Теория графов и ее приложения - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра программного обеспечения
ЗАХАРОВ С.Д.
ТЕОРИЯ ГРАФОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программадля студентов
направления 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем»,
профиль подготовки «Обеспечение информационной безопасности
распределенных информационных систем», форма обучения очная
2
Захаров С.Д. Теория графов и ее приложения. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление 10.05.03
«Информационная
«Обеспечение
безопасность
информационной
автоматизированных
безопасности
систем»,профиль
распределенных
подготовки
информационных
систем»,Тюмень, 2014, 31 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПОс учетом
рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ«Теория
графов и ее приложения»[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор,
зав. кафедрой программного обеспечения
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Захаров С.Д., 2014.
3
1.
Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Дисциплина «Теория графов и ее приложения»обеспечивает приобретение знаний и
умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует
фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического
мышления.
Цели дисциплины:

формирование математической культуры студента;

фундаментальная подготовка по основным разделам дискретной математики;

овладение
современным
математическим
аппаратом
для
дальнейшего
использования при решении теоретических и прикладных задач.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Теория графов и ее приложения» входит в базовую часть дисциплин
Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования
(ФГОС
ВПО)
по
направлению
«Информационная
безопасность
автоматизированных систем». Для её успешного изучения необходимы знания и умения,
приобретенные в результате освоения школьного курса математики, а также некоторых
разделов алгебры и геометрии.
Теория графов относится к числу основных разделов современной математики.
Знание теории графов и их приложений является важной составляющей общей
математической культуры выпускника. Эти знания необходимы как при проведении
теоретических исследований в различных областях математики, так и при решении
практических задач из разнообразных прикладных областей, таких, как информатика,
программирование, математическая экономика, математическая лингвистика, обработка и
передача данных, распознавание образов, криптография и др.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
Наименование
Темы дисциплины необходимые для изучения
п/п
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих) дисциплин
1.1-1.3
2.1-2.3
3.1-3.3
4.1-4.3
5.1-5.3
6.1-6.3
+
+
+
+
1.
Дискретная математика
+
+
2.
Информатика
+
+
4
+
3.
Структуры и алгоритмы
компьютерной обработки
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
данных
4.
Базы данных
5.
Исследование операций и
теории игр
6.
Электроника и схемотехника
7.
Методы проектирования
+
+
защищенных
+
распределенных
+
+
+
+
информационных систем
8.
Курсовые и дипломные
+
работы
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате изучения дисциплины «Теория графов и ее приложения» цикла
естественно-научных дисциплин базовой части по направлению подготовки 10.05.03
«Информационная безопасность автоматизированных систем» с квалификацией (степенью)
«бакалавр» в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами
профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать
следующими компетенциями:
Профессиональные компетенции
способностью участвовать в разработке компонентов автоматизированных систем в
сфере профессиональной деятельности (ПК-19);
способностью проводить контрольные проверки работоспособности и эффективности
применяемых программно-аппаратных, криптографических и технических средств защиты
информации (ПК-23);
способностью
проводить
инструментальный
мониторинг
защищенности
автоматизированных систем (ПК-26);
Профессиональные компетенции специализации
способностью проводить аудит защищенности информационно-технологических
ресурсов распределенных информационных систем (ПСК-7.5);
5
способностью применять криптографические протоколы для передачи и хранения
данных в распределенных информационных системах (ПСК-7.9)
1.4. Перечень планируемых результатовобучения по дисциплине:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия теории графов и свойства объектов, используемых в
этих областях, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы
их приложений, основы построения компьютерных моделей, использующих графы.
Уметь: решать задачи теоретического и прикладного характера из различных
разделов
математики,
информатики,
теории
защиты
информации,
доказывать
утверждения, строить модели объектов и понятий.
Владеть: математическим аппаратом теории графов, методами доказательства
утверждений в этой области, навыками алгоритмизации основных задач.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 9.Форма промежуточной аттестации (зачет):9 семестр – экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 5зачетных единиц, 180 академических часов, из них
77,65 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 103,35 часов, выделенных
на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Семестр
9
Контактная работа:
76,65
Аудиторные занятия (всего)
72
В том числе:
-
Лекции
36
Практические занятия (ПЗ)
36
Семинары (С)
-
Лабораторные занятия (ЛЗ)
-
Иные виды работ:
4,65
6
Самостоятельная работа (всего):
Общая трудоемкость
103,35
зач. ед.
