИД ,
jTu


p  j
где
AрПИД ( )  K p
1  T T
 2   Tu 2 2
2
u пр
Tu
;
Tu

 .
2
1  TuTпр
2
График АФХ приведен на рисунке 6.5.
jV ( )
 рПИД ( ) 
∞
Kp
ω
u(  )
0

1
Т и Т пр
ω
∞
Рис.6.5.
Переходная функция регулятора
W рПИД ( p)
Kp
Kp
 Kp

h рПИД (t )  L1
 L1 

 K pTпр   K p  1(t ) 
t  K pTпр (t )
2
p
p
T
T
p
u
u


График переходной функции приведен на рисунке 6.6.
hпид
tg 

Kp
Tи
Кр
t
0
Рис.6.6.
Если ПИД – регулятор реализуется с помощью обратной связи,
охватывающей только усилитель, а исполнительный механизм является
интегрирующим звеном,
то
 им
Wос ( p) 
Wим ( p)

W рПИД ( p)
Kp
1
 имTu
Kp
 имTu
p


2
2
Tu Tпр p  Tu p  1 Tu Tпр p  Tu p  1 Tu Tпр p 2  Tu p  1
Tu p
или
K ос
,
T1 p  1T2 p  1
Здесь Tu Tпр  T1T2 ; Tu  T1  T2 ; K ос   имТ и .
Следовательно, обратная связь должна быть выполнена в виде
апериодического звена второго порядка или в виде последовательного соединения
двух апериодических звеньев первого порядка. Такую обратную связь называют
жесткой с инерционностью второго порядка.
Если обратная связь охватывает и усилитель и исполнительный механизм,
то
1
Tu p
Kp
Tu p
1
1
Wос ( p) 



2
2
W рПИД ( p)
Tu Tпр p  Tu p  1 Tu Tпр p  Tu p  1 Tu Tпр p 2  Tu p  1
Kp
Tu p
или
Tu p

.
Wос ( p) 

T1 p  1 T2 p  1
Следовательно, обратная связь в этом случае должна быть выполнена в виде
дифференцирующего звена второго порядка или в виде последовательного
соединения апериодического звена первого порядка и реального дифференцирующего
звена.
Wос ( p) 
7.
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ АСР
7.1.
Одноконтурная АСР
В общем случае простейшая одноконтурная АСР может быть представлена
структурной схемой, приведенной на рисунке 7.1.
fвтр(t)
yз(t)
z(t)
fвн(t)
W овн(p)
yp(t)
y(t)
W p(p)
+
-
W op(p)
Рис.7.1.
На рисунке обозначены:
y (t ) - текущее значение регулируемой величины;
y3 (t ) - заданное значение регулируемой величины;
y3 (t )  y(t )  z (t ) - рассогласование (ошибка);
y p (t ) - регулирующее воздействие;
f в тр (t ) - внутреннее возмущение;
f вн (t ) - внешнее возмущение;
Wор ( p ) - передаточная функция объекта регулирования по каналам
регулирующего воздействия и внутреннего возмущения;
Wовн ( p) - передаточная функция объекта регулирования по каналу внешнего
возмущения;
W р ( p ) - передаточная функция регулятора;
- сумматор;
- сумматор с противоположными по знаку входными сигналами.
+
Когда к системе регулирования приложены управляющее воздействие,
внутреннее и внешнее возмущения, то изображение регулируемой величины можно
записать в виде:
Y ( p)  Yop ( p)  Yовтр ( p )  Yовн ( p ),
где Yop ( p ) , Yовтр ( p) , Yовн ( p) - изображения отклонений регулируемой величины за счет
регулирующего воздействия, внутреннего и внешнего
возмущений соответственно.
Так как
Yop ( p)  Wop ( p) Z ( p)W p ( p),
Z ( p)  Y3 ( p)  Y ( p),
Yовтр ( p)  Wовтр ( p) Fвтр ( p),
Yовн ( p)  Wовн ( p) Fвн ( p),
то
Y ( p)  Wop ( p)W p ( p)Y3 ( p)  Y ( p)  Wовтр ( p) Fвтр ( p)  Wовн ( p) Fвн ( p )
или
Y ( p)  Wop ( p)W р ( p)Y ( p)  Wop ( p)W р ( p)Y3 ( p)  Wовтр( p) Fвтр ( p)  Wовн ( p) Fвн ( p)
Отсюда
Y ( p) 
Wop ( p)W p ( p)
1  Wop ( p)W p ( p)
Y3 ( p) 
Wовтр ( p )
1  Wop ( p)W p ( p)
Fвтр ( p ) 
Wовн ( p )
Fвн ( p )
1  Wop ( p)W p ( p)
и
W ( p) 
y3  y
Wop ( p)W p ( p)
W pc ( p)
Y ( p)


;
Y3 ( p) 1  Wop ( p)W p ( p) 1  W pc ( p)
W ( p) 
Wовтр( p)
Wовтр( p)
Y ( p)


;
Fвтр ( p) 1  Wop ( p)Wp ( p) 1  Wpc ( p)
W ( p) 
Y ( p)
Wовн ( p)
Wовн ( p)


.
Fвн ( p) 1  Wop ( p)Wp ( p) 1  Wpc ( p)
f втр  y
f вн  y
Следовательно, передаточная функция замкнутой одноконтурной АСР,
связывающая любую выходную величину yi (t ) с любым входным воздействием f k (t ) ,
приложенным к произвольной точке системы, выражается в виде:
Wпр ( p )
W ( p) 
f k  yi
1  W pc ( p )
,
где
W пр ( p ) - передаточная функция элементов разомкнутой системы,
f k  yi
расположенных между точкой приложения возмущающего воздействия
и точкой снятия выходного сигнала;
W pc ( p ) - передаточная функция всей разомкнутой системы.
При анализах АСР может представлять интерес поведение рассогласования z (t )
при приложении к системе соответствующих возмущений.
В соответствии с вышеизложенным передаточные функции в этом случае принимают
вид:
Z ( p)
1
W ( p) 

;
Y3 ( p) 1  W pc ( p)
y3  z
W ( p) 
 Wop ( p)
Z ( p)

;
Fвтр ( p) 1  W pc ( p)
W ( p) 
 Wop ( p)
Z ( p)

.
Fвн ( p) 1  W pc ( p)
f втр  z
f вн  z
7.2.
Многоконтурная АСР
К схеме, изображенной на рисунке 7.1, может быть приведена любая
многоконтурная АСР, содержащая произвольное число соединенных друг с другом
контуров и имеющая перекрестные связи.
Так как всякая структурная схема представляет собой линейную систему в
виде некоторых более простых систем, точек разветвления сигналов (узлов) и
сумматоров, соединенных между собой различными способами, то любое
преобразование в структурной схеме сводится к попарной перестановке ее соседних
элементов. Основной принцип перестановки элементов структурной схемы – все
входные и выходные сигналы преобразуемого участка системы должны оставаться
неизменными.
Из общего принципа вытекают конкретные правила структурного
преобразования, использовав которые, можно свести любую многоконтурную
систему к типовым соединениям звеньев. Заменив затем эти типовые соединения
эквивалентными звеньями, многоконтурную систему приводят к одноконтурной.
Некоторые примеры правил структурных преобразований приведены в
таблице 7.1.
Таблица.7.1.
Операция
Исходная схема
x1
Эквивалентная схема
x2
Замена звеньев
прямой и обратной
цепей.
x1
x2
1
2
W1
W
W11
W2
W21
W1
W

1
1
1  W1W2
1  W2 W1
W1
W
1  W2W1
x1
x2
W1
Переход к
единичной
обратной связи
x1
W21
W1
W2
W2
W
W1
1  W1W2
W
W1W2
W1
W21 
1  W1W2
1  W1W2
x2
8.
АСТАТИЗМ АСР
8.1.
Порядок воздействия
В общем случае к АСР может быть приложено воздействие, изменяющееся по
закону степенного ряда.
A
A
A
A
A

f (t )   0 t 0  1 t 1  2 t 2    k t k    v t v   1(t ) , 0!  1
1!
2!
k!
v! 
 0!
Здесь 1( t ) - множитель, указывающий на то, что поведение функции
рассматривается только в правой полуплоскости, справа от оси ординат.
Так как
tn
1
 n 1 ,
n! p
то
A
A
A
A
A
A p v  A1 p v 1  A2 p v  2    Av 1 p  Av
F ( p)  0  12  23    v v1  vv1  0

p p
p
p
p
p v 1
v
A p
k
f (t )
vk
N ( p)
;
p
p v 1
В частном случае к АСР может быть приложено воздействие, изменяющееся с
постоянной к-ой производной, т.е. воздействие вида:

k 0
v 1

f k (t ) 
(k )
f уст
tk
k!
Воздействие, изменяющееся с постоянной к-ой производной, называют
воздействием к-го порядка. Его изображение имеет вид:
Fk ( p) 
(k )
f уст
p k 1
Практический интерес представляют воздействия нулевого, первого и второго
порядков, т.е. постоянное воздействие и воздействия, изменяющиеся с постоянной
скоростью и постоянным ускорением:
A
f 0 (t )  A0 ; f 1 (t )  A1t; f 2 (t )  2 t 2 .
2
8.2.
Коэффициенты ошибки. Порядок астатизма АСР
Передаточная функция замкнутой системы относительно выходной величины
y (t ) по каналу рассматриваемого возмущения f (t ) имеет вид:
Y ( p)
W3 ( p ) 
F ( p)
f ,y
Отсюда изображение переходного процесса, вызываемого воздействием,
выражаемым степенным рядом, запишется в виде
Y ( p )  W3 ( p ) F ( p )  W3 ( p )
f ,y
f ,y
N ( p)
p v 1
W3 ( p )
Раскладывая
f ,y
на простейшие дроби по методу неопределенных
p v 1
коэффициентов и переходя от изображения к оригиналу, получим переходный процесс
в виде суммы переходной и вынужденной составляющих:
y (t )  y пер (t )  y вын (t )
Переходная составляющая y пер (t )  0 при t   . Вынужденную составляющую
переходного процесса можно записать в виде суммы:
df (t )
d 2 f (t )
d v 1 f (t )
d v f (t )
,
увын (t )  C0 f (t )  C1
 C2

...

C

C
v 1
v
dt
dt 2
dt v 1
dt v
где
C0 , C1 ,..., Ck ,..., Cv 1 , Cv  коэффициенты разложения передаточной функции на
простейшие дроби.
Вынужденная составляющая переходного процесса является ошибкой
системы. Ошибка системы определяет ее точность. Следовательно, точность АСР
можно оценить коэффициентами разложения в степенной ряд ее передаточной
функции относительно выходной величины по каналу воздействия коэффициентами ошибки.
Это положено в основу классификации систем по характеру установившегося
движения. Признаком классификации служит порядок астатизма.
1. Системой с астатизмом нулевого порядка называют АСР, погрешность которой при
отработке постоянного воздействия пропорциональна величине этого воздействия.
Это возможно только при С0  0 . Такие системы называют статическими.
2. Системой с астатизмом первого порядка называют АСР, погрешность которой при
отработке постоянного воздействия равна нулю, а при отработке воздействия
первого порядка постоянна и пропорциональна скорости изменения этого
воздействия. Возможно при С0=0 и С1  0 . Такие системы еще называют
астатическими, позиционными, нейтральными.
3. Системой с астатизмом второго порядка называют АСР, погрешности которой при
отработке постоянного воздействия и воздействия, изменяющегося с постоянной
скоростью, равны нулю, а ошибка при отработке воздействия, изменяющегося с
постоянным ускорением, постоянна и пропорциональна величине ускорения.
Возможно при С0=0, С1=0 и С2  0 .
4. Системой с астатизмом v  го порядка называют систему, погрешность которой при
отработке воздействия, выражаемого степенным рядом v  ой степени, постоянна и
пропорциональна коэффициенту при v  ом члене ряда.
Это возможно при С0= С1=С2 =…=Сv-1 =0 и Сv  0 .
Таким образом, порядок астатизма АСР определяется номером первого, не
равного нулю коэффициента ошибки по рассматриваемому воздействию.
Передаточную функцию замкнутой многоконтурной системы любой сложности
между двумя ее любыми узлами можно определить методом Мейсона, не прибегая к
структурному преобразованию.
r
W
Y ( p)
W ( p) 

F ( p)
f ,y
прi
i 1
( p) i ( p)
( p )
Здесь
( p)  1  Wpkj ( p)  Wpkj ( p)Wpkk ( p)  Wpkj ( p)Wpkk ( p)Wpkl ( p)  
W
передаточных
функций
всех
( p) -сумма
контуров системы после их размыкания;
произведений
передаточных
Wpkj ( p)Wpkk ( p) , Wpkj ( p)Wpkk ( p)Wpkl ( p) -суммы
функций двух, трех и т. д. контуров, несоприкасающихся друг с другом, т.е. не
имеющих общих узлов, сумматоров и звеньев;
Wпрi ( p) i ( p) - сумма произведений передаточных
функций i  ых прямых путей передачи сигналов от рассматриваемого входа к
рассматриваемому выходу на  i ( p ) ;
r -число таких прямых путей;
после исключения из него
 i ( p ) - это ( p )
членов, содержащих передаточные функции контуров и ветвей, соприкасающихся с
i  ым прямым путем.
pkj
Примечание:
Передаточные функции W pk ( p ) и Wпр ( p) берутся со знаком "+" или "-" в
зависимости от четности или нечетности отрицательных сигналов в контуре или
прямом пути передачи сигнала.
8.3. Структурные условия астатизма
В соответствии с теоремой о конечном значении функции вещественного
переменного имеем:
lim y(t )  lim pY ( p)
t 
p 0
Так как
Y ( p)  W3 ( p) F ( p) ,
f ,y
то
lim y(t )  lim p W3 ( p) F ( p)
t 
p 0
f ,y
Подставляя сюда значения
W3 ( p ) 
W f , y ( p)
и Fk ( p) 
(k )
f уст
,
1  W pc ( p )
p k 1
получим уравнение установившегося режима работы системы при воздействии
возмущения к-го порядка f k (t ).
f ,y
lim y(t )  lim p
t 
или
p 0
W f , y ( p)
(k )
f уст
1  Wpc ( p) p
k 1
 lim
p 0
W f , y ( p)
1  Wpc ( p) pk
(k )
f уст
W f , y ( p)
y уст 
(k )
f уст
1  Wpc ( p) p
p0
k
Здесь
W ( p) - передаточная функция элементов системы, расположенных между
f ,y
точками приложения возмущения и снятия выходного сигнала;
W pc ( p ) - передаточная функция всей разомкнутой системы.
1.
Если в общем случае во всю разомкнутую систему входит r интегрирующих
звеньев, а в участок между входом f k (t ) и выходом y (t ) - l таких звеньев,
то
W ( p) 
f ,y
 l инт
p
l
Wст ( p ) ;
W pc ( p ) 
fk , y
 r инт
pr
W pccm ( p ) ,
где Wст ( р) , W рсст ( p ) - передаточные функции статических элементов системы между
fk , y
точками входа и выхода и всей разомкнутой системы
соответственно.
Подставляя эти значения в уравнение установившегося режима, получим:
p  l  l инт Wcm ( p )
p r l  l инт Wcm ( p )
fk , y
fk , y
(k )
(k )
,
y ycm 
f ycm
 r
f ycm
p   r интW pccm ( p ) p k
  r интW pccm ( p )  k
p0
1 
p p  0
r
p


p ( r l )  k  l инт Wcm ( p )
fk , y
(k )
y ycm  r
f ycm
p   r интW pccm ( p )
p0


где к – порядок воздействия.
Отсюда:
1.1.
1.2.
При r  l   k выходная величина не имеет конечного установившегося значения,
а непрерывно возрастает во времени.
При r  l   k установившееся значение выходной величины является конечным,
пропорциональным установившемуся значению к – ой производной входного
воздействия:
 l инт K cm
1
fk , y
(k )
(k )
y ycm 
f ycm

f ycm
,
 r инт K pccm
 oc K cmoc
y уст 
1.3.
1
(k )
f уст
К ос
При r  l   k установившееся значение выходной величины стремится к нулю.
Следовательно, характер отработки системой воздействия к-го порядка
определяется числом интегрирующих звеньев вне участка приложения входного
воздействия и снятия выходного сигнала, т.е. числом интегрирующих звеньев в
цепи обратной связи по отношению к рассматриваемым входному и выходному
сигналам.
В связи с этим число интегрирующих звеньев r  l  в цепи обратной связи между
приложением входного воздействия и снятием выходного сигнала структурно
определяет порядок астатизма системы по отношению к рассматриваемому входному
воздействию.
Таким образом:
а) АСР отрабатывает воздействие к -го порядка астстично в том случае, когда
порядок астатизма выше порядка воздействия [ r  l   k ].
б) При равенстве порядков астатизма и воздействия [ r  l   k ] система
отрабатывает воздействие к-го порядка с погрешностью, пропорциональной
установившемуся значению к-ой производной входного воздействия
1
(k )
f уст
y уст 
К ос
в)
Если порядок астатизма меньше порядка воздействия [ r  l   k ], то выходная
величина не имеет конечного установившегося значения, а неограниченно
возрастает во времени, т.е. система неработоспособна.
2.
Если в приведенной к одноконтурной АСР не содержится интегрирующих звеньев
в обратной связи, но имеется l интегрирующих звеньев в прямой цепи по
отношению к рассматриваемым входу и выходу системы (r  l  0, т.е. r  l ) ,
то
y ycm 
y ycm 
p  k  l инт Wcm ( p )
fk , y
(k )
,
f ycm
p0
p   l интW pccm ( p )
l
 l инт Wcm ( p)
fk , y
(k )
f ycm
p0
Как видим, в этом случае при воздействии, изменяющемся с постоянной к-ой
производной, выходная величина не имеет конечного установившегося значения, а
непрерывно возрастает во времени.
Следовательно, в этом случае АСР способна отрабатывать только воздействия
нулевого порядка ( k  0, постоянное воздействие), причем АСР будет астатической с
нулевым порядком астатизма, т.е. статической.
Статическая ошибка принимает значение:
p
l

  l интW pccm ( p ) p k
К ст
1
(k )
f уст
К ос
К рсст
Если в приведенной к одноконтурной АСР отсутствуют интегрирующие звенья и
в прямой цепи и в обратной связи r  0, l  0 ,
y уст 
3.
fk , y
(k )
f уст

