Отчет1 - Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
advertisement
Сибирское отделение Российской академии наук Учреждение Российской академии наук «ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С.Л. СОБОЛЕВА» (ИМ СО РАН) УДК 512 № госрегистрации Инв. № УТВЕРЖДАЮ Директор ИМ СО РАН д.ф.-м.н., академик РАН __________________ Ю. Л. Ершов «___»____________________ 2010 г. Государственный контракт от «20» сентября 2010 г. № 14.740.11.0346 Шифр заявки «2010-1.1-11-128-010» ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по теме: «АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» (промежуточный, этап № 1) Наименование этапа: «Постановка задач» Руководитель темы _________________ Е. П. Вдовин подпись, дата Новосибирск 2010 1 Руководитель темы д.ф.-м.н. СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ Вдовин Е.П. (раздел 1,9, ______________ подготовка) подпись, дата Исполнители темы Директор ИМ СО РАН д.ф.-м.н., академик РАН за.в. отделом алгебры ИМ СО РАН д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН г.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. г.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. г.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. в.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. в.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. в.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. в.н.с. ИМ СО РАН, д.ф.-м.н. с.н.с. ИМ СО РАН, к.ф.-м.н. с.н.с. ИМ СО РАН, к.ф.-м.н. 2 ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата Ершов Ю.Л.(раздел 2) Мазуров В.Д. (раздел 1) Васильев А.В. (раздел 1) Желябин В.Н. (раздел 7) Романовский Н.С. (раздел 3) Бардаков В.Г. (раздел 1) Заварницин А. В. (раздел 4) Колесников П.С. (раздел 6) Ревин Д.О. (раздел 1) Гречкосеева М.А. (раздел 4, ______________ введение) подпись, дата ______________ подпись, дата Пожидаев А.П. (раздел 7) с.н.с. ИМ СО РАН, к.ф.-м.н. н.с. ИМ СО РАН, к.ф.-м.н. н.с. ИМ СО РАН, к.ф.-м.н. Инж.-иссл. ИМ СО РАН Инж.-иссл. ИМ СО РАН Ассистент НГУ Студент НГУ Студент НГУ ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата Бутурлакин А.А. (раздел 4) Мамонтов А.С. (раздел 2) Гончаров М.Е. (раздел 1) Кайгородов И. Б. (раздел 7,8, ______________ подготовка, реферат) подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата ______________ подпись, дата Студент НГУ ______________ подпись, дата Студент НГУ ______________ подпись, дата Студент НГУ ______________ подпись, дата Студент НГУ ______________ подпись, дата Студент НГУ ______________ подпись, дата 3 Чуркин В.А. (раздел 2) Дудкин Ф.А. (раздел 3) Губарев В.Ю. (раздел 2) Воронин В.Ю. (раздел 5) Руденко А.С. Захаров А.С. Лыткин Д. В. Аверкин Е. М. Курмазов Р. К. Студент НГУ ______________ подпись, дата Нормоконтролер ______________ подпись, дата 4 Кривоногов А.С. (раздел 2) Волков Ю. С. РЕФЕРАТ Отчет 52 с., 3 прил. Ключевые слова: конечные группы, йордановы супералгебры, структуризуемые супералгебры, конформные алгебры, коалгебры, диалгебры, биалгебры, жесткие группы. Объектами исследования являются фундаментальные проблемы в следующих направлениях современной алгебры: теория неассоциативных алгебр, теория конечных групп и алгебраическая геометрия. Выполнение НИР в целом направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов. Частными целями проведения работ являются: Выявление более глубоких взаимосвязей между современным аспектами алгебры и изучение особенностей возникающих проблем. Привлечение студентов и аспирантов к научно-исследовательской работе, что позволит: воспитать у студентов математическую культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения математики; развить системное мышление; познакомить с ролью теоретической и прикладной математики в современной жизни; выработать навыки математического исследования, интерпретации результатов исследования и оценки точности полученного решения; выработать навыки доведения решения до практически приемлемого результата – числа, графика, точного качественного вывода с применением для этого современных компьютерных технологий; выработать умение самостоятельно работать со специальной математической литературой, получать и осознанно применять полученные знания; сформировать стиль мышления, необходимый для успешного использования компьютерных и информационных технологий при исследовании прикладных задач. В ходе выполнения 1 этапа получены следующие результаты: Доказано существование копроизведения в категории градуированных жестких групп, с помощью этой конструкции построена координатная группа аффинного 5 пространства данной размерности и доказана неприводимость (в топологии Зарисского) всего пространства. Получен критерий существования π-холловых подгрупп в конечной группе. Получен критерий сопряженности всех π-холловых подгрупп в конечной группе. Решена проблема Ши Вужди из «Коуровской тетради»: доказано, что конечная и конечная простая группа, имеющие одинаковые спектры и порядки, изоморфны. Изучено композиционное строение конечных групп, изоспектральных простым линейным и унитарным группам. Описано строение максимальных коклик в графе простых чисел конечных простых групп. Доказано, что любая конечная простая группа распознаётся в классе всех конечных групп по её спектру и порядку. Доказана конечность периодической группы, порождённой парой почти квадратичных автоморфизмов абелевой группы. Получена формула числа подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага—Солитера с произвольными ненулевыми параметрами. Получено полное описание всех подгрупп конечного индекса групп Баумслага—Солитера с взаимно простыми параметрами. Завершено арифметическое описание спектров всех конечных простых классических групп. Показано, что не существует трех конечных простых групп с одинаковым спектром. Доказано, что простая группа L16(2) однозначно определяется своим графом простых чисел среди всех конечных групп. Тем самым предъявлен первый пример распознаваемой по графу группы со связным графом простых чисел. Построены новые примеры йордановых супералгебр над произвольным полем. Классифицированы простые конечномерные структуризуемые и некоммутативные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Описаны δ-супердифференцирования простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр. В результате исследований получены новые фундаментальные результаты мирового уровня, которые вошли в докторские и кандидатские диссертации и дипломные работы исполнителей, доложены на различных научных форумах, опубликованы в монографиях и статьях и внедряются в учебный процесс Новосибирского государственного университета. 6 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 8 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАНИЙ 9 В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ГРУПП И ТЕОРИИ КОЛЕЦ 2 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, ОТНОСЯЩЕЙСЯ К ТЕМАТИКЕ ПРОЕКТА 16 3 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 19 4 ИЗУЧЕНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ ИССЛЕДВАНИЙ 21 ПОСТРОЕННЫХ МОДЕЛЕЙ 5 ИЗУЧЕНИЕ ДИАЛГЕБР 25 6 ИЗУЧЕНИЕ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР 26 7 ИССЛЕДОВАНИЯ В ГРАДУИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 28 8 ОЦЕНКА АКТУАЛЬНОСТИ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ 33 9 ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ 35 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 39 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ А СПИСОК ПРЕДСЛАВЛЕННЫХ И 43 ЗАЩИЩЕННЫХ ПРИЛОЖЕНИЕ Б СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ 44 ПРИЛОЖЕНИЕ В СПИСОК СДЕЛАННЫХ ИСПОЛНИТЕЛЯМИ 47 ДОКЛАДОВ 7 ВВЕДЕНИЕ Выполнение НИР направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов. В состав разрабатываемой научной продукции входят математические модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации результатов исследований в отечественных и зарубежных изданиях; диссертации; отчет о НИР, содержащий обоснование развиваемых направлений исследований, изложение методик проведения исследований, а также описание полученных результатов. Как уже отмечено выше, результаты исследований носят фундаментальный характер и могут быть востребованы во многих сферах научной деятельности. Например, при проведении современных исследований в области теории колец и теории групп, в частности в теории супералгебр, теории диалгебр, теории биалгебр, теории конечных групп, алгебраической геометрии и в других областях. Результаты исследований вошли в докторские и кандидатские диссертации, а также курсовые и дипломные работы исполнителей. Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении математических курсов для студентов старших курсов; при проведении курсов повышения квалификации молодых преподавателей НГУ и проведении специальных семинаров по современным разделам математики в Новосибирском Государственном университете. Результаты подтверждены публикациями в реферируемых журналах по математике, а также выступлениями на российских и международных конференциях по тематике НИР. Хотя исследования 1 этапа являются заделом для всей НИР, исполнителями уже получен ряд результатов мирового уровня. Получены новые фундаментальные результаты, найдены новые подходы, разработаны новые алгоритмы, найдены новые приложения, опубликованы новые научные статьи, защищены диссертации и дипломные работы, и осуществляется внедрение результатов в учебный процесс. 8 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ГРУПП И ТЕОРИИ КОЛЕЦ. Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Группы с одинаковыми спектрами называются изоспектральными. Группа называется распознаваемой по спектру, если она однозначно задается своим спектром в классе всех конечных групп, другими словами, если все изоспектральные ей конечные группы изоморфны между собой. Группа называется почти распознаваемой по спектру, если существует только конечное число попарно неизоморфных изоспектральных ей конечных групп. Несколько лет назад была высказана гипотеза о том, что все простые классические группы достаточно большой размерности почти распознаваемы по спектру. Основная проблема, в рамках которой проводятся исследования по проекту, состоит в проверке этой гипотезы. На настоящий момент гипотеза подтверждена только для одной серии простых классических групп, а именно, для простых линейных групп над полями характеристики 2. Изучение конечных групп, изоспектральных простым, как правило, проводится по следующей схеме. Пусть L - конечная простая классическая группа размерности, большей 4. Как установлено в 2005 г. А.В. Васильевым и Е.П. Вдовиным [1], любая конечная группа, изоспектральная L, имеет единственный неабелев композицонный фактор S. На первом шаге необходимо показать, что в качестве S может выступать только конечное число простых групп Si. На втором шаге для каждого i нужно доказать, что при любом действии Si на элементарной абелевой группе в естественном полупрямом произведении возникает элемент, порядок которого не содержится в спектре группы L. Если оба шага выполнены, то группа L почти распознаваема по спектру. На отчетном этапе рассматривалась задача, возникающая на первом шаге. А.В. Васильевым (совместно с А.