5
час
180
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
экзамен
3. Тематический план
Таблица 3.
Виды учебной работы и
2
Из них в
интерак
Итого
Самостоятельная
работа*
1
Итого
часов
7
8
9
10
6
18
30
2
0-15
6
6
18
30
2
0-15
12
12
36
60
4
0-30
7-9
6
6
18
30
2
0-15
10-12
6
6
18
30
2
0-15
12
12
36
60
6
0-30
6
6
18
30
1
0-20
Семинарские
(практические)
занятия*
Лабораторные
занятия*
Тема
в час.
Лекции *
№
недели семестра
самостоятельная работа,
3
4
5
1-3
6
4-6
6
по
теме
тивной
форме, в
часах
количес
тво
баллов
Модуль 1
1.1.
Введение. Графы.
Блоки. Деревья.
Связность. Разбиения.
1.2.
Обходы графов.
Реберные графы.
Всего*
Модуль 2
Факторизация.
Покрытия.
Планарность.
2.1.
Раскраски.
Матрицы. Группы.
Перечисления.
2.2.
Орграфы.
Всего*
Модуль 3
Машинное
3.1.
представление графов
13-15
7
Сложность алгоритмов
3.2.
16-18
Всего*
6
6
18
30
1
0-20
12
12
36
60
6
0-40
36
36
108
180
16
0-100
8
8
Итого (часов, баллов за
семестр)*:
Из них в интеракт.
16
форме
*- с учётом иных видов работ.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
№
Устный опрос
Письменные работы
Темы
Технические
Информаци
формы
-
контроля
онные
системы
и
практикумы
другие формы
задания
электронные
ситуационные
окомплексные
тестирования
компьютерног
программы
эссе
реферат
работа
тест
работа
контрольная
семинаре
лабораторная
ответ на
собеседование
коллоквиумы
технологии
Итого количество баллов
Таблица 4.
Модуль 1
1.1
0-3
0-12
0-15
1.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
2.1
0-3
0-12
0-15
2.2
0-3
0-12
0-15
Всего
0-6
0-24
0-30
3.1
0-3
0-17
0-20
3.2
0-3
0-17
0-20
Всего
0-6
0-34
0-40
0-18
0-82
0-100
Модуль 2
Модуль 3
Итого
за
семестр
5. Содержание дисциплины.
8
Модуль 1.
Тема 1.1. Введение. Графы. Блоки. Деревья.
Общая характеристика дисциплины. Цели, задачи и методы дисциплины. Связи с другими
дисциплинами. Место дисциплины в профессиональной деятельности специалиста. Задача о
кенигсбергских мостах. Электрические цепи. Гипотеза четырех красок. Теория графов в XXи
XXI веке.
Типы графов. Маршруты и связность. Степени. Задача Рамсея. Экстремальные графы.
Графы пересечений. Операции над графами.
Точки сочленения, мосты и блоки. Графы блоков и графы точек сочленения.
Описание деревьев. Центры и центроиды. Деревья блоков и точек сочленения.
Независимые циклы и коциклы. Матроиды.
Тема 1.2. Связность. Разбиения. Обходы графов. Реберные графы.
Связность и реберная связность. Графические варианты теоремы Менгера.
Разбиения. Графические разбиения.
Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы. Задача коммивояжера.
Некоторые свойства реберных графов. Характеризация реберных графов. Специальные
реберные графы. Реберные графы и обходы. Тотальные графы.
Модуль 2.
Тема 2.1. Факторизация. Покрытия. Планарность. Раскраски.
1-факторизация. 2-факторизация. Древесность.
Покрытия и независимость. Критические вершины и ребра. Реберное ядро.
Плоские и планарные графы. Внешнепланарные графы. Теорема ПонтрягинаКуратовского.
Характеризации планарных графов. Род, толщина, крупность, число
скрещиваний.
Хроматическое число. Теорема о пяти красках. Теорема о четырех красках.
Однозначно раскрашиваемые графы. Критические графы. Гомоморфизмы. Хроматический
многочлен.
Тема 2.2. Матрицы. Группы. Перечисления. Орграфы.