то
p  k Wст ( p )
y уст 
Wст ( p )
(k )
k
f

f уст
k
1  W рсст ( p )
(1  W рсст ( p )) p
p0
p0
fk , y
(k )
уст
f ,y
Отсюда:
В приведенной к одноконтурной АСР, не содержащей интегрирующих звеньев ни
в прямой цепи, ни в цепи обратной связи, при воздействии, изменяющемся с
постоянной к-ой производной, выходная величина не имеет конечного
установившегося значения, а непрерывно возрастает во времени. Следовательно,
такая АСР способна отрабатывать только воздействие нулевого порядка (k  0) , т.е.
постоянное воздействие. Система будет астатической с нулевым порядком астатизма,
т.е. статической, по отношению к постоянному воздействию. При этом статическая
ошибка,
определяемая
установившимся
значением
выходной
величины,
пропорциональна установившемуся значению входного воздействия
К
fk , y
f уст ,
y уст 
1  К рс
где
К – коэффициент передачи элементов системы, расположенных между
fk , y
приложением входного воздействия и снятием выходного сигнала;
K pc – коэффициент передачи всей разомкнутой АСР.
АСР С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ
9.
В большинстве случаев статическая зависимость регулируемой величины от
входного воздействия не желательна. Поэтому статизм необходимо уменьшать.
Статическое отклонение уменьшается при увеличении коэффициента передачи
системы. Однако, для полного устранения статизма требуется бесконечно большой
коэффициент передачи. Такое условие невыполнимо и для устранения статизма
следует перейти к астатической АСР с соответствующим порядком астатизма.
Кроме того, из уравнения установившегося движения системы очевиден и
иной путь устранения статизма по отношению к рассматриваемому возмущению.
Из уравнения установившегося режима видно, что ошибка равна нулю при
равенстве бесконечности знаменателя передаточной функции и равенстве нулю ее
числителя.
Первый случай соответствует астатической системе. Второй случай можно
реализовать введением воздействий, компенсирующих возмущения.
Суть способа заключается в том, что на основе измерения величины
возмущения управляющее устройство осуществляет такое воздействие на объект,
которое компенсирует естественное влияние данного возмущения на выходную
величину объекта.
Структурная схема такой АСР приведена на рисунке 9.1.
fk(t)
W oвk(k)
Wрк(p)
Wор(р)
y(t)
Рис.9.1.
В соответствии с рисунком 9.1 изображение регулируемой величины
Y ( p)  Y1 ( p)  Y2 ( p)  Wовк ( p) Fk ( p)  W pk ( p)Wop ( p) Fk ( p)  (Wовк ( p)  W pk ( p)Wop ( p)) Fk ( p) .
Отсюда условие независимости y (t ) от f (t ) запишется в виде:
Wовк ( p )  W pk ( p )Wop ( p )  0
или
W pk ( p) 
Wовк ( p)
.
Wop ( p)
Следовательно, для того, чтобы регулируемая величина была независима от
возмущения, или иначе, была инвариантна относительно возмущения, необходимо
регулятор компенсации выбрать так, чтобы его передаточная функция определялась
передаточными функциями объекта по каналам рассматриваемого возмущения и
регулирующего воздействия.
Это условие абсолютной инвариантности не всегда может быть реализовано.
Поэтому в большей части идут на частичную инвариантность – инвариантность в
установившемся режиме (инвариантность в статике)
К рк 
К ов к
,
К ор
где
К овк - коэффициент передачи объекта по каналу рассматриваемого возмущения,
К ор - коэффициент передачи объекта по каналу регулирующего воздействия.
Так как в реальных системах невозможно измерить все возмущения, то система с
компенсацией в разомкнутом виде (рис. 9.1) может быть реализована в редких случаях.
В практике автомвтизации технологических процессов принцип компенсации
возмущений сочетают с принципом по отклонению (рис. 9.2).
fk(t)
Wрк(p)
yз(t) +
Woвk(р)
f(t)
Wр(p)
Wор(р)
y(t)
-
Рис.9.2.
Согласно рисунку 9.2
Y ( p) 
Wов к ( p )  W pk ( p )W p ( p)Wop ( p)
1  W p ( p )Wop ( p )
Fk ( p)
Отсюда условие абсолютной инвариантности регулируемой величины y (t ) по
отношению к возмущению f (t ) запишется в виде:
Wовк ( p)  W pk ( p)W p ( p)Wop ( p)  0
или
Wовк ( p)
.
Wop ( p)W p ( p)
Для устранения влияния возмущения на регулируемую величину в
установившемся режиме коэффициент передачи корректирующего регулятора
(устройства ввода возмущения) должен быть обратно пропорционален коэффициенту
передачи основного регулятора по отклонению
W pk ( p) 
К рк 
К овк 1

.
К ор К р
10.
УСТОЙЧИВОСТЬ АСР
10.1. Переходный процесс в АСР. Устойчивые и неустойчивые АСР
Общее уравнение динамики линейной АСР записывается в виде
(a0 p n  a1 p n 1    a n 1 p  a n ) y (t )  (b0 p m  b1 p m1    bm1 p  bm ) f (t )
где
y (t ) - регулируемая величина;
f (t ) - возмущающее воздействие.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
n
y (t )   C i e pi ( t ) ,
i 1
где
p i - i  ый корень характеристического уравнения А( р )  0 ,
C i - i  ая постоянная интегрирования.
Из этого решения очевидно, что i  ая составляющая переходного процесса будет
стремиться к установившемуся значению в том случае, когда действительная часть
соответствующего корня отрицательна. Если действительная часть корня
положительна, то соответствующая составляющая переходного процесса будет
уходить от установившегося значения и весь процесс будет расходящимся.
АСР, переходные процессы в которых затухают с течением времени, называют
устойчивыми. АСР с расходящимися переходными процессами относят к
неустойчивым.
Все реальные работоспособные системы должны быть устойчивыми.
10.2. Необходимое условие устойчивости
Для суждения об устойчивости системы нужно знать знаки действительной части
корней характеристического уравнения системы, а для этого нужно решать эти
уравнения. В радикалах решаются уравнения первой – четвертой степеней, уравнения
пятой и выше степеней решаются только в численном виде по числовым
коэффициентам уравнения.В связи с этим появляется необходимость уметь
косвенным образом оценивать знаки корней характеристического уравнения.
Можно показать, что необходимым условием отрицательности корней
характеристического уравнения системы, т.е. ее устойчивости, является
положительность всех коэффициентов уравнения. Для АСР первого и второго
порядков это необходимое условие является и достаточным.
Необходимое и достаточное условия устойчивости для АСР третьего и выше
порядков определяются критериями устойчивости.
10.3. Критерии устойчивости
10.3.1. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Для устойчивости замкнутой системы n-го порядка необходимо и достаточно,
чтобы были положительными все n определителей, составленных из коэффициентов
характеристического уравнения системы, причем определители берутся как главные
миноры квадратной матрицы. Квадратная матрица записывается:
- в первую строку выписываются коэффициенты уравнения через один, начиная
со второго по старшинству;
- во вторую строку выписываются коэффициенты уравнения через один, начиная
с первого по старшинству;
- в третью и четвертую строки выписываются первая и вторая строки со сдвигом
на один элемент вправо.
На освободившиеся места в строках проставляются нули. Каждая последующая пара
строк получается сдвигом на один элемент вправо двух предыдущих. Всего должно
быть записано n строк и n столбцов, где n - порядок характеристического уравнения.
Например,
a 0 p 6  a1 p 5  a 2 p 4  a 3 p 3  a 4 p 2  a 5 p  a 6  0
Квадратная матрица:
a1 a 3 a 5 0 0 0
Условие устойчивости:
a0
a2
a4
a6
0
0
0
a1
a3
a5
0
0
0
a0
a2
a4
a6
0
0
0
a1
a3
a5
0
0
0
a0
a2
a4
a6
 1  a1  0
2 
a1 a 3
0
a0 a2
a1
 3  a0
0
a3
a2
a1
a5
a4  0
a3

 6  a6  5
Так как все коэффициенты должны быть положительными и  n  a n  n 1 , то
условие устойчивости записывается в виде:
 2  0;  3  0; ;  n 1  0.
Если свободный член равен нулю a n  0 , то в уравнении имеется нулевой
корень.
Если предпоследний определитель равен нулю  n 1  0 , то в уравнении
имеется чисто мнимый корень.
Следовательно, условиями границы устойчивости системы будут
a n  0 и  n 1  0 .
10.3.2.
Частотный критерий устойчивости Найквиста для статических систем
1.
Если разомкнутая система устойчива, т.е. если передаточная функция
разомкнутой системы не имеет полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при
движении вдоль нее по часовой стрелке не охватывала точку (-1;j0) и не проходила
через нее, например рисунок 10.1.
jV(ω)
ω=∞
-1
ω=0
u(ω)
Рис.10.1.
2.
Если разомкнутая система неустойчива, т.е. если передаточная функция
разомкнутой системы имеет m полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при
движении вдоль нее против часовой стрелки охватывала точку (-1;j0) m
раз,
2
например рисунок 10.2.
jV(ω)
m=2
ω=0
-1
u(ω)
ω=∞
Рис.10.2.
10.3.3 Частотный критерий Найквиста для астатических систем v -го порядка астатизма
В астатических АСР передаточная функция разомкнутой системы имеет v
полюсов в начале координат, т.е.
B( p)
W pc ( p )  v
p A0 ( p )
В этом случае характеристика
B ( j )
W pc ( j ) 
( j )v A0 ( j )
уходит в бесконечность при подходе к нулевой частоте как со стороны положительных,
так и со стороны отрицательных значений  , например рисунок 10.3.
jV(ω)
0
ω
+∞
W pc(jω)
u(ω)
0
ω
0
-∞
Рис.10.3.
Наличие двух уходящих в бесконечность ветвей годографа W pc ( j ) при   0 и
  0 делает АФХ незамкнутой и вносит в связи с этим неопределенность в области
нулевой частоты.
Для возможности применения критерия Найквиста и в этом случае нужно кривую
W pc ( j ) замкнуть, устранив тем самым неопределенность при   0.
Для этого следует обойти нулевые корни характеристического уравнения, (нулевые
полюсы передаточной функции), деформируя мнимую ось плоскости корней
полуокружностью малого радиуса ρ (рис.10.4 а,б).
ρ
ρ
б)
Рис.10.4.
Если обход осуществлять справа (против часовой стрелки), то нулевой корень
следует отнести к левой полуплоскости. Если обход осуществлять слева (по часовой
стрелке),
то нулевой корень относится к правой полуплоскости.
Если нулевой полюс обходить полуокружностью радиуса   0 (рис. 10.4), то
годограф АФХ разомкнутой системы дополняется полуокружностью бесконечно
большого радиуса R и кривая АФХ замыкается.
Обходу нулевого полюса против часовой стрелки соответствует дополнение
АФХ разомкнутой системы полуокружностью бесконечно большого радиуса R также
против часовой стрелки.
Обходу нулевого полюса по часовой стрелке соответствует дополнение АФХ
разомкнутой системы полуокружностью бесконечно большого радиуса R по часовой
стрелке.
Если ограничиться только рассмотрением положительного диапазона частот
(0     ), не учитывая зеркального отображения W pc ( j ) для отрицательных частот,
a)
то каждому нулевому полюсу W pc ( p ) при обходе его четвертью окружности радиусом
  0 будет соответствовать дополнение W pc ( j ) четвертью окружности радиуса
R   , т.е. дугой 
2
бесконечно большого радиуса.
Исходя из вышеизложенного, можно сформулировать следующие критерии
устойчивости Найквиста для астатических систем:
1.
Если передаточная функция разомкнутой системы имеет v полюсов на мнимой
оси или в начале координат и не имеет полюсов в правой полуплоскости, то для
устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой

системы с ее дополнением дугой v
бесконечно большого радиуса против часовой
2
стрелки не охватывала точку (-1;j0) при движении вдоль нее по часовой стрелке.
2.
Если передаточная функция разомкнутой системы имеет v полюсов на мнимой
оси или в начале координат и m полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы с ее

дополнением дугой v бесконечно большого радиуса по часовой стрелке охватывала
2
vm
точку (-1;j0)
раз при движении вдоль нее против часовой стрелки.
2
10.4. Влияние параметров АСР на ее устойчивость
Критерии устойчивости позволяют при известных параметрах АСР делать
заключение о ее устойчивости. С их помощью можно также проследить влияние
отдельных параметров на устойчивость, оценить степень устойчивости и тем самым
оценить интенсивность затухания переходных процессов в АСР.
Существенное влияние на качество АСР оказывает ее коэффициент передачи. В
статических АСР коэффициент передачи определяет величину статической ошибки.
Чем больше коэффициент передачи, тем меньше статическая ошибка.
Следовательно, с точки зрения статической точности регулирования нужно
увеличивать коэффициент передачи.
Однако, по мере роста его при прочих равных условиях ухудшается
устойчивость системы. Если АФХ разомкнутой системы при единичном коэффициенте
передачи (рис. 10.5) W pc1 ( j ) , то при K pc  1 АФХ разомкнутой системы
W pc ( j )  K pcW pc1 ( j ) .
jV(ω)
Akp(ωkp)
ω=∞
-1
ωkp
ω=0
u(ω)
0
W pc1(jω)
Рис.10.5.
По мере увеличения коэффициента передачи модули АФХ увеличиваются, АФХ
разомкнутой системы располагается все ближе и ближе к критической точке (-1;j0).
При некотором значении коэффициента передачи АФХ разомкнутой системы
пройдет через точку (-1;j0) и АСР выйдет на границу устойчивости. Значение
коэффициента передачи разомкнутой АСР, при котором замкнутая система находится
на границе устойчивости, при прочих равных условиях, называют критическим или
предельным.
Из рисунка 10.5. имеем:
K pckp Akp ( kp )  1, K pckp 
где
1
Akp ( kp )
Akp ( kp )  значение модуля АФХ разомкнутой системы при критической частоте,
причем под критической частотой понимают частоту, при которой АФХ разомкнутой
системы при единичном коэффициенте передачи пересекает отрицательную
вещественную полуось.
АСР, состоящую из устойчивых звеньев, в замкнутом состоянии всегда можно
сделать устойчивой надлежащим подбором параметров системы, например, ее
коэффициента передачи.
При этом в достаточной мере могут быть удовлетворены и другие требования к
качеству системы. Системы регулирования, которые можно сделать устойчивыми
только подбором ее параметров без изменения структуры, называют структурноустойчивыми системами.
АСР, которые не могут быть сделаны устойчивыми путем только изменения
значений параметров системы, называют структурно-неустойчивыми. Для придания
устойчивости структурно-неустойчивым АСР необходимо изменять их структуру путем
введения корректирующих устройств. Корректирующие устройства могут быть
последовательными, параллельными и в виде обратных связей. Последовательные и
параллельные корректирующие устройства реализуют дифференцирующими
звеньями.
В качестве корректирующих устройств в виде обратной связи применяют
жесткие и упругие обратные связи.
1. Идеальная жесткая обратная связь
y oc (t )  K oc y (t ); Woc  K oc ;
2. Жесткая обратная связь с инерционностью первого порядка
K
Toc p  1 y oc (t )  K oc y (t ); Woc ( p)  oc
Toc p  1
3. Жесткая обратная связь с инерционностью второго порядка
K oc
 Toc1 p  1  Toc2 p  1   y oc (t )  K oc y (t ); Woc ( p) 
(Toc1 p  1)(Toc2 p  1)
4. Упругая обратная связь с инерционностью первого порядка
K p
(Tu p  1) y oc (t )  K oc p  y(t ); Woc ( p)  oc
Tu p  1
где Ти - постоянная времени звена обратной связи, называемая временем изодрома.
11.
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА АСР
11.1. Прямые показатели качества переходных процессов в замкнутой АСР
Работоспособность любой замкнутой АСР определяется ее устойчивостью, что в
свою очередь предопределяется структурой системы.
Переходные же процессы зависят не только от структуры системы и ее
параметров, но и от характера воздействий, приложенных к ней. В связи с этим для
оценки качества регулирования и динамических свойств АСР вводят типовые
воздействия, к которым относят единичные скачкообразную (1(t )) и импульсную ( (t ))
функции; воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью или постоянным
ускорением; гармоническое воздействие.
Из приведенных типовых воздействий чаще применяют единичную
скачкообразную функции 1( t ) . При этом используют прямые показатели качества
(рис. 11.1):
y
y
y1
y3
∆H
y1
y2
yyct=y(∞)
∆H
y3
∆H
t
0
y2
t
0
tp
tp
а) статическая АСР
б) астатическая АСР
Рис.11.1.
максимальное отклонение y1 регулируемой величины (динамическая ошибка
регулирования) (рис. 11.1. а,б)
статическая ошибка y ycm в установившемся режиме для статических АСР
(рис. 11.1 а)
перерегулирование
y
y  1  100%
y ycm
для статических (рис.11.1 а)
и
y
y  2  100%
y1
для астатических АСР (рис.11.1 б).
- зона нечувствительности H (рис.11.1 а,б)
- время регулирования t p (рис.11.1 а,б)
- степень затухания
y  y3
y
 1
1 3
y1
y1
для колебательных процессов (рис.11.1 а,б)
Степенью затухания называют отношение разности двух соседних одинаково
направленных амплитуд колебаний к первой из них.
-
Следовательно, качество процессов регулирования можно оценить путем
решения дифференциального уравнения системы и построения графика переходного
процесса.
Однако, решение в аналитическом виде возможно только в случае линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и сопряжено с
трудностями определения корней характеристического уравнения.
Вследствие этого широко применяют косвенные оценки качества АСР, к числу
которых относят корневые, интегральные и частотные показатели.
11.2
Корневые показатели качества АСР
Корневые показатели определяются расположением корней
характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости, при
этом ориентируются на корень, наиболее близкий к мнимой оси.
В соответствии с этим различают: степень апериодической и степень
колебательной устойчивости. Степенью апериодической устойчивости называют
абсолютную величину действительного корня, расположенного наиболее близко к
мнимой оси (, рис. 11.2 а). Степенью колебательной устойчивости называют
отношение вещественной части наиболее близкого к мнимой оси комплексного корня к
коэффициенту при его мнимой части (m, рис. 11.2 б),
jω
jω

tg   m

ω

η0
α
α0
а)
α
б)
Рис.11.2.
т.е. тангенс угла (), образованного верхней мнимой полуосью комплексной плоскости и
прямой, проведенной из начала координат через ближайший к мнимой оси
комплексный корень. Степень колебательной устойчивости однозначно определяет
величину степени затухания:
2
m T
y (t )
Ye  (t T ) sin  (t  T )   
t
 mT
T
  1 3  1

