3.4 Расчет импульсной характеристики заданной RC

Курсовая работа по дисциплине:
«Радиотехнические цепи и сигналы»
Оглавление
Введение....................................................................................................... 3
1 Задание на курсовую работу ................................................................... 4
2 Расчет спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров
сигнала и его автокорреляционной функции ........................................... 6
2.1 Представление сигнала в аналитическом виде .............................. 6
2.2 Вычисление спектральной плотности сигнала ............................ 10
2.3 Вычисление амплитудного спектра сигнала ............................. 12
2.4 Вычисление фазового спектра сигнала ........................................ 12
2.5 Вычисление автокорреляционной функций сигнала .................. 13
3 Расчет передаточной, амплитудно-частотной, фазо-частотной и
импульсной характеристик заданной RC-цепи ..................................... 14
3.1 Расчет передаточной функции заданной RC-цепи ...................... 14
3.2 Расчет амплитудно-частотной характеристики заданной RCцепи......................................................................................................... 15
3.3 Расчет фазо-частотной характеристики заданной RC-цепи ....... 16
3.4 Расчет импульсной характеристики заданной RC-цепи ............. 17
4 Расчет сигнала на выходе заданной RC-цепи при подаче на её вход
заданного сигнала ..................................................................................... 18
5 Результаты компьютерных расчетов ................................................... 19
6 Результаты компьютерного моделирования прохождения сигнала
через линейную цепь ................................................................................ 23
Заключение ................................................................................................ 26
Список литуретуры ................................................................................... 27
2
Введение
Данная курсовая работа ориентирована на базисное закрепление
навыков и формирование умений по математическому описанию сигналов,
определению основных характеристик, так как описание радиотехнических
сигналов, оценка их физических характеристик является математическим
"инструментом" радиоинженера при решении многообразных практических
задач.
Целью курса РТЦиС является изучение фундаментальных
закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по
каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях.
Важная задача курса РТЦиС - научить выбирать математический аппарат для
решения конкретных научных и технических задач в области радиотехники,
видеть тесную связь математического описания с физической стороной
рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели
изучаемых процессов с учетом этих целей и задач.
3
1 Задание на курсовую работу
1) Заданный сигнал
Рисунок 1 – Заданный сигнал
Таблица 1 – Параметры заданного сигнала
В
U
ф
0
U0
0
6
2
4
с
0
U0 , В
 0 , мс
2
6
2,0
Таблица 2 – Вычисленные параметры сигнала по заданию
U, В
36
τф, мс
4
τВ, мс
8
τс, мс
4
2) Линейная RC-цепь
Рисунок 2 – Заданная RC - цепь
Таблица 3 – Параметры заданной RC – цепи
R1
R2
C1
C0
R0
R0
1,0
0,1
1,0
R0, кОм
C0, пФ
250
4000
Таблица 4 – Вычисленные параметры RC – цепи по заданию
R1, кОм
250
C1, пФ
400
R2,кОм
250
4
Необходимо:
 рассчитать спектральную плотность, амплитудный и фазовый спектры
сигнала и его автокорреляционную функций;
 рассчитать передаточную, амплитудно-частотную, фазо-частотную и
импульсную характеристики заданной RC-цепи;
 рассчитать сигнал на выходе заданной RC-цепи при подаче на её вход
заданного сигнала;
 таблицы и графики, полученные по результатам расчетов,
 результаты компьютерных расчетов;
 результаты компьютерного моделирования прохождения сигнала через
линейную цепь;
 заключение, в котором проводятся основные выводы по работе, оценка
выполнения требований задания.
5
2 Расчет спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров
сигнала и его автокорреляционной функции
2.1 Представление сигнала в аналитическом виде
Рисунок 3 – Заданный сигнал
Опишем сигнал в аналитическом виде:
t

 U  , при 0  t   Ф
Ф

2U t   Ф  U , при   t  (   )
Ф
В
Ф

В

t  ( Ф   В )
 U
 U , при ( В   Ф )  t  ( В   Ф   C )
C

 t  ( Ф   В   C )
, при ( В   Ф   C )  t  ( В  2 Ф   C )
u (t )  U
(1)