М. Старолетовым и М. А. Гречкосеевой) был получен следующий результат. Если L простая линейная или унитарная группа размерности, большей 5, над полем характеристики p и G - конечная группа, изоспектральная L, то единственный неабелев композиционный фактор группы G либо изоморфен L, либо является группой лиева типа над полем характеристки, отличной от p. Доказательство 9 ведется в терминах коклик графов простых чисел и опирается на связь между кокликами графа группы L и кокликами графа группы S, при этом широко используются классические методы теории конечных групп и теоретико-числовые теоремы о примитивных простых делителях. Отметим, что среди имеющихся на сегодняшний день результатов о распознаваемости по спектру классических групп утверждения, касающиеся всех групп достаточно большой размерности, крайне редки, поэтому полученный результат будет интересен широкому кругу специалистов. Вместе с результатом А.В. Васильева, М.А. Гречкосеевой и В.Д. Мазурова 2009 года о простых симплектичеких и ортогональных группах [2] полученный результат по сути сводит решение рассматриваемой задачи к изучению «случая другой характеристики», т.е. ситуации, когда L и S - группы лиева типа над полями разных характеристик. Именно эта ситуация будет исследована в дальнейшем. Исследование теорем силовского типа в конечных группах давно оформилось в отдельное направление, по которому опубликованы тысячи работ, и которое привлекает внимание сотен исследователей во всём мире. Наиболее естественным и изучаемым обобщением силовских подгрупп является понятие холловой подгруппы. Результаты, полученные в рамках настоящего проекта с одной стороны завершают многолетние исследования различных специалистов всего мира, а с другой — открывают перспективы для исследования широкого круга проблем. Эти результаты носят прорывной характер, укрепляют ведущие позиции российских специалистов в данном направлении исследований. За отчетный период, Е. П. Вдовиным и Д. О. Ревиным построена полная теория холловых классов E π и Cπ в конечных группах. Тем самым, все мыслимые вопросы о холловых подгруппах стали алгоритмическими. В работе М.Е. Гончарова рассматривается аналог классического уравнения Янга-Бакстера на алгебре Мальцева. В частности показано, что любое решение этого уравнения индуцирует на алгебре Мальцева структуру биалгебры Мальцева. Описываются структуры биалгебры Мальцева на простой семимерной нелиевой алгебре Мальцева над алгебраически замкнутом поле. Биалгебры Мальцева являются обобщением биалгебр Ли. Биалгебры Ли - это одновременно алгебры Ли и 10 коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коциклом. Биалгебры Ли были введены Дринфельдом для изучения решений классического уравнения Янга Бакстера. Желябиным было дано определение биалгебры по Дринфельду (Дбиалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга - Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Одним из условий ассоциативных Д-биалгебр является то, что коумножение это дифференцирование исходной алгебры в ее тензорный квадрат, рассмотренный как бимодуль над исходной алгеброй. Такие биалгебры были введены в работе Joni, S.A. and Rota G.C. [3] и изучались в работе Aguiar M. [4]. В последней работе были изучены некоторые свойства решений ассоциативного аналога уравнения Янга-Бакстера и свойства сбалансированных биалгебр (другое название Д-биалгебр). Ассоциативные классические уравнения Янга-Бакстера с параметрами рассматривались в работе Полищюка (Clasic Yang-Baxter Equation and the A-constraint). Класс йордановых Д-биалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга - Бакстера, был определен в работе Желябина [5], где было доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу. С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. В работе Мудрова [6] тройки Манина для ассоциативных алгебр изучались как инструмент построения решений уравнения Янга-Бакстера. Альтернативные Д-биалгебры и их связь с альтернативным уравнением Янга-Бакстера изучались в работе Гончарова [7]. В частности, были описаны все структуры альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли-Диксона. В работе Желябина (Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли) была установлена связь йордановых Д-биалгебр с биалгебрами Ли. В частности было доказано, что если алгебра L(J), полученная по конструкции Кантора-Кехера-Титса (ККТ) из йордановой алгебры J, допускает структуру биалгебры Ли, то при некоторых естественных ограничениях алгебра J допускает структуру йордановой Д-биалгебры. Там же было доказано, что если 11 (A(+), D(+)) присоединенная йорданова Д-биалгебра для ассоциативной Д- биалгебры (A,D), то на алгебре L(A(+)) можно задать структуру биалгебры Ли, связную со структурой биалгебры (A(+),D(+)). Гончаровым доказывается аналог данного утверждения в случае, когда A~ (A,D) - альтернативная Д-биалгебра. матричная алгебра Кэли-Диксона, а пара Вместе с этим строится пример альтернативной Д-биалгебры (A,D), для которой структуру присоединенной йордановой Д-биалгебры (A(+),D(+)) нельзя продлить до структуры биалгебры Ли на алгебре L(A(+)). В работе Белавин и Дринфельда [8] были построены функциональные решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. Используя идеи этой работы, Столиным были описаны все структуры биалгебр Ли, заданные на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. В рамках проекта рассматривались задачи построения суперструктурного вложения йордановой диалгебры в алгебру Лейбница (некоммутативного аналога классической конструкции Кантора-Кёхера-Титса) и существования точного представления конечного типа у ассоциативных конформных алгебр. Данные задачи лежат в русле исследования строения и представлений новых неассоциативных структур в теории колец. Теории конформных алгебр и диалгебр, возникшие в алгебре примерно одновременно в середине 90х годов, имеют различное происхождение и долгое время развивались независимо и параллельно. Конформные алгебры изучались в работах В. Каца и соавторов с 1996 г. как инструмент исследования алгебр вертексных операторов в математической физике. Именно, структура конформной алгебры кодирует сингулярную часть операторного разложения произведения полей в конформной теории поля. Диалгебры (введены Ж.-Л. Лодеем в 1993 г.) возникли в исследованиях когомологий алгебр Ли и Лейбница. Различные классы диалгебр возникали в работах ряда зарубежных авторов при изучении вопросов, связанных со структурой алгебр Лейбница одного из наиболее важных некоммутативных обобщений алгебр Ли. В работе Velasquez-Felippe [9] было введено понятие, аналогичное понятию йордановой диалгебры и была поставлена проблема построения аналога конструкции КантораКёхера-Титса для этих алгебр. Данный вопрос носит фундаментальный характер, 12 поскольку все существующие йордановы структуры (алгебры, супералгебры, пары, тройки, биалгебры) допускают вложение в соответствующие лиевы конструкции. В работе П.С. Колесникова [10] была обнаружена тесная связь между диалгебрами и конформными алгебрами. Это обусловливает существенное расширение набора методов, используемых в обеих областях, и позволяет получить ряд новых результатов. В частности, нами показано, что любая диалгебра многообразия Var (над полем характеристики нуль) вкладывается в конформную алгебру петель над обычной алгеброй многообразия Var. Также в рамках проекта нами показано, что любая йорданова диалгебра вложима в алгебру Лейбница (диалгебру Ли). Построенное вложение функториально, сохраняет полупростоту и нильпотентность. Это полностью решает вопрос, поставленный в упомянутой работе VelasquezFelippe [9]. Данный результат может быть применен для структурного исследования разрешимых и нильпотентных йордановых диалгебр и алгебр Лейбница. Задача существования точного представления у конформных алгебр является одной из наиболее важных в соответствующей области. Дело в том, что если конформная алгебра имеет точное представление конечного типа, то она является подалгеброй в алгебре конформных эндоморфизмов конечно-порожденного модуля над алгеброй многочленов. Структура этой конформной алгебры хорошо изучена в работах Ретаха (2000, 2006), Бакалова, Каца, Д'Андреа (2001), Колесникова (2006). Для ассоциативных конформных алгебр эта задача эквивалентна задаче присоединения единицы к конформной алгебре. Соответствующая проблема была сформулирована Зельмановым (2003) и оставалась долгое время нерешенной. Отметим, что для ассоциативных диалгебр вопрос о возможности присоединения единицы решается положительно (см. [11]). В рамках проекта обе задачи (существования точного представления конечного типа и возможности присоединения единицы) для ассоциативных конформных алгебр полностью решены. Доказано, что любая ассоциативная конформная алгебра конечного типа имеет точное конформное представление конечного типа и, следовательно, допускает присоединение единицы. Показано, что этот результат не может быть обобщен: приведены контрпримеры конформных алгебр линейного роста и локально конечных. Данный результат в сочетании в результатом М. Ройтмана позволяет заключить, что 13 конечно-порожденная нильпотентная конформная алгебра Ли имеет точное конформное представление конечного типа. Доказательство данного факта для всех конформных алгебр Ли конечного типа представляет собой задачу для дальнейшего исследования, решение которой имеет фундаментальное значение не только для алгебры, но и для математической физики. Простые йордановы супералгебры изучались в работах Е. Зельманова, В. Каца, К. Мартинес, К. Маккримона, И. Кантора, М. Расина, И. Шестакова. В. Желябин и И. Шестаков описали унитальные простые специальные йордановы супералгебры с ассоциативной четной частью A, нечетная часть M которых является ассоциативным A-модулем. Как оказалось, если супералгебра не является супералгеброй невырожденной билинейной суперформы, то ее четная часть A дифференциально простая алгебра относительно дифференцирований, а нечетная часть M некоторого множества конечнопорожденный проективный A- модуль ранга 1. Кроме того, каждая такая йорданова супералгебра является подсупералгеброй в супералгебре векторного типа. При некоторых ограничениях на алгебру A нечетная часть M является однопорожденным A-модулем, и следовательно, исходная йорданова супералгебра будет изоморфна супералгебре векторного типа. Так, например, если A локальная алгебра, то по известной теореме Капланского нечетная часть M является свободным, а следовательно, однопорожденным A-модулем. Если основное поле имеет характеристику p > 2, то A является локальной алгеброй, и поэтому нечетная часть M A-модуль. Если A однопорожденный кольцо полиномов от конечного числа переменных, то в силу известного результата Суслина нечетная часть M свободный, а поэтому, однопорожденный A-модуль. Естественно, возник вопрос, будет ли исходная супералгебра изоморфна супералгебре векторного типа? Что эквивалентно вопросу: будет ли нечетная часть M однопорожденным A-модулем? В. Желябиным и И. Шестаковым построены примеры унитальных простых специальных йордановых супералгебр с ассоциативной четной частью, у которой нечетная часть M не является свободным модулем, т.е. однопорожденным модулем. В этих примерах основное поле является либо полем действительных чисел, либо любым полем характеристики 0, в котором неразрешимо уравнение t2+ 1 = 0. В настоящее время 14 В.