Матрица смежностей. Матрица инцинденций. Матрица циклов. Дополнительные
свойства матроидов.
Группа автоморфизмов графа. Операции на группах подстановок. Графы с данной
группой. Симметрические графы.
Помеченные графы. Теорема Пойа. Перечисление графов. Перечисление деревьев.
9
Теорема перечисления степенной группы. Решенные и нерешенные задачи перечисления
графов.
Орграфы и соединимость. Ориентированная двойственность и бесконтурные орграфы.
Орграфы и матрицы. Турниры.
Модуль 3.
Тема 3.1. Машинное представление графов.
Матрицы графов. Списки смежности. Структура Вирта. Потоки в сетях.Задача о
назначениях. Общая схема стохастических алгоритмов.
Тема 3.2. Сложность алгоритмов.
Проблема P-NP. Метод ветвей и границ. Алгоритмы с гарантированной оценкой
точности: минимальная вставка и остовный обход. Поиск в графах. Задача о наибольшем
паросочетании. Алгоритм Хопкрофта-Карпа. Оценка сложности алгоритма Хопкрофта–
Карпа.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1.1. Типы графов. Маршруты и связность. Степени. Графы пересечений.
Операции над графами. Точки сочленения, мосты и блоки. Графы блоков и графы точек
сочленения. Деревья. Центры и центроиды. Деревья блоков и точек сочленения.
Независимые циклы и коциклы. Матроиды.
Тема 1.2. Связность и реберная связность. Разбиения. Эйлеровы графы. Гамильтоновы
графы. Задача коммивояжера.
Модуль 2.
Тема 2.1.1-факторизация. 2-факторизация. Покрытия и независимость. Критические
вершины и ребра. Плоские и планарные графы. Теорема Понтрягина-Куратовского.
Характеризации
планарных
графов.
Род,
толщина,
крупность,
число
скрещиваний.Хроматическое число. Теорема о пяти красках. Теорема о четырех красках.
Однозначно раскрашиваемые графы. Хроматический многочлен.
Тема 2.2. Матрицы. Группы. Перечисления. Орграфы.
Матрица смежностей. Матрица инцинденций. Матрица циклов. Дополнительные
свойства матроидов.Группа автоморфизмов графа. Операции на группах подстановок. Графы
с данной группой. Симметрические графы.Помеченные графы. Теорема Пойа. Перечисление
графов. Перечисление деревьев. Теорема перечисления степенной группы. Решенные и
нерешенные задачи перечисления графов.
Орграфы и соединимость. Ориентированная двойственность и бесконтурные орграфы.
10
Орграфы и матрицы. Турниры.
Модуль 3.
Тема 3.1. Матрицы графов. Списки смежности. Структура Вирта. Потоки в сетях.
Задача о назначениях.
Тема 3.2. Проблема P-NP. Метод ветвей и границ. Алгоритмы с гарантированной
оценкой точности: минимальная вставка и остовный обход.
Поиск в графах. Задача о
наибольшем паросочетании. Алгоритм Хопкрофта-Карпа. Оценка сложности алгоритма
Хопкрофта–Карпа.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не планируются
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5 .
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
Объем
Кол-во
семестра
часов
баллов
1-3
18
0-15
4-6
18
0-15
36
0-30
7-9
18
0-15
10-12
18
0-15
Модуль 1
1.1
Введение. Графы.
Блоки. Деревья.
1.2
Связность.
Разбиения. Обходы
графов. Реберные
Проработка
лекций, работа
Работа с учебной
с литературой,
литературой,
решение
составление задач
типовых задач
графы.
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
2.1
2.2
Факторизация.
Проработка
Покрытия.
лекций, работа
Составление
Планарность.
с литературой,
задач, написание
Раскраски.
решение
программы
Матрицы.
типовых задач
11
Группы.Перечислен
ия. Орграфы.
Всего по модулю 2*:
36
0-30
13-15
18
0-20
16-18
18
0-20
36
0-40
Модуль 3
3.1
Машинное
представление графов
Проработка
лекций, работа
Написание
с литературой,
3.2
программы
решение
Сложность алгоритмов
типовых задач
Всего по модулю 3*:
ИТОГО*:
108
* - с учётом иных видов работ
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины.