1

e

1

e

1

e
 1  e  2m
t
y1 (t )
Ye sin( t   )
11.3. Интегральные критерии качества АСР
Простейшей линейной интегральной оценкой для апериодических процессов
является интеграл

S   y (t )dt ,
0
где
y (t )  y (t ) - значение регулируемой величины (отклонение ее от номинального
значения, принимаемого равным нулю) для астатических АСР
(рис. 11.3 а)
и

y (t )  y ycm  y (t ) - отклонение текущего значения регулируемой величины от ее
нового установившегося значения для статических систем
(рис. 11.3 б)
y
y
∆y
∆y
S
S
∆y(t)
yустyст
y(t),∆y(t)
y(t)
0
0
t
а) астатическая АСР
t
б) статическая АСР
Рис.11.3.
В устойчивой системе y (t )  0 при t   (рис. 11.3 а,б) и этот интеграл будет
конечен. Линейная интегральная оценка является неприемлемой для оценки
колебательных процессов, так как в этих случаях может оказаться, что интегральная
оценка будет минимальной при больших знакопеременных отклонениях регулируемой
величины (рис. 11.4 а,б). В связи с этим для оценки качества колебательных процессов
применяют квадратичный интегральный критерий

I   (y(t )) 2 dt ,
где
y (t )   y (t )  y ycm  y (t )  y ()

0
- отклонение текущего значения регулируемой
величины от ее нового установившегося значения в конце процесса регулирования
(рис. 11.4 а,б) – динамическая ошибка. (Для астатических АСР y уст  y   0 ).
y
∆y
y
∆y
S
S
∆y(t)
y(t)
0
∆y(t)
y(t)
t
а) астатическая АСР
0
yуст=y(∞)
t
б) статическая АСР
Рис.11.4.
Квадратичный интегральный критерий не зависит от знаков отклонения регулируемой
величины и тем самым однозначно определяет как величины отклонений, так и
длительность процесса регулирования.
Для обеспечения надлежащего качества переходных процессов, т.е. качества
АСР, необходимо стремиться к минимизации интегральных оценок.
Их вычисление можно осуществить различными математическими приемами.
Так, линейная интегральная оценка легко определяется с помощью преобразований
Лапласа, квадратичная - с помощью формулы Релея - Парсеваля на основе частотных
спектров входной и выходной функций.
При использовании ЭВМ удобно применить один из численных методов
интегрирования функций.
11.4. Типовые процессы регулирования
11.4.1.
Апериодический процесс с минимальным временем регулирования
Показателями качества (рис. 11.5 ) являются отклонения y1 регулируемой
величины (динамическая ошибка для астатической АСР и статическая ошибка для
статической АСР) и время регулирования t p .
y
y
y1(t)=y1
0
y1(t)=y1(=yуст=y(∞))
t
0
t
tp
tp
а) астатическая АСР
б) статическая АСР
Рис.11.5.
11.4.2.
1.
Процесс регулирования с 20%-ым перерегулированием
Статическая АСР
За время регулирования t p мин отклонение регулируемой величины достигает
установившегося значения, а затем превышает его на 20% (рис. 11.6 а)
y
y
0.2y1
y1(t)=у1
y1(t)=yуст=y(∞)
t
0
t
0.2y1
0
tp МИН
tрМИН
а) статическая АСР
2.
б) астатическая АСР
Рис.11.6.
Астатическая АСР
За время регулирования t p мин отклонение регулируемой величины достигает
прежнего (нулевого) значения, а затем достигает отрицательного максимума и опять
возвращается к исходному значению. Вторая амплитуда отклонения составляет 20%
динамической ошибки y1 (рис. 11.6 б).
11.4.3.
Процесс
критерием
регулирования
с
минимальным
квадратичным
интегральным
Процесс характеризуется наибольшими перерегулированием (40÷45)%,
временем регулирования, регулирующим воздействием, но наименьшими величинами
амплитуд колебаний регулируемой величины (рис.11.7).
y
t
J   ( y (t )) 2 dt
0
y1
y3
0
y2
y5
y4
t
tр
Рис.11.7.
11.5. Частотные критерии качества АСР
11.5.1.
Запас устойчивости по модулю и фазе
Запасом устойчивости по модулю (с) называют длину отрезка, равную
расстоянию от точки пересечения АФХ разомкнутой системы с отрицательной
вещественной полуосью комплексной плоскости до точки с координатами (-1; j 0 )
(рис.11.8).
jV(ω)
c
-1

0
ω=∞
u(ω)
W pc(jω) ω
0
Рис.11.8.
Запасом устойчивости по фазе () называют угол, образованный отрицательной
вещественной полуосью комплексной плоскости и вектором АФХ разомкнутой системы,
модуль которого равен единице.
11.5.2.
Частотный показатель колебательности
Степень удаления АФХ разомкнутой системы от критической точки (-1; j 0 ) может
быть оценена также величиной максимума АЧХ замкнутой системы.
Допустим, что АФХ разомкнутой системы имеет вид, показанный на рисунке 11.9.
jV(ω)
-1
B
ωi
W pc(jω)
0
ω=∞
u(ω)
Аi ω
0
Рис.11.9.
АЧХ замкнутой системы определяется через W pc ( j ) как:
W3 ( j ) 
W pc ( j )
1  W pc ( j )
 A3 ( )
В соответствии с рисунком 11.9 для i -ой частоты можно записать:
OAi
A3 ( i ) 
,
BAi
1  W pc ( j )  W pc ( j )  (1) ,
Если в АСР имеется интегрирующее звено, то модуль АФХРС уходит в
бесконечность при   0 , например, рисунок 11.9. В этом случае отношение длин
отрезков ОАi и ВАi при   0 равно единице. Если система статическая, то это
отношение при   0 близко к единице



W pc ( j )
K pc 

 A3 cm (0) 

1  K pc 
1

W
(
j

)
pc

 0


При повышении частоты точка Ai перемещается вверх по характеристике. При
этом, если АФХРС располагается достаточно далеко от точки (-1; j 0 ), то длина отрезка
ВАi будет все время больше длины отрезка ОАi и при    стремится к единице.
Одновременно длина отрезка ОАi, уменьшаясь, стремится к нулю. Поэтому при
изменении частоты 0     АЧХЗС монотонно убывает от единицы до нуля
(рис. 11 10, кривая 1).
Если АФХРС расположена близко к точке (-1; j 0 ), то длина отрезка ВАi при некоторых
значениях частот меньше длины отрезка ОАi. Поэтому в некотором диапазоне частот
0     резон . АЧХЗС возрастает от единицы до некоторого максимума, затем
(вследствие того, что ОАi  0 при    , а ВАi  1 ) стремится к нулю (рис. 11.10,
кривая 2 ).
Чем ближе АФХРС к точке (-1; j 0 ), тем больше максимум АЧХЗС, и, если АФХРС
проходит через точку (-1; j 0 ), то A3 max   , т.е. в точке, соответствующей    резон
АЧХЗС терпит разрыв (рис. 11.10, кривая 3).
A3
3
2
1
1
ω
0
ωрез
Рис.11.10.
Таким образом, чем больше максимум АЧХЗС, тем ближе АФХРС к точке (-1; j 0 ), т.е.
тем меньше запас устойчивости замкнутой АСР. Частоту, соответствующую максимуму
АЧХЗС, называют резонансной .
Величину максимума АЧХЗС называют частотным показателем колебательности (М).
Между показателем колебательности М, запасом устойчивости по модулю С и запасом
устойчивости по фазе  имеются однозначные зависимости:
1
1 

C
,   arccos 1 
.
M 1
2M 2 

12. РАСЧЕТ НАСТРОЕК ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
12.1
ОДНОКОНТУРНЫХ АСР
Определение оптимальных настроек линейных одноконтурных АСР
по АФХ объекта регулирования.
12.1.1.
Условие оптимальности
Линейная АСР может рассматриваться как частотный фильтр, через
который проходят входные воздействия прежде, чем попасть на ее выход .
Идеальной системой регулирования называют систему, которая обладает
абсолютными фильтрующими свойствами, т.е. систему, АЧХ которой по каналу
возмущающего воздействия равна нулю во всем диапазоне частот 0     . С точки
зрения наилучшего реагирования на управляющее воздействие АЧХ системы по
каналу этого воздействия должна быть равна единице.
В соответствии с этим можно записать:

Y ( j )
 0,
 W ( j ) 
Fk ( j )
 fk , y

 W ( j )  Y ( j )  1
 y3 , y
Y3 ( j )
В реальных АСР эти условия выполнены быть не могут. Задача выбора
параметров настройки и заключается в том, чтобы в наибольшей степени приблизить
АЧХ системы к приведенным характеристикам. Эта задача является типичной задачей
теории приближения функций. Так как в большинстве АСР возмущающие воздействия
имеют наибольшую интенсивность в области низких частот, а реальные элементы, из
которых состоят системы регулирования, обладают некоторой инерционностью, то в
целом АСР являются низкочастотными фильтрами.
Поэтому в качестве приближения целесообразно выбрать такой метод, который
гарантировал бы наилучшее приближение в окрестности точки с нулевой частотой.
Поставленному требованию достаточно хорошо удовлетворяет метод приближения
путем разложения функции в ряд Тейлора.
d
1 d2
W ( j )  W ( j 0) 
W ( j 0)  
W ( j 0)  2  
fk , y
fk , y
d f k , y
2 d 2 f k , y
Отклонение частотной характеристики от нуля тем меньше, чем больше членов
ряда обращаются в нули.
Отсюда, условия оптимальности запишутся в виде:

 W ( j 0)  0
fk , y

 d
W ( j 0)  0

d

fk , y









 W y( ,jy0)  1
3

 d
W ( j 0)  0

d

y3 , y








Исходя из этих условий, для различных законов регулирования получены
условия оптимальности, приведенные в таблице 12.1.
Таблица12.1.
Закон
Параметры
Регулирования настройки
П
Kp
И
р
ПИ
K p , Tu
ПИД
K p , Tu , Tпр
Условие оптимальности
K овк 1

 мин ,
K ор K p
К р  макс.
K овк 1

 мин ,
K ор  p
 р  макс.
K овк Т и

 мин ,
K ор K p
Кр
K овк Т и

 мин ,
K ор K p
Кр
Ти
Ти
 макс.
 макс.
Т пр  0,5Т и
12.1.2.
Графо - аналитический расчет настроек АСР по показателю колебательности
12.1.2.1. Условие обеспечения заданного значения показателя колебательности
В качестве меры устойчивости системы используют максимум амплитудно частотной характеристики системы по каналу управляющего воздействия, т.е.
показатель колебательности (М). Чем больше максимум АЧХЗС, тем ближе АФХРС к
критической точке (-1; j 0 ) комплексной плоскости и, следовательно, тем меньше запас
устойчивости имеет система.
Чтобы система имела некоторый заданный запас устойчивости, т.е. чтобы
максимум АЧХЗС не превышал некоторого значения Мзад, необходимо, чтобы АФХРС
не заходила во внутрь области, ограниченной окружностью радиуса
M
rзад  2 зад
M зад  1
с центром на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии
M2
R0  2 зад
M зад  1
от начала координат (рис. 12.1 а)
jV(ω)
jV(ω)
rзад
rзад
Mзад
M<Mзад
Mзад
M=Mзад
u(ω)
0
u(ω)
0
R0
R0
W pc(jω)
а)
б)
Рис.12.1.
При равенстве показателя колебательности его заданному значению АФХРС
должна касаться этой окружности (рис. 12.1.б).
Проведем прямую ОА, касающуюся окружности заданного индекса Мзад
(рис. 12.2).
Из рисунка 12.2 имеет:
rзад
R0
Подставляя сюда значения rзад и R0 , получим:
1
1
sin  
,   arcsin
M зад
M зад
jV(ω)
R0
Mзад
rз
sin  
ß
01
u(ω)
0
A
Рис.12.2.
Это означает, что независимо от масштаба графика окружность с индексом Мзад
всегда остается касательной к прямой ОА, проведенной из начала координат под
углом  к отрицательной вещественной полуоси. Следовательно, при величине
коэффициента передачи регулятора, соответствующей заданному запасу устойчивости
системы, окружность с индексом Мзад должна касаться одновременно АФХРС (рис. 12.1
б) и прямой, проведенной под углом  к отрицательной вещественной полуоси из
начала координат комплексной плоскости (рис. 12.2).
Введя АФХРС W pc1 ( j ) при единичном коэффициенте передачи регулятора,
несложными геометрическими построениями можно показать, что:
r
M
1
K p опт  зад  2 зад  ,
r
M зад  1 r
где r - радиус окружности, касающейся одновременно АФХРС W pc1 ( j ) и прямой,
проведенной под углом
1
M зад
к отрицательной вещественной полуоси из начала координат комплексной
плоскости.
  arcsin
Отсюда
регуляторов.
вытекает
следующий
порядок
расчета
оптимальных
настроек
12.1.2.2. АСР с П - регулятором
1. Вычерчивают АФХРС W pc ( j )  K pWоб ( j ) при Кр=1 (единичном коэффициенте
передачи), т.е. Wоб ( j ) (рис.12.3)
jV(ω)
Mзад
r
01
ß
0
u(ω)
A
W pc(jω)
Рис.12.3.
2. Из начала координат проводят прямую под углом
1
  arcsin
M зад
к отрицательной вещественной полуоси.
3. Чертят окружность с центром на вещественной отрицательной полуоси,
касающуюся одновременно АФХ объекта регулирования и этой прямой.
4. По замеренному значению радиуса r окружности находят значение оптимального
коэффициента передачи
r
M
1
K p опт  зад  2 зад 
r
M зад  1 r
12.1.2.3. АСР с И - регулятором
1. Для удобства графических построений АФХ И - регулятора представляют в виде:
p
Kp
W p И ( j ) 

,
j jT p 
где
K p - условный коэффициент передачи И - регулятора;
T p - условная постоянная времени И - регулятора
2. По АФХ объекта (статического) строят АФХРС при K p =1 и некотором значении
постоянной T p , величину которой можно выбирать любой, удобной для построения
характеристики.
W ( j ) Wоб ( j )  j 2
W pc1 ( j )  об

e ,
jT p 
T p
Для
построения
этой
характеристики
нужно
каждый
вектор
Wоб ( j ) ,
предварительно разделенный по модулю на T p ,повернуть на 90º по часовой стрелке
(рис. 12 4).
jV(ω)
Аоб(ωi)
Tpωi
0
φоб(ωi)
u(ω)
900
Aоб(ωi)
ωi
ωi
Рис.12.4.
2. Проводят прямую под углом
1
M зад
к отрицательной вещественной полуоси и чертят окружность с центром на этой
полуоси, касающуюся одновременно этой прямой и характеристики W pc1 ( j ) . Величина
  arcsin
K p , обеспечивающая необходимую величину Мзад, определяется как:
К р опт 
rзад
M
1
 2 зад 
r
M зад  1 r
Следовательно,
 p опт 
M зад
1

