Теория Галуа_обязательный курс_1год x (новое окно)

1
Приложение к приказу первого проректора
по учебной и научной работе
от_03.09.2014________№__4554/1________
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Теория Галуа
Galois theory
Язык обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: 4
Регистрационный номер рабочей программы: 2014/ Санкт-Петербург
2014
2
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
Получение студентами практических знаний и навыков, связанных с с современными
разделами и задачами теории Галуа, а также с со смежными областями.
1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Знание основ теории полей, классической теории Галуа, теории групп и линейной
алгебры.
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
знать содержание программы курса и иметь представление о возможностях
применения ее разделов в алгебре, алгебраической геометрии, алгебраической теории
чисел, теории категорий и дифференциальной алгебре.
1.4.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
промежуточная аттестация, зачет
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация
(сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
лекции
Период обучения (модуль)
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
54
90
1год
ИТОГО
4
54
90
4
3
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды итоговой аттестации
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
Зачет, проводится в
традиционной форме
по графику
промежуточной
аттестации
1 год обучения
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Основной курс
Основная траектория
Очная форма обучения
Период обучения (модуль): 1 год обучения
№
п/п
Наименование темы (раздела, части)
1
Теория Галуа бесконечных
алгебраических расширений
2
3
4
5
Вид учебных занятий
Количество
часов
лекции
8
по методическим материалам
13
лекции
14
по методическим материалам
25
лекции
8
по методическим материалам
14
Дифференциальная алгебра и теория лекции
Галуа
по методическим материалам
10
Фундаментальные группы схем
лекции
14
по методическим материалам
21
Когомологии Галуа
Категорная теория Галуа
Раздел 1. Теория Галуа бесконечных расширений.
17
4
Классическая теория Галуа. Группы автоморфизмов бесконечных расширений и
топология Крулля. Основная теорема теории Галуа для бесконечных расширений Галуа.
Раздел 2. Когомологии Галуа.
Определение (ко)гомологий групп; стандартные резольвенты. Случай циклической
группы. Ограничение, коограничение, инфляция и дефляция. Спектральная
последовательность Хохшильда-Серра. Чашечное произведение. Теорема Тэйта.
Когомологии Галуа: определение. Теорема Шпайзера и теоремы типа Гильберта 90.
Группа Брауэра: эквивалентность двух определений.
Раздел 3. Категорная теория Галуа.
Теория категорий. «Обычная» теория Галуа в форме Гротендика. Функтор слоя.
Таннакиевы категории.
Раздел 4. Дифференциальная алгебра и теория Галуа.
Основные определения и типы расширений дифференциальных полей. Теорема Лиувилля.
Прямая и обратные задачи дифференциальной теории Галуа. Применение теории Таннаки.
Раздел 5. Фундаментальные группы схем.
Накрытия топологических многообразий. Этальные морфизмы и накрытия. Этальная
фундаментальная группа. Торсоры и расслоения. Теорема существования Римана. Связь
между алгебраической и топологической фундаментальной группой комплексного
многообразия. Анабелева геометрия.
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций, самостоятельное изучение литературы.
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература.
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Ряд упражнений по курсу включаются в состав контрольных и коллоквиума.
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства)
Список вопросов для зачета
5
1. Основная теорема теории Галуа для конечных расширений.
2. Группы автоморфизмов бесконечных расширений и топология Крулля.
3. Основная теорема теории Галуа для бесконечных расширений Галуа.
4. (Ко)гомологий групповых модулей; стандартные резольвенты.
5. Когомологии модулей над циклическими группами; индекс Эрбрана.
6. Функторы «замены группы» и их свойства.
7. Спектральная последовательность Хохшильда-Серра.
8. Чашечное произведение; свойства. Теорема Тэйта.
9. Непрерывные когомологии проконечных групп.
10. Теорема Шпайзера и теорема Гильберта 90.
11. Теорема Гильберта 90 для общей линейной группы.
12. Группа Брауэра: эквивалентность двух определений.
13. Основные утверждения теории полей классов.
14. Теория Галуа в форме Гротендика.
15. Функтор слоя и его автоморфизмы.
16. Двойственность Таннаки-Крейна.
17. Таннакиевы категории.
18. Дифференциальные поля и их расширения.
19. Теорема Лиувилля.
20. Прямая и обратная задача дифференциальной теории Галуа.
21. Таннакиево соответствие для дифференциальной алгебры.
22. Связь между накрытиями топологических многообразий и фундаментальной
группой. Этальные морфизмы и накрытия схем.
23. Этальная фундаментальная группа.
24. Торсоры и расслоения; связь с H1.
25. Теорема существования Римана (формулировка и элементы доказательства).
26. Связь между алгебраической и топологической фундаментальной группой
комплексного многообразия.
27. Основные задачи анабелевой геометрии.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных к
проведению учебных занятий
К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень доктора
или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную процедуру
6
признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора или доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
не требуется.
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории
3.3.2 Характеристики
аудиторного
оборудования,
в
том
числе
неспециализированного компьютерного оборудования и программного обеспечения
общего пользования
доска для письма мелом или фломастером
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
не требуется
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
не требуется
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел — не менее 1 куска на час лекционных занятий, фломастеры для доски, губка.
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. Алгебраическая теория чисел (под редакцией Д. Касселса и А. Фрёлиха) М. Мир, 1969.
2. Чеботарев, Н.Г. Теория Галуа : - 2-е изд., стереотип. - М. : КомКнига, 2006. - 154 с.
3. Артин, Эмиль . Теория Галуа : монография / Э. Артин. - М. : МЦНМО, 2004. - 66 с.
3.4.2. Список дополнительной литературы:
1. Szamuely T. Galois groups and fundamental groups. – Cambridge university press, 2009. –
Т. 117.
2. В.В. Ишханов. Задачи и погружения в теории Галуа : научное издание / В. В. Ишханов,
Б. Б. Лурье, Д. К. Фаддеев. - М. : Наука, 1990. - 269 с.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
J. Sauloy. Introduction to differential Galois Theory http://www.math.univtoulouse.fr/~sauloy/PAPIERS/GalDiffWuhan.pdf
Раздел 4. Разработчики программы
М.В. Бондарко, д.ф-м.н., профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел математикомеханического факультета.