Н. Желябиным построен аналогичный пример йордановой супералгебры над произвольным, в частности, алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Также построен новый пример простой йордановой супералгебры, локализация которого является алгеброй Ченга-Каца. Триангуляции топологии. С поверхностей помощью классический триангуляций можно объект вычислять алгебраической род, эйлерову характеристику, гомологические группы, а также другие инварианты поверхностей. Несколько иную точку зрения на триангуляции предложили австралийские математики Кавенах и Ванлес. Изучая латинские квадраты, они сопоставили паре таких квадратов двухцветную триангуляцию сферы и определили группу белых треугольников GW и группу черных треугольников GB. Ими же был записан вопрос в Коуровскую тетрадь (см. вопрос 17.35) об изоморфизме этих групп. За отчетный период изучались группы двухцветных триангуляций различных поверхностей. Доказано, что существует двухцветная триангуляция сферы с тремя компонентами края, у которой число белых треугольников равно числу черных треугольников, но соответствующие им группы не изоморфны. Кроме того, доказано, что для любой группы вида Z2×K, где K - конечная абелева группа, существует двухцветная триангуляция сферы, для которой GW = GB = Z2×K. Одной из классических проблем в теории алгебраических систем является описание групп автоморфизмов. Для многих алгебраических систем, таких как свободные группы, нильпотентные группы и т. д., мы имеем представления групп автоморфизмов в виде порождающих и соотношений. Более того, известно в каких случаях группы автоморфизмов являются линейными. Для групп автоморфизмов алгебр ситуация гораздо сложнее. До сих пор не известно описание порождающих и соотношений групп автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры, а также алгебры многочленов. За отчетный период изучались автоморфизмы свободных ассоциативных алгебр и алгебр многочленов. 15 2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, ОТНОСЯЩЕЙСЯ К ТЕМАТИКЕ ПРОЕКТА. Случайные матрицы — классическая область исследований на стыке линейной алгебры, теории вероятностей и анализа, интересная приложениями в физике и механике (см. обзоры [12,13]). Первоначальные исследования 1960х годов были посвящены симметрическим и эрмитовым матрицам, распределению их спектров. Однако в 1990е годы появился интерес к другим классам матриц. Одна из первых работ в этом направлении — [14]. В ней найдена доля матриц с вещественным спектром в пространстве вещественных матриц порядка n. Можно рассмотреть аналогичную проблему для линейных вещественных алгебр Ли. Кривоноговым А. С. была решена задача в алгебре Ли группы симплектических матриц и был найден метод вычисления этой доли P2n при любом порядке матриц 2n. В частности, показано, что при верно Данный результат согласуется с результатом, полученным А. Эдельманом [14] для матриц порядка 2. Для решения этой задачи был доказан аналог теоремы о разложении Шура для матриц с простым вещественным спектром в алгебре симплектических матриц и найдена параметризация множества матриц с вещественным спектром в данной алгебре. В конце 20-го столетия были открыты квазикристаллы -- новое состояние вещества и возникла задача их описания и классификации. Ранее, на рубеже 19-го и 20-го веков, задача принципиального описания кристаллических решеток была успешно решена Федоровым и Шенфлисом по типу изоморфизма кристаллографических групп (всех симметрий таких решеток). С. П. Новиков предложил использовать для классификации квазикристаллов тип изоморфизма так называемых квазикристаллографических групп. Задача интересна с точки зрения физики и химии для евклидовой плоскости и трехмерного евклидова пространства. Обзор результатов в этой активно развивающейся области исследований можно найти в работе [15], а также в книге [16]. Эта тематика активно развивается и за рубежом, (см. [17,18]). Отметим, что один из путей решения задачи классификации 16 квазикристаллографических групп приводит к задачам кристаллографии в псевдоевклидовых пространствах. Р.М. Гарипов в работе [19] заметил, что его алгебраический метод классификации кристаллографических групп в евклидовых пространствах годится и в пространствах Минковского, поскольку аналог ослабленной теоремы Бибербаха об однозначной определимости решетки трансляций абстрактными свойствами кристаллографической группы справедлив в пространствах Минковского. В.А. Чуркиным доказано, что ослабленная теорема Бибербаха верна и в псевдоевклидовых пространствах индекса (т.е. максимальной размерности изотропных подпространств) не более 2. Там же построена серия кристаллографических групп движений псевдоевклидовых пространств индекса больше 2, каждая из которых содержит по крайней мере две различные псевдоевклидовы решетки - возможные решетки трансляций при реализации группы в качестве кристаллографической группы движений псевдоевклидова пространства. Такие группы обладают нестандартными автоморфизмами, не оставляющими решетку трансляций на месте. Возникает естественный вопрос сколько псевдоевклидовых решеток может содержать данная кристаллографическая группа, сколько может быть нестандартных автоморфизмов? В результате, В. А. Чуркиным была сформуирована Гипотеза. В каждой кристаллографической группе движений псевдоевклидова пространства может быть только конечное число псевдоевклидовых решеток. Это означало бы, что существует только конечное число нестандартных изоморфизмов, по модулю которых ослабленная теорема Бибербаха была бы верна. В конце 2009 года исследована «самая малая» группа с двумя решетками и на ее основе построена группа с большим конечным числом решеток. Точнее, доказано, что существует кристаллографическая группа W движений псевдоевклидова пространства R3,3, содержащая ровно две псевдоевклидовых решетки. Дополнительным условием минимальности группа W задается однозначно с точностью до изоморфизма, а ее решетки автоморфно сопряжены, Декартова степень Wn содержит ровно 2n псевдоевклидовых решеток типа (3n, 3n) и любые две из них автоморфно сопряжены. Начато изучение конечных групп периода 12. Исследования основываются 17 на известной теореме Холла-Хигмена, которая ограничивает 2-длину и 3-длину разрешимой группы в терминах периода группы. Теорема Холла-Хигмена по сути позволяет выделить в самой группе некоторые «этажи», начатые исследования посвящены уже более детальному изучению самих этих «этажей». Рассмотрен случай, когда группа G является расширением нормальной 2-подгруппы H при помощи элемента z порядка 3, и группа G действует на векторном пространстве V над полем из трех элементов так, что любой элемент порядка 3 действует квадратично. Известно, что в этом случае H является произведением централизатора z и подгруппы [H,z]. Элемент z действует тривиально на своем централизаторе, и потому из самого действия автоморфизма z не получится прояснить строение централизатора, однако удалось прояснить строение группы [H,z]. Доказано, что группа [H,z] нильпотента ступени не больше 2. Также описаны подгруппы, порожденные инволюцией и элементом порядка 3, а также двумя элементами порядка 3. Данный результаты являются важным шагом на пути описания конечных групп периода 12. Начат обзор литературы, посвященный действию конечных групп на векторных пространствах, в ситуациях, которые близки к рассматриваемой. Исследуются подгруппы, порожденные несколькими элементами малых порядков в группах периода 12. В своем препринте Д. Скотт определил категорию EQU эквилогических пространств, обладающую рядом замечательных свойств. Объектами EQU являются пары (X, ~X), где X – топологическое (T0) пространство, а ~X – (произвольное) отношение эквивалентности на X. Если (X, ~X) и (Y, ~Y) – эквилогические пространства (т.е. объекты EQU), то эквивариантным отображением из (X, ~X) в (Y, ~Y) называется всякое непрерывное отображение f : X → Y , сохраняющее эквивалентности (~X) и ~Y. Морфизмами в категории EQU из (X, ~X) в (Y, ~Y) являются классы эквивалентности эквивариантных отображений из (X, ~X) в (Y, ~Y) с естественно определенной композицией (по представителям). Категория EQU содержит категорию TOP топологических пространств в качестве полной подкатегории, если отождествить топологическое пространство X с эквилогическим пространством (X, idX). Основным категорным свойством категории EQU является ее декартова замкнутость. В работе Скотта 1998 г. доказано, что категория bc18 областей является полной поддекартово замкнутой подкатегорией категории EQU и поставлен вопрос (вопрос 2), не будет ли категория бифинитных областей так же полной поддекартово замкнутой подкатегорией категории EQU? В настоящей работе Ю.Л. Ершова дается положительный ответ на этот вопрос. Для этого исследуется вопрос, когда объект из EQU (PEQU) изоморфен топологическому объекту. 3. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Алгебраическая геометрия над группами – новая область в алгебре, с использованием которой Мясников, Харлампович и Села решили известные проблемы Тарского о свободных группах. Н.С.Романовским и А.Г.Мясниковым был найден широкий класс разрешимых групп – жесткие группы, в котором удачно работают методы алгебраической геометрии над группами. С использованием методов коммутативной алгебры Н.С.Романовский доказал нетеровость по уравнениям жестких групп и нашел подход к изучению алгебраических множеств над такими группами. Удалось описать координатные группы неприводимых алгебраических множеств над делимыми распавшимися жесткими группами. Разработанные методы и техника могут быть применены также к решению алгоритмических проблем над жесткими группами. Доказано существование копроизведения в категории градуированных жестких групп, с помощью этой конструкции построена координатная группа аффинного пространства данной размерности и доказана неприводимость (в топологии Зарисского) всего пространства. В свое время, у В.А.Шарафутдинова в векторной томографии [20,21] возникла проблема поиска базиса и размерности подпространства V 0 в пространстве k Rn - k-я внешняя степень пространства R симметрическая степень, где V 0 =L x 1∧ .. .∧ x k n m m k n , V m,n,k =S ∧ R V , где - его m-я . Известно, что квадратичные соотношения Плюккера позволяют представить многообразие Грассмана G n,k как k n алгебраическое многообразие в проективном пространстве P ∧ R . В недавней работе [22] было построено новое множество квадратичных соотношений, 19 задающих это представление и имеющих ранг 6. Данная проблематика успешно изучалась В. Ю. Губаревым. Им положительно решается вопрос о размерности и базисе подпространства V 0 в пространстве V , частично совпадая с результатами [23]. На основе этих результатов приводится множество линейных и квадратичных соотношений рангов 3 и 4, задающее многообразие Грассмана в пространстве S 2 ∧ k Rn . В 1962 году Г. Баумслаг и Д. Солитер нашли серию нехопфовых групп с одним соотношением простого вида в классе групп BS(p,q)= < a, t | t-1 ap t=aq >. Здесь p и q -- пара ненулевых целых чисел (параметры). На протяжении почти 50 лет эти группы активно исследовались. Мескин доказал, что группа BS(p,q) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда p| q или q| p. Коллинз описал группу автоморфизмов BS(p,q) при взаимно простых p и q. Коллинз и Левин заметили, что группа BS(p,q), где |p| и |q| не равны единице и одно из чисел p и q делит другое, имеет бесконечно порожденную группу автоморфизмов. Доказано, что группа BS(p,q) при |p| не равном |q| не может быть подгруппой фундаментальной группы связного ориентируемого 3-многообразия. Никакая группа Баумслага--Солитера не может быть подгруппой гиперболической группы. Группа BS(p,q) обладает автоматной структурой тогда и только тогда, когда |p|=|q|. Таким образом группы Баумслага—Солитера в настоящее время исполняют роль тестовых групп. Многие вопросы об этих группах до сих пор не решены. Несомненно, специалисты по теории групп будут в дальнейшем обращаться к группам Баумслага—Солитера. Поэтому целесообразно иметь наиболее полное описание их свойств для облегчения исследований. В частности важным и классическим вопросом в теории групп является описание подгрупп данной группы. В 2005 году Гелман нашел формулу числа подгрупп конечного индекса для групп Баумслага—Солитера с взаимно простыми параметрами. В 2008 году Баттон получил аналогичную формулу для числа нормальных подгрупп конечного индекса. В рамках выполнения проекта Ф. А. Дудкиным, совместно с В. А. Чуркиным, удалось получить обобщение результатов Гелмана для произвольных параметров. Кроме того, используя формулу Гелмана, было получено полное описание всех подгрупп конечного индекса групп Баумслага—Солитера с взаимно простыми параметрами. Было сделано следующее: 20 найдены два порождающих элемента для всякой подгруппы конечного индекса; найдено простое копредставление для всех подгрупп конечного индекса; решена проблема изоморфизма для подгрупп конечного индекса; найдена формула числа классов сопряженных подгрупп данного конечного индекса. Таким образом, за подотчетный период Дудкиным Ф. А. и Чуркиным В. А. опубликованы достоверные результаты международного уровня, обобщающие и усиливающие известные ранее теоремы о подгруппах групп Баумслага—Солитера. В рамках выполнения проекта, коллективом исследователей были защищены 1 докторская и 3 кандидатских диссертаций (см. Приложение А); опубликовано 30, принято к печати 7, сдано в печать 6 статей. (см. Приложение Б); cделано 3 доклада на отечественных и 44 доклада на международных научных форумах. (см. Приложение В); приняты в штат ООНИ НИЧ и ИДМИ Новосибирского государственного университета: студенты: Воронин Василий Юрьевич, Губарев Всеволод Юрьевич аспиранты: Гончаров Максим Евгеньевич 4 ИЗУЧЕНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ ИССЛЕДВАНИЙ ПОСТРОЕННЫХ МОДЕЛЕЙ Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Группы называются изоспектральными, если имеют одинаковые спектры. Группа G называется распознаваемой по спектру, если все изоспектральные ей конечные группы изоморфны между собой, т.