Ф

 2U t  ( В  2 Ф   C )  U , при (  2   )  t  (2  2   )
В
Ф
C
В
Ф
C


 t  (2  2В   )
Ф
В
C
U
 U , при (2 В  2 Ф   C )  t  (2 В  2 Ф  2 C )
C


0, при t  (2 В  2 Ф  2 C )

С заданными параметрами, (1) будет выглядеть следующим образом:
 9t , при 0  t  4
9t  72, при 4  t  12

 9t  144, при 12  t  16

u (t )  9t  144, при 16  t  20
 9t  216, при 20  t  28

9t  288, при 28  t  32

0, при t  32
6
Рисунок 4 – Заданный сигнал
Либо воспользуемся функцией Хэвисайда (функцией включения):
 0, t  0

 (t )  0,5, t  0
 1, t  0

(2)
Как видим, наша функция состоит из двух линейных функции,
повторенных и смещенных во времени и по напряжению. Эти функции
u1(t)=9t и u2(t)=-9t. Пользуясь (2), получим:
1) 0<t<4 мс:
u(t)=-9∙t∙σ(t)+9∙t∙σ(t-4)
Рисунок 4а – Сигнал на отрезке времени от 0 до 4 мс
2) 4<t<12 мс:
u(t) = 9∙t∙σ(t-4)-9∙t∙σ(t-12)-72∙σ(t-4)+72∙σ(t-12)
7
Рисунок 4б – Сигнал на отрезке времени от 4 до 12 мс
3) 12<t<16 мс:
u(t) = -9∙t∙σ(t-12) + 144∙σ(t-12) + 9∙t∙σ(t-16) - 144∙σ(t-16)
Рисунок 4в – Сигнал на отрезке времени от 12 до 16 мс
4) 16<t<20 мс:
u(t) = 9∙t∙σ(t-16) - 144∙σ(t-16) - 9∙t∙σ(t-20) + 144∙σ(t-20)
Рисунок 4г – Сигнал на отрезке времени от 16 до 20 мс
5) 20<t<28 мс:
u(t) = -9∙t∙σ(t-20) + 9∙t∙σ(t-28) + 216∙σ(t-20) - 216∙σ(t-20)
8
Рисунок 4д – Сигнал на отрезке времени от 20 до 28 мс
6) 28<t<32 мс:
u(t) = 9∙t∙σ(t-28) - 9∙t∙σ(t-32) - 288∙σ(t-28) + 288∙σ(t-32)
Рисунок 4е – Сигнал на отрезке времени от 28 до 32 мс
Соединяя все вместе, получим:
u(t) = - 9∙t∙σ(t) + 9∙t∙σ(t-4) + 9∙t∙σ(t-4) - 9∙t∙σ(t-12) - 72∙σ(t-4) +
72∙σ(t-12) - 9∙t∙σ(t-12) + 144∙σ(t-12) + 9∙t∙σ(t-16) - 144∙σ(t-16) + 9∙t∙σ(t-16) 144∙σ(t-16) - 9∙t∙σ(t-20) + 144∙σ(t-20) - 9∙t∙σ(t-20) + 9∙t∙σ(t-28) + 216∙σ(t-20) 216∙σ(t-20) + 9∙t∙σ(t-28) - 9∙t∙σ(t-32) - 288∙σ(t-28) + 288∙σ(t-32)
Построим график (рисунок 5).
Рисунок 5 – Сигнал, смоделированный с помощью функции включения
9
2.2 Вычисление спектральной плотности сигнала
По сигналу видно, что сигнал состоит из аналогичных участков,
сдвинутых по времени и уровням. Поэтому обозначим участки сигнала как
на рисунке:
Рисунок 6 – Обозначение участков заданного сигнала
Обозначим
ua(t)=-9t для 0≤t<4
ub(t)=9t - 72 для 4≤t<8
Тогда
u1(t)= ua(t)
u2(t)= ub(t - 4)
u3(t)=- ua(t - 8)
u4(t)=- ub(t - 12)
u5(t)= -ua(t - 16)
u6(t)= - ub(t - 20)
u7(t)= ua(t-24)
u8(t)= ub(t-28)
Спектральная плотность непериодического сигнала определяется по
формуле:

