542КБ, pdf - Нижегородский государственный университет

Математика в высшем образовании
2008
№6
СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ
УДК 512.622
ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕМЫ “ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ”
В КУРСЕ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
С. А. Тюрин
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского,
Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23;
тел: (831) 4345711; e-mail: saturin@list.ru
Предлагается вариант изложения темы “Периодические функции” в курсе
высшей алгебры для студентов, обучающихся по специальности “Математика”.
Доказана основная теорема о периодических многочленах. Получен критерий
периодичности многочлена через симметрические многочлены.
Ключевые слова: высшая алгебра, периодические функции, многочлены.
Изучение темы “Периодические функции” занимает важное место в образовании студента-математика, поскольку периодические явления встречаются в окружающем мире повсеместно. Особенно большое внимание ей уделяют
при изучении курсов математического анализа (например, [1]), дифференциальных уравнений, математической физики, тогда как в курсе высшей алгебры она почти не встречается.
Эта заметка имеет следующую историю. Несколько лет назад я вместе с
членами методической комиссии механико-математического факультета посетил открытую лекцию одного преподавателя, посвященную разложению
периодических функций в ряды Фурье. Во время состоявшегося после лекции обсуждения я задал коллегам вопрос: “Может ли многочлен быть периодической функцией?”. Большинство присутствующих были специалистами
в области теории функций, математической физики и дифференциальных
уравнений. Все единодушно ответили, что периодическим может быть только многочлен нулевой степени. Приведенный мной контрпример был встречен с живым интересом. После этой встречи и возник интерес к изучению
свойств периодических многочленов. Полученный результат оказался доступен для понимания студентам младших курсов, а основная теорема о периодических многочленах напоминает основную теорему о симметрических
многочленах [2].
Ниже предлагается вариант изложения темы “Периодические функции” в
курсе высшей алгебры.
Пусть K — поле, K[x] — кольцо многочленов над полем K.
Определение 1. Элемент T ∈ K называется периодом многочлена f (x) ∈
∈ K[x], если выполняется условие f (x + T ) = f (x).
Легко проверить, что множество всех периодов многочлена f (x) образует
подгруппу в аддитивной группе поля K. Группу периодов, соответствующую
многочлену f (x), обозначим GP (f ).
77
С. А. Тюрин
Примеры
1. Если f (x) — многочлен нулевой степени, то GP (f ) = K.
2. Если f (x) = x, то GP (f ) = {0}.
3. Если характеристика k поля K равна нулю, то для любого многочлена
положительной степени GP (f ) = {0}.
Далее будем считать, что характеристика поля K равна простому числу
p > 0. Простое подполе поля K обозначим через K0 .
Определение 2. Многочлен f (x) называется периодическим, если у него
существует период T 6= 0.
Пример периодического многочлена
Если f (x) = xp −x, то из малой теоремы Ферма [3] следует, что GP (f ) = K0 .
Теорема 1. Для любого периодического многочлена f (x) положительной
степени группа периодов GP (f ) конечна. Её порядок не превосходит степени
многочлена f (x) и является степенью характеристики поля.
Доказательство. Пусть c = f (0) — свободный член многочлена f (x).
Многочлен g(x) = f (x) − c также является периодическим, причем многочлены f (x) и g(x) имеют одинаковые группы периодов. Элементы этой группы
будут одновременно периодами и корнями многочлена g(x). Отсюда следует,
что порядок группы GP (f ) не превосходит deg f (x). Всякая конечная подгруппа аддитивной группы поля K является векторным пространством над
полем K0 , поэтому её порядок является степенью характеристики поля.
Теорема 2. Для любой конечной подгруппы G аддитивной группы поля K
существует многочлен, группа периодов которого совпадает с группой G.
Q
Первое доказательство. Пусть |G| = pn . Многочлен ϕG (x) =
(x−T )
T ∈G
не имеет свободного члена. Все элементы группы G и только они являются
его корнями и периодами.
Второе доказательство. Возьмем любой базис {T1 , T2 , . . . , Tn } группы
G над полем K0 и рассмотрим определитель
¯
¯
¯ x
¯
T
T
.
.
.
T
1
2
n
¯
¯
p
¯ xp T p T p . . .
Tn ¯¯
¯
1
2
¯ 2
¯
2
2
2
Φ(x) = ¯¯ xp T1p T2p . . . Tnp ¯¯ .
¯ ........................... ¯
¯
¯
¯ pn
pn
pn
pn ¯¯
¯ x
T
T
. . . Tn
1
2
По свойству определителей, имеющих одинаковые столбцы, все элементы T1 , T2 , . . . , Tn являются его корнями. Поскольку для поля характеристики
m
m
m
p > 0 справедливы равенства (α + β)p = αp + β p для всех m = 1, 2, . . . , n,
то многочлен Φ(x) обладает свойством аддитивности: Φ(α + β) = Φ(α) + Φ(b).
Отсюда Φ(x + Tm ) = Φ(x) + Φ(Tm ) = Φ(x) для всех m = 1, 2, . . . , n. Это означает, что элементы T1 , T2 , . . . , Tn , а также все их K0 -линейные комбинации (и
только они) являются периодами многочлена Φ(x).
Определение 3. Пусть G — конечная подгруппа аддитивной группы поля K. Многочлен f (x) называется G-периодическим, если каждый элемент
группы G является периодом многочлена f (x).
78
Математика в высшем образовании
2008
№6
Из определения следует, что G ⊂ GP (f ). Легко проверить, что множество G-периодических многочленов замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, поэтому образует подкольцо KG в кольце всех
многочленов K[x].
Теорема 3. При делении с остатком двух G-периодических многочленов
частное и остаток от деления также являются G-периодическими многочленами.
Доказательство. Пусть f (x) и g(x) — два G-периодических многочлена.
Из соотношения f (x) = g(x) · q(x) + r(x) и условия периодичности следует,
что для всех T ∈ G f (x) = g(x) · q(x ¡+ T ) + r(x + T ).¢Вычитая из первого
соотношения второе, получаем g(x) · q(x + T ) − q(x) = r(x) − r(x + T ).
Сравнивая степени многочленов в левой и правой частях равенства, получаем
q(x + T ) = q(x) и r(x + T ) = r(x).
Заметим, что оба многочлена ϕG (x) и Φ, построенные в первом и втором
доказательствах теоремы 2, являются G-периодическими многочленами минимальной степени. Многочлен Φ зависит от выбора базиса группы G. Многочлены, построенные для двух разных базисов, отличаются ненулевым множителем из поля K, т. к. оба не имеют свободных членов. Многочлен ϕG (x)
не зависит от выбора базиса. Будем называть его основным G-периодическим
многочленом.
Теорема 4 (основная теорема о периодических многочленах). Любой G-периодический многочлен может быть представлен в виде многочлена от основного G-периодического многочлена γG (x).
Доказательство. Пусть f (x) ∈ K0 — любой G-периодический многочлен.
Если deg f (x) < pn , то f (x) ∈ K — константа. Если же deg f (x) ≥ pn , то
остаток от деления f (x) на ϕG (x) является константой, а частное q(x) имеет
степень меньшую, чем f (x), и в силу индуктивного предположения может
быть представлено в виде многочлена от ϕG (x).
Между свойствами симметричности и периодичности существует определенная связь. Пусть f (x) ∈ K[x] — любой (не обязательно периодический)
многочлен, T ∈ K — ненулевой элемент поля K и Φ(x1 , x2 , . . . , xp ) — симметрический многочлен от p переменных над полем K. Тогда многочлен
³
¡
¢´
F (x) = Φ f (x), f (x + T ), f (x + 2T ), . . . , f x + (p − 1) T
является периодическим с периодом T . При этом, если GP (f ) = G и T 6= G,
то многочлен F (x) будет H-периодическим, где H = G ⊕ hT i.
Рассмотрим элементарные симметрические многочлены от p переменных
σ1 =
X
1≤i≤n
xi ,
σ2 =
X
1≤i<j≤n
xi xj , . . . ,
σp =
Y
xi .
1≤i≤n
Следующее свойство является характеристическим для периодических многочленов.
79
С. А. Тюрин
Теорема 5. Многочлен f (x) ∈ K[x] является периодическим с периодом
T тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям:
³