е. изоморфны G. Наибольший интерес проблема распознаваемости по спектру представляет для неабелевых простых групп и групп, близким к ним. Простая неабелева группа L называется квазираспознаваемой по спектру, если любая изоспектральная ей конечная группа содержит единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен L. Очевидно, что распознаваемая простая группа будет квазираспознаваемой. 21 Пусть L – простая группа лиева типа над полем характеристики p. В настоящий момент существуют методы, позволяющие показать, что изоспектральная L группа, как правило, имеет любая конечная единственный неабелев композиционный фактор S. Таким образом, для полного решения проблемы квазираспознаваемости необходимы методы, позволяющие установить, что этот фактор не является ни спорадической, ни знакопеременной группой, ни группой лиева типа над полем характеристики, отличной от p, а также в случае, когда фактор является группой лиева типа над полем характеристики p, установить, что он изоморфен L. До настоящего времени такие методы были известны только для групп малого лиева ранга и групп с несвязным графом простых чисел. В работе Васильева, Мазурова и Гречкосеевой 2009 года в качестве L рассматривались простые симплектические и ортогональные группы, и были разработаны методы, позволяющие установить, что единственный неабелев композиционный фактор S не является ни спорадической, ни знакопеременной группой. В 2010 году эти методы получили свое развитие и были применены к линейным и унитарным группам. В результате получены следующие теоремы. Теорема 1. Пусть L – простая линейная или унитарная группа размерности больше 3, отличная от групп PSL(4, 2) и PSU(4,2). Тогда среди неабелевых композиционных факторов конечных групп, изоспектральных L, нет знакопеременных групп. Теорема 2. Пусть L – простая линейная или унитарная группа размерности больше 3, отличная от группы PSU(5,2). Тогда среди неабелевых композиционных факторов конечных групп, изоспектральных L, нет спорадических групп и нет группы Титса. Теорема 3. Пусть L – простая линейная или унитарная группа размерности больше 3 над полем характеристики p, отличная от группы PSU(4,2). Тогда среди неабелевых композиционных факторов конечных групп, изоспектральных L, нет групп лиева типа над полем характеристики p, отличных от L. Доказательство теорем основано на сравнении спектров группы L и S, проведенном в следующих направлениях: сравнение максимальных коклик графов простых чисел (с использованием результатов Васильева и Вдовина о смежности в 22 графах простых чисел простых групп), сравнение максимальных степеней данного простого числа (с использованием результатов Бутурлакина о строении спектров простых классических групп), сравнение примитивных делителей (с использованием теоремы Жигмонди). Полученные теоремы сводят вопрос о квазираспознаваемости простых линейных и унитарных групп по спектру к вопросу о том, может ли конечная группа, изоспектральная простой или унитарной группе над полем характеристики p, содержать неабелев композиционный фактор, изоморфный группе лиева типа над полем характеристики, отличной от p, и являются существенным продвижением к полному решению проблемы квази-распознаваемости классических групп. Спектр группы является важной и одной из наиболее просто вычислимых характерстик группы. Информация о спектре необходима при решении многих задач теории конечных групп, например, при решении вопроса о распознаваемости группы по спектру. Напомним, что конечная группа G называется распознаваемой по спектру, если любая конечная группа с таким же спектром, что и G, изоморфна G. Задача распознаваемости представляет интерес в первую очередь для конечных простых групп. Согласно классификационной теореме все конечные простые группы делятся на три класса: знакопеременный группы, группы лиева типа и 26 спорадических групп. Хотя многие простые группы являются классическими объектами и много изучались, исчерпывающего описания спектров всех конечных простых групп до сих пор нет. Спектры знакопеременных и спорадических групп известны. Таким образом, необходимо получить описание спектров простых групп лиева типа. В 2010 году Бутурлакиным А.А. было получено описание спектров всех конечных простых симплектических и ортогональных групп, что завершило описание спектров конечных простых классических групп лиева типа. Для более точного изложения полученны результатов нам необходимо дать некоторые оределения. Пусть G - конечная группа лиева типа над полем характеристики p. Множество Ω(G) может быть представлено как объединение трех подмножеств: множества Ω(G) порядков всех унипотентных элементов, т.е. элементов, чей порядок является степенью числа p, множества Ωp'(G) порядков всех полупростых элементов, т.е. элементов, чей порядок взаимно прост с p, и множества Ωm(G) всех 23 остальных "смешанных" порядков. Таким образом, задача описания спектра конечной группы лиева типа распадается на три подзадачи. Максимальный порядок унипотентных элементов в любой конечной группе лиева типа найден в работе Д.Тестерман 1995 года. Хорошо известно, что любой полупростой элемент группы лиева типа содержится в некотором ее максимальном торе. В работе Бутурлакина и Гречкосеевой [24] года было получено описание циклического строения максимальных торов во всех простых классических группах, и тем самым были описаны полупростые части спектров этих групп. Таким образом, оставалось описать смешанные части спектров симплектических и ортогональных групп. По результатам работ Мазурова, Ши и Танга 1997 года был записан в «Коуровскую тетрадь» вопрос 16.25: Существуют ли три попарно неизоморфные конечные неабелевы простые группы с одним и тем же спектром? С помощью полученных результатов о спектрах конечных простых классических Бутурлакиным был получен отрицательный ответ на этот вопрос. В области распознаваемости конечных групп арифметическими параметрами важным направлением является исследование того, насколько однозначно данная группа определяется своим графом простых чисел. Напомним, что графом простых чисел конечной группы G называется граф, множеством вершин которого является совокупность простых делителей порядка |G|, в котором две различные вершины p,q соединены ребром, тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка pq. Часто строение графа простых чисел несёт много информации об исходной группе. Например, конечные группы с несвязным графом имеют очень ограниченное строение, как показывает известная теорема Грюнберга-Кегеля. Группу G, однозначно определяемую в классе конечных групп своим графом простых чисел будем называть распознаваемой по графу. Оказывается, доказательство распознаваемости группы G по графу может потребовать применения тонких свойств модулярных представлений группы G, таких как наличие нетривиальных неподвижных точек элементов больших простых порядков в соответствующих модулях. К настоящему времени известно несколько индивидуальных примеров конечных групп, распознаваемых по графу [25]. Вопрос о распознаваемости многих 24 простых до сих пор открыт. Заварнициным А. В. получен следующий результат: Теорема. Если G - конечная группа, граф простых чисел которой совпадает с графом простой группы L16(2) и факторгруппа G/O2(G) изоморфна группе L16(2), то O2(G)=1. Отсюда вытекает существование первого примера распознаваемой по графу простой группы со связным графом простых чисел, следовательно, группа L16(2) распознаваема по графу. Отметим, что попытка дать полное доказательство того, что группа L16(2) распознаваема по графу была предпринята в статье [26]. Однако в доказательстве леммы 3.4 (с. 56, стр. 20) этой работы имеется существенный пробел, заключающийся в применении леммы 2.5 для того, чтобы показать существование в группе G элемента порядка (215-1)p. Но лемма 2.5 не может быть использована в случае p=2. Предложенное Заварнициным А. В. доказательство распознаваемости группы L16(2) может быть в обобщённом виде использовано в дальнейших исследованиях арифметических свойств конечных простых групп. 5. ИЗУЧЕНИЕ ДИАЛГЕБР Диалгеброй называется векторное пространство с двумя операциями левого и правого умножения. Ассоциативные диалгебры были введены Лодеем в 1993 году, с их помощью строится универсальная обёртывающая для алгебр Лейбница. Далее в литературе появлялись различные типы диалгебр, и, наконец, Колесников в 2008 году из общеалгебраических соображений, основанных на теории операд, показал как для определённого многообразия алгебр построить соответствующее многообразие диалгебр. В частности, были указаны 3 тождества, определяющие многообразие йордановых диалгебр. Независимо Веласкес и Фелиппе из других соображений определили понятие квазийордановой алгебры как некоммутативного аналога йордановой алгебры, кроме того они приведели 2 тождества, которым удовлетворяют квазийордановы алгебры. Далее Бремнер указал недостающее тождество, которому удовлетворяли все приведённые в статье Веласкеса и Фелиппе примеры квазийордановых алгебр. Вместе с недостающим тождеством получилось 3 тождества, алгебры удовлетворяющие этим 3 тождествам были названы 25 полуспециальными квазийордановыми алгебрами. После этого понятия полуспециальной квазийордановой алгебры и йордановой диалгебры стали эквивалентны. В работе Бремнера и Перези по аналогии с обычными алгебрами введено понятие специальной йордановой диалгебры и специального тождества (sтождества) как тождества, которое выполнено во всех специальных йордановых диалгебрах, но не выполняется во всех йордановых диалгебрах. Одним из основых результатов работы Бремнера и Перези является доказательство отсутствия sтождеств степени ≤ 7 и пример s-тождества степени 8, этот результат получен методами компьютерной алгебры. Также Бремнер и Перези поставили проблему обобщить классические результаты, известные для специальных йордановых алгебр, на случай диалгебр. В данной работе решены все задачи, поставленные Бремнером и Перези. В дальнейшем возможно обобщение других классических результатов на случай диалгебр. Методами исследования является сведение задач для диалгебр к задачам для обычных алгебр, также существенно используются конформные алгебры. Исходя из представленных соображений по изучению диалгебр, Ворониным В. Ю. Был получен результат Бремнера и Перези как следствие из доказанной теоремы о соответствии s-тождеств диалгебр и обычных алгебр, при доказательстве не использовались методы компьютерной алгебры. Кроме того, им доказаны следующие аналоги классических теорем: 1. теоремы Кона о характеризации элементов свободной специальной йордановой диалгебры от ≤2 порождающих как симметрических элементов свободной ассоциативной диалгебры; 2. критерия Кона о специальности фактор-алгебры йордановой диалгебры, из которого следует, что специальные йордановы диалгебры не образуют многообразие; 3. теоремы Ширшова о том, что свободная йорданова диалгебра от двух порождающих специальна; 4. теоремы Макдональда о специальных тождествах от трёх переменных. 