S ( )   u (t )e  jt dt
(3)

иначе это формула называется преобразование Фурье.
Подставляя (1) в (3), получим:
32
S ( )   u (t )e  jt dt
0
Так как u(t) имеет разрывные значения, т.е. практически состоит из
совокупности сигналов s1(t), s2(t),…, причем s1(t)↔S1(ω), s2(t)↔S2(ω),…,
воспользуемся свойством линейности преобразования Фурье:
(4)
 ai si (t )   ai Si ( )
i
i
10
Значит, нам необходимо найти интегралы каждой из 8 областей
сигнала. Воспользуемся еще одним свойством преобразования Фурье:
s(t-t0) ↔ S(ω)e-jωt0
(5)
Таким образом, найдем преобразование Фурье для ua(t) и ub(t)
относительно этих спектров и найдем остальные составляющие спектральной
плотности сигнала.
dv  e  jt dt
 t  e  jt 4 4 e  jt 
 jt
 jt
e
S a   (9t )  e dt 
  udv  uv   vdu  9  

dt  
du  dt v 
 j 0 0  j 
0

 j
t u
4
t  e  jt
e  jt 4
j t  4
j4 9
 jt  1
 j 4  1
 9  (

)


9
e


  9e
 2

2
2
 j ( j ) 0
 0
  2


8
8
8

j  t  72  jt  8
 1
S b   (9t  72)  e  jt dt  9 t  e  jt dt  72 e  jt dt   9e  jt  2 
e  

   j


4
4
4
4
j 8 
j  4  72  j 4
72  j 8
 1
 j 4  1
 9e  j 8  2 
e

e

  9e
 2

 
   j
 j


j 8 
j  4  72 sin( 2 )  j 6
 1
 j 4  1
 9e  j 8  2 
e
  9e
 2

 
 



Тогда:
S1 ( )  S a ( )
S 2 ( )  Sb ( )
S 3 ( )   S a ( )e  j 8
S 4 ( )   S b ( )e  j 8
S 5 ( )   S a ( )e  j16
S 6 ( )   S b ( )e  j16
S 7 ( )  S a ( )e  j 24
S8 ( )  S b ( )e  j 24
Общая спектральная плотность сигнала будет сумма спектральных
плотностей отдельных частей сигнала:
8
S 0 ( j )   S i ( )  S a ( )(1  e  j 8  e  j16  e  j 24 )  S b ( )(1  e  j 8  e  j16  e  j 24 ) 
i 1
 ( S a ( )  S b ( ))(1  e  j 8  e  j16  e  j 24 )
Таким образом, полный аналитический вид спектральной плотности
сигнала будет:
S 0 ( j ) 
 9  9e  j 4  36e  j 4  18 j sin( 2 )e  j 6  j 36e  j 4

2
1  e
 j 8

 e  j16  e  j 24 

j4 9
j 8 
j  4  72 sin( 2 )  j 6 
 1
 j 8  1
 j 4  1
   9e  j 4  2 
e
 
  2  9e
 2
  9e
 2

  
 
 