2
M зад  1 T p r
12.1.2.4. АСР с ПИ - регулятором
Разомкнутая АСР с ПИ - регулятором описывается передаточной функцией

1 
Wоб ( p)
W pc ( p)  W p ПИ ( p)Wоб ( p)  K p 1 
T
p
u


При Кр=1
W ( p)
W pc1 ( p)  Wоб ( p)  об
Tu p
Отсюда

W ( j )
W ( j )  j 2
W pc1 ( j )  Wоб ( j )  об
 Wоб ( j )  об
e
jTu
Tu
Это означает, что включение ПИ - регулятора приводит к добавлению к векторам
Wоб ( j ) этих же векторов, повернутых на 90º по часовой стрелке и измененных по
модулю в 1
Tu 
раз (рис. 12.5.a.).
jV(ω)
jV(ω)
kp=1
Aоб ( i )
Tи  i
φоб(ωi)
r3
u(ω)
o3
r2
o2
0
u(ω)
φрс(ωi)
Aоб(ωi)
Apc(ωi)
∆A(ωi)
0
900
α
ωi
ß
Tи=а
Tи=с Tи=b
Aоб ( i )
Tи  i
б)
a)
Рис.12.5.
Отсюда следует, что АФХРС при Кр=1 может быть построена графически при
наличии графика Wоб ( j ) или рассчитана аналитически.
Из рисунка 12.5 а имеем:
2
2
2
A pc
1 ( )  Aоб ( )  A ( ),

 pc ( )   об ( )       об ( )  arctg

A( ) 
,
Aоб ( ) 
откуда
A pc1 ( ) 
Aоб ( )
1  Tu2 2 ,
Tu 

 pc ( )    об ( )  arctg

1 
Tu  
Здесь  об ( ) берется по абсолютному значению. Далее расчет настроек
производят в порядке:
1. Тем или иным способом строят семейство АФХРС при Кр=1 и некотором
фиксированном значении времени изодрома Ти, (т.е. временем изодрома Ти
задаются).
2. Проводят прямую из начала координат под углом  к отрицательной вещественной
полуоси и строят окружности, касающиеся одновременно этой прямой и
характеристик для различных значений Ти (рис.12.5 б).
3. Вычисляют оптимальные значения коэффициента передачи регулятора по
найденным значениям радиусов соответствующих окружностей
M
1
K роптi  2 зад 
M зад  1 ri
4. По результатам расчета в плоскости параметров Кр-Ти строят границу заданного
показателя колебательности (рис. 12.6)
kp
М<Mзад
М=Mзад
кр опт
М>Mзад
0
Ти опт
Tи
Рис.12.6.
Оптимальной настройке будет соответствовать точка в той области, для которой
Kp
 max . Этому условию удовлетворяет точка касания касательной, проведенной из
Tu
начала координат к границе заданного показателя колебательности (к границе
устойчивости, заданной показателем колебательности М).
12.1.2.5
АСР с ПИД - регулятором
Для определения оптимальных настроек ПИД - регулятора строится
семейство АФХРС для единичного коэффициента передачи регулятора и
различных значений времени изодрома при фиксированном оптимальном
значении отношения времени предварения ко времени изодрома
Tпр
Kп 
 0,5
Tu
Передаточная функция разомкнутой системы с ПИД - регулятором имеет вид:
1
W pc ( p )  W рпПИД ( р )Wоб ( р )  К р (1 
 Т пр р )Wоб ( р )
Ти р
При Кр=1
1  TпрTu p 2
W pc1  Wоб ( р) 
Wоб ( р ) ,
Ти р
2
Tпр
1  Tu p 2 K п
W pc1  Wоб ( р ) 
Wоб ( р ) , K п 
Ти р
Tи
Подставив p  j , получим:

j
1  K п Tu  2
1  K п Tu  2
Wоб ( j )  Wоб ( j ) 
Wоб ( j )e 2
jТ и 
Т и
Следовательно, включение ПИД - регулятора приводит к добавлению к векторам
Wоб ( j ) этих же векторов, повернутых на 90º по часовой стрелке и измененных по
2
W pc1 ( j )  Wоб ( j ) 
1  K п Tu  2
модулю в
раз (рис. 12.7)
Tu 
2
2
jV(ω)
φоб(ωi)
u(ω)
φрс(ωi)
Aоб(ωi)
0
ωi
Apc1(ωi)
900
ωi
α
ωi A 
1  k п Т и2 i2
Wоб ( i )
Tи  i
Рис.12.7.
В соответствии с рисунком 12.7
Apc1 ( )  Aоб ( )  A2 ( ) ,
2
 рс1 ( )   об ( )    ,
А( )
  arctg
.
Аоб ( )
Подставив значение A( ) ,находим:
Apc1 ( ) 
Aоб ( )
2
2
Tu  2  (1  K п Tu  2 ) 2
Tu 
1  К п Т и2 2 

Т и


Далее расчет настроек ПИД регулятора аналогичен расчету настроек ПИ - регулятора.

 рс1 ( )    об ( )  arctg
12.1.2.6. Расчет приближенных настроек П и ПИ - регуляторов с помощью АФХОР
Из рассмотренной методики расчета оптимальных настроек АСР
вытекает, что основное значение для расчета имеет участок АФХОР,
расположенный вблизи ее пересечения с отрицательной вещественной
полуосью комплексной плоскости.
Это обстоятельство позволяет осуществить приближенную настройку регулятора,
предполагая, что в окрестности частоты, соответствующей точке пересечения
характеристики с отрицательной вещественной полуосью, АФХОР мало отличается от
характеристики интегрирующего звена с запаздыванием.
На этом основании для случая М=1,62 (что соответствует =0,75 ) получены
упрощенные расчетные соотношения для П и ПИ - регуляторов, приведенные в
таблице 12.2.
Таблица 12.2
Приближенная настройка
П – регулятора
ПИ – регулятора
Кропт
0,87
 об об
Кропт
Тиопт
Для астатических объектов
0,55
 об об
5,0 об
Для астатических и статических объектов
0,56
Aоб ( )
0,35
Aоб ( )
7,86

В таблице 12.2 обозначены:
 - частота, при которой  об ( )   , т.е. частота, при которой
Wоб ( j ) пересекает отрицательную вещественную полуось комплексной
плоскости;
Aоб ( ) - модуль вектора Wоб ( j ) , фаза которого  об ( )   , т.е. модуль вектора
Wоб ( j ) , соответствующего точке пересечения Wоб ( j ) с отрицательной
вещественной полуосью ;
 об - время запаздывания в объекте;
 об - коэффициент передачи астатического объекта регулирования.
12.1.3. Графо - аналитический расчет настроек АСР по запасу устойчивости, по
модулю и фазе.
12.1.3.1. АСР с П и И - регуляторами
Если АФХ объекта имеет вид, показанный на рисунке 12.8. а,б, а
необходимый запас устойчивости по модулю С и фазе , то можно записать
следующее соотношение для П - регулятора (рис. 12.8 а).
jV(ω)
jV(ω)
С
С
-1
А2 
0
Д4 Д1
А1
Д2 Д3
u(ω)

-1
Д4 Д1
0
ω1
u(ω)
900
Д2 Д3 ω2
W об(jω)
А1
A2
а) П – регулятор
W об(jω)
б) И - регулятор
Рис.12.8.
OA2  K pC  1  C ; OA1  K p  1; OA1  K pC  1  C
Для И - регулятора (рис. 12.8 б)
OA2
OA1
OA1
 K pC  1  C;
 K p  1 ;
 K pC  1  C.
2
1
1
где
K pC - коэффициент передачи регулятора, обеспечивающий запас устойчивости по
модулю С;
K p - коэффициент передачи регулятора, обеспечивающий запас устойчивости по
K pC
фазе ;
- коэффициент передачи регулятора, обеспечивающий запас устойчивости по
модулю С и фазе  .
регулятор
Эти соотношения позволяют найти параметры настройки П и И - регуляторов
(табл. 12.3)
Таблица 12.3
П
И
Параметры настройки П и И - регуляторов, при которых АСР выходит на
границу заданного запаса устойчивости
по модулю С
K pc 
K pc 
1 C
OA2
1 C
2
OA2
по фазе 
K p 
K p 
1
OA1
1
1
OA1
по модулю С и фазе 
K pc 
K pc 
1 C
OA1
1 C
1
OA1
12.1.3.2. АСР с ПИ - регулятором
Включение ПИ - регулятора приводит к тому, что к каждому вектору K pWоб ( j k )
добавляется вектор K pWоб ( j k ) , повернутый на 90º по часовой стрелке и измененный
по модулю в 1
раз (рис. 12.9).
Tu  k
Из рисунка 12.9 а следует, что модуль A pc ( k ) АФХРС является гипотенузой
OB k Dk . Гипотенуза любого прямоугольного треугольника является диаметром
окружности, в которую вписан этот треугольник. Это дает возможность найти
интересующие нас параметры настройки Кр и Ти с помощью следующих построений.
jV(ω)
φpc(ωk)
Aоб(ωк)
kpAоб(ωк)
0
Ak
Apc(ωk)
900
Bk
k p Aоб ( k )
Дк
Tи  k
Рис.12.9.
1. Запас устойчивости по модулю С (рис. 12.10).
Из рисунка 12.10 следует:
OB k  K pc OAk
OB k
Tuc k
jV(ω)
B k D1 
С
-1
Д4 Д1
Bk
0
u(ω)
Аk
W об(jω)
Рис.12.10.
Отсюда
OB k
OB k
; Tuc 
OAk
Bk D1 k
2. Запас устойчивости по фазе (рис. 12.11)
jV(ω)
K pc 

-1
Д4
Д2
u(ω)
0
Ak
Ck
Wоб(jω)
Рис.12.11.
В соответствии с рисунком 12.11
OC k  K p OAk ,
u(ω)
D2 C k 
OC k
,
Tu  k
Отсюда
OC k
OC k
, Tu 
OAk
D2 C k  k
K p 
3. Запас устойчивости по модулю С и фазе  (рис. 12.12)
jV(ω)
С
-1
Д4 Д1
u(ω)
0
Ak
Д2 Д3
W об(jω)
Ek
Рис.12.12.
Из рисунка 12.12 имеем
OE k  K pc OAk ,
D3 E k 
OE k
Tuc  k
Следовательно
OE k
OEk
; Tuс 
OAk
D3 Ek k
Расчетные соотношения сведены в таблицу 12.4.
K pс 
Таблица 12.4
Параметры настройки ПИ – регулятора, при которых АСР выходит на границу
заданного запаса устойчивости
по модулю С
OBk
K pc 
OAk
Tuc 
OBk
D1Bk k
по фазе 
OC k
K p 
OAk
Tuc 
OC k
D2Ck k
по модулю С и фазе 
OE k
K pc 
OAk
Tuc 
OE k
D3 Ek k
4. Далее по данным табл. 12.4 чертятся кривые границ заданного запаса
устойчивости в плоскости параметров Кр-Ти, проводятся касательные к ним из начала
координат и находятся оптимальные значения настроечных параметров Кропт и Тиопт
(рис.12.13).
Кр
C  0;   0
C  0;   0
Крс
Кр 
Крс 
C  0;   0
Ти
0
Tис Tи
Tис
Рис.12.13.
12.1.3.3. АСР с ПИД - регулятором
Включение ПИД - регулятора приводит к добавлению к векторам K pWоб ( j )
векторов K pWоб ( j ) , повернутых на 90º по часовой стрелке и измененных по модулю в
1  K п Tu2 k2
раз (рис. 12.14).
Tu  k
jV(ω)
φpc(ωk)
Aоб(ωк)
kpAоб(ωк)
0
u(ω)
Ak
Apc(ωk)
900
Bk
Дк
k p Aоб ( k )
Tи  k
(1  k п Т и2 к2 )
Рис.12.14.
Это позволяет находить настроечные параметры ПИД - регулятора с
помощью графических построений (табл. 12.5), аналогичных случаю АСР с ПИ регулятором.
Таблица 12.5
Параметры настройки ПИД - регулятора, при которых АСР выход на границу
заданного запаса устойчивости
по модулю С
по фазе 
по модулю С и фазе 
С
-1

-1
0
Д1
Ак
Д2
OBk
OAk
Д3
Ск
K p 
1
K п k2
Т прс  К пТ ис
А
0
Ak
W об(jω)
Tuc   A  A2 

С
0
Ак
Вк
K pc 
-1
D1Bk
2 К п k OBk
OC k
OAk
Tu    B  B 2 
K pc 
1
K п  k2
Т пр  К п Т и
B
Ек
W об(jω)
D2 C k
2 К п  k OC k
W об(jω)
OE k
OAk
Tuc  Tu
Т прc  К п Т иc
B
D3 E k
2 К п  k OE k
Построив по данным таблицы 12.5 границы заданного запаса устойчивости в
плоскости параметров Кр-Ти (рис. 12.13),находят оптимальные значения настроек ПИД регулятора.
12.1.4. Определение оптимальных настроек АСР с помощью расширенных АФХОР
12.1.4.1. Расширенная АФХ
При анализе устойчивости с помощью критерия Найквиста на к омплексную
переменную передаточной функции накладывалось ограничение pk  j k .
Введем расширенное ограничение
pk   k  j k  m k  j k   k ( j  m)

где m 
- степень колебательной устойчивости. Этим поставлено условие, чтобы

корни характеристического уравнения АСР располагались внутри контура АОВ
(рис. 12.15) комплексной плоскости или чтобы комплексная переменная Р
передаточной функции изменялась по закону
p  m  j
jV(ω)
B
tg 

k
m
k
ωk
0
u(ω)
αk
A
Рис.12.15.
Частный случай передаточной функции, когда комплексная переменная
p  m  j ,
называют расширенной частотной функцией. Она может быть получена как отношение
вынужденного движения на выходе из системы ко входному затухающему
синусоидальному воздействию
f (t )  Fe t sin t  Fe  mt sin t
При изменении 0     получим расширенную АФХ.
В случаях ограничения p  j с использованием критерия Найквиста
находилась область устойчивого регулирования в плоскости параметров регулятора.
При ограничении p  m  j совокупность настроечных параметров регулятора,
соответствующая контуру АОВ (рис.12.15) в комплексной плоскости корней, образует
внутри области устойчивости в плоскости параметров Кр-Ти линию равного затухания
(т.е. линию заданной степени колебательной устойчивости).
Таким образом, расчет АСР на заданную степень затухания можно произвести,
используя расширенную АФХ.
Расширенную АФХ записывают в виде:
W (m, j )  P(m,  )  jQ(m,  )  A(m,  )e j ( m, ) ,
где P(m,  ), Q(m,  ), A(m,  ),  (m,  ) - расширенные вещественная, мнимая, амплитудная
и фазовая частотные характеристики.
12.1.4.2. Расчетные соотношения
По аналогии с условием границы устойчивости (W pc ( j )  1) можно записать
условие границы запаса устойчивости в виде:
W pc (m, j )  1 ,
где W pc ( m, j ) - расширенная АФХ разомкнутой АСР.
Это равенство означает наличие затухающих колебаний с определенной
степенью затухания (  1  e 2m ) .
Расширенная АФХРС может быть представлена в виде произведений
соответствующих характеристик регулятора и объекта
W pc (m, j )  W p (m, j )  Wоб (m, j )  1
Отсюда
W p (m, j ) 
1
Wоб (m, j )
или
Ap (m,  )e
j p ( m , )

e  j
Aоб (m,  )e j об ( m, )
и
1

*
 Аоб
(т,  )
 А р (т,  ) 
А
(
т
,

)

об
  р (т,  )  (   об (т,  )),
где
A p (m,  ), Aоб (m,  ) - расширенные АЧХ регулятора и объекта;
 p (m,  ),  об (m,  ) - расширенные ФЧХ регулятора и объекта;
*
Aоб
(m,  )
- обратная расширенная АЧХ объекта;
 об (m,  ) берется здесь по абсолютному значению.
Решением системы уравнений относительно настроечных параметров
Кр
Т пр
С1  К р ; С 0 
; С 2  Т пр  К пТ и (где К п 
)
Ти
Ти
получены расчетные уравнения для определения настроек различных регуляторов.
Например, для ПИ - регуляторов
*
С1  К р  т sin  об (т,  )  cos  об (т,  )Аоб
(т,  )

Kp

*
С

  (m 2  1) sin  об (т,  ) Аоб
(т,  )
0

T
u

или
*
С1  К р  mQоб
(т,  )  Pоб* (т,  )

Kp

2
*
 С 0  T  (m  1)Qоб (т,  )
u

*
*
Здесь Pоб ( m,  ) и Qоб ( m,  ) - обратные расширенные вещественная и мнимая
частотные характеристики объекта регулирования.
Расчетные соотношения можно выразить и через обычные расширенные АФХ.
Подставив
W p ( m, j )  Pp ( m,  )  jQ p ( m,  )
и
Wоб (m, j )  Pоб (m,  )  jQоб (m,  )
в уравнение границы заданного запаса устойчивости (через m)
W pc (m, j )  W p (m, j )  Wоб (m, j )  1 ,
получим расчетное уравнение в виде
Р p (m,  )  jQ p (m,  ) Р об (m, )  jQоб (m, )  1  0
Например, для ПИ – регулятора с передаточной функцией
K
K

K
1 
  K p  p  K p  u , K u  p
W p ПИ ( p)  K p 1 
Tu
Tu p
p
 Tu p 
подстановкой p   ( j  m) получим
Ku m

 Pp (m, )  К р   (m 2  1) ,

 Ku
 Q p (m, ) 
,

 (m 2  1)
Отсюда
mQоб (m, )  Pоб (m, )

К


,
р
2

Aоб (m, )

Q (m, )
 Ku   (m 2  1) об2
,

Aоб (m, )
где
2
Aоб ( )  Pоб2 (m,  )  Qоб
(m,  )
12.1.4.3.
Порядок расчета
Из приведенных расчетных соотношений вытекает следующий порядок
расчета настроек АСР:
1. Из передаточной функции Wоб ( p) подстановкой р   ( j  m) получают расширенные
частотные характеристики объекта: Pоб (m,  ) , Qоб (m,  ) , Aоб (m,  ) ,
*
*
(m,  ) .
( m,  ) , Aоб
 об (m,  ) , Pоб* ( m,  ) , Qоб
2. Подставляя в эти уравнения численные значения параметров объекта и выбранную
величину m, получают
С1  F1 ( ) ; С0  F2 ( ) .
3. В последние уравнения подставляют численные значения частоты от нуля до
значения, при которым С0 становится отрицательной величиной.
4. Строят
в
координатах
С0-С1
линию
равной
степени
затухания
2tm
  const (  1  e ) в виде совмещенного графика зависимостей С1  F1 ( ) и
С0  F2 ( ) .Все значения пар С0,С1, соответствующие отдельным точкам линии
равной степени затухания (рис. 12.16), обеспечивают заданную степень затухания
 (заданную величину m)
С0
ω1
ω2 Ψзад=const
ω0
ω3
Ψ<Ψзад
ω4
ω5
0
С1
Рис.12.16.
5. Выбор оптимальных значений С0 и С1.
Из рисунка 12.16 видно, что одну и ту же степень затухания  можно получить при
различном сочетании параметров настройки регулятора.
Однако,
другие
показатели
качества
регулирования
(максимальное
динамическое отклонение, степень перерегулирования, длительность переходного
процесса ) при этом будут различными. На основе
многочисленных расчетов
переходных процессов для различных пар С0,С1 и экспериментальным путем
установлено, что оптимальному процессу соответствует точка на кривой   const ,
лежащая "немного" правее и ниже максимума этой кривой.
Для более определенного выбора точки на кривой   const , соответствующей
оптимальной настройке регулятора, следует на этом же графике линии   const
построить кривую квадратичной интегральной оценки