6. ИЗУЧЕНИЕ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР Конформные алгебры – это алгебраические системы, возникающие при аксиоматизации 26 свойств коэффициентов сингулярной части операторного разложения произведения (OPE) киральных полей в конформной теории поля. По отношению к вертексным алгебрам конформные алгебры играют ту же роль, что алгебры Ли по отношению к их ассоциативным обертывающим алгебрам. Исследование структуры и свойств конформных алгебр представляет собой интересную алгебраическую задачу, имеющую важное значение как в плане применения результатов в математической физике, так и в плане лучшего понимания строения бесконечномерных обычных алгебр, обладающих дополнительным свойством локальности. Один из важных вопросов в этой области – вопрос о существовании точных конформных представлений у конформных алгебр. Наличие точного представления конечного типа позволяет вкладывать конформную алгебру в алгебру матричных дифференциальных операторов, структура которой хорошо известна. Конформные алгебры, их представления и когомологии изучались в ряде работ преимущественно зарубежных авторов (V.G. Kac, A.D’Andrea, S.-J.Cheng, B.Bakalov, A.Voronov, M.Roitman, A.Retakh и др.). Аналогами конечномерных объектов для конформных алгебр являются алгебры конечного типа --- конечно-порожденные модули над H=k[D]. Как хорошо известно, если обычная (ассоциативная или лиева) алгебра A имеет точное конечномерное представление, то A сама является конечномерной. Для конформных алгебр это не так – существуют конформные алгебры бесконечного типа, имеющие точное конформное представление конечного типа. Поэтому целесообразно рассматривать другой класс «малых» конформных алгебр --имеющих точное представление конечного типа. Структурная теория таких алгебр для ассоциативного случая построена в работах П.Колесникова, для случая алгебр Ли частичное продвижение получено в работах V.Kac, A.DeSole, E.Zelmanov, но в общем виде задача остается нерешенной. Более того, оставалось неизвестным, включает ли класс ассоциативных (лиевых) конформных алгебр с точным представлением конечного типа класс соответствующих конформных алгебр конечного типа. Для ассоциативного случая этот вопрос тесно связан с вопросом о возможности присоединения единицы к конформной алгебры, который был поставлен в 2006 (A.Retakh). Последний вопрос интересен сам по себе, поскольку конформные 27 алгебры с единицей имеют хорошо описанную структуру дифференциальных конформных алгебр. В нашем исследовании нами решены обе данных проблемы. Показано, что ассоциативная конформная алгебра конечного типа без кручения имеет точное конформное представление конечного типа. В частности, такая алгебра может быть вложена в ассоциативную конформную алгебру с единицей. Однако для произвольной ассоциативной конформной алгебры без кручения последнее неверно: нами построены примеры ассоциативных конформных алгебр (линейного роста и локально конечных), не вложимых в алгебры с единицей. Для конформных алгебр Ли одним из важнейших нерешенных вопросов является следующий: верен ли аналог классической теоремы Адо для конформных алгебр без кручения? Легко видеть, что полупростые алгебры конечного типа обладают точным представлением конечного типа. С другой стороны, любая конформная алгебра Ли конечного типа (по аналогии с обычными алгебрами) имеет наибольший разрешимый идеал (радикал), фактор по которому полупрост. Возникает естественный вопрос: верен ли аналог теоремы Адо для разрешимых конформных алгебр? Колесниковым П. С. показано, что ответ на этот вопрос положителен: разрешимая конформная алгебра Ли конечного типа без кручения имеет точное конформное представление конечного типа. Также показано, что если конформная алгебра Ли конечного типа удовлетворяет конформному аналогу теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта, то для нее верен аналог теоремы Адо. Однако нами показано, что не все конформные алгебры Ли конечного типа обладают свойством Пуанкаре-Биркгофа-Витта. 7. ИССЛЕДОВАНИЯ В ГРАДУИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ Как известно, основным вопросом в теории колец является описание простых алгебр. Йордановы алгебры играют важную роль в современной алгебре. Эти алгебры возникли в работе Вигнера-Йордана-фон-Ноймана как формализм описания аксиом квантовой механики. Вигнер-Йордан-фон-Нойман описали конечномерные формально-вещественные йордановы алгебры. Они показали, что каждая такая алгебра есть прямая сумма простых алгебр. А каждая простая алгебра является алгеброй симметрических элементов (матриц) ассоциативной алгебры 28 (алгебры матриц) с инволюцией, либо алгеброй невырожденной симметрической билинейной формы, либо алгеброй бесконечномерных простых йордановых Альберта. алгебр была Проблема описания сформулирована фон- Нойманом и являлась одной из самых трудных задач в теории йордановых алгебр. Исследованием этой проблемы занимались многие математики, например, Джекобсон, Мантердейл, Жевлаков, Маккримон. Однако, описать простые йордановы алгебры удавалось только при дополнительных условиях. Даже было непонятно, как выглядят йордановы алгебры с делением. Эта проблема была сформулирована К.А. Жевлаковым и решена Е. Зельмановым во второй половине 70-х годов. Затем Е. Зельманов описал произвольные простые йордановы алгебры. Как оказалось, все они являются перечисленными выше алгебрами. Методы, разработанные Е. Зельмановым, позволили ему решить ряд известных и трудных проблем, например, ослабленную проблему Бернсайда для групп, описать простые градуированные алгебры Ли и некоторые классы простых йордановых супералгебр. Йордановы супералгебры изучались в работах И. Капланского. Супералгебры оказались исключительно полезными в теории многообразий алгебр. Так, А.Р.Кемер с помощью супералгебр развил теорию многообразий ассоциативных алгебр, позволившую ему, в конце концов, решить знаменитую проблему Шпехта о конечной базируемости тождеств любой ассоциативной алгебры над полем нулевой характеристики. Другими впечатляющими примерами применения супералгебр явились результаты Е.Зельманова о нильпотентности энгелевых алгебр Ли и о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса. Этими же методами, с использованием классификации супералгебр, Е.Зельманов и И.Шестаков доказали свободной альтернативной алгебры. В 1977 г. первичных альтернативных нильпотентность радикала В.Кац [27] описал простые конечномерные лиевы супералгебры над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, и в том же году он описал йордановы супералгебры при тех же ограничениях, используя функтор Кантора-Кехера-Титса, связывающий категории йордановых и лиевых супералгебр. Классификация В. Каца была дополнена И. Кантором, который определил супералгебру грассмановых скобок. Е.Зельманов и М.Расин [28] описали конечномерные простые йордановы супералгебры над полем 29 произвольной характеристики, отличной от 2 при дополнительном ограничении полупростоты четной части. Классификация Е.Зельманова и М.Расина была уточнена И. Шестаковым. Позже Е.Зельманов и К.Мартинес [29] описали конечномерные простые унитальные йордановы супералгебры, четная часть которых имеет ненулевой нильпотентный идеал. Как оказалось, всякая такая супералгебра, не изоморфная супералгебре Чанга-Каца, может быть получена процессом удвоения Кантора из ассоциативной суперкоммутативной супералгебры. В 2001 году Е.Зельманов, В.Кац, К.Мартинес описали простые Z-градуированные унитальные йордановы супералгебры, у которых размерности однородных компонент ограничены в совокупности. Неунитальные конечномерные простые йордановы супералгебры над полем произвольной характеристики, отличной от 2, были также описаны Е. Зельмановым. В 2007г. Н. Кантарини и В. Кац привели список известных простых унитальных йордановых бесконечномерных супералгебр над алгебраически замкнутым полем, ими также был сформулирован вопрос о существовании новых простых йордановых супералгебр. Используя методы И.П. Шестакова, разработанные им при описании простых (-1,1)-супералгебр характеристики отлчной от 2,3 и методы В.Н. Желябина, разработанные им при описании простых йордановых супералгебр с ассоциативной четной частью, а также применяя методы коммутативной алгебры и теории проективных модулей над ассоциативно-коммутативным конечнопорожденных кольцом, В. Н. Желябиным были построены примеры новых простых йордановых супералгебр. Таким образом, в той постановке, в которой была сформулирована задача, она решена полностью. Результаты оформлены в виде статьи и прошли апробацию на научных математических сайтах www.arxiv.org и Jordan Theory Preprint Archives. Решена проблема, поставленная в авторитетном научном издании известными математиками. При описании простых йордановых супералгебр с ассоциативной четной частью доказано, что нечетная часть является конечнопорожденным проективным A-модулем ранга 1. В известных примерах таких супералгебр нечетная часть является двухпорожденным модулем. Возникает проблема существования простой йордановой супералгебры с ассоциативной четной частью, у которой нечетная 30 часть порождается n элементами для любого натурального n, но не порождается меньшим числом элементов. Также представляет интерес описание ассоциативной универсальной обертывающей простой специальной йордановой супералгебры с ассоциативной четной частью. Отметим, что ассоциативная универсальная обертывающая простой йордановой супералгебры векторного типа была описана Е. Зельмановым и К. Мартинес. Обобщением некоммутативных класса йордановых йордановых супералгебр супералгебр являются классы и структуризуемых супералгебр. В случае алгебр, класс структуризуемых алгебр пересекается, в частности, по классу йордановых алгебр с классом некоммутативных йордановых алгебр, введённым А.А.Албертом в 1948г. Класс некоммутативных йордановых алгебр чрезвычайно обширен - кроме (коммутативных) йордановых алгебр он содержит также, например, все альтернативные и квазиассоциативные алгебры, эластичные квадратичные алгебры, а также антикоммутативные алгебры. Проблема классификации простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр была решена Р.Шейфером в случае характеристики 0 и степени >2, Р.Оемке для простых конечномерных эластичных алгебр со строго характеристике не 2,3 и степени >2, ассоциативными степенями в К.Мак-Криммоном для простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр степени >2 и K.Смитом для степени два. Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры описаны В.Г.Скосырским. Б.