Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова (технический университет) ОБЩАЯ ФИЗИКА МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Лабораторный практикум САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2005 УДК 531 / 534(075.80) ББК 22.2 + 22.36 О288 Авторы: А.С.Мустафаев, А.П.Корольков, Н.Н.Смирнова, С.П.Варшавский Практикум составлен в соответствии с действующей программой курса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и должен помочь более глубокому освоению материала. Он содержит 14 независимых лабораторных исследований. Общая структура предлагаемых работ (цель исследования, теоретическая часть, описание экспериментальных методов и установок, методики физических исследований, оценки точности результатов, контрольные вопросы и требования к оформлению) делает практикум удобным для самостоятельной работы студентов. Предназначен для студентов всех специальностей всех форм обучения. Научный редактор проф. А.С.Мустафаев Рецензенты: Отделение общей и технической физики ИТФ РАН, проф. В.М.Цаплев (СЗТУ). ОБЩАЯ ФИЗИКА. Механика. Молекулярная физика: Лабораторный О288 практикум / А.С.Мустафаев, А.П.Корольков, Н.Н.Смирнова, С.П.Варшавский; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 86 с. ISBN 5-94211-244-4 УДК 531/ 534(075.80) ББК 22.2 +22.36 ISBN 5-94211-244-4 2 Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова, 2005 г. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ Физика – наука экспериментальная. Это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума – ознакомление студентов с основными физическими явлениями, методами их экспериментального исследования, приобретение практических навыков проведения измерений с помощью физических приборов. Все измерения можно разделить на два вида: прямые и косвенные. При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно регистрируется по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время часами и т.д. Если физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а выражается посредством формулы через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными. Любые измерения не дают абсолютно точного значения величины. Каждое измерение содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением. Ошибки принято делить на систематические и случайные. Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или метода измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующих поправок. К систематическим ошибкам относят также погрешности измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом, который, как правило, указывается на измерительной шкале. 3 Случайной называется ошибка, которая изменяется от опыта к опыту и может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т.п.), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.). Случайные ошибки нельзя исключить совершенно, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями. ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Среднее значение и средняя абсолютная ошибка. Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получим n различных значений: Х1, Х2, Х3 … Хn. Результатом измерений принято считать среднее значение Х 1 n Хi. n i 1 Разность между средним значением и результатом i-го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения: Х i Х Х i . Мерой ошибки среднего значения принято считать среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения 1 n Х Х i . (1) n i 1 Величина X называется средней арифметической (или средней абсолютной) ошибкой. Результат измерений следует представлять в виде Х Х Х . Характеристикой точности измерений служит относительная ошибка , которую принято выражать в процентах: 4 Х 100 . Х (2) Средняя квадратическая ошибка. Если необходимо оценить надежность полученных результатов, как правило вычисляют среднюю квадратическую ошибку (стандартное отклонение): Х i X n 2 i 1 . n 1 Величина характеризует отклонение единичного измерения от истинного значения. Если в результате n измерений по формуле (2) вычислено среднее значение Х , то это значение будет меньше отличаться от истинного, чем каждое отдельное измерение. Средняя квадратическая ошибка среднего значения Х i X n Х n i 1 2 nn 1 , (3) где – среднеквадратическая ошибка каждого отдельного измерения; n – число измерений. Из формулы (3) видно, что, увеличивая число измерений n, можно уменьшить случайную ошибку Х . Результаты измерений принято представлять в виде Х Х Х . Подобная запись результата обозначает, что истинная величина Х с вероятностью 68 % отличается от Х не более, чем на Х . В противоположность этому средняя арифметическая ошибка, вычисленная по формуле (1), не позволяет судить о надежности результата. Некоторое представление о точности измерений в этом случае дает относительная ошибка. Целесообразность выбора метода оценки надежности результата при выполнении студентом лабораторной работы обсуждается с преподавателем. 5 Обычно, если число измерений не превышает трех-пяти, вычисляют среднюю абсолютную ошибку, если число измерений десять и более, то следует определять среднюю квадратическую ошибку. Учет систематических ошибок. Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе. При измерении обычной металлической линейкой систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм; штангенциркулем 0,1-0,05 мм; микрометром 0,01 мм. Часто в качестве систематической ошибки берется половина цены деления прибора. На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности K, по которому можно вычислить систематическую ошибку прибора: Κ Χ Χ пр , 100 где Хпр – предельное значение измеряемой величины по шкале прибора. Например, амперметр класса 0,5 со шкалой Iпр = 5 А измеряет ток I с ошибкой Κ 0,5 I I пр 5 2,5 10 2 А. 100 100 Среднее значение полной погрешности измеряемой величины складывается из случайной и систематической погрешностей: 2 полн сист 2 . Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде X X полн . ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ В физических экспериментах чаще всего искомая величина непосредственно измерена быть не может, а является функцией других непосредственно измеряемых величин. Например, чтобы опре6 делить объем цилиндра, надо измерить его диаметр D и высоту h, а затем вычислить объем по формуле D 2 h. 4 Величины D и h измеряются с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величина V также содержит ошибку. Погрешность вычисленной величины выражается через погрешности измеренных величин. Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) или среднюю квадратическую ошибку. Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления. Пусть искомая величина является функцией нескольких переменных (Х, Y, Z). Путем прямых измерений мы можем найти Χ , Y , Z , а также оценить их средние абсолютные ошибки V Χ , Y , Z или средние квадратические ошибки X , Y , Z . Тогда средняя арифметическая погрешность X У Z , X Y Z – частные производные функции по Х, Y, Z, вы, , X Y Z числяемые для средних значений Χ , Y , Z . Средняя квадратическая погрешность где 2 2 2 2 2 2 У Z . X Х Y Z Для примера выведем формулы погрешности для вычисления объема цилиндра. Средняя арифметическая погрешность величины объема V V V Dh D 2 D h D h , D h 2 4 где D и h – ошибки измерений диаметра и высоты цилиндра. 7 Средняя квадратическая погрешность величины объема 2 2 2 2 2 V 2 V 2 Dh 2 D 2 V D h D h , D h 2 4 где D и h – ошибки измерений диаметра и высоты цилиндра. Если формула погрешности представляет собой выражение, удобное для логарифмирования (произведение, дробь, степень), то вначале целесообразно вычислить относительную погрешность. Например, чтобы рассчитать среднюю арифметическую погрешность физической величины надо проделать следующие действия: 1) прологарифмировать выражение; 2) продифференцировать его; 3) объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки; 4) взять выражение перед разными дифференциалами по модулю; 5) заменить знаки дифференциалов d на знаки абсолютной погрешности . В итоге получится формула для относительной погрешности = / ; 6) вычислить абсолютную погрешность = . Проиллюстрируем последовательность действий на примере выражения для объема цилиндра: V D 2 h; 4 ln V ln 2ln D ln h ln 4 ; V D h 02 0 ; V D h 8 V D h D h 2 ; V V V 2 . V D h h D Аналогично можно рассчитать относительную среднюю квадратическую погрешность: 2 2 2 2 V 2 D h ; V V 2 D h . V D h D h ПРАВИЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ 1. Результаты измерений и вычислений фиксируются в форме предлагаемых таблиц. Единица величины указывается рядом с символом величины в головке таблицы. Например, d мкм. 2. Погрешность округляется до одной значащей цифры. Например, правильно = 0,04, неправильно = 0,0382. 3. Последняя значащая цифра результата должна иметь тот же порядок величины, что и погрешность: правильно = 9,83 0,03, неправильно = 9,826 0,03; 4. Если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать нормализованную форму записи числа: х = a[10n], где а = 19. Правильно = (5,27 0,03)10-5, неправильно = 0,0000527 0,0000003, = 5,2710-5 0,0000003, = 0,0000527 310-7, = (527 3)10-7, = (0,527 0,003) 10-4. 5. Если результат имеет размерность, ее необходимо указывать: правильно g = (9,82 0,02) м/c2, неправильно g = (9,82 0,02). ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ 1. Графики строятся с помощью компьютерных программ или на миллиметровой бумаге. 2. Прежде чем строить график, необходимо: определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией (значения аргумента откладываются по оси абсцисс, значения функции – по оси ординат); 9 определить пределы изменения аргумента и функции по экспериментальным данным; указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин; 3. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их каким-нибудь значком (крестиком, кружочком, жирной точкой). 4. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой (прямой). На компьютере в программе EXEL для этого используется режим линии тренда и избранный закон аппроксимации данных. 10 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Работа 1. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Цель работы – провести прямые и косвенные измерения физических величин. Выполнить оценку точности измерений. Общие сведения Сопротивление однородного цилиндрического проводника R l / S , где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; – удельное сопротивление. В системе СИ выражается в ом-метрах (Омм). Удельное сопротивление RS / l. Площадь поперечного сечения S рассчитывается по измеренному значению диаметра проводника d: S d 2 / 4. Сопротивление R вычисляется по измеренным значениям напряжения U и тока I согласно закону Ома для участка цепи R U / I. (1) Таким образом, удельное сопротивление U d 2 . I 4l (2) Каждую из физических величин (l, d, U, I) можно измерить непосредственно соответствующими приборами с определенной точностью (прямые измерения). Величина удельного сопротивления вычисляется по формуле (косвенные измерения). 11 В общем случае результат измерения величины х представляют в виде X X X , где X погрешность или ошибка измерения; X – среднее значение величины. Для однократных измерений за величину ошибки принимается систематическая погрешность, которую вносит сам прибор, а средним считается измеренное значение физической величины. Измерения длины l проволоки проводится однократно линейкой. Погрешность измерения линейкой определяется как половина цены наименьшего деления. Значения тока I и напряжения U измеряют однократно с помощью электромагнитных приборов (амперметра и вольтметра). Погрешность I и U этих измерений определяется по классу точности, который указан на шкале приборов: I I пр K / 100, U U пр K / 100 , где K – класс точности приборов; Iпр и Uпр – наибольшие значения силы тока и напряжения, которые могут быть измерены по шкале прибора. Диаметр проволоки измеряется многократно штангенциркулем и микрометром. Проведя n измерений, получим серию результатов: d1 , d 2 , d 3 , ..., d n . Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое: 1 d1 d 2 d3 ... d n . n Средняя абсолютная ошибка d d 1 n d di . n i 1 (3) Средняя квадратическая ошибка d 12 n 2 1 di d . nn 1 i1 (4) Если ошибка меньше точности используемого прибора, то за величину ошибки следует принять последнюю. Сопротивление R и удельное сопротивление определяются косвенно, т.