12
Индекс компетенции
Языки программирования
+
+
+
+
+
13
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Современные информационные
системы
Защита конфиденциальной
информации
6
семестр
Методы проектирования
защищенных распределенных
информационных систем
Информационная безопасность
открытых систем
5 семестр
Теория информации
Криптографические методы
защиты информации
Основы информационной
безопасности
4 семестр
Теория информации
Отечественное законодательство
по защите
конфиденциальной информации
Зарубежные стандарты по
информационной безопасности
Защита мобильных систем
3
семестр
Операционные системы
2
семестр
Безопасность систем баз данных
Языки программирования
ПК 19
ПК 23
ПК 26
ПСК 7.5
ПСК 7.9
1
семестр
Языки программирования
Циклы, дисциплины учебного
плана ООП специалиста
История криптографии
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
(выдержка из матрицы компетенций):
7 семестр
+
+
+
+
+
Индекс
компетенции
ПК 19
ПК 23
ПК 26
ПСК 7.5
ПСК 7.9
+
+
+
+
+
+
+
+
*отмечены дисциплины базового цикла
14
Дополнительные главы криптографии
Разработка и эксплуатация
защищенных автоматизированных систем
8 семестр
Безопасность жизнедеятельности
Теория графов и ее приложения
Технология построения
защищенных распределенных приложений
Информационная безопасность
распределенных информационных систем*
Программно-аппаратные средства
обеспечения информационной
безопасности
Техническая защита информации*
Циклы,
дисциплины
учебного
плана ООП
специалиста
Б.4 Практики Б.5 ГИА
9 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
компетенции
Код
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Виды занятий (лекции,
Оценочные
семинар
средства (тесты,
пороговый
базовый (хор.)
повышенный
ские, практические,
творческие работы,
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
лабораторные)
проекты и др.)
61-75 баллов
91-100 баллов
15
общий
порядок
проектирования
автоматизированных
систем;
Умеет:
разрабатывать
модели
угроз
информационной
безопасности
автоматизированных
систем;
Владеет: методами
мониторинга
информационной
безопасности
автоматизированных
систем.
ПК-19
Знает:
общий
порядок
проектирования,
разработки и внедрения
автоматизированных
систем;
Умеет: разрабатывать
модели угроз и
нарушителейинформацион
ной безопасности
автоматизированных
систем; Владеет: методами
мониторинга и аудита
информационной
безопасности
автоматизированных
систем.
Знает:
общий
порядок
проектирования, разработки и
внедрения, а также стадии
жизненного
цикла
автоматизированных систем;
основные
угрозы
безопасности информации
Умеет: разрабатывать модели
угроз и нарушителей,
формировать требования к
подсистемам
информационной
безопасности
автоматизированных систем
различных типов;
Владеет: методами
мониторинга и аудита,
выявления угроз
информационной
безопасности
автоматизированных систем.
Знает:
16
Лекции, практические
занятия
Экзамен
ПК-23
Знает: методы применения
теории графов к проверке
работоспособности
средств защиты
информации
Умеет: применять методы
теории графов в задачах
защиты информации
Владеет: некоторыми
навыками проведения
контрольных проверок
работоспособности и
эффективности
применяемых
программно-аппаратных,
криптографических и
технических средств
защиты информации
Знает: методы применения
теории графов к проверке
работоспособности
средств защиты
информации
Умеет: применять методы
теории графов в задачах
защиты информации
Владеет: основными
навыками проведения
контрольных проверок
работоспособности и
эффективности
применяемых
программно-аппаратных,
криптографических и
технических средств
защиты информации
Знает: методы применения
теории графов к проверке
работоспособности средств
защиты информации
Умеет: применять методы
теории графов в задачах
защиты информации
Владеет: продвинутыми
навыками проведения
контрольных проверок
работоспособности и
эффективности
применяемых программноаппаратных,
криптографических и
технических средств защиты
информации
17
Лекции, практические
занятия
Экзамен
ПК-26
Знает: методы применения
теории графов при
проведении
инструментального
мониторинга
защищенности
автоматизированных
систем
Умеет: применять методы
теории графов при
проведении
инструментального
мониторинга
защищенности
автоматизированных
систем
Владеет: некоторыми
навыками проведения
инструментального
мониторинга
защищенности
автоматизированных
систем
Знает: методы применения
теории графов при
проведении
инструментального
мониторинга
защищенности
автоматизированных
систем
Умеет: применять методы
теории графов при
проведении
инструментального
мониторинга
защищенности
автоматизированных
систем
Владеет: основными
навыками проведения
инструментального
