Аннотация к научно-техническому отчету по 3 этапу Государственного контракта №

Аннотация
к научно-техническому отчету по 3 этапу Государственного контракта №
П1111 "Компьютерное исследование групп гомоморфизмов конечных групп,
гомоморфной устойчивости и конечных топологий" (шифр "НК-586П") от 02
июня 2010 по направлению "Математика" в рамках мероприятия 1.2.2
"Проведение научных исследований научными группами под руководством
кандидатов наук.", мероприятия 1.2 "Проведение научных исследований
научными группами под руководством докторов наук и кандидатов наук" ,
направления 1 "Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки,
образования и высоких технологий." федеральной целевой программы
"Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 20092013 годы.
Ключевые
слова:
группа
автоморфизмов;
группа
внутренних
автоморфизмов; конечная группа.
В отчете рассказывается о третьем этапе исследования по теме
«Компьютерное
вычисление
групп
гомоморфизмов
конечных
групп,
гомоморфной устойчивости и топологий конечных множеств», который
посвящен вычислению групп автоморфизмов и внутренних автоморфизмов
конечных групп.
Как известно, всякая группа
преобразований множества
вкладывается в группу
по формуле
внутренний автоморфизм
, где под
группы
понимается
. Еще две подгруппы в
образуют все автоморфизмы и все внутренние автоморфизмы  эти
подгруппы обозначаются соответственно
группа
всегда тривиальна).
и
(для абелевых групп
Между этими тремя подгруппами
существует тесная связь, и, таким образом, возникает задача о вычислении
групп
и
как в явном виде, так и с точностью до изоморфизма. В
некоторых случаях существует аналитическое решение этой задачи, хотя в
общем случае вид этих групп остается неизвестным.
В ходе третьего этапа были решены следующие задачи:
1. На языке Турбо Паскаль создана эффективная программа, которая для
каждой группы
порядка не выше 16
 находит все автоморфизмы группы
;
 вычисляет период каждого автоморфизма
как элемента группы
, то есть находит наименьшее натуральное число
удовлетворяющее равенству
преобразование группы
, где
 тождественное
и нейтральный элемент группы
 определяет, является ли автоморфизм
группы
;
внутренним.
2. По результатам программы почти для каждой группы
изоморфизма найдены группы
,
и
с точностью до
 исключение составили
, состоящая из 192 автоморфизмов, и
,в
которой 32 автоморфизма,  эти группы найдены явно, но не отнесены
к
конкретным
классам
изоморфных
групп.
По-видимому,
окончательное решение требует здесь привлечения более сильного
математического аппарата.
В качестве примера результатов, которые дает созданная компьютерная
программа, укажем ее выходные данные для диэдральной группы
.
Group d8
automorphisms
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 order=1 inner
2 3 4 1 7 8 6 5
1 2 3 4 6 5 8 7 order=2 inner
3 4 1 2 6 5 8 7
1 2 3 4 7 8 6 5 order=4
4 1 2 3 8 7 5 6
1 2 3 4 8 7 5 6 order=4
5 8 6 7 1 3 4 2
1 4 3 2 5 6 8 7 order=2 inner
6 7 5 8 3 1 2 4
1 4 3 2 6 5 7 8 order=2 inner
7 5 8 6 2 4 1 3
1 4 3 2 7 8 5 6 order=2
8 6 7 5 4 2 3 1
1 4 3 2 8 7 6 5 order=2
Учитывая вычисленные периоды автоморфизмов и проверяя, что группа
не является абелевой, приходим к выводу, что
.
Учитывая периоды внутренних автоморфизмов, находим, что
.
Итоговая сводка результатов содержится в таблицах:
Здесь
— подгруппа в
, порожденная подстановками
и
,
, а группы
,
и
,
состоящие
соответственно
из
192
и
32
элементов,
не
идентифицированы.
Одной из главных проблем третьего этапа стало создание эффективной
программы вычисления автоморфизмов конечных групп, время работы и
число пересчетов которой возрастали бы как можно меньше с увеличением
порядка группы. Первоначальный вариант программы работал эффективно
лишь для групп порядка не выше 12, второй вариант позволил достаточно
быстро получить результаты для групп порядка от 13 до 16. В настоящее
время программа была модернизирована и позволяет получить быстрые
результаты для групп более высокого порядка.