е. вычисляются по формулам (1) и (2). Погрешности в определении этих величин выражаются через погрешности измеренных величин и вычисляются по следующим формулам: средняя абсолютная погрешность измерения сопротивления I U R R ; U I (5) средняя квадратическая погрешность измерения сопротивления 2 2 R R I U ; I U (6) средняя абсолютная погрешность измерения удельного сопротивления I U l 2 d (7) ; U l d I средняя квадратическая погрешность измерения удельного сопротивления 2 2 2 2 2 I U l d . I U l d Порядок выполнения работы Для определения удельного сопротивления отрезка проволоки используется простейшая электрическая цепь, которая состоит из источника тока , амперметра A, вольтметра V и исследуемого проводника АВ (см. рисунок). Порядок измерений следующий: (8) V l A B l0 A 13 1) измерить штангенциркулем диаметр проволоки d в десяти точках проводника и определить погрешность d фиксируя результаты измерений и расчетов в табл.1; 2) повторить измерения d с помощью микрометра; 3) включить установку, нажав кнопку «СЕТЬ»; включить нужную электрическую схему по указанию преподавателя; 4) установить начальное значение тока по указанию преподавателя, выполнить измерения тока I и напряжения U для десяти значений длины l (измерения проводить в точках проводника от 0,1l0 до l0), записывая результаты в табл.2; 5) определить погрешность электрических приборов ΔI и ΔU по классу точности и занести в табл.2. Таблица 1 Результаты измерений диаметра проволоки штангенциркулем и микрометром Диаметр Штангенциркуль Микрометр d1 d2 … d10 d d d d/ d d / d Таблица 2 Результаты измерений тока и напряжения Номер опыта 1 2 ... 10 14 l l I I U U R R R Порядок обработки результатов следующий: 1) по результатам измерений диаметра проволоки рассчитать среднее значение d . Определить среднюю абсолютную d и среднюю квадратическую d погрешности измерения диаметра по формулам (3) и (4) соответственно; 2) используя полученные данные для тока и напряжения, вычислить значения сопротивлений R. Среднее значение R не вычислять, так как это не имеет физического смысла; 3) вычислить погрешности косвенного измерения сопротивления R и R по формулам (5) и (6) для какого-либо одного значения R. Считать, что I = I и U = U; 4) построить график зависимости R = f(l). Экспериментальные точки нанести на координатную плоскость, откладывая по оси х величину l, а по оси у соответствующее ей значение сопротивления R. Для каждой точки указать погрешности l и R. Для этого каждую точку изобразить как пересечение двух отрезков длиной 2l вдоль оси х и 2R вдоль оси у с центрами, соответствующими измеренным значениям; 5) определить графически среднее значение удельного сопротивления d 2 tg, 4 где tg R2 R1 /(l2 l1 ) ; 6) вычислить погрешности и результатов косвенного определения удельного сопротивления, используя формулы (7) и (8) соответственно. В этих формулах в качестве I и U использовать значения какого-либо одного измерения (при определенном значении длины l ); 7) результаты измерения удельного сопротивления представить в виде и . 15 Контрольные вопросы 1. Какие измерения называют прямыми? 2. Чему равна абсолютная, относительная и средняя квадратическая ошибки прямых измерений? 3. Какие измерения называют косвенными? 4. Чему равна максимальная абсолютная, относительная и средняя квадратическая ошибки косвенных измерений? 5. Как определить погрешности, вносимые различными измерительными приборами? 6. Что такое класс точности прибора? 16 Работа 2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОЙ И ИНЕРТНОЙ МАСС Цель работы – изучить законы равноускоренного движения, динамики поступательного движения связанных тел; определить ускорение свободного падения тел различной массы. Общие сведения Масса – одна из основных характеристик материи, являющаяся мерой ее инертных и гравитационных свойств. Инертная масса фигурирует во втором законе динамики. Гравитационная масса характеризует силу, с которой тела притягиваются друг к другу, и представлена в законе всемирного тяготения. Ответ на вопрос, различаются ли инертная и гравитационная массы, может дать только опыт. Покажем, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Сила тяготения, действующая на тело с гравитационной массой mг, mM F G г 2 г , R где G – гравитационная постоянная; Mг – гравитационная масса Земли; R – расстояние между центрами материальных точек mг и Mг. C другой стороны, согласно второму закону динамики, эта сила F mи g , где mи – инертная масса; g – ускорение свободного падения. Соответственно g F / mи G mг M г m A г const , 2 mи R mи где А = GMг / R2 = const. Экспериментально установлено, что ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Из этого следует, что mг и mи про17 S2 S1 порциональны друг другу. А соответствующим выбором G можно отношение mг / mи привести к единице. Равенство инертной и гравитационной масс, экспериментально подтвержденное с относительной погрешностью m 10-12, лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции. Простейший опыт по проверке сказанного заключается в установлении Р M M равенства ускорения свободного падения для всех тел. Измерение ускорения свободного падения тел различной массы проводится на приборе Атвуда. Через ролик, смонтиРис.1 рованный на подшипнике таким образом, чтобы он мог вращаться с возможно малым сопротивлением, проходит нитка с двумя одинаковыми грузами массой М каждый (рис.1). Система находится в равновесии. Если по одну сторону блока прибавить небольшой грузик m, то система, состоящая из больших грузов М и малого m, получит ускорение, с которым пройдет путь S1. Дополнительный груз на кольце Р отцепляется и далее грузы М пройдут путь S2 с постоянной скоростью. Полагая, что сила трения в системе, масса ролика и нити пренебрежимо малы, а нить нерастяжима, можно показать, что ускорение на участке S1 a=g m . 2M m (1) С другой стороны, считая начальную скорость равной нулю, можно записать a = v 2 / 2S1 , где v – скорость в конце движения на участке S1. 18 (2) Приравняв правые части выражений (1) и (2), получим 2 2M m v g . m 2 S1 Так как v = S2 /t, где t – время движения с постоянной скоростью на участке S2, то окончательно 2 2M m S 2 . g m 2 S1t 2 (3) Видно, что, для определения g необходимо измерить время движения с постоянной скоростью на участке S2 известных масс М и m при фиксированных значениях S1 и S2. Общий вид прибора Атвуда показан на рис.2. На вертикальной колонке 7, закрепленной на основании 9, находятся три кронштейна: неподвижный нижний кронштейн 8 и два подвижных (средний 15 и верхний 16), а также верхняя втулка 17. Основание оснащено регулируемыми ножками 10 для выравнивания положения прибора. На верхней втулке при помощи верхнего диска 4 за18 5 креплен узел подшипника роли4 ка 5, ролик 18 и электромагнит 6 6. Через ролик проходит нить 14 3 17 3 с привязанными к ее концам 16 грузами 3 и 12. 7 Электромагнит после 13 2 подведения к нему питающего 19 15 напряжения при помощи фрик14 ционной муфты удерживает систему ролика с грузами в состо13 янии покоя. 8 20 12 Верхний и средний 11 кронштейны можно перемещать 1 9 вдоль колонки и фиксировать в 10 любом положении, устанавливая, таким образом, длину пути Рис.2 равномерно-ускоренного (S1) и 19 равномерного (S2) движений. Для облегчения измерения S1 и S2 на колонку нанесена миллиметровая шкала (13), все кронштейны имеют указатель положения, а верхний кронштейн – дополнительную черту, облегчающую точное согласование нижней грани большего груза с точкой начала движения. На среднем кронштейне закреплен кронштейн 2 и фотоэлектрический датчик 19. Кронштейн 2 снимает с падающего вниз большого груза дополнительный груз, а фотоэлектрический датчик в это время создает электрический импульс, сигнализирующий о начале равномерного движения системы грузов. Оптическая ось фотоэлектрического датчика (черта на его корпусе) находится на уровне указателя положения среднего кронштейна. Нижний кронштейн оснащен двумя кронштейнами 1 с резиновыми амортизаторами, в которые ударяют завершающие свое движение грузы. На этом кронштейне закреплен также фотоэлектрический датчик 20 с оптической осью на уровне указателя положения кронштейна. После пересечения этого уровня нижней гранью падающего груза образуется электрический сигнал о прохождении грузами определенного пути. В основании прибора находится блок 11, включающий миллисекундомер, к которому подключены фотоэлектрические датчики, а также подводится напряжение, питающее обмотку электромагнита. Порядок выполнения работы 1. Измерить при помощи шкалы на колонке заданные пути равноускоренного (S1) и равномерного (S2) движений большого груза. 2. На правый большой груз положить один из дополнительных грузов. 3. Измерить время движения большого груза на пути S2. 4. Повторить измерения 10 раз и определить среднее значение времени движения большого груза на пути S2: t 1 n ti , n i 1 где n = 10; ti – результат i-го измерения. 20 5. Повторить измерения с грузами другой массы и вычислить по формуле (3) ускорение свободного падения каждого использованного груза, фиксируя результаты в табличной форме: Номер опыта m S1 S2 ti t g g 1 2 … n 6. Рассчитать стандартное отклонение t n 1 ti t 2 nn 1 i1 и сравнить полученное значение с приборной ошибкой. Если приборная ошибка мала, ею можно пренебречь. 7. Вычислить погрешность измерения ускорения свободного падения 2 2 2 2 2 2 М 2 S 2 S1 2 M m 2 t g g , 2 2M t S2 S1 2М 1 m 1 m m где М = m = 0,01 г; S1 = S2 = 1 мм; t 10-3 с. Контрольные вопросы 1. Как отношение масс m/M влияет на погрешность в определении времени падения t? 2. Почему масса m не может быть как угодно малой? 3. Почему измеренное на данной установке ускорение свободного падения меньше, а не больше 9,8 м/с2? 4. От каких параметров зависит ускорение движения грузов на участке S1? на участке S2? 21 Работа 3. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ С ПОМОЩЬЮ ПРИБОРА АТВУДА Цель работы – экспериментально проверить законы динамики поступательного и вращательного движения, кинематические уравнения равномерного и равноускоренного движений; измерить момент инерции, силу трения и момент силы трения с помощью прибора Атвуда. Общие сведения Путь S и скорость v тела, движущегося прямолинейно с постоянным ускорением a без начальной скорости, изменяются со временем согласно уравнениям at 2 ; v at . (1) 2 Исключая из уравнений (1) время, получим связь координаты и скорости в виде v 2 2aS . (2) При равномерном прямолинейном движении путь, скорость и время связаны уравнением S vt . Движение точки по окружности характеризуется угловой скоростью , угловым ускорением , а также тангенциальным ( a ) и нормальным (an ) ускорениями. Линейная скорость v связана с угловой соотношением v = R, а тангенциальное и угловое ускорения – соотношением а = R. Основными законами динамики являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона определяет причину изменения движения: F ma , где F – сила, вызывающая движение тела; m – масса тела; a – ускорение тела. S 22 Если тело движется под действием нескольких сил, равнодействующую силу находят как векторную сумму сил: N F Fi . m S1 M i 1 Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела имеет вид M J , где M – результирующий момент сил, M = Fr ; r – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы; J – момент инерции тела относительно оси вращения; – угловое ускорение. Устройство и работа прибора Атвуда описаны в работе 2. Оценим количественно движение системы грузов (рис.1) на участках S1 (равноускоренное движение) и S2 (равномерное движение). Пусть М – масса грузов 1 и 2, m – масса перегруза. Уравнение движения грузов и блока (рис.2) запишем в виде ( M m) g T2 ( M m)a ; S2 M Рис.1 Блок T1 T1 Mg T1 Ma ; M (T2 T1 ) R M тр J , Mg где Т1 и Т2 – силы натяжения, создаваемые грузами 1 и 2 соответственно; R и J – радиус и момент инерции блока; M тр – момент силы T2 T2 1 m 2 ( M m) g Рис.2 трения, действующей на ось блока. Ускорения грузов а1 = а2 = а, так как нить считается нерастяжимой. Пренебрегая проскальзыванием нити по блоку, можно положить a a R. 23 Решив систему уравнений относительно ускорения а, получим mg M тр / R a . (3) 2M m J / R 2 Если допустить, что силы трения в блоке пренебрежимо малы по сравнению с mg, то Мтр/R « mg. Если пренебречь массой блока, от которой зависит момент инерции J, то J/R2 « 2M + m. Тогда mg . a 2M + m Если, наконец, масса перегруза значительно меньше масс грузов (m « 2M), то ускорение можно рассматривать как линейную функцию массы перегруза: a = mg/(2M). (4) График зависимости a = f(m), соответствующий формуле (4), представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Справедливость упрощающих предположений, приводящих от формулы (3) к формуле (4), можно проверить экспериментально, измерив ускорение для различных масс грузов. Если график зависимости a = f(m), построенный по экспериментальным данным, будет сильно отличаться от графика, построенного по теоретической формуле (4), то это будет означать, что сделанные упрощающие предположения не совсем правильны. В этом случае можно из экспериментальных данных определить момент силы трения, силу трения и момент инерции блока. Чтобы найти силу трения Fтр, следует определить сначала момент силы M тр . Для этого запишем выражение (3), содержащее неизвестные J и M тр , для двух пар значений а и m: mi g M тр / R ai ; 2M mi J / R 2 mk g M тр / R ak , 2M mk J / R 2 где i и k – индексы, обозначающие порядковый номер измерения. 