Аллисон в 1978г. определил класс неассоциативных алгебр, содержащий класс йордановых алгебр и допускающий конструкцию структурной алгебры и конструкцию Титса-Кёхера-Кантора (конструкция Аллисона). Алгебры из этого класса, называемые структуризуемыми, являются унитальными алгебрами с инволюцией. Этот класс включает альтернативные алгебры с инволюцией, йордановы алгебры (с тождественной инволюцией), тензорное произведение двух композиционных алгебр, 56-мерный модуль Фрейденталя для алгебры Ли E7 с естественным бинарным произведением, и алгебры, строящиеся из эрмитовых форм способом, который является некоторым обобщением обычной конструкции йордановых алгебр квадратичных форм. Однако, ещё в 1972 г. И.Кантор обобщил ТКК-конструкцию, распространив её на более широкий класс алгебр, которые он 31 назвал консервативными. И.Кантор классифицировал конечномерные простые консервативные алгебры второго порядка над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Существует взаимно однозначное соответствие между классом консервативных алгебр второго порядка с левой единицей и классом структуризуемых алгебр. Алгебры Ли, получаемые из центральных простых структуризуемых алгебр при помощи конструкции Аллисона-Кантора, содержат все конечномерные центральные простые алгебры Ли над полем характеристики ноль, имеющие ненулевой ad-нильпотентный элемент. Центральные простые конечномерные структуризуемые алгебры над полем характеристики ноль были классифицированы Б.Аллисоном. Классификация простых конечномерных структуризуемых алгебр над полем ненулевой характеристики была получена О.Н.Смирновым. А.П.Пожидаевым и И.П.Шестаковым классифицированы простые конечномерные структуризуемые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, а также ими классифицированы простые конечномерные некоммутативные йордановы супералгебры над полем характеристики 0. При классификации используются методы работ приведенных выше, а также методы супералгебр. Антидифференцирования, то есть такие линейные отображения T, что выполненно T(xy) = –T(x)y – xT(y), возникают и рассматриваются в работах Р.Б. Брауна, Н.С. Хопкинс и В.Т. Филиппова [30,31,32]. Так у Р.Б. Брауна и Н.С. Хопкинс антидифференцирования возникают при изучении некоторых некоммутативных йордановых алгебр, также Н.С. Хопкинс были получены примеры ненулевых антидифференцирований на простой трехмерной алгебре Ли sl2 и показано отсутствие ненулевых антидифференцирований на простых конечномерных алгебрах Ли с нулевым центром и размерности строго выше 3 при некоторых ограничениях на характеристику основного поля. Результаты Н.С. Хопкинс получили широкое обобщение в работах В.Т. Филиппова. Где он рассматривал понятие δ-дифференцирования, то есть такого линейного отображения U, где для фиксированного элемента δ из основного поля, верно U(xy) = δ(U(x)y + xU(y)). Данное отображение является одновременно обобщением дифференцирования и антидифференцирования. В результате, В.Т. Филиппов дал 32 описание δ-дифференцирований первичных альтернативных, лиевых и мальцевских алгебр над ассоциативно-коммутативным кольцом с 1/6 [33,34,35,36]. А именно, им было доказано, что первичные альтернативные и мальцевские нелиевы алгебры не имеют нетривиальных δ-дифференцирований; первичные алгебры Ли не имеют ненулевых δ-дифференцирований при δ отличном от –1, 0, 1/2,1; первичные алгебры Ли с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой не имеют нетривиальных δ-дифференцирований; а также, были приведены примеры нетривиальных 1/2-дифференцирований для простой бесконечномерной алгебры Ли W1. В дальнейшем, исследования в области δ-дифференцирований продолжил П. Зусманович [37]. Им супердифференцирования были описаны первичных δ-дифференцирования супералгебр Ли и в и δ- положительной характеристике им был дан положительный ответ на вопрос В.Т. Филиппова о существовании делителей нуля в кольце 1/2-дифференцирований первичной алгебры Ли. А именно, было показано, что первичная супералгебра Ли не имеет ненулевых δ-дифференцирований и δ-супердифференцирований при δ отличном от –1,0,1/2,1, а пространство 1/2-дифференцирований (соответственно, 1/2- супердифференцирований) совершенной супералгебры Ли с нулевым центром, обладающей невырожденной суперсимметрической инвариантной билинейной формой, совпадает с центроидом (соответственно, суперцентроидом) супералгебры. В работе И.Б. Кайгородова, выполненной в рамках НИР, дается полное описание δсупердифференцирований простых конечномерных лиевых и йордановых супералгебр над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль. Доказано отсутствие нетривиальных δ-супердифференцирований у данного класса супералгебр. 8. ОЦЕНКА АКТУАЛЬНОСТИ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Изучение неассоциативных алгебраических систем, возникающих в математической физике, некоммутативной алгебраической геометрии и квантовой алгебре. Задачи, на решение которых направлен данный проект, относятся к теории 33 йордановых алгебр, алгебр Мальцева, супералгебр, диалгебр, конформных алгебр и связанных с ними конструкций. Актуальность данной тематики вызвана тесными связями рассматриваемых алгебраических структур с другими областями математики и математической физики. Так, йордановы и конформные алгебры первоначально возникли как аксиоматические конструкции, формализующие понятия квантовой механики; аналогичные структуры возникают при рассмотрении алгебр дифференциальных операторов и, в более общей форме, комодульных алгебр, дифференциальных алгебр и формального вариационного исчисления в теории нелинейных эволюционных уравнений. Альтернативные алгебры и алгебры Мальцева являются инструментом некоммутативной дифференциальной геометрии, что мотивирует исследования в этой области. Структурной и комбинаторной теории конформных алгебр и псевдоалгебр посвящены работы ряда авторов. Первоначально возникшие как инструмент исследования вертексных операторных алгебр в конформной теории поля, конформные алгебры, их структурная теория и теория представлений стали самостоятельной областью чисто алгебраического исследования. Среди важнейших результатов отметим классификацию простых и полупростых ассоциативных и лиевых псевдоалгебр конечного типа (Д'Андреа — Кац, 1998; Бакалов — Д'Андреа — Кац, 2001), описание простых ассоциативных конформных алгебр линейного роста (Ретах, 2001; Зельманов, 2003; Колесников, 2006). Так, П. Колесниковым разработана техника работы с алгебрами в псевдотензорной категории, оперирующая понятиями универсальной алгебры. Построен аналог конструкции Титса—Кантора—Кехера (ТКК) для йордановых псевдоалгебр конечного типа. Описаны простые и полупростые ассоциативные конформные алгебры с точным представлением конечного типа. Получены аналоги структурных теорем Веддерберна для ассоциативных конформных алгебр с точным представлением конечного типа. Эти результаты явились решением известных проблем, поставленных Е. Зельмановым и В. Кацем. Понятие (ассоциативной) диалгебры было введено Ж.-Л. Лодеем для исследования алгебр Лейбница. Категория ассоциативных диалгебр играет в теории алгебр Лейбница ту же роль, что категория ассоциативных алгебр для алгебр Ли. 34 Аналогичная конструкция для йордановых алгебр была предложена П. Колесниковым (2008) и независимо Р. Гонсалесом и Р. Фелипе (2008), а также М. Бремнером (2009). Изучение алгебр типа Лодея (дендриформных алгебр, триалгебр и т.п.) активно проводится в работах многих исследователей. Теория диалгебр оказывается тесно связанной с теорией конформных алгебр. Исследования этой связи позволяют решать известные задачи о диалгебрах, а также формулировать новые задачи, выделяя специфические классы таких систем. В частности, П. Колесниковым был доказан аналог теоремы Адо для алгебр Лейбница. Исследования строения йордановых и лиевых супералгебр проводились Е. Зельмановым, В. Г. Кацем, К. Мартинез, И. Кантором, М. Расином, И. П. Шестаковым, ими были описаны простые конечномерные йордановы и лиевы супералгебры над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль и полупростые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутыми полями характеристики отличной от 2. Особый интерес представляют исследования в области простых йордановых супералгебр, в частности, они позволяют обнаружить простые конечномерные йордановы супералгебры над произвольным полем, отличные от известных супералгебр, входящих в классификацию Зельманова-Мартинез-Каца и др. 9. ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Методы изучения неассоциативных структур можно условно разделить на две группы — структурные и комбинаторные. Структурные методы предполагают последовательное системное изучение теории соответствующих алгебраических систем, классификацию простых объектов, доказательство теорем о разложении алгебр на простые компоненты и последующее использование этой классификации. Комбинаторные методы предполагают получение информации об алгебраической структуре путем манипуляций с формальными термами и анализа асимптотического поведения характеристик размерности (например, размерности Гельфанда — Кириллова). Успешное решение конкретных алгебраических задач требует, как правило, разработки и применения как структурных, так и комбинаторных методов. 35 Так, в работах П. Колесникова были предложены, развиты и использованы новые подходы в теории конформных алгебр и диалгебр. Сущность этих подходов состоит в адаптации комбинаторной составляющей теории обычных алгебр к случаю новых объектов исследования. Адекватным языком для реализации этой идеи является теория операд. Для изучения дельта-дифференцирований йордановых супералгебр, будут применяться методы, разработанные в ранних работах И. Б. Кайгородова по классификации дельта-дифференцирований простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, а также методы, благодаря которым были классифицированны полупростые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутыми полями характеристики отличной от 2, предложеные в работах Е. Зельманова, К. Мартинез, В. Каца, И. Шестакова, М. Расина, и и методы исследований супералгебр йордановой скобки, предложенные в работах Д. Кинга и К. Маккриммона. Исследования биалгебр Ли были инициированы В. Дринфельдом (1983) для изучения решений классического уравнения Янга - Бакстера. Это уравнение, первоначально возникшее как инструмент решения обратной задачи рассеяния в математической физике, оказывается связанным со многими физическими моделями и математическими структурами. В работах В. Желябина (1997, 1998) было дано определение общее биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а также рассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга-Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Там же были описаны ассоциативные алгебры, допускающие нетривиальную структуру Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением. Аналогичные структуры для ассоциативного случая были введены под названием сбалансированных биалгебр и изучались С. Джони и Г. Рота (1979), а также М. Агуйаром (2001). Свойства Д-биалгебр тесно связаны с решениями аналога уравнения Янга-Бакстера. Ассоциативные классические уравнения ЯнгаБакстера с параметрами рассматривал А. Полищук (2002). Класс йордановых Дбиалгебр, связанный с йордановым аналогом уравнения Янга-Бакстера, был определен В. Желябиным (1999), и было доказано, что всякая конечномерная 36 йорданова Д-биалгебра, которая полупроста как алгебра, принадлежит этому классу. С каждой лиевой, ассоциативной или йордановой биалгеброй можно связать так называемую тройку Манина. А. Мудров (2004) исследовал тройки Манина для ассоциативных алгебр как инструмент построения решений уравнения ЯнгаБакстера. В дальнейшем, участником проекта М. Е. Гончаровым введены уравнения Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах и доказывано, что биалгебры, индуцированные решениями этих уравнений являются альтернативными Дбиалгебрами. Описана структура альтернативной Д-биалгебры, заданная на матричной алгебре Кэли-Диксона. 