I   y 2 (t )dt
0
Для этого значение интеграла следует представить в виде конечной суммы
через амплитудно-частотный спектр переходного процесса y (t )
I
где
1

k
 ср


к 1
Азс2 (к )
 ,
(к ) 2
Азс ( ) -
АЧХ замкнутой АСР по каналу рассматриваемого возмущения
относительно регулируемой величины;
 ср - частота среза.
При этом значения интегрального критерия достаточно рассчитать для тех
нескольких пар параметров, которые расположены на максимуме и справа от
максимума кривой   const . Минимум этого интеграла и определит точку на кривой
  const , соответствующую оптимальной паре настроек С0 и С1 (рис. 12.17).
C0
Ψзад=const
I
Cопт
Iмин
C1
Рис.12.17.
12.2.
Переходные процессы (процессы регулирования) в замкнутой АСР
12.2.1.
Введение
Последним этапом определения оптимальных настроек регуляторов является
расчет переходных процессов в замкнутой АСР. По показателям качества
переходного процесса и судят о оптимальности найденных настроечных параметров
регуляторов.
Для расчета переходных процессов можно применять различные методы:
решение дифференциального уравнения замкнутой системы; обратное
преобразование Лапласа с использованием теорем разложения Хевисайда; метод zформ, основанный на дискретном преобразовании Лапласа; метод переменных
состояния; метод, основанный на использовании частотных характеристик.
В последнем случае наиболее употребительным является метод Акульшина,
основанный на использовании вещественных и мнимых или амплитудных и фазовых
частотных характеристик.
12.2.2.
Расчет переходного процесса по вещественной и мнимой или амплитудной и
фазовой частотным характеристикам
Расчет основан на представлении процесса регулирования как реакции
системы на периодическую последовательность прямоугольных импульсов,
причем колебания мыслятся такими, что переходный процесс заканчивается в
течение полупериода. В этом случае в течение каждого полупериода
переходный процесс будет совпадать с реакцией системы на ступенчатое
воздействие.
Входное воздействие в виде последовательности прямоугольных импульсов (в
виде последовательности скачкообразной функции) и соответствующую ей реакцию
системы можно представить суммами нечетных гармоник разложения функций
воздействия и реакции в соответствующие ряды Фурье. В связи с этим выражение для
определения изменения регулируемой величины y (t ) при скачкообразном входном
воздействии f (t ) высотою F принимает вид:
l
y(t )  y(lt ) 
tp
t
m
  F  k Re( k
2
l 0
1
k 1
0
) sin( k 0 lt )  Im( k 0 ) cos( k 0 lt )
или
l
y( t )  y(lt ) 
tp
t
2

l0
где
A зс (k 0 )
sin (k 0lt )   зс (k 0 ) ,
k
k 1
m
F
Re(), Im( ), Aзс (),  зс () -вещественная, мнимая, амплитудная, фазовая частотные
характеристики замкнутой системы;
 0 -частота основной гармоники разложения функций в ряд
Фурье;
k -номер нечетной гармоники;
m -номер старшей гармоники разложения;
t p -время регулирования (время переходного процесса);
t -шаг по оси времени при построении кривой переходного
процесса;
l
tp
t

-символ, обозначающий последовательность
l
ординат переходного
l 0
процесса в шаговые моменты времени;
m

-символ суммирования.
k 1
Частоту  0 разложения выбирают так, чтобы значение амплитуды при   m 0
не превышало (510)% резонансной амплитуды (рис. 12.18), т.е. из условия
Азс (  т 0 )  (0,05  0,1) Азс ( резон )
Азс
Азс(ωрез)
Азс(0)
0
ωрез
ω
Рис.12.18.
При расчете можно ограничиться значениями m в пределах (1117).
1
рабочей частоты, при этом под
6
рабочей частотой понимают частоту, которая соответствует выбранным оптимальным
настройкам регулирующего устройства.
Продолжительность t p переходного процесса можно оценить по резонансной
Частоту  0 можно также принимать равной
частоте, как
t p  (2  3)
2
 рез
 (2  3)T рез
Расчет следует выполнять с таким шагом t , чтобы за время регулирования
получилось (2030) ординат кривой переходного процесса.
13. РАСЧЕТ НАСТРОЕК ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДВУХКОНТУРНЫХ АСР
13.1
Введение
Определение оптимальных настроек двухконтурных АСР сложнее по
сравнению с одноконтурной. Надежное решение задачи возможно только при
использовании моделирующих устройств. При этом область приближенных
параметров настройки, в которой следует искать точное значение их, находят
предварительным расчетом.
Методика таких расчетов базируется на предположении о возможном расчете
какого либо контура независимо от другого. Могут быть и случаи, когда расчет
двухконтурных систем путем выделения одного контура и расчета его настройки
независимо от другого практически определяет параметры, близкие к оптимальным.
Часто встречаются два таких случая:
1. В процессе работы АСР один из регуляторов может быть отключен и в работе
участвует только один регулятор.
2. Инерционность одного контура значительно меньше инерционности другого. В этом
случае переходные процессы в малоинерционных контурах успевают практически
стабилизироваться до того, как они возникнут во втором контуре.
13.2. Двухконтурная АСР с корректирующим и стабилизирующим регуляторами.
Примером такой АСР может быть система регулирования давления пара в
паровой магистрали за котлом, поддерживающая давление в этой магистрали путем
воздействия на задатчик регулятора тепловыделения в топке котла (рис. 13.1)
Рпара
пар
(y(t))
РД
Q
(y1(t))
РТ
ур(t)
топливо
Рис.13.1.
На рисунке 13.1:
РД – регулятор давления, воспринимающий сигнал по давлению пара пара за
котлом,
РТ – регулятор тепловыделения (регулятор топлива), воспринимающий сигналы
от регулятора давления и по тепловыделению в топке котла.
Регулятор давления является корректирующим регулятором, воспринимающим
сигнал по давлению пара и восстанавливающим его до прежнего номинального
(рабочего) значения при новой нагрузке котла. Эта схема является простейшей
разновидностью каскадных систем регулирования.
Для такой АСР можно рекомендовать следующую методику расчета
настроечных параметров.
Случай 1.
1. По передаточной функции Wоб1 ( p) , которая связывает промежуточную
регулируемую величину y1 (t ) с регулирующим воздействием y p ст (t ) (рис. 13.2),
находится оптимальная настройка стабилизирующего регулятора
Рст
предположении, что корректирующий регулятор Рк отключен.
Pk
Рст
yз(t)
yзк(t)
урст Wоб
y(t)
Wрк (Qзад)
Wрcт
(pзад)
(p)
W об1
y(t)
y1(t)
(p)
(Q)
в
Рис.13.2.
2. Определяется оптимальная настройка корректирующего регулятора. Для него
регулируемым объектом является система, состоящая из объекта и контура
стабилизирующего регулятора. Поэтому при расчете настроек корректирующего
регулятора нужно исходить из передаточной функции эквивалентного объекта.
W pcm ( p )
Wобэ ( p ) 
Wоб ( p ).
1  W pcm ( p )Wоб1 ( p )
Случай 2.
1. Если инерционность объекта относительно промежуточной регулируемой величины
y1 (t ) значительно меньше инерционности относительно основной регулируемой
величины y (t ) , то быстродействие регулятора Рст может быть сделано
значительно большим быстродействия регулятора Рк . В связи с этим, изменение
заданного значения y зк (t ) регулятору Рст происходит настолько медленно, что
практически этот регулятор успевает поддержать величину y1 (t ) почти точно на
заданном значении, т.е. в процессе работы y1 (t ) = y зк (t ) .
Тогда
Y ( p)  Wоб ( p)Yрст ( p),
Y1 ( p)  Wоб1 ( p)Yрст ( p),
Y1 ( p)  Yзк ( p),
Y ( p)
Y ( p) Wоб ( p)Y рст ( p) Wоб ( p)
( p)
Wобэ



1 
Yзк ( p) Y1 ( p) Wоб1 ( p)Y рст ( p) Wоб1 ( p)
2. После
определения
настройки
корректирующего
регулятора
находится
оптимальная настройка стабилизирующего регулятора по передаточной функции
( p)
Wобэ
2  Wоб1 ( p)  Wоб ( p)W рк ( p) ,
вытекающей из рисунка 13.3.
yз(t)
y(t)
Wоб
Wрст
yзк(t)
Wрк
yрст(t)
yзк(t)+y1(t)
Wоб
Рис.13.3.
13.3. Двухконтурная АСР с дополнительным сигналом из промежуточной точки
объекта регулирования
Примером такой АСР является система регулирования температуры пара
первичного перегрева (рис. 13.4).
ПП
КВ (tпп,0C)
y(t)
(tпп,0C)
y1(t)
впрыск
Д
РТ
КпВ
Рис.13.4.
На рисунке:
КВ – коллектор впрыска;
y (t ) - основная регулируемая величина (температура пара за пароперегревателем
ПП);
y1 (t ) - температура пара за КВ (дополнительная регулируемая величина);
РТ – регулятор температуры пара за ПП;
Д – дифференциатор;
КлВ – клапан впрыска.
В качестве впрыскиваемой воды может применяться общестанционный
конденсат, питательная вода, собственный конденсат.
Дифференциатор в системе применен не для реализации ПИД – закона
регулирования, а для формирования исчезающего в статике дополнительного сигнала.
Схеме на рисунке 13.4 соответствует структурная схема, приведенная на рисунке 13.5.
f(t)
Рт
yз(t)
tппз
Woб(p)
y(t)
(tпп)
Wp(p)
-
Woб1
- yд(t)
Д
Wд(p)
y(t)
(tпп)
y1(t)
(tпп)
Рис.13.5.
Для такой АСР можно рекомендовать следующую последовательность расчета
настроек.
1. Расчет настроек дифференциатора
Заменяя внутренний контур с обратной связью, в которой имеется
дифференциатор, контуром с единичной обратной связью, рабочую структурную схему
(рис. 13.5) можно представить в виде структурной схемы, приведенной на рисунке 13.6.
Эта схема принципиально не отличается от структурной схемы системы со
стабилизирующим и корректирующим регуляторами. Однако, особенностью ее
является то, что корректирующий регулятор в обязательном порядке должен быть
ПИ – регулятором, в котором роль коэффициента передачи играет 1 , а роль
Кд
времени изодрома – постоянная времени дифференциатора Тд.
T p 1
1
1
1 Tд p  1
1



; W p ПИ ( p)  K p u
{ W pk ( р ) 
; Кр 
; Ти  Тд }
Кд
Wд ( p ) K Tд p
K д Tд p
Tu p
д
Tд p  1
Рk
Pcт
yз(t)
tппз
W pk
-
1

Wд ( p )
Wp(p)
Woб(p)
Wд(p)
y(t)
Woб1
-
y(t)
W обэ1
y1(t)
Рис.13.6.
Далее, считая, что внутренний контур значительно менее инерционен по
сравнению с внешним, рассчитывают настройку корректирующего ПИ – регулятора по
передаточной функции эквивалентного объекта
Wоб ( p)
Wоб1 ( p)
По найденным настройкам корректирующего ПИ – регулятора находят значения
настроечных параметров дифференциатора
Wобэ1 ( p) 
Кд 
1
; Тд  Ти .
Кр
2. Расчет настроек регулятора
Исходную структурную схему (рис. 13.5) преобразуют к виду, удобному для
расчета настроек регулятора (рис. 13.7).
yз(t)
Wp(p)
yp(p)
-
Wоб(p
)
Wобэ1
y(t)+yд(t)
-
Wд(p)
W обэ2(p)
y(t)
yд(t)
Рис.13.7.
В соответствии с рисунком 13.7 эквивалентный объект, характеристики которого
должны быть использованы для расчета настроек регулятора, описывается
передаточной функцией
Wобэ2 ( p)  Wоб1 ( p)Wобэ1 ( p)  Wд ( p)
или
Wобэ2 ( p)  Wоб ( p)  Wоб1 ( p)Wд ( p) .
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ АСР С НЕЛИНЕЙНЫМИ
РЕГУЛЯТОРАМИ
14.1
Введение
Наибольшее распространение в нелинейных АСР получили релейные
двухпозиционные регуляторы, статическая характеристика которых изображена на
рисунке 14.1, и релейные регуляторы с постоянной скоростью исполнительного
механизма (ИМ).
yp
-a
+a
+B
2а
0
-B
z(t)
Рис.14.1.
Для аналитического расчета такого класса нелинейных (релейных) АСР
разработаны сравнительно простые методы определения значения параметров
настройки.
14.2
АСР с двухпозиционным регулятором
Структурная схема АСР с двухпозиционным регулятором (ДР) представлена
на рисунке 14.2
f(t)
y3(t)
DP
yp(t
)
-
Wоб(p
)
y(t)
Рис.14.2.
1. Если объект регулирования является идеальным интегрирующим звеном с
передаточной функцией
K
Wоби ( p )  об ,
p
то при поступлении на вход объекта регулирующего воздействия y p  B
(рис. 14.3 а) в соответствии со статической характеристикой (рис. 14.1) регулятора
регулируемая величина y(t ) будет изменяться по линейному закону y(t )= K об Bt . Если
на вход объекта от регулятора будет подано воздействие y p   B , то регулируемая
величина будет изменяться по линейному закону y(t )=  K об Bt , т.е. в обратную
сторону.
При этом в замкнутой АСР при релейной статической характеристике
регулятора с зоной
yp(t)
+B
t1
0
t2
Tk
t
-B
а)
+a
0
t
-a
t1
t2
Tk
б)
Рис.14.3.
неоднозначности 2а (рис. 14.1) в установившемся режиме возникнут устойчивые
автоколебания (рис. 14.3 б).
2. Если объект является апериодическим звеном первого порядка с передаточной
функцией
K об
,
Tоб p  1
то при поступлении на его вход регулирующего воздействия y p   B (рис. 14.4 а)
регулируемая величина
yp(t)
+B
t1
t2
t
0
Tk
Wоб ( p) 
-B
y(t)
а)
+KобB
+a
t
0
-a
t1
-KобB
t2
Tk
б)
Рис.14.4.
будет изменяться по экспоненциальному закону
y (t )   K об B(1  e

t
Tоб
).
Характер автоколебаний в замкнутой АСР будет иметь вид, показанный на
рисунке 14.4 б.
В общем случае регулятор может оказывать на объект в одну сторону
воздействие Yp  B1 , а в другую Yp   B2 (при B1  B2 ). Характер колебаний в этих
случаях будет таким же, однако t1  t 2 . При, например, B1  B2 будет иметь место
неравенство t1  t 2 .
3. Если объект более высокого порядка с достаточной для практики точностью может
K
быть представлен интегрирующим звеном с запаздыванием ( Wоб ( p )  об e p ) или
p
K об
апериодическим звеном первого порядка с запаздыванием ( Wоб ( p) 
e p ), то
Т об p  1
диапазон колебаний изменения регулируемой величины будет больше зоны
неоднозначности регулятора, так как регулятор будет реагировать на изменение
регулируемой величины с запаздыванием . При этом и период Тк колебаний будет
сдвинут на величину .
Расчетными показателями качества переходных процессов являются
длительность t1 положительной и t2 отрицательной амплитуд автоколебаний, период Т к
колебаний, частота n переключения регулятора, положительная Y1 и отрицательная Y2
амплитуды отклонения регулируемой величины y (t ) от заданного значения, диапазон
 y колебаний регулируемой величины.
Примеры расчетных формул*)1 приведены в таблице 14.1. Из таблицы 14.1
следует, что уменьшение зоны неоднозначности 2а приводит к уменьшению периода
колебаний Тк регулируемой величины и увеличению числа n переключений регулятора.
Увеличение постоянной времени Тоб при прочих равных условиях увеличивает
период колебаний и уменьшает частоту переключения регулятора.
1 *)
Наладка автоматических систем и устройств управления технологическими
процессами / Под ред. Клюева А.С. -М.: Энергия. 1977.- 400с
Таблица 14.1
Примеры формул для расчета показателей качества АСР с
двухпозиционными регуляторами.
 Параметры
пп статической
характеристики
регулятора
В1  В2  В
1
а0
В1  В2  В
2
а0
Передаточная
функция
объекта
Wоб ( р)
К об
р
Расчетные формулы
t1  t 2 
K B
2a
4а
; Тк 
; n  об
K об B
К об В
2a
К об р
е
р


a 
a 
 ; Т к  4 
;
t1  t 2  2 
K об B 
K об B 


K об B
; у1  у 2  а  К об В ;
n
2(a  К об В )
у  2(а  К об В )
К об
Т об р  1
K об B  a
;
K об B  a
K Ba
;
Tk  2Т об ln об
K об B  a
2
n
; у1  у 2  а ;
Tk
t1  t 2  Т об ln
В1  В2  В
3
а0
t


Tоб

у  2a ( К об В  a ) 1  e


В1  В2  В
4
14.3
а0
К об
е р
Т об р  1




t

 2 K об B
Т об

t1  t 2    Т об ln
e
 K об B  a

Т к  2t1 ;
t


2
Tоб

n
; у1  у 2  К об В 1  e

Tk

у  2у1

;


t


  ae Tоб ;