24 Решив эту систему относительно J и M тр , получим J R2 [(mk mi ) g (2M mk ) ak (2M mi )ai ]; ak ai (5) M тр R[mk g ak (2M mk J / R 2 )]. Сила трения Fтр = M тр /r, (6) где r – радиус оси блока. Чтобы определить ускорение грузов на участке S1, воспользуемся уравнением (2): a v2 . 2S1 На участке S2 груз движется равномерно со скоростью v S 2 / t , следовательно, a S 22 . 2t 2 S1 (7) Измерения проводятся на приборе Атвуда (см. работу 2). В этом приборе имеется два одинаковых груза с массами М, соединенными нитью, перекинутой через блок. На прaвый груз добавляется перегруз массой m, после чего система приходит в равноускоренное движение и проходит путь S1. В конце этого пути перегруз автоматически снимается, и система начинает двигаться равномерно на пути S2. Результатом экспериментальной части работы должны стать значения времени t прохождения грузом 2 пути S2. К установке прилагается набор из нескольких колец (перегрузов) с разными массами m. Используя эти кольца по отдельности или в комбинации друг с другом, можно получить достаточно большой набор масс перегрузов. 25 Порядок выполнения работы 1. Надеть на груз 2 перегруз (одно или несколько колец). 2. Измерить время t прохождения грузом пути S2. 3. Повторить измерение времени t с перегрузом той же массы не менее 5 раз. 4. Повторить пп.2 и 3 для всех остальных перегрузов. 5. Записать значения S1 и S2; оценить погрешность их определения по шкале, нанесенной на колонке прибора Атвуда. 6. Рассчитать величину ускорения для всех масс перегрузов: экспериментальное значение по формуле (7), теоретическое (aт) по формуле (4). 7. Результаты измерений и расчетов записать по форме: Номер опыта m S1 S2 t t a a aт t t a a aт 1 2 … 8. Вывести самостоятельно формулу для расчета a, учитывая, что а измеряется косвенно через прямые измерения t, S1 и S2, абсолютные погрешности которых известны. 9. Построить графики зависимости a = f(m) по экспериментальным данным и по теоретической формуле (4). Сравнить вид получившихся графиков и сделать вывод относительно справедливости законов механики, лежащих в основе соотношения (4). 10. Если графики сильно отличаются друг от друга (экспериментальный график не проходит через начало координат), взять две пары значений а и m (не соседние) и рассчитать момент инерции блока J, момент силы трения в блоке Мтр по формулам (5), силу трения в блоке Fтр по формуле (6). Массы грузов 1 и 2 M = (60,00,5) г. 26 Контрольные вопросы 1. Каковы законы изменения во времени пути и скорости точки, движущейся равномерно и равноускоренно по прямолинейной траектории? 2. Как связаны линейная скорость и нормальное ускорение с угловой скоростью? Каково соотношение тангенциального и углового ускорений при движении точки по окружности? 3. Сформулируйте основные законы динамики поступательного и вращательного движения. 4. Какой характер имеет движение груза в приборе Атвуда на различных участках траектории? Чем определяется это различие? 5. Какой вид должна иметь кривая зависимости ускорения грузов от массы перегруза? Какой физический смысл имеют точки пересечения этой кривой с осями координат? При каких условиях кривая a(m) близка к прямой? 27 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела M = J , где M – суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J – момент инерции тела относительно той же оси; – угловое ускорение. В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения. Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение М = r F , где F – сила; r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы. Момент силы относительно оси вращения есть проекция М на произвольную ось z, которая проходит через точку О: M Fl , где l – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения dmi, dVi O' массы тела относительно оси вращеV ния. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данri ной оси разобьем мысленно тело на большое число малых элементов объO ема dV – материальных точек (см. ри28 сунок). Тогда момент инерции элемента объема dV относительно оси вращения ОО' dJ dmri2 ri2 dV , а полный момент инерции тела J dJ r 2 dV , V V где dm = dV – масса элемента объема dV; ri – расстояние до оси вращения; – плотность вещества в элементе объема dV. Таким образом, задача нахождения момента инерции тела относительно оси вращения сводится к интегрированию. Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от момента внешних сил М , ни от углового ускорения. Для расчетов моментов инерции относительно произвольной оси может быть использована теорема Штейнера. Согласно ей, момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела Jc относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: J J c md 2 . В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др. Момент импульса материальной точки определяется как векторное произведение: L r mv , где m – масса материальной точки; v – ее скорость; r – расстояние от точки до оси вращения. Момент импульса материальной точки L = mvr. 29 Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси, L J , где J – момент инерции тела; – угловая скорость вращения. Закон сохранения момента импульса в замкнутой системе формулируется следующим образом: суммарный момент импульса всех тел замкнутой системы остается постоянным ( L J const) . Кинетическая энергия вращающегося тела Eк J2 / 2 . 30 Работа 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы – определить моменты инерции прямоугольного параллелепипеда относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс, с помощью крутильных колебаний. Общие сведения Пусть тело представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед со сторонами а, b, с (см. рисунок). Моменты инерции этого тела относительно соответствующих осей m 2 (b c 2 ) ; 12 m J y (a 2 c 2 ) ; 12 m J z (a 2 b 2 ) . 12 Здесь оси х, у и z проходят через центр масс перпендикулярно граням со сторонами bс, ас и аb соответственно. Если тело имеет форму куба, то a = b = c и Jx J x J y J z ma 2 / 6 . В данной работе момент инерции определяется методом крутильных колебаний. Если тело, висящее на нерастяжимой нити (так, что направление нити проz ходит через центр тяжести тела), повернуть в горизонc тальной плоскости на некоx торый угол , то в результате деформации нити возb а никнет упругая сила. Она у создаст крутящий момент 31 (момент силы) M D (здесь D – модуль кручения нити подвеса), возвращающий систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные колебания. Из теории крутильных колебаний следует, что период колебаний T 2 J / D . (1) где J – момент инерции. Так как D неизвестен, для его исключения из формулы (1) следует провести измерения периода колебаний с телом, момент инерции которого относительно оси вращения или легко рассчитывается, или известен. Таким телом может быть, например, куб, момент инерции которого J 0 ma 2 / 6 . В экспериментальной установке предусмотрена рамка для закрепления различных тел, отличающихся массой и размерами. Пусть J0, Jр, и J – моменты инерции куба, рамки и параллелепипеда относительно некоторой оси. Тогда на основании формулы (1) можно записать T 2p D T 02 D T 2D ; J J , (2) p 4 2 4 2 4 2 где Тр – период колебаний рамки; Т0 – период колебаний рамки и куба; Т – период колебаний рамки и параллелепипеда. Исключая из уравнений (2) D и Jр, получим Jр ; J0 Jp J J0 T 2 Tp2 T02 Tp2 . (3) Экспериментальная установка состоит из массивного основания со штативом. Кронштейны на штативе служат для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка. На среднем кронштейне закреплена стальная плита, являющаяся основанием для фотоэлектрического датчика, электромагнита и шкалы. Положение электромагнита относительно фотоэлектрического датчика указано стрелкой на шкале. Во время колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток, в результате чего в электронной схеме генерируются импульсы, которые после усиления подаются на электронный секундомер. 32 Порядок выполнения работы 1. Включить установку. 2. Нажатием кнопки «ПУСК» включить электромагнит, который должен удержать рамку прибора. 3. Нажать последовательно кнопки «СБРОС» и «ПУСК», измерить время t десяти колебаний пустой рамки; вычислить период колебания Т = t / N, где N – число колебаний. 4. Повторить измерения не менее 10 раз и вычислить среднее значение t. 5. Установить в рамку куб и повторить пп.2-3 не менее 10 раз. 6. Установить в рамку параллелепипед и повторить пп.2-3 не менее 10 раз (период колебаний параллелепипеда измерить для трех взаимно перпендикулярных осей). 7. Результаты измерений оформить в виде таблицы: Номер опыта t T Т Т i 2 Т Тi m m a a 1 2 … 8. Обработать результаты измерений. Вычислить момент инерции куба J 0 ma 2 / 6, где m – масса куба, m = 0,962 кг; а – длина ребра куба, а = 5,0 см. Зная средние значения периодов, по формуле (3) рассчитать Jx , J y и Jz . Вычислить средние квадратические ошибки для всех измеренных периодов по формуле T n T i 1 Ti nn 1 2 , 33 где n – число измерений; T – среднее значение соответствующего периода колебаний; Ti – значение периода в i-м опыте. Вычислить среднюю квадратическую ошибку момента инерции куба по формуле J0 J 0 2m 4 2a 2 , m2 a где m – ошибка при измерении массы, m = 2 г; a – приборная ошибка, a = 1 мм. Рассчитать средние квадратические ошибки J x , J y , J z для моментов инерции параллелепипеда относительно осей х, у, z. Так как Т » Тр и Т0 » Тр, то формулу для вычисления погрешности можно записать в виде J J 2J 0 J 02 2 T2 4 T2 20 , T T0 где J , T0 , T – средние квадратические ошибки. Расчеты погрешностей следует провести для всех трех моментов инерции. Окончательные результаты представить в виде J x J x J x ; J y J y J y ; J z J z J z . Контрольные вопросы 1. В чем заключается физический смысл момента инерции? От чего зависит момент инерции? 2. В чем сущность метода крутильных колебаний? 3. Какие параметры влияют на период колебаний крутильного маятника? 4. Почему Т и Т0 много больше Тр? 5. Как рассчитать J0? 6. Почему у параллелепипеда Jx Jy Jz,, а у куба Jx = Jy = Jz? 34 Работа 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА Цель работы – исследовать зависимость момента инерции крестовины с грузами от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс. Общие сведения Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях которой находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и закрепляться в нужном положении (см. рисунок). Крестовина с грузами насажена на вал, на котором укреплены два шкива различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена через блок. К концу нити подвешивают груз массой m, под действием силы тяжести которого система приводится в движение. На груз действует сила тяжести P mg и сила натяжения F , поэтому на основании второго закона Ньютона можно записать mg F ma, (1) где g – ускорение свободного падения; а – ускорение, с которым движется груз. Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения (2) M J ; M = Fr0, где J – момент инерции относительно оси вращения; – угловое ускорение; r0 – радиус шкива. Из уравнений (1) и (2) получим J mr0 g a / . (3) r0 F F mg 35 Так как угловое ускорение связано с ускорением а соотношением = а/r0, то формула (3) принимает вид (4) J mr02 ( g a) / a , где а = 2h / t2 ; h – путь, пройденный грузом за время t. Таким образом, с учетом формулы (4) получим J mr02 ( gt 2 2h) . 2h (5) Порядок выполнения работы 1. Убедиться, что две неподвижные рамки установлены на вертикальной линейке на расстоянии 40-50 см друг от друга. Измерить радиус шкива r0. 2. Установить грузы на стержнях на максимальном расстоянии от оси вращения и закрепить их. 3. Включить установку, нажав кнопку «ПУСК». 4. Не отпуская кнопку «ПУСК» нажать кнопку «СБРОС» и намотать нить на шкив, установив подвешенный груз на уровне верхней рамки выше оптической оси фотоэлектрического датчика. 5. Закрепить груз, нажав кнопку «ПУСК» и обнулить счетчик нажатием кнопки «СБРОС». 6. Опустить груз, отключив электромагнит нажатием кнопки «ПУСК», измерить время t его движения до оптической оси нижней рамки. Взять не менее трех отсчетов t и вычислить t . 7. Сместить грузы на стержнях на два деления к центру и повторить пп.4-6, измерить расстояние r от оси вращения до центра масс груза. 8. Повторить измерения для 8-10 положений грузов. 9. Записать результаты экспериментов в табличной форме: Номер опыта 1 2 … 36 r t t Jэ Jр Экспериментальные значения момента инерции Jэ рассчитать по формуле (5). 10. Обработать результаты измерений. Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой m , если считать грузы материальными точками, можно выразить формулой J p J 0 4mr 2 , (6) где J0 – момент инерции крестовины без грузов. Из формулы (6) следует, что J = f(r2). Следовательно, если построить график этой функции, то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать ось ординат в некоторой точке, соответствующей J0. Такое построение можно сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдений позволяют сделать такое построение достаточно точным. Легче всего сделать это с помощью метода наименьших квадратов. Суть этого метода состоит в том, что из всех возможных прямых линий надо взять такую, для которой сумма квадратов отклонений каждой точки от прямой будет наименьшей. Для удобства перепишем формулу (6) в виде J p J 0 Kx , (7) где r2 = х и 4m = K. Согласно методу J0 x J x x J ; K 2 i i i i i N xi J i xi J i . (8) где N xi2 xi ; N – число опытов; Ji – экспериментальное значение момента инерции Jэ, полученное для каждого опыта. Обработку результатов эксперимента удобно вести в табличной форме: 2 37 Номер опыта ri xi Ji x i2 xiJi xi Ji xi2 xi J i 1 2 … Рассчитав J0 и K по формулам (8), следует построить зависимость Jр от x по формуле (7). Так как через две точки можно провести только одну прямую, то для построения этой прямой можно взять какие-нибудь две удобные точки. Далее по формуле (7) рассчитать момент инерции Jp для каждого опыта, заполняя последний столбец (см. п.9). Среднее квадратическое отклонение 2J 1 N 2 Jэ Jp . N 2 i 1 11. По данным опыта и расчетов построить график функции в координатах J – r2, предварительно обработав данные опыта методом наименьших квадратов, и вычислить доверительный интервал измерения момента инерции в границах J э J и J э J . Контрольные вопросы 1. Что такое момент инерции? От чего он зависит? Как можно рассчитать момент инерции относительно оси вращения? 2. Каков физический смысл основного уравнения динамики вращательного движения? Что такое момент силы? 3. Как выглядит график зависимости момента инерции в координатах J – r2 и J – r? Почему результаты опыта лучше обрабатывать в координатах J – r2? 4. Почему график зависимости J = f(r2) не проходит через начало координат? Какой смысл имеет величина J0? 5. Какой смысл имеет тангенс угла наклона графика к горизонтальной оси? 38 Работа 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА Цель работы – изучить устройство маятника Максвелла и определить с его помощью момент инерции твердых тел. Общие сведения Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При освобождении маятника возникает поступательное движение вниз и вращательное вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень, диск поднимается, и движение снова повторяется, т.е. возникают колебания. Выведем расчетную формулу для момента инерции маятника на основе закона сохранения энергии. Когда маятник поднят на высоту h, его полная энергия состоит только из потенциальной энергии Eп = mgh. В наинизшем положении маятника Eп = 0, а полная энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Ек Eкп Еквр mv J2 . 2 2 2 Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е. mgh C mv J2 . 2 2 2 D Отсюда момент инерции J 2mgh / 2 mv 2 / 2 . (1) Рис.1 39 Поскольку поступательное движение маятника возникает только за счет вращательного, то угловая () и линейная (v) скорости связаны соотношением v/R. (2) Подставив уравнение (2) в (1), получим 2 gh (3) J mR 2 2 1 . v Для равнопеременного движения связь между h, v и t может быть записана в виде h v t / 2 или v 2h / t . Подставив выражение для v в формулу (3), получим окончательно gt 2 J mR 2 1 . 2h (4) Формулу (4) можно было бы вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения. В основании 1 установки (рис.2) закреплена колонка 8, к которой прикреплен неподвижно верхний кронштейн 9 и подвижный нижний кронштейн 7. На верхнем кронштейне находится электромагнит 10 и фотоэлектриче10 9 ский датчик 11, а на нижнем кронштейне – фото4 4 11 электронный датчик 3. Маятник представляет собой диск 5, 5 8 12 закрепленный на оси 6, 6 подвешенной на двух 3 7 3 нитях 4 (бифилярный 2 подвес). На диск можно насаживать сменные коль1 ца 12, изменяя таким образом момент инерции системы. Рис.2 40 Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик задает момент начала движения маятника, а нижний – момент окончания движения (опускания) маятника. Порядок выполнения работы 1. Надеть на диск маятника одно из колец (если оно не надето). 2. Включить установку. Нижний край кольца маятника должен быть примерно на 2 мм ниже оптической оси фотоэлектрического датчика, ось маятника должна быть горизонтальной. 3. Намотать на ось маятника нить подвески до фиксации маятника в верхнем положении электромагнитом. 4. Измерить время падения маятника по прибору. 5. Повторить пп.3-4 еще 10 раз. 6. Провести измерения с другими кольцами. 7. По измеренным значениям времени определить среднее значение времени падения маятника t 1 n ti . n i 1 8. По шкале на вертикальной колонке прибора измерить длину маятника h. 9. Измерить радиусы оси (Rо), диска (Rд) и колец (Rк). 10. Записать массы оси (mо), диска (mд) и колец (mк), вычислить общую массу маятника m mо mд mк . Результаты измерений и вычислений зафиксировать в табличной форме: Номер опыта t t m m h h Rо Rо 1 2 … 41 11. Обработать результаты эксперимента. Вычислить экспериментальное и теоретическое значение момента инерции маятника gt 2 J mRо2 1 ; J т J о J д J к , 2h где Jо – момент инерции оси маятника, J о mо Rо2 / 2 ; Jк – момент инерции кольца, надетого на диск, J к mк ( Rк2 Rд2 ) ; Jд – момент инерции диска, J д mд Rд2 Rо2 / 2 ; Rд и Rк – радиусы диска и кольца соответственно. Для полученного экспериментально значения момента инерции вычислить среднюю квадратическую погрешность R J J m 4 о m Rо 2 2 4 g 2t 2 t2 2h h . 2 h gt 2 2h 2 Погрешность измерения времени t определить по результатам измерений (t = t), погрешность массы m принять равной 1 г, погрешности h и R о оценить по цене деления используемых измерительных приборов. 12. Записать окончательный результат в форме J J , сравнить экспериментальное значение J с теоретическим Jт . Контрольные вопросы 1. Что такое момент инерции материальной точки? 2. Что такое момент инерции твердого тела? 3. От чего зависит величина момента инерции твердого тела? 4. Каков принцип действия маятника Максвелла? 5. Какие силы вызывают поступательное движение маятника? 6. Момент каких сил вызывает вращательное движение маятника? 7. Вывести формулу для определения момента инерции с помощью маятника Максвелла. 42 Работа 7. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Цель работы – определить скорость полета пули с помощью крутильных колебаний баллистического маятника. Общие сведения Скорость полета пули может достигать значительной величины, поэтому ее прямое измерение, т.е. определение времени, за которое пуля проходит известное расстояние, требует специальной аппаратуры. Разработаны и косвенные измерения скорости полета пули. Можно, например, использовать явление неупругого соударения. Если летящая пуля испытывает неупругий удар с неподвижным телом большей массы, их скорость после удара будет существенно меньше первоначальной скорости пули и ее можно будет измерить достаточно простыми методами, например, с помощью крутильных колебаний баллистического маятника, представляющего собой два стержня 1, подвешенных на вертикально натянутой проволоке 3 (рис.1). На стержнях закреплены мисочки с пластилином 2 и перемещаемые грузы 4. При попадании пули в мисочку с пластилином, маятник начинает поворачиваться вокруг своей вертикальной оси. Если пренебречь силами трения можно воспользоваться законами сохранения. 3 На основании закона сохранения момента импульса можно 4 4 написать mvl ( J ml 2 ) , (1) где m – масса пули; v – ее скорость; l – расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули; – угловая скорость маятника; J – момент инерции маятника. 2 2 1 Рис.1 43 Согласно закону сохранения механической энергии при повороте кинетическая энергия маятника переходит в потенциальную энергию закручивающейся проволоки: 1 1 J ml 2 2 D 2max , 2 2 (2) где max – наибольший угол поворота маятника; D – модуль кручения проволоки. Из уравнений (1) и (2) можно получить v2 D 2max J ml 2 . m 2l 2 (3) Так как момент инерции пули ml 2 существенно меньше момента инерции маятника J, то выражение (3) можно привести к виду v 2 D 2max J /(m2l 2 ). Тогда скорость пули v max ml DJ . (4) Модуль кручения проволоки D определим, измерив период крутильных колебаний маятника Т. Так как при малых углах отклонения T 2 J / D , то D 4 2 J / T 2 . (5) Подставив выражение (5) в уравнение (4), найдем v 2 J max . T ml (6) Для определения J измерим периоды колебаний маятника Т1 и Т2 при различных положениях грузов. Из формулы (5) следует J1 T12 . J 2 T22 44 (7) Момент инерции маятника J J 0 2MR2 , где М – масса одного неподвижного груза; R – расстояние от центра масс груза до оси вращения; J0 – момент инерции маятника без грузов. Для различных положений грузов, т.е. различных расстояниях от центра масс груза до оси вращения R1 и R2: J1 J 0 2MR12 ; J 2 J 0 2MR22 , откуда J1 J 2 2M ( R12 R22 ) . (8) Решая систему уравнений (7) и (8), найдем J1 2M ( R12 R22 )T12 . T12 T22 (9) Запишем формулу (6) для положения грузов R1: v 2 J 1 max T1 ml 8 9 и, подставив вместо J1 выражение (9), получим окончательно расчетную формулу 4M max T1 2 v R1 R22 . (10) 2 2 T1 T2 7 6 5 10 11 4 12 Общий вид баллистического маятника показан на рис.2. В основании 2, снабженном регулирующими ножками 1, позволяющими выравнивать прибор, закреплена колонка 3 с тремя кронштейнами: верхним (8), средним (4) и нижним (14). К крон- 13 3 14 2 1 Рис.2 45 штейну 4 прикреплено стреляющее устройство 9, прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой 10 и фотоэлектрический датчик 12. Кронштейны 4 и 8 имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки 13, на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек 6, наполненных пластилином, двух перемещаемых грузов 7, двух стержней 5 и «водилки» 11. Фотоэлектрический датчик соединен разъемом с привинченным к основанию миллисекундомером. Порядок выполнения работы 1. Установить максимальное расстояние между грузами и измерить R1. 2. Зарядить пулей стреляющее устройство и произвести выстрел. 3. Измерить максимальный угол отклонения max маятника. 4. Повторить 3 раза пп.2, 3 и найти среднее значение max. 5. Включить установку. 6. Отклонить маятник на угол max и отпустить его; измерить время 10 колебаний и вычислить период Т1. Повторить измерения периода 5 раз. 7. Установить минимальное расстояние между грузами и измерить R2. 