мониторинга
защищенности
автоматизированных
систем
Знает: методы применения
теории графов при
проведении
инструментального
мониторинга защищенности
автоматизированных систем
Умеет: применять методы
теории графов при
проведении
инструментального
мониторинга защищенности
автоматизированных систем
Владеет: продвинутыми
навыками проведения
инструментального
мониторинга защищенности
автоматизированных систем
18
Работа с литературой
Определяются
научными
руководителями
ПСК-7.5
Знает: методы применения
теории графов при
проведении
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Умеет: применять методы
теории графов при
проведении
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Владеет: некоторыми
навыками проведения
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Знает: методы применения
теории графов при
проведении
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Умеет: применять методы
теории графов при
проведении
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Владеет: основными
навыками проведения
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Знает: методы применения
теории графов при
проведении
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Умеет: применять методы
теории графов при
проведении
аудита защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
Владеет: продвинутыми
навыками проведения аудита
защищенности
информационнотехнологических ресурсов
распределенных
информационных систем
19
Работа с литературой
Определяются
научными
руководителями
ПСК-7.9
Знает: методы
использования графов в
криптографических
протоколах для передачи
и хранения данных в
распределенных
информационных
системах
Умеет: применять графы в
криптографических
протоколах для передачи
и хранения данных в
распределенных
информационных
системах
Владеет: некоторыми
навыками применения
криптографических
протоколов для передачи
и хранения данных в
распределенных
информационных
системах
Знает: методы
использования графов в
криптографических
протоколах для передачи
и хранения данных в
распределенных
информационных
системах
Умеет: применять графы в
криптографических
протоколах для передачи
и хранения данных в
распределенных
информационных
системах
Владеет: основными
навыками применения
криптографических
протоколов для передачи
и хранения данных в
распределенных
информационных
системах
Знает: методы использования
графов в
криптографических
протоколах для передачи и
хранения данных в
распределенных
информационных системах
Умеет: применять графы в
криптографических
протоколах для передачи и
хранения данных в
распределенных
информационных системах
Владеет: продвинутыми
навыками применения
криптографических
протоколов для передачи и
хранения данных в
распределенных
информационных системах
20
Работа с литературой
Определяются
научными
руководителями
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
1.
Используя алгоритм Прима, построить минимальный покрывающий остов и
найти его длину.
2.
Самостоятельно ориентировать граф и построить дерево кратчайших расстояний
из 2 вершины.
3.
Найти хроматическое число графа. Является ли он эйлеровым, планарным?
4.
Решить задачу коммивояжера для графа, заданного матрицей расстояний
∝ 5
3 ∝
4 6
2 5
6 3
(10 9
7 9
6 8
∝ 7
6 ∝
7 8
8 7
15
13
11
9
∝
6
21
18
14
12
20
∝)
5.
Для данного графа найти величину максимального потока.
6.
Найти произвольный минимальный разрез
7. Для данного графа решить задачу коммивояжера методом ветвей и границ, либо доказать,
что граф не имеет гамильтонова цикла.
Дополнительные задания
Возможен набор дополнительных баллов в течение семестра, в случае выполнения
следующих заданий (каждая задача оценивается в 10 баллов). Одна задача может
выполняться только одним студентом в группе. Один студент может выбрать любое
количество задач.
1.
На окружности задано 2𝑛 точек, пронумерованных от 1 до 2𝑛. Написать
программу для перечисления
всех способов провести n непересекающихся
хорд с
вершинами в этих точках.
2.
Написать программу для перечисления
всех способов разрезать n-
угольник на треугольники, проведя 𝑛 − 2 его диагонали
3.
Пусть есть некоторый связный граф G, множество вершин которого
разбито на два непустых непересекающихся подмножества 𝑃 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 . Тогда
множество всех ребер G, имеющих одну концевую вершину в 𝑃1 , а другую - в 𝑃2 ,
называется разрезомграфаG. Найдите все разрезы заданного графа.
4.
Реализуйте алгоритм, осуществляющий последовательную раскраску
вершин графа при помощи обхода графа в ширину.
5.
С помощью обхода в глубину реализуйте алгоритм, который разбивает
неориентированный граф на его связные компоненты.