 (1  e  j 8  e  j16  e  j 24 )
11
2.3 Вычисление амплитудного спектра сигнала
Амплитудный спектр сигнала – это модуль спектральной плотности
сигнала:
S0 ( ) | S0 ( j ) |
(6)
Амплитудный спектр показан на рисунке 7.
Рисунок 7 – Амплитудный спектр заданного сигнала
2.4 Вычисление фазового спектра сигнала
Фазовый спектр сигнала есть аргумент спектральной плотности
сигнала:
Ψ0(ω) = arg(S0(jω))= arctg
Im( S 0 ( j ))
Re( S 0 ( j ))
(7)
Результат показан на рисунке 8.
Рисунок 8 – Фазовый спектр заданного сигнала
12
2.5 Вычисление автокорреляционной функций сигнала
Автокорреляционная функция сигнала равна:
32
B( )   u (t )u (t   )dt
(8)
Нормируем автокорреляционную функцию (АКФ имеет максимум в
точке τ=0) и строим график на рисунке 9.
0
Рисунок 9 – Нормированная автокорреляционная функция заданного сигнала
13
3 Расчет передаточной, амплитудно-частотной, фазо-частотной и
импульсной характеристик заданной RC-цепи
3.1 Расчет передаточной функции заданной RC-цепи
Задана линейная RC-цепь.
Рисунок 9 – Заданная линейная RC-цепь
Таблица 5 – Параметры RC – цепи по заданию
R1, кОм
250
C1, пФ
400
R2,кОм
250
Выходное напряжение снимают с эквивалентного сопротивления Zвых.
Z вых  R2 || Z C1 
R2 Z C1
R2  Z C1
1
jC1
R2


1
1  jR2C1
R2 
jC1
R2 
Полное сопротивление цепи со стороны входа:
Z 0  R1  Z в ых  R1 
R2
R  R2  jR2 R1С1
 1
1  jR2 C1
1  jR2 C1
Комплексная передаточная функция есть отношение изображений
выходного и входного сигналов:
K ( p) 
U в ых ( р) Z в ых

U в х ( p)
Z0
p=jω, поэтому:
K ( j ) 
R2
R1  R2  jR2 R1С1
либо в операторном виде с подставленными значениями:
K ( p) 
10 4
2 10 4  p
(9)
Преобразуем к виду:
K ( j ) 
R2 ( R1  R2  jR2 R1С1 )
R2 ( R1  R2 )
R2 R1С1

j
2
2
2
2
( R1  R2 )  ( jR2 R1С1 )
( R1  R2 )  (R2 R1С1 )
( R1  R2 ) 2  (R2 R1С1 ) 2
2
Подставляя данные, получаем:
14
K ( j ) 
250 103 (250 103  250 103 )  j 250 103  250 2 106  400 10 12 2 108  j 10 4

(250 103  250 103 ) 2  (  250 103  250 103  400 10 12 ) 2
4 108   2
2 108  j 10 4
K ( j ) 
4 108   2
3.2 Расчет амплитудно-частотной характеристики заданной RCцепи
Амплитудно-частотная характеристика цепи есть модуль комплексной
передаточной функций (9):
( R2 ( R1  R2 )) 2  (R2 R1С1 ) 2
( R1  R2 ) 2  (R2 R1С1 ) 2
2
K ( )  (Re( K ( j )))  (Im( K ( j ))) 
2
2
K ( ) 
График
рисунке 10.
АЧХ
в
4  1016   2  108
4  108   2
логарифмическом
масштабе
представлен
на
Рисунок 10 – Амплитудно-частотная характеристика RC-цепи
15
3.3 Расчет фазо-частотной характеристики заданной RC-цепи
Фазо-частотная характеристика цепи есть аргумент комплексной
передаточной функций (9):
 ( )  arg( K ( j ))  arctg
 ( )  arctg
График
рисунке 11.
ФЧХ
R1 R2С1
R1  R2
 arctg
представлен
Im( K ( j ))
Re( K ( j ))
  250 2 10 6  400 10 12
500 10
в
3
 arctg (  5 10 5 )
логарифмическом
масштабе
на
Рисунок 11 – Фазо-частотная характеристика RC-цепи
16
3.4 Расчет импульсной характеристики заданной RC-цепи
Импульсная характеристика есть отклик цепи на единичную
импульсную дельта-функцию δ(t). Обычно импульсную характеристику
определяют обратным преобразованием Лапласа от передаточной
характеристики цепи.
1
𝑓(𝑡) =
(10)
∫ 𝐹(𝑝)𝑒 −𝑝𝑡 𝑑𝑝
2𝜋𝑗
e at
1