АСР с регулятором с постоянной скоростью исполнительного механизма
Регуляторы с постоянной скоростью исполнительного механизма (РПС)
используются для регулирования только статических объектов.
1
Параметрами настройки РПС – регуляторов являются скорость
Т им
перемещения исполнительного механизма ( Т им - время перемещения) и зона  н
нечувствительности.
Диапазоны изменения параметров настройки ограничены: зона  н не должна
1
быть больше допустимой статической ошибки; скорость
можно изменить только
Т им
ступенчато
в
пределах,
определяемых
конструктивными
особенностями
исполнительного механизма и регулирующего органа.
Для анализа систем с РПС – регуляторами используют только два
критерия оптимальности – минимальное время регулирования и отсутствие
перерегулирования.
Примечание:
Процесс с минимальной квадратичной интегральной оценкой при  н  0
неосуществим, так как интеграл квадрата ошибки равен бесконечности. Для получения
процесса с
20% -ым перерегулированием нужно изменять настройки при изменении величины
возмущения в связи с зависимостью переходного процесса от последнего, что
нецелесообразно.
На рисунке 14.5 а,б приведены номограммы*)2, позволяющие выбрать значения
параметров настройки,
K об
K об Т 1
 н Т им
область
 н Т им
неустойчивости
2.00
6
1.00
5
0.60
4
0.40
1
3
0.20
2
2
1
0.10
T 2 0.08
1
2
 об
0
0.06
T1
Tоб
0.2 0.4
0.6
0.8 1.0
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2.0 4.0
6.0
а)
б)
Рис.14.5.
обеспечивающие переходные процессы с минимальными временем регулирования
(кривые 1) и без перерегулирования (кривые 2) для объектов второго порядка
(рис. 14.5 а) и первого порядка с запаздыванием (рис. 14.5 б).
Параметры настройки, определенные по этим номограммам, будут
оптимальными при возмущениях как по заданию, так и по нагрузке. Кривая 2 рисунка
14.5 б построена для случая, когда зона  н нечувствительности равна допустимой
удоп статической ошибке.
Определение параметров настройки РПС – регулятора осуществляют в
порядке:
1. Выбирают зону нечувствительности
 н  (0,5  0,9) удоп ,
учитывая при этом, что точность регулирования и длительность переходного
процесса возрастают с уменьшением значения  н .
2 *)
Справочник по наладке автоматических устройств контроля и регулирования
/ Под ред. А.Д. Нестеренко. -Киев: Наукова думка. 1976 – 840с.
2. С помощью номограмм (рис. 14.5) по отношениям
комплекса

Т2
или об находят значение
Т1
Т об
( К об Т 1 )
( К об )
или
( нТ им )
( нТ им )
3. Определяют соответствующее значение Тим:
1
1
или Т им 
.
Т им 
 К обТ 1   н
 К об об   н





Т
К
Т

Т
 н им  об 1
 н им  К об об
4. Если окажется, что реализовать найденное таким образом значение Т им нельзя, то
выбирают другое значение  н и повторяют расчет.
ЧАСТЬ 2
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ С ЦИФРОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
15.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ АСР
15.1. Импульсный элемент. Дискретные сигналы. Решетчатая функция.
В технике управления технологическими процессами наряду с
непрерывными применяют дискретные системы, в которых контур управления
замыкается на определенный промежуток времени, в связи с чем воздействие
на объект осуществляется не непрерывно, а импульсами.
В паузах между импульсами система разомкнута. Импульсный элемент,
размыкающий и замыкающий контур системы регулирования, является элементом
дискретного действия, преобразующим непрерывную функцию f (t ) вещественного
переменного t в последовательность импульсов, в дискретную функцию.
Преобразование непрерывной функции в дискретную с помощью импульсного
элемента называют квантованием. Различают квантование по времени, по уровню и по
времени и уровню.
В дискретных системах квантованный по времени входной сигнал модулирует
последовательность дискретных выходных импульсов. При этом образование
дискретных сигналов импульсными устройствами осуществляется на основе двух
видов модуляции – амплитудно–импульсной (АИМ) или широтно–импульсной (ШИМ).
При АИМ образуются импульсные узкие сигналы разной высоты и одинаковой
ширины, следующие один за другим в тактовые моменты времени 0Т,1Т,2Т,…,nТ,
где Т – период чередования (повторения) импульсов, период квантования.
При ШИМ на выходе импульсного элемента в тактовые моменты времени
образуются импульсы одинаковой высоты и шириною, изменяющейся в зависимости от
амплитуды входного сигнала в тактовые моменты времени f nT  или f n . Функцию,
значения которой определены в дискретные моменты времени nT, называют
решетчатой функцией времени.
Операция замены непрерывной функции решетчатой f n  f (t )
t  nT
показана на
рисунке 15.1.
f(t)
f[n]
f(t)
t
0T 1T 2T
3T
4T
5T
Рис.15.1.
Изображенные на рисунке 15.1 ординаты называют дискретами исходной
непрерывной
функции.
Аналогом
производных
непрерывных
функций
и
дифференциальных уравнений являются разности (прямые и обратные) и разностные
уравнения, т.е. первоначальной математической основой теории дискретных систем
являются разностные уравнения или, иначе, уравнения в конечных разностях.
15.2. Z-преобразование
Для анализа непрерывных линейных систем вместо дифференциальных
уравнений используют интегральное преобразование Лапласа.
Для анализа дискретных систем вместо разностных уравнений применяют
аналогичное дискретное преобразование путем суммирования – z-преобразование.
Если f[n] решетчатая функция, то прямым z-преобразованием называют
функцию:

F ( z )   f nZ  n
n 0
Интерес представляют такие значения z, при которых ряд

 f nZ
n
сходится и
n 0
функция F (z ) существует. Если для последовательности f[n] существует такое число R,
1
что при z  R ряд сходится, то величину  
называют радиусом сходимости.
R
Решетчатую функцию f[n] называют оригиналом, функцию F (z ) - прямым
z-преобразованием или z-изображением функции f[n]. В символической форме прямое
z-преобразование записывают как:
F ( z)  z f n или F ( z)  f n
Модулирующий односторонний сигнал может возникать не точно в момент
времени t=0, а с некоторым запаздыванием . Если запаздывание равно целому числу
периодов квантования   rT , то для получения z-изображения модулированной
последовательности импульсов достаточно z-изображение для   0 умножить на Z  r
(теорема запаздывания)
z f n  r   Z  r z f n
Если запаздывание составляет только часть периода квантования   T (при
0<), то


n 1
n 1
F ( z ,  )   f nT  T Z  n  f (n   )T Z  n
Для использования в практических расчетах это z-изображение удобно
переписать в функциональную зависимость от параметра С  1   , заменив 
значением   1  С
(рис. 15.2)

F ( z, C )   f (n  C  1)T Z  n
n 1
f
1T
0
  T
(1   )T  CT
t
С  1   ,   1  С , (n   )T  (n  C  1)T
Рис.15.2.
В соответствии с теоремой запаздывания (для случая r  1 ) получаем:

F ( z , C )  Z 1  f (n  C )T Z  n
n 1
Это выражение определяет модифицированное прямое z-преобразование.
В качестве примера в таблице 15.1 приведены z-преобразования непрерывных
функций вещественного переменного t: единичной скачкообразной функции 1(t),
единичной линейной функции t, показательной функции e  at .
В общем случае, при произвольном запаздывании сначала следует определить
число r целых периодов квантования на интервале времени запаздывания  (рис. 15.3)
и параметр
(1  r )T  
С
,
T
после чего z-изображение можно определить соотношением
F ( z )  Z  r F ( z, C ) ,
т.е. в общем случае, при произвольном запаздывании z-изображение модулированной
последовательности
импульсов
равно
модифицированному
z-изображению,
r
умноженному на Z .
Таблица 15.1
F (z )
F ( z, C )
N
f (t )
П.п.
1( t )
1
z
1
z 1
z 1
2
t
Tz
( z  1) 2
CT
T

z  1 ( z  1) 2
3
e  at
z
z  e  aT
e  aCT
z  e  aT
0T 1T
rT

2T
3T
λT
(1-λ)T=CT
t
  rT  T ; 1    C;   1  C;   rT  (1  C )T ;   rT  T  CT ;
CT  T  rT   ; CT  (1  r )T   ; C 
(1  r )T  r
T
Рис.15.3.
Нахождение решетчатой функции (оригинала) по ее z-изображению называют
обратным z-преобразованием и осуществляют с помощью контурного интеграла
f n  
1
F ( z ) z n 1 dz

2j
В символической форме обратное z-преобразование записывают как:
f n  Z 1F ( z ) или f n  F (z)
15.3
Дискретное преобразование Лапласа
В z-преобразовании аргумент z может быть любой комплексной
переменной, удовлетворяющей условию
z R
Однако, интерес представляет частный вид z-преобразований, называемый
дискретным преобразованием Лапласа, в котором z  e TP , т.е. когда z-изображение
решетчатой функции

F ( z )  z f n    f n z  n
n 0
является функцией аргумента q=TP:


n 0
n 0
F ( q)  F * ( p )   f n e  nTP   f n e  nq
Здесь комплексная величина P  C  j , где С - абсцисса абсолютной сходимости.
Если С<, то ряд F * ( p ) сходится и решетчатая функция f n имеет некоторое
значение, однако при условии, что функция f (t ) не имеет разрывов непрерывности в
моменты посылок импульсов. Дискретное преобразование Лапласа записывается как:
F * ( p)  D f n, f n  D 1 F * ( p)
Между дискретным и интегральным преобразованиями Лапласа имеется
однозначная зависимость. Используя свойства импульсной  -функции, разложение в
ряд Фурье и теорему смещения в области комплексного переменного, можно показать,
что
1 
1 
2
L f * (t )  F * ( p)   F ( p  jn кв )   F ( p  jn )
T n  
T n  
T
Здесь
 кв - частота квантования,
Т - период квантования.
16. ЦИФРОВЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ




16.1. Канал дискретного преобразования сигнала
Вычислительные устройства цифровых контроллеров, применяемых для
управления технологическими процессами, являются дискретными системами,
оперирующими с дискретными сигналами, т.е. сигналами, принимающими
определенные значения только в дискретные равноотстоящие моменты времени через
интервал повторения (интервал квантования).
Схема подключения цифрового вычислительного устройства (ЦВУ) к каналу
преобразования непрерывного сигнала приведена на рисунке 16.1
x(t)
АЦП
x[nT]
ЦВУ
y[nT]
ЦАП
y(t)
Рис.16.1.
Входной непрерывный сигнал x(t) в АЦП (аналого-цифровой преобразователь)
преобразуется в дискретную последовательность чисел x[nT], которая поступает на
вход ЦВУ. Здесь она преобразовывается в соответствии с заложенным в него
алгоритмом в синхронную последовательность чисел y[nT], которая затем в цифроаналоговом преобразователе (ЦАП) преобразовывается в непрерывный сигнал y(t).
Так как дискретные сигналы представляют собой последовательности чисел, то
применить к ним математический аппарат преобразований Лапласа и Фурье
невозможно. Однако, это затруднение может быть преодолено переходом к
соответствующей модели этих сигналов.
Поскольку дискретная последовательность чисел определяет значения
непрерывного сигнала в дискретные моменты времени, в качестве модели такой
последовательности можно выбрать последовательность бесконечно коротких
импульсов так, чтобы величина каждого импульса равнялась заменяемому числу.
Такую последовательность импульсов называют последовательностью
модулированных  -импульсов и отмечают * сверху.
Например, символ x * (t ) означает модулированную последовательность
импульсов с периодом повторения Т, величина каждого импульса равняется значению
непрерывного сигнала x(t ) в моменты посылок импульсов. Модулированная
последовательность  -импульсов имеет изображения Лапласа и Фурье, которые также
отмечаются * . ( X * ( p), X * ( j )).
На рисунке 16.2 последовательность чисел x[nT], определяющих дискретные
значения непрерывного сигнала x(t ) , графически изображена точками. Модель этой
последовательности в виде модулированной последовательности  -импульсов x * (t )
изображена на рисунке последовательностью стрелок соответствующей высоты.
x[nT]
t
0
T
x*(t)
t
0
T
Рис.16.2.
Переход от дискретных сигналов xnT  и Y nT  к их моделям x * (t ) и Y * (t ) в
схеме на рисунке 16.1 требует соответствующей замены АЦП и ЦАП их моделями.
16.2. Аналого-цифровой преобразователь. Дельта-импульсный модулятор
АЦП на входе в ЦВУ должен быть заменен  -импульсным модулятором
(рис. 16.3), преобразовывающим непрерывный сигнал x(t ) в модулированную
последовательность  -импульсов
x * (t )  x(t ) * (t )
Блок
последовательности
единичных импульсов
g*(t)
x(t)
Модулятор
x*(t)
Рис.16.3.
В соответствии с дискретным преобразованием Лапласа
1 
X * ( p )   x( p  jn кв )
T n  
или
1 1
1
1 
X * ( p)   X ( p  jn кв )  X ( p)   X ( p  jn кв )
T n  
T
T n 1
ЦВУ является фильтром низкой частоты. Предполагая, что ЦВУ не пропускает
гармоник n  1 и выше, при n  0 имеем:
1
X * ( p)  X ( p)
T
Отсюда передаточная функция  -импульсного модулятора
Х * ( р) 1
W м ( р) 
 .
Х ( р)
Т
Модулятор ведет себя как безынерционное звено и представляет собой ключ
мгновенного срабатывания, замыкаемый в тактовые моменты времени, определяемые
периодом квантования. На схемах такой модулятор изображают рисунком 16.4
x(t)
x*(t)
1
T
Рис.16.4.
16.3. Цифровое вычислительное устройство
ЦВУ являются фильтрами низкой частоты и реализуют программу
дифференцирования, причем работают всегда в режиме реального времени. Для
выполнения математических операций ЦВУ затрачивает время, равное периоду
квантования Т. После этого сигнал с выхода ЦВУ поступает через ЦАП на объект
управления. Для осуществления операций дифференцирования необходимо брать
разность будущего и текущего значений х * (t ) . Получение будущего значения сигнала
вызывает сдвиг фаз на выходном регистре. Таким образом, реализация программы
дифференцирования в реальном масштабе времени должна осуществляться в
соответствии с
X * (t p  T )  X * (t p  2T )
Y * (t ) 
T
Преобразуем это выражение по Лапласу
Y * ( p) 
e TP X * ( p)  e 2TP X * ( p) 1  e TP TP

e X * ( p)
T
T
Отсюда
W * ( p) 
Y * ( p) 1  e TP TP

e
X * ( p)
T
или (полагая e TP  z )
1  z 1 1 z  1
W * ( z) 
z  2
T
Tz
16.4. Цифро-аналоговый преобразователь. Демодулятор
Упрощенная принципиальная схема такого демодулятора изображена на
рисунке 16.5
R2
R1
Y
1
T
y*(t)
y(t)
C
Рис.16.5.
В преобразователь входят импульсное устройство, регистры R1 и R2,
конденсатор С и операционный усилитель У. В момент замыкания ключа конденсатор
быстро заряжается и запоминает поступающее на него напряжение, которое с
течением времени уменьшается по экспоненциальному закону.
Формы входного у * (t ) и выходного y (t ) сигналов изображены на рисунке 16.6.
y*
y*(0)
y*(1T)
y*(2T)
y*(3T)
y*(4T)
t
0
1T
2T
3T
4T
y
y0
y1
y2
y3
y4
0
1T
2T
3T
4T
t
Рис.16.6.
Для упрощения экспоненциальные изменения у (t ) представим в
прямоугольных, которые можно записать как сумму двух ступенчатых функций
y (t )  1u (t )  1u (t  T ) ,
где u (t )   -функция.
Входной сигнал запишем в виде
Y * (t )  u (t )
Применив преобразования Лапласа, получим:
1 1
1  e TP
,
Y ( p)   e TP 
p p
p
Y * ( p)  1 ,
Подставив сюда e TP
Y ( p) 1  e TP
W * ( p) 

Y * ( p)
p
 z , получим z-передаточную функцию демодулятора.
1  z 1 z  1
W * ( z) 

p
zp
виде
Демодулятор, описываемый такой передаточной функцией, т.е. генерирующий
прямоугольные сигналы на выходе, называют экстраполятором нулевого порядка.
Такой преобразователь сглаживает выходной сигнал, запоминая величину входного на
период квантования. Если сглаживание выходного сигнала выполняется в виде
трапеций, то демодулятор (ЦАП) называют экстраполятором первого порядка.
В этом случае
( z  1) 2
(1  e TP ) 2
и W ( z) 
W * ( p) 
pz 2
p
В результате рассмотренных преобразований модель канала дискретного
преобразования сигналов (рис. 16.1) приобретает вид, показанный на рисунке 16.7
x(t)
x*(t)
1
T
МДС
y*(t)
ДМ
y(t)
Рис.16.7.
Здесь входной непрерывный сигнал x(t ) преобразуется  -импульсным
модулятором в модулированную этим сигналом последовательность  -импульсов
x * (t ) , которая затем в непрерывной модели дискретной системы (МДС), в
соответствии
с
требуемым
алгоритмом,
преобразуется
в
выходную
последовательность у * (t ) , в демодуляторе(ДМ) из последовательности  -импульсов
у * (t ) формируется непрерывный сигнал выхода у (t ) .
17. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ДИСКРЕТНОЙ АСР С ЦИФРОВЫМ РЕГУЛЯТОРОМ
Структурная схема системы с цифровым регулятором приведена на рисунке 17.1
 (t )
y3(t)
y3[nT]
АЦП
ε[nT]
ЦВУ
μ(nt)
ЦАП
μ(t)
y(t)
ОP
- y[nT]
АЦП
y(t)
Рис.17.1.
Здесь
в АЦП осуществляется преобразование (квантование) непрерывных
сигналов изменения регулируемой величины y (t ) и управляющего воздействия y3 (t ) в
дискретные последовательности чисел ynT  и y3 nT  . В измерительном устройстве
регулятора образуется последовательность дискретных значений рассогласования
 nT  , которая подается на вход ЦВУ регулятора. В ЦВУ вырабатывается дискретное
регулирующее воздействие  nT  , которое в ЦАП преобразуется в непрерывное
перемещение  (t ) регулирующего органа.
V (t ) - приведенное к выходу объекта реальное возмущение  (t ) .
В соответствии с проведенной заменой сигналов отдельных элементов
системы их моделями, общая модель системы с цифровым регулятором может быть
представлена схемой, приведенной на рисунке 17.2
 (t )
y (t) ε*[t]
*
3
y3(t)
W p*
μ*(t)
μ(t)
y(t)
Wоб
Wдм
1
T
-y*(t)
-1
y*(t)
1
T
y(t)
Рис.17.2.
В этой схеме регулируемая величина y (t ) в  -импульсном модуляторе
преобразуется в последовательность модулированных  -импульсов y * (t ) , которая
затем подается на элемент сравнения. На этот же элемент подается другая
y3 * (t ) , определяющая заданные значения
последовательность импульсов
регулируемой величины y3 (t ) в дискретные моменты времени. Последовательности
импульсов y3 * (t ) , y * (t ) синхронны.
В элементе сравнения образуется последовательность импульсов рассогласования
 * (t ) . Эта последовательность подается в дискретный регулятор ( W p * ), на выходе
которого образуется последовательность регулирующих импульсов  * (t ) . Далее в
демодуляторе ( Wдм ) эта последовательность импульсов преобразуется в непрерывное
регулирующее воздействие  (t ) , подаваемое на вход объекта ( Wоб ). Демодулятор
( Wдм ) и объект ( Wоб ) с импульсным модулятором на его выходе можно рассматривать
совместно, как показано на рисунке 17.3
 (t )
1