6.
С помощью обхода в глубину реализуйте алгоритм, который находит
такой порядок узлов ациклического ориентированного графа, при котором 𝑣 < 𝑤, если
из v в w ведёт путь ненулевой длины.
7.
С помощью обхода в глубину реализуйте алгоритм, который выясняет,
можно ли так ориентировать рёбра связного неориентированного графа, чтобы получить
сильно связный ориентированный граф.
22
8.
Задана система односторонних дорог. Найти путь, соединяющий города A
и B и не проходящий через заданное множество городов
9.
Задана система двусторонних дорог, причем для любой пары городов
можно указать соединяющий их путь. Найти такой город, для которого сумма
расстояний до остальных городов минимальна.
10.
По системе двусторонних дорог определить, можно ли, закрыв какие-
нибудь три дороги, добиться того, чтобы из города A нельзя было попасть в город B.
11.
Заданы две системы двусторонних дорог с одним и тем же множеством
городов (железные и шоссейные дороги). Найти минимальный по длине путь из города A
в город B (который может проходить как по железным, так и по шоссейным дорогам) и
места пересадок с одного вида транспорта на другой на этом пути
12.
Компонентой сильной связности в ориентированном графе называется
такой его подграф, в котором любые две вершины взаимно достижимы и который не
содержится в другом подграфе, удовлетворяющем этому условию. Постройте
компоненты сильной связности для заданного ориентированного графа.
13.
Пусть 𝑥 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 - данная цепочка и  - регулярное выражение.
Модифицируйте алгоритм моделирования недетерминированного конечного автомата
так, чтобы он находил наименьшее число k, а по нему наименьшее j, такое, что
𝑎𝑗 𝑎𝑗+1 … 𝑎𝑘 принадлежит множеству, представленному выражением . Указание:
Каждому состоянию из𝑆𝑖 поставьте в соответствие целое число j.
14.
Пусть 𝑥 = 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 - данная цепочка и  - регулярное выражение..
Реализуйте алгоритм, который находил бы все подцепочки в х, принадлежащие
множеству, представленному выражением 
Итоговый тест семестр:
1. Величина максимального потока в данной сети будет равна
1) f max  30
2) f max  26
3) f max  37
23
4) f max  20
2. Минимальный путь из вершины 𝑣1 в вершину 𝑣5 в графе D будет равен
1)10
2) 15
3)8
4) 25
3.
Даны окончательная матрица D и S, полученные в результате работы алгоритма
Флойда. Тогда длина кратчайшего пути между 1 и 5 вершинами и сам путь будут равны:
D=
-
3
10 8 12
-
3
-
11 5 9
1 -
10 11 -
6 10
8
-
5
12 9
6
2 3 2 4
4 4 4
S= 1 4 -
4 4
4
2 2 3 -
10 4 -
4 4 4 5
5
1) d15 = 12
путь 1-2-4-5
2) d15 = 12
путь 1-4-5
3) d15 = 12
путь 1-5
4) d15 = 12
путь 1-2-5
4. Длина минимального остова данного графа равна
1) 47
2) 59
3) 68
4) 69
5. Количество циклов длины 3 в данном графе равно
1) 4
2) 12
3) 2
4) 6
6. Сколько рёбер в связном графе с n вершинами, если в нём имеется единственный
цикл?
1) n-1
2) n
24
3) n+1
4) 2n
7. Граф задан своей матрицей смежности
0

1
A  0

0
1

1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1

1 .
1

1
0 
Его геометрическое изображение
2)
3)
1)
8. Кратчайшим путем между вершинами S и T в графе является
4)
1) S-A-B-T
2) S-B-T
3) S-A-C-T
4) S-A-C-B-T
9. Граф, заданный списком ребер M={(1,2), (1,4), (1,5), (1,6), (2,6), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,5)}
1) эйлеров, планарный
3) эйлеров, не планарный
2) не эйлеров, планарный
4) не эйлеров, не планарный
10. Максимальный поток в сети
1)
2)
3)
4)
15
14
16
13
25
11. Петлей называется:
1) Дуга, соединяющая три вершины
2) Дуга, соединяющая вершину саму с собой
3) Ребро, соединяющее две висячие вершины
4) Ребро, соединяющее вершину саму с собой
12. Что такое удаление дуги из графа?