8. Отклонить маятник на угол max и отпустить его; измерить время 10 колебаний и вычислить период Т2. Повторить измерения периода 5 раз. 9. Результаты эксперимента оформить в виде таблицы: Номер опыта R1 R1 R2 R2 T1 T1 T2 T2 max M M 1 2 … 10. Рассчитать скорость пули по формуле (10), подставив значение max в радианах. 46 11. Вывести самостоятельно формулу для расчета v и вычислить абсолютную погрешность. Погрешность T определить по результатам измерений периода, погрешность R и – по цене деления измерительных приборов, погрешность M принять равной 1 г. 12. Записать результат для скорости пули в виде v v v. Контрольные вопросы 1. Что такое баллистический маятник? 2. От каких параметров установки зависит период колебаний баллистического маятника? 3. От чего зависит амплитуда колебаний баллистического маятника? 4. При каких упрощающих предположениях выведена формула (9)? 5. Можно ли пользоваться формулой (9), если удар пули о мишень происходит под углом, отличным от прямого? 47 Работа 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ УНИВЕРСАЛЬНОГО МАЯТНИКА Цель работы – определить ускорение свободного падения с помощью универсального маятника. Общие сведения Наиболее точные измерения ускорения свободного падения выполняются с помощью косвенных методов. Многие из них основаны на использовании формул для периода колебаний математического и физического маятников. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити и совершающая колебание в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Период колебаний математического маятника T 2 l / g , (1) где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения. Ускорение g можно вычислить, измерив Т и l. Погрешность определения g в этом случае связана с тем, что реальный маятник, используемый в лабораторных условиях, может только с некоторым приближением рассматриваться как математический (чем больше l, тем точнее измерения). Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Период колебаний физического маятника T 2 48 J L 2 , mgl g (2) С1 где J – момент инерции маятника относи тельно оси качаний (точки подвеса); m – В1 его масса; l – расстояние от центра тяжеА l1 сти до оси качаний. Величину L = J/(ml) называют приведенной длиной физического маятника. L О Она равна длине такого математического l2 маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического С2 маятника. В2 Зная T, m, и J можно по формуле (2) найти ускорение свободного падения g. Массу маятника и период его колебаний можно измерить с очень высокой точноРис.1 стью, но точно измерить момент инерции не удается. Указанного недостатка лишен метод оборотного маятника, который позволяет исключить момент инерции из расчетной формулы для g. Метод оборотного маятника основан на том, что во всяком физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за одну или другую, период колебаний его остается одним и тем же. Расстояние между этими точками представляет собой приведенную длину данного маятника. Оборотный маятник (рис.1) состоит обычно из металлического стержня А, по которому могут передвигаться и закрепляться в том или ином положении грузы В1 и В2 и опорные призмы С1 и С2. Центр масс маятника – точка О. Период колебаний маятника можно менять, перемещая грузы или опорные призмы. Маятник подвешивают вначале на призме С1 и измеряют период его колебаний Т1. Затем маятник подвешивают на призме С2 и измеряют период колебаний Т2. Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов, при котором периоды колебаний маятников Т1 и Т2 около призм С1 и С2 совпадают, т.е. J1 J2 . T1 T2 T 2 2 mgl1 mgl2 49 Отсюда J1 mgl1 T2 T2 ; J mgl . 2 2 42 42 (3) По теореме Штейнера J1 J 0 ml12 ; J 2 J 0 ml 22 , (4) где J0 – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси качаний. С учетом формул (3) и (4) можно записать J1 J 2 m l12 l22 или T 2 mgl1 T 2 mgl2 m l12 l22 . 2 2 4 4 Тогда T 2g l1 l2 4 2 и T 2 L l1 l2 2 . g g (5) Формула (5) аналогична формуле (1) для математического маятника. Следовательно, L = l1 + l2 – приведенная длина физического маятника, которая, как видно из рис.1, равна расстоянию между призмами С1 и С2, когда Т1 = Т2. Это расстояние легко может быть измерено с большой точностью. Итак, измерение ускорения свободного падения g с помощью оборотного маятника сводится к измерению периодов Т1 и Т2 относительно призм С1 и С2, достижению их равенства (с помощью перемещения призм), измерению расстояния L = l1 + l2 между призмами и вычислению по формуле g 4 2 L / T 2 . 50 (6) Чтобы пояснить, как достичь равенства периодов Т1 и Т2, исследуем, как зависит период колебаний от расстояния l между центром масс и осью качаний маятника. Согласно формулам (2) и (4), имеем T 2 J J ml 2 2 0 . mgl mgl Период минимален при lmin = J 0 / m (рис.2). При Т Тmin одно и то же значение Т достигается при двух разных значениях l, одно из них больше, а другое меньше lmin. Эти значения l1 и l2 и входят в формулу (5). Вначале измеряется период колебаний маятника Т1 относительно призмы С1. Затем маятник переворачивается и измеряется период колебаний Т2 относительно призмы С2. Если при этом получится T2 T1 , то этому будет соответствовать l2 l2 . И для того, чтобы приблизить T2 и Т1, надо увеличить l2 . Для этого надо призму С2 передвинуть от середины стержня к краю. Если получится T2 < Т1, то призму С2 надо будет передвинуть к середине стержня. Анализ точности измерения g методом оборотного маятника показывает, что погрешность измерения слабо зависит от Т точности, с которой выполT2 няется равенство Т1 = Т2. Достаточно добиться того, чтоТ = Т1 = Т2 бы периоды оказались равны друг другу с точностью T2 0,5 %. Кроме того, для поТmin лучения достаточной точности измерения отношение l1 /l2 не должно быть ни слишком малым, ни слишком l l1 lmin l 2 l2 l 2 большим, желательно, чтобы 1,5 < l1 / l2 < 3. Рис.2 51 Экспериментальная установка представлена на рис.3. В основании 1 универсального маятника закреплена колонка 7, на кото6 5 рой зафиксирован верхний крон8 7 штейн 4 и нижний кронштейн 9 с С2 фотоэлектрическим датчиком 10. Отвинчивая винт 5, верхний крон9 10 штейн можно поворачивать вокруг колонки. С одной стороны крон2 штейна 4 находится математиче11 ский маятник 2, с другой – на вмон1 тированных вкладышах оборотный маятник 8. Рис.3 Длину математического маятника можно регулировать винтом 3 и определять при помощи шкалы на колонке. Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором крепятся две призмы (ножа) С1 и С2 и два диска 6. Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки. Фотоэлектрический датчик соединен с универсальным электронным секундомером 11, который измеряет число колебаний n и общее время этих колебаний t. Период колебаний T = t/n. 3 С1 4 Порядок выполнения работы Измерения с математическим маятником проводятся в следующем порядке: 1) поместить над датчиком математический маятник, повернув соответствующим образом верхний кронштейн и установить длину математического маятника так, что бы черта на шарике была продолжением черты на корпусе фотоэлектрического датчика; 2) отклонить маятник на угол примерно 5 и придерживать шарик рукой; 52 3) отпустить шарик (маятник придет в движение); 4) измерить время 10 колебаний (n = 10); 5) повторить 10 раз пп.1-4; 6) по шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника. 7) определить период колебаний математического маятника T = t/n, вычислить ускорение свободного падения по формуле (6) для каждого измерения и среднее значение ускорения g . По результатам опыта составить таблицу: Номер опыта t Ti gi 1 2 … 8) рассчитать среднюю квадратическую ошибку g i g . 2 g nn 1 и записать окончательный результат в виде g g g . Измерения с оборотным маятником проводятся в следующем порядке: 1) поместить над датчиком оборотный маятник, повернув верхний кронштейн на 180; 2) зафиксировать диски на стержне, чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его середины; 3) закрепить маятник на верхнем кронштейне на призме, находящейся вблизи конца стержня, так чтобы конец стержня пересекал оптическую ось фотоэлектрического датчика; 4) отклонить маятник примерно на 5 от положения равновесия и придерживать его рукой; 5) отпустить маятник (маятник придет в движение); 6) измерить время 10 колебаний маятника t; 7) определить период колебаний оборотного маятника T1 = t/n; 53 8) снять маятник и закрепить его на второй призме; 9) измерить период Т2, повторив пп.4-7; 10) сравнить периоды Т2 и T1; если Т2 > T1, вторую призму переместить в направлении диска, находящегося в конце стержня; если Т2 < T1, переместить ее в направлении середины стержня (положение дисков и первой призмы не менять); 11) снова измерить период Т2 и сравнить его с величиной T1; менять положение второй призмы до тех пор, пока значение периода Т2 не станет равным значению периода T1 с точностью до 0,5 %; 12) определить приведенную длину оборотного маятника L, измерив расстояние между призмами (по числу нарезок, которые нанесены через каждые 10 мм). 13) обработать результаты эксперимента, вычислив ускорение свободного падения по формуле (6) при Т = Т1 = Т2, среднюю квадратическую ошибку T t / n (здесь t – погрешность измерения времени, оцениваемая исходя из точности прибора) и среднюю квадратическую ошибку g g 2L T2 4 , L2 T2 где L – погрешность измерения длины, оцениваемая по цене деления измерительной линейки. 14) записать окончательный результат в виде g g g . Контрольные вопросы 1. Что такое математический маятник? 2. Что такое физический маятник? 3. Как с помощью маятников можно измерить ускорение свободного падения? 4. С чем связана погрешность определения g с помощью математического маятника? 5. С чем связана погрешность определения g с помощью физического маятника и как ее устранить? 6. В чем заключается метод оборотного маятника? 54 Работа 9. ИЗУЧЕНИЕ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА Цель работы – экспериментально исследовать основные свойства гироскопа, изучить законы вращательного движения твердого тела. Общие сведения Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Основное свойство гироскопа – способность сохранять неизменным направление оси вращения при отсутствии действующего на него момента внешних сил. Это свойство гироскопа основано на законе сохранения момента импульса. Гироскопы широко применяются в технике: в качестве стабилизаторов направления при движении судов, самолетов (устройство автопилот) и т.д. Рассмотрим гироскоп, основным элементом которого явля ется диск D, вращающийся со скоростью вокруг горизонтальной оси ОО' (см. рисунок). Ось гироскопа шарнирно закреплена в точке C. Прибор снабжен противовесом K. Если противовес установлен так, что точка C является центром масс системы (m – масса гироскопа; m0 – масса противовеса K; масса стержня пренебрежимо мала), то без учета трения можно записать: m0 gl0 mgl или F0l0 Fl, B D K L О С F0 M1 O d dL l0 F L1 l B 55 т.