W об
T
y *3 (t)
ε*[t]
W
*
p
μ*(t)
 * (t )
μ(t)
Wоб
Wдм
-1
-y*(t)
y*(t)
1
T
y*(t)
Рис.17.3.
Входной  * (t ) и выходной y * (t ) сигналы этой совокупности элементов
представляют собой синхронные последовательности модулирующих  -импульсов,
что позволяет рассматривать эту совокупность как отдельный дискретный элемент
системы, называемой дискретным объектом регулирования.
В результате система может быть представлена состоящей из дискретного
регулятора ( W p * ) и дискретного объекта ( Wоб * ) (рис. 17.4).
  (t )
y3(t)
ε*[t]
μ*(t)
W
-y*(t)
*
p
-1
y*(t)
Wоб
y*(t)
Рис.17.4.
Все
сигналы
в
такой
системе
представляют
собой
синхронные
последовательности модулированных  -импульсов. Оба элемента системы имеют
обычное математическое описание, т.е. имеют обычные передаточные функции и
динамические характеристики, а все сигналы могут быть преобразованы по Лапласу и
Фурье.
18. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНОЙ АСР С ЦИФРОВЫМ РЕГУЛЯТОРОМ
Для системы с цифровым регулятором, приведенной к модели системы,
состоящей из моделей дискретного регулятора и дискретного объекта, можно
записать передаточные функции (рис. 17.4):
1. Разомкнутой АСР
W pc * ( z )  W p * ( Z )Wоб * ( z ) ,
где W p * ( z ) и Wоб * ( z ) - передаточные функции дискретных регулятора и объекта.
2. Замкнутой системы по каналу приведенного к выходу объекта возмущающего
воздействия
Y * ( z)
1
Ф* ( z ) 

V ,z
V * ( z ) 1  W pc * ( z )
где
V * ( z ) - z-изображение приведенного к выходу дискретного объекта возмущения
 * (t ) , обусловленного действием на действительный непрерывный объект
реального возмущения f (t ) .
Изображение V ( p) приведенного возмущения для действительного объекта
записывается как
V ( p)  Wоб ( p) F ( p) ,
где
Wоб ( p) - передаточная функция непрерывного объекта по каналу действия
возмущения f (t ) ;
F ( p ) - изображение по Лапласу возмущающей функции f (t ) .
3. Замкнутой системы по каналу управляющего воздействия
W pc * ( z )
Y * ( z)
Ф * ( z) 

y3 , y
Y3 * ( z ) 1  W pc * ( z )
19. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ДИСКРЕТНЫХ АСР С ЦИФРОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
19.1 Линейный интегральный критерий качества
Для вычисления интеграла

 y(t )dt
0
от непрерывного сигнала y (t ) по z-изображению модулированной этим сигналом
последовательности  -импульсов y * (t ) при использовании метода прямоугольников с
шагом дискретности, равным периоду квантования, сначала нужно вычислить сумму
всех дискретных значений ynT  в моменты посылок импульсов (например, рис. 19.1)
y(n)
y[1T]
y[2T]
y[3T]
y[4T]
y[0T]
y[5T]
F
y[6T]
0T 1T 2T
3T 4T
5T
6T
7T
t
n 7
F  TY OT   TY 1T   ...  TY 7T   T (Y OT   Y 1T   ...  Y 7T )  T  Y nT 
n 0
Рис. 19.1

Для этого достаточно в формуле z-преобразования ( F ( z )   f nz  n ) положить z  1 .
n 0
Получим:

 ynT   Y * ( z) z  1
n 0
Далее находим


0
n 0
 y(t )dt  T  ynT   TY * ( z)
z 1
Условие оптимальности запишется как

 y(t )dt  TY * ( z) z  1  min
0
.
19.2. Квадратичный интегральный критерий
Для линейных непрерывных систем регулирования оценка качества
колебательных процессов производится квадратичным интегральным критерием

I   y 2 (t )dt  min
0
Для дискретных систем такой интегральный критерий можно записать в виде:


T2
I   y (t )dt  T  y nT  
2
n 0
0
2
2
n
T
 Y * ( j )

2
d  min ,
T
где
Y * ( j )  Y ( z )

 Y nT Z  n
z  e jT n  0
z  e jT
 -импульсной последовательности с
квантования непрерывной функции.
19.3.
- спектральная плотность модулированной
шагом
дискретности,
равным
периоду
Условие достаточности информации о изменении регулируемой величины
В дискретной системе в процессе ее функционирования контролируются только
дискретные значения изменения сигналов с интервалом дискретности (Т).
Изменения регулируемой величины, происходящие в промежутках между
посылками импульсов, никак не отражаются на результатах. В связи с этим
возможно, что система, обладая удовлетворительным затуханием дискретных
переходных процессов, в действительности оказывается неработоспособной из-за
существования слабо затухающих колебаний в промежутках между посылками
импульсов. Во внутренних контурах многоконтурных систем могут возникать
относительно высокочастотные колебания, которые могут незамеченными пройти
на выход внешнего контура, если период квантования выбран большим.
Отсюда вытекает целесообразность введения специфического для цифровых систем
добавочного (наряду с другими критериями) ограничения на допустимое значение
периода квантования, поскольку с увеличением периода квантования связано
увеличение потерь информации о контролируемых величинах в промежутках между
импульсами. Это ограничение можно трактовать условием достаточности информации
о изменении регулируемой величины.
Формально такое условие можно ввести различными способами, например, с
помощью импульсной теоремы Котельникова:
Для восстановления входной величины импульсного элемента частота
квантования  кв входного сигнала должна быть больше или равна удвоенной частоте
 к самой высокочастотной составляющей амплитудно-частотного спектра входной
величины
 кв  2 к
Отсюда, период квантования, удовлетворяющий условию достаточности
информации о изменении регулируемой величины, принимает значение
2


 кв 2 к  к
Большим частотам в амплитудно-частотном спектре соответствуют небольшие
амплитуды регулируемой величины. Поэтому, обозначая наибольшую частоту  к в
частотном спектре регулируемой величины, выше которой модуль частотной
характеристики разомкнутой системы является меньшим достаточно малой величины
 (например,  =0,01), т.е. может считаться равным нулю, через  ср (частоту среза),
Т
2

можно записать:
 к   ср 

Т
и
W pc * ( j )
или
  k
 W pc * ( j k )
 k   cp
 W pc * ( j cp )

 cp 

T
 W pc * ( j )  
T

W pc * ( j )  0
T

Решив уравнение W pc * ( j )  0 относительно периода квантования Т, находим
T
условие достаточности информации о изменении регулируемой величины в виде:
Т  Т пр 

.
 ср
20. СИНТЕЗ ТИПОВЫХ АЛГОРИТМОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ (ТИПОВЫХ ЗАКОНОВ
РЕГУЛИРОВАНИЯ) ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
Из выполнения условия получения регуляторов достаточной информации
вытекают следствия:
1.
Так как  -импульсы имеют спектральную плотность, равную единице, то
выполнение условия получения достаточной информации гарантирует практическое
отсутствие пульсаций квантования при действии любого случайного сигнала,
поступающего на вход регулятора. Отсюда следует, что при выполнении указанного
условия анализ дискретной системы регулирования, в частности расчет оптимальных
настроечных параметров, может осуществляться по простой расчетной схеме,
изображенной на рисунке 17.4.

2.
Малость модуля характеристики Ф * ( j ) при  
свидетельствует о том, что
T
спектр сигнала y (t ) на входе  -импульсного модулятора занимает полосу частот,
практически не выходящую за граничную частоту   
и, следовательно,
Т
составляющие спектра на выходе  -импульсного модулятора практически полностью
отфильтровываются системой. В этих условиях во внимание может приниматься
только основная составляющая спектра  -импульсной последовательности, по
отношению к которой  -импульсный модулятор ведет себя как непрерывное
безынерционное звено с коэффициентом передачи 1 . Это же означает, что
Т
устранение из схемы  -импульсного модулятора превращает систему в
непрерывную.
Соответственно исходная схема (рис. 17.4) может быть заменена схемой,
приведенной на рисунке 20.1.
W нp
yз(t)
ε(t)
-
1
T
 (t )
W p
Wд
W
y(t)
н
Рис.20.1.
Это схема обычной непрерывной системы, в которой передаточная
функция эквивалентного непрерывного регулятора принимает вид:
1
н
W p ( р, z )  W p * ( z )Wдм ( р, z )
T
Таким образом, появляется возможность расчетов дискретных систем с
использованием методов теории непрерывных систем.
Соотношение
1
W рн ( p)  W p * ( z )Wдм ( p, z )
T
позволяет, задавшись желаемым алгоритмом функционирования цифровой системы в
режиме получения достаточно полной информации о изменении регулируемой
величины, т.е. передаточной функцией эквивалентного непрерывного регулятора
Wpж ( p) , определить передаточную функцию цифрового регулятора Wpж (z) из
приближенного равенства
W рж ( p )  W рн ( p, z ) 
1
W p * ( z )Wдм ( p, z ) ,
T
т.е.
W p * ( z) 
TW pж ( p)
Wдм ( p, z )
Приближенность характера получаемого из этой формулы решения
определяется тем, что левая ее часть зависит только от z, а правая и от z и от p.
Записав Wдм ( p, z )  Wдмн ( p)Wдм * ( z ) , получим:
W p *( z ) 
TW pж ( p)
н
дм
W ( p)Wдм * ( z )

K * ( z)
,
Wдм * ( z )
где
K * ( z) 
TW рж ( p)
Wдмн ( p)
.
Таким образом, по желаемой передаточной функции W pж ( p) и передаточной
функции Wдмн ( p ) определяют
К * ( z) 
TW pж ( p)
Wдмн ( p)
,
после чего находят передаточные
непрерывного регуляторов
функции
W p * ( z) 
дискретного
и
эквивалентного
K * ( z)
Wдм * ( z )
и
1
W p * ( z )Wдм ( z , p )
T
Пример
Если демодулятор выполнен в виде экстраполятора нулевого порядка,
имеющего передаточную функцию
z 1
,
Wдм ( z, p) 
pz
z 1
1
Wдм * ( z , p ) 
то
и Wдмн ( p) 
z
p
Тогда
TW рж ( p)
К * ( z) 
 TPW рж ( p)
1
p
и
TPW рж ( p)
z
W p * ( z) 

TPW рж ( p)
z 1
z 1
z
Подставляя теперь передаточные функции W рж ( p) типовых линейных
W рн ( z , p ) 
регуляторов, получим:
1.
Интегральный закон регулирования
W рж ( p) 
Ku
p
Ku
 TK u ,
p
z
z
W p * ( z) 
K * ( z) 
TK u ,
z 1
z 1
1
1 z
z 1 Ku
W рн ( z, p)  W p * ( z )Wдм ( z, p) 
TK u

.
T
T z 1
pz
p
П - закон регулирования
W рж ( p)  K п ; К * ( z)  TPWрж ( p)  K пTP .
K * ( z )  TPW рж ( p )  TP
2.
Следовательно, речь идет об отыскании передаточной функции дискретной
системы, реализующей операцию дифференцирования. Передаточные функции
цифровых дифференциаторов можно выбирать в виде обратных передаточных
функций цифровых интеграторов.
Передаточная функция цифрового дифференциатора, обратная передаточной
функции цифрового интегратора, выполняющего интегрирование по правилу
прямоугольников, имеет вид:
1 z 1
Wд * ( z ) 
T z
Для такого дифференциатора
z
z
1 z 1
W р * ( z) 
K * ( z) 
K пT
 Kп ,
z 1
z 1
T z
W рн ( z , p ) 
1
1
z 1 Kп z 1
W p * ( z )Wдм ( z , p)  K п

,
T
T
pz
TP z
K п e TP  1 K п
K
1

(1  TP )  п (1  e TP ) .
TP
TP e
TP
TP
e
ПИ – закон регулирования
W рн ( p) 
3.
Этот закон может быть реализован суммированием передаточных функций
цифровых И- и П- регуляторов.
При
TK u z
W рИ * ( z ) 
и W рП * ( z )  K n
z 1
имеем
T
(  1) z  1
TKu z
TK u z  K n ( z  1)
T
WрПИ * ( z )  WрИ * ( z )  WрП * ( z ) 
 Kn 
 Kn u
z 1
z 1
z 1
T
(  1) z  1
1
1
z  1 Kn T
T
н
W рПИ ( z, p)  W рПИ * ( z )  Wдм * ( z, p)  K n u

(  1  z 1 )
T
T
z 1
pz
PT Tu
K
T
н
W рПИ
( p)  n (1   e TP ) ,
PT
Tu
где
К
К
Ки  п , Ти  п
Ти
Ки
4.
ПИД – закон регулирования
Подставив в К * ( z)  TPWрж ( p) передаточную функцию W рж ( p )  K n (1 
1
 Tд p ) ,
Tu p
получим:
T
 TP  TдTP 2 )
Tu
Если далее использовать дифференциатор с передаточной функцией
1 z 1
Wд * ( z ) 
,
T z
К * ( z)  K n (
то

T T
2T
T 
K n (1   д z 2  (1  д ) z  д 
Tu T
T
T

К * ( z) 
,
2
z
T
2T
T
T
(  1  д ) z 2  (1  д ) z  д
T
T
T
T
W p * ( z)  K n u
z ( z  1)
Передаточные функции эквивалентного непрерывного регулятора принимают
вид:
Wрн ( z, p) 
Kn
p

T Tд
Tд 1 Tд  2 
(1   )  (1  2 ) z  z  ,
Tu T
T
T


Kn 
T Tд
Tд ТР Tд  2ТР 
(1   )  (1  2 )е  е

p 
Tu T
T
T

Передаточные функции цифровых регуляторов, реализующие типовые законы
регулирования, сведены в таблицу 20.1.
Таблица 20.1
Закон
Передаточные функции
Регулирования
Символ
Значения
Wрн ( p) 
И
П
Ки
р
ТК и z
z 1
Ku
p
Ku
p
Wр ( p)
W p * ( z)
W pн ( z, p)
W рн ( p)
ПИ ПИД
Wр ( p)
ж
W рИ
( p)  К п (1 
(
Кп
Кп
Кп z 1
Тр z
Кп
(1  e Tp )
Тр
1
Ти р
Т
 1) z  1
Ти
z 1
W p * ( z)
Кп
W pн ( z, p)
Kn T
(  1  z 1 )
рT Tu
W рн ( p)
Kn T
(  1  e Tр )
рT Tu
K n (1 
)
(
Кп
1
Tu p
 Tд p )
Т
2T
T
Т
 1  д ) z 2  (1  д ) z  д
Ти
Т
T
T
z ( z  1)
Kn 
T Т
2Т
Т

(1   д )  (1  д ) z 1  д z  2 

Тр 
Tu Т
Т
Т

Kn 
Т Тд
2Т
Т

 )  (1  д )еТр  д е 2Тр 
(1 
Тр 
Ти Т
Т
Т

21. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ ЦИФРОВЫХ
РЕГУЛЯТОРОВ
Из изложенного ранее вытекает, что в системах регулирования с цифровыми
регуляторами могут наблюдаться три режима работы в зависимости от выбранного
значения периода квантования.
1. Режим работы при относительно малом периоде квантования, когда цифровой
регулятор осуществляет регулирование практически так же, как осуществлял бы
регулирование соответствующий непрерывный регулятор.
Передаточная функция цифрового регулятора W pн ( р) в этом случае практически не
отличается от передаточной функции W рж ( р) .
2. Режим работы при сравнительно большом периоде квантования, но не
превышающем предельного значения, определяемого условием достаточности
информации об изменении регулируемой величины, иначе условием малости
пульсации квантования
T

 cp
Цифровой регулятор в динамическом отношении по-прежнему может
рассматриваться как непрерывный регулятор.
Однако, его передаточная функция W pн ( р) может существенно отличаться от
W рж ( р) .
Особенностью характеристик такого регулятора является их зависимость от
периода квантования, который должен рассматриваться как дополнительный
параметр настройки.
3. Режим работы при периоде квантования, превышающем его значение,
определяемое условием

T
 cp
Иначе говоря, в системах регулирования с цифровыми регуляторами могут
существовать два вида дополнительных ошибок регулирования: ошибка,
обусловленная отклонением динамических характеристик регулятора от расчетных
(отличие W pн ( р) от W рж ( р) ), и ошибка, обусловленная квантованием сигнала.
В первом режиме обе ошибки отсутствуют, во втором появляется первая ошибка, а
в третьем режиме появляется и дополнительная ошибка квантования.
Расчет оптимальных параметров настройки цифровых регуляторов по заданному
запасу устойчивости при отсутствии пульсации квантования (1 и 2 режимы работы
системы) можно производить в следующем порядке.
1. По известным передаточным функциям W p * ( z ) цифрового регулятора и Wдм ( p, z )
демодулятора определяется передаточная функция W pн ( р) регулятора при работе
в режиме отсутствия пульсаций квантования.
1
W pн ( p )  W pн ( z, p )  W p * ( z )Wдм ( z, p )
T
2.
Обычным порядком, по известной АФХ Wоб ( j ) , в плоскости параметров настройки
этого непрерывного регулятора находится область, в которой система имеет запас
устойчивости не ниже заданного, причем в число параметров настройки должен
быть включен период квантования Т.
3. В этой же плоскости параметров настройки находится область, в которой
удовлетворяется условие
T

 cp
достаточности информации о изменении регулируемой величины.
Границей искомой области в плоскости параметров настройки является уравнение