1) Удаление всех вершин, инциндентных этой дуге, вместе с этой дугой
2) Удаление дуги, вершины остаются в графе
3) Удаление всех дуг, инциндетных данной дуге
4) Удаление всех дуг и вершин, инциндентных данной дуге
13. Что такое эксцентриситет вершины?
1) Расстояние от данной вершины до наиболее удаленной от нее
2) Расстояние от данной вершины до наиболее близкой от нее
3) Наибольшее расстояние между вершинами в графе
4) Наименьшее расстояние между вершинами в графе
14. Какую задачу решает алгоритм Форда-Беллмана?
1) Поиск кратчайшего остова
2) Задачу коммивояжера
3) Поиск кратчайшего маршрута от фиксированной вершины
4) Находит пропускную способность сети
15. Чему равно хроматическое число двудольного графа?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
16. Что обозначается через K n ?
1) Цепь длиной n.
3) Полный граф на n вершинах.
2) Простой цикл длины n.
4) n-связный граф.
Пример экзаменационного билета:
1.
Доказать теорему Форда – Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном
разрезе. (6 баллов)
Вопросы к экзамену:
26
1.
Маршруты и связность.
2.
Степени.
3.
Задача Рамсея.
4.
Экстремальные графы.
5.
Графы пересечений.
6.
Операции над графами.
7.
Точки сочленения, мосты и блоки.
8.
Графы блоков и графы точек сочленения.
9.
Описание деревьев.
10.
Центры и центроиды.
11.
Независимые циклы и коциклы.
12.
Матроиды.
13.
Связность и реберная связность.
14.
Разбиения.
15.
Графические разбиения.
16.
Характеризация реберных графов.
17.
Реберные графы и обходы.
18.
1-факторизация.
19.
Покрытия и независимость.
20.
Реберное ядро.
21.
Плоские и планарные графы.
22.
Теорема Понтрягина-Куратовского.
23.
Характеризации планарных графов.
24.
Род, толщина, крупность, число скрещиваний.
25.
Хроматическое число.
26.
Теорема о пяти красках.
27.
Теорема о четырех красках.
28.
Хроматический многочлен.
29.
Матрица смежностей.
30.
Матрица инцинденций.
31.
Матрица циклов.
32.
Группа автоморфизмов графа.
33.
Операции на группах подстановок.
34.
Графы с данной группой.
35.
Симметрические графы.
27
36.
Помеченные графы.
37.
Перечисление графов.
38.
Перечисление деревьев.
39.
Теорема перечисления степенной группы.
40.
Орграфы и соединимость.
41.
Ориентированная двойственность и бесконтурные орграфы.
42.
Орграфы и матрицы.
43.
Турниры.
44.
Граф. Ориентированный граф. Неориентированный граф. Смежность и
инцидентность. Способы задания графа. Матрицы графа. Степени вершины.
45.
Подграф. Часть графа. Виды графов. Изоморфизм графов. Теорема об
изоморфизме графов.
46.
Маршруты в ориентированных и неориентированных графах. Связность.
Достижимость.
47.
Дерево. Основные свойства деревьев. Ориентированное дерево. Бинарные
деревья. Остов.
48.
Задача о построении кратчайшего остовного дерева. Алгоритм Прима.
Проблема Штейнера.
49.
Задача о построении дерева кратчайших расстояний. Алгоритм Дейкстры.
50.
Задача о построении матрицы кратчайших расстояний. Алгоритм Флойда.
51.
Сеть. Поток в сети. Задача о максимальном потоке в сети. Разрез.
52.
Доказать теорему Форда – Фалкерсона.
53.
Остаточная пропускная способность. Остаточная сеть. Алгоритм Форда –
Фалкерсона нахождения максимального потока.
54.
Геометрическая реализация графа. Теорема о реализации конечного графа в
трёхмерном евклидовом пространстве.
55.
Планарный граф. Грань графа. Доказать формулу Эйлера для планарных
графов.
56.
Доказать, что граф К5 не планарен. Доказать, что граф К3,3 не планарен.
57.
Независимое множество вершин графа. Вершинная раскраска. Правильная
раскраска. Хроматическое число графа. Доказать теорему о 5 красках.
58.
Эйлеров путь. Эйлеров граф. Алгоритм построения эйлерова пути в эйлеровом
графе. Критерий эйлеровости графов.