е. результирующий момент сил, действующий на систему, равен нулю. Тогда справедлив закон сохранения момента импульса L : dL 0. dt Иными словами, в этом случае L J const (здесь J – мо мент инерции гироскопа, – собственная угловая скорость вращения гироскопа). Поскольку момент инерции диска относительно его оси симметрии есть величина постоянная, то вектор угловой скорости также остается постоянным как по величине, так и по направлению. Вектор направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Таким образом, ось свободного гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменным. Если к противовесу K добавить еще один с массой m1, то центр масс системы сместится и возникнет вращающий момент M 1 , направленный перпендикулярно оси ОО' в горизонтальной плоско сти. Согласно уравнению моментов, dL dt M . Под действием этого вращающего момента вектор момента импульса получит прира щение dL , совпадающее по направлению с вектором M 1 : (1) dL M1dt; M1 F1l0 m1 gl0 . Спустя время dt момент импульса гироскопа изменится на величину dL : L1 L dL . Таким образом, вектор L изменяет свое направление в пространстве, все время оставаясь в горизонтальной плоскости. Учитывая, что вектор момента импульса гироскопа направлен вдоль оси вращения, поворот вектора L на некоторый угол d за время dt означает поворот оси вращения на тот же угол. В результате ось симметрии гироскопа начнет вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси ВВ' с угловой скоростью: 56 d . dt Такое движение называется регулярной прецессией, а величина – угловой скоростью прецессии. Выясним зависимость угловой скорости прецессии гироскопа от основных параметров системы. Из формул (1) получим dL m1 gl0 dt . При малых углах поворота из геометрических соображений (см. рисунок) dL Ld , тогда Ld F1l0 dt , и угловая скорость прецессии m1 gl 0 /( J) . (2) Подвижный элемент гироскопа представляет собой массивный маховик (диск), закрепленный на оси электродвигателя. Вдоль оси маховика закреплена планка с линейной метрической шкалой. Вдоль планки может перемещаться противовес. Угол поворота оси двигателя в горизонтальной плоскости и время движения измеряются электронной схемой с фотоэлектрическим датчиком. Кроме того, угол поворота гироскопа можно считывать по нанесенной на основании подвижной части угловой шкале. По окружности основания через каждые 5 нанесены отверстия, которые служат для считывания угла поворота при помощи фотоэлектрического датчика. На лицевой панели блока управления расположены индикаторные табло угла и времени поворота, а также кнопки «СЕТЬ», «СБРОС», «СТОП», и рукоятка регулятора скорости вращения «РЕГ. СКОРОСТИ». Порядок выполнения работы 1. Перемещая противовес K вдоль планки, уравновесить систему (ось должна принять горизонтальное положение); измерить и записать расстояние l0 от центра масс противовеса до оси вращения – точки С (см. рисунок). 2. Включить установку, двигатель и довести угловую скорость вращения до 1000 мин–1. 57 3. Подвесить к противовесу перегруз m1 и дать гироскопу свободно прецессировать, записать значение m1. 4. После поворота гироскопа на некоторый угол в пределах 30 < < 100 записать угол и время t поворота. 5. Повторить пп.2-4 при данной угловой скорости ротора не менее 5 раз. 6. Провести измерения для пяти-шести режимов вращения ротора, меняя угловую скорость через 1000 мин–1 от 1000 до 6000 мин–1. Перед каждым повторным измерением устанавливать ось гироскопа горизонтально. 7. Результаты измерений записать в таблицу: Номер опыта Номер измерения 1 1 2 … 5 t t 1 J J J1 2 … 8. Обработать результаты эксперимента. Вычислить угловую скорость прецессии гироскопа = /t для всех значений угловой скорости (вращение в данном случае равномерное) и вычислить среднее значение для каждого режима вращения двигателя. Найти ошибку измерений по разбросу результатов и построить график зависимости (1/). Сделать вывод относительно выполнения зависимости (2). Рассчитать момент инерции гироскопа в каждом случае (k – номер измерения, и выразить в радианах в секунду) J k m1gl0 /(k k ) и вычислить среднее значение J . Определить среднюю арифметическую ошибку результата J (формулу вывести самостоятельно). Погрешность l0 и опре58 делить по цене деления измерительных приборов, погрешность m = 1 г. 9. Результат измерений представить в виде J J J . Контрольные вопросы 1. Что такое гироскоп? 2. Какими свойствами обладает гироскоп? Какими физическими законами обусловлены эти свойства? 3. Почему возникает регулярная прецессия гироскопа? 4. От каких параметров системы зависит угловая скорость прецессии? 59 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Работа 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ВОЗДУХА ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ К ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ МЕТОДОМ АДИАБАТИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ Цель работы – изучить законы идеального газа и основные положения классической теории теплоемкости; определить коэффициент Пуассона методом адиабатического расширения (методом Клемана – Дезорма). Общие сведения Количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К, называют молярной теплоемкостью. dQ C , dT M где Q – количество тепла, подводимого к системе; Т – абсолютная температура системы; M – масса газа; – масса одного моля газа. Как показывают теория и опыт, теплоемкость зависит от условий, при которых нагревается газ, т.е. от характера термодинамического процесса. Теплоемкость газа при постоянном давлении Сp больше теплоемкости при постоянном объеме CV. Это легко показать качественно на основании первого начала термодинамики: количество тепла Q, подводимого к системе, идет на увеличение внутренней энергии системы U и на совершение этой системой работы A над внешними телами: Q = U + A. Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа не совершается и все подводимое тепло идет на увеличение запаса его Коэффициент Пуассона – отношение теплоемкости воздуха при постоянном давлении Ср к теплоемкости при постоянном объеме CV . 60 внутренней энергии U, т.е. только на повышение температуры газа. Если же газ нагревается при постоянном давлении, он расширяется и производит работу, требующую дополнительного расхода тепла. Таким образом, для повышения температуры газа на определенную величину в изобарном процессе требуется большее количество теплоты, чем при изохорном. Как следует из теории, Cp = CV + R, (1) где R – универсальная газовая постоянная. Выражение (1) носит название соотношения Майера. Отношение = Ср /CV входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0): pV const; p1V1 p2V2 . (2) Здесь p1 и V1 – давление и объем газа в первом состоянии; p2 и V2 – давление и объем газа во втором состоянии. Полную теплоизоляцию газа от внешней среды осуществить невозможно. Однако, если параметры состояния газа изменяются очень быстро, процесс можно приближенно считать адиабатическим. На практике адиабатический процесс совершается в некоторых тепловых двигателях (например, в двигателе Дизеля); распространение звука в газах U-образный (быстрое периодическое измеманометр нение давления в малых облаK стях пространства) также протекает адиабатически. Рассмотрим метод Клемана – Дезорма. Накачаем насосом воздух в большой стеклянный баллон В (см. рисунок) и В закроем кран K. При быстром сжатии температура воздуха повышается. Поэтому после прекращения нагнетания разность Насос 61 уровней жидкости в манометре будет постепенно уменьшаться, пока температура воздуха внутри баллона не сравняется с температурой окружающего воздуха. Назовем состояние воздуха в баллоне после выравнивания температур состоянием 1. Параметры состояния 1 следующие: V1 – объем единицы массы воздуха; t1 – температура воздуха; H + h1 – давление в баллоне, выраженное в единицах разности уровней жидкости в манометре; Н – атмосферное давление; h1 – избыточное давление, созданное накачиванием. Откроем кран K и, как только давление в баллоне В сравняется с атмосферным (это можно определить по прекращению характерного шипения), закроем его. Так как расширение происходит очень быстро, то процесс близок к адиабатическому и, следовательно, температура понизится до t2. Объем единицы массы воздуха станет равным V2. Воздух, оставшийся в баллоне, перейдет в состояние 2 с параметрами V2, t2, Н. Так как температура t2 меньше наружной, то воздух в баллоне будет постепенно нагреваться (вследствие теплообмена с окружающей средой) до температуры окружающего воздуха t1. Это нагревание происходит изохорически, так как кран закрыт. Давление воздуха в баллоне увеличивается по сравнению с атмосферным, и в манометре возникает разность уровней h2, т.е. воздух переходит в состояние 3 с параметрами V2, t1, Н + h2. Таким образом, мы имеем три состояния газа со следующими параметрами: Состояние Объем Температура Давление 1 V1 t1 Н + h1 2 V2 t2 Н 3 V2 t1 Н + h2 В состояниях 1 и 3 воздух имеет одинаковую температуру, следовательно, параметры этих состояний можно связать уравнением изотермического процесса (уравнением Бойля – Мариотта): V1 H h1 V2 H h2 . . (3) Гидростатическое давление выражается через разность уровней: p = gh, где – плотность жидкости. В итоговую формулу давления войдут в виде отношения, поэтому сомножитель g можно опустить с самого начала. 62 Переход от состояния 1 к состоянию 2 происходит адиабатически, поэтому параметры их связаны уравнением Пуассона (2), которое примет вид V1 H h1 V2 H . пень : (4) Преобразуем уравнение (3). Возведем обе его части в сте V1 H h1 V2 H h2 . Разделим почленно полученное равенство на выражение (4), H h1 H h2 H h1 H или H h1 H h1 . H H h2 Прологарифмируем последнее равенство: lg H+h1 H h1 , lg H H h2 откуда H h1 H ; H h1 lg H h2 lg h lg 1 1 H . h h lg 1 + 1 2 H h2 Так как величины h1 и h2, выраженные в миллиметрах ртутного столба, очень малы по сравнению с Н и, следовательно, дроби h1/H и (h1 – h2)/(H + h2) также незначительны, для нахождения логарифма можно воспользоваться выражением lg 1 + x x x 2 x3 ... , 2 3 где х – малая величина. Поскольку х2 и, тем более, х3 – величины высших порядков малости, ими можно пренебречь, то lg(1 + x) x и, следовательно, 63 h1 h H h2 H 1 . h1 h2 H h1 h2 H h2 Пренебрегая величиной h2 в сумме H + h2, получим расчетную формулу (5) h1 / h1 h2 . Порядок выполнения работы 1. Открыв кран K, накачать насосом воздух в баллон В и закрыть кран. 2. Измерить разность уровней h1, когда разность уровней жидкости в манометре стабилизируется (т.е. температура воздуха в баллоне станет равной комнатной температуре). 3. Открыть кран K, и когда избыток воздуха выйдет из баллона (прекратится характерное шипение воздуха), быстро закрыть его. 4. Измерить разность уровней h2, когда разность уровней жидкости в манометре стабилизируется. 5. Повторить 10 раз пп.1-4 и оформить результаты измерений в виде таблицы: Номер опыта h1 h1 h2 h2 h1 – h2 i 1 2 … Здесь h1 и h2 – приборная ошибка в измерении h1 и h2, h1 = h2 = 1 мм. 6. Вычислить для каждого измерения по формуле (5); найти среднее значение . 7. Рассчитать погрешность измерения. В этом случае (величина определяется многократно) допускается рассчитать его как среднее квадратическое для серии n измерений: 64 i . 2 nn 1 8. Привести окончательный результат в виде . Контрольные вопросы 1. Что такое теплоемкость, молярная теплоемкость, удельная теплоемкость? Как связаны эти параметры? Какова размерность теплоемкости? От чего зависит молярная теплоемкость? 2. Почему Cp > CV с точки зрения первого начала термодинамики? 3. Какой процесс называют адиабатическим? Каким уравнением описывается адиабатический процесс? 4. Какие термодинамические процессы рассматриваются в данной работе? Изобразите эти процессы в координатах р – V. 5. Почему измерение давления следует производить не сразу после выпуска воздуха, а через некоторое время? 6. Для чего баллон покрыт теплоизолирующей оболочкой? 65 Работа 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ВОЗДУХА ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ К ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ Цель работы – определить = Cp /CV методом стоячей звуковой волны. Общие сведения Звуковые волны являются продольными волнами сжатия и расширения, следовательно, их скорость зависит от упругих свойств среды. Из теории следует, что скорость звуковых волн в твердых телах v E / , где ρ – плотность среды; Е – модуль Юнга. Для газов и жидкостей скорость звука v K / , (1) где K – модуль объемной упругости. Газы обладают способностью сопротивляться изменению его объема, т.е. газам присуща объемная упругость, проявляющаяся в изменении давления газа р при изменении его объема V. По закону Гука для объемной деформации, изменение давления газа dp при малом изменении его объема dV прямо пропорционально относительной объемной деформации: dV . (2) V Для газа значение K зависит от вида термодинамического процесса. При распространении волн в газе вследствие сжатий и расширений происходит изменение температуры различных участков среды. Для волн высокой частоты, например звуковых, температуры отдельных участков не будут успевать выравниваться за время одdp K 66 ного колебания. Поэтому кратковременные процессы сжатия и расширения можно считать происходящими без теплообмена, т.