37 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе исполнения 1 этапа «Постановка задач» получены следующие результаты: Доказано существование копроизведения в категории градуированных жестких групп, с помощью этой конструкции построена координатная группа аффинного пространства данной размерности и доказана неприводимость (в топологии Зарисского) всего пространства. Получен критерий существования πхолловых подгрупп в конечной группе. Получен критерий сопряженности всех πхолловых подгрупп в конечной группе. Решена проблема Ши Вужди из «Коуровской тетради»: доказано, что конечная и конечная простая группа, имеющие одинаковые спектры и порядки, изоморфны. Изучено композиционное строение конечных групп, изоспектральных простым линейным и унитарным группам. Описано строение максимальных коклик в графе простых чисел конечных простых групп. Доказано, что любая конечная простая группа распознаётся в классе всех конечных групп по её спектру и порядку. Доказана конечность периодической группы, порождённой парой почти квадратичных автоморфизмов абелевой группы. Получена формула числа подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага—Солитера с произвольными ненулевыми параметрами. Получено полное описание всех подгрупп конечного индекса групп Баумслага—Солитера с взаимно простыми параметрами. Завершено арифметическое описание спектров всех конечных простых классических групп. Показано, что не существует трех конечных простых групп с одинаковым спектром. Доказано, что простая группа L16(2) однозначно определяется своим графом простых чисел среди всех конечных групп. Тем самым предъявлен первый пример распознаваемой по графу группы со связным графом простых чисел. Построены новые примеры йордановых супералгебр над произвольным полем. Классифицированы простые конечномерные структуризуемые и некоммутативные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Описаны δ-супердифференцирования простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр. Выполненные на 1 этапе работы соответствуют требованиям технического 38 задания, календарного плана и нормативной документации. Приведены списки опубликованных работ, выступлений на научных форумах, а также другие показатели успешной работы в рамках данного проекта. Полученные результаты имеют мировой уровень, а исполнители представляют передовой фронт науки в указанных областях. По результатам НИР напрашивается вывод о целесообразности продолжения работ. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. А. В. Васильев, Е. П. Вдовин, “Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы”, Алгебра и логика, 44:6 (2005), 682–725 2. А. В. Васильев, М. А. Гречкосеева, В. Д. Мазуров, О конечных группах, изоспектральных простым симплектическим и ортогональным группам, Сиб. матем. журн., 50:6 (2009),1225–1247 3. S. A. Joni, G.-C. Rota, Coalgebras and bialgebras in combinatorics, Stud. Appl. Math., 61 (1979), no. 2, 93–139. 4. M. Aguiar, On the associative analog of Lie bialgebras, J. Algebra 244 (2001), no. 2, 492–532. 5. В. Н. Желябин, Об одном классе йордановых Д-биалгебр, Алгебра и анализ, 11:4 (1999), 64–94 6. Mudrov, A. I. Associative triples and the Yang-Baxter equation, Israel J. Math, 139 (2004), 11–28. 7. М. Е. Гончаров, альтернативных 39 алгебрах. “Классическое уравнение Структура альтернативной Янга–Бакстера на Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли–Диксона”, Сиб. матем. журн., 48:5 (2007), 1008–1024 8. А. А. Белавин, В. Г. Дринфельд, “О решениях классического уравнения Янга–Бакстера для простых алгебр Ли”, Функц. анализ и его прил., 16:3 (1982), 1–29 9. R. Velásquez, R. Felipe, Quasi-Jordan algebras, Comm. Algebra, 36 (2008), no. 4, 1580–1602. 10. П. С. Колесников, “Многообразия диалгебр и конформные алгебры”, Сиб. матем. журн., 49:2 (2008), 322–339 11. А. П. Пожидаев, “0-диалгебры с бар-единицей и неассоциативные алгебры Рота–Бакстера”, Сиб. матем. журн., 50:6 (2009), 1356–1369 12. V. L. Girko, Random matrices, Handbook of Algebra, ed. M. Hasewinkel, Elsevier Sciences B.V. (1996), vol. 1, 27-48. 13. A. Edelman, N. Raj Rao, Random matrix theory, Acta Numerica (2005), 233– 297. 14. A. Edelman, The probability that a random real Gaussian matrix has k real eigenvalues, related distributions, and the circular law, J.Multivariate Anal. (1997), vol. 60, 203–232. 15. Л. Т. К. Тханг, С. А. Пиунихин, В. А. Садов, Геометрия квазикристаллов, Успехи математических наук (1993), Т. 48, N 1, 41-102. 16. В. А. Артамонов, Ю. Л. Словохотов, Группы и их применения в физике, химии, кристаллографии, М.: Academa (2005). 40 17. C. Janot, Quasicrystals. A Primer, Clarendon Press, Oxford (1994). 18. R. V. Moody, Model sets: a servey, From Quasicrystals to More Complex Systems (Le Houches, 1998), Springer-Verlag, Berlin, 145-166. 19. Р. М. Гарипов, Группы орнаментов на плоскости Миньковского, Алгебра и логика (2003), Т. 42, N 6, 655-682. 20. В. А. Шарафутдинов, Интегральная геометрия тензорных полей, ВО ``Наука'' Новосибирск (1993). 21. V. Sharafutdinov, Slice-by-slice reconstruction algorithm for vector tomoghraphy with incomplete data, Inverse Problems 23 (2007), 2603-2627 22. A. Kasman, K. Pedings, A. Reiszl, T. Shiota, Universality of Rank 6 Plucker relations and Grassmann cone preserving maps, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), 77-87 23. W. V. D. Hodge, Some enumeritave results in the theory of forms, Proc. Cambridge Philos. Soc. 39 (1943), 22-30 24. А. А. Бутурлакин, М. А. Гречкосеева, “Циклическое строение максимальных торов в конечных классических группах”, Алгебра и логика, 46:2 (2007), 129–156. 25. M. Hagie, The prime graph of a sporadic simple group, Comm. Alg. (2003), 31, 9, 4405-4424. 26. B. Khosravi, B. Khosravi, B. Khosravi, A characterization of the finite simple group L16(2) by its prime graph. Manuscr. Math. (2008), 126, 1. 49-58. 41 27. V. G. Kac, Lie superalgebras, Advances in Math, 26 (1977), 1, 8-96. 28. M. Racine, E. Zelmanov, Simple Jordan superalgebras, Nonassociative Algebra and its Applications, Ed. By E.Gonzalez. Kluwer Academic Publishers, (1994), 344-349. 29. C. Martinez, E. Zelmanov, Simple finite-dimensional Jordan superalgebras of prime characteristic, J. of Algebra, 236 (2001), 2, 575-629. 30. N. C. Hopkins, Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras, Nova J. Math. Game Theory Algebra, 5 (1996), 3, 215--224. 31. В. Т. Филиппов, Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-ой степени, Алгебра и логика, 34 (1995), 6, 681—705. 32. R. B. Brown, N. C. Hopkins, Noncommutative matrix Jordan algebras, CayleyDicson algebras, and Schafer's theorem, Comm. Algebra, 23 (1995), 1, 373—397. 33. В. Т. Филиппов, О δ-дифференцированиях алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 39 (1998), 6, 1409-1422. 34. В. Т. Филиппов, О δ-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Доклады РАН, 364 (1999), 4, 453-454. 35. В. Т. Филиппов, О δ-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 40 (1999), 1, 201-213. 36. В. Т. Филиппов, О δ-дифференцированиях первичных альтернативных и мальцевских алгебр, Алгебра и Логика, 39 (2000), 5, 618-625. 37. P. Zusmanovich, On δ-derivations of Lie algebras and superalgebras, arXiv:0907.2034v2. 42 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ А СПИСОК ПРЕДСТАВЛЕННЫХ И ЗАЩИЩЕННЫХ ДИССЕРТАЦИЙ № Ф.И.О. Искомая Дата Шифр степень защиты спец-ти, Тема совет 1 Пожидаев д.ф.-м.н. 17.06.10 Александр 01.01.06, Алгебраические системы Д 003.015.02 лиева типа Петрович 2 Гончаров к.ф.-м.н. 16.09.10 Максим 01.01.06, Д 003.015.02 простых альтернативных и Евгеньевич мальцевских алгебрах 3 Кайгородов к.ф.-м.н. 16.09.10 Иван 01.01.06, Федор Анатольевич 43 δ-дифференцирования Д 003.015.02 простых лиевых и Борисович 4 Дудкин Биалгебры, заданные на йордановых супералгебр к.ф.-м.н. 17.09.10 01.01.06, Подгруппы групп Д 003.015.02 Баумсланга-Солитера ПРИЛОЖЕНИЕ Б СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ Опубликованные статьи: 1. Кайгородов И.Б., О δ-супердифференцированиях простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр // Алгебра и Логика, 49 (2010), № 2, 195-215. 2. Kaigorodov I.B., δ-superderivations of simple finite-dimensional Jordan and Lie superalgebra // Algebra and Logic, 49, 2, 2010, 130-144. 3. Гончаров М.Е., Биалгебры Ли, возникающие из альтернативных и йордановых биалгебр // Сиб. мат. ж., 51, 2010, № 2, 268-284 4. Васильев А.В., Гречкосеева М.А., Мазуров В. Д., Распознаваемость конечных простых групп по спектру и порядку // Доклады АН, 2010, т. 431, № 3, 295-297. 5. Vasil’ev A.V., Grechkoseeva M.A., Mazurov V. D., Recognizability of the Finite Simple Groups by Spectrum and Order // Doklady Mathematics, 2010, vol. 81, no. 2, 216-218. 6. Лыткина Д.В., Мазуров В.Д., О периодических группах, порождённых парой почти квадратичных автоморфизмов абелевой группы // Сибирск. матем. журн., 51, № 3 (2010), 599-603. 7. Lytkina D.V., Mazurov V.D., Periodic groups generated by a pair of virtually quadratic automorphisms of an abelian group // Siberian Math. J., 51, No. 3 (2010), 477-480. 8. Shen R., Shao Ch., Jiang Q., Shi W., Mazurov V., A new characterization of A5 // Monatsh. Math. 160 (2010), 337-341. 9. Вдовин Е.П., Ревин Д.О., Критерий сопряженности холловых подгрупп в конечных группах // Сиб. матем. ж. т. 51 (2010), N 3, c. 506-516. 10.Vdovin E.P., Revin D.O., A conjugacy criterion for Hall subgroups in finite groups // Math. J., v. 51 (2010), N3, p. 402-409. 11.Вдовин Е.П., Гальт А.А., Строгая вещественность конечных простых групп // Сибирский математический журнал, т. 51 (2010), No 4, 769―777. 12.Vdovin E.P., Galt A.A., Strong reality of finite simple groups // Siberian mathematical Journal, v. 51 (2010), No 4, 610―615. 13.Губарев В. Ю., Оподпространстве L((x1^...^xk)m) в Sm(^kRn) // Алгебра и Логика 49, №4 (2010), с. 451-478 14.Пожидаев А.П., Шестаков И.П., Некоммутативные йордановы супералгебры 44 степени n≥2 // ДАН 431, 2 (2010), 165-169. 15.Пожидаев А.П., Шестаков И.П., Некоммутативные йордановы супералгебры степени n≥2 // Алгебра и Логика 49, 1 (2010), 26-59. 16.Pozhidaev A.P., Shestakov I.P., Structurable superalgebras of Cartan type // J. of Alg. 323, 12 (2010) 3230-3251. 17.Пожидаев А.П., Шестаков И.П., Структуризуемые супералгебры картановского типа // ДАН 432, 2, (2010) 167-173. 18.Myasnikov А., Romanovskiy N., Krull dimension of solvable groups // J. Algebra, v. 324, N 10, 2010, 2814-2831. 19.Buturlakin A. A., Isospectral finite simple groups // Sib. El. Math. Rep., 7, 2010, 111-114. 20.Бутурлакин А.А., Спектры конечных симлектических и ортогональных групп // Мат. Труды, 13, 2, 2010, 33—83. 21.Чуркин В. А., О континуальном варианте парадокса Хаусдорфа-Банаха-Тарского // Алгебра и логика, 49, 1, 2010, 135-145. 22.Чуркин В.А., Ослабленная теорема Бибербаха для кристаллографических групп в псевдоевклидовых пространствах // Сибирский матем. Журнал, 51, 3, 2010, 700714. 23.Дудкин Ф.А., Чуркин В.А., Число подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага—Солитера // Вестник НГУ, Серия: Математика, механика, информатика, 10, 2, 2010, 54—60. 24.Дудкин Ф. А., Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага—Солитера // Алгебра и логика, 49, 3, 2010, 331—345. 25.Dudkin F. A., Subgroups of finite index in Baumslag–Solitar groups // Algebra and Logic, 49, 3, 2010, 221-232. 26.Заварницин А.В., Разрешимая группа, изоспектральная группе S4(3) // Сиб. Матем. Журн., 51, 1, 2010, 26-31. 