59.
Гамильтонов граф. Теорема Дирака.
60.
Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ.
28
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Промежуточный
контроль
освоения
и
усвоения
материала
дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
9 семестр – экзамен

Студент набирает в течение семестра менее 35 баллов (не допущен к сдаче
экзамена). Студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных и контрольных работ.
После получения допуска (35 баллов), необходимо написать итоговый тест за 1 семестр (30
баллов).
Если
набранных
балов
по
итогам
теста
не
хватает
для
получения
удовлетворительной оценки, студент добирает баллы путём сдачи самостоятельных работ
или выполнения дополнительных заданий.
В случае, если в течение семестра студент не набрал необходимое количество
баллови не явился на сдачу экзаменаво время сессии, добор баллов и пересдача
осуществляются только в сроки, установленные учебной частью института.
11. Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций, практических
работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ, промежуточного
тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные
и
практические
занятия;
на
практических
занятиях
контроль
осуществляется при сдаче набора заданий. В течение семестра студенты выполняют задачи,
указанные преподавателем к каждому занятию;
активные и интерактивные формы: моделирование и анализ результатов при
выполнении самостоятельных работ;
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности, подготовка к
аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии
с
учебно-тематическим планом, составлении
конспектов.
Подготовка
индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко
всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной
аттестации; индивидуальные консультации.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
29
12.1 Основная литература:
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В.. Дискретная математика[Электронный
ресурс]: учебник/ С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. -Электрон.текстовые дан. Новосибирск:
Изд-во
НГТУ,
2012.
(Серия
«Учебники
НГТУ»).Режим
доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/135675/ (дата обращения: 04.11.2014)
2. Зарипова Э.Р., Кокотчикова М.Г. Лекции по дискретной математике. Теория
графов[Электронный
ресурс]:
учебное
пособие/
Э.Р.Зарипова,
М.Г.Кокотчикова.
-
Электрон.текстовые дан. – М.: Российский университет дружбы народов, 2013.Режим
доступа: http://www.biblioclub.ru/book/226800/ (дата обращения: 04.11.2014)
12.2Дополнительная литература:
1.Ландо С.К. Лекции о производящих функциях [Электронный ресурс] : курс лекций /
С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. - М. : МЦМНО, 2007. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/63247/ (дата обращения: 04.11.2014).
2.Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения [Электронный
ресурс] / А.К.Звонкин, С.К.Ландо. – Электрон.текстовые дан. – М. : МЦМНО, 2010. – Режим
доступа:http://www.biblioclub.ru/book/63250/ (дата обращения: 04.11.2014).
3.Новиков, Ф. А.Дискретная математика для программистов: учеб.пособие для студ.
вузов, обуч. по спец. "Информатика и вычислительная техника"/ Ф. А. Новиков. - 3-е изд. Санкт-Петербург: Питер, 2008. - 384 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
Не предусмотрены
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Не предусмотрены
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны
учебные аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для проведения
практических занятий необходимы обычные классы.
15.Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
30
Для успешного сдачи зачёта (экзамена) студенты должны посещать лекции и
практические занятия, выполнять домашние задания, выполнить все контрольные
работы.
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться
с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения практического занятия.
Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта
лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений,
основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
Виды контроля деятельности студентов, применяемые на аудиторных занятиях, их
оценка в рейтинговых баллах
№ п/п Вид контроля
Максимальное количество баллов
В случае пропуска лекции без
1.
Посещение лекционных занятий
уважительной причины текущий рейтинг
снижается на 1 балл
В случае пропуска занятия без
2.
Посещение практических занятий
уважительной причины текущий рейтинг
снижается на 1 балл
3.
Выполнение практических заданий
За защиту практической работы позже
установленного срока количество баллов
снижается на 2.
Выполнение индивидуальных
4.
заданий в процессе
самостоятельной работы
5.
Экзамен по дисциплине
За выполнение по инициативе студента
индивидуальных заданий текущий
рейтинг может быть повышен на величину
0 - 10 баллов за задание
0 - 6 баллов за ответ на вопрос
экзаменационного билета
31
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
______________________________________ «__» _______________201 г.
Заведующий кафедрой___________________/___________________/
Подпись
Ф.И.О.
32
кафедры