W pc * ( j )   ,   0,01 ,
T
решенное относительно Т- предельного значения периода квантования.
4. В области, общей для обеих найденных в п. 2 и 3 областей, общим порядком
ищется точка, соответствующая оптимальности параметров настройки. Расчетной
схемой при определении оптимальных параметров настройки цифровых
регуляторов, работающих в режиме, когда не соблюдается условие достаточности
информации о изменении регулируемой величины (T 
представляющая
систему,
состоящую
из

) , является схема,
 cp
дискретного
регулятора
(W p *)
и
дискретного объекта (Wоб *) . В процессе формирования такой модели системы
модель дискретного регулятора реализована запаздывающими и усилительными
звеньями, а модель дискретного объекта - с помощью непрерывной части (Wоб ) с
 -импульсным модулятором на ее выходе. Это означает, что системы управления
с цифровыми регуляторами и при T 

в сущности можно рассматривать, как
 cp
непрерывные системы управления, отличающиеся двумя особенностями:
1. Из всего многообразия используемых в непрерывных системах звеньев здесь
применяется два вида их - усилительное и запаздывающее.
2. Эти
системы
оперируют
сигналами
в
виде
последовательности
модулированных  -импульсов.
Практически это означает, что для расчета оптимальных значений параметров в
системе с цифровыми регуляторами и в этом случае пригодны обычные методы,
применяемые для непрерывных систем. Достаточно лишь учесть особенности,
присущие изображениям и спектрам импульсных сигналов, передаточным функциям и
динамическим характеристикам систем, состоящих из запаздывающих и усилительных
звеньев.
И в этом случае расчет оптимальных значений настроек цифрового регулятора
может производиться в последовательности:
1. По передаточным функциям W p * ( z ) и Wоб * ( z ) дискретных регулятора и объекта
определяется характеристика W pc * ( j ) разомкнутой системы.
2. По частотной характеристике W pc * ( j ) разомкнутой системы в плоскости
параметров настройки регулятора, в число которых включается и период
квантования Т, обычным порядком определяется граница области допустимого
запаса устойчивости системы регулирования.
22. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДИСКРЕТНЫХ АСР С ЦИФРОВЫМИ
РЕГУЛЯТОРАМИ
22.1. Вычисление переходного процесса методом вычетов
Вычисление
реакции
дискретной
системы
на
заданную
ynT 
детерминированную последовательность xnT  с использованием z-преобразования
осуществляют так же, как и для непрерывных систем. По z-изображению входной
последовательности X * ( z ) и z-передаточной функции Ф * ( z ) системы находят zизображение выходной последовательности  -импульсов
Y * ( z)   * ( z) X * ( z) ,
после чего осуществляют обратное z-преобразование.
В соответствии с теоремой обратного z-преобразования переходный процесс в
дискретной АСР в виде решетчатой функции ynT  =z-1 Y * ( z ) может быть найден
вычислением контурного интеграла
1
Y * ( z )dz
ynT  =z-1 Y * ( z ) 
2j 
Интегрирование здесь ведется по окружности "Г" в плоскости z с центром в начале
координат радиуса
R  z k MAX , (к=1,2,…, l - полюсы Y * ( z ) )
Контурный интеграл может быть вычислен в соответствии с теоремой Коши в виде
суммы всех вычетов внутри контура


n
f ( z )dz  2j  Вычf ( z )
k 1
z  zk
Следовательно,
n
n
1
1
n 1
Y
*
(
z
)
dz

2

j
ВычY
*
(
z
)
z

ВычY * ( z ) z n1



2j 
2j
z  zk
z  zk
k 1
k 1
В общем случае изображение Y * ( z ) представляет собой отношение двух
многочленов
B * ( z)
Y * ( z) 
,
A * ( z)
причем степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя.
Применяя для этого случая теорему вычетов, получают формулы разложения
(обращения) для вычисления переходных процессов в дискретных системах.
Например, если Y * ( z ) не имеет нулевого корня в числителе, а корни zк
(к=1,2,…, l ) знаменателя простые, то для n  1 имеем:
l
B( z ) n 1 l B( z ) n
yn    k zk   k zk ,
k 1
k 1 z A( z )
A ( zk )
k
k
где


; B( zk )  B( z )
A( zk ) 
A( z )
z  zk
z  zk
z
Y nT   z 1Y * ( z ) 
Примечания:
1.
Функцию f (z ) называют дифференцируемой в точке z  a , если предел
f ( z  z )  f ( z )
f ( z )  lim
z  0
z
существует при z  a и не зависит от способов стремления приращения аргумента
z к нулю.
2. Однозначную функцию f (z ) называют аналитической (регулярной, голоморфной ) в
точке z  a , если она дифференцируема в некоторой окрестности точки z  a .
Функцию f (z ) называют аналитической в открытой области D, если она
аналитическая в каждой точке этой области.
1
Функцию f (z ) называют аналитической в бесконечности, если функция F ( z )  f ( )
z
аналитическая в точке z  0 .
3. Ряд Лорана
Если функция f (z ) аналитична в кольце между двумя концентрическими
окружностями К1 и К2 с центром в точке z  a ( a   ) и радиусами r1 и r2  r1
(рис. 22.1), то существует единственное ее разложение в ряд по положительным и
отрицательным степеням ( z  a )
k1
k2
r1
r2
α
0
Рис.22.1
f ( z) 

C
k
( z  a) k ,
k  
1
f ( z)
dz

2j  ( z  a ) k 1
Здесь "Г" - любая окружность, расположенная между окружностями К1 и К2.
4. Вычеты и контурные интегралы
Пусть в точке z  a функция f (z ) аналитична. Тогда вычетом функции f (z ) в
точке z  a называют коэффициент Ск при ( z  a ) k при к=-1 в разложении Лорана ,
т.е. С-1 при ( z  a ) 1 .
Вычет
1
f ( z)
1
f ( z )  C 1 
dz 
f ( z )dz

11
2j  ( z  a )
2j 
где - "Г" - контур, окружающий точку z  a .
5. Теорема о вычетах (теорема Коши)
Если однозначная функция f (z ) аналитична в области D, а замкнутый контур
"Г", принадлежащий вместе со своей внутренностью этой области D, содержит
Ck 
внутри себя конечное число z1 , z 2 ,..., z n особых точек и не проходит ни через одну из
них, то
n
1
f
(
z
)
dz

Вычf ( z )

2j 
z  zk
k 1
Теорема Коши дает возможность вычислить интеграл по замкнутому контуру
(контурный интеграл), охватывающий особые точки z  z k .


22.2
n
f ( z )dz  2j  Вычf ( z ) .
k 1
z  zk
Вычисление переходного процесса методом степенных рядов
Простым делением числителя на знаменатель выражение Y * ( z ) может быть
представлено в виде степенного ряда по Z 1 :
B * ( z) A * ( z)
Y * ( z )  g 0  g1 z 1  g 2 z 2  g3 z 3  ...,
где g 0 , g1... -коэффициенты.
Обратное
преобразование
этого
ряда
определяет
последовательность
y * (t )  g0 (t )  g1 (t  1T )  g2 (t  2T )  g3 (t  3T )  ...,
 -импульсную
т.е. коэффициенты степенного ряда по z 1 являются ординатами переходного
процесса в тактовые моменты времени 0Т,1Т,2Т,…nТ.
23. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ АСР С ЦИФРОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
23.1 Необходимое условие устойчивости
дополнит.
полосы
Условие устойчивости дискретной АСР (как и непрерывной системы)
заключается в том, что все корни характеристического уравнения
1 
1  W pc * ( p )  0 или 1   W pc ( p  j n  кв )  0
T n  
должны располагаться в левой полуплоскости Р. Однако, при этом на плоскости Р
вместо одного корня характеристического уравнения первого порядка появляется n
корней, отстоящих друг от друга на расстоянии j кв по мнимой оси, причем n   . В
связи с этим всю плоскость Р можно разделить горизонтальными полосами (рис. 23.1)
2
шириною  кв 
T
j
jIm(ω)
5
ωкв
2
ωкв
P1

3
ωкв
2
ωкв
P1

1
ωкв
2
основна
я
полоса
P1(ωкв)
Ri (ω)
0

1
ωкв
2

3
ωкв
2

5
ωкв
2
дополнит.
полосы
ωкв
P1

ωкв
P1

Рис.23.1.
Полосу, в которой заключена действительная ось, относят к основной.
Остальные полосы - дополнительные.
При увеличении порядка характеристического уравнения число каждого из
корней увеличивается бесконечно. Чтобы избежать бесконечного числа корней на
плоскости Р при использовании характеристического уравнения замкнутой дискретной
системы, следует перейти от трансцендентного уравнения 1  W pc * ( p )  0
к
алгебраическому 1  W pc * ( z ) =0 относительно переменной z, т.е. перейти от плоскости
Р к плоскости z.
Изменение независимой переменной путем замены ее новой преобразует одну
область комплексной переменной в другую.
Границей области устойчивости в плоскости переменной Р является мнимая ось.
Для определения границы области устойчивости в плоскости комплексной переменной
z следует отобразить мнимую ось плоскости Р на плоскость z. Для этого в z  e TP нужно
сделать подстановку р  j :
ze
e
TP
jT
e
2
j
2

 кв
.

 кв
Это уравнение окружности единичного радиуса на плоскости Z с центром в начале
координат.
Таким образом, подстановкой z  e jT часть мнимой оси плоскости Р
отображается окружностью единичного радиуса на плоскости Z, иначе, левая
полуплоскость Р в области


 j кв   j кв
2
2
отображается плоскостью круга единичного радиуса на плоскости Z.
Отсюда, условием устойчивости дискретной замкнутой системы является
расположение полюсов ее передаточной функции  * ( z ) внутри круга единичного
радиуса на плоскости Z. Следовательно, корни характеристического уравнения
Амплитуда этой функции z  1, фаза arg z 
1  W pc * ( z )  0
должны быть ограничены по модулю z i  1 .
Таким образом
1. Дискретная АСР будет устойчивой, если все корни характеристического уравнения
замкнутой системы находятся внутри окружности единичного радиуса на
плоскости Z.
2. Дискретная АСР будет неустойчивой, если хотя бы один корень
характеристического уравнения замкнутой системы находится вне окружности
единичного радиуса на плоскости Z.
23.2. Критерий устойчивости Найквиста
АФХ разомкнутой дискретной системы имеет вид:
1 
W pc * ( j )  W pc * ( p)
  W pc ( p  jn кв )
p  j T n
p  j
При хорошей фильтрации непрерывной части системы можно ограничиться
рассмотрением корней характеристического уравнения замкнутой системы,
расположенных в одной полосе
j
 кв
2
j
 кв
2
плоскость W pc * ( j ) отображается один годограф
Частота
при
этом
изменяется
от
плоскости Р, вследствие чего на
1
W pc ( j ) , соответствующий n=0.
T
j
 кв
2
до
j
 кв
2
.
Годограф
1
W pc ( j ) называют эквивалентной АФЧХ разомкнутой дискретной
T
системы. Используя эту характеристику, можно сформулировать следующие критерии
устойчивости Найквиста для дискретных АСР:
1. Если разомкнутая дискретная система устойчива, то для устойчивости замкнутой
дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы эквивалентная АФХ
W pc * ( j ) 
разомкнутой дискретной системы при изменении частоты  от 0 до
 кв
2
не
охватывала точку с координатами (1; j 0) .
2. Если разомкнутая дискретная система неустойчива, то для устойчивости замкнутой
системы необходимо и достаточно, чтобы эквивалентная АФЧХ разомкнутой
дискретной системы при изменении частоты  от 0 до
 кв
2
охватывала точку с
т
раз, где т - число корней z2
контура, расположенных вне
координатами (1; j 0) в положительном направлении
характеристического уравнения
окружности единичного радиуса.
разомкнутого
23.3. Запас устойчивости дискретных АСР. Оценка запаса устойчивости по
распределению корней характеристического уравнения системы.
Каждому корню z-характеристического уравнения 1  W pc * ( z )  0 соответствует
бесконечное число корней трансцендентного р-характеристического уравнения
1  W pc * ( р)  0 .
Из соотношения
1 
W pc ( p  jn кв )
T n  
вытекает, что
все р-корни, соответствующие корню zк, имеют одинаковую
вещественную часть, а их мнимые части отличаются друг от друга на постоянное
слагаемое
2
 кв 
.
Т
Поэтому, если обеспечена должная степень устойчивости при главных р-корнях
(при п  0 ), то гарантируется должная степень устойчивости и при всех остальных
корнях.
Определение доминирующей пары главных сопряженно-комплексных корней,
удовлетворяющих заданной степени затухания, производят, как и для непрерывных
систем, с помощью расширенной эквивалентной АФЧХ разомкнутой дискретной
системы W pc * (m, j ) из условия
W pc * ( z )  W pc * (e TP )  W pc * ( p) 
Wpc * (m, j )  Wpc * ( p)
 Wpc * (  j )
 Wpc * (m  j )  1 ,
p    j
  m
где m-заданный корневой показатель затухания переходных процессов, иначе,
степень колебательной устойчивости.
Анализ степени устойчивости системы проводится построением расширенной
2
эквивалентной АФХ разомкнутой дискретной системы для частот от   0 до  кв 
,
Т
и проверкой выполнения критерия Найквиста.
Чтобы замкнутая дискретная система имела заданную степень устойчивости
( m ), необходимо и достаточно, чтобы расширенная эквивалентная АФХРС W pc * (m, j )
при частоте 0   
 кв
охватывала точку с координатами (1; j 0) против часовой
2
стрелки столько раз, сколько корней справа от линии - m  const имеет
характеристическое уравнение разомкнутой системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ципкин Я.З. Основы теории автоматических систем. – М.: Наука, 1977 – 560 с.
2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. : Учебник, - М.: Машиностроение,
1978 – 736 с.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического регулирования непрерывных систем.
– М. : Энергоиздат, 1980 - с.
4. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и
нелинейные системы. – М.:. Энергоиздат, 1981.– 304 с.
5. Теория автоматического управления: Учебник для вузов по специальности
Автоматика и телемеханика в 2-х частях, 1. Теория линейных систем
автоматического управления /Н.А. Бабаков, А.А. Воронова и др., под ред. А.А.
Воронова, - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1986 – 367 с.
6. Автоматическое управление в химической промышленности: Учебник для вузов по
специальности Автоматизация
и комплексная механизация химикотехнологических процессов / Е.Г. Дудников, А.В. Козаков, Ю.Н. Софиева и др. под
ред. Е.Г. Дудникова. – М.: Химия, 1987 – 368 с.
7. Ротач В.Я.
Теория автоматического управления теплоэнергетическими
процессами: Учебник для студентов вузов. – М. : Энергоиздат, 1985 – 296 с.
8. Первозванный А.А. Курс теории автоматического управления.: Учебное пособие –
М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит. 1986 – 616 с.
9. Справочник по теории автоматического управления / под. ред. А.А. Красовского. –
М.: Наука. . Гл. ред. физ. – мат. лит. 1987 – 712 с.
10. Топчиев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования:
Учебное пособие для втузов. – м.: Машиностроение, 1989 –752 с.
11. Клюев А.С., Товарнов Л.П. Наладка систем автоматического регулирования
котлоагрегатов. – М.: Энергия, 1970. – 290 с.
12. Наладка автоматических систем и устройств управления технологическими
процессами / под ред. Клюева А.С. – М.: Энергия, 1977. – 400 с.
13. Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования.:
Справочное пособие / под ред. Клюева А.С. – М.: Энергоатомиздат, 1989 – 368 с.
14. Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических
процессов. – М.: Энергия, 1972. – 370 с.
15. Ротач В.Я. Расчет настройки промышленных систем регулирования. – М. – Л.:
Госэнергоиздат, 1961 – 344 с.
16. Ротач
В.Я.
Расчет
динамики
промышленных
автоматических
систем
регулирования.– М.: Энергия, 1973. – 440 с.
17. Справочник по наладке автоматических устройств контроля и регулирования. Часть
2 / под ред. В.И. Иваненко. – Киев, Наукова думка, 1981 – 940 с.
18. Проектирование систем автоматизации технологических процессов: Справочное
пособие / А.С. Клюев, Б.В. Глазов, А.Х. Дубровский, А.А. Клюев; под ред.
А.С. Клюева.- 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1990 – 464 с.
19. Кулаков Г.Г. Инженерные экспресс-методы расчета промышленных систем
регулирования: Справочное пособие, - Минск: Высшая школа, 1989 – 192 с.
20. Х.Гурецкий Анализ и синтез систем управления с запаздыванием: Перевод с
польского к.т.н. доц. Дмитриева. – М.: Машиностроение, 1974 – 328 с.
21. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Система автоматического управления на базе микро-ЭВМ.
– К.: Техника, 1989 –182 с.
22. Расчет непрерывно-дискретных систем частотным методом / А.Ш. Бахшашев, Г.Н.
Черкашин, Н.А. Рюмин, - К.: Техника, 1992 –275 с.
23. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления.: Учебное
пособие для студентов вузов. / Под ред. В.А. Бесекерского, 5-е изд., перераб. – М.:
Наука, 1978 – 512 с.
24. А.П. Копелович Автоматическое регулирование в черной металлургии,: Краткий
справочник. – М.: Металлургиздат, 1963. – 408 с.
25. Г.П.
Плетнев.
Автоматизированное
управление
объектами
тепловых
электростанций: Учебное пособие для студентов вузов. – М.:Энергоиздат, 1981 368 с.
26. Г. Корн и Т. Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров.
– М.: Наука, 1974. – 720 с.
27. Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике: Справ. – Мн.: Наука і
техніка “. 1991 – 480 с.