е. адиабатическими. Уравнение Пуассона для адиабатического процесса pV const, (3) где С р СV – отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Дифференцируя уравнение (3), получим V dp pV 1dV 0, откуда dp p dV . V (4) Из формул (2) и (4) получим K р. (5) Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона pV M RT , плотность газа M p (6) , V RT где μ – молярная масса; Т – абсолютная температура; R – универсальная газовая постоянная. Подставляя формулы (5), (6) в (1), запишем v RT / , откуда v 2 . RT (7) Таким образом, определение γ сводится к измерению скорости звука и абсолютной температуры воздуха. В данной работе скорость звука определяется методом стоячих волн – методом Кундта. 67 Если в трубе, один конец которой закрыт, возбудить звуковые колебания, в ней в результате наложения двух встречных волн (прямой и отраженной) с одинаковыми частотами и амплитудами будут возникать стоячие волны. В определенных точках амплитуда стоячей волны равна сумме амплитуд обоих колебаний и имеет максимальное значение; такие точки называются пучностями. В других точках результирующая амплитуда равна нулю, такие точки называются узлами. Расстояние между cоседними пучностями равно /2, где – длина бегущей звуковой волны. Таким образом, измерив расстояние (/2) между двумя ближайшими пучностями, можно найти длину бегущей звуковой волны . Фазовая скорость волны v = , (8) где – частота колебаний. В экспериментальную установку (см. рисунок) входят: стеклянная труба, в которой создается стоячая волна, звуковой генератор (ЗГ), микровольтметр, частотомер (Ч). В стеклянную трубу вмонтированы неподвижный микрофон (М) и телефон (Т), который может свободно перемещаться вдоль оси трубы. Звуковой генератор вырабатывает синусоидальное напряжение звуковой частоты, которое подается на телефон. Переменный ток приводит в колебательное движение мембрану телефона, являющуюся излучателем звуковой волны. Отраженная от противоположной стенки трубы волна движется навстречу излучаемой и происходит их наложение. В результате в трубе возникает стоячая звуТ ЗГ Г Ч 68 Узлы Пучности З М мкV ковая волна. В микрофоне происходит преобразование механической энергии волны в энергию электрического тока, величина которого измеряется микровольтметром. Частота звуковой волны устанавливается на генераторе, точное значение частоты измеряется частотомером. При перемещении телефона вдоль трубы ток в цепи микрофона будет меняться от минимального, когда микрофон попадает в узел, до максимального, когда он попадает в пучность. Таким образом, следя за показаниями микровольтметра, можно найти положения нескольких пучностей стоячей волны и вычислить ее длину. Порядок выполнения работы 1. Включить нажатием тумблеров «ВКЛ» и «СЕТЬ» звуковой генератор, частотомер и вольтметр, прогреть приборы в течение 3-5 мин. 2. После прогрева установить необходимую частоту колебаний на звуковом генераторе (удобен диапазон 1000-1800 Гц), измеряя точное значение частоты частотомером. 3. Перемещая телефон вдоль трубы, найти ближайшее к левому концу трубы положение телефона lk, при котором показание микровольтметра максимально, записать его в таблицу. 4. Зафиксировать еще несколько положений, при которых показания микровольтметра максимальны. 5. Вычислить разность между соседними отсчетами lk = = lk – lk-1 для всех наблюдавшихся пучностей, усреднить полученные значения. 6. По среднему расстоянию между пучностями l рассчитать длину бегущей волны = 2 l и скорость по формуле (8). 7. Повторить пп.3-6 для четырех-пяти значений частоты в интервале 1000-1800 Гц. 8. Измерить температуру воздуха в помещении. 9. Рассчитать по формуле (7) при = 2,910-2 кг/моль (воздух) и R = 8,31 Дж/(мольК). 10. Результаты измерений и расчетов записать в таблицу: 69 Номер опыта Номер измерения 1 1 2 3 lk lk v Среднeе 2 … 11. Найти среднее значение . Рассчитать погрешность измерения одним из двух способов: если произведено не менее 10 измерений, то допустимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку по формуле i ; 2 nn 1 если количество опытов невелико, то следует рассчитать среднюю арифметическую ошибку косвенных измерений . Формулу для расчета следует вывести самостоятельно, опираясь на расчетные формулы (7) и (8). Контрольные вопросы 1. Что такое теплоемкость, молярная теплоемкость, удельная теплоемкость? Какова размерность теплоемкости? 2. Почему Cp > CV с точки зрения первого начала термодинамики? 3. Что такое бегущая и стоячая звуковые волны? Каковы основные характеристики волны? 4. Каков механизм распространения звуковой волны? 5. Что представляет собой звуковая волна с точки зрения термодинамики? Каким уравнением и графиками описывается рассматриваемый процесс? 6. От чего зависит скорость распространения звуковой волны? 70 Работа 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ, ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛЫ ГАЗА Цель работы – определить коэффициент вязкости, длину свободного пробега и эффективный диаметр молекулы газа, изучая процесс протекания газа через узкую трубу. Общие сведения Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа хаотическое молекулярное движение является физической причиной наблюдаемых в газах явлений переноса энергии при выравнивании температур (теплопроводность), массы при выравнивании концентраций (диффузия), импульса при выравнивании скоростей направленного движения молекул (вязкость). Хотя скорость движения молекул велика, процессы переноса совершаются относительно медленно, так как столкновения между молекулами препятствуют их свободному движению и заставляют двигаться по ломаным траекториям. Силы взаимодействия между молекулами становятся заметными лишь при малых расстояниях между ними. Поэтому считают, что на пути свободного пробега молекулы движутся прямолинейно и равномерно, а отклонения происходят только при их достаточном сближении. Среднее расстояние, которое проходит молекула за время между двумя последовательными столкновениями, называется средней длиной свободного пробега. Для идеальных газов средняя длина свободного пробега 1 kT , 2 2n 2p2 где k – постоянная Больцмана, k = 1,3810-23 Дж/К; n – концентрация; – эффективный диаметр молекулы, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул; Т – абсолютная температура; р – давление. 71 Эффективный диаметр зависит от скорости молекул, несколько уменьшаясь с увеличением скорости (с повышением температуры). Основные количественные данные для определения длины свободного пробега молекул и их эффективных диаметров были получены из исследования явлений переноса, так как скорость выравнивания концентраций, температуры и импульса молекул определяется их столкновениями при тепловом движении. Вязкость (внутреннее трение) есть свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одного слоя вещества относительно другого. Пусть какой-либо слой жидкости или газа течет со скоростью v (рис.1), а слой, отстоящий от него на расстоянии у, со скоростью v + v. Скорость при переходе от слоя к слою изменяется на величину v. Отношение v/у характеризует быстроту изменения скорости и называется градиентом скорости. При движении плоских слоев сила трения между ними, согласно закону Ньютона, F v S, y где – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости или динамической вязкостью; S – площадь соприкосновения слоев. Коэффициент вязкости зависит от рода газа или жидкости, давления и температуры. В СИ единица коэффициента вязкости – паскаль·секунда (Пас). Направлены силы трения по касательной к поверхности соприкосновения слоев. В газах расстояние между молекулами сущеv ственно больше радиуса действия молекулярных сил, поy S этому вязкость газов – следv + v ствие хаотического движения молекул. Коэффициент вязРис.1 кости идеальных газов 72 1 1 mnu u , 3 3 где m – масса молекулы; u – средняя скорость теплового движения молекул; – плотность газа. В жидкостях, где расстояние между молекулами много меньше, чем в газах, вязкость обусловлена межмолекулярным взаимодействием. Коэффициент вязкости можно найти по закону Пуазейля, определяющему объем газа V, протекающего через капилляр при ламинарном течении: V r 4t p / 8l , (1) где r – радиус капилляра; t – время, в течение которого вытекает газ данного объема; p – разность давлений на концах капилляра, обусловливающая течение газа через него; l – длина капилляра; – коэффициент вязкости. Измерив все величины, входящие в формулу (1), можно вычислить коэффициент вязкости r 4 pt / 8lV . (2) Средняя длина свободного пробега рассчитывается по известному : 3 / u , где – плотность газа, p / RT ; р – атмосферное давление; – молярная масса газа, для воздуха = 2,910-2 кг/моль; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(мольК); T – температура газа, К; u – средняя арифметическая скорость молекулы газа, u 8RT / . Таким образом, средняя длина свободного пробега 1,5 RT . p 2 (3) 73 Эффективный диаметр молекулы kT , 2p (4) где k – постоянная Больцмана, k = 1,3810-23 Дж/К. Экспериментальная установка представляет собой сосуд, наполовину заполняемый водой (рис.2). Сверху сосуд плотно закрывается пробкой, а снизу снабжен краном для выливания воды. Объем воздуха, находящийся над водой в сосуде, соединяется с атмосферой через узкий капилляр. Разность давлений на концах капилляра измеряется манометром. Если открыть кран, то вода сначала будет выливаться из сосуда непрерывной струей, а потом сериями отдельных капель. Это обусловлено тем, что при вытекании воды в сосуд через капилляр будет поступать воздух. А так как капилляр очень узкий, то воздух просачивается через него медленно. Вследствие этого на концах капилляра возникает разность давлений p (справа атмосферное давление, слева давление меньше атмосферного). Эта разность давлений Пробка Капилляр Воздух H1 Сосуд с водой h1 H2 h2 Шкала Шкала Кран Манометр Стаканчик Рис.2 74 p = g(h1 – h2), (5) где – плотность воды; g – ускорение свободного падения; h1 и h2 – высота уровней в коленах манометра. Объем воды, вытекшей из сосуда, V = D2(H1 – H2)/4, (6) где D – диаметр сосуда; H1 и H2 – высота уровней воды в сосуде в начале и в конце опыта, соответственно. Порядок выполнения работы 1. Подставить стаканчик под кран, открыть его и, дождавшись, когда вода начнет вытекать каплями, зафиксировать по шкале начальную высоту уровня воды в сосуде Н1 и одновременно включить секундомер. 2. Измерить по шкале уровни воды h1 и h2 в коленах манометра. 3. Когда уровень воды в сосуде уменьшится приблизительно на 5 см, перекрыть кран, остановить секундомер, записать время t вытекания воды и конечную высоту уровня воды в сосуде Н2. 4. Повторить 5 раз пп.1-3. 5. Измерить температуру T воздуха в комнате и атмосферное давление pат. 6. Результаты измерений оформить в виде таблицы: Номер опыта h1 h2 H1 H2 t T pат r l 1 2 … 7. Вычислить р по формуле (5), объем воздуха, вошедшего в сосуд через капилляр (равный объему вытекшей воды), по формуле (6). 8. По результатам эксперимента вычислить коэффициент вязкости газа по формуле (2), найти длину свободного пробега мо75 лекул газа и эффективный диаметр молекул газа по формулам (3) и (4) соответственно. 9. Рассчитать средние арифметические погрешности измерений. Контрольные вопросы 1. В чем заключается явление вязкости? 2. Что такое длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул идеального газа? 3. Как длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул зависят от давления газа? 4. Что такое коэффициент вязкости (внутреннего трения)? 5. В какой части экспериментальной установки и почему существенную роль играет вязкость воздуха? 6. В чем сущность закона Пуазейля? 76 Работа 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ Цель работы – определить коэффициент вязкости жидкости методом Стокса. Общие сведения Механизмы вязкости в газах (см. работу 12) и жидкостях существенно отличаются вследствие неодинаковой структуры этих сред. В жидкостях расстояние между молекулами значительно меньше, чем в газах. Поэтому на движение молекул в жидкостях, в первую очередь, влияет межмолекулярное взаимодействие, ограничивая их подвижность. Вязкость жидкостей значительно больше, чем у газов и уменьшается с ростом температуры (у газов наоборот). Пусть в заполненном жидкостью сосуде движется шарик, размеры которого значительно меньше размеров сосуда (см. рисунок). Слой жидкости, прилегающий к шарику, движется со скоростью шарика. Соседние слои движутся с меньшими скоростями и, следовательно, между слоями жидкости возникают силы внутреннего трения. Дж.Г.