a p .
Известно, что
Подставляя в (10) известную передаточную характеристику цепи (9)
получаем импульсную характеристику заданной RC-цепи:
g(t)=104∙e-20000t
C учетом того, что время у нас задано в мс, импульсная функция в мс
имеет вид:
g(t)=104e-20t
График импульсной характеристики заданной RC-цепи показан на
рисунке 12.
Рисунок 12 – Импульсная характеристика заданной RC-цепи
17
4 Расчет сигнала на выходе заданной RC-цепи при подаче на её
вход заданного сигнала
Реакция цепи на любой входной сигнал можно вычислить с помощью
интеграла Дюамеля, если известна импульсная характеристика заданной цепи
и входной сигнал:
t
uвых (t )   uвх ( ) g (t   )d
(10)
0
График выходного сигнала показан на рисунке 13.
Рисунок 13 – График сигнала на выходе заданной RC-цепи при подаче на её вход
заданного сигнала u(t)
Как видно из рисунка 13, выходной сигнал не сильно отличается от
вида входного сигнала. Это объясняется малой емкостью конденсатора в
цепи, что ведет к малой постоянной времени τ. Также уровень напряжения
выходного сигнала меньше в 2 раза, что объясняется одинаковым
сопротивлением резисторов (практически, получается делитель).
18
5 Результаты компьютерных расчетов
1)
19
20
21
22
6 Результаты компьютерного моделирования прохождения
сигнала через линейную цепь
Для моделирования использовалась программная среда Multisim 11.0.
Рисунок 14 – Исследуемая схема
Входной сигнал имеет вид:
Рисунок 15 – Входной сигнал, наблюдаемый с помощью осциллографа
23
Рисунок 16 – АЧХ заданной схемы, полученная с помощью Bode Plotter
Рисунок 17 – ФЧХ заданной схемы, полученная с помощью Bode Plotter
24
Рисунок 18 – Входной и выходной сигналы, наблюдаемый с помощью
осциллографа
Как видно на рисунке 18, входной и выходной сигналы визуально
отличаются лишь уровнями – выходной сигнал примерно в 2 раза меньше
входного сигнала по уровню напряжения. Эти же результаты были получены
при моделировании на рисунке 13.
25
Заключение
При выполнении курсовой в соответствии с полученным вариантом на
курсовой проект, был описан сигнал с помощью функции Хэвисайда, затем
определены спектральная плотность и из спектральной плотности
амплитудный и фазовые спектры сигнала. При нахождении спектральной
плотности были применены известные свойства преобразования Фурье, такие
как линейность и сдвиг на e-jwt0 при сдвиге во временной области при
аналогичных
участках
заданной
функции.
Убедились,
что
у
непериодического
сигнала
спектр
имеет
непрерывный
вид.
Автокорреляционная функция сигнала треугольного вида имеет вид
сглаженной кривой и имеет максимум при максимальной корреляции(τ=0).
Дальнейшая часть курсовой работы имеет дело с заданной линейной
RC-цепью. Была определена комплексная передаточная функция, из которой
затем вычисляется амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики.
Вид АЧХ и ФЧХ был смоделирован в программной среде MathCAD, в
дальнейшем подтвердившийся при моделирование в программе Multisim
11.0. Далее была определена импульсная характеристика цепи, которая при
применении в интеграле Дюамеля выдает выходной сигнал при любом
заданном входном сигнале. Этот процесс был смоделирован в программе
Multisim 11.0, что показано в пункте 6 курсовой работы.
При моделирований заданной RC-цепи в программе Multisim 11.0,
были применены встроенные возможности моделирования заданного сигнала
PIECEWISE_LINEAR_VOLTAGE и встроенный эмулятор спектрального
анализатора Bode Plotter и осциллографа.
В результате курсовой работы были приобретены знания
фундаментальных закономерностей, связанных с описанием заданных
сигналов, получения их характеристик, обработкой и преобразованием в
радиотехнических цепях, описания заданной цепи, получения важных
характеристик цепи. Закреплены ранее полученные знания и навыки
выполнения поставленных задач.
26
Список литературы
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. -М.: Высшая школа,
1988.
2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. –М.: Радио и
связь, 1986.
3. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. – М.:
Горячая линия – Телеком, 2009.
4. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа
для ВТУЗов. – М.: Наука, 1969.
27