¡
¢´

σ
f
(x),
f
(x
+
T
),
.
.
.
,
f
x
+
(p
−
1)
T
= 0,
1


³
´

¡
¢



 σ2 f (x), f (x + T ), . . . , f x + (p − 1) T = 0,

...............................................
³

¡
¢´



σ
f
(x),
f
(x
+
T
),
.
.
.
,
f
x
+
(p
−
1)
T
= 0,
p−1


´
³

¡
¢

 σ f (x), f (x + T ), . . . , f x + (p − 1) T = f (x)p .
p
Доказательство.
Необходимость. Если
многочлен,
то при 1 ≤ m ≤
³ f (x) — периодический
¡
¢´
≤ p − 1 выражение σm f (x), f (x + T ), . . . , f x + (p − 1) T является суммой
одинаковых слагаемых f (x)m . Количество слагаемых Cpm кратно p, поэтому
сумма равна нулю.
Достаточность. Рассмотрим многочлен F (x, y) над полем K
³
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
¡
¢´
F (x, y) = y −f (x) · y−f (x+T ) · y−f (x+2T ) ·. . .· y−f x + (p−1) T . (1)
Разложим его по степеням y: F (x, y) = y p − σ1 · y p−1 + σ2 · y p−2 − · · · − σp .
С учетом условий (1) получаем
¡
¢p
F (x, y) = y − f (x) .
(2)
В силу факториальности кольца K[x, y] ¡(см. [4]) разложения
(1) и (2) совпа¢
дают, поэтому f (x) = f (x + T ) = . . . = f x + (p − 1) T .
ЛИТЕРАТУРА
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. — М.:
Наука, 1970.
2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971. 322 с.
3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972. 44 с.
4. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. 150 с.
PRESENTATION OF THE THEME “PERIODIC FUNCTIONS”
IN THE COURSE OF HIGHER ALGEBRA
S. A. Tyurin
A way of lecturing on the theme “Periodic functions” in the course of higher algebra
is suggested. The main theorem on periodic polynomials is proved. The criterion of
polynomial’s periodicity is obtained in the terms of symmetric polynomials.
Keywords: higher algebra, periodic functions, polynomials.
80