Стокс показал, что эта сила при малых значениях скорости пропорциональна скорости движения шарика v и его радиусу r: (1) Fтр 6rv , где – коэффициент вязкости, зависящий от рода жидкости и от температуры. На шарик действуют три силы: сила тя жести шарика Р , направленная вниз, сила внут реннего трения Fтр и выталкивающая сила Fв , направленные вверх (см. рисунок). Шарик сначала падает ускоренно, но затем действующие силы очень быстро уравновешиваются: P Fв Fтр , (2) Fв Fтр Р 77 так как с увеличением скорости растет и сила трения. Движение становится равномерным. Сила тяжести P mg , где m – масса шарика; g – ускорение свободного падения. Так как m = V, где – плотность материала шарика; V – его объем, то 4 P gV g r 3 . 3 (3) Выталкивающая сила по закону Архимеда 4 Fв ж gV r 3ж g , 3 (4) где ж – плотность жидкости. Таким образом, формулу (2) с учетом выражений (1), (3) и (4) можно переписать в виде 4 3 4 r g r 3ж g 6rv , 3 3 откуда 2 2 ж . r g 9 v (5) Эта формула, называемая формулой Стокса, справедлива для случая, когда шарик падает в среде, простирающейся безгранично по всем направлениям. Достичь этого в лаборатории практически невозможно, поэтому приходится учитывать размеры сосуда, в котором падает шарик. Если шарик падает вдоль оси цилиндрического сосуда радиусом R, то формула (5) преобразуется к виду ж 2 2 r g . r 9 (1 + 2,1 )v R (6) В лабораторной установке r « R, поэтому в качестве расчетной можно пользоваться формулой (5). 78 Установка для проведения эксперимента представляет собой большой цилиндрический сосуд с исследуемой жидкостью. Вдоль образующей цилиндра через каждые 20 см нанесены горизонтальные штрихи. Порядок выполнения работы 1. Измерить при помощи микроскопа диаметр шарика d. 2. Через отверстие в крышке прибора опустить шарик в жидкость. 3. Измерить секундомером время t прохождения шариком участка пути, на котором скорость падения шарика постоянна. 4. Повторить пп.1-3 с другими шариками. 5. Определить температуру жидкости T, при которой производились измерения (она равна температуре окружающей среды). 6. Результаты измерений оформить в виде таблицы: Номер опыта Т ж d r t l v 1 2 … 7. Подставив измеренные и известные величины в формулу (5), вычислить коэффициент вязкости i для каждого шарика и среднюю квадратическую погрешность измерений n i 2 i 1 nn 1 , где n – число измерений с данной жидкостью, n = 10. При малом числе измерений следует вывести формулу средней арифметической погрешности и вычислить ее. 79 Контрольные вопросы 1. Каков физический смысл коэффициента вязкости и его размерность? 2. В чем сущность закона Стокса? 3. Какие силы действуют на шарик при его движении в жидкости? Как эти силы зависят от времени? 4. Как изменяются скорость и ускорение движения шарика в зависимости от времени? 5. Чем обусловлено введение поправки 2,1 r/R в уравнение (6)? 6. Какие факторы влияют на скорость шарика? 80 Работа 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Цель работы – определить коэффициент поверхностного натяжения воды при комнатной температуре по капиллярному подъему. Общие сведения Над свободной поверхностью жидкости находится ее пар. Плотность пара во много раз меньше плотности жидкости. Поэтому молекула поверхностного слоя окружена меньшим числом молекул, чем молекула, находящаяся внутри жидкости. Силы, действующие на молекулу поверхностного слоя со стороны молекул жидкости и пара, не уравновешиваются, и результирующая сила направлена внутрь жидкости. Для перевода молекулы жидкости изнутри в поверхностный слой необходимо совершить работу против этой силы, за счет чего увеличивается запас потенциальной энергии молекул поверхностного слоя жидкости. Любая система в состоянии равновесия имеет минимальную потенциальную энергию. Жидкость может уменьшить свою потенциальную энергию за счет уменьшения площади поверхности. Следовательно, существуют силы, стремящиеся сократить поверхность жидкости. Эти силы и называют силами поверхностного натяжения. Они направлены по касательной к поверхности жидкости. Чтобы увеличить поверхность жидкости, надо совершить работу против сил поверхностного натяжения: A S , (1) где – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом поверхностного натяжения. Коэффициент является одной из основных величин, характеризующих свойства жидкости. Если S = 1, то, как следует из формулы (1), = А, т.е. коэффициент поверхностного натяжения определяется работой, необходимой для увеличения площади поверхности жидкости на единицу. Коэффициент поверхностного натяжения в СИ имеет размерность джоуль на квадратный метр (Дж/м2). 81 С повышением температуры коэффициент поверхностного натяжения жидкости уменьшается, и при критической температуре, когда исчезает различие между жидкостью и ее паром, = 0. Можно показать, что если сила взаимодействия между молекулами жидкости меньше силы взаимодействия этих молекул с молекулами вещества, из которого изготовлен сосуд, то поверхность жидкости будет вогнутой (смачивание); при обратном соотношении поверхность будет выпуклой (несмачивание). В результате искривления поверхности появляется добавочное давление р. Согласно формуле Лапласа 1 1 , (2) p R1 R 2 где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости. Искривление поверхности особенно заметно в очень узких трубках – капиллярах. Для цилиндрических капилляров формула (2) принимает вид p 2 / R , где R – радиус сферической поверхности, при полном смачивании или несмачивании практически равный радиусу капилляра. Если стеклянный капилляр опустить в широкий сосуд с водой, то вследствие смачивания поверхность воды в капилляре станет вогнутой, возникнет добавочное давление p, которое в данном случае будет отрицательным по сравнению с атмосферным, т.е. будет направлено вверх. Поэтому результирующее давление в капилляре станет меньше, чем в широком сосуде и жидкость в капилляре начнет подниматься выше уровня ее в широком сосуде. По мере подъема жидкости будет возникать гидростатическое давление рг, создаваемое этим столбиком жидкости и направленное вниз: pг = gh. Жидкость в капилляре будет подниматься до тех пор, пока гидростатическое давление столбика жидкости высотой h не уравновесит добавочное давление, вызванное кривизной поверхности: 82 B М pг = р. Соответственно Поэтому, gh 2 / R. зная h, можно определить D . K C Если над уровнем воды в капилляре создать давление р1, добавочное E по сравнению с давлением F воздуха на воду в широком сосуде, то уровень воды в капилляре понизится и сравняется с уровнем воды в сосуде. При этом добавочное давление р1 воздуха будет равно добавочному давлению p, вызванному кривизной поверхности. Добавочное давление воздуха измеряется по разности уровней h жидкости в коленах манометра: p1 = gh, где – плотность жидкости в манометре; g – ускорение свободного падения. Следовательно, 2 / R = gh, откуда ghR / 2 . (3) Величину подъема h жидкости в капилляре можно было бы измерить непосредственно, но это неудобно. В работе для определения h используется простая установка с манометром (см. рисунок). Капилляр, опущенный в стакан K с водой, трубкой В сообщается с более широкой трубкой D и манометром С. Трубка D опущена в сосуд с водой, установленный на столике, который можно закрепить в любом положении винтом Е. Поднимая столик, мы сжимаем воздух в трубках В и D, и в капилляре над поверхностью воды создается добавочное давление p1, измеряемое U-образным манометром (М). Чтобы измерить диаметр капилляра, его укрепляют на штативе и помещают перед объективом микроскопа так, чтобы в поле зрения был торец капилляра. Изображение канала капилляра должно 83 накладываться на изображение шкалы окуляра. Диаметр капилляра измеряют в делениях шкалы (цена деления указана). Порядок выполнения работы 1. Измерить диаметр капилляра микроскопом. 2. Вставить капилляр с пробкой в трубку В установки и погрузить нижний конец капилляра на 1-2 мм в воду (вода в капилляре установится выше уровня воды в стакане). 3. Поднимая столик E, опускать уровень воды в капилляре до тех пор, пока не появится и не оторвется первый пузырек воздуха. 4. Измерить разность h1 уровней жидкости в манометре. 5. Повторить опыт 3 раза. 6. Вычислить добавочное давление воздуха в капилляре h = h1 – h', где h' – превышение уровня воды в стакане над нижним концом капилляра, h' = 1-2 мм. 7. Повторить пп.1-4 с капиллярами других диаметров. 8. Результаты опыта оформить в виде таблицы: Номер опыта d R R h h 1 2 … 9. Вычислить для каждого капилляра коэффициент поверхностного натяжения по формуле (5), а затем среднее значение . 10. Вычислить среднюю арифметическую погрешность . 11. Результаты измерений представить в виде . Контрольные вопросы 1. Чем обусловлена энергия поверхностного слоя жидкости? 2. Какова физическая природа сил поверхностного натяжения? Как они направлены? 84 3. Что такое коэффициент поверхностного натяжения? От чего он зависит и в каких единицах измеряется? 4. Что такое добавочное (лапласово) давление? От чего оно возникает? Как его рассчитывают? 5. Почему при смачивании жидкость в капиллярах поднимается, а при несмачивании опускается? От чего зависит высота подъема жидкости в капиллярах? РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Детлаф А.А. Курс физики / А.А.Детлаф, Б.М.Яворский. М.: Высшая школа, 2000. 2. Савельев И.В. Курс физики. М.: Высшая школа, 1998. Т. 1- 3. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Наука, 2003. 4. Яворский Б.М. Справочник по физике / Б.М.Яворский, А.А.Детлаф. М.: Наука, 1998. 85 СОДЕРЖАНИЕ Обработка результатов измерений в физическом практикуме ........................... Погрешности прямых измерений ................................................................ Погрешности косвенных измерений ........................................................... Правила представления результатов измерений ........................................ Правила построения графиков ..................................................................... 3 4 6 9 9 Динамика поступательного движения .................................................................. Работа 1. Оценка точности прямых и косвенных измерений .................... Работа 2. Эквивалентность гравитационной и инертной масс .................. Работа 3. Изучение законов механики с помощью прибора Атвуда ........ 11 11 17 22 Динамика вращательного движения ..................................................................... Работа 4. Определение моментов инерции параллелепипеда методом крутильных колебаний ................................................................................. Работа 5. Определение момента инерции с помощью маятника Обербека .... Работа 6. Определение момента инерции твердых тел с помощью маятника Максвелла .......................................................................................... Работа 7. Измерение скорости полета пули с помощью баллистического маятника .................................................................................................... Работа 8. Определение ускорения свободного падения при помощи универсального маятника ............................................................................. Работа 9. Изучение прецессии гироскопа ................................................... 28 31 35 39 43 48 55 Молекулярная физика ............................................................................................ Работа 10. Определение отношения теплоемкости воздуха при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме методом адиабатического расширения ....................................................................... Работа 11. Определение отношения теплоемкости воздуха при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме методом стоячей волны ..................................................................................................... Работа 12. Определение коэффициента вязкости, длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул газа ........................................ Работа 13. Определение коэффициента вязкости жидкости ..................... Работа 14. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости ........................................................................................................ 60 Рекомендательный библиографический список .................................................. 85 86 60 66 71 77 81