27.Zavarnitsine A.V., Uniqueness of the prime graph of L16(2) // Siberian Electronic Math. Reports, 7, 2010, 119-122. 28.Grishkov A.N., Giuliani M.L., Zavarnitsine A.V., Classification of subalgebras of the Cayley algebra over a finite field, J. Algebra Appl., 9, N5 (2010), 791-808. 45 29.Ershov Yu. L., Topological objects in the category EQU // Sib. Elek. Mat. Izv., 7, 2010, 76-86. 30.Ершов Ю. Л., На пути от логике к алгебре // УМН, 65, 5(395), 2010, 143–156 Статьи, принятые к печати: 1. В. Н. Желябин, И.Б. Кайгородов, О δ-супердифференцированиях простых супералгебр йордановых скобок // Алгебра и анализ. 2. Кайгородов И.Б., Об обобщенном дубле Кантора // Вестник Самарского гос. университета. 3. Beites P.D., Nicolas A.P., Pozhidaev A.P., Saraiva P., On a ternary quaternion algebra // Comm. in Alg. 4. Ревин Д.О., О π-теоремах Бэра-Судзуки // Сиб. матем. ж. 5. Мясников А.Г., Романовский Н.С., Об универсальных теориях жестких разрешимых групп // Успехи математических наук. 6. Романовский Н.С., Копроизведения жестких групп // Алгебра и Логика. 7. Васильев А.В., Гречкосеева М.А., Старолетов А.М. О конечных группах, изоспектральных простым линейным и унитарным группам // Сиб. матем. ж. Статьи, сданные в печать: 1. Васильев А.В., Вдовин Е.П., Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы, Алгебра и логика. 2. Revin D.O., Vdovin E.P., Existence criterion for Hall subgroups of finite groups, Journal of Group Theory. 3. Revin D.O., Vdovin E.P., On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups, Journal of Algebra 4. Желябин В. Н., Новые примеры простых йордановых супералгебр над произвольным полем характеристики ноль // Алгебра и анализ. 5. Мазуров В.Д., О группах периода 24, Алгебра и логика. 6. Кайгородов И.Б., О δ-супердифференцированиях полупростых конечномерных йордановых супералгебр // Математические заметки. 46 ПРИЛОЖЕНИЕ В СПИСОК СДЕЛАННЫХ ИСПОЛНИТЕЛЯМИ ДОКЛАДОВ На всероссийских конференциях и семинарах: 1. Кайгородов И.Б. О δ-дифференцирования алгебр и супералгебр // Проблемы теоретической и прикладной математики, 41-ая Всероссийская молодежная школа-конференция 1-5 февраля 2010 г., Екатеринбург (секционный доклад). 2. Гончаров М.Е. О решениях йорданова аналога классического уравнения ЯнгаБакстера на алгебре Алберта // Проблемы теоретической и прикладной математики, 41-ая Всероссийская молодежная школа-конференция 1-5 февраля 2010 г., Екатеринбург (секционный доклад). 3. Мазуров В. Д. Классификация конечных группа // Проблемы теоретической и прикладной математики, 41-ая Всероссийская молодежная школа-конференция 1-5 февраля 2010 г., Екатеринбург (курс из трех лекций). На международных конференциях и семинарах: Кайгородов И. Б., Желябин В. Н. О δ-супердифференцированиях простых супералгебр йордановых скобок // Международная конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010 г. (секционный доклад) Кайгородов И.Б., Желябин В.Н. О δ-супердифференцированиях простых супералгебр йордановых скобок // Международная конференция, посвященной 70-летию А. Яковлева., 19-24 июня 2010г., Санкт-Петербург (секционный доклад) Кайгородов И.Б. О δ-супердифференцированиях полупростых йордановых супералгебр // Международная алгебраическая конференция Алгебра, логика и ее приложения, Красноярск, Сибирский Федеральный университет, 19 – 25 июня 2010 г. (секционный доклад) Кайгородов И. Б. δ-superderivation of algebras and superarlgebras // International Conference on Algebra 2010, 7-10 Октября, Международная конференция (пленарный доклад). 47 Джокиакарта, Индонезия. Желябин В. Н. Дуальные коалгебры йордановых биалгебр // Международная алгебраическая конференция Алгебра, логика и ее приложения, Красноярск, Сибирский Федеральный университет, 19 – 25 июня 2010 г. (пленарный доклад). Мазуров В. Д., Распознование групп по спектру: нерешенные вопросы // Международная школа-конференция по теории групп. Нальчик, 4-10 июля 2010 г. (пленарный доклад). Пожидаев А.П., sp-Алгебры и диалгебры Мальцева // Международная конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010 г. (секционный доклад). Пожидаев А.П., Некоммутативные йордановы супералгебры // Международная алгебраическая конференция Алгебра, логика и ее приложения, Красноярск, Сибирский Федеральный университет, 19 – 25 июня 2010 г. (пленарный доклад). Гончаров М.Е. Структура биалгебры Мальцева, заданная на простой семимерной алгебре Мальцева // Международная конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010 (секционный доклад) Гончаров М.Е. Биалгебры Мальцева // Международная конференция, посвященной 70-летию А. Яковлева., 19-24 июня 2010г., Санкт-Петербург (секционный доклад) Гончаров М. Е. Structures of Malcev bialgebras on the simple non-Lie Malcev algebra. // International Conference on Algebra 2010, 7-10 Октября, Джокиакарта, Индонезия. Международная конференция (пленарный доклад). Васильев А.В. Characterization of finite simple by arithmetical properties // Международная конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010 г. (пленарный доклад) Васильев А.В. Арифметические свойства конечных групп и их связь со строением группы // Международная молодежная школа конференция «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей», Новосибирск, 27.07-07.08, 2010: (курс из 8 лекций). Васильев А.В. Characterization of finite simple by arithmetical properties // VIII Международная школа-конференция «Теория групп и ее приложения», Нальчик, 48 04.07.-10.07, 2010 (пленарный доклад). Васильев А.В. Characterization of finite simple by arithmetical properties // Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию А.В. Яковлева, Санкт-Петербург, 19.06-24.06 (секционный доклад). Васильев А.В. Characterization of finite simple by arithmetical properties // Международная конференция «Groups and Their Actions», Бедлево, Польша, 24.08-28.08, 2010, (секционный доклад). Вдовин Е. П. О размере базы транзитивной группы // Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию А.В.Яковлева, Ст.- Петербург, 19-24 июня 2010 (секционный доклад). Вдовин Е. П. О размере базы транзитивной группы //Международная школаконференция «Алгоритмические проблемы теории групп и смежных областей», Новосибирск, 27 июля-7августа, ученый секретарь конференции (пленарный доклад). Желябин В. Н. Универсальные обертывающие алгебр Мальцева. Пунктированые биалгебры Муфанг // Международная конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010 (секционный доклад). Бардаков В. Г. Группы триангуляций поверхностей // Международная конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010 (секционный доклад). Воронин В. Ю., Гомоморфные образы специальных йордановых диалгебр // Международная конференция "Мальцевские чтения", посвящённая 70-летию со дня рождения академика Ю.Л.Ершова, Новосибирск, 2-6 мая 2010 г. (секционный доклад). Воронин В. Ю., Аналог теоремы Ширшова для диалгебр // Международная конференция «Алгебра, Логика и приложения», Красноярск, 19-25 июля 2010 г. (секционный доклад). Воронин В. Ю., Special and exceptional Jordan dialgebras // International Conference on Algebra in honor of 70th birthday of Professor Shum Kar Ping, Джокьякарта (Индонезия), 7-10 октября 2010 г. (секционный доклад). 49 Revin D. O. A generalization of the Baer-Suzuki theorem for π-elements, Международная конференция “Мальцевские чтения”, посвященная 70-летию академика Ю.Л.Ершова, Новосибирск, 2–6 мая 2010, (секционный доклад). Revin D. O. On a relation between the Sylow and Baer-Suzuki theorems, Межд. алгебр. конф., посв. 70-летию А.В.Яковлева, Санкт-Петербург, 19-24 июня 2010 г., (секционный доклад). Revin D. O. Theorems of Sylow type, International conference “Groups and their actions”, Będlewo (near Poznań), Poland, August 23–28 2010 (пленарный доклад). Романовский Н. С. Универсальные теории и копроизведения жестких групп // «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры», Омск, международная конференция, 2-7 августа 2010 г. (пленарный доклад). Романовский Н. С. Алгебраическая геометрия над жесткими группами // Equations and First-order Properties in Groups, Montreal, Canada, международная конференция в рамках тематического семестра «Geometric, Combinatorial and Computational Group Theory», 11-16 октября 2010 г. (пленарный доклад). Гречкосеева М.А. On element orders in covering of finite simple classical groups // Международная алгебраическая конференция посвященная 70-летию А.В. Яковлева, Санкт-Петербург, 19-24 июня 2010 (секционный доклад). Гречкосеева М.А. On element orders in covering of finite simple classical groups // Международная конференция “Groups and their actions“, 23-28 августа 2010, Польша, Бедлево (секционный доклад). Бутурлакин А.А. The spectra of finite simple exceptional groups // Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию А.В. Яковлева, СанктПетербург, 19–24 июня 2010 (секционный доклад). Бутурлакин А. А. The spectra of finite simple exceptional groups // Международная конференция <<Алгебра, логика и приложения>>, Красноярск, 19--25 июля 2010 (пленарный доклад). Бутурлакин А. А. The spectra of finite simple exceptional groups // Международная молодёжная школа-конференция <<Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей>>, Новосибирск, 27 июля -- 7 августа 2010 (пленарный доклад). 50 Чуркин В. А. Кристаллографическая группа с двумя решетками типа (3,3) // Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 70-летию академика Ю.Л. Ершова (Новосибирск, 2—6 мая 2010 г.), (секционный доклад) Чуркин В. А. «Кристаллографическая группа с тремя решетками типа (3,3)» // Международная конференция «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 19—25 июля 2010 г.) (секционный доклад). Чуркин В.А. Теории кристаллографических и квазикристаллографических групп // Международная молодежная школа--конференция «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (турбаза «Эрлагол» Новосибирского государственного технического университета, пос. Чемал, респ. Алтай, 27 июля --- 7 августа 2010 г.) , (курс лекций из 8 часовых лекций). Дудкин Ф. А. Международная Подгруппы в группах Баумслага—Солитера // Восьмая школа-конференция «Теория посвященная 75-летию В.А. Белоногова групп и ее приложения», (Нальчик, 5-10 июля 2010 г.). (секционный доклад) Дудкин Ф. А. Подгруппы в группах Баумслага—Солитера // Международная молодежная школа-конференция «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей», (27 июля – 07 августа 2010 г., г. Новосибирск, Россия). (секционный доклад) Кривоногов А.С. Доля матриц с вещественным спектром в симплектической алгебре // XLVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, НГУ, 10-14 апреля 2010 (секционный доклад) Кривоногов А.С. Доля матриц с вещественным спектром в симплектической алгебре // Международная конференция «Алгебра, Логика и приложения», Красноярск, 19-25 июля 2010 (секционный доклад) Кривоногов А.С. Доля матриц с вещественным спектром в симплектической алгебре // Международная молодёжная школа-конференция "Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей", Эрлагол, 27 июля - 7 августа 2010 (секционный доклад) Заварницин А.В. Uniqueness of the prime graph of L16(2) // Международная конференция "Мальцевские чтения", 2 - 6 мая 2010 г., Новосибирск. (секционный 51 доклад) Заварницин А.В., Properties of the prime graph of certain simple groups // Международная алгебраическая конференция, посвящённая 70-летию А.В.Яковлева, 19 - 24 июня 2010 г., Санкт-Петербург. (секционный доклад) Заварницин А.В., О графе простых чисел Монстра, Восьмая международная школа-конференция по теории групп, посвященная 75-летию В. А. Белоногова, 4 - 10 июля 2010 г., Нальчик. (секционный доклад) 52
